2020届江苏省苏锡常镇四市2017级高三一调考试数学试题(含附加题)及答案

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知i为虚数单位，复数，则＝________．2.已知集合A＝，B＝，若A B中有且只有一个元素，则实数a的值为________．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝________．5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．6.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为________．7.“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列的前n项和为，，，则＝________．9.已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________．10.已知，( ，)，则＝________．11.如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为________.12.在△ABC中，( )⊥( ＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是________．13.若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是________．14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为________．二、解答题（共11题；共100分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝0．（1）求A；（2）已知a＝2 ，B＝，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．19.已知函数(m R)的导函数为．（1）若函数存在极值，求m的取值范围；（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．20.已知数列，，数列满足，n．（1）若，，求数列的前2n项和；（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．21.已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sin q.（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.23.已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A，B 两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG 的面积为S.（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.答案解析部分一、填空题1.【答案】2.【答案】23.【答案】0.084.【答案】35.【答案】6.【答案】67.【答案】必要不充分8.【答案】-2n+19.【答案】y=x-310.【答案】11.【答案】12.【答案】313.【答案】(1，)14.【答案】二、解答题15.【答案】（1）解：∵b cos A﹣a sin B＝0．∴由正弦定理可得：sin B cos A﹣sin A sin B＝0，∵sin B＞0，∴cos A＝sin A，∴tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝（2）解：∵a＝2 ，B＝，A＝，∴C＝，根据正弦定理得到∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝＝616.【答案】（1）证明：连结AC交BD于点O，连结OE因为四边形ABCD为平行四边形∴O为AC中点，又E为PC中点，故AP∥OE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP∥平面EBD（2）证明：∵△PCD为正三角形，E为PC中点所以PC⊥DE因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，又BD平面ABCD，BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD，故PC⊥BD又BD DE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE，所以BE⊥PC17.【答案】（1）解：以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]（2）解：设P( ，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，则：，当且仅当即，即，即时取等号；故P( ，)时视角∠EPF最大，答：P( ，)时，视角∠EPF最大18.【答案】（1）解：设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为（2）解：由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D( ，)，E( ，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直线l的方程为19.【答案】（1）解：因为，所以，所以，则，由题意可知，解得（2）解：由（1）可知，，所以因为整理得，设，则，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，设，是关于开口向上的二次函数，则，设，则，令，则，所以单调递增，因为，所以存在，使得，即，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，又由题意可知，所以，解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}20.【答案】（1）解：因为，，所以，且，由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是首项和公比均为4的等比数列，所以（2）解：①证明：设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，当n为偶数时，，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，综上，，原命题得证；②假设可以为等比数列，设公比为q，因为，所以，所以，，因为当时，，所以当n为偶数，且时，，即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，所以数列不能为等比数列21.【答案】解：设矩阵M＝，则AM＝，所以，解得，所以M＝，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为22.【答案】（1）解：∵曲线C的极坐标方程为，∴，则,即（2）解：，∴，联立可得，（舍）或，公共点( ，3)，化为极坐标(2 ，)23.【答案】解：因为即，当且仅当，，时，上述等号成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以x+y+z=t＝424.【答案】（1）解：由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40且，，所以，即随机变量X的概率分布为X10 20 40P所以随机变量X的数学期望（2）解：由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，因为60＝20×3＝40＋10＋10，所以25.【答案】（1）解：设，则，抛物线C的方程可化为，则，所以曲线C在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，因为两切线均过点G，所以，所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为（2）解：设点G( ，)，由（1）可知，直线AB的方程为，即，将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，所以，，解得，因为直线AB的斜率，所以，且，线段AB的中点为M ，所以直线EM的方程为：，所以E点坐标为(0，)，直线AB的方程整理得，则G到AB的距离，则E到AB的距离，所以，设，因为p是质数，且为整数，所以或，当时，，是无理数，不符题意，当时，，因为当时，，即是无理数，所以不符题意，当时，是无理数，不符题意，综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．11 / 11。

2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分,共70分。

不需要写出解答过程1．已知集合U={1,2，3，4，5，6，7｝，M={x｜x2﹣6x+5≤0,x∈Z｝，则∁U M= ．2．若复数z满足z+i=,其中i为虚数单位，则|z|= ．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1,AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+),则tan（α+）= ．13．若函数f(x)=,则函数y=｜f(x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．(14分)在△ABC中，a，b,c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．（14分）如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1)求证:E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B,求证：AC1⊥BC．17．（14分）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图）,设计要求彩门的面积为S （单位:m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b ＞0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：(2）过点D(，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．。

2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知i 为虚数单位，复数11i z =+，则z ＝_______．2.已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A I B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为_______．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______． 5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是_____． 6.下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为_______．7.“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝_______． 9.已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．10.已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4π，π)，则sin 2α＝_______．11.如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12.在△ABC 中，(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 13.若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是_______．14.如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosA 3＝0．（1）求A ；（2）已知a ＝3B ＝3π，求△ABC 的面积． 16.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE ⊥PC ．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF )最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12．且经过点(1，32)，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为1：7，求直线l 的方程．19.已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R )的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )x h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．20.已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，n N *∈．（1）若n a n =，2n n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵1323,2111A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线l的参数方程为22cos 2x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 公共点的极坐标.选修4—5：不等式选讲23.已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22249x y z ++的最小值为87，求实数t 的值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，.线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S（2）当点G由.的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理。

苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12n x x x L ，，，的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 球的体积34π3V R =，其中R 表示球的半径． 柱体的体积V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1.已知i 为虚数单位，复数11z i=+，则｜z ｜= ． 2.已知集合A ={x ｜0≤x ≤1}，B ={x ｜a -1≤x ≤3}，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x =，则a = ． 5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 ． 6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 ．7.“直线l 1:ax +y +1=0与直线l 2:4x +ay +3=0平行”是“a =2”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=9，9595S S -＝－4，则a n = ．9.已知点M 是曲线y =2ln x +x 2-3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．10.已知3cos2α＝4sin(π4－α)，α∈(π,π4)，则sin2α= ． 11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．ED CBA （第6题图） （第11题图）12.在∆ABC 中，()AB AC BC λ-⊥u u u r u u u r u u u r（1λ>），若角A 的最大值为π6，则实数λ的值是 ．13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是 ． 14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB=OC ，则∆ABC 面积的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2017年江苏省苏锡常镇四市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分） 1. 已知集合 U ={1,2,3,4,5,6,7}，M ={x∣ x 2−6x +5≤0,x ∈Z }，则 ∁U M = ______． 2. 若复数 z 满足 z +i =2+i i，其中 i 为虚数单位，则 ∣z∣= ______．3. 函数 f (x )=1ln (4x−3) 的定义域为______．4. 下面是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______． t←1 i←2While i≤4 t←t×i i←i+1 End WhilePrint t5. 某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为______． 6. 已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 √3，则该正四棱锥的体积为______． 7. 从集合 {1,2,3,4} 中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的概率为______．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y 2=8x 的焦点恰好是双曲线 x 2a 2−y 23=1 的右焦点，则双曲线的离心率为______．9. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3，S 9，S 6 成等差数列．且 a 2+a 5=4，则 a 8 的值为 ______．10. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M (1,0) 的直线 l 与圆 x 2+y 2=5 交于 A ，B 两点，其中 A 点在第一象限，且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线 l 的方程为______． 11. 在 △ABC 中，已知 AB =1，AC =2，∠A =60∘，若点 P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数 λ 的值为______．12. 已知 sinα=3sin (α+π6)，则 tan (α+π12)= ______．13. 若函数 f (x )={12x−1,x <1lnxx 2,x ≥1，则函数 y =∣f (x )∣−18的零点个数为______．14. 若正数 x ，y 满足 15x −y =22，则 x 3+y 3−x 2−y 2 的最小值为______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边．若 acosB =3，bcosA =1，且 A −B =π6．（1）求边 c 的长； （2）求角 B 的大小．16. 如图，在斜三梭柱 ABC −A 1B 1C 1 中，侧面 AA 1C 1C 是菱形，AC 1 与 A 1C 交于点 O ，E 是棱 AB上一点，且 OE ∥平面BCC 1B 1．（1）求证：E 是 AB 中点；（2）若 AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC ．17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC （如图），设计要求彩门的面积为 S （单位：m 2），高为 ℎ（单位：m ）（S ，ℎ 为常数），彩门的下底 BC 固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 α，不锈钢支架的长度和记为 l ．（1）请将 l 表示成关于 α 的函数 l =f (α)； （2）问当 α 为何值时 l 最小?并求最小值．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的焦距为 2，离心率为 √22，椭圆的右顶点为 A ．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D(√2,−√2) 直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P ，Q ，求证：直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值．19. 已知函数 f (x )=(x +1)lnx −ax +a （a 为正实数，且为常数）．（1）若 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，求 a 的取值范围； （2）若不等式 (x −1)f (x )≥0 恒成立，求 a 的取值范围．20. 已知 n 为正整数，数列 {a n } 满足 a n >0，4(n +1)a n 2−na n+12=0，设数列 {b n } 满足 b n =a n2t n．（1）求证：数列 {n√n } 为等比数列；（2）若数列 {b n } 是等差数列，求实数 t 的值；（3）若数列 {b n } 是等差数列，前 n 项和为 S n ，对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n −a 14n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1 的值．21. 如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E．求∠DAC的度数与线段AE的长．22. 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1⃗⃗⃗ =[11]，并且矩阵M对应的变换将点(−1,2)变换成(−2,4)．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．23. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2−2√2ρcos(θ−π4)=2．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．24. 已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求√3a+1+√3b+1+√3c+1的最大值．25. 如图，已知正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且PMPA =BNBD=13．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N−PC−B的余弦值．26. 设∣θ∣<π2，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin nπ2tan nθ，其前n项和为S n．（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=(−1)n−12tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=12sin2θ⋅[1+(−1)n+1tan2nθ]．答案第一部分1. {6,7}2. √103. {x∣∣ x>34且x≠1}4. 245. 3006. 437. 138. 29. 210. x−y−1=011. −14或112. 2√3−413. 414. 1第二部分15. （1）因为acosB=3，bcosA=1，所以a×a 2+c2−b22ac=3，b×b2+c2−a22bc=1，化为：a2+c2−b2=6c，b2+c2−a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2−b2=8．由正弦定理可得：asinA =bsinB=4sinC，又A−B=π6，所以A=B+π6，C=π−(A+B)=π−(2B+π6)，可得sinC=sin(2B+π6)．所以a=4sin(B+π6)sin(2B+π6)，b=4sinBsin(2B+π6)．所以16sin2(B+π6)−16sin2B=8sin2(2B+π6)，所以1−cos(2B+π3)−(1−cos2B)=sin2(2B+π6)，即cos2B−cos(2B+π3)=sin2(2B+π6)，所以−2sin(2B+π6)sin(−π6)=sin2(2B+π6)，所以sin(2B+π6)=0或sin(2B+π6)=1，B∈(0,5π12)．解得：B=π6．16. （1） 连接 BC 1，取 AB 中点 Eʹ， AA 1C 1C 是菱形，AC 1 与 A 1C 交于点 O ， 所以 O 为 AC 1 的中点， 因为 Eʹ 是 AB 的中点， 所以 OEʹ∥BC 1；因为 OEʹ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以 OEʹ∥平面BCC 1B 1， 因为 OE ∥平面BCC 1B 1， 所以 E ，Eʹ 重合， 所以 E 是 AB 中点．（2） 因为侧面 AA 1C 1C 是菱形， 所以 AC 1⊥A 1C ，因为 AC 1⊥A 1B ，A 1C ∩A 1B =A 1，A 1C ⊂平面A 1BC ，A 1B ⊂平面A 1BC ， 所以 AC 1⊥平面A 1BC ， 因为 BC ⊂平面A 1BC ， 所以 AC 1⊥BC ．17. （1） 设上底长为 a ，则 S =(a+a+2ℎtanα)ℎ2，所以 a =Sℎ−ℎtanα， 所以 l =Sℎ−ℎtanα+2ℎsinα(0<α<π2)． （2） lʹ=ℎ⋅1−2cosαsin 2α，所以 0<α<π3，lʹ<0，π3<α<π2，lʹ>0， 所以 α=π3 时，l 取得最小值 Sℎ+√3ℎ m ．18. （1） 由题意可知：椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点在 x 轴上，2c =1，c =1， 椭圆的离心率 e =c a=√22，则 a =√2，b 2=a 2−c 2=1，则椭圆的标准方程：x 22+y 2=1．（2） 设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，A(√2,0)， 由题意 PQ 的方程：y =k(x −√2)−√2， 则 {y =k(x −√2)−√2,x 22+y 2=1,整理得：(2k 2+1)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=4√2k 2+4√2k2k 2+1，x 1x 2=4k 2+8k+22k 2+1，则 y 1+y 2=k (x 1+x 2)−2√2k −2√2=−2√2−2√2k2k 2+1，则 k AP +k AQ =1x−√2+2x −√2=1221√2(12x x −√2(x +x )+2，由y 1x 2+y 2x 1=[k(x 1−√2)−√2]x 2+[k(x 2−√2)−√2]x 1=2kx 1x 2−(√2k +√2)(x 1+x 2)=−4k2k 2+1,k AP +k AQ =1221√2(12x x −√2(x +x )+2=−4k 2k 2+1−√2×−2√2−2√2k2k 2+14k 2+8k+22k 2+1−√2×4√2k 2+4√2k2k 2+1+2=1，所以直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值 1．19. （1） f (x )=(x +1)lnx −ax +a ，fʹ(x )=lnx +1x +1−a ，若 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，则 a ≤lnx +1x +1 在 (0,+∞) 恒成立，(a >0)， 令 g (x )=lnx +1x +1，(x >0)，gʹ(x )=x−1x 2，令 gʹ(x )>0，解得：x >1，令 gʹ(x )<0，解得：0<x <1，故 g (x ) 在 (0,1) 递减，在 (1,+∞) 递增，故 g (x )min =g (1)=2，故 0<a ≤2． （2） 若不等式 (x −1)f (x )≥0 恒成立，即 (x −1)[(x +1)lnx −a ]≥0 恒成立，① x ≥1 时，只需 a ≤(x +1)lnx 恒成立，令 m (x )=(x +1)lnx ，(x ≥1)，则 mʹ(x )=lnx +1x +1， 由（1）得：mʹ(x )≥2，故 m (x ) 在 [1,+∞) 递增，m (x )≥m (1)=0， 故 a ≤0，而 a 为正实数，故 a ≤0 不合题意； ② 0<x <1 时，只需 a ≥(x +1)lnx ，令 n (x )=(x +1)lnx ，(0<x <1)，则 nʹ(x )=lnx +1x +1，由（1）nʹ(x ) 在 (0,1) 递减，故 nʹ(x )>n (1)=2，故 n (x ) 在 (0,1) 递增，故 n (x )<n (1)=0，故 a ≥0， 而 a 为正实数，故 a >0．20. （1） 数列 {a n } 满足 a n >0，4(n +1)a n 2−na n+12=0，所以 2√n +1a n =√na n+1n+1√n+1=n √n，所以数列 {n √n} 是以 a 1 为首项，以 2 为公比的等比数列． （2） 由（1）可得：n√n=a 1×2n−1， 所以 a n 2=na 12⋅4n−1．因为 b n =a n2t n，所以 b 1=a 12t，b 2=a 22t 2，b 3=a 32t 3，因为数列 {b n } 是等差数列， 所以 2×a 22t 2=a 12t+a 32t 3， 所以2×2a 12×4t=a 12+3a 12×42t 2，化为：16t =t 2+48，解得 t =12或4．（3） 数列 {b n } 是等差数列，由（2）可得：t =12或4． ① t =12 时，b n =na 12⋅4n−112n=na 124×3n，S n =n(a 1212+na 124×3n)2，因为对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n −a 14n 2=16b m 成立，所以 8a 12×n(a 1212+na 124×3n)2−a 14n 2=16×ma 124×3m，所以 a 12(n 3+n 23n −n 2)=4m3m ，n =1 时，化为：−13a 12=4m 3m>0，无解，舍去．② t =4 时，b n =na 12⋅4n−14n=na 124，S n =n(a 124+na 124)2，对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n−a 14n 2=16bm 成立，所以 8a 12×n(a 124+na 124)2−a 14n2=16×ma 124，所以 na 12=4m ，所以 a 1=2√mn ． 因为 a 1 为正整数， 所以 √mn=12k ，k ∈N ∗．所以满足条件的所有整数 a 1 的值为 {a 1∣ a 1=2√m n ,n ∈N ∗,m ∈N ∗,且√m n =12k,k ∈N ∗}．21. 如图，连接 OC ， BC =OB =OC =3， 因此 ∠CBO =60∘． 由于 ∠DCA =∠CBO ，所以 ∠DCA =60∘，又 AD ⊥DC 得 ∠DAC =30∘． 又因为 ∠ACB =90∘，得 ∠CAB =30∘，那么 ∠EAB =60∘，从而 ∠ABE =30∘， 于是 AE =12AB =3．22. （1） 设矩阵 A =[a bc d ]，这里 a,b,c,d ∈R ，则 [a b c d ][11]=8[11]=[88]，故 {a +b =8,c +d =8,由于矩阵 M 对应的变换将点 (−1,2) 换成 (−2,4)． 则 [a b c d ][−12]=[−24]，故 {−a +2b =−2,−c +2d =4,联立以上两方程组解得 a =6，b =2，c =4，d =4，故 M =[6244]．（2） 由（1）知，矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)=(λ−6)(λ−4)−8=λ2−10λ+16，故矩阵 M 的另一个特征值为 2． 23. （1） 由 ρ=2 知 ρ2=4，故圆 O 1 的直角坐标方程为 x 2+y 2=4． 因为 ρ2−2√2ρcos (θ−π4)=2，所以 ρ2−2√2ρ(cosθcos π4+sinθsin π4)=2，故圆 O 2 的直角坐标方程为 x 2+y 2−2x −2y −2=0． （2） 将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为 x +y =1． 化为极坐标方程为 ρcosθ−ρsinθ=1， 即 ρsin (θ+π4)=√22． 24. 由柯西不等式可得(√3a +1+√3b +1+√3c +1)2≤[12+12+12][(√3a +1)2+(√3b +1)2+(√(3c +1))2]=3×12,所以 √3a +1+√3b +1+√3c +1≤6，当且仅当 √3a +1=√3b +1=√3c +1 时取等号． 所以 √3a +1+√3b +1+√3c +1 的最大值为 6． 25. （1） 设 AC 与 BD 的交点为 O ，AB =PA =2．以点 O 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别是 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系 O −xyz ．A (1,−1,0)，B (1,1,0)，C (−1,1,0)，D (−1,−1,0)， 设 P (0,0,p )，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,p )， 又 AP =2，所以 1+1+p 2=4，所以 p =√2，因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,−13,2√23)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,13,0)，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√2)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23,−2√23)， 设异面直线 MN 与 PC 所成角为 θ， 则 cosθ=∣MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=23+432√49+89=√32． θ=30∘，所以异面直线 MN 与 PC 所成角为 30∘．（2） PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√2)，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,13,−√2)， 设平面 PBC 的法向量 n ⃗ =(x,y,z )， 则 {n ⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√2z =0,n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√2z =0,取 z =1，得 n ⃗ =(0,√2,1)， 设平面 PNC 的法向量 m ⃗⃗ =(a,b,c )， 则 {m ⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +13b −√2c =0,m ⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −√2c =0, 取 c =1，得 m ⃗⃗ =(√2,2√2,1)， 设二面角 N −PC −B 的平面角为 θ，则cosθ=∣m⃗⃗⃗ ⋅n⃗ ∣∣m⃗⃗⃗ ∣⋅∣n⃗ ∣=√3⋅√11=5√3333．所以二面角N−PC−B的余弦值为5√3333．26. （1）a n=sin nπ2tan nθ，当n=2k(k∈N∗)为偶数时，a n=sinkπ⋅tan nθ=0；当n=2k−1为奇函数时，a n=sin2k−12πtan nθ=(−1)k−1tan nθ=(−1)n−12tan nθ．（2）a2k−1+a2k=(−1)n−12tan nθ．所以奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为−tan2θ．所以S2n=tanθ[1−(−1)n tan2nθ]1−(−tan2θ)=12sin2θ⋅[1+(−1)n+1tan2nθ]．。

苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知i 为虚数单位，复数11z i =+，则｜z ｜=2.已知集合A ={x ｜0≤x ≤1}，B ={x ｜a -1≤x ≤3}，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x=，则a = 5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为7.“直线l 1:ax +y +1=0与直线l 2:4x +ay +3=0平行”是“a =2”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=9，9595S S -＝－4，则a n = 9.已知点M 是曲线y =2ln x +x 2-3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为10.已知3cos2α＝4sin(4π－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为12.在∆ABC 中，，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB =2OC ，则∆ABC 面积的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把[答案]直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知i为虚数单位，复数11zi=+，则｜z｜=2.已知集合A={x｜0≤x≤1}，B={x｜a-1≤x≤3}，若A⋂B中有且只有一个元素，则实数a的值为3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2221(0)4x yaa-=>的一条渐近线方程为23y x=，则a=5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是6.右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为7.“直线l1:ax+y+1=0与直线l2:4x+ay+3=0平行”是“a=2”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{a n}的前n项和为Sn，a1=9，9595S S-＝－4，则a n=9.已知点M是曲线y=2ln x+x2-3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为10.已知3cos2α＝4sin(4π－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为12.在∆ABC 中，，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ，则∆ABC 面积的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。