高二数学《2.4.1抛物线的标准方程》学案

2.4.1 抛物线及其标准方程

预习导引区

核心必知

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．

(1)观察教材，点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹．

①M的轨迹是什么形状？

②|MH|与|MF|之间有什么关系？

③抛物线上任意一点M到点F和直线l的距离都相等吗？

(2)观察教材，直线l的方程为x＝－p2，定点F的坐标为p2，0，设M(x，y)，根据抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，则M点的轨迹方程是什么？

2．归纳总结，核心必记

(1)抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)

的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的准线．

(2)抛物线的标准方程

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

y2＝2px(p>0) p2，0 x＝－p2

y2＝－2px(p>0) －p2，0 x＝p2

续表

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

x2＝2py(p>0) 0，p2 y＝－p2 x2＝－2py(p>0) 0，－p2 y＝p2

问题思考

(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？

(2)到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？

(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？

课堂互动区

知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程

思考1 抛物线的标准方程有哪几种类型？

思考2 抛物线方程中p的几何意义是什么？

思考3 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？

讲一讲

1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0; (3)y2＝ax(a>0)．

类题·通法 根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．

高中数学选修2-1学案

1 §2.4 抛物线

2.4.1 抛物线及其标准方程

学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题． 高中数学选修2-1学案

2

知识点一 抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．

知识点二 抛物线的标准方程

思考 抛物线的标准方程有何特点？

[答案] (1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围．(2)p的几何意义是焦点到准线的距离．

梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．

现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：

标准方程 y2＝2px

(p>0) y2＝－2px

(p>0) x2＝2py

(p>0) x2＝－2py

(p>0)

图形

焦点坐标 p2，0 －p2，0 0，p2 0，－p2 高中数学选修2-1学案

3 准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

p的几何意义 焦点到准线的距离

高中数学选修2-1学案

4

(1)抛物线的方程都是二次函数．(×)

(2)抛物线的焦点到准线的距离是p.(√)

(3)抛物线的开口方向由一次项确定．(√)

类型一 抛物线定义及应用

例1 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0等于( )

高二数学高效课堂资料

课题：2.4.1

抛物线的标准方程

编写人：张文武

【学习目标】

1.熟练掌握抛物线的定义及标准方程，能根据条件求抛物线的方程。

2.探究求抛物线方程的规律方法。

3.感受数学的曲线美。

【使用说明及学法指导】

利用15分钟先精读一遍教材P57—P63，用红色笔对概念公式进行勾画，再针对预习自学二

次阅读；找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

一、预习指导

1.阅读课本P57图2-20对应的小实验，理解并写出抛物线的定义.

思考：若定义中lF

，则该点轨迹是什么？

2.试根据抛物线的定义写出一种抛物线标准方程的推导过程(如何建系).

思考：若给出的抛物线标准方程为2

2(0)ypxp

，则抛物线的焦点坐标和准线方程是什

么？P的几何意义是什么？

二、典型例题

例1.(1)焦点在x

轴的正半轴上，并且经过点(2,4)M

.

(2) 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点B（4,2）.

2 例2.（1）已知点M在抛物线2

12yx

上，它与焦点的距离等于9，求点M的坐标.

（2）已知点M与点(4,0)F的距离比它到直线:60lx

的距离小2，求点M的轨迹方程.

三、随堂练习

1. 写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1) xy122

(2) xy10-2

2. 根据下列条件，求抛物线的标准方程：

(1)焦点坐标为F（-4，0）

(2) 焦点在x

轴的正半轴上，并且准线与y

轴之间的距离为6

3.抛物线2

12yx

上的一点P和焦点F的距离等于9，求点P的坐标

四、课后作业

1.已知抛物线的焦点在x

轴的正半轴上,抛物线上的点(3,)Mm到抛物线焦点的距离是5，

求抛物线的标准方程和m

的值.

3 2.动点M到点F（2，0）的距离和到直线x=-2的距离相等，求动点M的轨迹方程

3.一个动点到点F（-4,0）的距离比到直线x-3=0的距离多1，求这个动点的轨迹方程。

《抛物线及其标准方程》教学设计

青岛第五十八中学 数学组 刘加宝

 教学目标

1、知识目标：

（1）能够全过程参与活动，根据曲线方程的求解步骤，依据抛物线的定义，建立恰当的坐标系求出抛物线方程，并熟练掌握四种标准方程的异同点，并在解题过程中能够根据已知条件恰当地选取（设）方程；

（2）通过学生自主探究标准方程，让学生再一次感受求曲线方程的坐标法：定义法；通过不同的建系，让学生体验数学方法的千变万化；

（3）通过展示生活中的抛物线型物体及其平面图形，以及选取与生活相关的实际例题，让学生感受数学在日常生活中无处不在，应用数学知识能够很好地解决实。

2、能力目标：

通过学习本节知识，进一步体会、领悟数形结合、数学建模的思想方法，提高应用教材知识解决实际问题的能力。

3、素养目标：

通过对有关问题的解决，进一步培养同学们知难而进的精神，在问题解决的过程中体会小组合作的力量，在课堂上融入德育渗透。



教学重难点：

教学重点：抛物线的定义、标准方程的四种基本形式及其实际应用

教学难点：抛物线定义的理解及其简单应用

教学方法：

结合本节课的教学内容和学生的认知水平进行启发、诱导、探索，在教法上，我采用“学案导学”与“问题探究式”相结合的教学方法，做到先学后教，以学定教，当堂训练的模式，层层深入，充分调动学生的积极性，让学生真正成为教学活动的主体。

教学策略与设计：

1、视频导入：播放一段同学们都喜欢的篮球视频，让同学们观察篮球进入篮筐前的运动轨迹是什么图形？

2、先课前自主预习，然后再小组讨论，解决问题，并有小组代表到黑板演示本小组成果或投影展示所设计方案并说明理由。通过模型的构建，培养同学们的数学建模思想。

3、利用电脑动画模拟抛物线轨迹的生成，让学生更直观、深刻的感受抛物线的定义且深化学生数形结合思维习惯。

 教学过程：

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

情景创设

新课尝试 创设情境：