江苏省苏州市高二数学下学期期末试卷文(含解析)

2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．设集合A={x|x﹣1＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B=

．

2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是 ．

3．若双曲线的离心率为2，则a等于 ．

4．函数的定义域为 ．

5．函数f（x）=ex+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是 ．

6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3﹣a6=0，则= ．

7．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）

8．已知cos（α+）=，则sin（α﹣）的值是 ．

9．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程 ．

10．已知函数f（x）=，若f（f（﹣2））＞f（k），则实数k的取值范围为 ．

11．已知经过点A（﹣3，﹣2）的直线与抛物线C：x2=8y在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是 ．

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，sinC=2cosB，且a=4，则△ABC的面积是 ．

13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n（n∈N*），若存在正整数m，n，满足am2﹣4=4（Sn+10），则m+n的值是 ．

14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是 ．

二.解答题

15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．

（1）求证：A1B∥平面AFC；

（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC． 2 / 14

16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若sinα﹣f（α）=，求的值．

17．已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

18．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；

②设∠SDO1=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；

（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．

19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．

（1）求椭圆M的标准方程； （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．

①求x12+x22的值；

②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．

20．已知函数f（x）=ex﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f（x）的导函数．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当c＞1时，试求证：

①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；

②函数y=f（x）有两个相异的零点．

2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．设集合A={x|x﹣1＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B=

{x|2＜x＜3} ．

【考点】交集及其运算．

【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出A与B的交集即可．

【解答】解：由A中不等式解得：x﹣1＞1，即A={x|x＞2}，

∵B={x|x＜3}，

∴A∩B={x|2＜x＜3}．

故答案为：{x|2＜x＜3}

2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是 5 ．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．

【解答】解：∵z===．

∴|z|==5．

故答案为：5．

3．若双曲线的离心率为2，则a等于 1 ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】先求出b2=3，再由离心率为，得到a的值．

【解答】解：由=1可知虚轴b=，而离心率e=，

解得a=1．

故答案：1．

4．函数的定义域为 [1，+∞） ．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】首先由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式即可得到原函数的定义域．

【解答】解：由log2（2x﹣1）≥0，得2x﹣1≥1，解得x≥1．

所以原函数的定义域为[1，+∞）．

故答案为[1，+∞）．

5．函数f（x）=ex+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是

y=3x+1

．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程．

【解答】解：函数f（x）=ex+2x的导数为f′（x）=ex+2，

可得f（x）的图象在点（0，1）处的切线斜率为k=e0+2=3，

即有图象在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．

故答案为：y=3x+1．

6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3﹣a6=0，则= 28 ．

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．

【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，

由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，

∴=．

故答案为：28．

7．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】先根据两直线垂直，求出a的值，即可判断．

【解答】解：∵直线l1：ax+y+1=0和l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，

∴a（a+2）﹣3=0，

解得a=﹣3，或a=1，

故实数“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直的充分不必要条件，

故答案为：充分不必要．

8．已知cos（α+）=，则sin（α﹣）的值是 ．

【考点】两角和与差的正弦函数．

【分析】利用诱导公式化简所求，结合已知即可计算得解．

【解答】解：∵cos（α+）=， ∴sin（α﹣）=sin（α﹣+﹣）=sin（α﹣）=﹣sin[﹣（α）]=cos（α+）=．

故答案为：．

9．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程

（x﹣4）2+（y﹣1）2=25 ．

【考点】圆的标准方程．

【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程．

【解答】解：由于圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），

再根据圆过两点A（0，4），B（4，6），可得[（2b+2）﹣0]2+（b﹣4）2=[（2b+2）﹣4]2+（b﹣6）2，

解得b=1，可得圆心为（4，1），半径为=5，

故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25，

故答案为：（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．

10．已知函数f（x）=，若f（f（﹣2））＞f（k），则实数k的取值范围为 ＜k＜4 ．

【考点】分段函数的应用．

【分析】求出f（f（﹣2））的值，根据分段函数的表达式，解不等式即可得到结论．

【解答】解：f（﹣2）=，f（4）=（4﹣1）2=32=9，

则不等式等价为f（k）＜9，

若k＜0，由，解得log，

若k≥0，由（k﹣1）2＜9，解得﹣2＜k＜4，此时0≤k＜4，

综上：＜k＜4，

故答案为：＜k＜4

11．已知经过点A（﹣3，﹣2）的直线与抛物线C：x2=8y在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是 ﹣ ．

【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设B（m，）（m＜0），求得函数的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐标，运用两点的斜率公式计算即可得到所求值．

【解答】解：设B（m，）（m＜0），

由y=的导数为y′=，

可得切线的斜率为，

即有=，化为m2+6m﹣16=0，

解得m=﹣8（2舍去），

可得B（﹣8，8），又F（0，2），

则直线BF的斜率是=﹣．

故答案为：﹣．

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，sinC=2cosB，且a=4，则△ABC的面积是 8 ．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】利用两角和的正弦函数公式化简sinC=2cosB即可得出sinB，cosB，从而得出sinC，利用正弦定理求出b，代入面积公式即可得出三角形的面积．

【解答】解：∵cosA=，∴sinA=，

∵sinC=sin（A+B）=2cosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2cosB，

∴cosB+sinB=2cosB，即sinB=2cosB，∴tanB=2．

∴sinB=，cosB=，∴sinC=2cosB=．

由正弦定理得：，即，∴b=2．

∴S△ABC=absinC==8．

故答案为：8．

13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n（n∈N*），若存在正整数m，n，满足am2﹣4=4（Sn+10），则m+n的值是 23 ．

【考点】数列的求和．

【分析】由已知数列的前n项和球星数列的首项和公差，然后将am2﹣4=4（Sn+10）整理成关于m，n的等式，在正整数的范围内求值．