五种方法搞定变力做功问题

有关变力做功问题的求解在整个高中物理教学和学习中，力学问题是高中物理学习的基础，是重点，也是难点。

而在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。

那么变力做功的情况有那些？又如何来求解呢？下面就根据本人在高中物理教学中一点所得进行简单的总结。

1，运用等值法求变力做功求某个过程中的变力做功，可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功，即该变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。

等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。

一般在某一恒力F 通过轻绳或轻杆在不受任何摩擦的情况下给某一物体的变力做功就等于该恒力做的功。

此时可用功定义式W ＝ cos Fs 求恒力的功，从而可知该变力的功。

这里要特别提醒的是，这种方法一般只用于求解大小恒定方向变化的变力做功问题。

例1、如图1所示，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为恒定F ，滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 大小也等于T 。

T 在对物体做功的过程中大小不变，但其方向在时刻改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。

解：由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中拉力F 的作用点位移大小为：△S=S 1-S 2=h/sin α-h/sin β所以：W T =W F =F △S=Fh(1/ sin α-1/ sin β)2，运用微元法求解变力做功当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角或者说力的方向与速度方向的夹角不变，且力与速度的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

求变力做功的8种思路张家港市塘桥高级中学施 坚功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程．物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，就叫做力对物体做了功． αcos Fs W =，式中F 应是恒力．但实际问题中经常遇到变力，那变力做功如何求解呢？下面结合典型问题，指明求变力做功的八种思路．思路1、微元法：若参与做功的变力，其仅力的大小不变，而方向改变，且力与位移的夹角确定不变，则可通过微分累积W N W ∆⋅=求解．【例1】 在一粗糙的水平面上，动摩擦因素为μ，一小滑块质量为m 在某小孩手的水平拉力的作用下做匀速圆周运动，则一小滑块转动一周的过程中，水平拉力、摩擦力分别做功多少？[解析]：手的水平拉力始终在圆周的切线方向上，故可以把圆周均匀分割成N 段（N 足够大），每段位移为s ∆，则每一小段s ∆上都可以认为水平拉力（滑动摩擦力）方向不变且与位移s ∆方向一致（相反），且mg f F μ==．每一小段上拉力做功s F W∆⋅=∆，所以，Rmg R F s N F W N W W f F πμπ22⋅=⋅=∆⋅⋅=∆⋅==，即：水平拉力、摩擦力分别做功：R mg πμ2，R mg πμ2－．点评：手的拉力和摩擦力是变力，但经微分后将变力转化为恒力，再用公式求解．思路2、均值法：若参与做功的变力，其仅力的大小改变，而方向不变，且大小随位移线性变化，则可通过求出变力的平均值等效代入公式θscos F W =求解．【例2】 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ．问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）[解析]：此题可根据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代．铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，kx f F =-=，可用平均阻力来代替． 如图1-1，第一次击入深度为1x ，平均阻力1121kx F =，做功为2111121kx x F W ==．第二次击入深度为1x 到2x ，平均阻力)(21212x x k F +=，位移为12x x -，做功为)(21)(21221222x x k x x F W -=-=．两次做功相等：21W W =．得：cm x x 41.1212==，即：cm x x x 41.012=-=∆．点评：对于线形变化的变力，可以取其平均值，将变力转化为恒力，进而求该力的功． 思路3、图象法（示功图求解）：若参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小随时变化，我们可作出该力随位移变化的图象．如图1-2，那么所示的阴影面积，即为变力做的功．【例3】图所示，做直线运动的物体所受的合外力与物体运动距离的对应关系．已知物体的质量为kg 4.10．开始处于静止状态，求s 12末物体的速度多大？[解析]：物体所受的合外力是变力．根据s F -图中曲线下所围的“面积”表示力的功的物理意义，可求得）（）（）（总J W 52612426622=-⨯+-⨯+⨯=，再由动能定理求得102==mW v 总)/(s m点评：根据示功图中曲线所围的“面积”表示功的物理意义，直接求变力的功．例2也可以利用图象法，类似匀变速直线运动的t v -图象而作出x F -图象．[解析]：因为阻力kx F =，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出x F -图象（图1-4），曲线上面积的值等于F 对铁钉做的功．由于两次做功相等，故有：21S S =（面积），即：))((2121121221x x x x k kx -+=，即：cm x x x 41.012=-=∆．思路4、t P Pt W==公式法：已知恒定功率或平均功率的条件下，机车等的变力做功转化为功率求解，化难为易．【例4】 质量为M 的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为1v 时，立即以不变的功率行驶，经过距离s ，速度达到最大值2v ．设汽车行驶过程中受到的阻力f 始终不变．求汽车的速度由1v 增至2v 的过程中所经历的时间及牵引力做的功．[解析]：汽车以恒定功率运动，此过程中的牵引力是变力．当加速度减小到0时，即牵引力等于阻力时，速度达到最大值．由于汽车的功率恒定，故变力（牵引力）的功可用Pt W=计算．对汽车加速过程中由动能定理有22122Mv Mv fs Pt -=-又2P f = 联立得：221222)(v s P v v M t +-=22122)(v Ps v v M Pt W +-==点评：运用Pt W =，将恒定功率作用下的机械做功转化为易确定的因素，另辟蹊径． 思路5、动能定理法：若参与做功的变力，方向与大小都变化，导致无法直接由αcos Fs W =求变力F 做的功．这时可利用动能定理：αscos F W 合总合=∆==k E W ；但此法只能求合力做的功．【例5】 如图所示，质量为m 的物体被细绳牵引着在光滑水平面上做匀速圆周运动，O 为一光滑孔，当拉力为F 时，转动半径为R ；当拉力为8F 时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为2R ，在此过程中，外力对物体做的功为： A ．27FRB 、47FR C 、23FR D 、FR 4 解析：该题显然是一个变力问题，但通常有学生利用平均力法求解，即θscos F W =．此题中绳上拉力需提供向心力，方向时刻改变，不能利用平均力法求解．则可以从功能关系入手，而且绳上拉力是合外力，则动能定理：20212121mv mv W -=合，又圆周运动：Rv mF 02=；2821R v m F =，结合以上三式，得：FR FR FR mv mv W 2321221212021=-=-=合．故选C ．点评：对于物体的始末状态的动能是已知的，则在这种情境下的变力做功用动能定理显得方便简捷．思路6、功能关系法：能是物体做功的本领，功是能量转化的量度．因此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解．【例6】 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点，如图所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ，则拉力F 所做的功为：A ．θcos mgLB ．()θcos 1-mgLC ．θsin FLD ．[解析]：解物理题必须注意把握题中的关键词，比如此题中“很缓慢”三字，表明拉力F 所做的功并未增加物体的动能，根据题意恰恰是提高了势能，即：)cos 1(θ-=∆=mgl E W P F （或理解成据功能原理：F 的功增加了小球的机械能），B 正确．C 选项则是利用了恒力做功公式W=Fscos θ，但事实上F 不是恒力．如图，三球受T mg F 、、，且θmgtg F =，则在上拉过程中，↑↑F ,θ．C 选项不正确．故选B ．点评：如果系统所受的外力和内力（除重力、弹力外）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，且这些力中有变力做功，机械能的增量易求，用功能关系（或功能原理）求解简便． 思路7、等效替代法：等效思想是物理教学中一种重要思维方法．当恒力与变力大小相等且在做功数值上相等情况下，可以用恒力替代变力求功．【例7】 如图所示，某人用大小不变的力F 拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角为α，经一段时间后，绳与水平面间的夹角为β，已知图中的高度为h ，求绳的拉力T 对物体做的功．（绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计）[解析]：物体由初态运动到终点，所受的绳子拉力是变力（变方向），但在题设条件下，人的拉力F 对绳的端点做的功就等于绳的拉力T 对物体做的功．故可用恒力F 的功替代变力T 的功．绳端的位移大小为)sin 1sin 1(21βα-=-=∆h s s s 则：)sin 1sin 1(βα-=∆⋅==Fh s F W W F T点评：当恒力与变力大小相等且在做功数值上相等情况下，可以用恒力替代变力求功． 思路8、借助守恒定律求解：能量守恒定律、机械能守恒定律是物理学中极为重要的规律，为求功提供了另一条重要思路，尤其是变力做功问题．【例8】 如图所示，一根轻的刚性杆长为l 2，中点和右端各固定一个质量为m 的小球，左端O 为水平转轴．开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动，求从开始释放到摆到竖直位置的过程中，杆对B 球做了多少功？[解析]：如果没有A 球，杆上只有B 球，摆到最低点B 球的速度为1v ，根据机械能守恒定律有.21212mv l mg =所以gl v 21= 现在杆上有A 、B 两球，设摆到最低点时B 球速度为2v ，则A 球速度为22v ，系统仍满足机械能守恒的条件，有22.22)2(21212v m mv mgl l mg +=+ 解出gl v 5242=B 球两次末动能之差就是轻杆对B 球做的功，即mgl mv mv W B 5221212122=-=杆对 点评：系统内只有重力和弹力做功，当弹力是变力时，求这个变力功可借助能量守恒定律（尤其是机械能守恒定律）．小结：变力做功的求解对学生的思维鉴别力、跳跃性提出了较高的要求，采用平均力法、图象法、动能定理还是功能关系，必须对物理情景分析透彻，而后决定取舍．当然．有时方法不是单一的，如例2，而且适当地一题多解可以提高学生的思维深度和开阔性．图8。

求解变力做功的几种常用方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W＝Flcos α，但是只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也是经常考查的一类题目。

现结合例题分析变力做功的五种求解方法。

方法一：化变力为恒力求变力功变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解。

此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

【题目】如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。

已知图中的高度是h，求绳的拉力T对物体所做的功。

假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计。

【解析】本题中，显然F与T的大小相等，且T在对物体做功的过程中，大小不变，但方向时刻在改变，因此本题是个变力做功的问题。

但在题设条件下，人的拉力F对绳的端点(也即对滑轮机械)做的功就等于绳的拉力T(即滑轮机械)对物体做的功。

而F的大小和方向都不变，因此只要计算恒力F对绳做的功就能解决问题。

设绳的拉力T对物体做的功为WT，由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F作用的绳端的位移的大小为则可知拉力做功为方法二：用平均力求变力功在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F平均=（F1+F2）/2,恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W=F平均Lcosθ求此力所做的功。

【题目】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。

问此钉子全部进入木板需要打击几次？【解析】在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

求变力做功的方法以求变力做功的方法为标题，我们来探讨一下。

第一种方法是应用直接施力。

当我们需要对物体施加力量时，可以直接使用肌肉力量来推动或拉动物体，这样就能够对物体做功。

比如，我们可以用手推动一辆停在原地的自行车，或者拉动一个重物。

第二种方法是应用杠杆原理。

杠杆是一种简单机械装置，可以将施加的力放大。

通过调整杠杆的长度或角度，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用杠杆原理来举起一个重物，或者将一个重物推离地面。

第三种方法是应用滑轮系统。

滑轮系统是一种机械装置，可以改变力的方向和大小。

通过使用滑轮组合，我们可以改变施加在物体上的力的方向和大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用滑轮系统来举起一个重物，或者将一个重物推离地面。

第四种方法是应用斜面原理。

斜面是一种简单机械装置，可以减小施加在物体上的力的大小。

通过调整斜面的角度，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用斜面来推动一个重物上斜面，或者将一个重物从斜面上滑下来。

第五种方法是应用弹簧原理。

弹簧是一种弹性体，可以储存和释放能量。

通过压缩或拉伸弹簧，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用弹簧来推动一个重物，或者将一个重物弹射出去。

第六种方法是应用气压原理。

气压是气体分子对容器壁面的压力。

通过调节气压，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以利用气压来推动汽车或自行车的轮胎，从而使其前进。

第七种方法是应用电力原理。

电力是电流通过导体时所产生的能量。

通过控制电流的大小和方向，我们可以改变施加在物体上的力的大小和方向，从而实现对物体做功。

比如，我们可以利用电力来推动电动机，从而使机器工作。

以上所提到的方法只是其中的几种常见方法，实际上还有很多其他方法可以实现对物体做功。

无论采用哪种方法，我们都要根据具体情况选择合适的方法，并合理应用力量，以实现对物体的目标操作和做功。

求变力做功的六种方法都匀市民族中学：王方喜在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。

本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式PtW=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。

一、运用微元积累(求和)法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。

由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。

用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。

例1如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图1-1【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）＝Ｆ2πＲ【总结】变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

【检测题1-1】如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？图1-2 【检测题1-2】小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．二、运用平均力等效法求变力做功当力的方向不变，而大小随位移线性．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值221FFF+=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。

变力做功的探讨功的计算，在高中物理中占有十分重要的地位，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又经常涉及到此类问题，而高考中又经常涉及到此类问题，而高考中又经常涉及到此类问题，但由于高中阶段所学的功的计但由于高中阶段所学的功的计算公式a cos Fs W =只能用于恒力做功情况,对于变力做功或物体运动轨迹是曲线时，不能用a cos Fs W =来计算功的大小。

常见的方法有以下几种：微元法、平均力法、图象法、等值法和能量转化的办法。

一：微元法 一些变力一些变力((指大小不变指大小不变,,方向改变方向改变,,如滑动摩擦阻力如滑动摩擦阻力,,空气阻力空气阻力),),),在物体做曲线运动或往复运动过程中在物体做曲线运动或往复运动过程中在物体做曲线运动或往复运动过程中,,这些力虽然方向变这些力虽然方向变,,但每时每刻与速度反向但每时每刻与速度反向,,此时可化成恒力做功此时可化成恒力做功,,方法是分段考虑方法是分段考虑,,然后求和然后求和..老驴拉磨时拉力做功跟圆周运动时向心力做功是否一样？“微分”的方法，将运动轨迹细分为若干段，就可以将每一段可以看作直线，在这一过程中的变力当作恒力，以“恒定”代“变化”，以“直”代“曲”，再根据nnn s F s F s F Waaacos cos cos 222111+¼¼++=来求变力的功。

例题1：如图1，某人用大小不变的力F 转动半径为R 的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。

解：在转动的过程中，力F 的方向上课变化，但每一瞬时力F 总是与该时刻的速度同向，那么F 在每一瞬时就与转盘转过的极小位移s D 同向，因此无数的瞬时的极小位移n ss s s D ¼¼D D D ，321,,，都与F 同向。

在转动的过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做的功的代数和，有：FRs s s s F s F s F s F s F W nnp 2)(321321=D +¼¼+D +D +D =D +¼¼+D +D +D = 二等值法等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

五种方法搞定变力做功一.微元法思想。

当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。

例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。

求此过程中摩擦力所做的功。

思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。

如：弹簧的弹力做功问题。

例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。

功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。

例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。

[求解变力做功的五种方法]变力做功1.微元法适用于大小不变的力所做功的计算，此种情况可以通过分割求和的物理方法来求变力的功。

把曲线运动分成若干小段，每一小段上都可认为是恒力做功，再累计求和。

计算时由于力的大小不变，在累加时可以提出来，剩下的各小段累加得到的结果就等于物体通过的总路程。

我们可以通过力与物体通过的路程及其夹角的乘积来计算这一情况下大小不变的力所做功的问题。

如图所示，某个力F=10N作用于半径为R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力做的总功为（）。

A.0JB.20JC.10JD.20J解析：分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功。

可以把圆弧分成1、2、3。

，总功W=F1+ F2+ F3+。

= F（1+2+3+。

）= F·2R=20J。

故答案为：B。

2.平均法对方向不变、大小随位移发生线性变化（即力与位移成一次函数关系）的力做功问题，可以通过平均力来计算这种变力的功。

这种方法也可以用来求解弹簧的弹力做的功。

用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。

已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是多少？解析：钉子钉入木板过程中随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题。

由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理。

．据题意可得第一次打击有：；第二次打击有：。

由以上两式可得。

用图象法求解变力做功问题在F—图象中，图线与坐标轴围成的面积表示功。

对于方向不变，大小随位移线性变化的力，作出F—图象，求出图线与坐标轴所围成的面积，就求出了变力所做的功。

一立方体木块，边长0．2m，放在水池中，恰在此时有一半浮出水面而处于静止状态，若池深1m，用力将木块慢慢推至池底，在这一过程必须对木块做多少功？（水的密度）解析：木块的重力。

作出整个过程的F-图象，梯形面积即为变力的功，有。

高中物理：变力做功怎么求？功的求法是高中物理教学的重点和难点之一，教材上的公式：，只适用于恒力做功的情况，对于某些变力做功的问题，在高中阶段也要求学生掌握，而学生遇到变力做功的问题时，常常感到无处着手。

下面，对变力做功求解方法的问题进行总结：方法一：微元累积法将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。

此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变或者方向不变、大小改变的变力做功问题。

例1、如图1所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。

解析：将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图2所示，元功，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即方法二：力的平均值法当某个力的方向不变，但其大小随位移均匀变化时，可以用力的初始值F1和末状态值F2的平均值来计算变力所做的功。

例2、如图3所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的弹簧左端固定在竖直墙上，右端系着一小球，弹簧处于自然状态时，小球位于O点，今用外力压缩弹簧，使其形变量为x，当撤去外力后，求小球到达O点时弹簧的弹力所做的功。

解析：弹簧的弹力为变力，与弹簧的形变量成正比，在题设条件下，弹力的初始值为，终值为，故弹力的平均值为，则弹力所做的功。

方法三：图像法在题设情况下，如果能找出力F与位移s的函数关系，则在F－s 的平面直角坐标系中，作出F随s变化的图像，那么，图像与横坐标轴所围成的图形的面积即是F对物体在某一段位移上所做功的数值。

例3、用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起质量为20kg 的重物，在这个过程中至少要做多少功（取g＝10m/s2）解析：在吊起重物的过程中，作用在重物和铁索上的力至少应等于重物和铁索的重力，但在吊起过程中铁索的长度逐渐缩短，故拉力也逐渐减少，即拉力是一个随距离变化的变力，拉力随深度s的变化关系为所以力随距离是均匀变化，作出拉力的F－s图线，则拉力所做的功可以用图4中梯形的面积来表示显然，此题亦可以用方法二求解。

第26点求解变力做功的“五法”1．变力的功＝力×路程当力的大小不变而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力所做的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力等做的功．2．变力的功＝平均力×x cos α当力的方向不变，大小随位移线性变化时，可先求出力的平均值F＝F1＋F22，再由W＝F x cos α计算．3．变力的功＝功率×时间当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功．4．变力的功＝“面积”作出变力F随位移x变化的图像，图像与横轴所夹的“面积”即为变力做的功，如图1中阴影部分所示．图15．变力的功＝动能变化－其他恒力所做的功当物体受到变力(也可只受变力)及其他恒力作用引起物体的动能发生变化时，根据动能定理知，变力的功等于动能变化减去其他恒力所做的功．对点例题如图2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨．假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？图2解题指导因力F的大小恒定，且始终与运动方向相同，故F的功等于力乘以路程，即W＝F·2πL＝2πFL答案2πFL一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图3中给出了拉力随位移变化的关系图像．已知重力加速度g＝10 m/s2.根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有()图3A．物体与水平面间的动摩擦因数B．合外力对物体所做的功C．物体匀速运动时的速度D．物体运动的时间答案ABC解析物体做匀速运动时，受力平衡，则f＝F＝7 N；再由滑动摩擦力公式可求得物体与水平面间的动摩擦因数；故A正确；4 m后物体做减速运动，图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功，则由图像中减速过程包括的方格数可知拉力所做的功；再由摩擦力与位移的乘积求出摩擦力的功；则可求得总功；故B正确；已求出物体合外力所做的功；则由动能定理可求得物体开始时做匀速运动时的速度；故C正确；由于不知道具体的运动情况，无法求出减速运动的时间，故D错误．。

求解变力做功的八种方法在物理学中，做功是指力对物体施加作用力并使其产生位移的过程中所做的功。

而当作用力是变化的时候，求解变力做功就变得相对复杂。

本文将介绍八种常用的方法来求解变力做功问题，帮助读者更好地理解这一物理概念。

一、分割法分割法是将变力分割成多个小的力，然后分别计算每个小力在相应的位移上所做的功，再将它们累加起来。

通过将变力离散化，我们可以近似所需求解的变力做功。

二、辅助函数法辅助函数法是将变力关于位移进行积分，得到一个辅助函数，再通过求导的方法求解变力做功。

这个方法需要对变力进行积分和求导，适用于一些特殊的变力情况。

三、力的分解法力的分解法是将变力分解成两个简化的力，一般是平行和垂直于位移的力，然后分别计算每个简化力在相应的位移上所做的功，再将它们相加。

通过将变力进行分解，我们可以将复杂的问题简化为分别求解两个力的功的问题。

四、动能定理法动能定理法利用了动能的变化与外力做功的关系，即外力做功等于物体动能的变化。

通过对物体的动能变化进行分析，我们可以求解变力做功的问题。

五、引入势函数法引入势函数法是将变力与势函数建立联系，通过势函数的导函数来求解变力做功。

这个方法需要找到一个合适的势函数，适用于一些具有简单势函数形式的变力情况。

六、平均值法平均值法是将变力近似为一个平均力，然后计算该平均力在整体位移上所做的功。

虽然这种方法只是对变力做功的近似，但在一些情况下可以提供一个比较准确的结果。

七、图形法图形法是通过绘制力与位移之间的图形来求解变力做功。

通过图形分析，我们可以计算图形下的面积或曲线的积分，进而得到变力做功的值。

八、牛顿第二定律法牛顿第二定律法利用了牛顿第二定律与功的关系，即力乘以位移等于质量乘以加速度乘以位移。

通过将力进行分解，我们可以将变力做功的问题转化为求解加速度和位移的问题。

综上所述，以上八种方法是常用的求解变力做功的方法。

在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法求解变力做功问题，可以帮助我们更好地理解力学中的变力概念，并解决具体的物理问题综合上述八种方法，我们可以看出，求解变力做功问题的方法有多种多样，每种方法在不同情况下都有其适用性和限制性。

求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。

下面将介绍十种常见的变力做功的方法。

1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。

通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。

这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。

当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。

推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。

3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。

例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。

弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。

通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。

因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。

5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。

抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。

重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。

6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。

通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。

磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。

例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。

引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。

例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。

中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。

变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。

一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。

但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。

例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。

求此过程中摩擦力所做的功。

图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。

图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。

误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。

必须注意本题中的F是变力。

小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。

如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。

［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。

则转动半圆，这个力F做功多少？图3答案：31.4J。

二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。

如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。

经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W ＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4（b）所示）。

专题:变力做功根据变力的特点，求变力做功的五种常用方法（1）平均值法：当力F的仅大小发生变化，且F与s成线性关系（F随s均匀变化）时，F的平均F̅=F1+F22，用W=F̅∙s计算F做的功。

典型模型：弹簧（2）图象法：如果知道力F随位移s的变化规律即图像，变力F做的功W可用F−s图线与s轴所围成的面积表示。

功的正负由力和位移方向判断。

如下图，阴影部分即为功的大小。

例：如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接个物块，弹簧质量不计。

物块（可视为质点）的质量为m，在水平面上沿x轴运动，与水平面间的动摩擦因数为μ。

以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为劲度系数。

当物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，求在这个过程中，弹所做的功。

x1→x3：F̅1=F1+F32=k(x1+x3)2, W1=−F̅1(x3−x1)=−k(x32−x12)2x3→x2：F̅2=F2+F32=k(x2+x3)2, W1=F̅2(x3−x2)=k(x32−x22)2⟹W=W1+W2=k(x12−x22)2例：在上例中请画出F随x变化的示意图；并根据F−x图象求物块沿x轴从O点运动到位置x1的过程中弹力所做的功。

图像如图：W=12F1x1=12kx12（3）分段法（或微元法）：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W=Fs路（或W=−Fs路）。

空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理。

如图：力F 大小不变，方向始终沿着两个14圆形玻璃管将一个小球拉至最高点过程中，拉力做功：W=F×π2(R+r)又如：小球以一定初速度向上抛出，受到的空气阻力始终为重力的110，则最终小球静止在地面上，则阻力对小球做的功W=−fs路（4）等效替代法（或转换法）：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来替代变力做的功。

求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。

如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。

但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。

一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。

例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。

分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。

但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。

因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。

由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。

则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。

如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。

例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。

物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。

物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。

ʏ李鹏飞公式W =F l c o s α只适用于恒力做功的计算,若遇到的是变力做功问题该怎样计算呢?下面我们就结合例题来剖析求解变力做功的六种常见方法,供同学们参考㊂方法一:等效替代法若通过转换研究对象能找到一个与待求变力做的功相同的恒力,则可以利用公式W =F l c o s α计算出该恒力做的功,间接求得变力做的功㊂这种将变力做功转换成恒力做功的求解方法叫等效替代法㊂例1 如图1所示,某人用跨过定滑轮的细绳以恒力F 拉着放在水平面上的滑块,使其沿着水平面由A 点前进距离l 后到达B 点㊂已知滑块在A ㊁B 两点时,细绳与水平方向间的夹角分别为α和β,滑轮到滑块的高度为h ,不计细绳与滑轮之间的摩擦和细绳的重力㊂求在这一过程中细绳的拉力对滑块所做的功㊂图1细绳对滑块的拉力大小始终等于F ,但方向在时刻改变,属于变力做功问题,不能直接利用W =F l c o s α进行计算㊂实际上,恒力F 对细绳末端所做的功等效于细绳的拉力对滑块所做的功㊂在细绳与水平面间的夹角由α变到β的过程中,恒力F 作用的细绳末端移动的位移Δl =h s i n α-h s i n β=h 1s i n α-1s i n β(),因此恒力F 对细绳末端所做的功W F =F ㊃Δl =F h 1s i n α-1s i n β(),即细绳的拉力对滑块所做的功W =W F =F h1s i n α-1s i n β()㊂方法二:平均力法若物体受到的力方向不变,而大小随着位移呈线性变化,则可以先求出力的平均值F =F 1+F 22(F 1和F 2分别为物体在研究过程初㊁末状态下所受的力),认为物体受到的是一个大小为 F 的恒力作用,再利用公式W = F l c o s α求解变力做的功㊂例2 如图2所示,轻弹簧的一端与竖直墙壁连接,另一端与一质量为m 的物块相连,物块位于光滑水平面上,已知弹簧的劲度系数为k ,开始时弹簧处于自然状态㊂用水平向右的拉力F 缓慢拉物块,使物块在弹性限度范围内前进距离x 0,求在这一过程中拉力F 对物块所做的功㊂图2在物块缓慢运动的过程中,拉力F 的方向不变,大小始终与弹簧的弹力等大反向,与位移x 满足关系式F =k x ,即从零开始随位移均匀增大,因此在物块前进距离x 0的过程中,拉力F 的平均值 F =0+k x 02=12k x 0,拉力F 对物块所做的功W = F x 0=12k x 20㊂方法三:F -x 图像法当力F 与位移x 同向时,计算功的公式可表示为W =F x ,因此在F -x 图像中,图像与x 轴所围成的 面积 就表示力F 在位移x 上所做的功㊂ 面积 位于x 轴上方,说明力F 做正功; 面积 位于x 轴下方,说明力F 做负功㊂53物理部分㊃经典题突破方法高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.例3 如图3所示,一个正方形木块漂浮在一个面积很大的水池中,水深为H ,木块边长为a ,质量为m ,密度为水的一半㊂开始时木块静止,有一半没入水中㊂现用力F 将木块压到池底,不计摩擦㊂求力F 在将木块从初始状态刚好压到池底的过程中,力F 对木块所做的功㊂图3将木块从初始状态缓慢地压到刚好完全没入水中的过程中,力F 与木块下降的位移x 成正比,木块下降位移x =a2时,力F 最大,且F m a x =m g ,之后力F 始终等于F m a x ㊂作出F -x 图像如图4所示,则图中阴影部分的面积在数值上等于力F 对木块所做的功,即W =m g (H -a )+H -a2()2=m gH -3m g a4㊂图4方法四:微元法若物体在运动过程中所受的变力始终与速度方向在同一条直线上或成某一固定角度,则可以将运动过程分成无数个小段,在每一个小段上都可以认为物体受到的力是恒力,物体在整个运动过程中的位移等于运动轨迹的长度,则力在各个小段上所做功的代数和即为变力在整个运动过程中所做的功㊂图5例4 以前的人们经常采用如图5所示的 驴拉磨 方式把粮食加工成粗面来食用㊂假设某次采用 驴拉磨 方式进行粮食加工的过程中,驴对磨的拉力大小始终为500N ,驴做圆周运动的半径为1.5m ,则在驴拉磨转动一周的过程中,拉力所做的功为( )㊂A .0 B .500JC .750JD .1500πJ在驴拉磨转动一周的过程中,拉力F 的大小不变,方向时刻改变,但总与速度的方向相同㊂将转动的一周分割成无数个小段,则每一个小段对应的位移Δs 1㊁Δs 2㊁Δs 3㊁ ㊁Δs n 都可认为与拉力F 同向,因此在驴拉磨转动一周的过程中,力F 所做的功等于恒力F 在各个小段上所做功的代数和,即W F =F ㊃Δs 1+F ㊃Δs 2+F ㊃Δs 3+ +F ㊃Δs n =F (Δs 1+Δs 2+Δs 3+ +Δs n )=F ㊃2πR =1500πJ ㊂答案:D方法五:动能定理法若物体的运动情况较为复杂,但是物体在初㊁末状态下的动能,以及除待求变力所做的功外其他力所做的功都可以比较容易地求出,则可以利用动能定理来求解这个变力所做的功㊂图6例5 如图6所示,一个半径为R 的半圆形轨道固定在竖直平面内,轨道两端等高;质量为m 的质点自轨道左端P 点由静止开始下滑,滑到最低点Q 时,对轨道的压力大小为2m g ,重力加速度为g ㊂在质点自P 点滑到Q 点的过程中,克服摩擦力所做的功为( )㊂A .14m g R B .13m g R C .12m g R D .π4m gR 在质点自P 点滑到Q 点的过程中,质点受到的滑动摩擦力的大小和方向都在变化,属于变力做功问题㊂设此过程中质点克服摩擦力所做的功为W f ,根据动能定理得m gR -W f =12m v 2Q -0;根据牛顿第三定律可知,质点在Q 点受到轨道63 物理部分㊃经典题突破方法 高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的支持力大小N =2m g ;质点运动到Q 点时,根据牛顿第二定律得N -m g =m v 2QR㊂联立以上三式解得W f =12m g R ㊂答案:C方法六:机械能守恒定律法若物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功,且重力和弹力中有一个力是变力,则可以利用机械能守恒定律来求解这个变力所做的功㊂图7例6 如图7所示,一根金属链条的总长为l ,置于足够高的光滑水平桌面上,链条下垂部分的长度为a ㊂某时刻链条受到微小扰动由静止开始下滑,在链条由静止开始下滑到整根链条刚好离开桌面的过程中,重力所做的功为多少?链条在下滑的过程中,下垂部分不断增长,质量不断增大,即这部分链条的重力是变力,整根链条的运动是在该变力作用下的运动,属于变力做功问题㊂取桌面为零重力势能参考平面,设整根链条的质量为m ,初始状态下链条下垂部分的质量为m 0,则m 0=al m ㊂初始状态下,整根链条的机械能E 1=0-m 0g ㊃a 2=-m g a22l;整根链条刚好离开桌面时,整根链条的机械能E 2=W 重-m g ㊃l2㊂根据机械能守恒定律得E 1=E 2,解得W 重=m g (l 2-a 2)2l㊂ 图81.如图8所示,摆球质量为m ,悬绳的长度为L ,把悬绳拉到与悬点O 处于同一水平线上的A 点后放手㊂在摆球从A 点运动到最低点B 的过程中,设空气阻力F 阻的大小保持不变,则下列说法中正确的是( )㊂A .重力做功为m g L B .悬绳的拉力做功为12m g πL C .空气阻力F 阻做功为-m g L D .空气阻力F 阻做功为-12πF 阻L 2.用大锤将一木桩打入泥土里,木桩长为L ,大锤第一次击桩时使木桩从地面钻入泥土的深度为L5,如果木桩受到泥土的阻力远大于木桩的重力,且与木桩钻入泥土的深度成正比,那么大锤打击木桩多少次后木桩全部钻入泥土中图93.如图9所示,质量为m 的小球用长度为L 的轻质细线悬于O 点,与O 点处于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉,已知O ㊁P 两点间的水平距离为L2㊂在A 点给小球一个水平向左的初速度v 0,发现小球恰能到达与P 点在同一竖直线上的最高点B ㊂(1)小球到达B 点时的速率为多大(2)若初速度v 0=3g L ,则在小球从A 点运动到B 点的过程中克服空气阻力做了多少功图104.如图10所示,质量m =2k g 的物体,从光滑斜面的顶端A 点以初速度v 0=5m /s 滑下,在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零㊂已知A ㊁B 两点间的竖直高度h =5m ,取重力加速度g =10m /s2,在物体从A 点运动到B 点的过程中,弹簧的弹力对物体所做的功为多少参考答案:1.A D 2.25次㊂3.(1)v B =g L 2;(2)W 克=114m g L ㊂4.W 弹=-125J㊂作者单位:山东省惠民县第一中学(责任编辑 张 巧)73物理部分㊃经典题突破方法高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

变力的功求法集锦第一.平均力法1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。

2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。

【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。

在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。

， 可用平均阻力来代替。

如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为， 做功为：第二次击入深度为到，平均阻力为：位移为做功为：两次做功相等：解后有：练习1：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力 与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。

问此钉子全部进入木板需要打击几次？分析：钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F k l k l =+=022钉子克服阻力做的功为：W F l k l F ==122设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E n E k l 总==0212所以n k l E =202【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上。

弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。

现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做了多少功？解析：可用平均力 kx F 1=求功，故21kx x F W =⋅=。

思考：1.若是恒力F 向右拉动木块，拉力的功是否仍为上述的解？2.若是物块轻轻放置于如右图所示的竖直轻弹簧上并最终静止在平衡位置。

弹簧压缩了x ，则重力做的功是否完全转化成了弹簧的弹性势能（mgx=1/2kx 2）？【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。