高三复习概率专题练习及详细答案1

高考总复习 概率(附参考答案)1（本小题满分12分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随 机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率． （参考数据：2222222981026109466++++++=，236112136472222222=++++++）2在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？3已知向量()1,2a =-，(),b x y =．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b =-的概率；（2）若实数,x y ∈[]1,6，求满足0a b >的概率．4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，+∞)频数 48 121 208 223 193 165 42 频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支，若将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．5为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度，如下表：（1）若第六、七、八组的频数t 、m 、n 为递减的等差数列，且第一组与第八组 的频数相同，求出x 、t 、m 、n 的值； （2）若从第一组和第八组的所有星期 中随机抽取两个星期，分别记它们的平均 温度为x ，y ，求事件“||5x y ->”的概率．6某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,气温（℃） 频数频率[5,1]--x = 0．03 [0,4] 8 [5,9] 12 [10,14] 22 [15,19] 25 [20,24] t =[25,29]m = [30,34]n = 合计 1001频率分数0.050.100.150.200.250.300.350.40O19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.38求分数不小于90分的概率.7某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)15,14，……，第五组[]18,17．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方 图.（I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为 良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（II ）设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[][18,17)14,13,⋃∈n m ， 求事件“1>-n m ”的概率.8一人盒子中装有4张卡片，每张卡上写有1个数字，数字分别是0，1、2、3。

第1章 事件与概率（练习、复习题及答案）一、填空题:1.从自然数集合中任取一数，记A=“取出的数是3的倍数”，B=“取出的数是偶数”，问：事件A ∪B,AB,A -B 各表示什么意思A ∪B=“取出的数是2或3的倍数”，AB=“取出的数是6的倍数”，A -B=“取出的数是3的倍数但不是2的倍数”.2.设P(A)=a ，P(B)=b ，P(A ∪B)＝c ,则)B A (P 为_c -b _.3.若A ⊃C ，B ⊃C ，P(A)=0.7，P(A -C)=0.4，P(AB)=0.5，则P(AB -C)=__0.2__.4.设P(A)=0.4，P(A ∪B)=0.7，若事件A 与B 互斥，则P(B)＝_0.3_，若事件A 与B 相互独立，则P(B)＝_0.5_.5.设A,B 为随机事件，且P(A)=0.7，P(A -B)=0.3，则)(AB P ＝___0.6__.6.假设事件A,B 满足P(B ∣A)＝1，则A 与B 的关系是__ A ⊂B____.7.设随机事件A,B 及和事件A ∪B 的概率分别是0.4,0.3和0.6，则事件B A 的概率是__0.3__.8.袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6的概率是 23/42 .9.进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功两次之前已经失败四次的概率为4215)1(p p C -.10.设四位数中的四个数字都取自数字1,2,3,4，所组成的四位数不含有重复数字的概率是_3/32_.11.一种编码由六位数字组成,其中每位数字可以是0,1,2,…,9中的任意一个,则编码的前两位数字都不超过5的概率是__0.36__.12.从0,1,2,…,9十个数字中任选3个不同的数字，则三个数字中不含0和5的概率是__7/15 _.13.从数字0,1,2,…,9十个数字中不放回地依次选取3个数字，组成一个三位数，此数个位数是5的概率是__8/81__.14.向半径为r 的圆内任意投掷一点,则此点落在圆内接正方形的概率是__2/π__.15.将长为l 的线割成两段，两段中较短的线段小于3l 的概率为___2/3__. 16.两个朋友约定晚上20时至21时在某地会面，先到者等候另一人20分钟，不到即先行离去，这对朋友能会面的概率是___5/9___.17.若在区间(0, 1)内任取两个数，则事件{两数之和小于6/5}的概率为__17/25__.18.某工厂有甲、乙、丙三台机器生产同样的零件,它们的产量各占25%、35%、40%，而在各自的产品中不合格率分别为5%、4%、2%，则在该厂生产的零件中任取一件是不合格品的概率是__0.0345__.19.有两只口袋,甲袋中装3只白球、2只黑球，乙袋中装2只白球、5只黑球，任选一袋,并从中任取一球，此球为白球的概率是__31/70__.20.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是__0.4__.21.设一批产品中一、二、三等品各占60％,30％,10%,现从中任取一件，结果不是三等品,则取得的是一等品的概率是__2/3__.22.袋中有5个白球,5个黄球,10个黑球，现从中任意取出一个，已知它不是黑的，那么它是黄球的概率为__0.5__.23.设甲地下雨的概率是0.5，乙地下雨的概率是0.4，甲乙两地同时下雨是0.2，则已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率是__0.5__.24.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道一年中雨天的比例甲市占20%，乙市占14%，两地同时下雨占12%,则甲市下雨的条件下,乙市也下雨的概率是__0.6__.25.三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，第二箱装有3个黑球3个白球，第三箱中装有3个黑球5个白球，现先任取一箱，再从该箱中任取一球，则这球是白球的概率是__53/120__，取出的白球是属于第二箱的概率为___20/53__.26.电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后，最多只有1个坏了的概率为___0.104__.27.有2个元件，每个元件的可靠度都是p ，假定每个元件是否正常工作是相互独立的。

11．1 概率 （一）[基础练习]1、有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为（ ）A 、507 B 、1007 C 、487 D 、203 2、袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事 件中概率是98的是（ ） A 、颜色全同 B 、颜色不全同 C 、颜色全不同 D 、颜色无红色3、甲射击命中目标的概率是21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是41，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ）A 、43B 、32C 、54D 、107 4、在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是（ ）A 、)1,6.0[B 、]6.0,0(C 、]4.0,0(D 、)1,4.0[ 5、5个同学任意站成一排，甲、乙两人恰好站在两端的概率是（ ）A 、81B 、91C 、101D 、111 6、某班有学生36人，按血型分类为：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O型6人，如果从这个班随机抽出2名学生，则这2名学生血型相同的概率是 7、2个篮球运动员在罚球时投球的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是（保留两位有效数字）8、有一道竞赛题，A 生解出它的概率为21，B 生解出它的概率为31，C 生解出它的概率为41，则A 、B 、C 三人独立解此题只有1人解出的概率为 ［典型例题］［例1］甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个、判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：甲、乙两人依次抽一题的结果有19110C C 个 （1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的结果有1416C C 个， 所求概率154)(191101416==C C C C A P （2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的结果有131419110C C C C -个， 所求概率1513)(19110131419110=-=C C C C C C B P ［例2］学校文艺队每个队员唱歌、跳舞至少会一门，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少要有一位既会唱歌又会跳舞的概率是2116，问该队有多少人？ 解：设该队既会唱歌又会跳舞的有x 人，从而只会唱歌或只会跳舞的有)212(x -人，记“至少要有一位既会唱歌又会跳舞”的事件为A ，则事件A 的对立事件A 是“只会唱歌或只会跳舞”2116)(1)(,)(3123212=-==--A P A P C C A P xx 又 21161)10)(11)(12()210)(21)(212(-=------∴x x x x x x 解得912,3=-∴=x x ，故该队共有9人［例3］在资料室中存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0.2，而借杂志的概率为0.8，设每人只借一本，现有五位读者依次借阅，计算：（1）5人中有2人借杂志的概率（2）5人中至多有2人借杂志的概率解：记“一位读者借杂志”为事件A ，则“此人借书”为A ，5位读者各借一次可看作n 次独立重复事件，因此：（1）5人中有2人借杂志的概率0512.0)2.0()8.0(3225==C P（2）5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志，5人中恰有1人借杂志，5人中恰有2人借杂志，因此所求概率05216.0)2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0(322541155005=++=C C C P［例4］进入世界排名前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国人抽签平分为甲、乙两组进行比赛，求4名中国选手不都分在同一组的概率。

高三数学概率综合试题答案及解析1.甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A＋B＋C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生．∴P()＝P()·P()·P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]，故目标被击中的概率为1－P()＝1－＝.2.,,则的概率是A．B．C．D．【答案】C【解析】有序实数对的取值情形共有种，满足的情形有：（1）此时；（2）此时;（3)此时.所以的概率为【考点】古典概型.3.气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t （单t22℃22℃< t28℃28℃< t 32℃℃612数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．（Ⅰ）若把频率看作概率，求，的值；（Ⅱ）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面列联表，并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由．附：0．100．0500.0250．0100.0050．001【答案】（Ⅰ）9，3；（Ⅱ）没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关.【解析】（Ⅰ）把频率看作概率，，根据频率和为1，可求得，在由皮书等于频率样本总数，便求得，的值；（Ⅱ）利用求出的观测值，把的值与临界值比较，如下表：确定与有关系的程度或无关系.若，则有95℅的把握说明两个事件有关；若，则有99℅的把握说明两个事件有关；若，则没有理由认为两个事件有关.试题解析：（Ⅰ）由已知的：，∴，∴，． 6分（Ⅱ）高温天气非高温天气合计，因为，所以没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关． 12分【考点】概率的基本运算、频率的基本运算，独立性检验.4.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。

概率训练(一)基础巩固练一、选择题1．在下列六个事件中，随机事件的个数为()①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A．2 B．3 C．4 D．5[解析]①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．故选A．[答案] A2．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“出现两次正面”，事件N：“只出现一次反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件．其中，真命题是() A．①②④B．②④C．③④D．①②[解析]对于①，“出现两次正面”的对立事件应为“只出现一次反面”或“出现两次反面”，故①错误．对于②，对立事件必是互斥事件，故②正确．对于③，互斥事件不一定是对立事件，故③错误．对于④，事件A，B互为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故④正确．故选B．[答案] B3．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是() A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生[解析]在所选的4名同学中，“恰有2名男生”的实质是选出“2名男生和2名女生”，它与“恰有4名男生”不可能同时发生．所以A选项是互斥事件，但不是对立事件；“至少有3名男生”包括“3名男生，1名女生”和“4名男生”两种结果，这与“全是男生”可同时发生．所以B选项不是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，这与“全是女生”不可能同时发生，且其中必有一个发生．所以C选项是互斥事件，且是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，“至少有1名女生”包括“3名男生，1名女生”、“2名男生，2名女生”、“1名男生，3名女生”和“4名女生”四种结果，它们可能同时发生．所以D选项不是对立事件．故选C．[答案] C4．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡[解析]至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A．[答案] A5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5；43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是( )A ．16B ．13C ．12D ．23[解析] 根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为2266＝13，由频率估计概率得P ＝13.故选B ．[答案] B二、填空题6．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为__________．[解析] 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.[答案] 0.37．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235， 现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．[解析] 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.[答案] 17358．一只不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．[解析]由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件．故至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝14 15.[答案]8151415三、解答题9．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区数)；(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．[解](1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54，0.52，0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.10．某超市有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C ．求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解] (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120.(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)P (A ∪B )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.能力提升练11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件[解析] 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的V enn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D ．[答案] D12．(2019·湖北黄石联考)天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的10组随机数如下：613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为( )A ．12，38B ．12，18C ．13，15D ．13，29[解析] 由题意可得，每天下雨的概率P (A )＝26＝13；由10组数据可得三天中有两天下雨的概率P (B )＝210＝15.故选C ．[答案] C13．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级产品的概率为0.03，丙级产品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．[解析] 记“生产中出现甲级产品、乙级产品、丙级产品”分别为事件A ，B ，C ．又事件A ，B ，C 彼此互斥．由题意可得，P (B )＝0.03，P (C )＝0.01.故所求事件“抽得正品”即事件A ，其对立事件为B ∪C ． 因为事件B ，C 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可得P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.03＋0.01＝0.04.所以所求事件的概率P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－0.04＝0.96.[答案] 0.9614．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．[解]记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N*，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”．∴P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.拓展延伸练15．若p：“事件A与事件B是对立事件”，q：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．[答案] A16．(2019·河南平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为________．[解析] 白球没有减少的情况有：①抓出黑球，放入任意球，概率为58.②抓出白球放入白球，概率为38×511＝1588，所求事件概率为：58＋1588＝3544.[答案] 3544概率训练(二)基础巩固练一、选择题1．(2019·福建厦门月考)甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23[解析] 由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9(种)不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13.故选B ．[答案] B2．利用计算机在区间(0,4)内产生随机数a ，则不等式log 2(2a －1)<0成立的概率是( )A ．78B ．34C ．14D ．18[解析] 由log 2(2a －1)<0，可得0<2a －1<1，即12<a <1.由几何概型的概率计算公式，可得所求概率P ＝1－124－0＝18，故选D ． [答案] D3．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为( )A ．π8B ．π4C ．12D ．14[解析]如图所示，以AB 为直径作圆，则圆在正方形ABCD 内的区域为半圆(阴影部分)，其面积S ＝12×π×12＝12π，且满足条件∠AMB >90°的点M 在半圆内，故满足∠AMB >90°的概率P ＝S S 四边形ABCD ＝12π22＝π8，故选A ．[答案] A4．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A ．12B ．13C ．23D ．56[解析] 设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为B ．则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.故选C ．[答案] C5．(2019·商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A ．79B ．13C ．59D ．23[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.故选D ．[答案] D二、填空题6．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是__________．[解析] 所有没有重复数字的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32，共9个，其中所得两位数为偶数的有10,12,20,30,32，共5个，所以所求概率为59.[答案] 597．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12，∴P ＝1－π12. [答案] 1－π128．某单位从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有一人被录用的概率是________．[解析] 从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种情况．而A 、B 2人中至少有1人被录用的情况有5种，所以A ，B 两人中至少有一人被录用的概率为56.[答案] 56三、解答题9．(2019·郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？[解] 用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件， 则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C ．事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35.因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．10．(2019·陕西西安期末)为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取人，所得成绩如下：57,63,65,68,72,77,78,78,79,80,83,85,88,90,95.(1)作出抽取的人的测试成绩茎叶图，以频率为概率，估计所有志愿者中成绩不低于90分的人数；(2)从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的人中恰有一人的成绩不低于90分的概率．[解] (1)以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的人的测试成绩的茎叶图如图所示，由样本得成绩不低于90分的频率为215，故志愿者测试成绩不低于90分的人数约为215×1500＝200(人)．(2)设抽取的15人中，成绩不低于80分的志愿者为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中E ，F 的成绩不低于90分，则从成绩不低于80分的志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，D }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，E }，{A ，D ，F }，{A ，E ，F }，{B ，C ，D }，{B ，C ，E }，{B ，C ，F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{B ，E ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，{C ，E ，F }，{D ，E ，F }，共20种．其中选取的3人恰有一人成绩不低于90分的不同取法有{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，E }，{A ，D ，F }，{B ，C ，E }，{B ，C ，F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，共12种．所以选取的人中恰有一人的成绩不低于90分的概率为1220＝35.能力提升练11．(2019·唐山质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A ．34B ．12C ．13D ．35[解析] 作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC 上运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝l MmC 圆的周长＝12.故选B ． [答案] B12．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A ．14B ．38C ．12D ．58[解析] 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b a >1，(a ，b )的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，总基本事件数有16个，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为38.故选B ．[答案] B13．(2019·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是__________．[解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12. [答案] 1214．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，因试验发生包含的事件有：当a ＝1时，b ＝－1,1,2,3,4；当a ＝2时，b ＝－1,1,2,3,4；当a ＝3时，b ＝－1,1,2,3,4，共15种．函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a ≤1，即2b ≤a ，若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1；故事件包含基本事件的个数是5个，故所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为：⎩⎪⎨⎪⎧ (a ，b )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0构成所求事件的区域为三角形部分， 由⎩⎨⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83， ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.拓展延伸练15．(2019·成都市高三二诊)两位同学约定下午5∶30～6∶00在图书馆见面，且他们在5∶30～6∶00到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A ．1136B ．14C ．12D ．34[解析]如图所示，以5∶30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34. [答案] D16．(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为__________．[解析] 根据题意，点(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点即圆心(2,0)到直线的距离小于或等于半径r ，可得|2a |a 2＋b2≤2，化简得a ≤b ，满足条件的(a ，b )情况如下： ①a ＝1时，b ＝1,2，…，6，共6种；②a ＝2时，b ＝2,3，…，6，共5种；③a ＝3时，b ＝3,4,5,6，共4种；④a ＝4时，b ＝4,5,6，共3种；⑤a ＝5时，b ＝5,6，共2种；⑥a ＝6时，b ＝6,1种．总共有：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，故所求概率P ＝2136＝712.[答案] 712概率训练(三)1．(2019·河南豫南九校联考)下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x ＝年份－2013.(1)已知y 并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋D ．[解] (1)由题意得x ＝2.5，y ＝200，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14x i y i ＝2355，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x－2＝2355－4×2.5×20030－4×2.52＝71，所以a ^＝y －－b ^x －＝200－71×2.5＝22.5，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝71x ＋22.5.由于2018－2013＝5，所以当x ＝5时，y ^＝71×5＋22.5＝377.5， 所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元．(2)由题可得2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝55×50×30×75≈6.109. 由于6.109>5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．2．(2018·合肥第二次质量检测)某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．[解] (1)茎叶图如图，由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以甲组同学的成绩差异较大．(也可通过计算方差说明，s2甲＝101.6，s2乙＝37.4，s2甲>s2乙)(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3；乙组成绩在90分以上的三位同学为B1，B2，B3.从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；(B1，B2)，(B1，B3)；(B2，B3)．其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个，所以所求概率P＝915＝3 5.3．(2018·江西新余二模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．[解] (1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x ＝0.05，∴x ＝120.(2)设中位数为a ，则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．4．(2018·湖南五校联考)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1n x 2i －n x 2＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y ^－b ^x ，参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092，112＋132＋122＋82＝498 [解] (1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件A ．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率为P (A )＝515＝13.(2)由数据得x ＝11，y ＝24，由公式得b ^＝187.则a ^＝y －b ^x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2； 同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2. 所以，该小组所得线性回归方程是理想的．。

高考数学《概率》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e （e 2.718≈为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[]0,e 上的随机数1231000,,,x x x x 和1y ，2y ，3y ，…，1000y ，从而得到1000个点的坐标(),i i x y （1,2,3,1000i =），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（ ）A ．0.70B ．1.04C ．1.26D ．1.922．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ） A ．125 B ．85C ．35D ．253．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ） A ．320B ．310 C ．25D ．154．已知ABC 和ABD △都内接于同一个圆，ABC 是正三角形，ABD △是直角三角形，则在ABD △内任取一点，该点取自ABC 内的概率为（ ）A ．14B ．12C ．34D 35．现代健康生活的理念，每天锻炼1小时，健康工作50年，幸福生活一辈子．我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动．在某校举行的秋季运动会中，来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4100⨯米接力赛，则甲乙互不接棒的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．236．某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在[]60,90内，绘成频率分布直方图（如图所示），从[)60,70中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在[)60,65内的概率是（）A．715B．815C．23D．137．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（）A．215B．15C．415D．258．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．5519．在各不相同的10个球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出两个球，第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为 A ．110 B ．13C ．25D ．5910．有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）A ．35B ．310 C ．45D ．2511．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 A ．27B ．57C ．29D ．5912．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值.假如统计结果是60m =，那么π≈（ ）A ．165 B ．65C ．7825D ．14245二、填空题13．已知某人同时抛掷了两枚质地均匀的正方体骰子，记“两枚骰子的点数之和是6的倍数”为事件A ，则()P A =______________．14．如图，连接△ABC 的各边中点得到一个新的111A B C △，又连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ，111A B C △，222A B C △，…，这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是______．15．某校有高一、高二、高三、三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为___________．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________．三、解答题17．在第29届“希望杯”全国数学邀请赛培训活动中，甲､乙两名学生的6次培训成绩（单位：分）如茎叶图所示.（1）若从甲、乙两名学生中选择一人参加第29届“希望杯”全国数学邀请赛，你会选择哪一位？说明理由；（2）从甲的6次成绩中随机抽取2次，试求抽到119分的概率.18．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率； (1)乙中靶； (2)恰有一人中靶； (3)至少有一人中靶.19．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数． (1)这3个数组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率； (2)设X 为所取的3个数中奇数的个数，求X 的可能取值及相应的概率．20．在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了4个演唱节目，2个舞蹈节目参加社区慰问演出．（结果用数字作答）(1)若从6个节目中选3个参加市演出汇报，求3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数； (2)现对6个节目安排演出顺序，求4个演唱节目接在一起的概率；(3)现对6个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率．21．为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在[)15,20与[)20,25的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在[)15,20的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．22．为了研究性格和血型的关系，随机抽查了100个人的血型和性格，其情况如下表：（1）根据上面的22⨯列联表，判断是否有95%的把握认为性格与血型有关？（2）在“内向型”性格的人中，用分层抽样的方法抽取5人.若从5人中抽取3人进一步分析性格和血型的关系，求恰好抽到两名“O型或A型”人的概率.附表：其中22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++23．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市30名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“”平均每天喝100mL以上的”为常喝.已知在所有的30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为4 .(1)请将上表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；(2)已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.24．A，B，C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：（Ⅰ）试估计B班的学生人数；（Ⅱ）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率; （Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率。

一、选择题1．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（）A．110B．310C．12D．352．如图所示，已知圆1C和2C的半径都为2，且1223C C=，若在圆1C或2C中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A33533π+B33533π+C331033π+D331033π+3．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．7164．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（）A．910B．710C．310D．1105．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A，B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（）A．13B．47C．23D．566．如图，正方形ABNH、DEFM的面积相等，23CN NG AB==，向多边形ABCDEFGH内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）A ．12B ．34C ．27D ．387．若即时起10分钟内,甲乙两同学等可能到达某咖啡厅,则这两同学到达咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的概率为( ) A ．0.3B ．0.36C ．0.49D ．0.518．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A ．964B ．449C ．225D ．279．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B ．3349πC ．33πD ．9π10．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．16 36B．1736C．12D．193611．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．14B．316C．38D．71612．在二项式42nxx的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．16B．14C．512D．13二、填空题13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.14．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球至少有一个白球”，D“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件：④()1P C E=；⑤()()P B P C=.15．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.16．已知函数2()22f x x =-的定义域为M ，(())y f f x =的定义域为P ，在M 上随机取一个数x ，则x P ∈的概率是____________．17．某种产品每箱装6个,其中有4个合格,2个不合格,现质检人员从中随机抽取2个进行检测,则检测出至少有一个不合格产品的概率是_______.18．农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___19．从一堆产品(正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件②“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件 ④“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件其中正确的有______(填序号)． 20．已知下列命题：①ˆ856yx =+意味着每增加一个单位,y 平均增加8个单位 ②投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件 ③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件④在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，这个实验为古典概型 其中正确的命题有__________________.三、解答题21．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.22．空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AOI 大小分为六级.某地区一监测站记录自2019年9月起连续n 天空气质量状况，得如下频数统计表及频率分布直方图. 空气质量指数（AOI ） (0,50](50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,)+∞空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 频数（天）2540m105（Ⅰ）求m ，n 的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（Ⅲ）在空气质量指数分别为(50,100]和(100,150]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，再从中任意选取2天，求事件“两天空气质量等级不同”发生的概率.23．从广安市某中学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160165,，...，第八组[)190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率；（2）估计该校800名男生的身高的中位数。

高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。

答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。

根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。

2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。

答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。

其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。

根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。

3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。

答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。

然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。

根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。

二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。

今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。

答案：首先确定次品数为10、11、...、20。

使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。

计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。

2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。

随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。

答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。

然后根据概率公式计算概率。

3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。

随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。

答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。

三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。

高三数学复习专题(1)——概率(文科)答案第1页(共2页)高三数学复习专题(1)--—概率(文科)答案一、考纲研读（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。

（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

（3）了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。

（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率二、基础知识（1） 概率是频率的近似值，两者是不同概念 （2） 等可能事件中概率nm)A (P =，P(A)∈[0，1] （3） 互斥事件A ，B 中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：A B =时，1)A (P )A (P =+，即对立事件的概率和为1 （4）相互独立事件A ，B 同时发生的概率P(A·B)=P(A)P(B)（5）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C n k P k (1-P)n-k ，其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项三、难点突破（1）把一个事件分解成若干个彼此互斥的简单事件，往往可以使问题简化。

（2）对于复杂的概率通常有两种常用的解题方法：一是将所求事件化成彼此互斥事件的和；二是先去求事件的对立事件的概率，然后再去求所求事件的概率。

四、典型例题（一）随机事件及其概率例1：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只； （3）取到的2只中至少有一只正品。

解：（1）P=91364=（2）9436423624P =⨯+⨯=（3）98911P =-= （二）互斥事件有一个发生的概率例2：甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为31和41，求： （1） 恰有1人译出的密码的概率；（2）至多1人译出的密码的概率；（3）若达到译出的密码的概率为10099，至少需要多少个乙这样的人。

一、单项选择题1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。

A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)C ．X 与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。

A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。

A ．1)(=+∞FB ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。

A ．nk k m q p CB ．kn k k n q p C -C ．k n pq -D ．k n k q p -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= C A ．8B ．16C ．20D ．246．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。

A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭ B ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭C ．a n n μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭ D ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为Y X0 1 2 -1 0 10.2 0 0.10 0.4 0 0.1 0 0.2则(0,1)F = C 。

A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.88．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F 分布D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。

一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数； （2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）； （3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ， 由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除， 所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】 由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率． 【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的 解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率． 【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】 （1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。

高考数学概率真题训练100题含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．在区间(0,1)随机取一个数，则取到的数小于13的概率为（ ）A ．34B ．23C ．13D ．162．向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（ ）A ．1B ．34C D ．143．某公交车站的末班车在19：0019-：30间随机驶离该站，小明在19：1519-：30间随机到达该站，则小明赶上末班车的概率是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．344．从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．565．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则3m n =的概率为（ ） A ．118B ．112 C ．19D ．166．如图，先画一个正方形ABCD ，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH ，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是A ．14B ．16C ．18D ．1167．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ） A ．12B ．14C ．13D ．168．在区间[0，2]上随机取一个实数x ，则事件“3x -1＜0”发生的概率为A．12B．13C．14D．169．在等腰直角三角形ABC中，角C为直角．在ACB∠内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM AC<的概率（）．A2B．12C．34D．1410．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A．18B．17C．16D．1511．某公司安排甲、乙、丙3人到,A B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为（）A．15B．16C．13D．1412．从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是A．至少有一个红球，至少有一个白球B．恰有一个红球，都是白球C．至少有一个红球，都是白球D．至多有一个红球，都是红球13．写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算8965⨯，将被乘数89计入上行，乘数65计入右行．然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5785．类比此法画出648345⨯的表格，若从表内（表周边数据不算在内）任取一数，则恰取到奇数的概率是（）A．518B．13C．1318D．2314．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．4π81B．81-4π81C．127D．82715．五行学说最早出现在黄老､道家学说中，据《尚书·洪范》记载：“五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土.水曰润下，火曰炎上，木曰曲直，金曰从革，土曰稼穑.润下作咸，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘.”后人根据对五行的认识，又创造了木､火､土､金､水五行相生相克理论，如金与木､金与火､水与火､水与土､土与木相克，若从5大类元素中任选2类，则2类元素相克的概率是（）A．34B．25C．35D．1216．“垃圾分类”已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自治”的行为规范，某小区设置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”四种垃圾桶．一天，小区住户李四提着属于4个不同种类垃圾桶的4袋垃圾进行投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，作为一个意识不到位份子，李四随机把4袋垃圾投放到了4个桶中，则有且仅有一袋垃圾投放正确的概率为（）A．16B．23C．13D．1217．中国古代的贵族教育体系，开始于公元前1046年的周王朝，周王官学要求学生掌握的六种基本才能礼、乐、射、御、书、数.某中学为了传承古典文化，开设了六种选修课程，要求每位学生从中选择3门课程，扎西同学从中随机选择3门课程，则他选中“御”的概率为（）A．16B．13C．12D．2318．不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（）A．314B．37C．67D．132819．同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是奇数的概率为（）A．736B．1136C．1112D．3420．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为A．910B．310C．15D．11021．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（）A．112B．110C．325D．1212522．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是A．12B．13C．14D．1523．若x A∈，则1Ax∈，就称集合A是“和谐集合”.任选集合111,,,1,3,423M⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的一个非空子集是“和谐集合”的概率为（）A．110B．19C．731D．73224．张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是A．、B．、C．、D．、25．在右图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是A．B．C．D．26．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则b a=A ．13B ．12C D 27．不定项选择题是高中物理选择题中必考题型之一，正确答案为A 、B 、C 、D 四个选项中的一个或多个，假设某考生对A 、B 、C 、D 选项正确与否完全不知道，则该考生猜对答案概率是（ ） A ．16B ．114C ．115D ．11628．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则“4X >”表示试验的结果为 A ．第一枚为5点，第二枚为1点 B ．第一枚为5或6点，第二枚为1点 C ．第一枚为6点，第二枚为1点D ．第一枚为1点，第二枚为6点29．2021年湖北省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式，现有甲、乙、丙、丁4名学生都准备选物理与化学，并且他们都对政治、地理、生物三科没有偏好，则甲、乙、丙、丁4人中恰有2人选课相同的概率为（ ） A ．16B ．512 C ．58D ．4930．《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载，已知两周率π小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）A ．35B ．3395C ．21100D ．72031．费马小定理：若p 是质数，且a ，p 互质，那么a 的()1p -次方除以p 所得的余数恒等于1．依此定理，若在数集{}2,3,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（ ）A ．712 B ．34C ．23D ．1232．一个矩形，如果从中截去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似）0.618≈，称为黄金比，称该矩形为黄金矩形.黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去.已知ABCD 是黄金矩形，按上述方法分割若干次以后，得如图所示图形.若在ABCD 内任取一点，则该点取自阴影内部的概率为（ ）A ．4⎝⎭B ．6⎝⎭C ．7⎝⎭D ．8⎝⎭33．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是（ ） A ．13B ．16C ．19D ．11234．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是A ．14B ．13C ．532D ．31635．在正方体1111ABCD A B C D -中，从1,,,A B C B 四个点中任取两个点，这两点连线平行于平面11AC D 的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．5636．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M ，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N ，则有（ ） A ．M N ⊆B ．M N ⊇C ．M ND ．M N <37．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD 外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”.现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ）A ．37B ．47C ．314D ．111438．抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是12,反复投掷，数列{}n a 定义如下:1({-1(n n a n =第次投掷出现正面）第次投掷出现反面），若*12()n n S a a a n N =+++∈,则事件40S >的概率为A ．516B ．14C ．116D ．1239．在区间[]0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是（ ）A ．1225B ．1625C ．1725D ．182540．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定41．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X ，已知16(1)45P X ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品数为（ ） A ．2件 B ．4件 C ．6件 D ．8件42．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是 A ．310B ．23C ．35D ．4543．设k 是一个正整数，在(1+)k x k的展开式中，第四项的系数为116，记函数2yx 与y kx =的图象所围成的阴影部分面积为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是（ ） A ．23B ．13C ．25D ．1644．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为 A ．310 B ．35C ．710 D ．2545．《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π46．将长为1的小捧随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为 A ．12 B ．13C ．14D ．1547．已知函数，若在[1，8]上任取一个实数，则不等式成立的概率是A ．B ．C ．D ．48．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ） A ．120B ．112C ．110 D ．16二、填空题49．（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为__________. 50．已知某市的1路公交车每5分钟发车一次，小明到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是______.51．已知某运动员在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，则该运动员在一次射击中，至少射中8环的概率是_______. 52．如图，靶子由一个中心圆面I 和两个同心圆环Ⅱ、Ⅱ构成，射手命中I 、Ⅱ、Ⅱ的概率分别为0.33、0.29、0.26，则脱靶的概率是______．53．下列命题中，正确的是______．（填序号）Ⅱ事件A 发生的概率()P A 等于事件A 发生的频率()n f A ；Ⅱ一颗质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点；Ⅱ掷两枚质地均匀的硬币，事件A 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B 为“两枚都是正面朝上”，则()()2P A P B =；54．袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34据此估计，直到第二次就停止的概率为______.55．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．56．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则正确命题的序号是______．Ⅱ事件A 发生的概率为12；Ⅱ事件A B 发生的概率为1120； Ⅱ事件A B 发生的概率为25；Ⅱ从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15．57．随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为__（精确到0.001）． 58．.从分别写上数字1,2,3,9,的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为________________59．如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为__________．60．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为“向上的为奇数点”，事件B 为“向上的为4点”，则()P A B =______．61．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4、5的五个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和不小于5”的概率是______.62．已知向量(2,1),(,)a b x y ==，若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量//a b 的概率为_______.63．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.64．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________.65．如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为_______66．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.67．设a ，b 随机取自集合{}1,2,3，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是________． 三、解答题68．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n .求（1）用列举法，列出所有结果； （2）求事件2n m <+的概率.69．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；70．为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率.71．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”.图1共享单车用户年龄等级分布图2共享单车使用频率分布（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表：（2）现从不常使用共享单车的人中分层抽样抽出4人跟踪调查，若从这4人中随机抽取2人，求2人都是年轻人的概率. 参考数据：独立性检验界值表：其中，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.72．为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.Ⅱ从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；Ⅱ从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.73．若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：1221ˆni ii nii x ynx ybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：88211460,379.5ii i i i x x y ====∑∑.74．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5Ⅱ3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 75．设袋中有5个黄球，3个红球，2个绿球，试按：(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率； (2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率．76．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y ，用(),x y 表示一个基本事件. （1）求满足条件“xy为整数”的事件的概率； （2）求满足条件“2x y -<”的事件的概率.77．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4．将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．（1）求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．78．如今我们的互联网生活日益丰富，网购开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某校学生管理机构为了了解学生网购消费情况，从全校学生中抽取了100人进行分析，得到如下表格（单位：人）参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考数据如下：（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学生网购的情况与性别有关？（2）现从所调查的女生中利用分层抽样的方法抽取了5人，其中经常网购的女生分别是：,,A B C，偶尔或从不网购的女生分别是,a b，从这5人中随机选出2人，求选出的2人中至少有1人经常网购的概率79．已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球.(1)求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率；(2)求乙袋中任取出1球为白球的概率.80．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数()AQI，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,n m的值，并完成频率分布直方图：(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；-的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5 (3)在空气质量指数分别为51100-和151200天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.81．甲､乙两人参加一次考试.已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从各选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)分别求甲､乙两人考试合格的概率；(2)求甲､乙两人至少有一人考试合格的概率.82．某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组80,100，得到频率分布直方图，如图所示.[60,80)，第五组[]（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率. 83．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．84．浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7 门科目中自选 3 门参加考试．下面是某校高一200 名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20 分成7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60 百分位数；(3)若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率．85．某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如茎叶图所示（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（Ⅱ）根据数据分别写出男、女两组身高的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则各抽几人？（Ⅱ）在（Ⅱ）的基础上，从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？86．2020年江西省旅游产业发展大会于6月12日至6月13日在赣州顺利召开.为让广学生子解赣州旅游文化，赣州市旅游局在赣州市各中小学校开展“赣州市旅游知识网络竞赛”活动.为了更好地分析中学生和小学生对赣州市旅游知识掌握情况，将中学组和小学组的所有参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.（1）若将一般和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？（2）若某县参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计该县参赛选手中优秀等级的人数；（3）如果在优秀等级的选手中取3名，在良好等级的选手中取2名，再从这5人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中恰有2名选手的等级为优秀的概率.注：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.。

高考数学第一轮复习概率专项练习（含答案）概率是对随机事件发生的可能性的胸怀，一般以一个在0 到 1 之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

以下是高考数学第一轮复习概率专项练习，请考生掌握。

一、选择题1.现采纳随机模拟的方法预计某运动员射击 4 次，起码击中3 次的概率：先由计算器给出0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0,1 表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281依据以上数据预计该射击运动员射击 4 次起码击中 3 次的概率为 ()答案： D 命题立意：此题主要考察随机模拟法，考察考生的逻辑思想能力 .解题思路：因为射击 4 次至多击中 2 次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共 5 组，所以射击 4 次起码击中3 次的概率为1-=0.75 ，应选 D.2.在菱形 ABCD 中，ABC=30 ，BC=4 ，若在菱形ABCD 内任取一点，则该点到四个极点的距离均不小于 1 的概率是 ()A.1/2B.2C. -1D.1答案： D 命题立意：此题主要考察几何概型，意在考察考生的运算求解能力.解题思路：如图，以菱形的四个极点为圆心作半径为 1 的圆，图中暗影部分即为到四个极点的距离均不小于 1 的地区，由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P==.3.设会合 A={1,2} ，B={1,2,3} ，分别从会合 A 和 B 中随机取一个数a 和b，确立平面上的一个点P(a，b)，记点P(a，b)落在直线 x+y=n 上为事件 Cn(25 ，nN) ，若事件 Cn 的概率最大，则 n 的所有可能值为 ()A.3B.4C.2 和 5D.3 和 4答案： D 解题思路：分别从会合 A 和 B 中随机拿出一个数，确立平面上的一个点P(a，b)，则有 (1,1)，(1,2)，(1,3) ，(2,1) ，(2,2)，(2,3) ，共 6 种状况， a+b=2 的有 1 种状况， a+b=3 的有 2 种状况， a+b=4 的有 2 种状况， a+b=5 的有 1 种状况，所以可知若事件 Cn 的概率最大，则 n 的所有可能值为 3 和 4，应选 D.4.记 a，b 分别是扔掷两次骰子所得的数字，则方程x2-ax+2b=0 有两个不一样实根的概率为()A. 3/4B.1/2C. 1/3D.1/4答案： B 解题思路：由题意知扔掷两次骰子所得的数字分别为 a， b，则基本领件有： (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5) ，(1,6)，， (6,1) ，(6,2) ，(6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) ，共有 36 个.而方程 x2-ax+2b=0 有两个不一样实根的条件是a2-8b0，所以满足此条件的基本领件有：(3,1)，(4,1) ，(5,1)，(5,2) ，(5,3)，(6,1) ，(6,2)，(6,3) ，(6,4) ，共有 9 个，故所求的概率为=.5.在区间内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点的概率为()A.1-B.1-C.1-D.1-答案：B解题思路：函数 f(x)=x2+2ax-b2+2 有零点，需 =4a2-4(-b2+0 ，即 a2+b22 成立 .而 a，b[-] ，成立平面直角坐标系，知足 a2+b22 的点 (a， b)如图暗影部分所示，所求事件的概率为P===1- ，应选 B.6.袋中共有 6 个除了颜色外完整同样的球，此中有1个红球、2 个白球和 3 个黑球 .从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ()A.5/6B.11/12C. 1/2D.3/4答案： B 解题思路：将同色小球编号，从袋中任取两球，所有基本领件为：(红，白 1)，( 红，白 2)，(红，黑 1)， (红，黑 2)，(红，黑 3)，(白 1，白 2)，(白 1，黑 1)，(白 1，黑 2)，(白 1，黑 3)， (白 2，黑 1)， (白 2，黑 2)， (白 2，黑 3)，(黑1，黑 2)， (黑 1，黑 3)， (黑 2，黑 3)，共有 15 个基本领件，而为一白一黑的共有 6 个基本领件，所以所求概率 P==.应选B.二、填空题7.已知会合表示的平面地区为，若在地区内任取一点 P(x，y) ，则点 P 的坐标知足不等式 x2+y22 的概率为 ________.答案：命题立意：此题考察线性规划知识以及几何概型的概率求解，正确作出点对应的平面地区是解答此题的重点，难度中等 .解题思路：如图暗影部分为不等式组表示的平面地区，知足条件 x2+y22 的点散布在认为半径的四分之一圆面内，以面积作为事件的几何胸怀，由几何概型可得所求概率为=.8.从 5 名学生中选 2 名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________.答案：命题立意：此题主要考察古典概型，意在考察考生剖析问题的能力.解题思路：设 5 名学生疏别为a1，a2，a3，a4，a5(此中甲是a1，乙是 a2)，从 5 名学生中选 2 名的选法有 (a1，a2)，(a1，a3) ，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)， (a4， a5)，共 10 种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)，共 3 种，故所求概率为 .9.已知函数 f(x)=kx+1 ，此中实数k 随机选自区间，则对x[-1,1] ，都有 f(x)0 恒成立的概率是________.答案：命题立意：此题主要考察几何概型，意在考察数形联合思想 .解题思路： f(x)=kx+1 过定点 (0,1)，数形联合可知，当且仅当k[-1,1] 时知足 f(x)0 在 x[-1 ，1] 上恒成立，而区间 [-1,1] ，[-2,1]的区间长度分别是2,3，故所求的概率为.10.若实数 m，n{-2 ， -1,1,2,3} ，且 mn，则方程 +=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率是 ________.解题思路：实数m，n 知足 mn 的基本领件有20 种，以下表所示 .-2 -1 1 2 3 -2 (-2 ， -1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1 ， -2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1 ，-2) (1 ，-1) (1,2) (1,3) 2 (2 ，-2) (2 ，-1) (2,1) (2,3) 3 (3，-2) (3 ，-1) (3,1) (3,2) 此中表示焦点在 y 轴上的双曲线的事件有 (-2,1) ， (-2,2) ， (-2,3) ， (-1,1)， (-1,2) ， (-1,3) ，共 6 种，所以方程 +=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率为 P==.三、解答题11.袋内装有 6 个球，这些球挨次被编号为1,2,3，， 6，设编号为 n 的球重 n2-6n+12( 单位：克 )，这些球等可能地从袋里拿出 (不受重量、编号的影响).(1)从袋中随意拿出 1 个球，求其重量大于其编号的概率;(2)假如不放回地随意拿出 2 个球，求它们重量相等的概率.命题立意：此题主要考察古典概型的基础知识，考察考生的计算能力 .分析： (1)若编号为n 的球的重量大于其编号，则n2-6n+12n，即 n2-7n+120.解得 n3 或 n4.所以 n=1,2,5,6.所以从袋中随意拿出1 个球，其重量大于其编号的概率P==. (2)不放回地随意拿出 2 个球，这 2 个球编号的所有可能情况为：1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.共有 15 种可能的情况 .设编号分别为m 与 n(m ， n{1,2,3,4,5,6} ，且 mn)的球的重量相等，则有m2-6m+12=n2-6n+12 ，即有 (m-n)(m+n-6)=0.所以 m=n( 舍去 )或 m+n=6.知足 m+n=6 的情况为 1,5;2,4，共 2 种情况 .故所求事件的概率为.12.一个袋中装有四个形状大小完整同样的球，球的编号分别为 1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，而后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求对于x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0 有实根的概率 ;(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，而后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以 (m，n)作为点 P 的坐标，求点P 落在地区内的概率.命题立意： (1)不放回抽球，列举基本领件的个数时，注意不要出现重复的号码;(2) 有放回抽球，列举基本领件的个数时，能够出现重复的号码，而后找出此中随机事件含有的基本领件个数，依据古典概型的公式进行计算.分析： (1) 设事件 A 为方程 x2+2ax+b2=0 有实根 .当 a0，b0 时，方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为ab.以下第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值 .基本领件共 12 个：(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(2,1) ，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2) ，(3,4)，(4,1) ，(4,2) ，(4,3).事件 A 中包含 6 个基本领件： (2,1) ，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2) ，(4,3).事件 A 发生的概率为P(A)==.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点 P(m，n)的所有可能状况为： (1,1) ，(1,2)，(1,3) ，(1,4)，(2,1) ，(2,2)，(2,3) ，(2,4) ，(3,1) ，(3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,1)， (4,2)，(4,3)，(4,4) ，共 16 个.落在地区内的有(1,1)，(2,1) ，(2,2) ，(3,1) ，共 4 个，所以点 P 落在地区内的概率为.13.某校从高一年级学生中随机抽取40 名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分，成绩均为不低于40 分的整数 )分红六段： [40,50) ， [50,60) ，， [90,100] 后获得以下图的频次散布直方图 .(1)求图中实数 a 的值 ;(2)若该校高一年级共有学生640 人，试预计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60 分的人数 ;(3)若从数学成绩在[40,50) 与[90,100] 两个分数段内的学生中随机选用 2 名学生，求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 .命题立意：此题以频次散布直方图为载体，考察概率、统计等基础知识，考察数据办理能力、推理论证能力和运算求解能力，考察数形联合、化归与转变等数学思想方法.分析： (1) 由已知，得10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1 ，解得 a=0.03.(2)依据频次散布直方图可知，成绩不低于60 分的频次为1-10(0.005+0.01)=0.85.因为该校高一年级共有学生640 人，利用样本预计整体的思想，可预计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60 分的人数约为 6400.85=544.(3)易知成绩在 [40,50) 分数段内的人数为 400.05=2，这 2 人分别记为 A ， B;成绩在 [90,100] 分数段内的人数为 400.1=4，这4人分别记为 C， D， E，F.若从数学成绩在[40,50) 与[90,100] 两个分数段内的学生中随机选用 2 名学生，则所有的基本领件有： (A ，B) ， (A ，C)， (A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C， D)， (C， E)， (C， F)，(D ， E)，(D ， F)，(E， F)，共15个.假如 2 名学生的数学成绩都在[40,50) 分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值必定不大于 10.假如一个成绩在[40,50) 分数段内，另一个成绩在[90,100] 分数段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值必定大于 10.记这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10 为事件 M ，则事件 M 包含的基本领件有：(A ，B) ，(C，D) ，(C，E)，(C ，F)， (D， E)， (D， F)， (E， F)，共 7 个.所以所求概率为P(M)=.14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油以外其余能源的汽车，包含燃料电池汽车、混淆动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等，其废气排放量比较低，为了配合我国节能减排战略，某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混淆动力轿车和氢能源动力轿车，每类轿车均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量以下表(单位：辆 )：燃料电池轿车混淆动力轿车氢能源动力轿车标准型100 150 y 豪华型300 450 600 按能源种类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50 辆，此中燃料电池轿车有10 辆.(1)求 y 的值 ;(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本当作一个整体，从中任取 2 辆轿车，求至罕有 1 辆标准型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从混淆动力标准型轿车中抽取10 辆进行质量检测，经检测它们的得分以下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4. 把这 10 辆轿车的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.4 的概率 .命题立意：此题主要考察概率与统计的有关知识，考察学生的运算求解能力以及剖析问题、解决问题的能力.对于第 (1)问，设该厂这个月生产轿车n 辆，依据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50 辆，此中有燃料电池轿车10 辆，列出关系式，获得 n 的值，从而获得 y 值 ;对于第 (2)问，由题意知此题是一个古典概型，用列举法求出试验发生包含的事件数和知足条件的事件数，依据古典概型的概率公式获得结果;对于第 (3)问，第一求出样本的均匀数，求失事件发生包含的事件数和知足条件的事件数，依据古典概型的概率公式得到结果 .分析： (1) 设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意，得=， n=2 000， y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.要练说，得练听。

高三数学概率练习题及答案2023概率是数学中一个重要的分支，它研究的是不确定事件的可能性。

在高三数学学习中，概率也是一个重要的内容。

为了帮助各位高三学生巩固概率知识，我整理了一些概率练习题及其答案。

练习题一：1.一个有12个红球和8个蓝球的袋子，从中随机抽取4个球，求抽到2个红球2个蓝球的概率。

2.在一批电脑中，有60%的电脑工作正常，40%的电脑存在故障。

如果从中随机抽取3台电脑，求至少有2台工作正常的概率。

3.一副扑克牌共有52张牌，其中黑桃、红桃、梅花和方片各有13张。

从中随机抽取5张牌，求其中至少有3张黑桃的概率。

练习题二：1.一个班级有40个学生，其中20个学生喜欢篮球，15个学生喜欢足球，10个学生既喜欢篮球又喜欢足球。

从中随机抽取一个学生，求该学生既喜欢篮球又喜欢足球的概率。

2.一家手机厂商共有1000部手机，其中100部属于次品。

从中抽取5部手机，求至少有1部次品的概率。

3.在一次模拟考试中，某班级参加考试的学生共有50人。

已知这些学生中80%能取得优异成绩，60%能取得及格成绩。

从中随机抽取3个学生，求至少有2个学生能取得优异成绩的概率。

练习题三：1.甲、乙、丙三个人相继投掷一颗骰子，求他们得到的点数之和为9的概率。

2.某商品的包装中有10个零件，其中4个是次品。

从中无放回地抽取3个零件，求其中至少2个是次品的概率。

3.在一场抽奖活动中，共有1000人参与，其中10人可以获奖。

从中随机抽取5人，求至少有1人获奖的概率。

答案解析：练习题一：1.计算红球的概率：P(红球) = 红球个数/总球数 = 12/20。

计算蓝球的概率：P(蓝球) = 蓝球个数/总球数 = 8/20。

计算抽到2个红球2个蓝球的概率：P(2个红球2个蓝球) = C(12,2) * C(8,2) / C(20,4)。

2.计算正常电脑的概率：P(正常) = 60% = 0.6。

计算故障电脑的概率：P(故障) = 40% = 0.4。

高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。

3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。

因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。

以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。

概率一、随机事件的概率1．下列事件中随机事件的个数是（ B ）①在常温下，焊锡熔化；②明天天晴；③自由下落的物体做匀加速直线运动；④函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且在定义域上为增函数A ．0B ．1C ．2D ．32．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是（ C ）A ．51B ．52C ．53D ．54 3．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开的概率是多少？（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？解：（1）P(A)=515544=A A ； （2）P(B)= 5335544=A A ； （3）P(C)=1091552233=-A A A 。

4．今有强弱不同的十支球队，若把他们均分为两组进行比赛，分别计算：（1）两个最强的队被分在不同组内的概率；（2）两个最强的队恰在同一组内的概率。

解：（1）P(A)=952151048=C C ；（2）P(B)=94215103822=C C C . 二、互斥事件中有一个发生的概率5．袋中有9个编号分别为1，2，3，…，9的小球，从中随机地取出2个，求至少有一个编号为奇数的概率。

解：P=6529251415=+C C C C =1=6．有4位同学，每人买1张体育彩票，求至少有两位同学彩票号码的末位数字相同的概率。

解：P=125621014410=-A 7．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个判断题4个。

甲、乙二人依次各抽一题。

（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：（1）P(A)=154 (2) P(B)= 1513 三、相互独立事件同时发生的概率8．一道竞赛题，A 、B 、C 三人可解出的概率依次为21、31、41，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为（ B ）A ．241B ．2411C ．2417 D ．1 9．要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：（1）其中至少有件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 从一副52张的扑克牌中（去掉大小王），随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 4/132. 一个袋子里装有5个红球和7个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？A. 5/12B. 7/12C. 1/2D. 5/73. 一枚均匀的硬币连续抛掷两次，至少出现一次正面的概率是多少？A. 3/4B. 1/2C. 1/4D. 1/34. 一个班级有40名学生，其中有20名男生和20名女生。

随机选择一名学生，这名学生是女生的概率是多少？A. 1/2B. 1/4C. 1D. 05. 一批产品中有10个正品和5个次品，随机抽取3个产品，至少抽取到2个正品的概率是多少？A. 21/55B. 36/55C. 45/55D. 54/55二、填空题（每题5分，共50分）6. 从1到10这10个数字中随机抽取一个数字，抽到偶数的概率是______。

7. 一批产品中有30%是次品，随机抽取5个产品，其中至少有1个次品的概率是______。

8. 抛掷两个均匀的正方体，两个正方体上点数之和为7的概率是______。

9. 一个密码锁由3位数字组成，每个数字可以是0到9中的任意一个，随机输入一个密码，输入正确的概率是______。

10. 一个班级有30名学生，其中有10名喜欢数学，15名喜欢物理，5名两者都喜欢。

随机选择一名学生，这名学生既喜欢数学又喜欢物理的概率是______。

三、解答题（每题20分，共40分）11. 甲、乙两人进行一场比赛，甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4。

如果比赛进行到一半时，甲领先2分，请问此时甲最终获胜的概率是多少？12. 一个袋子里装有10个球，其中有3个红球、4个蓝球和3个绿球。

随机取出3个球，求以下事件的概率：（1）取出3个球都是同一种颜色的概率；（2）取出3个球中有2个红球和1个蓝球的概率。

答案一、选择题1. A2. A3. A4. A5. B二、填空题6. 1/27. 0.7298. 6/36 = 1/69. 1/100010. 5/30 = 1/6三、解答题11. 由于甲领先2分，且甲获胜的概率为0.6，所以甲最终获胜的概率仍然是0.6。

高三复习概率专题练习及详细答案1概率专题练习1. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．20292. 从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（）(A)184(B)121(C)25(D)353.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．13B．12C．23 D．344. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A.12125B.16125C.48125 D.961255.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是，乙闹钟准时响的概率是，则两个闹钟至少有一准时响的概率是6.一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。

已知袋中共有10个球。

从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。

求： （Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（Ⅱ）袋中白球的个数。

52977..一盒中放有除颜色不同外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个. （Ⅰ）从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（Ⅱ）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.8.. 盒中装有8个乒乓球，其中6个是没有用过的，2个是用过的.10. 甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投进的概率为21，乙每次投中的概率为43，求： （I ）甲恰好投中2次的概率； （Ⅱ）乙至少投中2次的概率； （III ）乙恰好比甲多投中2次的概率.11.（2009杭一模）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是；众数是．12.（2008江苏）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率．13.（2011江苏）从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．14.（2011安徽）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.1515.（2011湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________. (结果用最简分数表示)16.(2010·金华十校)如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20)内的频数为( )A．20 B．30C．40 D．5017.下表是某班50名学生综合能力测试的成绩分布表：分数1234 5人数51125则该班成绩的方差为( )A.345B．1.36C．2D．418.(2010·湖南师大附中)对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为( )A．200 B．100C．40 D．2019.(2010·东北师大附中、东营质检)甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列正确的是( )A.x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定 B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定 C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定 D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定 答案：1.【答案】D 【解析】2920330110220210120=+=C C C C C P2. 【答案】B35410121C P C ==，3.【答案】C11222342.63C C P C ⋅===依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶， 4. C 由212334148(2)55125P C ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5. 【标准答案】0. 98 (10.8)0.90.8(10.9)0.80.90.98-+-+⨯=6.（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为.45210=⨯则.152)(21024==C C A P（Ⅱ）解设袋中白球的个数为x ，则,971)(1)(221=-=-=-nn C C B P B P 解得 x =5。

高三年级概率试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 一个袋子里装有5个红球和3个蓝球，随机从中取出一个球，取到红球的概率是多少？A. 0.5B. 0.6C. 0.4D. 0.3答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是多少？A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：A3. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机抽取3名学生，至少有1名女生的概率是多少？A. 0.9B. 0.8C. 0.7D. 0.6答案：A4. 一个袋子里有10个球，其中4个是白球，6个是黑球。

不放回地随机抽取两个球，两个都是黑球的概率是多少？A. 0.24B. 0.36C. 0.48D. 0.60答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个袋子里有3个红球，2个蓝球，随机抽取一个球，取到蓝球的概率是______。

答案：0.42. 一个班级有50名学生，其中25名男生和25名女生。

随机抽取2名学生，取到一男一女的概率是______。

答案：0.53. 抛三枚均匀的骰子，至少有一枚骰子显示6的概率是______。

答案：0.54. 一个袋子里有5个红球和5个黑球，随机抽取两个球，两个都是红球的概率是______。

答案：0.25三、解答题（每题10分，共20分）1. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球和2个绿球。

随机抽取两个球，求两个球颜色不同的概率。

答案：首先，总的组合数为从10个球中抽取2个球的组合数，即C(10, 2) = 45。

两个球颜色不同的情况包括：一红一蓝、一红一绿、一蓝一绿，其组合数分别为C(5, 1)C(3, 1) + C(5, 1)C(2, 1) + C(3,1)C(2, 1) = 15 + 10 + 6 = 31。

因此，两个球颜色不同的概率为31/45。

2. 一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。

随机抽取4名学生，求至少有2名男生的概率。

答案：首先，总的组合数为从40名学生中抽取4名学生的组合数，即C(40, 4) = 91390。