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《认识有理数》讲义一、有理数的定义在数学的世界里，有理数是一个非常基础且重要的概念。
那什么是有理数呢？有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。
比如说，整数 5 可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1；有限小数 025可以写成 1/4，07 可以写成 7/10；无限循环小数 0333 可以写成 1/3。
这里要注意的是，像圆周率π（约等于 314159）和自然常数 e（约等于 271828）这样的无限不循环小数就不是有理数，它们被称为无理数。
二、有理数的分类有理数可以分为正有理数、零和负有理数三大类。
正有理数包括正整数和正分数。
正整数就是我们平常说的1、2、3、4、5……正分数则是大于 0 的分数，比如 1/2、3/4 等等。
零是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。
负有理数包括负整数和负分数。
负整数是像－1、－2、－3 这样的数，负分数则是小于 0 的分数，比如－1/2、－3/4 等等。
我们可以用下面这个图来更直观地表示有理数的分类：（此处可以插入一个简单的分类图）三、有理数的性质1、有理数的运算性质有理数的加、减、乘、除运算都有明确的规则。
加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
2、有理数的大小比较在数轴上，右边的数总比左边的数大。
正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。
两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
四、有理数在生活中的应用有理数在我们的日常生活中有着广泛的应用。
比如，在购物时，商品的价格就是有理数。
如果一件商品的价格是155 元，这就是一个有理数。
在计算路程和速度时，比如汽车以每小时 60 千米的速度行驶了 25 小时，我们通过计算 60×25 ＝ 150 千米，这里的速度、时间和路程都是有理数。
《有理数比较大小》讲义一、有理数的基本概念在数学的世界里，有理数是一个重要的概念。
有理数包括整数和分数，整数可以看作是分母为 1 的分数。
例如，5 可以写成 5/1。
有理数可以用数轴来表示，数轴上的点与有理数一一对应。
在数轴上，越往右的数越大，越往左的数越小。
二、正数和负数正数是大于 0 的数，负数是小于 0 的数。
0 既不是正数，也不是负数。
正数通常前面没有符号，或者前面有“＋”号，例如 5 或者+5。
负数前面一定有“”号，例如－3。
三、有理数比较大小的方法1、借助数轴比较在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例如，在数轴上表示－2 和 3，我们可以清晰地看到 3 在－2 的右边，所以 3 ＞－2 。
2、直接比较正数、负数和 0正数都大于 0，负数都小于 0 。
例如，7 是正数，所以 7 ＞ 0 ；－5 是负数，所以－5 ＜ 0 。
3、两个正数比较大小两个正数比较大小，数值大的数大。
比如 8 和 5 ，因为 8 的数值大于 5 的数值，所以 8 ＞ 5 。
4、两个负数比较大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
先求出负数的绝对值，绝对值大的那个负数反而小。
例如，比较－7 和－5 。
｜－7| ＝ 7 ，｜－5| ＝ 5 。
因为 7 ＞ 5 ，所以－7 ＜－5 。
四、比较大小的实际应用在日常生活中，有理数比较大小有着广泛的应用。
比如，在温度计上，我们可以通过比较温度的有理数大小来判断天气的冷热。
如果今天的温度是－5℃，明天的温度是－2℃，那么明天比今天暖和，因为－2 ＞－5 。
再比如，在财务方面，盈利为正，亏损为负。
如果一家公司这个月盈利 1000 元记作＋1000 元，上个月亏损 500 元记作－500 元，那么很明显这个月的财务状况比上个月好，因为＋1000 ＞－500 。
五、练习题为了更好地掌握有理数比较大小的方法，我们来做一些练习题。
1、比较－3 和－5 的大小。
｜－3| ＝ 3 ，｜－5| ＝ 5 ，因为 3 ＜ 5 ，所以－3 ＞－5 。
《有理数的除法》讲义一、引入在我们的数学世界中，有理数的运算就像是一场精彩的表演，而有理数的除法则是其中引人注目的一幕。
从日常生活中的购物找零，到工程计算中的精确测量，有理数的除法都发挥着重要的作用。
想象一下，你去商店买东西，老板需要给你找零钱，这时候就可能会用到有理数的除法。
或者在建筑工地上，工程师们计算材料的用量，也离不开有理数的除法。
所以，掌握有理数的除法是我们解决实际问题的有力工具。
二、有理数除法的基本概念有理数包括整数和分数。
有理数的除法就是已知两个有理数的乘积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
比如，6 ÷ 2 ＝ 3，这里 6 是被除数，2 是除数，3 是商。
在有理数的范畴中，除法运算有以下几种情况：1、正数除以正数例如：4 ÷ 2 ＝ 2，两个正数相除，商为正数。
2、负数除以负数比如：（－4) ÷（－2) ＝ 2，两个负数相除，商也为正数。
3、正数除以负数例如：4 ÷（－2) ＝－2，正数除以负数，商为负数。
4、负数除以正数比如：（－4) ÷ 2 ＝－2，负数除以正数，商同样为负数。
三、有理数除法的法则1、除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
例如：6 ÷ 3 ＝ 6 × 1/3 ＝ 22、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
比如：（－8) ÷（－4) ＝ 2，因为被除数和除数都是负数，同号得正，然后 8 ÷ 4 ＝ 2。
再如：8 ÷（－4) ＝－2，被除数是正数，除数是负数，异号得负，8 ÷ 4 ＝ 2，所以结果为－2 。
四、有理数除法的运算步骤1、确定商的符号先判断被除数和除数的符号，如果同号，商为正；如果异号，商为负。
2、把除数化为它的倒数将除法运算转化为乘法运算。
3、进行乘法运算按照有理数的乘法法则进行计算。
例如：计算（－15) ÷ 5第一步，因为被除数是负数，除数是正数，异号得负，所以商为负。
1.1正数和负数(1)正数: 大于0的数;负数: 小于0的数；(2)0既不是正数, 也不是负数；(3)在同一个问题中, 分别用正数和负数表示的量具有相反的意义;(4) — a不一定是负数, +a也不一定是正数；(5)自然数: 0和正整数统称为自然数;(6) a>0 a是正数；a>0 a是正数或0 a是非负数；a< 0 a是负数；a< 0 a是负数或0 a是非正数.1.2有理数(1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式, 这样的数称为有理数;(2)正整数、0、负整数统称为整数;(3)有理数的分类:第一章有理数正有理数正整数正整数整数有理数零有理数负有理数负整数分数负整数正分数(4)数轴: 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；(即数轴的三要素)(5) 一般地, 当a是正数时, 则数轴上表示数 a的点在原点的右边, 距离原点点在原点的左边, 距离原点 a个单位长度;(6)两点关于原点对称: 一般地, 设 a是正数, 则在数轴上与原点的距离为a的点有两个, 它们分别在原点的左右, 表示-a和a,我们称这两个点关于原点对称；(7)相反数: 只有符号不同的两个数称为互为相反数；(8) 一般地, a的相反数是一a；特别地, 0的相反数是0;(9)相反数的几何意义: 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；(10)a、b互为相反数a+b=0 ;(即相反数之和为0)a ,b ,(11)a、b互为相反数一1或一1;(即相反数之商为—1)b a(12)a、b互为相反数|a|=|b| ;(即相反数的绝对值相等)(13)绝对值: 一般地, 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做 a的绝对值；([a|R)(14)一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0的绝对值是0;a (a 0)(15)绝对值可表示为: a 0 (a 0)a (a 0)(16) —1 a 0 ；— 1 a 0;a a(17)有理数的比较: 在数轴上表示有理数, 它们从左到右的顺序, 就是从小到大的顺序。
第一章有理数知识点提要1.1正数和负数●0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数，其余叫做正数。
●数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。
●在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义1.2有理数1.2.1有理数1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。
⑵同一根数轴，单位长度不能改变。
一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
注意事项：比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
⑵两个负数，绝对值大的反而小。
例题【考题1－1】|－22|的值是（）A．－2 B.2 C．4 D．－4解C 点拨：由于－22=－4，而|－4|=4．故选C．【考题1－2】在下面等式的□内填数，○内填运算符号，使等号成立（两个算式中的运算符号不能相同）：□○□=－6；□○□=－6．⊕ = －6点拨：此题考查有理数运算，答案不唯一，只要符合题目要求即可．【考题1－3】自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R ，它会掉入一个数字“陷断”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉人“陷井”的这个固定不变的数R=_________解：13 点拨：可任意举一个自然数去试验，如 15，(1+5）×3+1=19，（1+9）×3+1=31，(3+1）×3+1=13(1+3）×3+1=13，……．【考题1－4】在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：解：（1）如图1－2－1所示：（2）300－（－200）=500（m ）；或|－200－300 |=500（m ）；或 300+|200|=500（m ）．答：青少宫与商场之间的距离是 500m 。
第1讲有理数教学目标1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上；2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小；3、掌握有理数的大小比较；4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。
正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
小专一：正数和负数【要点回顾】为什么会出现负数？根据现实生活的需要，产生了正数和负数，规定一种意义的量为正，把另一种与它意义相反的量规定为负。
一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出、零上温度等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于、零下温度等规定为负的。
正数和负数的定义是什么？（要会判别正负数）像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数（有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号）；像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上一个“-”（读作负）号的数叫做负数。
零有点特别哦！零既不是正数，也不是负数，比正数小，比负数大！默默提示：正数，0，负数前带“十”号，结果分别是正数，0，负数；正数，0，负数前带“-”号，结果分别是负数，0，正数。
用正负数表示具有相反意义的量。
相反意义的量包含两层意思：一是“相反意义”，即意义相反（意义相反的量必须是成对出现的，是同类的量比如支出与收入，向东与向西等，二是“量”，具有一定的量。
【题型展示】1．下列不是具有相反意义的量是（）A．前进5米和后退5米 B．节约3吨和消费10吨C．身高增加2厘米和体重减少2千克 D．超过5克和不足2克2．下列说法不正确的是（）(概念理解）A．0不是正数也不是负数 B.负数是带“—”的数，正数是带有“+”的数C.非负数是正数或0D.0是一个特殊的整数，它并不只是表示“没有”3．（05年宜昌市中考·课改卷）如果收入15•元记作+15•元，•那么支出20•元记作元。
（用正负数表示相反意义的量）4.如果以每月生产180个零件为准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那么1月生产160 个零件记作个，2月生产200个零件记作个。
5.某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？（4到5是正负数在生活中的应用。
第一讲：有理数【概念精讲】1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做 ；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做 ；（3） 即不是正数也不是负数。
2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素： 。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是 ，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离 。
5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的 。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（3）两个负数比较大小，绝对值大的 。
【例题祥解】1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，－590，87正整数集｛ …｝；正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝；负整数集｛ …｝；自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝；负分数集｛ …｝；2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）3．在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。
4，－|－2|， －4.5， 1， 04.下列语句中正确的是（ ）Ａ.数轴上的点只能表示整数 Ｂ.数轴上的点只能表示分数Ｃ.数轴上的点只能表示有理数 Ｄ.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来5. －5的相反数是 ；－（－8）的相反数是 ；－ =0的相反数是 ； a 的相反数是 ；6. 若a 和b 是互为相反数，则a+b= 。
《有理数比较大小》讲义一、有理数的概念在数学的世界里，有理数是一个非常重要的概念。
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
整数很好理解，像－3、－2、－1、0、1、2、3 等等这样的数就是整数。
而分数呢，就是把一个整体平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
比如 1/2、3/4 等等。
有理数可以用两个整数的比来表示，例如 3 可以写成 3/1，－05 可以写成－1/2 。
二、有理数比较大小的方法1、正数和 0 大于负数正数总是大于 0，而 0 又大于负数。
这是因为正数表示的是在数轴上位于 0 右边的数，负数则在 0 的左边。
所以，比如 3 大于 0，0 大于－2 。
2、数轴比较法我们可以把有理数在数轴上表示出来。
在数轴上，右边的数总是大于左边的数。
举个例子，我们画出数轴，标出－3、－1、0、2 这几个数。
很明显就能看出 2 在最右边，所以 2 最大；－3 在最左边，所以－3 最小。
3、绝对值比较法对于两个负数来说，绝对值大的反而小。
什么是绝对值呢？绝对值就是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
比如，｜－5| ＝ 5，｜－2| ＝ 2 。
因为－5 的绝对值 5 大于－2 的绝对值 2 ，所以－2 大于－5 。
4、作差比较法对于两个有理数 a 和 b ，计算 a b 。
如果 a b 大于 0 ，那么 a 大于 b ；如果 a b 等于 0 ，那么 a 等于 b ；如果 a b 小于 0 ，那么 a 小于 b 。
例如，比较 3 和 5 ，计算 3 5 ＝－2 ，因为－2 小于 0 ，所以 3 小于 5 。
5、作商比较法当两个有理数同号时（同为正或同为负），可以用作商比较法。
对于两个正数 a 和 b ，计算 a÷b 。
如果 a÷b 大于 1 ，那么 a 大于 b ；如果 a÷b 等于 1 ，那么 a 等于 b ；如果 a÷b 小于 1 ，那么 a 小于 b 。
《有理数的引入》讲义一、引言在我们的日常生活和数学学习中，数是一个无处不在的概念。
从简单的计数到复杂的运算，数一直伴随着我们。
在数学的发展历程中，为了满足不同的需求，数的概念也在不断地扩展和完善。
有理数就是数的大家庭中的重要一员。
接下来，让我们一起走进有理数的世界，探索有理数的引入。
二、什么是有理数有理数，这个名字听起来可能有点抽象，但其实它就在我们的身边。
简单来说，有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。
例如，整数 5 可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1，分数 1/2、3/4 等也都是有理数。
有理数包括正有理数、零和负有理数。
正有理数就是大于零的有理数，如 1、2/3 等；负有理数则是小于零的有理数，如－1、－2/3 等；而零既不是正数也不是负数，它是一个特殊的有理数。
三、为什么要引入有理数在实际生活和数学运算中，仅仅依靠自然数和整数是远远不够的。
比如，在测量长度、分配物品、计算比例等情况下，我们经常会遇到不能用整数准确表示的量。
例如，将一个蛋糕平均分成 5 份，每份就是 1/5 个蛋糕。
如果只用整数来表示，就无法准确描述这种情况。
再比如，温度的变化、物体的运动速度等，可能会出现负数的情况。
比如气温下降 5 摄氏度，可以用－5 来表示。
引入有理数，使得我们能够更精确地描述和解决这些实际问题，丰富了数学的表达和运算能力。
四、有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如，2 ＋ 3 ＝ 5，－2 ＋（－3) ＝－5，－2 ＋ 3 ＝ 1。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2，－5 （－3) ＝－5 ＋ 3 ＝－2。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例如，2 × 3 ＝ 6，－2 ×（－3) ＝ 6，－2 × 3 ＝－6。
【中考命题趋势】本章在各地中考题中主要是对有理数有关概念的理解及运算能力的考察，大多数以填空题、选择题的形式命题，有时出现个别判断题型，虽然试题内容相对简单，一般不会出现高难度题，属于中考的送分题，但考察的分值和比例并不多。
【知识点归纳】一、有理数的基本概念考点1．负数⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。
） ⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4)-） ⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩负数，有理数数轴相反数概念绝对值有理数的大小比较倒数加法减法乘法有理数运算除法乘方混合运算科学记数法近似数和有效数字例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。
例2：收入—2000元，表示 。
考点2．有理数⑴定义：整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。
()0,1,2,3....分数：正分数和负分数统称为分数。
40.3,0.31,......5••⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。
【注】π，以及π的倍数都不是分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
⑵ 有理数分类① 按有理数的定义分类 ②按正负分类正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数 负分数 负分数⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数）⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。
有理数集，整数集，非负整数集等等。
⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。
0不仅仅表示没有。
最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。
例1：76%,5,260,2001,0,120.1,100020,- ,31-⋅--••，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。
例2：下列说法正确的是：（ ） ⑴一个数，如果不是正数，必定就是负数 ⑵正有理数是正整数和正分数的统称。
⑶ 一个有理数不是分数就是正数。
⑷ 整数不是奇数就是偶数。
⑸ 0是最小的有理数。
⑹ 3.1415926 不是分数 ⑺ 正整数和负整数统称为整数。
⑻ 奇数是正数⑼ 有理数包括整数和分数 ⑽ —0.6是分数 ⑾ 0不是正数也不是负数。
⑿ 0是自然数，不是整数。
⒀ 没有最小的有理数。
【中考链接】例⒈（2009绵阳）在电视上看到天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天气温为“－5℃”表示的意思是 。
例⒉（2010广东广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）A ．－18%B ．－8%C ．＋2%D ．＋8%例⒊（2010安徽）在－１，０，１，２这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）A ．-1 B. 0 C.1 D.2例⒋（2010新疆乌鲁木齐）在2,1,2,0--这四个数中负整数是（ ）A ．-2B ．0C ．2-D ．1考点3．数轴⑴ 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 ⑵ 数轴的三层涵义：① 数轴是一条直线，可以向两方无限延伸② 数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可③ 原点的确定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，但一条数轴上的单位长度要统一，一般规定向右为正方向。
（3） 数轴的画法① 画一条水平的直线；②在这条直线上的适当位置取一点作为原点；③确定正方向，用箭头表示；④选取适当长度作为单位长度，并对应标上数字。
（4）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（5）在数轴上比较有理数的大小①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
②由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
例题：例1：写出数轴上A,B,C,D,E 各点表示的数，并用“>”号连接起来。
例2：写出大于—4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。
例3：若数轴上的点A 向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A 点对应的数是 。
例4：写出两个比—2大的负有理数 。
【中考链接】例⒈（2010吉林）如图，数轴上点A 所表示的数是_________。
例⒉（2010 连云港）下面四个数中比－2小的数是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－3例⒊（2010 河北）如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为1 ，则点B 所对应的数为 ． BCA 0D例4．不大于4的正整数的个数为（ ）． A 、2 B 、3 C 、4 D 、54．相反数（1）（代数意义）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。
（几何意义）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。
（2）互为相反数的性质①正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 ，0的相反数是0 ②互为相反数的两个数和为0 ，反过来，和为0的两个数互为相反数 即：a,b 互为相反数⇔a+b=0，有时也可以表示为a=-b 或b=-a （3）相反数的求法：只需在一个数前面加一个“－”号，即a a -的相反数是。
在一个数的前面加一个“+”号，表示这个数的本身。
（4）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。
如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。
可简写为“奇负偶正”。
（5）【注】 相反数等于本身的数只有0，正数的相反数小于它本身，负数的相反数大于它本身。
a a 的相反数的相反数是例题：例1：下列说法正确的是( )A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。
B 符号相反的两个数互为相反数。
C 互为相反数的两个数可能相等。
D 一个数的相反数不可能大于它本身。
例2：（1）0.1与a 互为相反数，那么a= 。
（2）a-1的相反数是 。
（3）若-x 的相反数是-7.5，则x= 。
（4）如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是-2，那么m+n= 。
例3：-[-（-3.5）]= -[-（+8）]=【中考链接】例⒈（2010江苏淮安）-(-2)的相反数是（ ）A ．2B ．12 C ．-12D ．-2 例⒉（2010浙江金华）如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ） A ．a ＜1＜－aB ．a ＜－a ＜1C ．1＜－a ＜aD ．－a ＜a ＜15．绝对值（1）（几何意义）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。
（代数意义）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． （2）绝对值的求法：去掉绝对值符号，必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
(0)a 0(0)(0)aa a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（3）绝对值性质一个数的绝对值是一个非负数，a ≥0。
【注】绝对值最小的数是0，绝对值等于本身的数是正数和0（非负数），绝对值等于它的相反数的数是负数和0（非正数）。
（4）两个相反数的绝对值相等．即：若a b =⇔则a=b 或a=-b例题：例1：若|a|=2，则a= 。
例2：到原点5个单位长度的点是 。
例3：若|m|=-m,则m 是 。
若|m|=m,则m 是 。
例4：若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= 。
例5：若|a|=4,|b|=3,且a<b,试求 a 、b 的值。
例6：写出绝对值不大于3的所有整数【中考链接】0 1A例⒈（2010鄂尔多斯）如果a 与1互为相反数，则│a │等于（ ）A .2 B.－2 C .1 D .－1例⒉（2010吉林）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）例⒉（2010湖南长沙）实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是 ．a o考点6：倒数（1） 定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。
即：a,b 互为倒数⇔ab=1 【注】倒数等于本身的数是1，-1。
（2）求法：①求非零整数的倒数，即a （a ≠0的整数）的倒数是1a② 求一个分数的倒数，即()0,0n n m m ≠≠倒数是mn③ 求一个带分数的倒数，应将带分数化为假分数再求其倒数 ④ 求一个小数的倒数，现将小数化为分数，再求其倒数例题：例1． 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且c ＝–l ，求cb a cdc 2)(2||2+-+的值．例2：下列说法正确的是 。
①只有1的倒数等于它的本身。
②－3.5的倒数是3.5。
③零没有倒数。
④0.1的倒数是10。
⑤任何一个有理数a 的倒数都等于a1。
⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。
【中考链接】例⒈（2010广东佛山）如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则1a等于（ ）． A. 12-B.12C.-2D.2例⒉（2010 山东荷泽）负实数a 的倒数是（ ）A ．－aB ．a1C ．a 1-D ．a考点7．有理数大小比较原则（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小（3）有的不能直接比较两数的大小，可利用相减法、相除法以及寻找第三个等量的方法例题：例1：实数a,b 在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b 的大小关系。
a例2：因为31-32-，所以，31- 32-例3：若x<y<0,则 -x y, x -y , |x| |y|二、有理数的运算考点1．有理数的加法(1)有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③互为相反数的两个数相加得零。
④一个数与0相加，仍得这个数。
()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,,0,0,0,a b a b a b a b a ba ba b a b b a a ba b a b a bb a a b a >>+<<+⎧>-⎪><⎨<-⎪⎩⎧>-⎪<>⎨<-⎪⎩==字母表示：(1)a,b 同号若则a+b=+若则a+b=-（）a,b 异号则a+b=+若则a+b=-则a+b=-若则a+b=+若，则a+b=0(3)若则a+b=b（2）有理数加法的运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) （3）灵活运用加法运算律①互为相反数的两个数，可先相加； ②符号相同的数可以先相加； ③分母相同的数可以先相加；④几个数相加可以能得到整数可先相加。
