北航计算流体力学第8课

M u c
由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大 小可看成是气体相对压缩性的一个指标。 当马赫数较小时，可认为此时流动的弹性影响 相对较大，即压缩性影响相对较小（或一定速 度、压强变化条件下，密度的变化可忽略不计 ），从而低速气体有可能被当作不可压缩流动 来处理。
北京航空航天大学《空气动力学》北京市精品课
2010年版本
Folie3
1、连续介质的概念
从微观的角度而言，不论液体还是气体,其分 子与分子之间都是存在间隙的，例如海平面条 件下，空气分子的平均自由程为 l=10-8 m，大 约是空气分子平均直径的170倍。液体虽然比 气体稠密得多，但分子之间仍然有相当的距离。 因此，从微观上说，流体时一种不连续的介质。
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4、流体的粘性
由于粘性影响，原来是均匀的气流流至平板后直 接贴着板面的一层速度降为零，称为流体与板面间 无滑移。稍外一层的气流受到层间摩擦作用速度也 下降至接近于零，但由于不紧挨板面多少有些速度， 层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定 距离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为均匀。
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Folie24
4、流体的粘性
2. 当 τ ≠ 0 时， du即 0无论剪应力多小，只要存在剪
应力，流体就会发生dy变形运动，因此牛顿粘性公式可 看成是易流性的数学表达。
3、当
du dy
时0 ，τ
＝
0，即只要流体静止
或无变形，就不存在剪应力，换言之，流体不存在静
等于甚至大于 1，这时气体分子就会像雨点般稀疏的流向
物体。
Kn<=0.01 连续流
0.01<Kn<=1.0 滑移流

北航研究生课程实验流体力学重点第一章：相似理论和量纲分析①流体力学相似？包括几方面内容？有什么意义？流体力学相似是指原型和模型流动中，对应相同性质的物理量保持一定的比例关系，且对应矢量相互平行。

内容包括：1.几何相似—物体几何形状相似，对应长度成比例；2.动力相似—对应点力多边形相似，同一性质的力对应成比例并相互平行 （加惯性力后，力多边形封闭）；3.运动相似—流场相似，对应流线相似，对应点速度、加速度成比例。

②什么是相似参数？举两个例子并说明其物理意义必须掌握的相似参数：Ma ，Re ，St 。

知道在什么流动条件下必须要考虑这些相似参数。

相似参数又称相似准则，是表征流动相似的无量纲特征参数 。

1.两物理过程或系统相似则所有对应的相似参数相等。

例如：假定飞机缩比模型风洞试验可以真正模拟真实飞行，则原型和模型之间所有对应的相似参数都相等，其中包括C L , C D , C M ：S V LC L 221ρ=S V DC D 221ρ=SbV MC M 221ρ=风洞试验可以测得CL, CD, CM 值，在此基础上，将真实飞行条件带入CL, CD, CM 表达式，可以求得真实飞行的升力、阻力和力矩等气动性能参数。

2.所有对应的相似参数相等且单值条件相似则两个物理过程或系统相似。

例如：对于战斗机超音速风洞试验，Ma 和Re 是要求模拟的相似参数，但通常在常规风动中很难做到。

由于对于此问题，Ma 影响更重要，一般的方案是保证Ma 相等，对Re 数影响进行修正。

;R e V pM a a RTaV L l St Vρρωμ∞∞=====Ma 为惯性力与弹性力之比，在可压缩流动中考虑。

Re 为惯性力与粘性力之比，在粘性流动中考虑。

St 为无量纲频率，在周期性流动中考虑。

另，通常风洞模型试验模拟飞行器试验要满足的主要相似参数： 超音速：Ma 和Re （需要同时考虑压缩性和粘性影响）；低速（Ma<0.3 ）：Re （压缩性影响可忽略，只考虑粘性影响）。

2 Rx
空间力系
FR y FR z
∑F =∑ F =∑ F
∑ ∑
ix iy
iz
= 0 = 0 = 0
有三个独立的平衡方程
FR = FRx i + FRy j + FRz k = 0
FR =
F
+F
2 Ry
+F
2 Rz
=0
平面力系
FRx = FRy =
F ix = 0 F iy = 0
2010-11-27 8
理论力学
§1 - 0
力学模型与力系
•共点力系 共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。 力作用线汇交于一点的力系。 共点力系 力作用线汇交于一点的力系 F1 F1
Fn
Fn
A
F2
A
F2
若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 共点力系(concurrent coplanar force system)。 共点力系 。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。 间共点力系
§1 - 0
力学模型与力系
•刚 (rigid body)：具有质量，考虑其形状和尺寸大小，其上 刚 ) 具有质量，考虑其形状和尺寸大小， 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。
• 特点：所研究的问题与 特点： 物体的质量和姿态有关， 物体的质量和姿态有关， 其变形可以忽略不计。 其变形可以忽略不计。

计算流体力学目录第一章引论1.1计算流体力学及其特征1.2计算流体力学发展的历史1.3计算流体力学研究内容1.4第二章流体力学方程与模型方程2.1 流体力学基本方程2.2 模型方程及其数学性质2.3 双曲型方程初边值问题第三章有限差分数值解法3.1有限差分方法3.2差分方程3.3差分解法的理论基础3.4 差分修正方程分析3.5小扰动稳定性分析方法3.6高精度格式以及精度分析第四章有限体积等方法4.1 有限体积法4.2 其他方法介绍第五章代数方程组求解5.1高斯消去法5.2追赶法5.3迭代法5.4 其他常用方法第六章可压缩流体力学方程组差分解法6.1一维方程以及Jocobin系数矩阵6.2一维Euler方程的离散6.3其他离散方法6.4多维问题差分解法6.5粘性项的差分解法第七章可压缩流体力学方程组的差分解法7.1控制方程性质分析7.2人工压缩方法7.3非定常原始变量法求解7.4涡量—流函数法第八章渗流力学方程组求解8.1 渗流力学方程组以及方程性质8.2 单相渗流力学方程求解8.3 多相渗流力学方程组求解第九章网格生成技术9.1网格理论9.2结构网格9.3非结构网格以及混合网格第十章计算流体力学在石油工程中应用10.1计算流体力学软件介绍10.2计算流体力学软件学习10.3计算流体力学软件使用实例第一章引论（3学时）1.1 计算流体力学及其特征1.1.1 定义利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的数学方程，揭示流体运动的物理规律，研究定常流体运动的空间物理特征和非定常流体运动的时-空物理特征1.1.2 特点：1. 扩大了研究范围，原则上可以求解如何流体力学控制方程所能描述的流体力学问题2. 可以给出比较完整的定量结果3. 数值解是离散近似解放，与精确解有误差4. 对复杂问题需要与理论分析和实验研究相结合1.1.3 先导课1. 流体力学以及高等流体力学：解决流体力学基本方程建立的问题2. 数学物理方程：解决流体力学方程的数学性质分析3. 线性代数：解决流体力学方程组的矩阵运算问题4. 计算方法或数值分析：代数方程组的求解方法计算流体力学主要解决偏微分方程组向代数方程组离散方法问题1.2 计算流体力学发展历史计算流体力学的发展：促进了流体力学问题新规律、新机理的研究，也促进了相关偏微分方程组相关理论的发展。

第三章 流体运动学
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得

uz z
dz

2(x

y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy


3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)

➢模型方程：具有原控制方程的基本特征，但是往往可以 得到精确解，依次来揭示原控制方程的一些数学特征
2024/2/28
19
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的概念
➢完整方程
连续方程
动量方程
能量方程
2024/2/28
20
❖Computational Fluid Dynamics
沿特征线，扰动波的幅值不变，传播速度为c
则在t>0时，传播过程如下图：
2024/2/28
27
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
➢单波方程
➢c>0时，传播沿x正向 ➢C<0时，传播沿x负向 ❖扰动波以有限速度传播是双曲型方程的重要 特征（波形和波幅可能会变化，此处为什么不 变？）
如何表达初始形状三角形
如何存储数据 如何积分
数值积分，HOW？
如何显示结果
TECPLOT
尝试改变几个常数，看看结果有何变化，常数反映了什么？
2024/2/28
22Biblioteka ❖Computational Fluid Dynamics
回顾
控制方程
模型方程
➢NS ➢EULER ➢Impressible NS ➢RANS
➢单波方程可以模拟EULER方程的一些特征
2024/2/28
28
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征

第一章绪论第一节计算流体力学：概念与意义一、计算流体力学概述任何流体运动的规律都是由以下3个基本定律为基础的：1）质量守恒定律；2）牛顿第二定律（力＝质量×加速度），或者与之等价的动量定理；3）能量守恒定律。

这些基本定律可由积分或者微分形式的数学方程（组）来描述。

把这些方程中的积分或者（偏）微分用离散的代数形式代替，使得积分或微分形式的方程变为代数方程（组）；然后，通过电子计算机求解这些代数方程，从而得到流场在离散的时间/空间点上的数值解。

这样的学科称为计算流体（动）力学（Computational Fluid Dynamics，以下简称CFD）。

CFD有时也称流场的数值模拟，数值计算，或数值仿真。

在流体力学基本方程中的微分和积分项中包括时间/空间变量以及物理变量。

要把这些积分或者微分项用离散的代数形式代替，必须把时空变量和物理变量离散化。

空间变量的离散对应着把求解域划分为一系列的格子，称为单元体或控制体（mesh，cell，control volume）。

格子边界对应的曲线称为网格（grid），网格的交叉点称为网格点（grid point）。

对于微分型方程，离散的物理变量经常定义在网格点上。

某一个网格点上的微分运算可以近似表示为这个网格点和相邻的几个网格点上物理量和网格点坐标的代数关系（这时的数值方法称为有限差分方法）。

对于积分型方程，离散物理量可以定义在单元体的中心、边或者顶点上。

单元体上的积分运算通常表示为单元体的几何参数、物理变量以及相邻单元体中物理变量的代数关系（这时的数值方法称为有限体积方法和有限元方法）。

所谓数值解就是在这些离散点或控制体中流动物理变量的某种分布，他们对应着的流体力学方程的用数值表示的近似解。

由此可见，CFD得到的不是传统意义上的解析解，而是大量的离散数据。

这些数据对应着流体力学基本方程的近似的数值解。

对于给定的问题，CFD 研究的目的在于通过对这些数据的分析，得到问题的定量描述。

航空器设计中的计算流体力学应用在现代航空领域，航空器的设计是一项极其复杂且充满挑战的任务。

为了实现更高效的飞行性能、更低的燃油消耗以及更高的安全性，工程师们不断探索和应用新的技术和方法。

其中，计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称 CFD）的应用成为了航空器设计中的关键工具，为航空工程带来了革命性的变化。

计算流体力学是一门通过数值计算和模拟来研究流体流动现象的学科。

在航空器设计中，它主要用于分析和预测飞行器周围的气流特性，包括空气的速度、压力、温度分布等。

通过对这些流动特性的深入了解，工程师们能够优化航空器的外形设计、改善气动性能，从而提高飞行效率和稳定性。

在航空器的外形设计方面，CFD 发挥着至关重要的作用。

传统的设计方法往往依赖于风洞试验，但风洞试验不仅成本高昂，而且在试验条件和模型尺寸等方面存在一定的限制。

相比之下，CFD 能够在计算机上快速模拟各种不同的外形设计方案，从而大大缩短了设计周期，降低了研发成本。

例如，在设计飞机的机翼时，工程师可以利用 CFD软件模拟不同的翼型、翼展、后掠角等参数对气流的影响，从而找到最优的设计方案。

通过 CFD 模拟，还可以发现机翼表面可能出现的气流分离和涡流等现象，提前采取措施加以避免或减轻，以提高机翼的升力和减小阻力。

除了外形设计，CFD 在航空器的发动机设计中也有着广泛的应用。

发动机内部的气流流动非常复杂，涉及到燃烧、传热、气体膨胀等多个过程。

通过CFD 模拟，工程师可以详细分析发动机进气道、压气机、燃烧室、涡轮等部件内的气流流动情况，优化部件的形状和结构，提高发动机的燃烧效率和推力。

同时，CFD 还可以帮助预测发动机在不同工况下的性能和可靠性，为发动机的维护和改进提供有力的支持。

在航空器的飞行性能评估方面，CFD 同样不可或缺。

飞行中的航空器会受到多种气动力的作用，如升力、阻力、俯仰力矩、偏航力矩等。

利用 CFD 可以准确计算这些气动力和力矩，从而评估航空器在不同飞行姿态、速度和高度下的性能。

星期二《基础声学》2周-14周1节-2节 B204《航空发动机多学科优化》2周-14周3节-4节 （三）402《流场显示（定量化）理论与应用》1周-17周1节-2节（三）310《流体力学中的有限元方法》1周-17周3节-4节 （三）404《大气扰动中的飞行原理》1周-17周3节-4节 （四）315《新型空调制冷技术》1周-17周3节-4节 （三）407《微观经济理论(1)》5周-18周3节-4节 A949 (8系专用)《微观经济理论(1)》1周-3周3节-4节 A949 (8系专用)《宏观经济理论》10周-18周1节-2节 A928 (8系专用)《财务管理》5周-10周1节-2节 A949 (8系专用)《财务管理》2周-3周1节-2节 A949 (8系专用)《管理动力学》5周-9周1节-2节 A928 (8系专用)《管理动力学》2周-3周1节-2节 A928 (8系专用)《计算复杂性》2周-15周1节-2节 （三）402《运动稳定性》1周-15周3节-4节 （三）310《组织理论研究》10周-18周1节-4节 B106《社会研究方法(社会统计学.定量分析方法)》1周-9周1节-4节 B106《翻译导论》1周-18周1节-2节 B104《莎士比亚》1周-18周1节-2节 （三）309《高等内燃机学》2周-10周3节-4节 B122《信号处理系统的设计与实现》1周-17周3节-4节 B102《高等混凝土结构》1周-9周3节-4节 B204《英语一外A（硕）-9》2周-17周3节-4节 B101 001《英语一外A（硕）-8》2周-17周1节-2节 主北408014+026《英语一外A（硕）-10》2周-17周3节-4节 主北408009+015《英语一外A（硕）-7》2周-17周1节-2节 B101 007《英语一外B（硕）-28》2周-17周3节-4节 主北407（外语专用） SY10011《英语一外B（硕）-25》2周-17周3节-4节 F118SY10012+SY10151《英语一外B（硕）-20》2周-17周1节-2节 主606(外语专用） SY10072+SY10073《英语一外B（硕）-30》2周-17周3节-4节 F103ZY10151《英语一外B（硕）-24》2周-17周1节-2节 F103ZY10141《英语一外B（硕）-23》2周-17周1节-2节 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主M102 004+006+015进展》2周-15周5节-8节 F103周-14周5节-6节 （四）315周-10周5节-6节 （四）323》3周-11周7节-8节 B1212周-10周7节-8节 （三）313周-11周7节-8节 （四）315》1周-17周9节-10节 主南405周-15周5节-8节 （三）310》2周-14周5节-8节 主北40818周9节-11节 主南304周-14周7节-8节 （三）304-17周7节-8节 A949 (8系专用)周-16周5节-8节 B101态》9周-14周9节-11节 主M101周-15周9节-12节 B104周-15周7节-8节 主南306》1周-18周7节-8节 （三）405周5节-6节 A1028 (8系专用)周5节-6节 A1028 (8系专用)》2周-18周9节-12节 F103论》1周-17周5节-6节 B1062周-16周5节-8节 B121》2周-15周9节-12节 F118络》1周-17周5节-6节 B204》1周-13周7节-8节 （四）3232周-14周10节-12节 B121技术》2周-13周7节-9节 F103技术》2周-13周7节-9节 主405理》2周-14周5节-8节 （三）305诊断》2周-10周5节-8节 B106博）》1周-13周5节-8节 主南403》1周-16周9节-11节 B104周-17周9节-11节 B102》1周-17周5节-6节 主405用》1周-17周10节-11节 D120》8周-16周9节-12节 B122》1周-17周9节-11节 主M401周-10周9节-12节 主M102周7节-8节 A1028 (8系专用)1周7节-8节 A928 (8系专用)7周7节-8节 A928 (8系专用)周5节-6节 A928 (8系专用)2周-14周9节-12节 主南304术》3周-17周5节-8节 （三）407》1周-17周10节-12节 B118》1周-17周10节-12节 B106》1周-15周7节-8节 主M101 001+015班》1周-15周7节-8节 主M401 017》1周-15周5节-6节 主M401 006+027》1周-15周5节-6节 主M101 007+008》2周-17周5节-6节 B101 003周-17周5节-6节 主北408 013+019周-17周5节-6节 F207 ZY10131-17周5节-6节 （四）317 ZY10031周5节-6节 主北412 SY10035+SY10036主606(外语专用） SY10033+SY10034+SY10037 7周5节-6节 F118 SY10031+SY10032周-17周5节-6节 F103 SY10191主北405（外语专用） SY10131+SY10132+SY10133 8周5节-6节 （三）304》3周-11周5节-6节 B1222周-10周5节-6节 （三）313周-11周5节-6节 （四）315。

计算流体力学课件
• 引言 • 基本概念与原理 • 数值模拟方法 • 计算流体力学软件介绍 • 计算流体力学在工程中的应用 • 计算流体力学的未来发展与挑战
目录
Part
01
引言
流体力学的重要性
流体力学是物理学的一个重要分支，它研究流体（液体和气体）的运动规律、热力 学性质以及流体与其他物质的相互作用。
Part
04
计算流体力学软件介绍
Fluent软件介绍
1
商业化的计算流体动力学 软件
4
提供丰富的物理模型和材 料库，方便用户进行模拟 和分析
2
支持多种求解器和网格生
成技术
3
广泛应用于流体动力学模
拟、燃烧模拟等领域
CFX软件介绍
英国AEA公司开发的计算流体动 力学软件
提供丰富的物理模型和材料库， 方便用户进行模拟和分析
迭代法
通过迭代的方式求解离散 化的方程组，得到数值解 。
有限差分法
有限差分法的基本思想
将偏微分方程转化为差分方程，通过 求解差分方程得到数值解。
有限差分法的步骤
建立差分方程、求解差分方程、误差 估计等。
有限元法
有限元法的基本思想
将连续的物理量离散为有限个单元，通过求解每个单元的近似解得到整个问题 的数值解。
规模的流动模拟。
大涡模拟
总结词
大涡模拟是一种针对湍流中大尺度涡旋进行模拟的方法，通过过滤掉小尺度涡旋 的影响，降低计算量。
详细描述
大涡模拟只关注大尺度涡旋的运动规律，忽略小尺度涡旋的影响。这种方法能够 显著减少计算量，适用于较大尺度的流动模拟。然而，由于忽略了小尺度涡旋的 影响，大涡模拟的精度和适用范围有限。
水流模拟

计算流体力学（CFD）是一种利用计算机模拟流体运动和传热传质过程的工程技术。

它通过数学模型和计算方法，分析流体运动和传热传质问题，可以预测飞行器在不同气动条件下的性能表现。

在飞行器研制中，计算流体力学技术起着至关重要的作用，本文将从多个方面介绍CFD在飞行器研制中的应用。

一、空气动力学分析CFD可以模拟不同机翼、机身、尾翼等部件在不同飞行状态下的空气动力学性能。

通过对流场的数值模拟，可以预测飞行器在不同飞行阶段的升力、阻力、侧向力等气动力参数，为飞行器的设计优化提供重要依据。

CFD还可以模拟风洞实验，验证风洞实验的结果，并帮助分析风洞实验的误差和不确定性。

二、气动加热效应分析在高速飞行器研制中，气动加热效应是一个重要的问题。

通过CFD技术，可以模拟高速飞行器在大气中的运动过程，计算飞行器表面的气动加热效应，预测表面温度分布，为飞行器的材料选型和热防护设计提供支持。

CFD还可以分析飞行器在高速空气流动中的传热传质特性，为飞行器的热控系统设计提供依据。

三、飞行器结构强度分析飞行器在飞行过程中受到气动载荷的作用，需要具有足够的结构强度来抵抗这些载荷。

通过CFD技术，可以模拟飞行器在不同飞行状态下的气动载荷分布，计算飞行器结构的受力情况，预测飞行器的结构强度和疲劳寿命，为飞行器的结构设计和材料选型提供支持。

四、飞行器操纵性和稳定性分析飞行器的操纵性和稳定性是飞行器设计中的重要问题。

通过CFD技术，可以模拟飞行器在不同飞行状态下的气动力和力矩，分析飞行器的操纵性和稳定性特性，预测飞行器在不同操纵情况下的姿态变化和响应特性，为飞行器的操纵系统设计提供支持。

五、飞行器冲击波和湍流控制分析在超声速飞行器研制中，冲击波和湍流控制是关键技术。

通过CFD技术，可以模拟飞行器在超声速飞行状态下的流场特性，分析冲击波和湍流的产生和传播机理，为飞行器的冲击波控制和湍流控制技术提供支持。

六、飞行器燃烧和推进系统分析飞行器的燃烧和推进系统是飞行器性能的关键因素。

飞行器设计中的计算流体力学应用在现代航空航天领域，飞行器的设计是一项极其复杂且具有挑战性的任务。

为了实现更高效、更安全、更先进的飞行器性能，各种先进的技术和方法被不断引入。

其中，计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称 CFD）已经成为飞行器设计中不可或缺的重要工具。

计算流体力学是通过数值计算方法来求解流体流动的控制方程，从而模拟和预测流体流动现象的一门学科。

在飞行器设计中，它主要用于分析飞行器周围的气流流动情况，为飞行器的外形设计、气动性能优化以及飞行稳定性评估等方面提供关键的理论支持和技术指导。

首先，CFD 在飞行器外形设计中发挥着重要作用。

飞行器的外形直接影响其在空气中的气动特性，而传统的设计方法往往依赖于经验和大量的风洞试验。

然而，风洞试验不仅成本高昂、周期长，而且在某些复杂流动情况下难以准确测量。

CFD 技术则可以在设计的早期阶段，快速地对不同外形方案进行模拟和评估。

例如，在设计飞机机翼时，通过 CFD 可以分析不同翼型、翼展、后掠角等参数对升力、阻力和俯仰力矩的影响，从而筛选出最优的外形设计方案。

同样，对于飞行器的机身、发动机进气道、尾翼等部件，CFD 也能够提供详细的流动分析，帮助设计师优化外形，减少气动阻力，提高飞行效率。

其次，CFD 有助于优化飞行器的气动性能。

通过对飞行器周围流场的精确模拟，CFD 可以揭示气流分离、漩涡产生和发展等流动现象，为改善气动性能提供依据。

比如，在设计高速飞行器时，激波的产生和发展会导致巨大的阻力增加和热负荷问题。

CFD 能够准确预测激波的位置和强度，为设计师采取措施减弱激波影响提供指导。

此外，CFD 还可以用于优化飞行器表面的粗糙度分布，降低摩擦阻力；研究飞行器在不同飞行姿态和速度下的气动特性，为飞行控制系统的设计提供数据支持。

再者，CFD 在飞行器飞行稳定性评估方面具有重要意义。

飞行器在飞行过程中需要保持稳定的姿态和可控性，这与气流对飞行器的作用力和力矩密切相关。

20世纪30年代，由于飞机工业的需要、要求用流体力学理论来了 解和指导飞机设计。 当时，由于飞行速度很低，可以忽略粘性和旋涡，因此流动的模 型为Laplace方程，研究工作的重点是椭圆型方程的数值解。利用 复变函数理论和解的迭加方法来求解析解。 随着飞机外形设计越来越复杂，出现了求解奇异边界积分方程的 方法。以后，为了考虑粘性效应，有了边界层方程的数值计算方 法，并发展成以位势方程为外流方程，与内流边界层方程相结合， 通过迭代求解粘性干扰流场的计算方法。
1.计算流体力学的发展及应用
在同一时期，许多数学家研究了偏微分方程的数学理论， Hadamard，Courant，Friedrichs等人研究了偏微分方程的基本特 性、数学提法的适定性、物理波的传播特性等问题，发展了双曲 型偏微分方程理论。以后，Courant，Friedrichs，Lewy等人发表 了经典论文，证明了连续的椭圆型、抛物型和双曲型方程组解的 存在性和唯一性定理，且针对线性方程的初值问题，首先将偏微 分方程离散化，然后证明了离散系统收敛到连续系统，最后利用 代数方法确定了差分解的存在性；他们还给出了著名的稳定性判 别条件：CFL条件。这些工作是差分方法的数学理论基础。
1.计算流体力学的发展及应用
随着计算流体力学在工程技术应用中的迅速推广，计算流体力学 也逐渐软件化。CFX、FLUENT、PHOENICS、CFD2000、CFD++ 等一大批计算流体力学软件已经商品化。这些商业软件既有通用 的也有作为特殊用途的专业软件。这些软件能方便地处理工程技 术领域内的各种高难度复杂问题，因而极具吸引力。然而计算流 体力学软件在某些领域的应用还不成熟，有必要在计算精度、功 能的强化、计算的效率、收敛性和操作的简单化等方面作进一步 的完善。

矢量场中的旋度相当于标量场中的梯度。
①在直角坐标系中：A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k
i rotA
x P
jk y z Q R 第18页/共56页
（21）
一、向量分析初步
5、向量场的环量及旋度
rot A 0 有旋运动， rot A 0 无旋运动。应当指出，流体微团 是否作有旋运动，需视微团是否围绕着通过流体微团的瞬时 轴旋转，而并非决定于流体微团轨迹的几何形状。
a(t) ax (t)i ay (t) j az (t)k （10） 结论：
向量导数在坐标轴上的投影等于相应的向量投 影的导数。
向量的导数在几何上为一切向矢量。
da(t) a(t) dt
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一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
一个流体微团在空间的位置可用坐标 x, y, z 确定，也可用向径确定：
一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
da(t) lim a(t) dt t0 t
lim
t0
ax (t t
)
i
ay (t) t
j
az (t) t
k
dax (t) i day (t) j daz (t) k
dt
dt
dt
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一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
dx i dt
dy dt
j
dz dt
k
vxi vy j vzk
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（11）
一、向量分析初步
3、数量场的梯度
若在数量场 x, y, z 中的一点 p
处，存在着矢量 G ，其方向为函数

汽车气动特性分析1.汽车模型图1为原设计图，图2为二维简化模型示意图：图 1 汽车模型设计图图 2 简化模型示意图2. 题目要求流体属性：空气静温T=300K 、静压Pa p 510015.1⨯=、气体常数R=8314./29.、比热比4.1=γ，只计算层流。

（1）工况一：汽车在地面行驶，速度分别为：12、120、240km/h ，对应马赫数取为Ma = 0.01、0.1、0.2。

（2）工况二：假设汽车在天空飞行，速度分别为：Ma = 0.2、0.8、2.0。

（3）分别采用基于密度的算法和基于压力的算法。

输出结果：（1）网格生成推荐采用ICEM ，要求在Tecplot 中显示温度场、压力场、马赫数分布、流线图；（2）对比分析当Ma = 0.2时工况1和工况2流场的差别。

（3）对于工况二，Ma = 2.0，基于密度的算例在原网格(大约100*80)基础上加密1倍(200*160)，分析网格对计算结果的影响。

（4）比较采用基于密度的算法和基于压力的算法的收敛情况。

（5）分析汽车的阻力和升力随行驶速度的变化规律。

（6）在完成二维计算的基础上，尝试采用三维模型计算可获得加分(工况1或者工况2，Ma = 0.2)。

3. 输出结果3.1. 工况一网格如图3所示（140*80）：图 3 工况一网格3.1.1.温度场图 4 基于密度0.01马赫图 5 基于密度0.1马赫图 6 基于密度0.2马赫注：初始温度设置为300K 图7 基于压力0.01马赫图8 基于压力0.1马赫图9 基于压力0.2马赫3.1.2.压力场图10 基于密度0.01马赫图11 基于密度0.1马赫图12 基于密度0.2马赫注：初始压强设置为101325Pa 图13 基于压力0.01马赫图14 基于压力0.1马赫图15 基于压力0.2马赫3.1.3.马赫数分布图16 基于密度0.01马赫图17 基于密度0.1马赫图18 基于密度0.2马赫图19 基于压力0.01马赫图20 基于压力0.1马赫图21 基于压力0.2马赫3.1.4.流线图图22 基于密度0.01马赫图23 基于密度0.1马赫图24 基于密度0.2马赫图25 基于压力0.01马赫图26 基于压力0.1马赫图27 基于压力0.2马赫3.2.工况二网格如图28所示（100*80）：图28 工况二网格（计算结果图见下一页）3.2.1.温度场图29 基于密度0.2马赫图30 基于密度0.8马赫图31 基于密度2马赫注：初始温度设置为300K 图32 基于压力0.2马赫图33 基于压力0.8马赫图34 基于压力2马赫3.2.2.压力场图35 基于密度0.2马赫图36 基于密度0.8马赫图37 基于密度 2.0马赫注：初始压强设置为101325Pa 图38 基于压力0.2马赫图39 基于压力0.8马赫图40 基于压力 2.0马赫3.2.3.马赫数分布图41 基于密度0.2马赫图42 基于密度0.8马赫图43 基于密度 2.0马赫图44 基于压力0.2马赫图45 基于压力0.8马赫图46 基于压力 2.0马赫3.2.4.流线图图47 基于密度0.2马赫图48 基于密度0.8马赫图49 基于密度 2.0马赫图50 基于压力0.2马赫图51 基于压力0.8马赫图52 基于压力 2.0马赫3.3.对比分析当Ma = 0.2时工况1和工况2流场的差别3.4.对于工况2，Ma = 2.0，基于密度的算例在原网格(大约100*80)基础上加密1倍(200*160)，分析网格对计算结果的影响网格对比如下：图53 100*80网格图54 200*160网格计算结果如下所示：总结：加密网格后结果的连续性较差。

6.Navier –Stokes 方程的数值解法，包括湍流模型理论， N-S方程的有限体积法，涡流函数解法。Numerical methods for Navier-Stokes Eqs, include turbulence models, finite volume method for N-S Eqs. 7.网格设计：包括集合生成方法，保角变换法，微分方程 法，混合方法，动网格设计Mesh design includes geometric meshing method, angle conservation method, TTM method, Vortex –streamline method,moving grids
3.特征线方法的概念和应用 Concept and application of characteristic line method
4.跨音速定常小扰动势流混合差分法及隐式近似因 式分解Small perturbation method for nd Approximate Factorization(AF) 5.时间推进法：包括守恒的非定常欧拉方程组等 Time march methods, includes conservational unsteady Euler Eqs.
2.相容性(consistency)
差分方程对微分方程的近似程序How approximate is the FDE to PDE
3.稳定性(stability)
描述差分解在计算过程中的发展To indicate the development of the error of FDE 误差对后续计算的形象问题（影响小时或者有界） It reflects the influence of error of the following computation

迁移方程()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>=∂∂+∂∂, 00 x x F t x u a x u a t u其通解为)(),(at x F t x u -=实际上二元函数),(t x u 变成了以at x -为自变量的一元函数.由图可见,迁移方程的解是沿C at x =-的直线族随时间向下游传播的, C at x =-就是迁移方程的特征线, 一般用斜率形式表示特征线a dt dx = (或adx dt 1=)ul 21hhhlxt∆t∆ta ∆ta ∆2At a l ∆+21t a l ∆+221)(x F )(t a x F ∆-)2(t a x F ∆-tta l ∆+2ta l ∆+lx =-0=-at x 2lat x =-2+n 1+n n 2+n 1+n n2+i 2+i 1+i 1+i ii1-i 1-i 2-i 2-i A后差格式影响域前差格式依赖域前差格式影响域后差格式依赖域adx dt 1=adx dt 1=xt依赖域——如果求解域中某一点A 只受到上游某一区域内发生的扰动的影响，则称该区域是点A 的依赖域；影响域——如果求解域中某一点A 上发生的扰动影响下游的某个区域，则称这个区域是点A 的影响域；CFL 条件——双曲型方程显式格式收敛（或稳定）的必要条件是差分方程的依赖域包含原微分方程的依赖域（从而将特征线包含进去）。

CFL 条件经常被归纳为克朗数小于等于1， 即1c ≤∆∆=xta一些常见的格式 对于迁移方程0=∂∂+∂∂xu a t u ()0>a (5-1) 1. Euler 显式格式xu u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆--+11 (5-2) 其等价微分方程为:()()()33332222,1612t x xu c x a x u c x a x u a t u ∆∆+∂∂-∆-∂∂-∆=∂∂+∂∂ο 可见它是一阶精度格式.稳定性条件是: 1≤c ⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=x t a c2. Lax 格式()1111122n n n n n i i i i i u u u u u atx++-+--+-=-∆∆ (5-3) 其等价微分方程为() +∂∂-∆-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∂∂+∂∂3322221612x u c x a xu c c x a x u a t u 稳定性条件是: 1≤c比较Lax 格式和后差格式的误差大小:()()c c c c cc x a c c x a +=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆11112122当5.0=c 时, 上式为3，Lax 格式的误差远大于后差格式.3. 跳点格式(Leap Frog Method)xu u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆--+-+221111 (5-4)其等价微分方程()()+∂∂-∆-∂∂-∆-=∂∂+∂∂55443322112016xu c x a x u c x a x u a t u 可见其精度为二阶.稳定性条件:1≤c4. Lax-Wendroff 格式2112111222xu u u a t x u u a t u u n i n i n i n i n i n i n i ∆+-∆+∆--=∆--+-++ (5-5) 或写成()()n i n i n i n i n i n i n i u u u cu u c u u 112111222-+-+++-+--=稳定性条件: 1≤c5. MacCormack 格式 预测步 ()n i n i n i n i u u c u u 11-+--=校正步()[]1121++--+=ii i n i n iu u c u u u或写成:()n i n i n i n i u u c u u 11-+--=()11111+++++--=n in i n i n i u u c u u ()1121+++=n i ni n iu u u其等价微分方程为(与L-W 格式相同)(5-6)()() +∂∂-∆+∂∂-∆-=∂∂+∂∂4423332212416xuc c x a x u c x a x u a t u可见它是二阶精度格式.6. Euler 隐式格式xu u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆-+-+++211111 (5-7) 稳定性条件: 无条件稳定 等价微分方程为:+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-∂∂∆=∂∂+∂∂33223222632xux a t a x u t a x u a t u 或() +∂∂+∆-∂∂∆=∂∂+∂∂3322221262xu c x a x u t a x u a t u (一阶精度) 隐式格式形成三对角方程组(用追赶法求解)ni n i n i n i u u c u u c =++-++++-1111122 7. Crank-Nicolson 格式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-+∆--=∆-+-++-++x u u x u u a t u u n i n i n i n i n i n i 2221111111 (5-8) 稳定性条件: 无条件稳定 其等价微分方程为:+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆∆+∆-∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-=∂∂+∂∂55442234332238024120612x ut a x t a x a x u x a t a x u a t u 可见它是二阶精度格式.。