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4.1 原子中电子轨道运动磁矩

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原子的磁矩

原子的磁矩
例如：某元素的基态记作： 5 D4
即指该元素基态的总自旋量子数：S = 2 总轨道量子数：L= 2 总角量子数：J = 4
§ 2.1.4 原子磁矩计算举例
1. Cr+3 离子：Cr 原子 Z = 24，Cr+3 电子组态为····3d3
(1s)2,(2s)2,(2p)6,(3s)2,(3p)6,(4s)2,(3d)10,(4p)6,
l Pl
l
e 2m
称作轨道旋磁比
e
u l
原子中的电子应该服从量子力学规律，其运动状态应
该由波函数 nlmlms (r) 确定，角动量是量子化的，当电子运动的主量子数 为 n 时，角动量的绝对值为： pl l(l 1) 其中 l 是角量子数，
式中，l 的可能值为： l 0,1,2,(n 1)
所以电子的轨道磁矩为：
(3)由于L和S间的耦合，电子数n小于半满时 J=L-S，电
子 数n大于半满时 J=L+S。
常将原子的量子态用光谱学的方法来标记：
F 2S 1 J
将总自旋量子数、总角量子数的数字填入相应位置即可， 总轨道量子数 L = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ·····，分别记为：
S, P,D, F, G, H, I,
lz ml B
§ 2.1.2电子的自旋磁矩
电子磁矩的第二个来源是电子具有自旋磁矩，它是电子的本征性
质，电子的自旋角动量取决于自旋量子数，
s1 2
自旋角动量的绝对值：
S
3
ps
s(s 1) 2
而自旋角动量在外场中的分量只取决于自旋量子数
e
ms
1 2
ps z ms
1 2
u S

电子自旋角动量和自旋磁矩PPT课件

电子自旋角动量和自旋磁矩PPT课件

E4 p E4d E4 f
当 l 一定时，n 大，E 小，即
E2 p E3 p 第20页E/共4 4p2页
3．双层能级中， j 值较大的能级较高。
4．碱金属原子态符号： n2s1Lj
如
n3 l 0 j 1
2
l 1 j 3
2
j1 2
l2 j 5
2
j3 2
5．单电子辐射跃迁的选择定则
32 S1/ 2
第29页/共42页
二、原子在外磁场中的附加能量
一个具有磁矩的原子处在外磁场中时，将具有附
加的能量：
E
J
B
J
B c os(J
B)
J
g
B
e
cos(J B)
BJ cos(J
B)
2m
g
e 2m
BJz
其中：
Jz
J cos(J , B)
MJ
h
2
为角动量在外场方向的分
量，是量子化的。
第30页/共42页
F qE
2．磁矩
iA 方向与 i方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F 0 M B
非均匀磁场中：
磁场方向沿 z 轴，随z 的变化为dB
dz
合力
Fz
dB dz
cos
z
dB dz
z cos ： 在外场方向的投影
z
i
第3页/共42页
3．力和力矩
力是引起动量变化的原因：
F
d
dt
M J j, j 1, j ，共 2 j 1个。
E
g
e 2m
BMJ
h
2
M
J
gB

原子核的磁矩

原子核的磁矩

5
5
1
2 R2Z (1 )3 1 2 R2Z 3 3 (1 )
5
1 5
1
因为ε较小，所以忽略ε3项
Q

6 5
R2Z

6 5
Zr02
A
2
3
说明：1）由上面公式可以看出，只要实验测得Q值后，则可计算
出ε。
2）对于大多数原子核，ε≠0，一般为百分之几。所以大
反演算符，即宇称算符 pˆ
pˆ (r1, r2,...) (r1,r2,...) 为了方pˆ便，(r用)(r)(代替r) (r1, r2,...) 则有
对某些波函数，存在下列关系
pˆ
(r )


(r )
则波函数 (r) 是 pˆ 的本征态, π为本征值，或称该态有确定的
称为核磁子。
因为 mp : me 1836
所以 B : N 1836
说明：1）由于核的磁矩比原子中电子的磁矩小的多，这就是为 什么超精细谱线的间距比精细结构谱线的间距小得多的原因。
2）通常是用核磁矩在给定Z方向投影的最大值来衡量核 磁矩的大小。
3）核磁矩常用核磁子为 N 单位 则质子的磁矩为： p 2.793 中子的磁矩为：n 1.913
其中：n 主量子数；l 轨道量子数； m 轨道磁量子数
Rn (r)
径向波函数，它只与r的大小有关。
Plm (cos ) 缔合勒让德多项式，其微分形式为
Plm (cos )

1 2l l!
(1


2 )m2
d lm
d lm
( 2
1)l
cos
在空间反演下： r r, ,

第四章 电子的自旋

第四章 电子的自旋

在原子内部，有两种角动量 L 和 S


必然存在一个总角动量以及相 应的磁矩。

s 与s



l 与 l

分别共线，合成后

j ls

l s


三、 总角动量
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子有轨道角动量l，又有自旋角动量s，所以电子的 总角动量是
总自旋角动量： S Si
i e e Li L 总轨道磁矩： l li 2m i 2m i
i
总自旋磁矩：
e e s si S i S m i m i
总角动量： J L S
总磁量子数 m j j, j 1,, j 1, j.共2j1个值
对于单电子s＝1/2,所以
1 1 1 l 0, j ; l 0, j l , l 取两个值 2 2 2
例如：当
1 3 l 1 时， j 1 2 2
1 1 j 1 2 2
h h L l (l 1) 2 2 2
h 3 h S s( s 1) 2 2 2
J
h 15 h 3 h j ( j 1) , 2 2 2 2 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s( s 1) cos 2 LS 2 l (l 1) s( s 1)
e L l (l 1) B 2m
外场方向投影：
共
z cos ml B
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。

原子的磁矩、顺磁性和抗磁性

原子的磁矩、顺磁性和抗磁性
=
,
如果
,
二 J有 J l
L
一
S
,
如 果 电 子 个数 超过 次 壳层 满额 的 半数
。
就有
J
二
I 十 S
J
。
据 此 可 以 直 接 计 算 出原 子 基 态 的 磁 矩
,
在 附表 中 列 举 了 常 见 的稀 上 族 离 子 和 铁 族 离 子 的 电子 壳 层填充 倩 况 和 洪特 定则 计 算 出来 的 以 自 然 单位表 示 的原 子 磁矩 值
1
:
_ 一
`
f
I
_ 一
U才
0
「
扭
丫
一、
)
—
1
Z m )
L
}M
:
}d t
_
2 m
T
IM I
,
按 照右手娜旋 规 则 以 垂直轨道 平 面 的矢 量 来表 示 此 面 积
_
则有
:
寸
才飞
l
。
t Q l
=
另外
,
电子 轨道运 动形 成一个闭 合 电 流
一
几
—
=
2
价 止
U
:
,
O
几
下犷
。
式 中负号表示 电子 电荷 为 负
,
M 与 B 的 作用 大 当 求 平 均值 时
,
M
M , 迅速地 绕着 M , 旋 动
, , ;
,
而 M 本 身则 以 较慢 的速 度 绕 着 对能 里 △ E 有 贡献
△E
,
`
B旋 动
,
只有M
:
M 沿 M 方 向 的 分 凰才 会

原子物理学-第4章-原子的精细结构

原子物理学-第4章-原子的精细结构
见相应的碱金属原子的简并度比氢原子要低.
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
Manufacture: Zhu Qiao Zhong
9
例:对于l=1和l=2,电子角动量的大小及空间取向？
解:依题意知L 的大小:
L1(11) 2,(l1)
L
2(21)
6,(l2)
磁量子数: m mll 0 0,, 11,(, l 2,1()l2)
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
Manufacture: Zhu Qiao Zhong
2
§4-1 原子中电子轨道运动的磁矩
1.经典表示式
电子绕核运动等效于一载流线圈,必有磁矩.
eˆ n
ie ˆ S n teS e ˆn 2 r e /vr2 e ˆn
2m eem eveˆrn2m eeL
本章引进电子自旋假设,对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用 进行分析,进而考察原子的精细结构.
本章还介绍史特恩-盖拉赫实验、碱金属双线和塞曼效应,它 们证明了电子自旋假设的正确性.
由电子自旋引起的磁相互作用是产生精细结构的主要因素.
到现在为止,我们的研究还只限于原子的外层价电子,其内层电 子的总角动量被设为零.
简并和简并度
简并:被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细 物理状态. 简言之,能量相同的状态称为简并态.
简并度:简并态的数目. 例如原子中的电子,由其能量确定的同一能级状态,可以有两种 不同自旋的状态.所以该能级是两种不同自旋状态的简并态.
氢原子的能级只与n有关,而碱金属原子的能级与n、l 有关,可
iS
eˆ n
i
(电子)旋磁比
def
e
Ze
e
d

电子自旋角动量和自旋磁矩

2LS 2l(l 1 ) s(s 1 )
L和 S不是平行或反平行，而是有一定的夹角
当 j l s时
cos l
l(l1)
s 0 90o，
s(s1)
称
L和
S“平行”
当 j l s时
cos l1 s
0 90o，称 L和 S“反平行”
l(l1) s(s1)
二、自旋—轨道相互作用能
电子由于自旋运动而具有自旋磁矩：
iA 方向与 i方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F0
M B
非均匀磁场中：
磁场方向沿 z轴，随z的变化为dB
dz
合力
Fz ddB zcosz
dB dz
z cos： 在外场方向的投影
z
i
3．力和力矩
力是引起动量变化的原因：
F
d
(m)
力矩是引起角动量变化的原因：M d tr F r d(m )d L
dt dt
二、电子轨道运动的磁矩
电子轨道运动的闭合电流为： i e
T
“-”表示电流方向与电子运动方向相反
z
面积： dA1rrd1r2 dt
2
2
一个周期扫过的面积：
ir
d
∫ ∫ ∫ ∫ A =
dA =
T 0
1 2
r2dt
=21m
T
m
0
2rd
t=21m
T
L
0Ld=t2mT
iAe L
e
L
2m
2m
L l(l1) h
2
当 l s 时，共 2s1个值
当 l s 时，共 2l 1个值
由于 s 1 2
当
l

原子中电子轨道运动的磁矩...


q1
q2
F
q1q2 40 r
2
F qE B

F

B
F qE B
E0
F q B
如果磁场不均匀……
B
z
f
B
f
dB
z
0
dz







-
净作用力沿 着z轴方向
f z z
dB dz
Stern-Gerlach实验对氢原子的结果
与此相关的问题
——元素的周期性 如果原子中电子的能量的确 是量子化的, 为什么一个原 子中所有的电子不都处在能 量最低的轨道呢？
泡利不相容原理
20 电子自旋的假设
ps
s( s 1)
2s 1 2
s
1 2
细第 结四 构章
—— 电 子 自 旋
原 子 的 精
18 原子中电子轨道运动的磁矩
电偶极子、电矩
E
qE
磁偶极子、磁矩
B n
F2

+ q
I F1
q
qE P q

I
电偶极矩
磁偶极矩 (磁)力矩
ISn
M B

(电)力矩 M F qE U P E P E
ps
s
e m
e
ps
μ
2m
p
e 2m
B
e 2m

1 B
, z m B
磁矩在磁场中的势能表达式

第二章 第一节 电子的轨道磁矩和自旋磁矩

二、电子自旋磁矩 自旋→自旋磁矩 实验证明：电子自旋磁矩在外磁场方向分量等于一个μB，取 正或取负。
பைடு நூலகம்
第一节 电子的轨道磁矩和自旋磁矩
所以
s
H
B
e 2m
e m2
自旋角动量： ps ss 1
在外场方向分量：
ps
H
ms
2
自旋磁量子数： ms = ±1/2
所以自旋磁矩与自旋角动量的关系为：
磁矩的绝对值等于 3B
2、计算原子总自旋角动量时，只考虑未填满次壳层中的电子。
3、电子总磁矩可写为： -g
e
p
p
2m
g称为磁力比因子。g=1， μ来源于轨道运动；g=2， μ来源于自
旋；1<g<2， μ来源于二者；
The end
令
B
e 2m
B 是玻尔磁子，大小为9.273×10-24A.m2，电子磁矩的基本单位。
所以
l ll 1B
➢ l＝0，即s态，pl＝0，μl ＝ 0（特殊统计分布状态） ➢ 如有外场，则pl 在磁场方向分量为：
pl H ml (不连续。ml 是磁量子数)
所以
l H
l cos
l
pl H
pl
l
s
H
e m
ps
H
因为方向相反，所以
s
e m
ps
s
ps
第一节 电子的轨道磁矩和自旋磁矩
其中： s
e m
为自旋磁力比，且： s
2 l
s
e m
ps
s
ps
ps ss 1
所以μs的绝对值：
s
ss 1 e 2

轨道磁矩计算公式

轨道磁矩计算公式轨道磁矩是描述原子中电子轨道运动所产生磁矩的一个重要概念。

在物理学中，它有着特定的计算公式。

咱先来说说轨道磁矩是咋来的。

就好比我们在操场上跑步，跑的圈越大、速度越快，产生的效果就越明显。

电子在原子轨道上“跑”也是这个道理。

电子绕着原子核转呀转，就产生了轨道磁矩。

那轨道磁矩的计算公式到底是啥呢？它可以表示为：μl = -l(l +1)^(1/2) μB 。

这里的“μl ”就是轨道磁矩，“l”表示角量子数，“μB”则是玻尔磁子。

为了让大家更好地理解这个公式，我给大家讲个我曾经遇到的事儿。

有一次我在给学生讲这个知识点的时候，有个特别调皮的小家伙，一直坐不住，还跟旁边的同学打闹。

我就把他叫起来，问他：“你知道电子在原子里转来转去像啥不？”他一脸懵地看着我摇头。

我就跟他说：“就像你在操场上疯跑，只不过电子跑的轨道可没操场那么宽敞。

”这小家伙一下子来了兴趣，坐得端端正正听我讲。

咱再回过头来说说这个公式里的角量子数“l”。

它能决定电子轨道的形状。

比如，l = 0 时，就是个球形的轨道；l = 1 时，就变成了哑铃形的轨道。

这就好像我们玩的各种气球，有的是圆滚滚的，有的是两头尖尖的。

而玻尔磁子“μB”呢，它就像是个固定的“度量衡”，给我们计算轨道磁矩提供了一个标准的参考值。

理解轨道磁矩计算公式，对于深入研究原子结构、磁性材料等领域都非常重要。

比如说，在研究磁性材料的时候，我们就得通过这个公式去算一算电子的轨道磁矩是多少，从而搞清楚材料为啥有磁性，磁性有多强。

想象一下，如果我们不知道这个公式，那在面对一堆复杂的原子和电子运动问题时，不就抓瞎啦？就像你出门没带地图，在一个陌生的城市里瞎转悠，找不到方向。

所以说，掌握轨道磁矩计算公式，就像是手里有了一把神奇的钥匙，可以打开原子世界中关于磁性的神秘大门，让我们看到更多奇妙的景象。

总之，轨道磁矩计算公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多结合实际的例子去思考，就一定能把它拿下，为我们探索物理世界的奥秘提供有力的工具。

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2
2
2
S T 1 r2dt
02
1 T (mr2)dt
2m 0
L
T
dt
2m 0
解得： S T L （3） 2m
二、经典表达式
把（2）、（3）两式得到磁矩的大小为：
iS e L
2m
写成矢量式为:
l


e 2m
L
轨道磁矩 的经典表 达式
e 称为旋磁比
iS
（1）
二、经典表达式
因此，原子中电子绕核转也必定与一个磁距相对应，
式中i是回路电流，S 是回路面积
n 为磁矩方向的单位矢量。设电子绕核运动的
频率为v，则周期为
T1 v
依电流的定表达式
另一方面，图中阴影部分的面积为
ds 1 rd r 1 r2d 1 r2dt
三、轨道磁矩的量子表达式
对于碱金属原子，能量与n，l 有关，可见相
应的简并度比氢原子要低。
此外，三个量子数（n ，l ，ml ）表示一个 状态，正好与经典物理中用（x ，y ，z）描述
一个质点的状态相对应。
back
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三、轨道磁矩的量子表达式
2.磁矩的表达式
把式 L
l(l 1) h
对原子中电子轨道磁矩的讨论使我们发现， 电子运动轨道的大小，运动的角动量以及原子 内部的能量都是量子化的。
一、前言
不仅如此，我们还将看到，在磁场中或电场 中，原子内电子的轨道只能取一定的方向， 一般地说,在电场或磁场中，原子的角动量也 是量子化的，人们把这种情况称作空间量子 化。
二、经典表达式
在电磁学中，我们曾经定义，闭合通电回路的磁距为
当n ，l ，ml 都给定后，就给出了一个确定的状态；
所以我们经常说:
（n ，l ，ml ）描述了一个确定的态。
三、轨道磁矩的量子表达式
对于氢原子，能量只与 n 有关，n 给定后， 有n 个l ，每一个 l 有2l+1 个ml
n1
(2l 1) n2
l0
所以氢原子的一个能级 En 对应于 n2 个不同 的状态，我们称这种现象为简并，相应的状 态数称为能级 En 的简并度。
另一方面，设 在dt时间内旋 进角度 d 则把式 d sin d
代入上式得 d
dt
三、轨道磁矩的量子表达式
1.量子力学关于轨道角动量的计算结果
根据量子力学的计算，角动量 L 是量子化
的，这包括它的大小和空间取向都是量子 化的。
量子力学的结论为
L l(l 1) h ,
另一方面，由理论力学得
M力矩

dL dt



B
二、经典表达式
将 L 代入得 d B
dt
令 B
d
dt
（1）
的物理意义： 与 B 同向
则 d 沿“轨道”切向，如下一页图所示。
dt
二、经典表达式
(1)式的标量形式为
dμ = ω × μsinθ = ω(μsinθ) dt
2m
还可写成矢量式为: l L
二、经典表达式
磁矩在外磁场 B中将受到力矩的作用，力矩将使得
磁矩 绕外磁场 B 的方向旋进。
我们将这种旋进称为拉莫尔进动。相应的
频率称为拉莫尔频率 l
下面我们来计算这个频率。
二、经典表达式
B 由电磁学知 在均匀外磁场
中受到的力矩为
M力矩 B
2
代入式 L
得 的数值表示为
l


L


eh
4 m
l(l 1)
（2）
l


eh
4 m
l(l 1)
l(l 1)B
l 0,1, 2,…, n 1
轨道磁矩 的量子表 达式
其中
B
eh
4 m
0.92740 1023 Am2
称为“玻尔磁子”，是轨道磁矩的最小单位，是原 子物理学中极为重要的一个基本常数。
2
Lz

ml
h
2
（1）
三、轨道磁矩的量子表达式
式中l 称为角量子数，它的取值范围为
l 0,1, 2,…, n 1 ml 称为轨道磁量子数
当l 取定后，他的可能取值为
ml 0, 1, 2,… l
三、轨道磁矩的量子表达式
即完整的微观模型是： 给定的n，有n 个不同形状的轨道（l ）； 确定的轨道有2l +1 个不同的取向（ml ）；
一、前言
电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的 光谱和塞曼效应.可是“自旋是一种结构呢？ 还是存在着几类电子呢？”
并且到现在为止，我们的研究还只限于原 子的外层价电子，其内层电子的总角动量被 设为零，下一章我们将要着手讨论原子的壳 层结构。
一、前言
本节介绍了原子中电子轨道运动引起的磁矩， 从电磁学定义出发，我们将得到它的经典表达 式，利用量子力学的计算结果，我们可以得到 电子轨道磁矩的量子表达式。
四、角动量取向量子化
又由式 Lz ml 可得
在 Z 方向的投影表达式为
lz

Lz


e 2m
ml

B ml
（3）
通常令 B

eh
4 m
，称之为玻尔磁子。
THE END
第四章：原子的精细结构： 电子的自旋
第一节：原子中电子轨道运动磁矩
经典表达式 前言 量子表达式 角动量取向量子化
一、前言
前面我们详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光 谱，理论与实验符合的很好，可是后来用高分辨率光谱 仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这说明我们的 原子模型还很粗糙。
本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及 磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构， 并且我们要介绍史特恩-盖拉赫，塞曼效应，碱金属双 线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设的正确性。