2 第七章 习题课 求解变力做功的四种方法

求变力做功的几种方法变力做功是物理学中的一个重要概念。

力可以改变物体的状态，让物体移动、加速或减速。

做功就是施加力使物体移动的过程中能量的转移。

以下将介绍几种常见的变力做功的方法。

1.推力做功：将物体推向前方时，施加的力与物体的位移方向一致，即力和位移向量的夹角为0度。

例如，我们推车子或推行李箱时，就是通过推力来做功。

2.拉力做功：这种方式与推力做功相反，即施加的力与物体的位移方向相反，力和位移向量的夹角为180度。

例如，我们拉拽一根绳子或拉弓发射箭矢时，施加的力与物体的运动方向相反。

3.重力做功：重力是地球吸引物体向地心运动的力。

当一个物体从高处下落时，重力对物体做功。

在这种情况下，重力与物体的位移方向相同，力和位移向量的夹角为0度。

4.弹力做功：当有弹簧或橡皮带等弹性物体被拉伸或压缩时，会产生弹力。

弹力做功是将弹性势能转化为动能的过程。

例如，我们拉伸弓弦时，弓的张力对箭矢做功，让它飞行。

5.摩擦力做功：当物体在表面上移动时，与表面接触的粒子之间会产生摩擦力。

摩擦力做功是将机械能转化为热能的过程。

例如，我们用力推动一个滑动在地面上的物体时，摩擦力会做功，使物体停下来。

6.磁力做功：磁力是磁体之间的相互作用力。

当磁场改变时，施加在物体上的磁力会做功。

例如，我们用电磁铁吸起一个金属球时，磁力会做功，将物体从地面抬起。

7.电力做功：电力是在电子之间产生的相互作用力。

当电流通过电阻产生的电阻力与电子的移动方向相对立时，电力会做功。

例如，电流通过电灯丝时，电力会转化为热能和光能，使灯泡发亮。

总结起来，变力做功的方法主要包括推力做功、拉力做功、重力做功、弹力做功、摩擦力做功、磁力做功和电力做功。

通过施加不同的力，我们可以改变物体的状态和能量的转移，从而实现各种实际应用。

求变力做功的方法引言：在物理学中，力是物体相互作用的表现，而功是力对物体做功的量度。

求变力做功的方法是物理学中的重要内容之一。

本文将介绍几种常见的方法，以便更好地理解和应用力和功的概念。

一、应用力的方向和大小为了使力能够做功，我们需要正确地应用力。

力的方向和大小决定了其对物体的影响。

如果力的方向与物体的运动方向相同，那么力将对物体做正功；如果力的方向与物体的运动方向相反，那么力将对物体做负功。

此外，力的大小也会影响功的大小，力越大，做功的能量也就越大。

二、改变物体的位置改变物体的位置是求变力做功的一种常见方法。

当我们对物体施加力时，物体会发生位移，而力对物体的位移就是做功。

举个例子，当我们用手推动一辆停在路边的汽车，汽车发生位移，我们的手对汽车做了功。

在这个过程中，我们通过施加力改变了汽车的位置，从而实现了对汽车的做功。

三、改变物体的形状改变物体的形状也是求变力做功的方法之一。

当我们对物体施加力时，物体可能会发生形变。

在这个过程中，力对物体的形变也是做功的表现。

例如，当我们拉伸弹簧时，力对弹簧产生的形变就是做功的体现。

在这个过程中，我们通过施加力改变了弹簧的形状，从而实现了对弹簧的做功。

四、改变物体的速度改变物体的速度也是求变力做功的方法之一。

当我们对物体施加力时，物体可能会改变其速度。

根据功的定义，力对物体的速度改变也是做功的体现。

举个例子，当我们用力踢足球时，力对足球的速度改变就是做功的表现。

在这个过程中，我们通过施加力改变了足球的速度，从而实现了对足球的做功。

五、改变物体的形态改变物体的形态也是求变力做功的方法之一。

当我们对物体施加力时，物体可能会发生形态的改变。

在这个过程中，力对物体的形态改变也是做功的体现。

举个例子，当我们用力压缩弹簧时，力对弹簧形态的改变就是做功的表现。

在这个过程中，我们通过施加力改变了弹簧的形态，从而实现了对弹簧的做功。

六、总结求变力做功的方法是物理学中的基础内容之一。

求解变力做功的几种常用方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W＝Flcos α，但是只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也是经常考查的一类题目。

现结合例题分析变力做功的五种求解方法。

方法一：化变力为恒力求变力功变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解。

此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

【题目】如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。

已知图中的高度是h，求绳的拉力T对物体所做的功。

假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计。

【解析】本题中，显然F与T的大小相等，且T在对物体做功的过程中，大小不变，但方向时刻在改变，因此本题是个变力做功的问题。

但在题设条件下，人的拉力F对绳的端点(也即对滑轮机械)做的功就等于绳的拉力T(即滑轮机械)对物体做的功。

而F的大小和方向都不变，因此只要计算恒力F对绳做的功就能解决问题。

设绳的拉力T对物体做的功为WT，由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F作用的绳端的位移的大小为则可知拉力做功为方法二：用平均力求变力功在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F平均=（F1+F2）/2,恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W=F平均Lcosθ求此力所做的功。

【题目】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。

问此钉子全部进入木板需要打击几次？【解析】在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

求变力做功的方法以求变力做功的方法为标题，我们来探讨一下。

第一种方法是应用直接施力。

当我们需要对物体施加力量时，可以直接使用肌肉力量来推动或拉动物体，这样就能够对物体做功。

比如，我们可以用手推动一辆停在原地的自行车，或者拉动一个重物。

第二种方法是应用杠杆原理。

杠杆是一种简单机械装置，可以将施加的力放大。

通过调整杠杆的长度或角度，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用杠杆原理来举起一个重物，或者将一个重物推离地面。

第三种方法是应用滑轮系统。

滑轮系统是一种机械装置，可以改变力的方向和大小。

通过使用滑轮组合，我们可以改变施加在物体上的力的方向和大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用滑轮系统来举起一个重物，或者将一个重物推离地面。

第四种方法是应用斜面原理。

斜面是一种简单机械装置，可以减小施加在物体上的力的大小。

通过调整斜面的角度，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用斜面来推动一个重物上斜面，或者将一个重物从斜面上滑下来。

第五种方法是应用弹簧原理。

弹簧是一种弹性体，可以储存和释放能量。

通过压缩或拉伸弹簧，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用弹簧来推动一个重物，或者将一个重物弹射出去。

第六种方法是应用气压原理。

气压是气体分子对容器壁面的压力。

通过调节气压，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以利用气压来推动汽车或自行车的轮胎，从而使其前进。

第七种方法是应用电力原理。

电力是电流通过导体时所产生的能量。

通过控制电流的大小和方向，我们可以改变施加在物体上的力的大小和方向，从而实现对物体做功。

比如，我们可以利用电力来推动电动机，从而使机器工作。

以上所提到的方法只是其中的几种常见方法，实际上还有很多其他方法可以实现对物体做功。

无论采用哪种方法，我们都要根据具体情况选择合适的方法，并合理应用力量，以实现对物体的目标操作和做功。

变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。

下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。

1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。

2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。

3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。

通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。

4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。

功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。

5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。

根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。

6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。

万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。

通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。

这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。

求变力做功的几种方法变力做功是物理学中的一个重要概念，指的是通过施加力使物体移动，并且力的方向与物体的位移方向相同，从而产生功。

在物理学中，变力做功的几种常见的方式包括：1.恒力做功：恒力做功是指当施加于物体上的力保持恒定，并且力的方向与物体的位移方向相同时所产生的功。

例如，当将物体按直线方向推动时，施加力的大小和方向始终保持不变，这时产生的功就是恒力做的功。

2.弹力做功：弹力做功是指当施加于弹性物体上的力使其发生形变，并且力的方向与变形的方向相同时所产生的功。

例如，当将弹簧压缩或拉伸时，弹簧将会产生弹力，并且完成对外做功的过程。

3.重力做功：重力做功是指当物体受到重力的作用时所产生的功。

例如，将物体从高处抬升到低处，重力将会对物体做功，使物体下降。

此时，重力与物体的下降方向相同，从而产生重力做的功。

4.摩擦力做功：摩擦力做功是指当物体在摩擦力的作用下移动时所产生的功。

例如，当将物体沿水平面上的表面推动时，摩擦力将与物体的运动方向相反，并且产生摩擦力做的功，将物体减速或停止。

5.推力做功：推力做功是指当物体受到推力的作用时所产生的功。

例如，当用力将物体沿斜面推动时，推力将与物体的位移方向一致，并且产生推力做的功，使物体上升或下降。

除了上述几种方式之外，还有其他一些特殊情况下的功。

例如，当物体围绕固定点旋转时，所受到的转动力矩将使物体围绕轴旋转，并且产生转动功。

而当应力作用下的材料发生变形时，所施加的应力将会对材料做功，称为弹性势能的转化。

总之，变力做功具有多种方式，这些方式在物理学中都有着重要的应用。

通过研究和理解这些不同的方式，可以更好地理解和应用物理学的知识，并且在实际生活中解释和分析各种物理现象。

变力做功的四种类型①利用平均值法求变力做功（或示功图） ②分过程求变力做功。

③微元法求变力作功。

④转移法（将变力转做为恒力做功）例1：质量为1kg 的物体在变力作用下，自静止起加速运动，已知作用F 随位移S 变化的规律是：F=（10+3S ）N ，则该物体经4m 位移后力F 做的功为多少焦？解法一：因变力F 随位移S 线性变化，则变力F 的平均F 为：12(1030)(1034)1622F F F N ++⨯++⨯=== 变力F 所做的功为：16464W FS J ==⨯= 解法二：力F 随位移S 是均匀增大的，据此做出F=S 图象，因为功是力在空间积累的效果，所以力F 所做的功等于图形中梯形的面积。

“即”121(1022)42 =64JW =+⨯（a+b ）h=巩固练习一、劲度系数为k 的弹簧，用力拉它，当它伸长x 时，所用的拉力为F ，求此力所做的功。

解：由于力F 的大小与位移成正比，所以变力F 可以用平均力来替代，也就是说，变力F 做的功等于它的平均力F 做的功即：2122o kx W FS x kx +=== 示功图为： S 面=例2：以一定初速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为（）A 、零B 、fh -C 、2fh -D 、4fh -分析：整个过程，小球所受阻力的方向变化了，所以是变力，如何求这一变力做的功，可分段处理，上升和下降阶段，阻力均做负功，且均为fh -，故总功为2fh -.例3：沿着半径为R 的圆周做匀速运动的汽车，运行一周回到原出发点的过程中，牵引力和摩擦力各做功为多少？已知摩擦力f解析：做圆周运动的物体，速度方向总沿其切线方向，故牵引力也沿其切线议长阻力与牵引力方向相反，故这两个力都是变力，则采用微元法解决。

把圆周分成无数小段，在第一小段里可以看成作直线运动：则牵引力做功 123n WF F S F S F S F S =∆+∆+∆++∆ 123=F(S +S +)n S S ∆∆∆++∆=f.2R π 同理摩擦力做功为： wf=-f.2R π巩固练习：水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R/2和R 的两个半圆构成，现有大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向同时与小球的运动方向一致，则此过程中，拉力做功为 （ ）A 、0B 、FRC 、23RF π D 、2FR π例4：在光滑的水平面上，物体在恒力F=100N 作用下F 从A 点运动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳滑轮的质量，及滑轮与绳间的摩擦：已知002.4 37 53H m a β===求拉力F 对物体做的功。

高考物理：变力做功的求解方法！一、变力做功的计算方法1、用动能定理动能定理表达式为，其中是所有外力做功的代数和，△E k是物体动能的增量。

如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理表达式就可以求出这个变力所做的功。

2、用功能原理系统内除重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于该系统机械能的增量。

若在只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。

3、利用W＝Pt求变力做功这是一种等效代换的思想，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的。

4、转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可将变力做功转换成恒力做功，继而可以用求解。

5、用平均值当力的方向不变，而大小随位移做线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。

6、微元法对于变力做功，我们不能直接用公式进行计算，但是可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，其具有普遍的适用性。

在高中阶段主要用这种方法来解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功的问题。

二、摩擦力做功的特点1、静摩擦力做功的特点：A、静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

B、在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。

C、相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总是等于零。

2、滑动摩擦力做功的特点：如图所示，顶端粗糙的小车，放在光滑的水平地面上，具有一定速度的小木块由小车左端滑上小车，当木块与小车相对静止时木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为s，则滑动摩擦力F对木块做的功为W木=－F（d+s）①由动能定理得木块的动能增量为ΔE k木=－F（d+s）②滑动摩擦力对小车做的功为W车=Fs ③同理，小车动能增量为ΔE k车=Fs ④②④两式相加得ΔE k木+ΔE k车=－Fd ⑤⑤式表明木块和小车所组成系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对于小车位移的乘积，这部分能量转化为内能。

变力做功的求解方法变力做功是物理学中一个重要的概念，它描述了当一个力作用于一个物体时，这个力对物体所做的功是如何随时间变化的。

在实际应用中，我们经常需要求解变力做功，例如研究机械的运动特性、计算机械工作所需的能量等。

求解变力做功的方法有多种，下面将介绍三种常用的方法：通过力的分解法、积分法和图像法。

第一种方法是力的分解法。

当一个力是一个常量力的合力时，我们可以将这个力分解成多个方向上的分力，然后对每个方向的分力进行求解，最后将各个方向上的分力的功相加即可得到合力所做的功。

在实际应用中，当一个力是不常量力时，我们可以将这个力进行一定的分段处理，将不同的部分的力分别进行分解，然后分别求解，最后将各个部分的功相加即可得到总的功。

第二种方法是积分法。

当一个力是一个函数关系时，我们可以通过对这个函数进行积分得到力的功函数，然后计算积分上下限之间的功值。

具体而言，假设一个力F随时间t的变化，那么力在时间t1和t2之间做的功可以表示为：W = ∫(F(t))dt其中，W表示力所做的功，∫表示积分符号，F(t)表示力随时间的变化。

在实际计算中，我们可以根据给定的力函数F(t)进行积分运算，然后计算上下限之间的功值。

第三种方法是图像法。

当一个力是已知的、离散的数据时，我们可以通过绘制力与时间之间的图像来求解力所做的功。

具体而言，我们可以将给定的力数据以时间为横坐标、力值为纵坐标绘制成折线图，然后计算每个时间段内力与时间之间的面积，最后将各个时间段内的面积相加即可得到力所做的功。

综上所述，求解变力做功的方法有很多种，其中常用的方法有力的分解法、积分法和图像法。

不同的方法适用于不同的情况，具体选择哪种方法进行求解，需要根据具体的问题来决定。

无论使用哪种方法，都需要对力与时间的关系进行分析，然后进行适当的求解，最终得到力所做的功的结果。

变力做功的六种常见计算方法第一种方法是曲线切线式。

在物体沿曲线运动的情况下，可以通过计算力的切线分量与物体速度的乘积来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定物体在其中一时刻的速度，然后取该时刻的力的切线分量（即与物体速度方向相同的力的分量），最后将该切线分量与物体速度的乘积相乘，即可得到变力做功的大小。

第二种方法是常力法。

在物体受到一定的恒定力作用下，可以通过计算力与物体位移方向的夹角的余弦值再乘上力的大小来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定力的大小，然后确定物体的位移方向与力的方向之间的夹角，最后将位移方向与力的方向之间夹角的余弦值乘以力的大小，即可得到变力做功的大小。

第三种方法是分力法。

当物体受到多个力的作用时，可以通过计算各个力的分力与物体位移方向之间的夹角的余弦值再分别乘上各个分力的大小来确定变力做功的大小，然后将各个分力的做功求和即可得到变力做功的总大小。

第四种方法是连续变力法。

在物体受到连续变化的力作用下，可以通过将力的大小关于物体位移的函数表示出来，然后对该函数进行积分来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定力对物体位移的函数关系式，然后对该函数进行积分，最后得到的积分值即为变力做功的大小。

第五种方法是有功做功法。

在物体受到非保守力作用下，可以通过计算力的非保守分量与物体位移的乘积再加上势能变化的大小来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定力的保守分量与非保守分量，然后将非保守分量与位移的乘积相加，再加上势能变化的大小，即可得到变力做功的大小。

第六种方法是负功做功法。

在物体受到反向力作用下，可以通过计算该反向力的绝对值与物体位移的乘积再乘上负一来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定反向力的大小，然后将反向力的绝对值与位移的乘积相乘，并将结果乘以负一，即可得到变力做功的大小。

综上所述，变力做功的六种常见计算方法分别是曲线切线式、常力法、分力法、连续变力法、有功做功法和负功做功法。

求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：一、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。

而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。

例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。

T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。

由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：二、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：A0焦耳B20π焦耳C 10焦耳D20焦耳分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正确。

三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。

但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。

例1、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。

求此过程中摩擦力所做的功。

分析：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。

解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。

对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。

必须注意本题中的F是变力。

对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。

如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。

二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。

如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图所示。

经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图（b）所示）。

如果F－s图象是一条曲线（如图所示），表示力的大小随位移不断变化，在曲线下方作阶梯形折线，则折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功。

高中物理：变力做功怎么求？功的求法是高中物理教学的重点和难点之一，教材上的公式：，只适用于恒力做功的情况，对于某些变力做功的问题，在高中阶段也要求学生掌握，而学生遇到变力做功的问题时，常常感到无处着手。

下面，对变力做功求解方法的问题进行总结：方法一：微元累积法将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。

此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变或者方向不变、大小改变的变力做功问题。

例1、如图1所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。

解析：将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图2所示，元功，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即方法二：力的平均值法当某个力的方向不变，但其大小随位移均匀变化时，可以用力的初始值F1和末状态值F2的平均值来计算变力所做的功。

例2、如图3所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的弹簧左端固定在竖直墙上，右端系着一小球，弹簧处于自然状态时，小球位于O点，今用外力压缩弹簧，使其形变量为x，当撤去外力后，求小球到达O点时弹簧的弹力所做的功。

解析：弹簧的弹力为变力，与弹簧的形变量成正比，在题设条件下，弹力的初始值为，终值为，故弹力的平均值为，则弹力所做的功。

方法三：图像法在题设情况下，如果能找出力F与位移s的函数关系，则在F－s 的平面直角坐标系中，作出F随s变化的图像，那么，图像与横坐标轴所围成的图形的面积即是F对物体在某一段位移上所做功的数值。

例3、用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起质量为20kg 的重物，在这个过程中至少要做多少功（取g＝10m/s2）解析：在吊起重物的过程中，作用在重物和铁索上的力至少应等于重物和铁索的重力，但在吊起过程中铁索的长度逐渐缩短，故拉力也逐渐减少，即拉力是一个随距离变化的变力，拉力随深度s的变化关系为所以力随距离是均匀变化，作出拉力的F－s图线，则拉力所做的功可以用图4中梯形的面积来表示显然，此题亦可以用方法二求解。

变力做功的几种解题方法变力做功是物理学中常用的概念，它来源于生活实践，是一种利用变力及相关物理知识获得物体运动或静止的方法。

当面对变力做功题目时，需要学生有一定的物理知识基础。

在学习处理变力做功题目时，学生必须学会把题目分层解，把复杂的问题简化为多个比较容易解决的子问题，从而解决问题。

下面，我们将针对变力做功解题方法进行详细的介绍。

第一，分层解。

在学习和解决变力做功题目时，首先应该把题目划分成不同的层次，以便于深入分析问题，分析每一层的物理现象和物理知识，此外，需要留意连续性、最小量的原则，充分考虑问题的多方面条件，增加问题的正确性和完善性。

第二，应用断面分析法。

断面分析法是一种常见的解题方法，它的原理是分析物体在由力作用施加下某一特定方向的力学变化，从而有效地满足题目中涉及的力学条件。

断面分析法有助于学生更加熟练地掌握变力做功中断面不变性、等效力和动量定律等相关物理知识，更好地分析题干，熟练地运用断面分析法解决问题。

第三，结构分析法。

结构分析法是完成运动结构分析的一种重要的解题方法，它要求学生能熟练分析问题的多方面物理现象，从运动结构的角度出发，构造运动结构，采用坐标系、梯度、牛顿定律、能量守恒定律等物理知识，把复杂的问题归纳为简单的分析结构，有效地解决问题。

第四，绘图分析方法。

绘图分析方法是一种比较常见的解题方法，它要求学生在分析问题时能有效地用图解法绘制变力问题中的坐标系、力矢量、速度矢量，从而有效地抓住真正的物理变化规律，找出变力做功的解。

最后，应用矢量分析法。

矢量分析法是一种变力做功的常见解题方法，它要求学生对不同力的特性和影响有深刻的理解，有效地将不同力矢量统筹起来，加以分析，从而把复杂的问题分解成简单的子问题，合理推导出物体运动规律，最终得出变力做功的结果。

以上就是有关变力做功解题方法的介绍，它主要涉及分层解、断面分析法、结构分析法、绘图分析法和矢量分析法五种方法，在解决问题时，学生要熟悉各种物理知识，学会利用多种方法综合解决问题，同时改进已有的方法，使答案更加准确、完整。

求解变力做功的八种方法在物理学中，做功是指力对物体施加作用力并使其产生位移的过程中所做的功。

而当作用力是变化的时候，求解变力做功就变得相对复杂。

本文将介绍八种常用的方法来求解变力做功问题，帮助读者更好地理解这一物理概念。

一、分割法分割法是将变力分割成多个小的力，然后分别计算每个小力在相应的位移上所做的功，再将它们累加起来。

通过将变力离散化，我们可以近似所需求解的变力做功。

二、辅助函数法辅助函数法是将变力关于位移进行积分，得到一个辅助函数，再通过求导的方法求解变力做功。

这个方法需要对变力进行积分和求导，适用于一些特殊的变力情况。

三、力的分解法力的分解法是将变力分解成两个简化的力，一般是平行和垂直于位移的力，然后分别计算每个简化力在相应的位移上所做的功，再将它们相加。

通过将变力进行分解，我们可以将复杂的问题简化为分别求解两个力的功的问题。

四、动能定理法动能定理法利用了动能的变化与外力做功的关系，即外力做功等于物体动能的变化。

通过对物体的动能变化进行分析，我们可以求解变力做功的问题。

五、引入势函数法引入势函数法是将变力与势函数建立联系，通过势函数的导函数来求解变力做功。

这个方法需要找到一个合适的势函数，适用于一些具有简单势函数形式的变力情况。

六、平均值法平均值法是将变力近似为一个平均力，然后计算该平均力在整体位移上所做的功。

虽然这种方法只是对变力做功的近似，但在一些情况下可以提供一个比较准确的结果。

七、图形法图形法是通过绘制力与位移之间的图形来求解变力做功。

通过图形分析，我们可以计算图形下的面积或曲线的积分，进而得到变力做功的值。

八、牛顿第二定律法牛顿第二定律法利用了牛顿第二定律与功的关系，即力乘以位移等于质量乘以加速度乘以位移。

通过将力进行分解，我们可以将变力做功的问题转化为求解加速度和位移的问题。

综上所述，以上八种方法是常用的求解变力做功的方法。

在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法求解变力做功问题，可以帮助我们更好地理解力学中的变力概念，并解决具体的物理问题综合上述八种方法，我们可以看出，求解变力做功问题的方法有多种多样，每种方法在不同情况下都有其适用性和限制性。

求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。

下面将介绍十种常见的变力做功的方法。

1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。

通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。

这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。

当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。

推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。

3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。

例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。

弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。

通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。

因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。

5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。

抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。

重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。

6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。

通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。

磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。

例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。

引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。

例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。

中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。

高中物理第七章习题课求解变力做功的四种方法练习含解析新人教版必修21025117求解变力做功的四种方法1．以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h ，空气的阻力大小恒为F ，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )A ．0B ．－FhC ．－2FhD ．－4Fh解析：选C.从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功．全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做的功的代数和，即W ＝W上＋W 下＝(－Fh )＋(－Fh )＝－2Fh .故选项C 正确．2．如图所示，某力F ＝10 N 作用于半径R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为( )A ．0 JB ．20π JC ．10 JD ．20 J解析：选B.把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW ＝F Δl ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W ＝F ×2πR ＝10×2π J ＝20π J ，故B 正确．3．在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R /2和R 的两个半圆构成，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．零B ．FRC ．32πFR D ．2πFR解析：选C.虽然拉力方向时刻改变，为变力，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以将F 看成恒力，小球的路程为πR ＋πR 2，则拉力做的功为32πFR .4．如图所示，竖直光滑杆上套有一滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升，若从A 点升至B 点和从B 点升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1、W 2，滑块经B 、C 两点时的速度大小分别为v 1、v 2，图中AB ＝BC ，则一定有( )A ．W 1>W 2B ．W 1<W 2C ．v 1>v 2D ．v 1<v 2解析：选A.考虑拉力做功时，只考虑拉力、位移、夹角．拉力的大小不变，但它的竖直分量在变小，位移又相同，故W 1>W 2，A 正确；绳子对滑块的拉力在竖直方向的分力与滑块重力的合力产生的加速度为零时，滑块具有最大速度，而A 、B 、C 三处在最大速度的上方、下方还是中间某一位置，不能确定，所以C 、D 错误．5．用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F ，将质量为m 的小物体沿半径为R 的固定圆弧轨道从A 点推到B 点，圆弧AB ︵对应的圆心角为60°，如图所示，则在此过程中，力F 对物体做的功为________．若将推力改为水平恒力F ，则此过程中力F 对物体做的功为________．解析：若F 的方向始终与运动方向一致，可用微元法求解，W 1＝πR3F ；若F 保持水平，可用恒力做功的公式W ＝Fl cos 60°求解，得W 2＝32FR . 答案：πR 3F 32FR6．一个劲度系数为k 的轻弹簧，它的弹力大小与其伸长量的关系如图所示．弹簧一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x 1过程中拉力所做的功．如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x 1增大到x 2的过程中，拉力又做了多少功？解析：在拉弹簧的过程中，拉力的大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知，拉力与拉力的作用点的位移x (等于弹簧的伸长量)成正比，即F ＝kx .F －x 关系图象如图所示：由图可知△AOx 1的面积在数值上等于把弹簧拉伸x 1的过程中拉力所做的功，即W 1＝12F 1×x 1＝12kx 1×x 1＝12kx 21梯形Ax 1x 2B 的面积在数值上等于弹簧伸长量由x 1增大到x 2过程中拉力所做的功，即W 2＝12(F 1＋F 2)×(x 2－x 1)＝12k (x 22－x 21)．答案：12kx 21 12k (x 22－x 21)7．如图所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的动摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动到轨道最高点的过程中，克服摩擦力做的功．解析：解答本题的难点在于利用微元法来求解变力所做的功．小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故摩擦力为变力，本题可以用微元法来求．如图所示，将小车运动的半个圆周均匀细分成n (n →∞)等份，在每段长πRn的圆弧上运动时，可认为轨道对小车 的支持力N i 不变，因而小车所受的摩擦力f i 不变．当小车运动到如图所示的A 处圆弧时，有N iA －mg sin θ＝m v 2R则f iA ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2R ＋mg sin θ W iA ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2R ＋mg sin θ·πRn当小车运动到如图所示的与A 关于x 轴对称的B 处圆弧时，有N iB ＋mg sin θ＝m v 2R则f iB ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2R －mg sin θ W iB ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2R －mg sin θ·πRn由此可知小车关于水平直径对称的轨道上的两微元段的摩擦力做功之和为W i ＝W iA ＋W iB ＝2μm v 2R ·πR n ＝2πμmv 2n于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的总功为W ＝W 1＋W 2＋…＋W n 2－1＋W n 2＝n 2·2πμmv 2(n )＝πμmv 2．答案：见解析。

习题课 求解变力做功的四种方法1．做功的两个必要因素(1)作用在物体上的力．(2)物体在力方向上的位移．2．功的表达式：W ＝Fl cos α，α为力F 与位移l 的夹角．(1)α<90°时，W >0.(2)α>90°时，W <0.(3)α＝90°时，W ＝0.平均值法求变力做功当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力对位移的平均值F ＝F 1＋F 22，再由W ＝Fl cos α计算功．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )A ．(3－1)dB ．(2－1)d C.（5－1）d 2 D.22d [解析] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理．根据题意可得第一次做功：W ＝F 1d ＝kd 2d . 第二次做功：W ＝F 2d ′＝k ⎝⎛⎭⎫d ＋d ′2d ′. 联立解得d ′＝(2－1)d .[答案] B1.如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k ，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉木块，使木块前进l ，求这一过程中拉力对木块做了多少功．解析：缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F ＝kl .因该力与位移成正比，故可用平均力F ＝kl 2求功，W ＝F ·l ＝12kl 2. 答案：12kl 2图象法求变力做功变力做的功W 可用F －l 图线与l 轴所围成的面积表示．l 轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l 轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．用质量为5 kg 的质地均匀的铁索从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，在这个过程中至少要做多少功？(g 取10 m/s 2)[解析] “至少要做多少功”的隐含条件是作用在铁索上的拉力等于物体和铁索的重力，使重物上升，如果不计铁索的重力，那么问题就容易解决．但是现在还要考虑铁索的重力，作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，在拉吊过程中，铁索长度逐渐缩短，因此，拉力也在逐渐减小，即拉力是一个随距离变化的变力，以物体在井底开始算起，拉力与物体上升距离s 成线性变化，这是一个变力做功的问题，可以利用F －s 图象求解．拉力的F －s 图象如图所示，拉力做的功可用图中的梯形面积来表示，W ＝(200＋250)×5 J ＝2 250 J[答案] 2 250 J2.一物体所受的力F 随位移l 发生如图所示的变化，求这一过程中，力F 对物体做的功为多少？解析：力F 对物体做的功等于l 轴上方的正功(梯形“面积”)与l 轴下方的负功(三角形“面积”)的代数和．S 梯形＝12×(4＋3)×2 J ＝7 JS 三角形＝－12×(5－4)×2 J ＝－1 J 所以力F 对物体做的功为W ＝7 J －1 J ＝6 J.答案：6 J微元法求变力做功当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上做的功，再求和即可．例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆周的切线方向的一个力F 的作用下绕圆周运动了一圈，又回到出发点．已知圆周的半径为R ，求力F 做的功时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs 1、Δs 2、Δs 3…在每一段上，可近似认为F 和位移Δs 在同一直线上并且同向，故W ＝F (Δs 1＋Δs 2＋Δs 3＋…)＝2πRF .因此功等于力F 与物体实际路径长度的乘积．即W ＝Fs .对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v 反向，故W ＝－F f ·s .如图所示，一质量为m ＝2.0 kg 的物体从半径为R ＝5.0 m 的圆弧的A 端，在拉力F 作用下沿圆弧缓慢运动到B 端(圆弧AB 在竖直平面内)．拉力F 大小不变始终为15 N ，方向始终与物体所在位置的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO 边为竖直方向，g 取10 m/s 2.求这一过程中：(1)拉力F 做的功；(2)重力mg 做的功；(3)圆弧面对物体的支持力F N 做的功．[解析] (1)将圆弧AB 分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每小段上做的功为W 1、W 2、…、W n ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体所在位置的切线方向成37°角，所以：W 1＝Fl 1cos 37°，W 2＝Fl 2cos 37°，…，W n ＝Fl n cos 37°，所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n )＝F cos 37°·π3R ＝20π J ＝62.8 J. (2)重力mg 做的功W G ＝－mgR (1－cos 60°)＝－50 J.(3)物体受的支持力F N 始终与物体的运动方向垂直，所以W F N ＝0.[答案] (1)62.8 J (2)－50 J (3)03.如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为l ，把悬线拉到水平位置后放手，设在摆球运动过程中空气阻力F f 的大小不变，求摆球从A 运动到竖直位置B 时，重力mg 、绳的拉力F T 、空气阻力F f 各做了多少功？解析：因为拉力F T 在运动过程中，始终与运动方向垂直， 故不做功，即WF T ＝0. 重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB 在竖直方向上的投影OB ，且OB ＝l ，所以W G ＝mgl .空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任意时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题，如果将AB ︵分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段弧上F f 的大小、方向可以认为不变(即为恒力)，如图所示．因此F f 所做的总功等于每一小段弧上F f 所做功的代数和．即W F f ＝－(F f Δl 1＋F f Δl 2＋…)＝－12F f πl . 故重力mg 做的功为mgl ，绳子拉力F T 做的功为零，空气阻力F f 做的功为－12F f πl . 答案：mgl 0 －12F f πl转换法求变力做功1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功．2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功．(2016·西安八校高一联考)某人利用如图所示的装置，用100N 的恒力F 作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A 点移到B 点．已知α1＝30°，α2＝37°，h ＝1.5 m ，不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对物体所做的功．[解析] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所以不能直接根据W ＝Fl cos α求绳的拉力对物体做的功．由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力F 做的功和绳对物体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力F 所做的功求出绳对物体的拉力所做的功．由于恒力F 作用在绳的端点，故需先求出绳的端点的位移l ，再求恒力F 的功．由几何关系知，绳的端点的位移为l ＝hsin 30°－hsin 37°＝13h ＝0.5 m在物体从A 移到B 的过程中，恒力F 做的功为W ＝Fl ＝100×0.5 J ＝50 J.故绳的拉力对物体所做的功为50 J.[答案] 50 J4.(2016·温州高一检测)如图所示，一辆拖车通过定滑轮将一重物G 匀速提升，当拖车从A 点水平移动到B 点时，位移为s ，绳子由竖直变为与竖直方向成θ的角度，求此过程中拖车对绳子所做的功．解析：拖车对绳子做的功等于绳子对重物做的功．以重物为研究对象，由于整个过程中重物匀速运动．所以绳子的拉力：F T ＝G .重物上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB 减去开始时的绳长OAl ＝s sin θ－s tan θ＝s （1－cos θ）sin θ所以绳子对重物做功：W ＝Gl ＝s （1－cos θ）sin θG拖车对绳子做功等于绳子对重物做功，等于s （1－cos θ）sin θG .答案：s （1－cos θ）sin θG[随堂达标]1．用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F ，将质量为m 的小物体沿半径为R 的固定圆弧轨道从A 点推到B 点，圆弧AB ︵对应的圆心角为60°，如图所示，则在此过程中，力F 对物体做的功为________．若将推力改为水平恒力F ，则此过程中力F 对物体做的功为________．解析：若F 方向始终与运动方向一致，可用微元法求解，W 1＝πR 3F ；若F 保持水平，可用恒力做功的公式W ＝Fl cos α求解，得W 2＝32FR . 答案：πR 3F 32FR 2．一个劲度系数为k 的轻弹簧，它的弹力大小与其伸长量的关系如图所示．弹簧一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x 1过程中拉力所做的功．如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x 1增大到x 2的过程中，拉力又做了多少功？解析：在拉弹簧的过程中，拉力的大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知，拉力与拉力的作用点的位移x (等于弹簧的伸长量)成正比，即F ＝kx .F －x 关系图象如图所示：由图可知△AOx 1的面积在数值上等于把弹簧拉伸x 1的过程中拉力所做的功，即W 1＝12F 1×x 1＝12kx 1×x 1＝12kx 21梯形Ax 1x 2B 的面积在数值上等于弹簧伸长量由x 1增大到x 2过程中拉力所做的功，即W 2＝12(F 1＋F 2)×(x 2－x 1)＝12k (x 22－x 21)． 答案：12kx 21 12k (x 22－x 21) [课时作业] 一、单项选择题1．以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h ，空气的阻力大小恒为F ，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )A ．0B ．－FhC ．－2FhD ．－4Fh解析：选C.从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功．全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做的功的代数和，即W ＝W 上＋W 下＝(－Fh )＋(－Fh )＝－2Fh .故选项C 正确．2.如图所示，某力F ＝10 N 作用于半径R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为( )A ．0 JB ．20π JC ．10 JD ．20 J解析：选B.把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW ＝F Δl ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W ＝F ×2πR ＝10×2π J ＝20π J ，故B 正确．3.在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R 2和R 的两个半圆构成，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B点，若拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．零B ．FR C.32πFR D ．2πFR解析：选C.虽然拉力方向时刻改变，为变力，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以将F 看成恒力，小球的路程为πR ＋πR 2，则拉力做的功为32πFR . 4.如图所示，竖直光滑杆上套有一滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升，若从A 点升至B 点和从B 点升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1、W 2，滑块经B 、C 两点时的速度大小分别为v 1、v 2，图中AB ＝BC ，则一定有( )A ．W 1>W 2B ．W 1<W 2C ．v 1>v 2D ．v 1<v 2解析：选A.考虑拉力做功时，只考虑拉力、位移、夹角．拉力的大小不变，但它的竖直分量在变小，位移又相同，故W 1>W 2，A 正确；绳子对滑块的拉力在竖直方向的分力与滑块重力的合力产生的加速度为零时，滑块具有最大速度，而A 、B 、C 三处在最大速度的上方、下方还是中间某一位置，不能确定，所以C 、D 错误．二、多项选择题5.如图所示，质量为m 的滑块，由半径为R 的半球面的上端A 以初速度v 0滑下，B 为最低点，滑动过程中所受到的摩擦力大小恒为F f .则( )A ．从A 到B 过程，重力做功为12mg πR B ．从A 到B 过程，弹力做功为零C ．从A 到B 过程，摩擦力做功为－14πRF f D ．从A 滑到C 后，又滑回到B ，这一过程摩擦力做功为－32πRF f 解析：选BD.从A 到B 过程，重力做功W G ＝mgR ，选项A 错误；弹力始终与位移方向垂直，弹力做功为零，选项B 正确；摩擦力方向始终与速度方向相反，利用分段求和的方法可知摩擦力做功为：W 1＝－F f s AB ＝－F f ·⎝⎛⎭⎫14×2πR ＝－12πRF f ，选项C 错误；同理由A →C →B 过程，摩擦力做功W 2＝W AC ＋W CB ＝－F f ⎝⎛⎭⎫12×2πR ＋⎣⎡⎦⎤－F f ×⎝⎛⎭⎫14×2πR ＝－32πRF f ，选项D 正确．6．静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 的作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时拉力F 做的功为( )A ．0B.12F m x 0C.π4F m x 0D.π8x 20解析：选CD.由于水平面光滑，所以拉力F 即为合外力，F 随位移x 的变化图象包围的面积即为F 做的功，即W ＝π2F 2m ＝π8x 20＝π4F m x 0. 三、非选择题7.如图所示，放在固定斜面上的物体，右端与劲度系数为k 的轻质弹簧相连．手以沿斜面向上的力拉弹簧的右端，作用点移动10 cm 时物体开始滑动，继续缓慢拉弹簧，求当物体位移为0.4 m 时手的拉力所做的功．(k＝400 N/m)解析：整个过程分两段来分析．第一段，力随位移按线性变化，物体刚被拉动时F ＝kx 1，按平均力求功；第二段拉力恒为F ，可直接用功的定义式求解．根据题意可得W ＝F 2x 1＋Fx 2＝12kx 21＋kx 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫12×400×0.01＋400×0.1×0.4 J ＝18 J.答案：18 J8．一物体放在水平地面上，如图甲所示，已知物体所受水平拉力F 随时间t 的变化情况如图乙所示，物体相应的速度v 随时间t 的变化关系如图丙所示．求：(1)0～6 s 内物体的位移；(2)0～10 s 内，物体克服摩擦力所做的功．解析：(1)从v －t 图象得2 s ～6 s 内物体的加速度a ＝34m/s 2，0～2 s 内物体处于静止状态，则0～6 s 内物体的位移x 1＝12at 22＝12×34×42 m ＝6 m. (2)从题中图乙、图丙得出：0～2 s 内，摩擦力为静摩擦力，物体位移为0，摩擦力不做功.6 s ～8 s 内物体做匀速运动，受力平衡，滑动摩擦力F f ＝2 N ．0～10 s 内物体的位移为x＝x 1＋x 2＋x 3＝6 m ＋2×3 m ＋12×32×22 m ＝15 m ，物体克服摩擦力所做的功为W ＝F f x ＝2×15 J ＝30 J.答案：(1)6 m (2)30 J☆9.如图所示，在距水平地面高为0.4 m 处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P 点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P 点的右边，杆上套有一质量m ＝2 kg 的小球A .半径R ＝0.3 m的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O 在P 点的正下方，在轨道上套有一质量也为m ＝2 kg 的小球B .用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看做质点，且不计滑轮大小的影响，g 取10 m/s 2.现给小球A 一个水平向右的恒力F ＝55 N ．求：(1)把小球B 从地面拉到P 点正下方C 点过程中，重力对小球B 做的功；(2)把小球B 从地面拉到P 点正下方C 点过程中，力F 做的功．解析：(1)取竖直向上为正方向，W G ＝－mgR ＝－2×10×0.3 J ＝－6 J.(2)如图，由几何知识可知：PB ＝OB 2＋OP 2＝0.32＋0.42 m ＝0.5 mW F ＝F (PB －PC )＝55×(0.5－0.1) J ＝22 J.答案：(1)－6 J (2)22 J10．如图所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的动摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动到轨道最高点的过程中，克服摩擦力做的功．解析：解答本题的难点在于利用微元法来求解变力所做的功．小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故摩擦力为变力，本题可以用微元法来求．如图所示，将小车运动的半个圆周均匀细分成n (n →∞)等分，在每段长πR n的圆弧上运动时，可认为轨道对小车 的支持力N i 不变、因而小车所受的摩擦力f i 不变．当小车运动到如图所示的A 处圆弧时，有N iA －mg sin θ＝m v 2R则f iA ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R ＋mg sin θ W iA ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R ＋mg sin θ·πR n当小车运动到如图所示的与A 关于x 轴对称的B 处圆弧时，有N iB ＋mg sin θ＝m v 2R则f iB ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R －mg sin θ W iB ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R －mg sin θ·πR n由此可知小车关于水平直径对称的轨道上的两微元段的摩擦力做功之和为W i ＝W iA ＋W iB ＝2μm v 2R ·πR n于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的总功为W ＝W 1＋W 2＋…＋W n 2－1＋W n 2＝n 2·2πμm v 2n ＝πμm v 2. 答案：见解析。