相交线中的角-

平行线和相交线解决角度关系问题平行线和相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在着密切的角度关系。

通过研究这种关系，我们可以解决许多有关角度的几何问题。

本文将详细介绍平行线和相交线之间的角度关系，并通过实例说明如何应用这些关系来解决角度问题。

1. 共线角与内错角当两条平行线被一条直线相交时，所形成的各个角度关系是解决角度问题的基础。

首先，我们来看一下两条平行线被一条直线相交时所形成的共线角和内错角。

共线角：共线角即位于同一直线上的两个相邻角度。

根据平行线与相交线的性质，我们得知在两条平行线被一条直线相交的情况下，所形成的共线角是相等的。

内错角：内错角即位于两条平行线之间、相交线上的两个相邻角度。

同样根据平行线与相交线的性质，我们知道内错角是相等的。

2. 同位角与对顶角继续探讨角度关系，我们将介绍同位角和对顶角的概念，它们同样可以帮助我们解决角度问题。

同位角：同位角是指位于两条平行线之间、相交线同一侧的两个相邻角度。

根据平行线与相交线的性质，我们知道同位角是相等的。

对顶角：对顶角是指由两条平行线被一条直线相交所形成的内错角的对称角。

根据平行线与相交线的性质，我们得出对顶角是相等的。

3. 利用角度关系解决问题通过理解平行线和相交线之间的角度关系，我们能够解决很多有关角度的几何问题。

以下是一些实例：例1：已知在平行线AB和CD之间，EF是一条相交线。

若∠ADE= 60°，求∠BEF的度数。

根据同位角的性质，我们可以得知∠ADE = ∠BEF。

因此，∠BEF的度数也为60°。

例2：已知平行线AB和CD被一条相交线EF相交，∠AED = 110°，求∠BCF。

根据内错角的性质，我们知道∠AED = ∠BCF。

所以，∠BCF的度数也为110°。

例3：已知两条平行线AB和CD之间的一条相交线EF，求证∠AEB = ∠CFD。

根据对顶角的性质，我们可以得知∠AEB = ∠CFD。

相交线的角度关系与计算在几何学中，线与线的交汇点被定义为相交点。

当两条直线相交时，产生的角度关系一直以来都是研究的重点。

本文将探讨相交线的角度关系以及相关的计算方法。

1. 垂直线当两条线相交时，如果它们的交角为90度，我们可以称其为垂直线。

垂直线之间的角度关系是直角，也就是说它们是互相垂直的。

在计算中，我们可以使用垂直线的性质来求解角度大小。

2. 成锐角和成钝角除了垂直线外，两条相交线还可以形成其他角度关系。

当两条线相交时，如果它们的交角小于90度，则它们之间的角度关系被称为成锐角。

相反，当两条线相交时，如果它们的交角大于90度，则它们之间的角度关系被称为成钝角。

成锐角与成钝角之间的大小关系可以用以下规律来描述：锐角+钝角=180度。

3. 同位角和内错角在两条相交线中，角度关系还可以细分为同位角和内错角。

同位角指的是两条平行线被直线截断后，与直线同侧的对应角。

同位角之间的关系是相等的，也就是说它们的角度大小相同。

内错角是指两条平行线被直线截断后，与直线异侧的对应角。

内错角之间的关系是补角关系，也就是说它们的角度大小相加为180度。

4. 角度计算方法当我们需要计算相交线的角度关系时，可以使用以下方法：4.1 视觉比较法：将两条线的交点作为维度，通过使用量角器或直观感受来比较角度的大小。

4.2 利用已知角度：如果已知某个角度的大小，我们可以利用同位角、内错角等角度关系来计算其他角度。

4.3 利用三角函数：当两条线的斜率已知时，我们可以使用三角函数来计算角度。

通过计算斜率的差值，并求解反三角函数，我们可以得到角度的大小。

综上所述，相交线的角度关系与计算是几何学中的基础内容。

我们可以通过明确角度关系的定义和性质，运用相应的计算方法来求解角度大小。

通过深入学习和实践，我们可以更好地理解相交线的角度关系，并应用于实际问题的解决中。

中考数学一轮专题复习学案17 相交线与平行线知识点1：点、线、面、角知识点梳理1．点动成线、线动成面、面动成体．2．角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．3．度分秒的换算：1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°．1°= 60 '，1'=60 ″．4．量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数．5. 两角间的关系：（1）余角：如果两个角的和等于90° ，就说这两个角互为余角．同角或等角的余角相等．（2）补角：如果两个角的和等于180° ，就说这两个角互为补角．同角或等角的补角相等．6. 角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．典型例题【例1】（2020•重庆B卷2/26）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（）A．长方体B．圆柱体C．球体D．圆锥体【考点】认识立体图形【分析】根据平面与曲面的概念判断即可．【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确；B、侧面不是平面，故本选项错误；C、球面不是平面，故本选项错误；D、侧面不是平面，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查的是立体图形的认识，掌握平面与曲面的概念是解题的关键．【例2】（2020•陕西2/25）若∠A=23°，则∠A余角的大小是（）A．57°B．67°C．77°D．157°【考点】余角和补角【分析】根据∠A的余角是90°-∠A，代入求出即可．【解答】解：∵∠A =23°，∴∠A的余角是90°-23°=67°．故选：B．【点评】本题考查了互余的应用，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-∠B．知识点2：直线、射线和线段1．直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．2. 射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．3. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两个点叫做线段的端点．4．线段的和差：如下图，在线段AC上取一点B，则有：AB+ BC =AC；AB=AC-BC；BC=AC-AB．5．线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．几何语言：AM=MB=12AB．知识点梳理6. 直线的性质：（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）．（2）过一点的直线有无数条．（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．（4）直线上有无穷多个点．（5）两条不同的直线至多有一个公共点．7. 线段的性质：（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短．（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的中点到两端点的距离相等．（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．典型例题【例3】（2019·保定高阳县模拟）“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．直线可以向两边延长D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离【答案】B．【解答】“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理是“两点确定一条直线”．故答案为B．知识点3：相交线知识点梳理1. 相交线中的角:（1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．（2）邻补角互补，对顶角相等．（3）直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角（三线八角）．其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角．2. 垂线：（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．（2）垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如下图，点P与直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度．4. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．如下图，若l ⊥AB ，OA=OB ，则AP=BP ．逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 5. 角平分线的性质定理及逆定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：如下图，1=2,PE PF PE OA PF OB ∠∠⎫⇒=⎬⊥⊥⎭逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何语言：如下图，,1=2PE OA PF OB PE PF ⊥⊥⎫⇒∠∠⎬=⎭【例4】（2020•河北1/26）如图，在平面内作已知直线m 的垂线，可作垂线的条数有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条【考点】垂线【分析】根据垂直、垂线的定义，可直接得结论．【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条， 所以作已知直线m 的垂线，可作无数条． 故选：D ．【点评】本题考查了垂直和垂线的定义．掌握垂线的定义是解决本题的关键．【例5】（2020•青海5/28）如图，△ABC 中，AB =AC =14 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于典型例题点D，且△DBC的周长是24 cm，则BC= cm．【考点】线段垂直平分线的性质【分析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD=BD，于是将△DBC的周长转化为BC与边长AC的和来解答．【解答】解：∵C△DBC=24 cm，∴BD+DC+BC=24 cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD=BD②，将②代入①得：AD+DC+BC=24 cm，即AC+BC=24 cm，又∵AC=14 cm，∴BC=24-14=10cm．故填10．【点评】本题考查了垂直平分线的性质；此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．【例6】（2020•新疆兵团13/23）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a-3），则a的值为．【考点】坐标与图形性质【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x 轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P在第一象限，点P的坐标为（a，2a-3），∴a=2a-3，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．知识点4：平行线1. 平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．2. 平行线公理及其推论：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．3. 平行线的判定：平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．知识点梳理4. 平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．5. 两平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．（2）性质：两条平行线之间的距离处处相等．【例7】（2019·河北省7/26）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【考点】平行线的判定．【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【解答】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．典型例题【例8】（2020•海南6/22）如图，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE=70°，∠ACD=40°，则∠AEB等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【考点】平行线的性质【分析】利用平行线的性质，得到∠BAE与∠C的关系，再利用三角形的内角和，求出∠AEB．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠C=40°．∵∠AEB +∠EAB +∠EBA =180°，∴∠AEB=70°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，题目难度较小，利用平行线的性质把要求的角和已知角放在同一个三角形中，是解决本题的关键．知识点5：命题、定理、证明知识点梳理1. 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．2. 命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题．所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题．3．互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题，如果我们把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题．4. 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理．5. 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．6. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理，一个定理和它的逆定理是互逆定理．7. 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．【例9】（2019·安徽省12/23）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为．【考点】命题与定理．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．【例10】（2019·泰州）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是________（填“真命题”或“假命题”）．【答案】真命题．【解答】一个三角形如果是锐角三角形，则三个角都是锐角，如果是直角或钝角三角形，则有两个角是锐角，∴三角形的三个内角中至少有两个锐角是真命题．1.（2020•江西5/23）如图所示，正方体的展开图为()A．B．典型例题巩固训练C ．D ．2.（2019•鄂尔多斯2/24）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3.（2018·北京市1/28）下列几何体中，是圆柱的为（ ）A ．B ．C ．D ．4.如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（ ）A ． 45°B ． 55°C ． 125°D ． 135°5.（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是( )A．B．C．D．6.（2020•通辽13/26）如图，点O在直线AB上，581728∠的度数AOC∠=︒'''．则BOC是．7.若∠A=34°，则∠A的补角为（）A．56°B．146° C．156° D．166°8.（2020•吉林11/26）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD l⊥于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．9.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°10.（2020•海南15/22）如图，在△ABC中，9BC=，4AC=，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为．11.（2020•陕西17/25）如图，已知△ABC，AC AB>，45C∠=︒．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P，使45PBC∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）12.（2020•宁夏14/26）如图，在△ABC中，84C∠=︒，分别以点A、B为圆心，以大于12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则A∠=度．13.（2018·通辽16/26）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．若AB ＝BD ，AB ＝6，∠C ＝30°，则△ACD 的面积为 ．14.（2020•河北6/26）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是( )A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ，12b DE <的长 15.（2019•包头7/26）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC ＝4，则△ACG 的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．5216.（2020•兴安盟•呼伦贝尔6/26）如图，直线AB ∥CD ，AE CE ⊥于点E ，若120EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是( )A ．120︒B ．100︒C ．150︒D ．160︒17.（2020•河南4/23）如图，12//l l ，34//l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒18.（2020•新疆兵团10/23）如图，若AB ∥CD ，110A ∠=︒，则1∠= ︒．19.（2019·河南省3/23）如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为（ ）A ．45°B ．48°C ．50°D ．58°20.（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//AB CD ，70C ∠=︒，40A ∠=︒，则F ∠的度数为( )A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒21.（2018·赤峰8/26）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°22.（2018·通辽12/26）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．23．（2018·聊城）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是()A．110° B．115° C．120° D．125°24．（2019·南京）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵________，∴a∥b．25．（2019·黄冈）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A，点C．AD 平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为________．巩固训练解析1.（2020•江西5/23）如图所示，正方体的展开图为()A．B．C．D．【考点】几何体的展开图【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【解答】解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面 ”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．2.（2019•鄂尔多斯2/24）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A与此不符，所以错误；三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符，三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．故选：B．3.（2018·北京市1/28）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．【考点】认识立体图形．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．4.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A ． 45°B ． 55°C ． 125°D ． 135°【答案】B【考点】用量角器度量角．【解答】由生活知识可知这个角小于90度，排除C 、D ，又OB 边在50与60之间，所以，度数应为55°．5.（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是( )A ．B ．C ．D ．【考点】余角和补角 【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．【解答】解：A ．α∠与β∠互余，故本选项正确；B ．αβ∠=∠，故本选项错误；C ．αβ∠=∠，故本选项错误；D ．α∠与β∠互补，故本选项错误，故选：A ．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．6.（2020•通辽13/26）如图，点O 在直线AB 上，581728AOC ∠=︒'''．则BOC ∠的度数是 1214232︒''' ．【考点】度分秒的换算；角的概念【分析】依据邻补角的定义，即可得到BOC ∠的度数．【解答】解：点O 在直线AB 上，且581728AOC ∠=︒'''，1801805817281214232BOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒'''=︒'''，故答案为：1214232︒'''．【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180︒．7.若∠A =34°，则∠A 的补角为（ ）A ．56°B ．146°C ．156°D ． 166°【考点】根据互补的两角之和为180°，可得出答案．【分析】余角和补角．【解答】解：∵∠A =34°，∴∠A 的补角=180°﹣34°=146°．故选B ．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补的两角之和为180°．8.（2020•吉林11/26）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 垂线段最短 ．【考点】垂线段最短【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：过点C作CD l⊥于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．9.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°【考点】方向角．【分析】根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如下图：若射线OB与射线OA垂直，∴∠AOB=90°，∠1=60°，OB是北偏西60°，故选：B．【点评】本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．10.（2020•海南15/22）如图，在△ABC中，9BC=，4AC=，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为13．【考点】线段垂直平分线的性质；作图-基本作图【分析】根据作图过程可得，MN是AB的垂直平分线，所以得AD BD=，进而可得△ACD 的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，∴AD BD=，∴△ACD的周长9413=++=++=+=+=．AD DC AC BD DC AC BC AC故答案为：13．【点评】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．11.（2020•陕西17/25）如图，已知△ABC，AC AB∠=︒．请用尺规作图法，在ACC>，45边上求作一点P，使45∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）PBC【考点】作图-基本作图【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使45PBC∠=︒即可，或作BC的垂直平分线交AC于点P【解答】解：如图，点P即为所求．【点评】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．12.（2020•宁夏14/26）如图，在△ABC中，84C∠=︒，分别以点A、B为圆心，以大于12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则A∠=32度．【考点】线段垂直平分线的性质；作图-复杂作图【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是ABC∠的平分线，根据它们的性质可得A ABD CBD∠=∠=∠，再根据三角形内角和定理即可得解．【解答】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是ABC∠的平分线，AD BD ∴=，12ABD CBD ABC∠=∠=∠，A ABD∴∠=∠，A ABD CBD∴∠=∠=∠，180A ABC C∠+∠+∠=︒，且84C∠=︒，2180A ABD C∴∠+∠=︒-∠，即318084A∠=︒-︒，32A∴∠=︒．故答案为：32．【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．13.（2018·通辽16/26）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为【考点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD＝AD＝DC，可得S△ADC＝S△ABD即可解决问题；【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°，∵AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝DC，∴S△ADC＝S△ABD×62＝故答案为【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.（2020•河北6/26）如图1，已知ABC∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC∠内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是( )A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ，12b DE <的长 【考点】作图-基本作图【分析】根据角平分线的画法判断即可．【解答】解：以B 为圆心画弧时，半径a 必须大于0，分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧时，b 必须大于12DE ，否则没有交点， 故选：B ．【点评】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，属于中考常考题型．15.（2019•包头7/26）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC ＝4，则△ACG 的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【解答】解：由作法得AG 平分∠BAC ，∴G 点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，所以△ACG 的面积＝12×4×1＝2． 故选：C ．16.（2020•兴安盟•呼伦贝尔6/26）如图，直线AB ∥CD ，AE CE ⊥于点E ，若120EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是( )A ．120︒B ．100︒C ．150︒D ．160︒【考点】垂线；平行线的性质【分析】延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，根据平行线的性质，求出AFC ∠的度数，再利用外角的性质求出ECF ∠，从而求出ECD ∠．【解答】解：延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，//AB CD ，180A AFC ∴∠+∠=︒，120EAB ∠=︒，60AFC ∴∠=︒，AE CE ⊥，90AEC ∴∠=︒，而AEC AFC ECF ∠=∠+∠，30ECF AEC F ∴∠=∠-∠=︒，18030150ECD ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点评】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．17.（2020•河南4/23）如图，12//l l ，34//l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【考点】平行线的性质【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：12//l l ，170∠=︒，3170∴∠=∠=︒，34//l l ， 2180318070110∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．18.（2020•新疆兵团10/23）如图，若AB ∥CD ，110A ∠=︒，则1∠= 70 ︒．【考点】平行线的性质【分析】由//AB CD ，利用“两直线平行，同位角相等”可得出2∠的度数，再结合1∠，2∠互补，即可求出1∠的度数．【解答】解：//AB CD ，2110A ∴∠=∠=︒．又12180∠+∠=︒，∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．1180218011070故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．19.（2019·河南省3/23）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵∠1＝∠D+∠E，∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．20.（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//∠的度数∠=︒，则FAAB CD，70∠=︒，40C为()A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【考点】平行线的性质【分析】先根据平行线的性质求出BEF ∠的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：//AB CD ，70C ∠=︒， 70BEF C ∴∠=∠=︒．40A ∠=︒，704030F ∴∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．21.（2018·赤峰8/26）已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，∠EGB ＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H 重合），则∠PHG 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【考点】平行线的性质．【分析】依据AB ∥CD ，可得∠EHD ＝∠EGB ＝25°，再根据∠PHD ＝60°，即可得到∠PHG ＝60°﹣25°＝35°．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠EHD ＝∠EGB ＝25°，又∵∠PHD ＝60°，∴∠PHG ＝60°﹣25°＝35°，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．22.（2018·通辽12/26）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是75°30′（或75.5°）．【考点】度分秒的换算；平行线的性质．【分析】首先证明∠EDO＝∠AOB＝37°45′，根据∠DEB＝∠AOB+∠EDO计算即可解决问题；【解答】解：∵CD∥OB，∴∠ADC＝∠AOB，∵∠EDO＝∠CDA，∴∠EDO＝∠AOB＝37°45′，∴∠DEB＝∠AOB+∠EDO＝2×37°45′＝75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．【点评】本题考查平行线的性质、度分秒的换算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（2018·聊城）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是()A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】C．【解析】如下图，延长DE交BC于点G，∵∠BGD是△DCG的外角，∴∠BGD＝∠BCD ＋∠CDE＝95°＋25°＝120°，∵AB∥EF，∴∠DEF＝∠DGB＝120°．。

相交线知识点总结归纳一、基本概念1. 两条线的相交相交线是指当两条线在平面上交汇时的情况。

如果两条线相交于一个点，则称这两条线相交。

如果两条线永远不会相交，则称这两条线平行。

2. 交点两条线相交的点称为交点。

3. 直线直线是一条无限延伸的线段，在数学中用直线上任意两个点来确定直线。

4. 平行线平行线是指在同一平面上的两条直线，它们的方向完全相同，永远不会相交。

5. 垂直线垂直线是指两条直线在相交点的交角为90°的情况。

二、相交线的交角关系1. 同位角同位角是指两条直线被一条直线所切割时，同位于两条直线的同侧的两个内角或外角。

2. 内错角内错角是指两条直线被一条直线所切割时，相对的两个内角。

3. 互补角互补角是指两个角的和为90°的角。

4. 补角补角是指两个角的和为180°的角。

5. 相对角相对角是指两条平行线被一条截线所切割时，相对的两对内角或外角。

6. 交错角交错角是指两条平行线被一条截线所切割时，相对的交错的内角。

三、平行线与角的关系1. 同位角内错角对应角当两条平行线被一条截线相交时，同位角、内错角和对应角都相等。

2. 同位角性质同位角的性质是指同位角是交错角的对应角，并且同位角的和为180°。

3. 内错角性质内错角的性质是指内错角的和为180°。

4. 对应角的性质对应角的性质是指两条平行线被一条截线所切割时，对应角相等。

5. 交错角性质交错角的性质是指交错角相等。

四、平行线的判定方法1. 定理一如果两条直线被一条第三条直线所切，使得同位角相等，则这两条直线是平行线。

2. 定理二如果两条直线被一条第三条直线所切，使得内错角相等，则这两条直线是平行线。

3. 定理三如果两条直线被一条第三条直线所切，使得对应角相等，则这两条直线是平行线。

4. 定理四如果两条直线被一条第三条直线所切，使得交错角相等，则这两条直线是平行线。

五、应用题1. 平行线的应用平行线的知识在日常生活中有很多应用，比如在建筑工程中，为了保证建筑物的结构稳定，需要使用平行线的原理来设计和施工。

七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。

性质是对顶角相等。

2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。

3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。

5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

7、垂线段最长。

8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角成正比，两直线平行。

③同旁内角互补，两直线平行。

11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。

(一)正负数1.正数：大于0的数。

2.负数：小于0的数。

3.0即不是正数也不是负数。

4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。

包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。

可以写成两个整之比的形式。

(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。

如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。

3.分数：正分数、负分数。

(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。

第四章 图形的初步认识§4.7 相交线课时二 相交线中的角【学习目标】1.掌握三线八角的形成。

2.会认识和找出同位角、内错角、同旁内角。

【课前导习】1. 两直线相交，可得______个角。

2. 如图1，其中相等的角有:__________________________其中互补的角有：_________________________3. 两条直线被另一条直线所截，可得________个角4. 如图2，其中直线______和直线______被直线________所截。

其中∠1与∠5是_________角；∠4和∠6是__________角；∠3与∠6是_________角。

图中还有哪些同位角、内错角和同旁内角：_________________________________________________________.【主动探究】1.∠1与∠5处于直线l 的_______,直线a, b 的________,这样位置的角叫同位角。

图中还有哪些同位角______________________________.2. ∠4与∠6处于直线l 的_______,直线a, b 的________,这样位置的角叫内错角。

图中还有哪些内错角______________________________.3. ∠3与∠6处于直线l 的_______,直线a, b 的________,这样位置的角叫同旁内角。

图中还有哪些同旁内角______________________________.【当堂训练】1．如图，直线a 截直线b 、c 所得的同位角有 对，他们是 ，内错角有 对，他们是 ，同旁内角有 对，他们是 。

图 1 图210756894321(1)2．如图，与∠1是同位角的角是 ，与∠1是内错角的角是 ，与∠1是同旁内角的角是 。

3．如图，∠1与∠3是同位角吗？∠2与∠4是同位角吗？4．如图，∠与∠C 是直线 与 被直线 所截得的同位角，∠ 与∠3是直线 与 被直线 所截得的内错角，∠ 与∠A 是直线AB 与BC 被直线 所截得的同旁内角。

相交线中的角学案年级：七年级学科：数学执笔：吴达辉审核：张秀梅内容：相交线中的角课型：新课时间：2011年月日【学习内容】相交线中的角【学习目标】1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念及特征；。

2、能从复杂图形中识别这三种角,并弄清它们是由哪两条直线被哪条直线所截而成。

【学习重点】同位角、内错角、同旁内角的识别。

【学习难点】在各种图形中识别同位角、内错角、同旁内角。

【学习过程】一、无师自通：（一）、利用自学时间预习课本P138-139，将重点内容及未弄懂的知识在课本上做上记号；（二）、试一试：完成课后P139练习1、2二、探究活动（一）、小组合作将“无师自通”中大家的解答进行小组合作交流，各组进行归纳发言，同学们整理记录：（二）、师生合作·掌握重难点如图1，现在我们来研究一下，两条直线与同一条直线相交（也就是两条直线被第三条直线所截）所成的八个角中两个不同顶点的两个角之间的位置关系。

图11．让学生观察与都在直线l的同旁，并且在直线a的上方，在直线b 的上方，它们这组角的位置相同（即在截线的同旁，被截两直线的同方向），我们把这种位置相同的角称为“同位角”．提问：除了与是同位角外，还有没有其他的同位角？分别指出，的同位角是______，的同位角是_______，的同位角是________．反过来，再找出的同位角．归纳得出结论：两条直线被第三条直线所截，所构成的八个角中，从对应位置考虑，可分为四对同位角．2．再观察图1，发现八个角中夹在直线a与直线b之间的有四个角，分别是，其中与交错着，也就是在截线的两旁，我们把这样的角称为“内错角”（注意：在两条直线之间，并且在截线的两旁）．提问：除了与是内错角外，还有没有其他的内错角？如果有，请指出来．3．再次观察图中的与，它们在直线a、b之间，同时也在直线l的同旁，我们把这样的角称为“同旁内角”，同样，与也是同旁内角．【巩固练习】1、如图所示，∠1与∠2是______角，∠1与∠3是______角，∠2与∠3是______角。

相交线之间的角和关系角是几何形状中常见的概念之一，它是由两个射线共享一个端点形成的，可以用来描述物体之间的相对位置和方向。

当两条线相交时，会形成多个角，它们之间存在一些特殊的关系。

本文将探讨相交线之间的角和关系。

一、对顶角和补角当两条线直接相交时，形成的相邻角被称为对顶角。

对顶角的特点是它们的度数相等。

例如，当两条线直接相交时，形成的四个角ABD、ABC、CBD和CBA都是对顶角，它们的度数相等。

补角是指两个角度加起来为180度的角。

在相交线中，如果一对对顶角的度数加起来等于180度，则称这两个对顶角是互补角。

例如，当角ABD和角CBD是一对对顶角时，它们的度数之和为180度，则它们是互补角。

二、同位角和内错角同位角是指两条平行线被一条横穿线相交形成的角。

同位角的特点是它们的度数相等。

例如，当直线AB和直线CD是平行线，直线EF横穿这两条平行线时，形成的角AED和角BEF是同位角，它们的度数相等。

内错角是指两条平行线被一条横穿线相交形成的与同位角相对的角。

内错角的特点是它们的度数之和等于180度。

例如，当直线AB和直线CD是平行线，直线EF横穿这两条平行线时，形成的角DEC和角BEF 是内错角，它们的度数之和等于180度。

三、余角和邻补角余角是指一个角度与90度之差的角。

对于一个角度x，它的余角是90度减去x的度数。

例如，一个角的度数是60度，它的余角是90度减去60度，即30度。

邻补角是指两个角度加起来为90度的角。

在相交线中，如果一对相邻角的度数加起来等于90度，则称这两个相邻角是邻补角。

例如，当角ABD是一个角度x，邻补角是一个角度y，且x + y = 90度，则角ABD和角CBD是邻补角。

四、垂直角和全等角垂直角是指两条相交线的交角，并且交角的度数为90度。

当两条线相交且形成90度角时，称这两条线是垂直的。

垂直角的特点是它们的度数相等。

全等角是指两个角度的度数完全相等。

当两个角度的度数完全相等时，称这两个角度是全等角。