小学六年级奥数教师讲义版-工程问题
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顾名思义’工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实’这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题’也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时’一般常用的数量关系式是；
工作量=工作效率×工作时间’
工作时间=工作量÷工作效率’
工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少’它可以是全部工作量’一般用数1表示’也可
工作效率指的是干工作的快慢’其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取’根据题目需要’可以是天’也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位’表示成“工作量/天”’或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下’一般不写工作效率的单位。
例1 单独干某项工程’甲队需100天完成’乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后’剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解；以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天’甲的工作效
2 / 17 例2 某项工程’甲单独做需36天完成’乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做’中途甲队退出转做新的工程’那么乙队又做了18天才完成任务。问；甲队干了多少天？
分析；将题目的条件倒过来想’变为“乙队先干18天’后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来’问题就简单多了。
例3 单独完成某工程’甲队需10天’乙队需15天’丙队需20天。开始三个队一起干’因工作需要甲队中途撤走了’结果一共用了6天完成这一工程。问；甲队实际工作了几天？
分析与解；乙、丙两队自始至终工作了6天’去掉乙、丙两队6天的工作量’剩下的是甲队干的’所以甲队实际工作了
例4 一批零件’张师傅独做20时完成’王师傅独做30时完成。如果两人同时做’那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？
分析与解；这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间’
例5 一水池装有一个放水管和一个排水管’单开放水管5时可将空池灌满’单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池’打开放水管1时后又打开排水管’那么再过多长时间池内将积有半池水？
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例6 甲、乙二人同时从两地出发’相向而行。走完全程甲需60分钟’乙需40分钟。出发后5分钟’甲因忘带东西而返回出发点’取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？
分析；这道题看起来像行程问题’但是既没有路程又没有速度’所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回’路上耽误10分钟’再加上取东西的5分钟’等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下；完成一件工作’甲需60分钟’乙需40分钟’乙先干15分钟后’甲、乙合干还需多少时间？由此看出’这道题应该用工程问题的解法来解答。
1’某工程甲单独干10天完成’乙单独干15天完成’他们合干多少天才可完成工程的一半？
2’某工程甲队单独做需48天’乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干’后来甲队重新回来与乙队一起干了10天’将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。
3’一条水渠’甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后’剩下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？
则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵？
5’修一段公路’甲队独做要用40天’乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工’结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？
6’蓄水池有甲、乙两个进水管’单开甲管需18时注满’单开乙管需24时注满。如果要求12时注满水池’那么甲、乙两管至少要合开多长时间？
7’两列火车从甲、乙两地相向而行’慢车从甲地到乙地需8时’比快车从
40千米。求甲、乙两地的距离。
答案与提示 练习5
4 / 17 2’14天。
3’120天。
6’8时。提示；甲管12时都开着’乙管开
7’280千米。
一、 单独修一条公路’甲工程队需100天完成’乙工程队需150天完成。甲、乙两工程队合修50天后’余下的工程由乙工程队单独做’还需几天才能完成？
解；设全部工程量为“1”’则甲队的工作效率为； ’
5 / 17 乙队的工作效率为； ’
余下的工作量为； 。
故还需； [天]。
答；余下的工程由乙独做还需25天完成。
[综合算式为； [天]]
二、 单独完成某项工程’甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时’开始三人一起干’后因工作需要’甲中途调走了’结果共用了6小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？
解法一；甲的工作效率为 ’乙的工作效率为 ’丙的工作效率为 ’由此得’甲实际的工作时间为；
[小时]。
解法二；甲的工作效率为 ’乙的工作效率为 ’丙的工作效率为 ’由此得’甲实际的工作时间为；
[小时]。
三、 一件工作’甲5小时完成了全部工作的 ’乙6小时又完成剩下工作的一半’最后’余下的工作由甲、乙合做’还需几小时才能完成？
解；甲的工作效率为； ’
乙的工作效率为； ’
余下的工作量为； ’
甲、 乙的工作效率和为； 。
于是’还需 [小时]。
答；还需 小时才能完成任务。
[综合算式； [小时]]四、 一项工程’甲单独做9小时完成’乙单独做需12小时。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作’每天每次工作1小时。那么’完成这项工程共需要几小时？
解；甲的工作效率为 ’乙的工作效率为 ’甲工作1小时’乙再工作1小时’即一个循环完成工作量为 ’由 知’最多可以有5次循环’而5次循环将完成工作
6 / 17 量； ’还剩下 的工作量’剩下的工作量甲仅需[小时]即可完成。因此’共需 [小时]完成这项工程。
五、 一批零件’甲独做20小时完成’乙独做30小时完成。如果甲、乙两人同时做’那么完成任务时乙比甲少做60个零件。这批零件共有多少个？
解；甲的工作效率为 ’乙的工作效率为 ’两人合做所需时间为； [小时]。
甲、乙两人的工作效率之差为 。
从而两人的工作量的差为 。
这 的工作量为60个零件’因此’共有零件 [个]。
综合算式为； [个]
答；这批零件共有300个。
六、 一项工程’甲单独做需12天完成’乙单独做需9天完成。若甲先做若干天后乙接着做’共用10天完成’则甲做了多少天？
一、 某工程’甲队单独做24天完成’乙队单独做30天完成。甲、乙两队合做8天后’余下的工作由丙队单独做’又做了6天才完成。问这项工程由丙队单独做需几天完成？
解； [天]。
答；余下的工程由丙队单独做需15天完成。
二、 一项工程’甲队独做20天完成’乙队独做30天完成。现由两队一起做’其间甲队休息了3天’乙队也休息了若干天’这样’从开始到工程完成共用了16天。问乙队休息了多少天？
解； [天]。
三、 一件工程’小明4小时完成了全部工作的 ’小军5小时又完成了剩下任务的 ’最后余下的部分由小明与小军合做。问完成这项工作共用多少小时？
解； [小时]。
答；完成这项工作共用了 小时。
四、 一件工程’甲独做需24小时’乙独做需18小时。若甲先做2小时’然后乙接替甲做1小时’再由甲接替乙做2小时’再由乙独做1小时……两人如此交替工作。问完成任务时共用多少小时？
7 / 17 解；甲做2小时’乙做1小时为一个循环。
一个循环完成工作量； ’
七个循环完成工作量； ’
余下的工作量由甲完成’需； [小时]。
于是’完成这项任务共需； [小时]。
答；完成任务时共用 小时。
五、 有一批待加工的零件’甲单独做需4天’乙单独做需5天’如果两人合作’那么完成任务时’甲比乙多做了20个零件。问这批零件共有多少个？
解；完成任务所需的时间为 [天]’
此时’甲比乙多完成工作量 ’
于是’这批零件共有 [个]。
答；这批零件共有180个。
六、 单独完成一件工程’甲需要24天’乙需要32天。若甲先独做若干天后乙单独做’则共用26天完成工作。问甲做了多少天？
七、 打印一份稿件’甲单独打需50分钟完成’乙单独打需30分钟完成。现在甲单独打若干分钟后乙接着打’共42分钟打完。问甲完成了这份稿件的几分之几？
一、 单独修一条公路’甲工程队需100天完成’乙工程队需150天完成。甲、乙两工程队合修50天后’余下的工程由乙工程队单独做’还需几天才能完成？
解；设全部工程量为“1”’则甲队的工作效率为； ’
乙队的工作效率为； ’
余下的工作量为； 。
故还需； [天]。
答；余下的工程由乙独做还需25天完成。
[综合算式为； [天]]
8 / 17 二、 单独完成某项工程’甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时’开始三人一起干’后因工作需要’甲中途调走了’结果共用了6小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？
解法一；甲的工作效率为 ’乙的工作效率为 ’丙的工作效率为 ’由此得’甲实际的工作时间为；
[小时]。
解法二；甲的工作效率为 ’乙的工作效率为 ’丙的工作效率为 ’由此得’甲实际的工作时间为；
[小时]。
答；甲实际工作了3小时。
三、 一件工作’甲5小时完成了全部工作的 ’乙6小时又完成剩下工作的一半’最后’余下的工作由甲、乙合做’还需几小时才能完成？
解；甲的工作效率为； ’
乙的工作效率为； ’
余下的工作量为； ’
甲、 乙的工作效率和为； 。
于是’还需 [小时]。
答；还需 小时才能完成任务。
[综合算式； [小时]]
四、 一项工程’甲单独做9小时完成’乙单独做需12小时。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作’每天每次工作1小时。那么’完成这项工程共需要几小时？
解；甲的工作效率为 ’乙的工作效率为 ’甲工作1小时’乙再工作1小时’即一个循环完成工作量为 ’
由 知’最多可以有5次循环’而5次循环将完成工作量； ’
还剩下 的工作量’剩下的工作量甲仅需
[小时]即可完成。因此’共需 [小时]完成这项工程。
