高中数学2.4.1 抛物线的标准方程 同步练习

2.4.1 抛物线及其标准方程一、选择题1、准线与x轴垂直，且经过点（1，2-）的抛物线的标准方程是（）A. y2＝-2xB. y2＝2xC. x2＝2yD. x2＝-2y2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线22142x y-=上，则抛物线的方程为（）A. y2＝8xB. y2＝4xC. y2＝2xD. y2＝±8x3、设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 124、已知点A（-2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A.43- B. -1 C.34- D.12-5、如图，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°方向23km 处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元．A. （23aB. 231）aC. 5aD. 6a6、已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝-1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（）A. 22B. 4C. 2D. 321 2+7、已知双曲线C1：22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A. x 2＝83yB. x 2＝163yC. x 2＝8yD. x 2＝16y二、填空题8、抛物线y ＝2x 2的准线方程为______．9、抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是______．10、抛物线214y x =-上的动点M 到两定点F （0，-1），E （1，-3）的距离之和的最小值为______．11、在抛物线y 2＝-12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是______．12、对于标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；①焦点在x 轴上；①抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；①由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是______．（要求填写适合条件的序号）三、解答题13、设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x（k ＞0）与C 交于点P ，PF ①x 轴，求k 的值．14、如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？15、如图，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M ．（1）求抛物线的方程；（2）过点M作MN①F A，垂足为N，求点N的坐标．参考答案1、【答案】B【分析】本题考查抛物线的标准方程.【解答】由题意，可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则（2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，选B.2、【答案】D【分析】本题考查抛物线的标准方程和焦点坐标.【解答】由题意抛物线的焦点坐标为（2，0）或（-2，0），因此抛物线方程为y2＝±8x.3、【答案】B【分析】本题考查抛物线的定义和标准方程.【解答】抛物线y2＝8x的准线方程为x＝-2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.4、【答案】C【分析】本题考查直线与抛物线的综合.【解答】抛物线的准线方程为x＝-2，则焦点为F（2，0）．从而k AF＝303 224 -=---.5、【答案】C【分析】本题考查抛物线的应用.【解答】依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向处，①B到点A的水平距离为3km，①B到直线l距离为3＋2＝5（km），那么修建这两条公路的总费用最低为5a万元，选C.6、【答案】A【分析】本题考查抛物线的定义.【解答】将P点到直线l1：x＝-1的距离转化为点P到焦点F（1，0）的距离，过点F 作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，①P到两直线的距离之和的= A.7、【答案】D答案第1页，共4页【分析】本题考查抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式.【解答】由e 2＝1＋22b a ＝4得b a =y ＝±y ＝0，抛物线C 2的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222p =，解得p ＝8，故抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 8、【答案】18y =- 【分析】本题考查抛物线的准线方程. 【解答】化方程为标准方程为212x y =，故128p =，开口向上，①准线方程为18y =-. 9、【答案】2【分析】本题考查抛物线的定义.【解答】抛物线y 2＝2x 的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为x ＝12-，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.10、【答案】4【分析】本题考查抛物线的定义以及标准方程.【解答】抛物线的标准方程为x 2＝-4y ，其焦点坐标为（0，-1），准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E （1，-3）到直线y ＝1的距离．即最小值为4.11、【答案】（-6，-6，-【分析】本题考查抛物线的标准方程.【解答】设所求点为P （x ，y ），抛物线y 2＝-12x 的准线方程为x ＝3，由题意知3-x ＝9，即x ＝-6．代入y 2＝-12x ，得y 2＝72，即y ＝±因此P （-6，或P （-6，-．12、【答案】①①【分析】本题考查抛物线的定义以及标准方程.【解答】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，①满足，①不满足；设M （1，y 0）是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋2p ＝1＋52＝72≠6，∴①不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，过该焦点的直线方程为52y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若由原点向该直线作垂线，垂足为（2，1）时，则k＝-2，此时存在，∴①满足．13、【答案】k＝2．【分析】本题考查抛物线的标准方程和焦点坐标.根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF①x轴，知点P，F的横坐标相等，再根据点P在曲线y＝k x上求出k．【解答】①y2＝4x，①F（1，0）．又①曲线y＝kx（k＞0）与C交于点P，PF①x轴，①P（1，2）．将点P（1，2）的坐标代入y＝kx（k＞0）得k＝2．14、【答案】|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．【分析】本题考查抛物线的应用.【解答】如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（9，-8）．设抛物线方程为x2＝-2py（p＞0）．①B点在抛物线上，①81＝-2p·（-8），①p＝8116，①抛物线的方程为x2＝818-y．当x＝92时，y＝-2，即|DE|＝8-2＝6．①|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．15、【答案】（1）y2＝4x；（2）84,55N⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】本题考查直线与抛物线的综合应用.【解答】（1）抛物线y2＝2px的准线方程为x＝2p-，于是4＋2p＝5，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x．（2）由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）．又F（1，0），∴k AF＝43，则F A的方程为y＝43（x-1）．∵MN①F A，∴k MN＝34-，则MN的方程为y＝34-x＋2．答案第3页，共4页解方程组()32,441,3y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得8,54,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴84,55N ⎛⎫⎪⎝⎭．。

A．3 4
B．1
C．5 4
D．7 4
2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线 焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为 ( )
A.( 1 , 1) B. ( 1 ,1) C．(1,2)
4
4
D．(1，－2)
3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程 是__________.
得 x＝2，∴点 P 的坐标为(2,2).
三、合作探究、问题解决
题型三：利用抛物线的定义求轨迹
【例3】点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离 小1，求点M的轨迹方程.
解：如图所示，设点M的坐标为（x,y) 由已知条件可知，点M与点F的距离等于 它到直线x+4=0的距离. 根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线.
p
∵ 2=4，∴p=8, 因为焦点在x轴的正半轴 上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.
三、合作探究、问题解决
题型三：利用抛物线的定义求轨迹
【变式训练4】点P与点F（0，2）的距离比它到直线y+4=0的距 离小2，求点P的轨迹方程.
解：设点P的坐标为（x, y)，由已知条件 可知，点P与点F的距离等于它到直线 y+2=0的距离.根据抛物线的定义，点M的 轨迹是以F（0，2）为焦点的抛物线.
∵点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH
与准线垂直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别
交于点 N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，
|AN|＝|AF|－1．在△CAN 中，BM∥AN，
∴||BACC||＝||BAMN||＝||BAFF||－ －11．

2021年高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程练习题新人教版选修2-1
1. 抛物线的准线与双曲线等的两条渐近线所围成的三角形面积等于 (A)
(B) (C)2 (D)
2. 已知A、B是抛物线上的两点，线段AB的中点为M（2,2），则|AB|等于
3. 已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的
最小值是（）
A . 8
B .
C .10
D .
4. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
5. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
果直线AF的斜率为,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16
6. 设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）. 若线段FA的中点B在
抛物线上，
则B到该抛物线准线的距离为________.
7. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．
8. 已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离
为____________．
9. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=
A．B． C． D．24620 602C 怬G!/m21325 534D 卍WWc637484 926C 鉬v 3。

2.4.1抛物线的标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案:C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y2C.y2=答案:B3.抛物线y2A.xC.x=答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y2B.x2+(y-1)2C.(x-1)2+y2=12y-1)2=1答案:C★5.已知点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于() A.3 B.6C.9D. 12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x由抛物线定义知l=h,又l=d d=l答案:B6.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案:7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.答案:y2=8x8.抛物线x-4y2=0的准线方程是.答案:x=9.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M 的坐标.解:由抛物线定义知,焦点x=由题意,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即9p=2.故抛物线方程为y2=4x.将M(9,y)代入y2=4x,解得y=±6,则点M的坐标为(9,6)或(9,-6).★10.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,因所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2,则x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0, 即p=4.故抛物线方程为y2=8x.。