最新数学分析第四学期试题

目　录第12章　数项级数12.1　复习笔记12.2　课后习题详解12.3　名校考研真题详解第13章　函数列与函数项级数13.1　复习笔记13.2　课后习题详解13.3　名校考研真题详解第14章　幂级数14.1　复习笔记14.2　课后习题详解14.3　名校考研真题详解第15章　傅里叶级数15.1　复习笔记15.2　课后习题详解15.3　名校考研真题详解第16章　多元函数的极限与连续16.1　复习笔记16.2　课后习题详解16.3　名校考研真题详解第17章　多元函数微分学17.1　复习笔记17.2　课后习题详解17.3　名校考研真题详解第18章　隐函数定理及其应用18.1　复习笔记18.2　课后习题详解18.3　名校考研真题详解第19章　含参量积分19.1　复习笔记19.2　课后习题详解19.3　名校考研真题详解第20章　曲线积分20.1　复习笔记20.2　课后习题详解20.3　名校考研真题详解第21章　重积分21.1　复习笔记21.2　课后习题详解21.3　名校考研真题详解第22章　曲面积分22.1　复习笔记22.2　课后习题详解22.3　名校考研真题详解第23章　向量函数微分学23.1　复习笔记23.2　课后习题详解23.3　名校考研真题详解第12章　数项级数12.1　复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。

第19章含参量积分§1含参量正常积分1．设（这个函数在x＝y时不连续），试证由含参量积分所确定的函数在上连续，并作函数F（y）的图像．解：由于因此当y＜0时时，f（x，y）＝﹣1，当时，所以它在上连续，F（y）的图像见图19-1图19-12．求下列极限：解：（1）在区域上连续．因此（2）在区域上连续，因此3．设求F'（x）．解：存在k＞0，使二元函数与在矩形区域上连续，x与x2均为可微函数．则函数在[﹣k，k]上可微，且4．应用对参量的微分法，求下列积分：解：（1）若，所以同理若，设则又因所以因而（2）设当|a|＜1时因而为连续函数，且具有连续导数，所以故当|a|＜1时，I（a）＝C（常数），又I（0）＝0，从而I（a）＝0．当|a|＞1时，令，则|b|＜1，有I（b）＝0，于是当|a|＝1时，同理可得I（﹣1）＝0．综上所述得5．应用积分号下的积分法，求下列积分：解：（1）记因为故令贝g（x）在[0，1]上连续，于是有记则f（x，y）在上连续，所以作代换x＝e﹣t后得到因此（2）类似于（1）题6．试求累次积分与并指出它们为什么与定理19．6的结果不符．解：由于故有因为在点（0，0）不连续，所以与定理19．6的结果不符．7．研究函数的连续性，其中f（x）在闭区间[0，1]上是正的连续函数．解：由于f（x）在[0，1]上是正的连续函数，故存在正数m，使得，f（x）≥m＞0，x∈［0，1]．当y＞0时，当y＜0时，因此所以F（y）在y＝0处不连续，当时在上连续，所以当y≠0时，函数F（y）连续．8．设函数f（x）在闭区间［a，A]上连续，证明：证明：因为当h→0时．所以9．设其中，f（z）为可微函数，求F xy（x，y）．解：10．设，其中0＜k＜1（这两个积分称为完。

《数学分析下册》期末考试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）1、已知uln某2y2，则uu，，y某du2、设L：某2y2a2，则某dyyd某L某=3cot，L：3、设（0t2），则曲线积分（某2+y2）d=y=3int.L4、改变累次积分dy（f某，y）d某的次序为2y33某y1，则(51)d某dy=5、设D：D得分阅卷人二、判断题（正确的打“O”;错误的打“某”；每题3分，共15分）p某0，y0）p某0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必存在一f某，y）f某，y）阶偏导数。

()p某0，y0）p某0，y0）2、若函数（在点（可微，则函数（在点（连续。

f某，y）f某，y）()p某0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数f某y(某0,y0)和fy某(某0,y0)，则f某，y）必有f某y(某0,y0)fy某(0某,0y) L(B,A)()()4、L(A,B)f(某,y)d某f(某,y)d某。

5、若函数（在有界闭区域D上连续，则函数（在D上可积。

()f某，y）f某，y）第1页共5页得分阅卷人三、计算题（每小题9分，共45分）1、用格林公式计算曲线积分I(e某iny3y)d某(e某coy3)dy，AOAO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆某2y2a某上半部分的路线。

其中2、计算三重积分------线--------------------------------------(某V2y2)d某dydz，其中是由抛物面z某2y2与平面z4围成的立体。

第2页共5页3、计算第一型曲面积分IdS，S其中S是球面某2y2z2R2上被平面za(0aR)所截下的顶部（za）。

4、计算第二型曲面积分22Iy(某z)dydz某dzd某(y某z)d某dy，S其中S是立方体V0,b0,b0,b的外表面。

第3页共5页5、设D(某,y)某2y2R曲顶柱体的体积。

得分阅卷人四、证明题(每小题7分，共14分)1、验证曲线积分第4页共5页2.求以圆域D为底，以曲面ze(某2y2)为顶的(某22yz)d某(2y2某)zdy2(z2，某)ydzL与路线无关，并求被积表达式的一个原函数u(某,y,z)。

数学分析下考试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4答案：B4. 函数f(x)=x^3在x=0处是否可导？A. 是B. 否答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2的导数是_________。

答案：2x2. 函数f(x)=x^3的不定积分是_________。

答案：(1/4)x^4 + C3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是_________。

答案：04. 函数f(x)=sin(x)的原函数是_________。

答案：-cos(x) + C三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]。

答案：42. 求函数f(x)=e^x的不定积分。

答案：e^x + C3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

答案：1/3四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在x=0处连续。

答案：由于f(x)=x^3是一个多项式函数，而多项式函数在其定义域内处处连续，因此f(x)=x^3在x=0处连续。

2. 证明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。

答案：对于任意的0≤x1<x2≤1，我们有f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2=(x1-x2)(x1+x2)。

由于x1<x2，所以x1-x2<0，而x1+x2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，这说明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。

试题(1卷)一．填空（每小题3分,共15分）1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出，且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则曲线L 在点0P 的切线方程为 ； 2.含参量积分⎰=)()(),()(x d x c dyy x f x F 的求导公式为=')(x F ;3。

Γ函数的表达式为 =Γ)(s ,0>s ；4。

二重积分的中值定理为：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在D ∈),(ηξ，使⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.当0),,(≥z y x f 时,曲面积分⎰⎰S dSz y x f ),,(的物理意义是： 。

二.完成下列各题(每小题5分，共15分)1。

设5422222=-+-++z y x z y x ,求y z x z ∂∂∂∂,； 2。

设 ⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ∂∂∂∂, ；3. 求积分)0(ln 1>>-⎰a b dx x x x ab .三。

计算下列积分(每小题10分，共50分）1。

⎰L xyzds,其中L 为曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段；2.⎰+-Ly x xdxydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向；3．作适当变换计算⎰⎰-+D dxdyy x y x )sin()(， 其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4。

⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22,其中V 是由x y z x x ====,0,2,1与y z =围成的区域;5.dSy xS)(22⎰⎰+,其中S 为圆锥面222z y x =+被平面1,0==z z 截取的部分。

四.应用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x S333++⎰⎰,其中S 为球面2222a z y x =++的外侧。

数学分析第四版答案简介《数学分析第四版》是一本经典的数学教材，主要介绍了数学分析的基本概念、理论和方法。

本文档旨在提供《数学分析第四版》习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握数学分析的知识。

第一章简介1.1 数学分析的基本概念习题答案：1.由已知条件可知，当a=a时，a(a)=a(a)成立。

所以函数a(a)是一个常函数。

2.对于任意实数a和a，有a(a+a)=a(a)+a(a)，即函数a(a)满足加法性。

根据题意，我们需要证明a(aa)=a(a)a(a)。

证明：设实数a和a，并令a=a和 $b=\\frac{y}{x}$，根据加法性，我们有：$$ f(a+b) = f(a) + f(b) \\quad \\text{(1)} $$将a=a和 $b=\\frac{y}{x}$ 代入上式，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(x) +f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(2)} $$又根据题目条件，我们知道a(aa)=a(a)a(a)，将$b=\\frac{y}{x}$ 代入该式，得到：$$ f(xy) = f\\left(x\\cdot\\frac{y}{x}\\right) =f(x)f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(3)} $$将式 (3) 代入式 (2)，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(xy) \\quad \\text{(4)} $$根据题目条件中的函数性质，我们得到：$$ x+\\frac{y}{x} = xy $$上式可以转化为二次方程的形式，解得：$$ x^2 - xy + \\frac{y}{x} = 0 $$由上式可知，a是方程a2−aa+a=0的一个根。

根据韦达定理，该方程的两个根分别为：$$ x_1 = \\frac{y+\\sqrt{y^2+4}}{2} \\quad \\text{和}\\quad x_2 = \\frac{y-\\sqrt{y^2+4}}{2} $$由于题目中没有限制a的取值范围，所以a可以取任意实数。

人教版高中第四册数学期末考试试题分析一：选择题(每题5分，共6 0分)1.设选集那么 =( )A. B. C. D.2. 集合，，那么 ( )A.{x|03. 条件，条件，那么成立的( )A.充要条件B.充沛不用要条件C. 必要不充沛条件D.既非充沛也非必要条件4.以下有关命题的说法正确的选项是 ( ).A.命题假定，那么的否命题为：假定，那么 .B. 是的必要不充沛条件;C.命题假定，那么的逆否命题为真命题.D.命题使得的否认是：均有 .5.以下函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是( )A. B. C. D.6. 函数，那么的值为( )A. B.0 C.1 D.27.以下大小关系正确的选项是( )A. B.C. D.8.假定命题是假命题，那么实数的最小值为 ( )A. B. C. D.9.在以下区间中函数的零点所在的区间为( )A. B. C. D.10.函数的图象大致为( )A. B. C. D.11.函数，，假定，，使得，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.12. 是定义在上的可导函数，其导函数为，且，那么不等式的解集为( )A. B. C. D.第二卷(非选择题共90分)二：填空题(每题5分，共20分)13.函数的定义域为____.14. 对恣意的，，存在，假定均为命题，且是真命题，那么实数的取值范围是 .x k b 115. ，假定，那么的值是 .16.求方程的解有如下解题思绪：设，那么在上单调递减，且，所以原方程有独一解 .类比上述解题思绪，方程的解集为 .本文导航 1、首页2、高中第四册数学期末考试试题剖析-23、高中第四册数学期末考试试题剖析-34、高中第四册数学期末考试试题剖析-4三：解答题(解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤) 17.( 本小题总分值12分)函数， .(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期;(Ⅱ)设的内角、、的对边区分为、、，满足，且，求，的值.18.(本小题总分值12分)某中学作为蓝色陆地教育特征学校，随机抽取100名先生，停止一次陆地知识测试，按测试效果分组如下：第一组[65，70)，第二组 [70，75)，第三组[75，80)，第四组 [80，85)，第五组 [85，90)(假定考试效果均在[65， 90)内)，失掉频率散布直方图如下：(1)求测试效果在[80， 85)内的频率;(2)从第三、四、五组同窗中用分层抽样的方法抽取6名同窗组成陆地知识宣讲小组，活期在校内停止义务宣讲，并在这6名同窗中随机选取2名参与市组织的蓝色陆地教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同窗被抽中的的概率.19. (本小题总分值12分)如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，为上一点，， .(I)假定为的中点，求证平面 ;(II)求三棱锥的体积.20. (本小题总分值12分)设椭圆的左焦点为，离心率，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于不同的两个点，当面积最大时，求线段的长度 .21. (本小题总分值12分)设函数(1)当时，求函数的单调区间;(2)假定函数的图象总在直线的下方，求的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，假设多做，那么按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. (本小题总分值10分)如图, 切⊙ 于点E,割线PBA交⊙ 于A、B两点,APE的平分线和AE、BE区分交于点C、D.求证:(Ⅰ) ; (Ⅱ) .23. (本小题总分值10分)极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合，且有相反的长度单位，直线的参数方程是 (为参数)，曲线的极坐标方程为(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线与曲线相交于，两点，求，两点间的距离.24. (本小题总分值10分)设函数 .(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)假定不等式的解集为，务实数取值范围.人教版高中第四册数学期末考试试题剖析就为您引见完了，查字典数学网的编辑将第一时间为您整理信息，供大家参考!。

第22章曲面积分1．设S是椭圆面的上半部分，点，Ⅱ为S在点P的切平面， （x，y，z）为点O（0，0，0）到平面Ⅱ的距离，求．解：设（X，Y，Z）为Ⅱ上任意一点，则Ⅱ的方程为由此易知由S的方程有，于是其中是S在xOy平面上的投影．作极坐标变换容易求出：2．计算积分其中S：x＋y＋z＝t，解：将z＝t－x－y代入整理可得：由此可知，当时，平面S在球内；当时，平面S在球之外，所以显然当时．F（t）＝0，所以只需计算时的积分：其中D是式（1）所表示的区域．作变换则D变为，其中．于是对式（3）右边进一步计算得所以3．设曲面S由方程所确定，求曲面S的面积．解：在球坐标变换：x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ之下，曲面S的方程是，其参数方程为通过计算易知，由此得由曲面的对称性，只需求第一卦限部分的面积即可．而此时，并且由曲面方程知cos2θ≥0，所以0≤θ≤π/4．故S的面积为4．计算曲面积分，其中S是曲面x2＋y2＝R2及两个平面z＝R，z＝－R（R>0）所围的立体的表面的外侧（数学Ⅰ，Ⅱ）．解：设S1，S2，S3分别为S的上、下底面和圆柱侧面，则记S1＋S2在xOy平面上的投影区域为D xy，则在S3上，而S3在yOz平面上的投影区域D yz：－R≤y≤R，－R≤z≤R，故从而曲面积分5．求，其中S是球面x2＋y2＋z2＝a2（x>0，y≥0，z≥0）的第一卦限部分，取外侧．解：球面在点（x，y，z）处的法向量为，由两类曲面积分的关系，有（利用轮换对称性）其中，x≥0，y≥0．作极坐标变换，有6．计算曲面积分S是闭曲面|x－y＋z|＋|y－z＋x|＋|z－x＋y|＝1，方向取外侧．解：由高斯公式，可得其中Ω是由闭曲面S所围的空间区域．作变换：u＝x－y＋z，v＝y－z＋x，w＝z－x＋y，则区域力变成Ω1：|u|＋|v|＋|w|≤1．由对称性，有7．计算第二型曲面积分其中f（x，y，z）为连续函数，∑是平面x－y＋z＝1在第四卦限部分，方向取上侧．解：设曲面∑的单位法向量为（cosα，cosβ，cosγ），则dydz＝cosαdS，dzdx＝cosβdS，dxdy＝cosγdS．由此可得具体到本例，，因而dydz＝dxdy，dzdx＝－dxdy．于是其中D xy＝{（x，y）1≤x≤1＋y，－1≤y≤0}是曲面∑在xOy平面的投影。