MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture9

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美国MIT信号与系统课程的基本结构

MIT 2009 年秋季学期信号与系统课程教学日程表 Wednesday / Recitation 备注教学内容 Thursday / Lecture 教学内容 L1 ： Signals and Systems L3 ： Feedback， Cycles and Modes L5 ： Feedback Control Schemes L7 ： Laplace Transforms and Z Friday / Recitation 教学内容 R2 ： Difference Equations R4 ： Feedback， Cycles and Modes R6 ： Feedback Control Schemes R8 ： Laplace Transforms and Z
பைடு நூலகம்
由 S． Mahajan 和 D． Freeman 于 2009 年编著的《离。教学内容涵盖了散时间信号与系统：算子法》 Oppenheim著作的全部主要内容。此外，还包括补充
表1 日期 / 课型周次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tuesday / Lecture 教学内容（ Registration Day） L2 ： DT Systems L4 ： Feedback and Position Control L6 ： CT Systems，Difference Eqs． L8 ： CT Operator Representations （ For Columbus Day） L11 ： Frequency sponse ReHW1 due HW2 due HW3 due EX4 HW5 due HW6 due EX7 HW8 due HW9 due EX10 HW11 due HW12 due EX13

MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture2

Observation: Even if the independent variable is time, there are interesting and important systems which have boundary conditions.
6
Ex. #5
• A rudimentary “edge” detector
“Proof” a) Suppose system is causal. Show that (*) holds.
b) Suppose (*) holds. Show that the system is causal.
19
LINEAR TIME-INVARIANT (LTI) SYSTEMS • Focus of most of this course - Practical importance (Eg. #1-3 earlier this lecture are all LTI systems.) - The powerful analysis tools associated with LTI systems
16
LINEARITY
A (CT) system is linear if it has the superposition property: If x1(t) →y1(t) and x2(t) →y2(t) then ax1(t) + bx2(t) → ay1(t) + by2(t)
y[n] = x2[n] Nonlinear, TI, Causal y(t) = x(2t) Linear, not TI, Noncausal Can you find systems with other combinations ? -e.g. Linear, TI, Noncausal Linear, not TI, Causal

信号与系统课件

y(t) x2 (0 )
t
f ( )d
0
。
【解】根据线性系统定义，
（1）该系统满足分解性，但不满足零态线性和零输入线性。
（2）该系统满足分解性和零输入线性，但不满足零态线性。
（3）该系统满足分解性和零态线性，但不满足零输入线性。
需要说明得就是,若用数学语言表述,线性系统就就是服从
线性方程得系统。这里得线性方程既可以就是线性代数方程、
由于激励信号得作用,系统状态有可能在t=t0时刻发生跳变, 为区分前后得数值,以t0-表示激励接入之前得瞬时,以t0+表示激励接入以后得瞬时。系统得起始状态指得就是, 激励接入前一刹那系统得状态,记为x1(t0-), x2(t0-), …,xn(t0-)。显然,这组数据记录了系统过去历史所有得相关信息。系统得初始状态指得就是, 激励接入后一刹那系统得状态,记为x1(t0＋), x2(t0＋), …, xn(t0＋) 。
t＝ 0
S 激励 E
系统 R
C
响应 uC(t)
(a) 系统结构
uC(t) E
0 t
(b) 没有起始状态的响应
图 2-2 没有起始状态得RC充电电路及其响应
在图2-3中,电路处于稳定状态,即uC(0-)=E1。t=0时刻把开
关S扳到2位,根据电路理论中得换路定律可知,电容得端电压不
输入信号 f (t)
系统
输出信号 y (t)
(a) 简单系统
… …
… …
输入信号 f1(t) f2(t)
fn(t)
输出信号 y1(t)
系统
y2(t)
ym(t)
(b) 多输入 /多输出系统

信号与系统课程讲义lec09_4.4-6.3

作业讲解4||3.34()t LTI h t e -=考虑一连续时间系统，其单位冲激响应为作讲解(7)系统的频率响应为e 解：系统的频率响应为作业讲解ω考虑一连续时间其频率响应是作讲解(7)ω连续时间，其频率响应是是一个基波周期个基波周期。

问对于什么样的值，才有的傅里叶级数系数，H 时，实验实验实验Th C l ti P tThe Convolution Property 4.4 卷积性质44卷积质4.4 卷积性质44卷积质4.4 卷积性质44卷积质Th M lti li ti P tThe Multiplication Property ↔s t S ω↔t P ω若()(j )()(j )p个信号称为载波，另一个是调制信号。

个，个例1. 正弦幅度调制:()r t ()s t t13()S j ω4.5 相乘性质45乘质14.5 相乘性质45乘质4.5 相乘性质45乘质4.5 相乘性质45乘质X ω()j 0-ω0j e tω1()Y j ω理想低通的频率响应ω0ωc ω-cω(j )W ωc ωωω-0ω-S Ch i d b Li C C ffi i Diff i l E iSystems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations M)()()(2t dx t dy t y d 例：例本章小结本章结实验信号与系统的时域和频第6章域特性本章主要内容本章要容 6.0 引言引h i d h i f h i f The Magnitude-Phase Representation of the Fourier Transform 6.1 傅里叶变换的模和相位表示傅里叶变位表(a)原图像(b)图(a)的二维傅立叶变换的模30 (c)图(a)的二维傅立叶变换的相位(d)傅立叶变换的模与(b)相同,而相位为零6.1 傅里叶变换的模和相位表示傅里叶变位表(e)傅立叶变换的模为1,相位与(c)相同(f)相位与(c)同,模为图(g)的傅立叶变换的模31(g)另一幅灰度图像Th M i d Ph R i f h F R f LTI SThe Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systemsωω=The Ideal Frequency Selective Filters The Ideal Frequency-Selective Filters6.3 理想频率选择性滤波器3频率择滤器Sa()==c t ω1()H j ωt ππωcωcω-40连续时间理想低通滤波器6.3 理想频率选择性滤波器3频率择滤器ω-则[]sin ()()Sa ()()c c c t h t t t ωαωαππα=-=-()h t /c ωπt41α6.3 理想频率选择性滤波器3频率择滤器πππ2s t()t43。

信号与系统课程介绍课件

详细描述
线性是指系统的输出与输入成正比关系，满足叠加原理；时不变性是指系统的特性不随时间的变化而变化；因果性是指系统的输出只与过去的输入有关，与未来的输入无关；稳定性是指系统在受到一定程度的干扰后能够恢复到原来的状态。了解这些基本特性有
助于更好地理解和分析系统的行为。
04
信号与系统的关系
系统的定义与分类是系统基础知识的重要组成部分，它有助于理解系统的基本概念和性质。
详细描述
系统是指由相互关联、相互作用的元素组成的集合，这些元素之间相互作用，共同完成特定的功能或目标。根据不同的分类标准，系统可以分为线性系统、非线性系统、时不
变系统、时变系统等。
系统的数学模型
总结词
系统的数学模型是描述系统行为的重要工具，它可以通过数学方程来描述系统的输入和输出之间的关系。
实验报告撰写规范
实验目的与意义
学生需在报告中明确实验目的和意义，阐述实验的重要性。
实验步骤与结果
学生需详细记录实验步骤和实验结果，包括数据记录、图表绘制等。
ABCD
实验原理
学生需简要介绍实验所涉及的原理和方法，为实验操作提供理论依据。
分析与结论
学生对实验结果进行分析和讨论，得出结论，并指出实验中存在的问题和改进方向。
信号的数学表示方法
总结词
信号可以用各种数学工具进行表示和分析，如时间域和频域表示法。
详细描述
在时间域中，信号可以表示为随时间变化的函数，通过导数、积分等数学运算可以分析信号的形状、幅度、频率等特性。在频域中，信号可以表示为频谱或傅里叶级数，通过分析频谱可以了解信号的频率成分和频率特性。
信号的基本特性
第三周
系统的稳定性、性能分析和优化方法。

清华大学《信号与系统》第九讲

1 ⎛s⎞ L [ f (at )] = F ⎜ ⎟ a ⎝a⎠
( a > 0)
1 ⎛ω ⎞ 比较：F [ f ( at )] = F ⎜ ⎟ a ⎝a⎠
(七) s域微分
dF ( s ) = L [− tf (t )] ds
⇒思考题18：证明s域微分特性
23
清华大学电子工程系
陆建华
§4.3
L-变换的基本性质
L变换侧重于系统分析
3
清华大学电子工程系
陆建华
§4.1 引言
本章重点： L-变换在系统分析中应用，如系统函数的概念、系统时域特性、系统频域特性、系统稳定性分析等。本章思路： L-变换定义、性质→结合系统分析介绍L变换的应用
4
清华大学电子工程系
陆建华
第四章拉普拉斯变换
§4.2 L-变换定义及其收敛性
清华大学电子工程系
[ ]
16
陆建华
§4.2 L-变换定义及其收敛性
1 n = 1 ，易得 L [t ] = 2 s 2 2 ⋅1 2 n = 2 ， L [t ] = ⋅ L [t ] = 3 s s
┇ ⇒
L [t ] =
n
n! s n +1
⎡ e jω 0 t − e − jω 0 t ⎤ ② L [sin ω 0 t ] = L ⎢ ⎥ 2 j ⎣ ⎦
单边L-变换
(Unilateral or Single-sided) 本课程重点
下限取 − ∞ 称为双边L-变换(Bilateral or Double-Sided) F -变换与L-变换比较： F -变换
t → ω
L-变换
t → s s = σ + jω 复频域

MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture5

Desirable Characteristics of a Set of “Basic” Signals a. We can represent large and useful classes of signals using these building blocks
b. The response of LTI systems to these basic signals is particularly simple, useful, and insightful
- As N→ ∞, xN(t) exhibits Gibbs’ phenomenon at points of discontinuity
Demo:Fourier Series for CT square wave (Gibbs phenomenon).
Portrait of Jean Baptiste Joseph Fourier
Image removed due to copyright considerations. Signals & Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1997, p. 179.
•
For real periodic signals, there are two other commonly used forms for CT Fourier series:
or
•
Because of the eigenfunction property of e jωt , we will usually use the complex exponential form in 6.003.

粒子物理与核物理实验中的数据分析lecture_9-最小二乘法

j =1
m
θ 没有偏置，而且得到的方差
最小(高斯-马尔可夫定理)。
ˆ
这里 aj(x) 是 x 的任意线性独立函数。用矩阵来表示时，令 Aij=aj(xi)，有
χ 2 (θ ) = ( y − λ )T V −1 ( y − λ ) = ( y − Aθ )T V −1 ( y − Aθ )
对θ i 求偏微分，并令结果等于零，有
据此来计算P-值 P =
∫χ
∞
2 min
f ( z; nd )dz
例如考虑在前面双参数拟合的情况
2 χ min = 3.99, N − m = 3 → P = 0.263
也就是说，重复实验多次，有26.3% 的值将大于 χ2min 。而对于水平线拟合，有
2 χ min = 45.5, N − m = 4 → P = 3.1×10 −9
16最小二乘法处理分区数据最小二乘法拟合使得下式有最小值在有个区间填入次的直方图中假设概率密度函数maxmindxnp最小二乘法改进的最小二乘法虽方便了计算但对于有些区间频数太少时min不再服从最小二乘的概率密度分布函数或无定义改进后的最小二乘法17最小二乘法的归一化问题例如nmaxmin尽量避免拟合规一化常数
(
)
(
)
那么其对数似然函数为
1 N log L(θ ) = − ∑ [ yi − λ ( xi ;θ )](V −1 )ij [ y j − λ ( x j ;θ )] 2 i =1
也就是说，我们应求下式的最小值
χ (θ ) = ∑ [ yi − λ ( xi ;θ )](V −1 )ij [ y j − λ ( x j ;θ )]
x = ( x1 ,..., xm ) = 真值 χ 2 ( x ) = ( x '− x )T V −1 ( x '− x ) = 最小 ' ' x ' = ( x ,..., x 1 m ) = 观测值 ψ i(x )=0, i = 1,..., l (共l个约束条件)

MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture7

Note: To really understand these examples, we need to understand frequency contents of aperiodic signals ⇒ the Fourier Transform
Note for DT:
Passband
Stopband
Highpass Filters
Remember: highest frequency in DT
high frequency
high frequency
Bandpass Filters
Demo: Filtering effects on audio signals
Example #1: Audio System
Adjustable Filter
Equalizer
Speaker
Bass, Mid-range, Treble controls
For audio signals, the amplitude is much more important than the phase.
Signals and Systems
Fall 2003 Lecture #7
25 September 2003
1.
Fourier Series and LTI Systems
2.
Frequency Response and Filtering
3.
Examples and Demos
The Eigenfunction Property of Complex Exponentials
Example #2: Frequency Selective Filters

《信号与系统》课程讲义课件

《信号与系统》课程讲义课件
这份课程讲义课件为大家提供了关于《信号与系统》的详细介绍，让您轻松了解这一重要学科。
课程简介
这门课程涵盖了数字信号处理和系统分析的基础知识，旨在让学生了解信号的特性、表示和处理方法，以及在实际应用中的相关工具和技能。
1 信号分析
了解不同类型的信号及其特性，如周期信号、离散信号和非周期信号等
1
分析总结
对意见和反馈进行深入分析和总结
3
改进课程
针对性改进课程和教学方法
作业和考核方式
为了评估学生对课程知识的掌握程度，我们采用以下方式进行作业和考核：
作业
• 每周一次作业 • 包括习题集、实验和项目作业等 • 占总评成绩的30%
考试
• 期中、期末闭卷考试 • 包括理论和实践题目 • 占总评成绩的70%
课程反馈和改进
我们非常重视您的反馈，它将帮助我们不断改进课程和教学方法。请通过学校邮件系统或班级论坛，随时提出您的意见和建议。
数字信号处理应用
掌握数字信号处理相关的技术和应用，如音频处理和图像处理等
课程大纲
第一章第二章第三章第四章第五章第六章
信号与系统的基本概念时域分析方法傅里叶分析方法滤波器离散信号的频域分析离散信号的滤波器设计
教学方法
为了帮助学生更好的掌握课程内容，我们采用了以下教学方法：
小组讨论
2 系统分析
掌握系统的基本概念，如线性时不变系统、滤波器和傅立叶变换等
3 信号处理方法
学会数字信号处理的基本方法，如离散傅立叶变换、数字滤波器和采样等
课程目标
通过本课程，学生将获得以下核心能力:
分析信号
了解信号的特性并进行分析，从而为实际应用提供解决方案

信号与系统课程讲义lec13_9.5-9.7

0
t
lim x(t) lim sX (s)
t
s0
21
9.6 常用拉氏变换对
Some Laplace Transform Pairs
u(t) e at u (t )
t nu(t) (t) (t t0 )
1 S
1 s a
n! s n1 1
e st0
23
9.5 拉氏变换的性质

s
ROC : 包括 R (Re[s] 0)
t x( )d x(t) u(t)
t x( )d 1 X (s)

s
ROC :包括 R (Re[s] 0)
17
9.5 拉氏变换的性质
6. 卷积性质:（Convolution Property）
若 x1 (t ) X 1 (s), R O C : R1

3 T
，证明：y(t)正比于x(t) cos wct, wc

2 T
。
(b)如果wM , wl和wh与(a)中给出的相同，但是不一定为零，证明：y(t)正比于
x(t) cos(wct c )，并用T和来确定wc和c。
(c)在y(t)仍正比于x(t) cos(wct c )的前提下，确定与T有关的最大wM容许值。
当R1与R2无交集时，表明 X(s)不存在。
8
9.5 拉氏变换的性质
例. x(t) etu t ,
X (s) 1 , 1 s 1
x(t) e2t e3tut
X (s 2) 1 s3
显然 R O C : R e[s] 3
10
9.5 拉氏变换的性质
X
(

MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture8

b) x(t) real and odd
Purely imaginary &
c) For real
Properties of the CT Fourier Transform
1) Linearity
2) Time Shifting Proof: FT magnitude unchanged
Linear change i源自 FT phaseProperties (continued)
3) Conjugate Symmetry
— All the energy is concentrated in one frequency — ωo
More generally
Example #4:
“Line spectrum”
Example #5:
— Sampling function
Same function in the frequency-domain! Note: (period in t) T ⇔ (period in ω) 2π/T Inverse relationship again!
Fourier’s Derivation of the CT Fourier Transform
•
• •
x(t) - an aperiodic signal - view it as the limit of a periodic signal as T → ∞
For a periodic signal, the harmonic components are spaced ω0 = 2π/T apart ... As T → ∞, ω0 → 0, and harmonic components are spaced closer and closer in frequency

信号与系统概论课件

系统的数学模型
03
描述信号通过系统的响应，通常使用差分方程或微分方程来建立系统的数学模型。通过求解这些方程，可以得到系统对不同类型信号的响应。
信号的时域和频域表示
在信号处理中，信号可以在时域或频域进行表示和分析。系统对信号的变换可以在时域或频域进行，从而改变信号的特性。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种常用的信号变换方法。通过傅里叶变换，可以将信号从时域转换到频域，分析信号的频率成分；通过拉普拉斯变换，可以将信号从时域转换到复平面，用于分析信号的稳定性和收敛性。
通过傅里叶变换将信号转换为频域表示，可以对信号进行压缩编码，减小存储和传输的数据量。
01
频谱分析
通过傅里叶变换将信号分解成不同频率分量的组合，可以分析信号的频率成分和特征。
02
信号去噪
利用傅里叶变换将信号转换到频域，对噪声进行滤除，从而实现信号的去噪处理。
在进行傅里叶变换之前，需要对信号进行采样，采样频率应满足一定条件，否则会产生频谱混叠。
稳定性定义
1
2
3
通过计算系统的极点和零点，可以确定系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。
劳斯-赫尔维茨判据
通过分析系统的频率响应，可以确定系统的稳定性。如果系统的频率响应在负频率范围内没有穿越虚轴，则系统是稳定的。
奈奎斯特判据
通过绘制系统的伯德图，可以观察系统的稳定性。如果系统的相角在无穷远处趋于-π，则系统是稳定的。
对于某些非稳定信号，傅里叶变换可能无法得到正确的结果，需要进行适当的预处理或采用其他变换方法。
稳定性
采样定理
05
系统的稳定性分析
பைடு நூலகம்
VS

MIT信号与系统网络课程练习题答案

1 x(−t) 2
1 t
−4 −2
-1
2
4
1
xe (t)
t
−4 −2
-1
2
4
8
xo (t)
1 t
−4 −2
-1
2
4
The value of the even part (and the odd part for that matter) at t = 0 is ambiguous as it depends on how the plot for x(t) is deﬁned at t = 0. The plots in this solution assume that the value of x(t) at t = 0 is halfway between 0 and 2, i.e. 1. Using a diﬀerent deﬁnition you may get an even part that is discontinuous at t = 0. This is also correct provided it is consistent with your assumption of what the value of x(t) is at the discontinuity. For instance, if you assume that x(0) = 2, then the plot of the even part will have a “spike” at t = 0 of height 2.
t x(1 − 3 )
2 1 9 t
−6 −3
3
6
−1
t Figure 2.a.3: x(1 − 3 )

《信号与系统讲义》课件

《信号与系统讲义》PPT 课件
信号与系统是理解和分析信号处理的基础。本课件将介绍信号与系统的基本概念、时域信号与频域信号、连续信号与离散信号、线性时不变系统、卷积运算、采样与重构，以及系统的频率响应和频率特性。
信号与系统的基本概念
了解信号与系统的基本概念是理解信号处理的关键。本节将介绍信号的定义、分类以及常见的信号类型，以及系统的定义和特性。
卷积运算
卷积运算是信号处理中常用的操作。本节将介绍卷积运算的定义和性质，并通过实例演示如何使用卷积运算来处理信号。
采样与重构
采样是将连续信号转换为离散信号的过程，而重构则是将离散信号还原为连续信号的过程。本节将介绍采样和重构的原理和方法。
பைடு நூலகம்
系统的频率响应和频率特性
系统的频率响应和频率特性描述了系统对不同频率的信号的响应情况。本节将介绍频率响应和频率特性的概念，以及它们在信号处理中的应用。
时域信号与频域信号
在信号处理中，时域信号和频域信号是两种常见的表示方式。本节将解释时域和频域的概念，以及如何在两个域中相互转换。
连续信号与离散信号
信号可以是连续的，也可以是离散的。本节将讨论连续信号和离散信号的区别，以及在信号处理中如何处理这两种类型的信号。
线性时不变系统
线性时不变系统是信号处理中常用的模型。本节将介绍线性时不变系统的基本概念和特性，以及如何利用系统的响应来分析信号的处理过程。

信号与系统概论

其中 K为振幅，正弦信号的周期
是角频率，称为初相位。
T ，其2中是1 频率。
与指数f 信号相似，正弦信号对时间的f 微分
或积分仍是正弦信号
若信号有有限功率，则称为功率有限信号。能量有限信号一定是功率有限信号；反之，则未必。
例如：正弦信号是功率有限信号，却是能量无限信号。
能量信号和功率信号的判断方法
判断能量信号和功率信号的方法：
先计算信号能量，若为有限值则为能量信号，同时也必是功率信号；否则，计算信号功率，若为有限值则为功率信号；若上述两者均不符合，则信号既不是能量信号，也不是功率信号。
信号时间变量运算的物理意义
信号的折叠变换，就是将“未来”与“过去”互换，这显然是不能用硬件实现的，所以并无实际意义，但它具有理论意义。
信号的时移变换用时移器(也称延时器)实现，当 t0＞0时，延时器为因果系统，是可以用硬件实现的；当t0＜0时，延时器是非因果系统，此时的延时器变成为预测器。
f (t) f1 (t nT )
n
二、周期信号与非周期信号
非周期信号可以认为是周期为无穷大的周期信号；
常见的非周期信号是有限持续时间（finite duration）信号，即仅在一有限时间区间内存在的信号，如图1-1(a) 所示。图1-1(b)是无限持续时间的非周期信号。
判断周期信号的方法
时段总能量 t2 p(t)dt
平均功率 t1
t2 t1
1 R
v
2
(t
)dt
1
t2 t1
t2 t1
p(t)dt
1 t2 t1
t2 t1
1 R
v2
(t
)dt

信号和系统教学讲义共87页

Thank you
信号和系统教学讲义
36、如果我们国家的法律中只有某种神灵，而不是殚精竭虑将神灵揉进宪法，总体上来说，法律就会更好。—— 马克·吐温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之时。— —威·皮物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律是丝毫没有力量的。 ——菲力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们迅速累聚，进而变成法律。 ——朱尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不容忽视的。— —爱献生
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

信号与系统讲稿

信号与系统讲稿第一讲：引言授课时数学时学习目标了解信号的传递学习重点、难点、通信系统的组成关键点学习模式视觉模式，听觉模式讲授过程学习讲授内容体系设计预备知识引题材料移动通信技术可以说从无线电通信发明之日就产生了。

1897年，M·G·马可尼所完成的无线通信试验就是在固定站与一艘拖船之间进行的，距离为18海哩。

而现代移动通信技术的发展始于上世纪20年代，大致经历了五个发展阶段。

35年前，谁也无法想象有一天每个人身上都有一部电话，被连接到这个世界。

如今，人们可以通过手机进行通讯，智能手机更如同一款随身携带的小型计算机，通过3G等移动通讯网络实现无线网络接入后，可以方便的实现个人信息管理及查阅股票、新闻、天气、交通、商品信息、应用程序下载、音乐图片下载等。

下让我们来回顾一下移动通信网络技术的发展简史。

第一阶段从上世纪20年代至40年代，为早期发展阶段。

在这期间，首先在短波几个频段上开发出专用移动通信系统，其代表是美国底特律市警察使用的车载无线电系统。

该系统工作频率为2MHz，到40年代提高到30～40MHz,可以认为这个阶段是现代移动通信的起步阶段，特点是专用系统开发，工作频率较低。

1946年10月贝尔电话公司启动车载无线电话服务第二阶段从上世纪40年代中期至60年代初期。

在此期间内，公用移动通信业务开始问世。

1946年，根据美国联邦通信委员会(FCC)的计划，贝尔系统在圣路易斯城建立了世界上第一个公用汽车电话网，称为‚城市系统‛。

当时使用三个频道，间隔为120kHz，通信方式为单工，随后，西德(1950年)、法国(1956年)、英国(1959年)等国相继研制了公用移动电话系统。

美国贝尔实验室完成了人工交换系统的接续问题。

这一阶段的特点是从专用移动网向公用移动网过渡，接续方式为人工，网的容量较小。

人工交换台第三阶段从上世纪60年代中期至70年代中期。

在此期间，美国推出了改进型移动电话系统(IMTS)，使用150MHz和450MHz频段，采用大区制、中小容量，实现了无线频道自动选择并能够自动接续到公用电话网。

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x[n] = x[n] for any n as N → ∞
DTFT Derivation (Continued)
DTFS synthesis eq. DTFS analysis eq.
Define
− periodic in ω with period 2π
DTFT Derivation (Home Stretch)
Example #2 from last lecture
Example #7:
- a rational function of jω, ratio of polynomials of jω Partial fraction expansion
inverse FT
Example #8: LTI Systems Described by LCCDE’s (Linear-constant-coefficient differential equations)
Amplitude modulation (AM)
Drawn assuming:
The Discrete-Time Fourier Transform Derivation: (Analogous to CTFT) except ejwn = ej(w+2π)n)
• x[n] – aperiodic and (for simplicity) of finite duration • N is large enough so that x[n] = 0 if |n| ≥ N/2 • x[n] = x[n] for [n] ≤ N/2 and periodic with period N
Larger at high ωo phase shift
Example #3:
Impulse Response of an Ideal Lowpass Filter
Questions: 1) Is this a causal system? No.
2) What is h(0)? 3) What is the steady-state value of the step response, i.e. s(∞)?
Example #1: Recall
inverse FT
Example #2:
A differentiator
- an LTI system
Differentiation property:
1) Amplifies high frequencies (enhances sharp edges)
2) +π/2 phase shift ( j = ejπ/2)
We already know that:
Then it isn’t a surprise that:
Convolution in ω
— A consequence of Duality
Examples of the Multiplication Property
For any s(t) ...
Example (continued)
A consequence of the eigenfunction property:
Synthesis equation for y(t)
The Frequency Response Revisited
impulse response
frequency response
The frequency response of a CT LTI system is simply the Fourier transform of its impulse response
Define: sinc(θ)
1
Example #4:
Cascading filtering operations
H(jω)
has a sharper frequency selectivity
Example #5:
Example #6:
Gaussian × Gaussian = Gaussian ⇒ Gaussian ∗ Gaussian = Gaussian
for every n
The sum in (*) → an integral The DTFT Pair Synthesis equation
Any 2π Interval in ω
Analysis equation
The CT Fourier Transform Pair
─ FT
(Analysis Equation)
─ Inverse FT
(Synthesis Equation) Last lecture: Today: some properties further exploration
Convolution Property
Signals and Systems
Fall 2003 Lecture #9
2 October 2003
1. 2. 3. 4.
The Convolution Property of the CTFT Frequency Response and LTI Systems Revisited Multiplication Property and Parseval’s Relation The DT Fourier Transform
Parseval’s Relation
Total energy in the time-domain
Total energy in the frequency-domain
- Spectral density
Multiplication Property
FT is highly symmetric,
Using the Differentiation Property
Transform both sides of the equan use PFE to get h(t) If X(jω) is rational e.g. x(t)=Σcie-at u(t) then Y(jω) is also rational

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