复合命题真假的判断

四、复合命题及其推理复合命题是包含了其他命题的一种命题，一般说，它是由若干个(至少一个)简单命题通过一定的逻辑联结词组合而成的。

（一）联言命题及其推理Ⅰ、联言命题联言命题是断定事物的若干种情况同时存在的命题。

如：“文艺创作既要讲思想性，又要讲艺术性”就断定了“文艺创作要讲思想性”和“文艺创作要讲艺术性”这两种情况同时存在。

联言命题所包含的肢命题称为联言肢。

在现代汉语中表达联言命题逻辑联结词的通常有：“……和……”，“既……又……”，“不但……而且……”，“一方面……另一方面……”，“虽然……但是……”等等。

如果取“并且”作为联言命题的典型联结词，用“p”、“q”等来表示联言肢，那么联言命题的形式可表示为：p而且q“鲁迅是思想家”都真的情况下是真的，在其余情况下都是假的。

需要指出的是，在现代汉语中用“但是”、“还”、“尽管”等联结词所联结而成的联言命题并不完全等同于用“∧”所联结而成的合取式。

对前者来说顺序是不能随意颠倒的，如“他获得了奥运会的金牌，并且参加了奥运会”就是一个在逻辑上可接受的联言命题。

但它对日常思维来说却是不恰当的。

因为它的两个肢命题在意义上前后顺序被颠倒了，同样，“他参加了亚运会，并且雪是白的”在逻辑上可以为真。

Ⅱ、联言推理1.分解式；这是根据一个联言命题为真而推出其各联言肢为真。

公式是：p∧qp(或q)例如，某同志曾有如下议论：既然大家都认为老王同志既有优点又有缺点的看法是正确的，那么我说老王同志是有缺点的，这又有什么不对呢?某同志的这个议论实际上就是运用了一种联言推理。

即：老王同志既有优点又有缺点，所以，老王同志是有缺点的。

2.组合式；这是根据一个联言命题的各个联言肢为真而推出该联言命题为真。

公式是pqrp∧q∧r例如，有人说，在社会主义建设时期，不仅工人和农民是社会主义建设的依靠力量，而且知识分子也是社会主义建设的依靠力量，所以，工人、农民和知识分子都是社会主义建设的依靠力量。

真假命题的知识点总结在逻辑学和数学中，命题是指可以判断真假的陈述句。

在命题逻辑中，命题是基本的逻辑单位，一组命题可以通过逻辑运算得出结论。

真假命题是命题逻辑中的一个重要概念，了解真假命题的知识对于逻辑推理和数学证明非常重要。

本文将对真假命题的概念、性质、推理规则等知识点进行总结，希望能帮助读者更好地理解和运用这一概念。

一、命题的定义命题是具有真假性质的陈述句，其真假可以通过某种手段进行确定。

命题可以是单个陈述句，也可以是由若干个陈述句通过逻辑连接词连接而成的复合句。

例如，“2是偶数”是一个简单命题，“2是偶数并且3是奇数”是一个复合命题。

二、真假命题的性质1. 真命题：如果一个命题在各种情况下都是真的，则称其为真命题。

例如，“2加2等于4”是一个真命题。

2. 假命题：如果一个命题在各种情况下都是假的，则称其为假命题。

例如，“1加1等于3”是一个假命题。

3. 合取命题：由多个简单命题通过逻辑连接词“且”连接而成的复合命题。

例如，“2是偶数且3是奇数”是一个合取命题。

4. 析取命题：由多个简单命题通过逻辑连接词“或”连接而成的复合命题。

例如，“2是偶数或3是偶数”是一个析取命题。

5. 等价命题：在任何情况下都有相同真假值的命题之间称为等价命题。

例如，“2加2等于4”和“1加1等于2”是等价命题。

6. 互斥命题：在任何情况下都不能同时为真的命题之间称为互斥命题。

例如，“2是偶数”和“3是偶数”是互斥命题。

三、真假命题的逻辑运算在命题逻辑中，常见的逻辑运算包括合取、析取、否定、蕴含和等价。

这些逻辑运算可以帮助我们研究和理解不同命题之间的关系，从而进行逻辑推理和证明。

1. 合取：合取是指由“且”连接的两个命题构成的复合命题。

合取命题的真假值只有在两个简单命题均为真时才为真，否则为假。

例如，“2是偶数且3是奇数”这个合取命题只有在2是偶数且3是奇数时才为真，其他情况均为假。

2. 析取：析取是指由“或”连接的两个命题构成的复合命题。

第3讲复合命题及其推理【复合命题，是指由简单命题通过联结词而构成的命题。

由于联结词的不同，复合命题就有联言命题、选言命题、假言命题等不同的种类形式。

】3、1 联言命题及其推理1、联言命题联言命题就是断定事物的若干种情况同时存在的命题。

例如，“鲁迅是文学家并且是思想家”。

联言命题的一般公式是：p并且q；也可表示为 p∧q 。

其中，“并且”（现代逻辑上通常用符号“∧”表示，涵义为“合取”）为联结词，p、q称为联言肢（联言命题的肢命题）。

日常语言中的“…和…”、“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”等表示并列关系、递进关系、转折关系的语词都是“并且”的意思。

一个联言命题是真的，则其每一个肢命题都必须是真的。

只要有一个肢命题假，则联言命题就是假的。

联言命题的真假特征可以表示如下：p q p∧q真真真真假假假真假假假假2、联言推理联言推理就是前提或结论为联言命题，并且根据联言命题的逻辑特征所进行的推理。

一个联言命题是真的，当且仅当其所有肢命题是真的。

联言推理的推理形式有分解式和组合式。

分解式就是由前提中一个联言命题为真推出其任一肢命题为真的联言推理。

公式是：p并且q p并且qp 或者 q组合式就是由前提中一些肢命题为真推出这些肢命题所组成的联言命题为真的联言推理。

公式是：pqp并且q应用例：例题1-联言推理■李娜心中的白马王子是高个子、相貌英俊、博士。

她认识王威、吴刚、李强、刘大伟四位男士，其中只有一位符合她所要求的全部条件。

(1)四位男士中，仅有三人是高个子，仅有两人是博士，仅有一人相貌英俊。

(2)王威和吴刚都是博士。

(3)刘大伟和李强身高相同。

(4)每位男士都至少符合一个条件。

(5)李强和王威并非都是高个子。

请问谁符合李娜要求的全部条件?A．刘大伟。

B．李强。

C．吴刚。

D．王威。

例题2-联言推理■只有具备足够的资金投入和技术人才，一个企业的产品才能拥有高科技含量。

而这种高科技含量，对于一个产品长期稳定地占领市场是必不可少的。

专题6 含逻辑联结词命题真假判断含逻辑联结词命题真假判断命题p∧q、p∨q、非p真假判定简记为“p∧q两假才假；非p与p真假相反〞．判断含有逻辑联结词命题真假关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词命题真假关键是正确理解“或〞“且〞“非〞含义，应根据命题中所出现逻辑联结词进展命题构造分析与真假判断．(2)判断命题真假步骤根据复合命题真假求参数步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数取值范围；(3)根据给出复合命题真假推出每个命题真假情况，从而求出参数取值范围．命题p：关于x不等式a x>1(a>0，且a≠1)解集是{x|x<0}，命题q：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么实数a 取值范围为________________．[解析] 由关于x 不等式a x >1(a >0，且a ≠1)解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0解集为R ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4a 2<0，解得a >12. 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 与q 一真一假，即“p 假q 真〞或“p 真q 假〞，故⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12， 即a ∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪(1，＋∞)． [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪(1，＋∞) 1．假设命题p ：函数y ＝x 2－2x 单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x单调递增区间是[1，＋∞)，那么( ) A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．非p 是真命题D ．非q 是真命题2．命题p ：当a >1时，函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )定义域为R ；命题q ：“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直〞充要条件，那么以下结论正确是( )A ．p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为假命题C ．p ∧非q 为真命题D ．非p ∨q 为假命题解析：选A 当a >1时，一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0判别式Δ＝4－4a <0，那么x 2＋2x ＋a >0对任意x ∈R 恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )定义域为R ，故命题p 是真命题；直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直等价于a ×2＋2×(－3)＝0，解得a ＝3，故“a ＝3〞是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直〞充要条件，故命题q 是真命题．所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，p ∧非q 为假命题，非p ∨q 为真命题．应选A.3．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q 〞为真命题，命题“p ∧q 〞为假命题，那么实数a 取值范围为________．1．命题:p α∃∈R ,使得sin 2cos 3αα+=;命题π:0,,2q x x sinx ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭,那么以下判断正确是〔 〕A. p 为真B. q ⌝为假C. p q ∧为真D. p q ∨为假】甘肃省武威市第六中学2021届高三第一次阶段性过关考试数学〔文〕试题【答案】B 【解析】()sin 2cos 55,5sin αααθ⎡⎤+=+∈-⎣⎦，θ是参数，∵3>5，∴∀α∈R ， 23sin cos αα+≠；故命题p 为假命题，设()f x x sinx =-,那么()'10f x cosx =-，那么函数f (x )为增函数，∵那么当x >0时,f (x )>f (0)，即x −sin x >0，那么x >sin x ，故命题q 是真命题，那么q ⌝为假，其余为假命题，应选：B.2．命题p ：假设复数z 满足()()5z i i --=，那么6z i =；命题q ：复数虚部为15i -，那么下面为真命题是〔 〕A. ()()p q ⌝⌝∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ⌝∧D. p q ∧【来源】【全国市级联考】湖南省益阳市、湘潭市2021届高三9月调研考试数学〔理〕试题【答案】C【解析】复数z 满足()()5z i i --=，所以，所以命题p 为真； 复数()()()112131212)125i i i i i i i +-+-==++-，虚部为15-，所以命题q 为假.A. ()()p q ⌝⌝∧为假；B. ()p q ⌝∧为假；C. ()p q ⌝∧为真；D. p q ∧为假. 应选C.3．以下命题中正确命题个数是〔 〕〔1〕命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞逆否命题为“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞；〔2〕在回归直线ˆ12y x =+中， x 增加1个单位时， y 减少2个单位；〔3〕假设p 且q 为假命题，那么,p q 均为假命题；〔4〕命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<，那么:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++>.A. 1B. 2C. 3D. 4】广东省珠海市2021-2021学年度第一学期高三摸底考试文科数学4．命题p ：关于x 方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．假设p ∨q 是真命题，那么实数a 取值范围是________．解析：假设命题p 是真命题，那么Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；假设命题q 是真命题，那么－a4≤3，即ap ∨q 是真命题，所以a ∈R.答案：R5．命题p ：方程表示椭圆，命题q ： 2,2210x R mx mx m ∃∈++-≤，. 〔1〕假设命题q 为真，求实数m 取值范围；〔2〕假设p q ∨为真， q ⌝为真，求实数m 取值范围.】河南省鲁山县一中2021-2021学年高二第一次月考〔文〕数学试卷【答案】〔1〕(],11,7-∞〔2〕()【解析】试题分析：〔1〕命题p为真，就是对应不等式有解，m=0时恒成立，0m≠时结合二次函数图像列条件解得实数m取值范围；此题也可利用参变别离法求解〔2〕先根据椭圆标准方程分母符号得为真为假，解不p m为真取值范围，再根据p q∨为真，q⌝为真，得p q等式得实数m取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕∵命题q为真，当0m>时，()2m≤时，∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤；当0m m m m m044210101不等式恒成立.综上，1m≤ .〔Ⅱ〕假设p为真，那么60,7067m m m+>-<⇒-<<，.∵假设p q∨为真，q⌝为真，∴p q为真为假∴1,6717>-<<∴<<m m m6．设命题：关于不等式解集是；命题：.假设为假命题，求实数取值范围.】甘肃省武威市第六中学2021届高三第一次阶段性过关考试数学〔理〕试题【答案】【解析】试题分析：由复合命题真假得命题为真命题，命题为假命题，由为真命题得，由为假命题得，求其交集即可.试题解析：由为假命题，得：命题为真命题，命题为假命题.由命题为真命题，得，；由命题为假命题，得：为真命题，，解得：；因此，所求实数取值范围是.7．命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0〞，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0〞，假设命题“p且q〞是真命题，求实数a取值范围．】【全国百强校】宁夏育才中学2021届高三上学期第一次月考〔理〕数学试题【答案】a≤－2或a＝1.8．命题甲：或，命题乙：或，当甲是真命题，且乙是假命题时，求实数取值范围.】【全国百强校】河北省武邑中学2021-2021学年高二上学期第一次月考数学〔文〕试题【答案】【解析】试题分析：乙为假命题即为求乙集合补集，进而同甲集合取交即可.试题解析：当甲真乙假时，集合.___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ _____________________。

复合命题的判断刘志刚 陈玉不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题。

初看起来，判断一个命题是否是复合命题是很容易的：只要看命题中是否有“或”、“且”、“非”即可，但真正操作起来，并不是那么简单。

例题：判断下列命题是否是复合命题：（1）方程012=-x 的解是1±=x ；（2）1±=x 是方程012=-x 的解；（3）不等式012>-x 的解是1-<x 或1>x ；（4）1-<x ，或1>x 是不等式012>-x 的解。

错解：命题（1）、（2）不含“或”、“且”、“非”，所以是简单命题；命题（3）、（4）含联结词“或”，所以是复合命题。

剖析：上述解答仅从表面上看是否含“或”、“且”等字眼，而没有对命题的构成实质进行分析。

实际上，仅从字面上来判断一个命题是否是复合命题是困难的。

对这类问题，我们可以借助复合命题的真值表来判断。

简单地说，可先视这个命题是复合命题，然后用复合命题的真值表的结果来检验。

如果由真值表得出的真假结果，与原来命题的真假一致，那么原来的命题是复合命题；如果由真值表得出的真假结果，与原来命题的真假不一致，那么原来的命题不是复合命题。

据此，我们来对例题中的各命题加以分析。

首先应注意到所给的四个命题都是真命题。

（1）记p ：方程012=-x 的解是1=x ；q ：方程012=-x 的解是1-=x ，假设原命题可写成“p 或q ”的形式，由p 、q 都是假命题，依真值表，复合命题“p 或q ”是假命题。

这与原命题是真命题不一致，所以原命题不是复合命题，是简单命题。

（2）记p ：1=x 是方程012=-x 的解，q ：1-=x 是方程012=-x 的解。

假设原命题可以写成“p 且q ”，而p 、q 都真，依真值表知“p 且q ”为真，这与原命题的真假一致，因而原来命题是“且”命题，也即复合命题。

二简易逻辑（§1.6.2 逻辑联结词）教学时间:第二课时课题: §1.6.2 复合命题的真假判断教学目标：1.理解掌握判断复合命题真假的方法.2.培养学生归纳推理的思维能力.教学重点：判断复合命题真假的方法.教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法.教学方法：启发、诱导发现教学.教具准备：真值表挂图（或投影片共2片）教学过程：（I）复习回顾（1）什么叫做命题？（2）逻辑联结词是什么？（3）什么叫做简单命题和复合命题？（II）讲授新课师：上节学习了命题的概念，本节进一步讨论研究如何判断一个复合命题的真假。

（板书）§1.6.2 复合命题的真假判断1、非p形式的复合命题，例如：（投影片1）生：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假。

(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真。

师：请一同学归纳非p复合命题判断真假的方法是什么？生：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

(师随生真出真值表（1）)2、p且q形式的复合命题，例如：（投影片2）生：ｐ且ｑ即５既是１０的约数，也是１５的约数为真；ｐ且ｒ即５既是１０的约数，也是８的约数为假；ｒ且ｓ即５既是８的约数，也是１６的约数为假。

规律：ｐ、ｑ都为真时，ｐ且ｑ为真；ｐ、ｑ中有一个为假时，ｐ且ｑ为假；ｐ、ｑ都为假时，ｐ且ｑ为假.师：（归纳）由上述例题可以看出：ｐ且ｑ形式的复合命题：当ｐ、ｑ都为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假.如下表：3、p或q形式的复合命题（投影片3），例如：生：p或r即5是12的约数或是8的约数为假，q或s即5是15的约数或是10的约数为真；师：其规律是什么？生：p或q中p、q都为假时，p或q为假；p、q都为真时，p或q为真.师：下面回答“p或q”的命题的构成和真假.（学生充分讨论后回答）生：p或q即5是12的约数或是15的约数为真.师：为什么为真？生：因p、q中命题q为真，只要p、q中一个为真时，p或q为真.师：回答正确，又如：“3≥2”含义为“3<2或3=2”，因为“3>2”为真，则“3≥2”为真。

第五章复合命题及其推理【内容提要】一、复合命题及其结构。

复合命题是包含了其他命题的一种命题，一般地说，它是由若干个(至少一个)简单命题通过一定的逻辑联结词组合而成的。

复合命题的逻辑性质是由逻辑联结词来决定的。

不同的联结词是区别各种类型复合命题的唯一依据。

二、联言命题及其推理。

联言命题是断定若干事物情况共同存在的命题，只有在其联言肢都真的情况下，该联言命题才是真的。

据此逻辑性质而进行的联言推理有两种形式：分解式和组合式。

三、选言命题及其推理。

选言命题是反映若干可能的事物情况至少有一种存在的命题。

根据其肢命题(选言肢)是否相容，可分为相容选言命题和不相容选言命题两种。

关键是掌握相容关系和不相容关系两种命题的逻辑性质，弄清至少一个选言肢真(可以同真)和只有一个选言肢真(不能同真)的不同，从而正确运用选言命题。

能区分相容选言命题和联言命题根本不同的逻辑性质。

在此基础上掌握选言推理的定义以及相容选言推理、不相容选言推理的形式和规则。

四、假言命题及其推理。

假言命题是断定一事物情况是另一事物情况存在条件的命题，因而又称为条件命题。

根据断定的条件性质的不同，假言命题可分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题三种。

其要点是切实把握充分、必要、充要的逻辑含义，弄清三种假言命题之间的区别：充分条件是有前必有后，无后必无前；必要条件是无前必无后，有后必有前；充要条件是充分、必要二者的结合。

在此基础上掌握假言推理的定义以及充分条件假言推理、必要条件假言推理、充分必要条件假言推理的形式和规则。

五、二难推理。

二难推理的四种形式：简单构成式、简单破坏式、复杂构成式、复杂破坏式，以及二难推理的要求和破斥错误二难推理的方法。

六、负命题及其等值推理。

负命题是否定某个命题的命题，是仅有一个肢命题的一种特殊的复合命题。

它与直言命题中的否定命题有着根本的不同。

要点是掌握负命题和原命题之间的矛盾关系及各种负命题的等值命题，利用各种负命题的等值公式进行推理。

第2 题命题真假的判断所以，AB ⊂α，即l3 ⊂α，命题p1为真命题；命题p4 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假②四种命题的真假关系同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．考点二含有逻辑联结词命题真假的判断逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．（1）复合命题有三种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （⌝p ）．（2）复合命题的真假判断：“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：① p ∨q 真⇔p , q 至少一个真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；②p ∨q 假⇔p , q 都假⇔(⌝p)∧(⌝q)真；③p ∧q 真⇔p , q 都真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；④ p ∧q 假⇔p , q 至少一个假⇔(⌝p)∨(⌝q)真；( ) 0 0 0【答案】B【解析】对于①中，当 x = 2 时， x 2 = 2 为有理数，故①错误；对于②中，若 a ⋅ b = 0 ，可以有 a ⊥ b ，不一定要 a = 0 或b = 0 ，故②错误；对于③中，命题“若 x 2 + y 2 = 0 ， x ∈ R ， y ∈ R ，则 x = y = 0 ”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中， f (-x ) =e - x - e x -x= e x - e - x =x (x ) ，且函数的定义域是(-∞, 0) (0, +∞) ，定义域关于原点对称，e x - e - x所以函数 f x =是偶函数，故④正确. x综上，真命题的个数是2 .故选：B.3.（2020·广西兴宁）以下四个命题：①若 p ∧ q 为假命题，则 p ，q 均为假命题；②对于命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0, 则⌝p 为： ∀x ∉ R, x 2 + x +1 0; ；③ a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件；④ f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 为偶函数的充要条件是ϕ= π2其中真命题的个数是（ ）fx x【答案】A【解析】对①，若 p ∧ q 为假命题，则 p , q 中至少一个为假命题，故①错误；对②，命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0 的否定为⌝p : ∀x ∈ R, x 2 + x +1 0 ，故②错误；对③，当 a = 2 时，函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数；当函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥)上为增函数时， a > 1，即 a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件，故③正确；对④，当ϕ=3π时， f (x ) = sin⎛ 3π+ωx ⎫= -cos ωx ， f (-x ) = -cos(-ωx ) = -cos ωx = f (x ) ，此时 22 ⎪ ⎝ ⎭函数 f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 也是偶函数，故④错误；故选：A4.（2020·安徽省六安中学） 已知命题 p ： ∃x ∈ R ，x - 2 > 0 ；命题q ： ∀x ≥ 0 ， < x ，则下列说法中正确的是A ．p ∨ q 是假命题 B ．p ∧ q 是真命题C ． p ∧ (⌝q ) 是真命题D ． p ∨ (⌝q ) 是假命题【答案】C【解析】命题 p ， ∃x 0 = 3, x 0 - 2 > 0 ，即命题 p 为真，对命题 q ，去x = 1 , = 1 > x = 1，所以命题 q 为假， ⌝p 为真 424所以 p ∧ (⌝q ) 是真命题故选：C.5.（2020·安徽相山高三）下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2 = 1 ，则x = 1 ”的否命题为：“若x2 = 1 ，则x ≠ 1”．B.若p ∨q 为真命题，则p, q 均为真命题.C.命题“存在x ∈R ，使得x2 +x +1 < 0 ” 的否定是：“对任意x ∈R ，均有x2 +x +1< 0 ”．D.命题“若x =y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题．【答案】D【解析】对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；对于B．若p∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确对于D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确．故选D．6.（2020·安徽金安）下列结论正确的个数为（）①设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件；②已知命题p : ∀x > 0 ，总有(x+1)e x>1，则⌝p : ∃x ≤ 0 ，使得(x+1)e x0 ≤1；0 0③已知函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，其图象过点(0, 3) ，则其对称中心为2 ⎪2⎝⎭⎛kπ-π⎫4 6 , 0 ⎪(k ∈Z ) ；⎝⎭④已知随机变量ξ~ N(1,δ2 )，若P(ξ< 3) = 0.6 ，则P(-1 <ξ< 1) = 0.1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，根据面面平行的判定知，由“ m//β”不能推出“α//β”，根据面面平行的性质知由“α//β”可得到“ m//β”，所以“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件，故①正确；对于②，由全称命题的否定是特称命题得：命题p : ∀x > 0 ，总有(x +1)e x > 1 ，则⌝p : ∃x0 >0 ，使得(x+1)e x0 ≤1，故②不正确；对于③：因为函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，所以ω= 2 ，2 ⎪2⎝⎭又其图象过点(0, 3) ，所以tanϕ= 3 ，所以ϕ=π，所以y = tan(2x +π，) 3 3令2x +π=kπ(k ∈Z ) ，得x =kπ-π, k ∈Z ，所以其对称中心为⎛kπ-π0 ⎫(k ∈Z )，故③正确；3 24 6 4 6, ⎪⎝⎭对于④，因为随机变量ξ~ N(1,δ2 )，所以P(ξ<1)=0.5，又P(ξ< 3) = 0.6 ，所以P(1 <ξ< 3) = 0.6 - 0.5 = 0.1 ，所以P(-1 <ξ< 1) =P(1 <ξ< 3) = 0.1 ，故④正确；综上可知：正确的命题有①③④，故选：C.2 a 2 2 2【答案】A【解析】令 f (x ) = e x + x ，则易知 f (x ) = e x + x 在 R 上单调递增，所以当 x < 0 时， f (x ) = e x + x < 1 < 2 ，即e x < 2 - x ；因此命题 p : ∃x ∈ R , 2 - x > e x为真命题； 由 a > 0 得 a 2 +1 > 1；所以，当 a > 1时， log a (a + 1) > 0 ；当0 < a < 1时， log a (a + 1) < 0 ；因此，命题 q : ∀a ∈ R + ，且a ≠ 1, log (a 2+1) > 0 为假命题； 所以命题 p ∧ ⌝q 是真命题.故选 A8.（2020·全国高三）对于实数 a ，b ，m ，下列说法：①若 a > b ，则am 2 > bm 2 ；②若 a > b ，则 a | a |> b | b | ； ③若b > a > 0, m > 0 ，则a + m > a ；④若a >b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，则 2a + b 的最小值为 ．其 b + m b 中是真命题的为（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】对于①，当 m = 0 时， am 2 = bm 2 = 0 ，所以①是假命题．对于②，当 a > 0 时， a | a |> b | b | 成立；当 a < 0 时， a a > b b 等价于- a 2 > - b 2 ，即a 2 < b 2 ，因为b < a < 0 ，所以a 2 < b 2 ，所以 a | a |> b | b | 成立；当 a = 0 时， b < 0 ，所以a a > b b 成立．所以②是真命题．2 2 对于③，因为b > a > 0, m > 0 ，所以a + m - a = (a + m )b - (b + m )a = (b - a )m > 0 ，所以 a + m > a ， b + m b (b + m )b (b + m )b b + m b所以③是真命题．对于④，因为 a > b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，所以 a > 1 > b > 0 ，且ln a = - ln b ，所以 ab = 1 ，因为2a + b = 2a + 1 ≥ 2 ，当且仅当 2a = 1 ，即 a = 2 时成立， 2 < 1，不合题意，所以 2a + b 的最小 a a 2 2值不是2 ，又由⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 ，因为 a > 1，所以⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 > 0 ， a ⎪ a 2 a ⎪ a 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 y = 2a + 1 是 a 的增函数， 2a + 1在 a > 1时没有最小值．所以④是假命题． a a故选：B.9.（2020·厦门市湖滨中学）给出下列四个命题：①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为64 ；②“平面向量 a , b 的夹角为锐角，则 a ⋅b > 0 ”的逆命题为真命题；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0) ，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x + 1”；④ a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y - 1 = 0 平行的必要不充分条件． 其中正确的命题个数是（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4【答案】B【解析】①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为 22 ⨯16 = 64 ，a 2 a a故①正确；②命题的逆命题为：“若 ⋅ b > 0 ，则平面向量, b 的夹角为锐角”，为假命题， 当向量夹角为 0 度时，满足⋅ b > 0 ，故②错误；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0)，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x +1 ”，故③正确；④当 a = 0 时，直线方程分别化为： x + 1 = 0, x -1 = 0 ，此时两直线平行，当a ≠ 0 时，若两直线平行，则 1 = - 1 , 1 ≠ 1 ，解得 a = -1，a a 2 a a 2综上 a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y -1 = 0 平行的充分不必要条件，故④错误.故选 B.10.【多选题】（2020·山东临沂）下列命题正确的是（ ）A ．若随机变量 X ~B (100, p ) ，且 E ( X ) = 20 ，则 D ⎛ 1 X +1⎫ = 5 2 ⎪ ⎝ ⎭B. 已知函数 f( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上单调递减 f (1) = 0 ，则不等式 f (log 2x ) > 0 的 ⎛ 1 ⎫解集为 , 2 ⎪ ⎝ ⎭C. 已知 x ∈ R ，则“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的充分不必要条件D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 y ˆ = 0.3x - m ，若样本中心点为(m , -2.8) ，则 m = 4【答案】BD【解析】对 A ， E ( X ) = 20 ，∴ 100 p = 20 ⇒ p = 1 ，∴ D ( X ) = 100 ⋅ 1 ⋅ 4= 16 ， 5 5 5故选：BD.对 D ， 样本中心点为(m , -2.8) ，∴ 0.3⋅ m - m = -2.8 ⇒ m = 4 ，故 D 正确；对 C ， x -1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 ，∴“ x > 0 ”推不出“ 0 < x < 2 ”，而“ 0 < x < 2 ”可以推出“ x > 0 ”， ∴“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的必要不充分条件，故 C 错误；2x < 1 ⇔ 1 < x < 2 ，故 B 正确； 2 2 ∴ log x < 1 ⇔ -1 < log 对 B ， 函数 f (x ) 是定义在R 上的偶函数，∴ f (| x |) = f (x ) ， f (log 2 x ) > 0 ⇔ f (| log 2 x |) > f (1) ， ，故 A 错误； 4⎭ ⎪ ⎝ ⎫ 1 2 ⎛ 1 D X +1 = D ( X ) = 4。

§1.6.2 判断复合命题真假的方法[教学目的]会判断复合命题的真假.[重点难点]重点：判断复合命题真假的方法；难点：对“或”的含义的理解.[教学过程]一、复习引入⒈什么叫简单命题？什么叫复合命题？⒉复合命题的构成形式是什么？⒊“或”、“且”、“非”的含义是什么？⒋练习：⑴分别写出由命题“p：π是无理数”和“q：π是实数”构成的三种形式的复合命题.⑵指出下列复合命题的形式及其构成：① x2+5≥5；②梯形集合与矩形集合都是四边形集合的子集.答案：⑴p或q：π是无理数或是实数；p且q：π是无理数且是实数；非p：π不是无理数.⑵①是p或q的形式，其中p：x2+5>5，q：x2+5=5；②是p且q的形式，其中p：梯形集合是四边形集合的子集，q：矩形集合是四边形集合的子集.⒌上述⑴的答案中给出的三个命题是否成立，即它是真命题还是假命题？对于一般的复合命题，怎样来判断它的真假呢？下面我们就来研究这个问题.二、学习、讲解新课（一）判断复合命题真假的方法⒈真值表对于“非 p”形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p 为真.即“非 p”形式的复合命题的真假与p的真假相反.如表一.例如，p：2是10的约数为真，则非p：2不是10的约数为假.对于“p且q”形式的复合命题：当p，q都为真时，“p且q”为真；当p，q中至少有一个为假时，“p且q”为假.即“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假.如表二.例如，p：5是10的约数，q：5是15的约数，r：5是8的约数，则p且q：5是10的约数且是15的约数为真，因为p，q都为真；p且r：5是10的约数且是8的约数为假，因为r为假.对于“p或q”形式的复合命题：当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假.即“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.如表三.例如，p：5是12的约数，q：5是15的约数，r：5是8的约数，则p或q：5是12的约数或是15的约数为真，因为q为真；p或r：5是12的约数或是8的约数为假，因为p，r都为假.像上面（表一至表三）用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例（P例2）分别指出由下列各组命题构成的“ p或q”，“p且q”，“非28p”形式的复合命题的真假：⑴p：2+2=5，q：3>2；⑵p：9是质数，q：8是12的约数；⑶p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；⑷p：φ⊂{0}，q：φ={0}.解：⑴p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.⑵p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.⑶p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.⑷p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.练习：1，2.练习：课本P28答案：1.⑴真；⑵真；⑶假.2.⑴p或q：4∈{2，3}或2∈{2，3}；p且q：4∈{2，3}且2∈{2，3}；非p：4∉{2，3}.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.⑵p或q：2是偶数或不是质数；p且q：2是偶数且不是质数；非p：2不是偶数.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.⒉逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.⒊数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“x∈A 或x∈B”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x∈A∩B）；又如在“p 真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.⒋学习逻辑的意义一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子.三、小结本节主要学习了判断复合命题真假的方法—真值表法，并对三种复合命题进行了真假判断的概括，通过实例说明了学习逻辑的意义.四、布置作业的内容，熟悉巩固有关概念和方法.(一)复习：课本P27-28(二)书面：课本P习题1.6：3，4.29答案：3.⑴真；⑵真；⑶假；⑷真.4.⑴p或q：π是无理数或是实数；p且q：π是无理数且是实数；非p：π不是无理数.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.⑵p或q：2>3或8+7≠15；p且q：2>3且8+7≠15；非p：2≤3.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.(三)思考题：命题“p或q”与“p且q”的否定形式各是什么？答：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.(四)预习：课本1.7四种命题.。

判断复合命题真假的方法1．“非p”形式的复合命题例1 (1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.(2) )如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真.小结：非p复合命题判断真假的方法当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示2．“p且q”形式的复合命题例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）小结：“p且q”形式的复合命题真假判断当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假可用下表表示3．“p或q”形式的复合命题：例3．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）小结：“p或q”形式的复合命题真假判断当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假. 即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真. 可用下表表示.像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例4分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：①p：2+2=5，q：3>2；②p：9是质数，q：8是12的约数；③p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；④p：φ⊂{0}，q：φ={0}.解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.③p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.④p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.4．逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.。