恒力做功和变力做功专题

专题05：做功、功率问题汇总考点1 功的分析与计算 (1)考点2 功率的分析与计算 (3)考点3 机车启动问题 (5)考点1 功的分析与计算1．功的正负的判断方法(1)恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。

0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。

2．恒力做功的计算方法3．合力做功的计算方法方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功。

适用于F合为恒力的过程。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3…求合外力做的功。

【典例1】如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是()A．人对车的推力F做的功为FLB．人对车做的功为maLC．车对人的作用力大小为maD．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L【答案】A【解析】根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做功为W＝－maL，故B错误；人水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为N＝（ma ）2＋（mg ）2 ＝m a 2＋g 2 ，故C 错误；对人由牛顿第二定律可得f －F ＝ma ，则f ＝ma ＋F ，车对人的摩擦力做功为W ＝fL ＝(F ＋ma )L ，故D 错误。

【变式1-1】在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB ，槽道由半径分别为R2 和R 的两个半圆构成(如图所示)，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿滑槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．0B ．FRC ．32 πFRD ．2πFR【答案】 C【解析】 虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR ＋πR 2 ，则拉力做的功为32 πFR ，故C 正确。

专题06 功和功率 动能定理目录题型一 功和功率的理解和计算 ..................................................................................................... 1 题型二 机车启动问题 ..................................................................................................................... 4 题型三 动能定理及其应用 ........................................................................................................... 12 题型四 功能中的图像问题 .. (22)题型一 功和功率的理解和计算【题型解码】1.要注意区分是恒力做功，还是变力做功，求恒力的功常用定义式．2.变力的功根据特点可将变力的功转化为恒力的功(如大小不变、方向变化的阻力)，或用图象法、平均值法(如弹簧弹力的功)，或用W ＝Pt 求解(如功率恒定的力)，或用动能定理等求解．【典例分析1】（2023上·福建三明·高三校联考期中）如图所示，同一高度处有4个质量相同且可视为质点的小球，现使小球A 做自由落体运动，小球B 做平抛运动，小球C 做竖直上抛运动，小球D 做竖直下抛运动，且小球B 、C 、D 抛出时的初速度大小相同，不计空气阻力。

小球从释放或抛出到落地的过程中（ ）A ．重力对4个小球做的功相同B ．重力对4个小球做功的平均功率相等C ．落地前瞬间，重力对4个小球的瞬时功率大小关系为A B CD P P P P =<= D ．重力对4个小球做功的平均功率大小关系为A B C D P P P P =>= 【答案】AC【详解】A ．4个质量相同的小球从同一高度抛出到落地的过程中，重力做功为G W mgh =故重力对4个小球做的功相同，故A 正确；BD ．小球A 做自由落体运动，小球B 做平抛运动，小球C 做竖直上抛运动，小球D 做竖直下抛运动，小球从同一高度抛出到落地，运动时间关系为D A B C t t t t <=<重力对4个小球做功的平均功率为GW P t=可得重力对4个小球做功的平均功率大小关系为D A B C P P P P >=>故BD 错误；C ．落地前瞬间，4个小球竖直方向有2A 2v gh =，2B 2v gh = 22C 02v v gh -=，22D 02v v gh -=4个小球竖直方向的速度关系为A B C D v v v v =<=落地前瞬间，重力对4个小球的瞬时功率y P mgv =落地前瞬间，重力对4个小球的瞬时功率大小关系为A B C D P P P P =<=故C 正确。

第29讲变力做功的6种计算方法一．知识回顾方法举例说法1.应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W F，则有：W F－mgL(1－cosθ)＝0，得W F＝mgL(1－cosθ)2.微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f＝F f·Δx1＋F f·Δx2＋F f·Δx3＋…＝F f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝F f·2πR3.等效转换法恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·⎝⎛⎭⎪⎫hsinα－hsinβ4.平均力法弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1＋kx22·(x2－x1)6.图像法在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功7.功率法汽车恒定功率为P，在时间内牵引力做的功W=Pt二.例题精析题型一：应用动能定理例1．如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为g，现在用力F向上缓慢拉A直到B刚好要离开地面，则这一过程中弹性势能的变化量△E p和力F做的功W分别为（）A ．m 2g 2k，m 2g 2kB ．m 2g 2k，2m 2g 2kC ．0，m 2g 2kD ．0，2m 2g 2k题型二：微元法例2．在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道有半径分别为R 2和R 的两个半圆构成，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（ ）A ．0B ．FRC ．32πFRD ．2πFR题型三：等效转换法例3．如图所示，轻绳一端受到大小为F 的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m 、可视为质点的小物块相连。

开始时绳与水平方向的夹角为θ，当小物块从水平面上的A 点被拖动到水平面上的B 点时，位移为L ，随后从B 点沿斜面被拖动到定滑轮O 处，BO 间距离也为L ，小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物块从A 点运动到B 点的过程中，F 对小物块做的功为W F ，小物块在BO 段运动过程中克服摩擦力做的功为W f ，则以下结果正确的是（ ）A ．W F ＝FL （2cos θ﹣1）B ．W F ＝2FLcos θC ．W f ＝μmgLcos θD ．W f ＝FL ﹣mgLsin2θ题型四：平均值法例4．当前，我国某些贫困地区的日常用水仍然依靠井水。

2020年高考物理二轮精准备考复习讲义第二部分功能与动量第5讲功功率动能定理目录一、理清单，记住干 (2)二、研高考，探考情 (2)三、考情揭秘 (4)四、定考点，定题型 (5)超重点突破1功和功率的分析与计算 (5)命题角度1功的分析与计算 (5)命题角度2功率的分析及应用 (6)命题角度3 变力做功 (7)超重点突破2机车启动中的功率问题 (8)超重点突破3动能定理的基本应用 (10)命题角度1动能定理在直线运动中的应用 (10)命题角度2动能定理在曲线运动中的应用 (12)命题角度3 动能定理在图象问题中的应用 (13)五、固成果，提能力 (14)一、理清单，记住干1．功(1)恒力做功：W ＝Fl cos α(α为F 与l 之间的夹角)．(2)变力做功：①用动能定理求解；②用F -x 图线与x 轴所围“面积”求解． 2．功率(1)平均功率：P ＝Wt ＝F v cos α(α为F 与v 的夹角)．(2)瞬时功率：P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角)．(3)机车启动两类模型中的关键方程：P ＝F ·v ，F －F 阻＝ma ，v m ＝PF 阻，Pt －F 阻x ＝ΔE k . 3．动能定理：W 合＝12mv 2－12mv 20.4．应用动能定理的两点注意(1)应用动能定理的关键是写出各力做功的代数和，不要漏掉某个力做的功，同时要注意各力做功的正、负． (2)动能定理是标量式，不能在某一方向上应用．二、研高考，探考情【2019·高考全国卷Ⅲ，T17】从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用．距地面高度h 在3 m 以内时，物体上升、下落过程中动能E k 随h 的变化如图所示．重力加速度取10 m/s 2.该物体的质量为( )A ．2 kgB ．1.5 kgC ．1 kgD ．0.5 kg 【答案】：C【解析】：画出运动示意图，设阻力为f ，据动能定理知A →B (上升过程)：E k B －E k A ＝－(mg ＋f )hC →D (下落过程)：E k D －E k C ＝(mg －f )h整理以上两式得mgh ＝30 J ，解得物体的质量m ＝1 kg ，选项C 正确．【2019·高考江苏卷】如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m ，从A 点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A 点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s ，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中( )A ．弹簧的最大弹力为μmgB ．物块克服摩擦力做的功为2μmgsC ．弹簧的最大弹性势能为μmgsD ．物块在A 点的初速度为2μgs 【答案】：BC【解析】：小物块处于最左端时，弹簧的压缩量最大，然后小物块先向右做加速运动再做减速运动，可知弹簧的最大弹力大于滑动摩擦力μmg ，选项A 错误；物块从开始运动至最后回到A 点过程，由功的定义可得物块克服摩擦力做功为2μmgs ，选项B 正确；自物块从最左侧运动至A 点过程由能量守恒定律可知E p ＝μmgs ，选项C 正确；设物块在A 点的初速度为v 0，整个过程应用动能定理有－2μmgs ＝0－12mv 20，解得v 0＝2μgs ，选项D 错误．【2018·高考全国卷Ⅲ，T19】地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面．某竖井中矿车提升的速度大小v 随时间t 的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等．不考虑摩擦阻力和空气阻力．对于第①次和第②次提升过程( )A ．矿车上升所用的时间之比为4∶5B ．电机的最大牵引力之比为2∶1C ．电机输出的最大功率之比为2∶1D ．电机所做的功之比为4∶5 【答案】：AC【解析】：由图线①知，矿车上升总高度h ＝v 02·2t 0＝v 0t 0由图线②知，加速阶段和减速阶段上升高度和 h 1＝v 022·(t 02＋t 02)＝14v 0t 0匀速阶段：h －h 1＝12v 0·t ′，解得t ′＝32t 0故第②次提升过程所用时间为t 02＋32t 0＋t 02＝52t 0，两次上升所用时间之比为2t 0∶52t 0＝4∶5，A 对；对矿车受力分析，当矿车向上做加速直线运动时，电机的牵引力最大，由于加速阶段加速度相同，故加速时牵引力相同，B 错；在加速上升阶段，由牛顿第二定律知， F －mg ＝ma ，F ＝m (g ＋a ) 第①次在t 0时刻，功率P 1＝F ·v 0， 第②次在t 02时刻，功率P 2＝F ·v 02，第②次在匀速阶段P 2′＝F ′·v 02＝mg ·v 02＜P 2，可知，电机输出的最大功率之比P 1∶P 2＝2∶1，C 对；由动能定理知，两个过程动能变化量相同，克服重力做功相同，故两次电机做功也相同，D 错．三、考情揭秘近几年高考命题点主要集中在正、负功的判断，功率的分析与计算，机车启动模型，题目具有一定的综合性，难度适中．高考单独命题以选择题为主，综合命题以计算题为主，常将动能定理与机械能守恒定律、能量守恒定律相结合．应考策略：备考中要理解功和功率的定义，掌握正、负功的判断方法，机车启动两类模型的分析，动能定理及动能定理在变力做功中的灵活应用．动能定理仍是2020年高考的考查重点，要重点关注本讲知识与实际问题、图象问题相结合的情景题目．四、定考点，定题型超重点突破 1 功和功率的分析与计算1．功和功率的计算 (1)功的计算①恒力做功一般用功的公式或动能定理求解。

恒力与变力做功---高中物理模块典型题归纳（含详细答案）一、单选题1.如图所示，在水平地面上用F1水平拉动质量为m的物体匀速运动x所做的功为W1，第二次用与水平地面成θ的F2拉动同一物体匀速运动x所做的功为W2;则有（）A.W1 > W2B.W1 < W2C.W1 = W2D.W1≤ W22.一个人从深4m的水井中匀速提取50N的水桶至地面，在水平道路上行走了12m，再匀速走下6m深的地下室，则此人用来提水桶的力所做的功为（）A.500JB.1100JC.100JD.﹣100J3.如图所示，在天花板上的O点系一根细绳，细绳的下端系一小球．将小球拉至细绳处于水平的位置，由静止释放小球，小球从位置A开始沿圆弧下落到悬点的正下方的B点的运动过程中，下面说法正确的是（）A.小球的向心力大小不变B.细绳对小球的拉力对小球做正功C.细线的拉力对小球做功的功率为零D.重力对小球做功的功率先变小后变大4.两个质量相等的物体，分别从两个高度相等而倾角不同的光滑斜面顶从静止开始下滑，则下列说法正确的是：（）①到达底部时重力的功率相等②到达底部时速度相等③下滑过程中重力做的功相等④到达底部时动能相等A.②③④B.②③C.②④D.③④5.关于力、位移和功三个物理量，下列说法正确的是（）A.力、位移和功都是矢量B.力是矢量，位移和功是标量C.力和位移是矢量，功是标量D.位移是矢量，力和功是标量6.如图所示，物体沿弧形轨道滑下，然后进入足够长的水平传送带，传送带始终以图示方向匀速转动，则传送带对物体做功的情况不可能的是()A.始终不做功B.先做正功后做负功C.先做正功后不做功D.先做负功后不做功7.一质量为m的物体，同时受几个力的作用而处于静止状态．某时刻其中一个力F突然变为，则经过t时刻，合力的功率的大小是()A. B. C. D.8.如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线成水平状态过程中，拉力F做功为（）A.FLB.C.mgLD.09.一物块在水平恒力F作用下沿水平面ABC直线运动。

变力做功问题的计算规律方法 公式c o s W F s q =适用于恒力做功的计算．对于变力做功，一般有以下几种方法：法：1.微元法：对于变力做功，不能直接用cos W F s q =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用cos W F s q =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功．这种处理问题的方法称为微元法．在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功问题．段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功问题．2.平均力法：如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，再利用功的定义式求功．均值（恒力）代替变力，再利用功的定义式求功．此种情况也可以做出F 随位移L 变化的图象，图象与位移轴所围的“面积”即变力做功的大小．的大小．3.利用功能关系法：求变力所做的功，往往根据动能定理、机械能守恒定律和功能原理等规律，用能量的变化量等效代换变力所做的功．这种方法的优点是不考虑变力做功过程中力的大小及方向变化的细节，力的大小及方向变化的细节，只考虑变力做功的效果只考虑变力做功的效果―――能量变化，解题过程简捷，是求变力功的首选方法．变力功的首选方法．4．利用W ＝P t 求功这是一种等效代换的观点，用W ＝Pt 计算功时，必须满足变力的功率是一定的．是一定的．1.微元法典例 一机车以恒定功率P 拖着质量为m 的物体，沿半径为R 的水平圆轨道由静止开始运动一周所用的时间为t ，如图1所示．所示．已知物块与轨道已知物块与轨道间的动摩擦因数为，求物块获得多大的速度？，求物块获得多大的速度？【精析】物体在运动过程中受到重力、支持力牵引力和摩擦力，其中重力和支持不做功，牵引力做正功、功，牵引力做正功、摩擦力做负功，摩擦力做负功，摩擦力做负功，且牵引力和摩擦力都是变力，且牵引力和摩擦力都是变力，且牵引力和摩擦力都是变力，都不能直接根据功的公式都不能直接根据功的公式求解．求牵引力做功可根据功率求出W ＝Pt ．求摩擦力的功用微元法．我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果．果．把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功就等于各小段上做功的代数和，做的功就等于各小段上做功的代数和， 即f W =－2πμmgR ①求物体运动一周的速度可由动能定理求解．求物体运动一周的速度可由动能定理求解．由动能定理：212f Pt W mv -= ② 联立①②解得：2(2)Pt mgR v mpm-=2.平均力法典例 静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为处时的动能为 （ ） F x x 0 O F m F • O x 0 图2－甲－甲图2乙A ．0 B ．021x F m C ．04xF mpD ．204x p【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积由图象知半圆形的面积为04m F x p．C 答案正确．答案正确． 3.利用功能关系法：典例 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KBC ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KB 【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈A ≈AB B ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD. 4．利用W ＝P t 求功典例 如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．在下列三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F 做的功各是多少？做的功各是多少？⑴用F 缓慢地拉；缓慢地拉； ⑵F 为恒力；为恒力；⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零．为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零． 可供选择的答案有可供选择的答案有A.q cos FLB.q sin FLC.()q cos 1-FLD.()q cos 1-mgL【精析】⑴若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解．F 做的功等于该过程克服重力做的功．选D ⑵若F 为恒力，则可以直接按定义求功．选B ⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的．选B 、D 在第三种情况下，由q sin FL =()q cos 1-mgL ，可以得到2tan sin cos 1q qq =-=m g F，可见在摆角为2q-时小球的速度最大．实际上，因为F 与mg 的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”．θLmF。

恒力做功和变力做功专题1关于功德概念，下列说法中正确的是（）A力对物体做功多，说明物体的位移一定大B力对物体做功少，说明物体的位移一定少C力对物体不做功，说明物体一定无位移D功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的2大小相等的拉力分别作用于原来静止、质量分别为m1和m2的物体A和B上，使A沿光滑水平面运动了位移s，使B沿粗糙水平面运动同样的位移，则拉力对A、B做功w1和w2相比较A W1>W2B W1< W2C W1=W2 D无法判定3关于摩擦力的功，下列说法正确的是A静摩擦力总是做正功，滑动摩擦力对物体一定做负功B静摩擦力对物体不一定做功，滑动摩擦力对物体一定做功C静摩擦力对物体一定做功，滑动摩擦力对物体可能不做功D静摩擦力和滑动摩擦力都可能对物体不做功4质量为m的物体始终静止在倾角为θ的斜面上，如图所示，下列说法正确的是A若斜面向右匀速移动距离s,斜面对物体没做功B若斜面向上匀速移动距离s,斜面对物体做功mgsC若斜面向左以加速度a移动距离s,斜面对物体做功mgsD若斜面向下以加速度a移动距离s,斜面对物体做功m(g+a)s5质量为m的物体，在水平力F的作用下，在粗糙的水平面上运动，下列说法正确的是A若物体做匀速直线运动，F一定对物体做正功B若物体做匀加速直线运动，F一定对物体做正功C若物体做匀减速直线运动，F一定对物体做负功D若物体做匀减速直线运动，F也可能对物体做负功6．如图5-14所示的四种情况中，A、B两物体相对静止，一起向右运动，则[]A．情况甲中，A、B间的摩擦力对A做正功B．情况乙中，A、B间的摩擦力对B做负功C．情况丙中，A、B间的摩擦力对B做正功D．情况丁中，A、B间的摩擦力对A做负功7倾角为θ的斜面上有一个质量为m的物体，在水平推力F作用下沿斜面滑行距离s（图4-5）．设物体与斜面间动摩擦因数为μ，则推力的功[]A．Fssinθ．B．Fscosθ．C．μmgscosθ．D．（mgsinθ+μmgcosθ）s．8．某人用50N的恒力F，通过动滑轮把重物拉上斜面，如图所示，用力方向始终与斜面成60°角．将物体沿斜面向上移动1m，他所做的功为A．25J B．50J C．75J D．条件不足，无法计算9起重机吊钩下挂着一个质量为m的木箱，如木箱以加速度a匀减速下降高度h，则木箱克服钢索拉力做的功为[]A．mgh．B．m（g-a）h．C．m（g+a）h．D．m（a-g）h．10如图所示木板OA水平放置，长尾L，在A处放一个质量为m的物块，现绕O点缓慢抬高A端，直到木块与水平面成α角时停止转动。

专题一：变力做功的计算（一）变力做功的常见方法：1、将变力做功转化为恒力做功：（1）通过连接点的联系将变力做功转化为恒力做功——等值法；（2）力大小不变、方向与速度方向夹角恒定的变力转化为恒力做功——微元法； （3）方向不变、大小与位移均匀变化的变力做功，利用求平均力做功转化为恒力做功——平均值法或F x -图像法（力—位移图像围成的面积表示力做功的值。

） 2、功率不变的力做功W Pt =。

典型题例：1—1：化变力为恒力——等值法1、如图所示，光滑的定滑轮到滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F (恒定)，滑块沿水平面由A 点前进s 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

2、人在A 点拉着绳通过光滑的定滑轮，吊起质量m ＝50kg 的物体，如图所示，开始绳与水平方向的夹角为60°，当人匀速地提起物体由A 点沿水平方向运动2x m =而到达B 点，此时绳与水平方向成30°角，取210/g m s =，求人对绳的拉力所做的功。

1—2：化变力为恒力——微元法1、在机械化生产水平较低的时期，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，假设驴拉磨的平均用力大小为500 N ，动的半径为1 m ，则驴拉磨转动一周所做功为( )A .0B .500 JC .500π JD .1 000π J2、如图所示，一质量为2m kg =的物体从半径为5R m =的圆弧的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）。

拉力F 大小不变始终为15N ，方向始终与物体在该点的切线成37°角，圆弧所对应的圆心角为60°，BO 边为竖直方向。

取210/g m s =。

求这一过程中：（1）重力mg 做了多少功？（2）圆弧面对物体的支持力N 做了多少功？ （3）拉力F 做了多少功？（4）圆弧面对物体的摩擦力f 做了多少功？1—3、化变力为恒力——平均值法、F x -图像法1、如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一个质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k 、初始时刻处于自然状态。

1.恒力做功的求法一个恒力 F 对物体做功W＝Fl cosα有两种处理方法：(1) W等于力 F 乘以物体在力F方向上的分位移lcos α，即物体的位移分解为沿F方向上和垂直于 F 方向上的两个分位移l1和l2，则F做的功W＝F·l1＝Flcos α；(2) W等于力F在位移l方向上的分力Fcos α乘以物体的位移l，即将力 F 分解为沿l 方向上和垂直于l 方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1·l＝F cos α·l。

功的正、负可直接由力 F 与位移l 的夹角α的大小判断。

2．总功的计算方法物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力 F 合，然后由W＝F 合lcos α计算。

(2)由W＝Fl cos α计算各个力对物体做的功W1 、W2、⋯、W n，然后将各个外力所做的功求代数和，即W 合＝W1＋W2＋⋯＋W n。

3．变力做功的计算方法恒力做功可直接用功的公式W＝Fl cos α求出，变力做功一般不能直接套用该公式，求变力做功的方法如下：(1)将变力做功转化为恒力做功。

①分段法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。

②微元法：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。

例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。

4．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( ) A．0 B．－FhC．－2Fh D．－4Fh③转换研究对象法：如图7-1-5 所示，人站在地上以恒力拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功。

五种方法搞定变力做功一.微元法思想。

当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。

例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。

求此过程中摩擦力所做的功。

思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。

如：弹簧的弹力做功问题。

例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。

功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。

例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。

1专题二：变力做功的几种解题方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。

例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。

T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。

由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为：βαsin sin 21h h S S S -=-=∆ )sin 1sin 1(.βα-=∆==Fh S F W W F T 2、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例2 、如图2所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：A 、 0JB 、20πJC 、10JD 、20J.分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ=，故B 正确。

专题一：变力做功的求解1—微元法目标：1.知道功的计算公式适用于恒力做功。

2.理解微元法的思想。

3.能根据微元法解决简单的变力做功的问题。

知识梳理：微元法求解变力做功：将变力做功的空间(位移)无限划分为相等的小段，在每小段过程中变力可近似看作恒力，每小段过程中功可由公式cos W Fl α=计算，整个过程中变力的功就是各小段“恒力”功的总和。

解题方法与策略：将物体做功过程分割成一个个元过程，每个元过程中，变力做功可近似看作恒力做功，这是微分的思想，再将各段元功累加求和，这是积分的思想。

此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。

典型例题例1：如图所示，用水平拉力拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，已知滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，滑块质量为m ，求此过程中摩擦力做的功。

例2：如图所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦阻力为压力的k 倍，试求在小车从轨道最低点运动到最高点的过程中克服摩擦阻力做的功。

练习：1.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力大小恒为F ，则在从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ） A ．0 B ．－Fh C ．Fh D ．－2Fh2.如图所示，用长l 、不可伸长的细线把质量为m 的小球悬挂于O 点，将小球拉至悬线偏离竖直方向a 角后放手，运动t 时间后停在最低点，则在时间t 内（ ）A.小球重力做功为(1cos )mgl α-RRvαB.空气阻力做功为 cos mgl α-C.小球所受合力做功为 s mgl in αD.细线拉力做功的功率为(1cos )mgl tα-3.新中国成立前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用。

如图所示，假设驴拉磨的力F 总是与圆周轨迹的切线共线，若运动的半径为R ，则驴拉磨转动一周所做的功为（ ）A. 0B. FRC. 2πFRD.无法判断4.在水平面上有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R/2和R 的两个半圆构成，如图所示，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球的运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（ ） A. 0 B. FRC. 32FR πD. 2FR π5.如图所示，物块分别两次从凹形曲面上A 处滑至最低处B ，若第一次下滑时的初速度大于第二次，则物块两次下滑时克服摩擦阻力所做的功相比（ ） A.第一次大 B.第二次大 C.两次一样 D.无法确定6.如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为l ，把悬线拉到水平位置后静止释放。

求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。

如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。

但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。

一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。

例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。

分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。

但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。

因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。

由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。

则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。

如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。

例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。

物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。

物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。