概率论与数理统计-概率的运算法则

概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。

其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。

而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。

本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。

一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。

2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。

3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。

4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。

二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。

2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。

3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。

概率论与数理统计-重要公式一、随机事件与概率二、随机变量及其分布1、分布函数()()(),()()()()k k x xx P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt≤-∞⎧=⎪=≤=<≤=-⎨⎪⎩∑⎰ 概率密度函数计算概率：2、离散型随机变量及其分布3、续型型随机变量及其分布1)(=⎰+∞∞-dx x f ⎰=≤≤badxx f b X a P )()(一般正态分布的概率计算公式分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：()(),1,2,j ii j g x y P Y y p i ====∑，连续型： ①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调 h(y)是g(x)的反函数三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ijx x y yF X Y p≤≤=∑∑边缘分布律：()i i ij jp P X x p ⋅===∑ ()j j ij ip P Y y p ⋅===∑条件分布律：(),1,2,ij i j jp P X x Y y i p ⋅====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅====联合密度函数2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：⎰⎰∞-∞-=x ydudv v u f y x F ),(),(⎰∞-=≤=x dtt f x X P x F )()()(∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()()()('x f x F =⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=),(y x f 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P性质：2(,)(,)1,(,),F x y F f x y x y∂+∞+∞==∂∂((,))(,)GP x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(③条件概率密度+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()( 3、随机变量的独立性随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y = 离散型：..ij i j p p p = ，4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式)离散型：()(,)i j kk i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑注意部分可加性连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型∑+∞==1)(k k k p x X E ，连续型⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(②性质：(),E C C = )()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=±b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =(正对逆错)随机变量g(X)的数学期望2、方差 ①定义：②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov②相关系数： ()()XY D X D Y ρ=，当X 、Y 相互独立时：0=XY ρ(X,Y 不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov =),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++Cov(x,a)=0(a 为常数)，),(2)()()(22Y X abCov Y D b X D a bY aX D ±+=±4、常见随机变量分布的数学期望和方差}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====∑=kkk p x g X g E )())((五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2)(})({εεX D X E X P ≤≥-2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，2)(,)(i ii i X D X E σμ==且C i ≤2σ，则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞⎛⎫-<=⎪⎝⎭③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞→=−→−∑n P ni iXn113、★中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为μ，方差为02>σ，当n 充分大时有：1((0,1)~nn k k Y X n n N μσ==-−−→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：22lim }()2t x n P x dt x π-→∞≤==Φ⎰③近似计算：1()nk k P a X b n n σσ=≤≤≈Φ-Φ∑ 六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体X ～F(x)，则样本的联合分布函数)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量样本均值：∑==ni i X nX 11，样本方差：∑∑==--=--=ni ini i X n X n X X n S 122122)(11)(11 样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=k X n A ni k i k样本k 阶中心距：11(),1,2,3nk k i i B X X k n ==-=∑3、三大抽样分布(1)2χ分布（卡方分布）：设随机变量X ～B(0,1)(1,2,,)i n =且相互独立，则称统计量222212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ 性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ(2)t分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：nY X T =服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T 。

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。

乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。

贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。

结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。

概率运算的五个基本公式和例题
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一、基本公式
1. 概率的定义：设A是一个样本空间，B是A的一个事件，记作P(B)，则定义为P(B)为A发生B的可能性，范围在0≤P(B)≤1之间。

2. 乘法法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A∩B）＝P（A）×P（B）。

3. 求和法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）。

4. 链式法则：若事件A、B、C满足条件“A、B、C互不相容”，则P（A∩B∩C）＝P（A）×P（B|A）×P（C|A∩B）。

5. 贝叶斯法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A|B）＝P（A∩B）/P（B）。

二、例题
1. 已知抽取一个球，其中一个是黑色的，一个是白色的，求抽到黑色球的概率。

解：P（黑色）＝1/2，抽到黑色球的概率P（黑色）＝1/2。

2. 已知从一个六面骰子中投掷一次，求投掷出偶数的概率。

解：P（偶数）＝3/6，投掷出偶数的概率P（偶数）＝3/6。

3. 将1~5个数字的牌放在一个行列，给出每列里出现3的概率。

解：P（每列有3）＝5/120，每列出现3的概率P（每列有3）
＝5/120。

概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中常用的工具，用来计算事件的概率。

下面将分别介绍这两个公式。

全概率公式是概率论中的一个重要定理，用来计算条件概率。

它指出，如果有一组互斥且完备的事件A1，A2，…，An，即这些事件两两互斥且它们的并集等于全样本空间，那么对于任意一个事件B，可以通过以下公式计算其条件概率P(B)：P(B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+…+P(An)P(B，An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。

全概率公式的应用非常广泛，特别在贝叶斯定理的推导中非常有用。

贝叶斯公式是概率论与数理统计中一种常用的计算概率的方法，它使用了全概率公式的思想。

贝叶斯公式可以用来计算在已知其中一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

贝叶斯公式通常用于处理具有不完备信息的问题，根据已知的信息更新先验概率得到后验概率，并基于后验概率进行进一步的推断和决策。

全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中两个重要且相互关联的公式。

全概率公式通过将一个事件分解为多个互斥且完备的小事件，计算条件概率；而贝叶斯公式则通过已知信息计算先验概率，并根据新的信息更新概率。

这两个公式在实际问题的求解中经常起到至关重要的作用。

通过灵活应用全概率公式和贝叶斯公式，我们可以更好地理解随机事件的发生规律，并进行统计数据的分析与预测。