圆锥曲线基本知识-椭圆

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。

其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。

叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。

★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。

其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。

三、标准方程。

椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。

注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。

如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。

∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。

四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。

①、范围。

以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。

关于X 、Y 轴成轴对称。

关于原点成中心对称。

③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。

长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。

构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。

椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。

圆锥曲线知识点一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；椭圆的标准方程为：22221x y a b+=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤ ②对称性：椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心③顶点： 1(0,)B b -，2(0,)B b 1(,0)A a -，2(,0)A a 叫做椭圆的顶点 线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2ba 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

④准线：两条准线2a x c =±由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比ce a=叫椭圆的离心率 01e << e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。

高中圆锥曲线知识点总结全面经典高中数学椭圆的知识总结：椭圆的定义：椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2）时，动点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。

需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。

椭圆的参数方程：当焦点在x轴上时，椭圆的参数方程为{x=a*cosθ。

y=b*sinθ}，其中θ为参数；当焦点在y轴上时，椭圆的参数方程为{x=a*sinθ。

y=b*cosθ}。

椭圆的几何性质：（1）椭圆的范围为- a≤x≤a。

- b≤y≤b；（2）椭圆的焦点为两个焦点(±c,0)；（3）椭圆具有对称性，有两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心(0,0)，四个顶点(±a,0),(0,±b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；（4）椭圆的离心率为e=c/a，椭圆的形状由离心率e决定，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

点与椭圆的位置关系：（1）点P(x,y)在椭圆外部当且仅当a²+b²1.直线与圆锥曲线的位置关系：（1）当Δ>0时，直线与椭圆相交；（2）当Δ=0时，直线与椭圆相切；（3）当Δ<0时，直线与椭圆相离。

例如，直线y-kx-1=0与椭圆5x²+m²=1恒有公共点，当且仅当m²≤5/(1+k²)。

焦点三角形：椭圆上的一点与两个焦点所构成的三角形。

弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB=√(1+k²(x1-x2)²)；若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√(1+(y1-y2)²/k²)；若弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√(1+k²(y1-y2)²)。

圆锥曲线 椭圆1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴1.求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．(2)经过点A (13，13)，B (0，－12)．图形标准方程 x 2a 2 ＋y 2b 2 =1(a>b>0) y 2a 2 ＋x 2b2 =1(a>b>0) 一般方程 Ax 2＋Cy 2=F(A 、C 、F 同号)中心 O （0，0） O （0，0） 参数方程 x= acos θ y= bsin θ x= bcos θ y= asin θ 长轴长 2a 2a 短轴长 2b 2b 焦距 2c 2c 离心率 e = c a e = c a基本量的关系a 2=b 2＋c 2，e = c a ，b a = 1-e 2 a 2=b 2＋c 2，e = c a ，ba= 1-e 2顶点 （±a ，0）（0，±b ） （±b ，0）（0，±a ）焦点 （±c ，0） (0，±c)准线方程 x =± a 2c y =± a 2c准线距 2a 2c 2a 2c 焦准距 p = b 2c p = b 2cM(x 0，y 0)的 焦点半径 r 左= a ＋ex 0r 右= a －ex 0r 下= a ＋ex 0 r 上= a －ex 0通径长2b 2a2b 2a对称轴方程x=0，y =0x=0，y =0MxyF 1 F 2Oa ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y25＝1 D ．以上都不对求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，焦点在x 轴上，且经过点(2，－3)．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程．(2)焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．2.根据方程研究几何性质求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴、短轴、焦点坐标和顶点坐标．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m 的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．3求椭圆的离心率如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( )A.33B.23C.22D.32设椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A ．3 B.163C.163或3 D ．2或163直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为________．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的取值范围；4.直线与椭圆的位置关系问题当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144相切、相交、相离．已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2作垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A 、B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△AF 1B 的周长；(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？椭圆练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．41B ．22 C ．42 D ．21 7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是A ．516B ．566 C ．875 D ．877 8．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P（1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27 C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．12D ．－12二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆4 x 2+ 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是________________ ． 14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．(12分)16．已知A 、B 为椭圆22a x +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．(12分)17．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）(12分)18．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.(12分)19．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．（14分）20．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分）。

圆锥曲线与方程基本知识概要2.1 椭 圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义（第一定义）：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

2．标准方程：①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±C ，0）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±C ）这里椭圆 c ²=a²-b²注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比a c 称为椭圆的离心率，用e 表示，即e=ac（0＜e ＜1）因为a ＞c ＞0，所以0＜e ＜1。

圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。

对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。

例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。

2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。

2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。

椭圆的定义，性质及标准方程1.椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点用、入的距离之和等于常数(大于I耳与I)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M到定点方的距离和它到定直线/的距离之比等于常数e(O<e<1),则动点M的轨迹叫做椭圆。

定点尸是椭圆的焦点，定直线/叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2〃等于2c,则动点轨迹是线段4②若常数2。

小于2c,则动点轨迹不存在。

3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在X轴上时，设《、耳分别是椭圆的左、右焦点，尸(X0,%)是椭圆上任一点，贝小尸片|二Q+"υ,∖PF2∖=a-ex0o∖PF i∖推导过程：由第二定义得一二e(4为点尸到左准线的距离)，d1( 2、a贝IJ1尸耳I二七4 a-∖-ex0;同理得I尸闾二a一%。

=e x0H-----------=CXO+Q<c)简记为：左“+”右“-。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

'-若焦点在y轴上’则为/3=1。

有时为了运算方便，设mx2+ny2-1(m>0,m≠π)o双曲线的定义、方程和性质知识要点：1.定义(1)第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a(小于∣F1F2∣)的点的轨迹叫双曲线。

说明：①I1PF1HPF2∣∣=2a(2a<∣FιF2∣)是双曲线；若2a=∣FF2∣,轨迹是以Fi、F2为端点的射线；2a>∣FF2∣时无轨迹。

②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则IMF11>∣MF2∣,∣MHHMF2∣=2a；若M在双曲线的左支上,则IMFI1<∣MF∕∣MFιHMF2∣=-2a,故IMF1HMF2∣=±2a,这是与椭圆不同的地方。

(2)第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线1的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线1叫相应的准线。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是平面上的一类重要的几何曲线，由易知，它们具有各种各样的性质和特点，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

下面将对圆锥曲线的基本概念、方程及其性质进行简要总结。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和圆锥交于一条封闭曲线形成的曲线。

根据圆锥和平面的位置关系，可以分为椭圆、抛物线和双曲线三类。

（一）椭圆当切割平面与圆锥的两部分相交时，形成椭圆。

椭圆有两个焦点，与这两个焦点的距离之和是常数。

椭圆的方程常用标准方程表示为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。

（二）抛物线当切割平面与圆锥的一部分相交时，形成抛物线。

抛物线是一条对称曲线，其开口方向由切割平面的位置决定。

抛物线的方程常用标准方程表示为：y = ax²，其中a为常数。

（三）双曲线当切割平面与圆锥的两部分不相交时，形成双曲线。

双曲线有两个焦点，与这两个焦点的距离之差是常数。

双曲线的方程常用标准方程表示为：(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别表示双曲线的长轴和短轴长度。

二、圆锥曲线的方程（一）椭圆的一般方程椭圆的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。

（二）抛物线的一般方程抛物线的一般方程为：Ay² + Bx + C = 0，其中A、B和C为常数。

（三）双曲线的一般方程双曲线的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，且B² - 4AC > 0。

三、圆锥曲线的性质（一）椭圆的性质1. 椭圆是一个闭合曲线，对称于x轴和y轴。

2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。

3. 椭圆有两个焦点，对称于椭圆的长轴上。

Word-可编辑圆锥曲线目录共分成四大章: 基础知识篇, 技巧套路篇, 题型结论篇, 极点极线篇第一章基础知识篇 .4§1椭圆 .41.1 椭圆的定义(和比积) .41.2 椭圆的方程 .61.3 椭圆的基本参数 .8方程和基本参数 10第一定义 10离心率 .11参数方程 . 12构造椭圆解题 .14综合题 . 15§2双曲线 .232.1 双曲线的定义(和比积) .232.2 双曲线的方程 . 242.3 双曲线的基本参数 .25第一定义 . 26方程和基本参数 .28通径 . 30离心率 .31千里之行，始于足下渐近线 .33渐近线勾股三角形 . 34渐近线与焦点圆的交点 . 40构造双曲线解题 . 41综合题 . 432.4 等轴双曲线 . 492.5 双曲线的渐近线专题 . 53渐近线的常用性质四条 . 53渐近三角形 . 61§ 3 离心率专题 . 653.1 离心率 vs 定值 . 65直译型 . 65直接利用定义 691先补焦点再利用第一定义 .75利用平几知识 .81算两次 .93用尺子量 .96和抛物线混合 .97点差法相关 .99其他类型 .993.2 离心率 vs 范围 104朽木易折，金石可镂利焦半径的有界性 104利用椭圆双曲线坐标的有界性 107双曲线的渐近线 109米勒定理 .110其他类型 .112§4焦点三角形专题 1264.1 椭圆的焦点三角形 . 126面积公式(算多次) . 126张角最大与拓展 129焦点三角形 vs 正弦定理 133焦点三角形 vs 角平分线定理 . 135椭圆焦点三角形外接圆与内切圆的半径比 . 136 4.2 双曲线的焦点三角形 137面积公式(算多次) 137焦点三角形 vs 内切圆(包括相关平几知识补充) 140双焦点三角形 vs 内切圆 1434.3 椭圆焦点三角形的内心和旁心轨迹 1444.4 双曲线的内心轨迹 146§5圆锥曲线的光学性质 1495.1 光学性质 1495.2 焦点在圆雉曲线切线上的射影轨迹 1545.3 以圆雉曲线焦半径为直径的圆 162千里之行，始于足下5.4 光学性质的拓展二 164§6焦半径专题(第二定义) 1676.1 焦半径的代数式 . 1676.2 焦半径的极坐标式 . 1736.3 最短的焦点弦一通径? . 1736.4 焦半径和椭圆的短轴圆 .1746.5 以焦半径为直径的圆 . 1776.6 以焦点弦为直径的圆 . 1786.7 焦半径 vs 焦点弦的综合题 . 178§7 第一二定义与距离和最短 1837.1 三点共线(利用第一定义转化) 1837.2 垂线段最短(利用第二定义转化) 186§ 8 抛物线 .1888.1 抛物线的定义 .1888.2 抛物线的基本参数 .188方程的求解 .189定义的应用 . 191点、直线、抛物线模型 . 195酒杯小球 . 196罗列组合 .200综合题 .2018.3 抛物线的定长动弦 .207朽木易折，金石可镂8.4 抛物线的焦点弦模型 .2108.5 抛物线的点差法一一中点斜率公式 .2198.6 抛物线的等比性质和取负替换性质 .226斜率比值 .2298.7 抛物线的定点三角形面积公式 .2318.8 抛物线的两点式直线方程 .2348.9 抛物线的切线专题(极点极线) .2498.10 抛物线两条切线的交点一双切线模型 .2528.11 阿基米德三角形 .264第一章基础知识篇§1椭圆1.1 椭圆的定义(和比积)1. 第一定义之“和”平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2F (大于|F1F2| ) 的点的轨迹; 其中,两个定点称做椭圆的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.椭圆方程的推导设F(F,F)是椭圆上随意一点,焦点F1(−F,0)和F2(F,0) ,由上述椭圆的定义可得: √(F+F)2+F2+√(F−F)2+F2=2F ,将这个方程移项,两边平方得: F2−FF=F√(F−F)2+F2 ,两边再平方, 收拾得: F2F2+F2F2=1(F>F>0) .注 (1) 2F>|F1F2|表示椭圆; (2) 2F=|F1F2|表示线段F1F2 ; (3) 2F<|F1F2|不存在轨迹.千里之行，始于足下2. 第二定义之 “比”平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 F (0<F <1) 的点的轨迹,其中,定点为焦 点,定直线叫做准线,常数 F 叫做离心率.椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,定点为 F 1(−F ,0) ,定直线为 F =F 2F,常数 F =FF ,由 上述椭圆的定义可得:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF ,直译变形即可.例 在平面直角坐标系中,若方程 F (F 2+F 2+2F +1)=(F −2F +3)2 表示的曲线为椭圆,则 F 的取值范 围是 ( ) .A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,5)D. (5,+∞) 答案 选 D.解 将方程变形为:√F 2+(F +1)2|F −2F +3√1+4|=√5F ,此式可看成动点 (F ,F ) 到定点 (0,−1) 与到直线F −2F +3=0 的距离之比为 √5F,按照椭圆的定义,只须 √5F<1 即可.3. 第三定义之 “积”已知坐标轴上关于原点对称的两个定点,那么,到这两定点连线的斜率之积为定值 F 2−1(0<F <1) 的点 的轨迹是椭圆,其中,定点为短轴或长轴顶点. 【求轨迹的话,得去掉两个定点 ! 】椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,两个定点为 F 1(−F ,0)、F 2(F ,0) ,定直线为 F =F 2F, 常数 F =FF ,由上述椭圆的定义可得: 将 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,变形成F 2(F −F )(F +F )=−F 2F 2 ,于是可得,椭 圆上动点到两顶点 (−F ,0)、(F ,0) 的连线的斜率之积等于常数.注 这个定义有 bug, 可以不必深究, 你只需要清晰地知道, 第三定义实质是对称点点差法的一个特 例而已, 后面的双曲线也是类似!朽木易折，金石可镂例 (1)已知圆 (F +2)2+F 2=36 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分 线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线(2)已知圆 (F +2)2+F 2=1 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 答案 (1) 选 B; (2)选 C.例 (1) 已知 △FFF 的顶点 F 、F 在椭圆 F 23+F 2=1 上,顶点 F 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一 个焦点在 FF 边上,则 △FFF 的周长是 ( ) .A. 2√3B. 6C. 4√3D. 12(2)(2023年年 四川文理)如图,把椭圆 F 225+F 216=1 的长轴 FF 分成 8 分,过每个分点作 F轴的垂线交椭圆的 上半部分于 F 1、F 2、⋯、F 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 |F 1F |+|F 2F |+⋯+|F 7F |= .答案 (1) 选 C; (2)35.解 (1) 利用定义易得 △FFF 的周长是 4F =4√3 . (2) 构造另一个焦点, 利用对称性, 或倒序相加!1.2 椭圆的方程1. 椭圆的标准方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上;F2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上.千里之行，始于足下例 (1) 已知椭圆F 2F+F 217=1 的焦距为 8,则这个椭圆的方程是 (2) 已知椭圆方程 F 24+F 2F=1 的离心率 F =√33,则 F =解 (1) F >17⇒F =33;F <17⇒F =1 ; (2) 4>F ⇒F =83;4<F ⇒F =6 . 例 (2023年年 湖北理) 设集合 F ={(F ,F )| F 24+F 216=1},F ={(F ,F )∣F =3F } ,则 F ∩F 的子集的个数是 ( ) .A. 4B. 3C. 2D. 1 解 两个交点, 故选 A.例 若方程 (9−F )F 2+(F −4)F 2=1 表示椭圆,则实数 F 的取值范围是 解 4<F <9 且 F ≠132 .2. 椭圆的参数方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos FF =F sin F ;F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos F F =F sin F. 注 (1) 参数方程中的参数 F 不是所谓的 “椭圆心角”,而是物理上的离心角,可结合离心率理解; 同时, 要和圆的参数方程中的圆心角分开.(2) 椭圆的参数方程 vs 标准方程椭圆的参数方程在数据计算上偶尔会有很大的优势, 尤其是求解最值、相关参数的范围判断等相关题 型; 同时, 后面在 “直线与圆锥曲线” 和 “圆锥曲线与圆锥曲线” 章节, 还会有相关的串讲应用.例 (1)求椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 的内接矩形的面积及周长的最大值. (2) 设点 F (F ,F ) 在椭圆 F 216+F 29=1 ,试求点 F 到直线 F +F −5=0 的距离 F 的最大值和最小值.答案 (1) F max =2FF ,F max =4√F 2+F 2 ; (2) F min =0,F max =2 .朽木易折，金石可镂3. 椭圆的普通式方程 FF 2+FF 2=1(F >0,F >0,F ≠F ) 【括号中的限制亦是 “充要条件” 1 注 (1) 焦点的位置判断 当 F <F 时,焦点在 F 轴上; 当 F >F 时,焦点在 F 轴上.(2) 使用技巧 在求椭圆的标准方程时, 偶尔不知道焦点在哪一个坐标轴上, 此时, 可尝试使用椭圆的 普通式方程,利用用待定系数法求出 F 、F 的值即可; 椭圆的普通式方程可有效的避免焦点位置的分类讨 论, 同时, 也可以简化运算.例 (1) 倘若方程 F 2+FF 2=2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,那么实数 F 的取值范围是 (2) 已知方程 (2−F )F 2+FF 2=2F −F 2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,则实数 F 的取值范围.答案 (1) (0,1) ; (2) 当 2F −F 2≠0 时,有 F 2F +F 22−F =1 . 因为方程表示焦点在 F 轴上的椭圆,所以 F >2−F >0 ,即 1<F <2 . 故实数 F 的取值范围是 1<F <2 .例 (1) 求过两点 (2,−√2),(−1,√142) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. (2) 求过两点 F 1(√6,1),F 2(−√3,−√2) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. 答案 (1) F 28+F 24=1 ; (2) F 29+F 23=1 .4. 椭圆的定义式方程(1)第一定义: √(F +F )2+F 2+√(F −F )2+F 2=2F ; (2)第二定义:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF .注 因为有些题目会给出此类定义方程作为条件, 因此, 要熟知其中的参数含义, 并能疾驰转化为标 准方程.5. 椭圆的极坐标方程 见后面 “圆雉曲线之极坐标方程” 的章节!6. 同离心率式的椭圆方程注重一点即可,即离心率相同,但焦点可以在不同的坐标轴; 因此,和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相 同离心率的椭圆方程可设为: F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) 或 F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) .千里之行，始于足下例 (1) 求和椭圆 9F 2+F 2=81 有相同离心率且过点 (3,9) 的椭圆方程.(2) 求和椭圆F 2225+F 2125=1 有相同离心率且通径 (过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交的线段) 长等 于 5 的椭圆方程.(3) 求和椭圆 F 24+F 2=1 有相同离心率,且与直线 3F +2√7F −16=0 相切的椭圆方程. 答案 (1) F 218+F 2162=1 ; (2) 4F 281+4F 245=1 ; (3) 设所求椭圆方程为 F 24+F 2=F (F >0) ,解得F =4 ,故所 求椭圆方程为 F 216+F 24=1 .7. 共焦点式的椭圆方程和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相同焦点的椭圆方程可设为: F 2F 2−F +F 2F 2−F =1(F 2>F ) (形式(1); F 2F +F 2F −(F 2−F 2)=1(F >F 2−F 2) (形式(2)).注 上述形式相对照较繁琐, 实际上, 直接计算, 列出两个方程求解更容易. 例 (1)求与椭圆 4F 2+9F 2=36 有相同焦点,且过点 (3,−2) 的椭圆的标准方程为 (2) 过点 (√3,−√5) ,且与椭圆 F 225+F 29=1 有相同焦点的椭圆的标准方程为答案 (1) F 215+F 210=1 ; (2) F 220+F 24=1 ;法一 利用第一定义,结合点到直线的距离公式,直接求出 F =2√5 ,又 F =4 ,故 F =2 ; 法二 设椭圆的标准方程为 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,则 F 2−F 2=16 ,又 (−√5)2F 2+(√3)2F 2=1 ,解这两个方 程组即可!1.3 椭圆的基本参数1. 对称性 标准方程的图形,不仅关于 F 轴和 F 轴轴对称,同时,还关于原点中央对称.2. 顶点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) ,或 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .朽木易折，金石可镂3. 长轴和短轴 长轴为 2F ,短轴为 2F ,注重区别长半轴为 F ,短半轴为 F .4. 焦点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0) ; 或 F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .5. 焦距 |F 1F 2|=2F (F >0) ,同时,半焦距 F 、长半轴为 F 和短半轴为 F 是一组勾股数,满意关系式: F 2=F 2−F 2.注 对于基本概念要扎实控制, 一定要区别长轴、短轴、焦距, 和长半轴、短半轴、半焦距; 尤其在 大题中, 一定要看清!6. 离心率 F =FF (0<F <1) ; 离心率越大,椭圆越扁. 【 cos∠椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据. 因为 F >F >0 ,所以 F 的取值范围是 0<F <1 ; (1 F 越临近 1,则 F 就越临近 F ,从而 F =√F 2−F 2 越小,因此椭圆越扁; (2)反之, F 越临近于 0,F 就越临近 0,从而 F 越临近于 F ,这时椭圆就越临近于圆.注 如图,点 F 位于短轴的顶点,(1)当 F =√22 时,有 ∠F 1FF 2=F2,亦有 F 2=F 2; (2)当 F =√5−12,即黄金分割比时,有 ∠F 1FF =F2 ; 容易证实如下:cos∠FF 1F =F =|FF 1||FF 1|=F F +F =11+F⇒F 2+F −1=0. 例 (2000 年全回联赛)在椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 中,记左焦点为 F ,右顶点为 F ,短轴上方的端点 为 F . 若该椭圆的离心率为√5−12,则 ∠FFF =千里之行，始于足下答案 90∘ . 7. (1)准线 F =±F 2F; 或 F =±F 2F; (2)焦准距 F =F 2F−F =F 2F; (3)通径 2FF =2F 2F(F 为焦准距),8. 焦半径 椭圆上的点到焦点的距离; 设 F (F 0,F 0) 为椭圆上的一点, F 1 在负半轴, F 2 在正半轴;A. 越临近于圆 B. 越扁C. 先临近于圆后越扁D. 先越扁后临近于圆 答案 选 D.解 因为焦点在 F 轴上,故 4F >F 2+1 ,解得 2−√3<F <2+√3 . 又 −F 2+14F=F 2−1 ,即 4(F 2−1)=−(F +1F ) ,利用对勾函数的性质可知: F (F )=F +1F在 (2−√3,1) 上 ↘ , 在 (1,2+√3) 上 ↗ ,因此, F 关于 F 先增大后减小.例 (2023年年 湖北文理压轴) 如图所示, “嫦娥一号” 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 F 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月翱翔,之后卫星在 F 点第二次变轨进入仍以 F 为一个 焦点的椭圆轨道 II 绕月翱翔,总算卫星在 F 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道III 绕月翱翔,若用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭轨道 I 和 II 的焦距,用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴的长,给出下列式子: (1) F 1+F 1=F 2+F 2 ; (2) F 1−F 1=F 2−F 2 ; (3) F 1F 2>F 1F 2 ; (4) F 1F 1<F2F 2.其中准确式子的序号是 ( ) . A. (1)(3) B. (2)(3) C. (1)(4) D. (2)(4)答案 选 B.朽木易折，金石可镂解 焦点 F 到顶点 F 的距离不变,易知(2)准确; 从轨道 I 、II 、II 可知,椭圆越来越圆,总算变为圆, 结合椭圆的离心率变化逻辑 “越大越扁, 越小越圆”, 显然(3)准确, 故应选 B.参数方程例 (2023年年 上海大压轴) 记椭圆 F 24+FF 24F +1=1 围成的区域(含边界)为 F F (F =1,2,⋯) ,当点 (F ,F ) 分离 在 F 1、F 2、⋯ 上时, F +F 的最大值分离是 F 1、F 2、⋯ ,则 lim F →+∞F F =( ) .A. 0B. 14 C. 2 D. 2√2 答案 选.。

课程星级：★★★★★【椭圆】 一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）知能梳理1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。

以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。

2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。

-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。

-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。

3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。

-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。

4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。

-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。

5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。

-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。

6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。

-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。

-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。

-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。

7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。

同时，准线也是曲线的对称轴。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上 焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距 )0(221>=c c F F )0(221>=c c F F 离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线 2a x c=±2a y c=±参数方程与普22221x y a b +=的参数方程为 22221y x a b+=的参数方程为3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

圆锥曲线中知识点归纳主要知识点-椭圆1.椭圆的定义:平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的为常数2a(2a＞2c)，则点P的轨迹叫______．这两个定点叫双曲线的_______，两焦点间的距离叫________．|MF1|+|MF2|＝2a(2a＞2c)，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞b＞0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当_______时，P点的轨迹是________；(3)当________时，P点不存在．2.椭圆的标准方程：图像标准方程焦点坐标焦点位置判断焦点跟着分母的走3.椭圆的几何性质：1.双曲线的定义:平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫______．这两个定点叫双曲线的_______，两焦点间的距离叫________．||MF1|－|MF2||＝2a(2a<2c)，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当_______时，P点的轨迹是________；(3)当________时，P点不存在．2.双曲线的标准方程：图像标准方程焦点坐标焦点位置判断焦点跟着分母的走3.双曲线的几何性质几何性质焦距范围顶点实轴虚轴对称性离心率e=（e范围：）e越大，开口越；e越小，开口越；渐近线1.抛物线的定义:平面上与一个定点F 和一条直线l （F 不在l 上）的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

2.抛物线的几何性质考点1.求圆锥曲线方程1.已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．2.已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，．求抛物线C 的方程，并求其准线方程；考点2.圆锥曲线几何性质1.求双曲线22169144x y -=的实轴长，虚轴长，焦距，顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程。

圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念2F 的距离的和等于常数这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c（0a b >>）（焦点在x 0a b >>）（焦点在y 轴上）。

②2x椭圆。

（2）椭圆的性质①②点对称。

③0x =，得所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

22||B F a =，且④离心率：。

∵0a c >>，∴01e <<，且1而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，0，0，从而b 越接近于a b =时，0c =2．双曲线（1）双曲线的概念注意：①式中是差的绝对值，在件下；为双曲线的一支；（2）双曲线的性质①a x ±=a ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

②对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线12222=-by a x 0=y 得12222=-bya x 的顶点。

y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2A A 2B B 叫做双曲线的虚轴，④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从图上看，双曲线⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

2）等轴双曲线的性质：（12）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3 ，当0>λ时交点在轴，当0<λ⑥3．抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。