中考数学模拟题汇总《二次函数的综合》专项练习(附答案解析)

第 1 页 共 29 页 中考数学模拟题汇总《二次函数的综合》专项练习(附答案解析)

一、综合题

1．某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x=20时，y=1000，当x=25时，y=950.

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；

（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

2．如（图1），已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx与x轴交于另一点A( 32 ，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t)

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线OB下方的抛物线上有一点C，点C到直线OB的距离为 √2 ，求点C的坐标；

（3）如（图2），若点M在抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，二次函数y=ax2-6ax+4a+3的图像与y轴交于点A，点B是x轴上一点，其坐标为(1，0)，连接AB，tan∠ABO=2.

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（1）则点A的坐标为 ，a= ；

（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的图象交于另一点C，求点C的坐标；

（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B、点C到l的距离分别为d1、d2，求d1+d2的最大值.

4．如图正方形ABCD，点P,Q,R,S分别在AB，BC,CD,DA上，且BQ=2AP,CR=3AP,DS=4AP

（1）若正方形边长为4，则当AP为何值时，四边形PQRS的面积为正方形面积的一半

（2）若正方形边长为a（a为常数），则当AP为何值时，四边形PQRS的面积最小，并求出最小面积.

5．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点经过A，B，D的O交AC于E点．

（1） 求AE的长．

（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．

①求y关于x的表达式．

②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．

（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边

第 3 页 共 29 页 形BDEF的面积．

6．如图，抛物线y＝﹣13x2+13x＋4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q.

（1）求A、B两点坐标；

（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

7．如图，已知二次函数L1：y=ax2-2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=-a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

（1）函数y=ax2-2ax+a+3（a＞0）的最小值为 ，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是

（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．

（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程-a（x+1）2+1=0的解．

8．在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（b，c为常数）的图象与x轴交于点𝐴(1，0)，𝐵两点，

第 4 页 共 29 页 与y轴交于点C，当𝑥=−32时，函数有最大值．

（1）抛物线的解析式；

（2）点M在y轴上，使得∠𝑀𝐵𝐶=15°，求点M的坐标；

（3）若点𝑃(𝑥1，𝑚)与点𝑄(𝑥2，𝑚)在抛物线上，且𝑥1<𝑥2，𝑃𝑄=𝑛，求证：𝑥22−2𝑥2=𝑥12−4𝑛+3．

9．如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．

（1）求m的值．

（2）求A、B两点的坐标．

（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．

10．若y是x的函数，h为常数（ ℎ>0 ），若对于该函数图象上的任意两点（ 𝑥1 ， 𝑦1 ）、（ 𝑥2 ， 𝑦2 ），当 𝑎≤𝑥1≤𝑏 ， 𝑎≤𝑥2≤𝑏 （其中a、b为常数， 𝑎<𝑏 ）时，总有 |𝑦1−𝑦2|≤ℎ ，就称此函数在 𝑎≤𝑥≤𝑏 时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在 𝑎≤𝑥≤𝑏 时的界高．

（1）函数：①𝑦=2𝑥 ，②𝑦=1𝑥 ，③𝑦=𝑥2 在 −1≤𝑥≤1 时为有界函数的是： （填序号）；

（2）若一次函数 𝑦=𝑘𝑥+2 （ 𝑘≠0 ），当 𝑎≤𝑥≤𝑏 时为有界函数，且在此范围内的界高为 𝑏−𝑎 ，

第 5 页 共 29 页 请求出此一次函数解析式；

（3）已知函数 𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥+5 （ 𝑎>1 ），当 1≤𝑥≤𝑎+1 时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．

11．已知函数 𝑦=(𝑛+1)𝑥𝑚+𝑚𝑥+1−𝑛 （ 𝑚 ， 𝑛 为实数）．

（1）当 𝑚 ， 𝑛 取何值时，函数是二次函数．

（2）若它是一个二次函数，假设 𝑛>−1 ，那么：

①它一定经过哪个点？请说明理由．

②若取该函数上横坐标满足 𝑥=2𝑘 （ 𝑘 为整数）的所有点，组成新函数 𝑦1 ．当 𝑥≥12 时， 𝑦1 随

𝑥 的增大而增大，且 𝑥=12 时是函数最小值，求 𝑛 满足的取值范围．

12．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2-2x+c(c>0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1,0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点。

（1）求该抛物线的解析式和顶点E的坐标；

（2）设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大；

（3）如图2，若直线0D的解析式是y=-3x，点P和点0分别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

13．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）.

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（1）求这个抛物线的解析式.

（2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标.

（3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D.连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF.

14．如图1，在平面直角坐标系中，直线 𝑦=𝑥−1 与抛物线 𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 交于 𝐴、𝐵 两点，其中

𝐴(𝑚，0) ， 𝐵(4，𝑛) .该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.

（1）求 𝑚、𝑛 的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2.若点P为线段 𝐴𝐷 上的一动点(不与 𝐴、𝐷 重合).分别以 𝐴𝑃 、 𝐷𝑃 为斜边，在直线 𝐴𝐷

的同侧作等腰直角△ 𝐴𝑃𝑀 和等腰直角△ 𝐷𝑃𝑁 ，连接 𝑀𝑁 ，试确定△ 𝑀𝑃𝑁 面积最大时P点的坐标.

（3）如图3.连接 𝐵𝐷 、 𝐶𝐷 ，在线段 𝐶𝐷 上是否存在点Q，使得以 𝐴、𝐷、𝑄 为顶点的三角形与△ 𝐴𝐵𝐷

相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

15．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90

售价(元/件) x＋40 90

第 7 页 共 29 页 每天销量(件) 200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

16．如图

如图1，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝐹1：𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(−3，0)和点𝐵(1，0)．

（1）求抛物线𝐹1的解析式；

（2）如图2，作抛物线𝐹2，使它与抛物线𝐹1关于原点𝑂成中心对称，请直接写出抛物线𝐹2的解析式；

（3）如图3，将（2）中抛物线𝐹2向上平移2个单位，得到抛物线𝐹3，抛物线𝐹1与抛物线𝐹3相交于𝐶，𝐷两点(点𝐶在点𝐷的左侧)．

①求点𝐶和点𝐷的坐标；

②若点𝑀，𝑁分别为抛物线𝐹1和抛物线𝐹3上𝐶，𝐷之间的动点(点𝑀，𝑁与点𝐶，𝐷不重合)，试求四边形𝐶𝑀𝐷𝑁面积的最大值．

第 8 页 共 29 页 参考答案与解析

1．【答案】（1）解：每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，

设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），

x=20时，y=1000，当x=25时，y=950，

代入得 {20𝑘+𝑏=100025𝑘+𝑏=950 ，

解得 {𝑘=−10𝑏=1200 ，

∴函数关系式为y＝－10x＋1200，

（2）解：W＝(x－40) y＝(x－40)( －10x＋1200) ＝－10x2＋1600x－48000＝－10(x－80) 2＋16000，

当售价定为80元, W最大＝16000，

∴售价定为80元/件时,每天最大利润W＝16000元，

（3）解：由题意得

{𝑤≥1275040(−10𝑥+1200)≤20000 ，

{−10(𝑥−80)2+16000≥13750−10𝑥+1200≤500 ，

{−15≤𝑥−80≤15𝑥≥70 ，

{65≤𝑥≤95𝑥≥70 ，

70≤𝑥≤95 .

2．【答案】（1）解：点 𝐵 在直线 𝑦=𝑥 上，则点 𝐵 的坐标为 (2,2) ，

将点 𝐴 、 𝐵 的坐标代入二次函数表达式得： {0=𝑎(32)2+32𝑏2=4𝑎+2𝑏 ，解得： {𝑎=2𝑏=−3 ，

故抛物线的表达式为： 𝑦=2𝑥2−3𝑥①

（2）解：如图，过点 𝐶 作 𝐶𝐻//𝑦 轴交 𝐴𝐵 于点 𝐻 ，