人教版九年级下册数学课件：27.3 位似图形(共23张PPT)

综合应用创新
(2)在网格纸中，以点O为位似中心画出△ABC的位似图形， 使△ABC与它的位似图形的相似比为12(不要求写画法). 思路引导：
综合应用创新
解：△ABC的位似图形如图27.3－10中的△A′B′C′和△A″B″C″.
综合应用创新
技巧点拨 画位似图形的技巧： 1. 对应点可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的异
感悟新知
(2)若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积. 解：根据题意，得SS△△AA′BB′CC′＝(12)2＝14， 即S△A7′B′C′＝14， ∴ S△A′B′C′＝7×4＝28.
知2－练
感悟新知
知2－练
3－1. 如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF， 若AD＝OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为( C ) A. 2 B. 8 C. 16 D. 24
学习目标
第二十七章 相似
27.3 位似
感悟新知
知识点 1 位似图形的定义
知1－讲
位似图形 与位似中
心
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点, 并且这点与对应顶点所连线段 成比例，那么这两个图形叫做位似图形, 这个 交点叫做位似中心
位似多边 形
对于两个多边形, 如果它们的对应顶点的连线 相交于一点, 并且这点与对应顶点所连线段成 比例，那么这两个多边形就是位似多边形
感悟新知
续表
知1－讲
位似 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在 与相 相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点，并 似的 且这点与对应顶点所连线段成比例; 区别 (2)位似图形是相似图形的特例，如果两个图形是位 与联 似图形, 那么这两个图形一定是相似图形, 但相似的 系 两个图形不一定是位似图形

（这时的位似比也是相似比）
明 对应点的连线相交于一点 确 位 似 交点与对应点所连线段成比例
相似图形
位似图形
生活中你见到哪些位似？举例说说
如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的 相似比并找出位似中心．
解：位似中心为点P，位似比分别为1:2、1:2、2:7.
动手操作
例1 把四边形ABCD缩小为原来 1 .
请同学们拿出两张形状相同的三角形纸片?摆一摆，你有什么发现？
（1）本节课你学习了哪些知识？
如果两个图形的对应点连线交于同一点，并且这一点与对应点所连线段成比例。
用以下方法可以近似地 把一个不规则图形放大：
例1 把四边形ABCD缩小为原来 .
交点与对应点所连线段成比例
两个图形上对应点在位似中心两侧，称为内位似。
作法二：
如果在四边形外任选一点O，分别在OA，OB，OC，
OD 的反向延长线上取点A‘， B’，C‘， D’，使得
OOAA＇=
OOBB＇=
OOCC＇=
OODD＇=
1 2
呢？点O取在四边形内
部呢？分别画出所得的四边形。
A D
B
C
C＇
O
D＇ B＇ A＇
A A＇ D＇ D
B B＇ O C＇
C
归纳小结
位似图形的画法 用以下方法可以近似地 把一个不规则图形放大：
C′
O
B′
A′
C
D
D
C D′ C′
O B′
A′
A 外位似B
外位似
D C
C′ D′
外位似A (A′)
B′
B
实践结论
一、位似中心可选任意位置，可在形外、形内、形上

分析:(1)根据位似比是1∶2，画出以O为位似中心的△A′B′C′； (2)根据勾股定理求出AC，A′C′的长，由于 AA′，CC′ 的长易得，相加即可求得四边形AA′C′C的周长．
解：(1)如图所示： (2)AA′=CC′=2． 在Rt△OA′C′中， OA′=OC′=2，得A′C′= 2 2 . 同理可得AC= 4 2 . ∴四边形AA′C′C的周长= 4 6 2.
对应边互相平行.
什么特征？ ABCD有什么关系？如果点O取在四边形ABCD内部呢？
例2 〈玉林〉△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC
△A′B′C′的位似比是1∶2，
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中
心. (4)是位似图 形，位似中心为点O；
A．2∶3 B．3∶2 例2 〈玉林〉△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC
【中考·漳州】如图，在10×10的正方形网格中，点 点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点． ABCD有什么关系？如果点O取在四边形ABCD内部呢？
C．4∶5 D．4∶9 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
巩固新知
1 如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行 吗？为什么？
C
解：AB∥CD. 理由如下： ∵△OAB和△OCD是位似图形， ∴△OAB∽△OCD. ∴∠OAB＝∠C. ∴AB∥CD.
2 【中考·东营】下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似 图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图 形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都 经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④ 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相 似比．其中正确命题的序号是( A ) A．②③ B．①② C．③④ D．②③④

忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面，至今 不肯忘 怀。
授课完毕 谢谢大家
授课人：某某某
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面，至今 不肯忘 怀。
2．每组对应点所在直线都经过
同一点．
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面，至今 不肯忘 怀。
显然，位似图形是相似图形的特殊情形， 其相似比又叫做它们的位似比.
D
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面，至今 不肯忘 怀。
D′
C C′
o
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
B
O
C
F
A D
F
E
D O
B C
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面，至今 不肯忘 怀。

人教版数学九年级下册《27.3 位似（2）》课件（共25张PPT）
巩固练习 人教版数学九年级下册《27.3 位似（2）》课件（共25张PPT）
B"
y
2. 如图，△ABC三个顶点坐
8
6
标分别为A（2，－2），B
A" 4
C"
（4，－5），C（5，－2），
2
以原点O为位似中心，将这 x -12 -10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 12
提示：画三角形关键是确定它各顶点
的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的
对应点
A′
的坐标为
2
3，4 2
3 2
，即
(－3，6)，类似地，可以确定其他顶
点的坐标.
A′
y 6
A4
2
B′ B －4 －2 O 2
还有其他 画法吗？ x 自己试一 试.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)， B′ (－3，0)，O (0，0). 顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
8
6 A'
4A
2 B'
B
-12 -10 -8
-6
-4B"-2
O -2
24
C
68
C'
10 12
△ABC放大，观察对应顶点 C" 坐标的变化，你有什么发现？
-4 -6
A"
-8
位似变换后A，B，C的对应点为
A '（ 4 ，6 ），B ' （ 4 ， 2 ），C ' （ 12 ，4 ）；

B．(4，－2) D．(4，－6)
3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大 鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大 鱼上的点 (－2a，－2b) .
2. 如何判断两个图形是不是位似图形?
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型：
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前 后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些 平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否 也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
讲授新课
一 平面直角坐标系中的位似变换
新课标人教版九年级数学下册
第二十七章 相 似
27.3 位 似
第2课时 平面直角坐标系中的位似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之 间的联系．
2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握 把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变 化的规律. (重点、难点)
◑位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心 在连接两个对应点的线段上；外位似的位似 中心在连接两个对应点的线段之外.
当堂练习
1. 选出下面不同于其他三组的图形
( B)
A
B
C
D
2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位
似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是
(2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长. 解：∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC， AB=2，CD=3， ∴ AB BE 2，∴ BE EF 2，
DC EC 3 BC DC 5 解得 EF 6 .

A′B′C′D′的面积比为 （ ）
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，
注意 使得
呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'，使得
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，
选一个点 使得
3∠A = 2∠F
O，分呢？别如D果在. 点 OO取A在四、边形OABBC、D 内O部呢C？、分别O画D出这的时得反到的向图形延． 长线上取
A′
、
D′
E′ E
D O C C′ B
AB
A′
B′
A
C′
O
B′
A′ C
【思考】位似图形和相似图形有什么联系和区别？位似 图形有何性质？
【总结】位似图形的所有对应点的连线交于一点．位似图形 是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对 应角相等，对应边的比相等．位似图形的相似比也叫做位似 比，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 位似比．
方法点拨
③顺次连结A' 、B' 、C' 就是所要求图形
画法：①作射线O画A 、位OB 、似OC图形时，需要注意的事项：
(2) 以点 C 为位似中心.
则 位下似列是结 一论 种正 具确 有的 位（是 置关(1系）)的相要似。弄清位似比，即分清是已知图形与新图形的
相似比，还是新图形与原图形的相似比． 【讨论】什么样的图形叫做位似图形？什么叫做位似中心？ 如何判断两个图形是否位似图形？

位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为
2∶1.
解：如答图27-3-1所示.
新知4
用坐标描述位似变换
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似
比为k，若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似
图形对应点A′的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
例题精讲 【例4】如图27-3-8，△ABC三个定点的坐标分
解
（1）如图27-3-6：（1）△ABC和
△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2 即为所求.
举一反三 1. 如图27-3-7，在平面直角坐标系中，△ABC的三 个顶点坐标分别为A（2，-4），B（3，-2），C（6，-
3）.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的
（1）画出△ABC，并画出△ABC绕点A顺时针旋
转90°后得到的△A1B1C1; （2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1的 三条边放大为原来2倍后的△A2B2C2. 解析 （1）由A（-1，2），B（-3，4）,C（
-2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画 出△A1B1C1； （2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2.
D. 位似图形的对应线段不可能在同一条直线上
新知2
位似图形的性质
一般性质(具有相似多边形的性质)：周长比等于相
似比；面积比等于相似比的平方.特殊性质：位似图形
上任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.
例题精讲 【例2】如图27-3-2，△ABC与△A′B′C′是位似图
形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，则
第二十七章

E′
D′
D
E
O
A
A′
B
C′
A
C
B′
C′
O
B
C
B′
A′
归纳：
1. 位似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比
等于相似比，面积比等于相似比的平方；
2. 位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；
3. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；
4. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于相似比.
例2 如图所示，四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比1 ＝ 2，四边
形A′ B′ C′D′和四边形A″ B″ C″D″位似，相似比2 ＝ 1. 则四边形A″ B″ C″ D″
和四边形ABCD 是位似图形吗？如果是，请说明理由并求出相似比.
解：∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，
E
OD;在射线OA、OB、OC、
H
A
OD上分别取点D、E、F,使
D
O
B
C
OE = 2OA , OF = 2OB , OG =
2OC , OH = 2OD;顺次连结E、
F、G、H,使正方形ABCD与
F
G
5.如图所示，四边形ABCD的一个位似图形是四边形A′ B′ C′ D′ ，
且A,B,C,D的对应点分别是A′ ,B′ ,C′ ,D′. 图中给出了AB的对应
似中心的位似图形，且

′
＝


＝
′
′
＝

′
；五边形ABCDE 与五


边形A′ B′ C′ D′ E′是以点O 为位似中心的位似图形，且′ ＝ ′ ＝

答案
2.如图,△ABO和△DCO是位似图形,则AB与CD的位置关系 为 平行 .
学前温故 新课早知3.在平 Nhomakorabea直角坐标系中,如果以原点为位似中心,新图形与原图形
的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的
坐标为 (kx,ky) 或 (-kx,-ky) .
4.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点
关闭
C
解析 答答案案
1
2
3
4
5
6
2.在平面直角坐标系中,有一条“鱼”,它有六个顶点,则( )
A.将各点横坐标乘2,纵坐标不变,得到的“鱼”与原来的“鱼”位似
B.将各点纵坐标乘2,横坐标不变,得到的“鱼”与原来的“鱼”位似
C.将各点横坐标、纵坐标都乘2,得到的“鱼”与原来的“鱼”位似
D.将各点横坐标乘2,纵坐标乘
O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△DEF与△ABC对应
边的比为1∶2,则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标
3
为2, 2
或
3 -2,- 2
.
1
2
3
4
5
6
1.如图,下面三组图形中,位似图形有( )
关闭
根据位似图形的定义可知相似且每组对应点所在的直线都经过同一
个点的两个图形是位似图形,所以第一组和第三组是位似图形.故选C. A.0组 B.1组 C.2组 D.3组
27.3 位似
学前温故 新课早知
相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等 于 相似比的平方.相似三角形对应线段的比等于 相似比 .
学前温故 新课早知
1.两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边 互相平行,像这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.这 时我们说这两个图形关于这点位似.

✓ 位似图形一定是相似图形，而相 似图形不一定是位似图形。
✓ 位似图形的位似中心只有一个。
✓ 位似中心可以是平面内任何一点（形 内、形外或形上）。
【活动】如图，已知△ABC和点O,以O为位似中心，求作
△ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.
O.
B
A C
【思考】还有没其他作法？
O
B
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午9时55分2秒上午9时55分09:55:0221.8.12
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
2. 位似图形的性质
注意
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。09:55:0209:55:0209:55Thursday, August 12, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.1221.8.1209:55:0209:55:02August 12, 2021
【思考】如果已知两个图形是位似图形， 怎样找到位似中心呢？
回忆一下，迄今为止，我们学习 了哪几种图形的变换？
课堂小结
这节课老师和同学们共同学习了 哪些内容？
作业：
1、复习本节内容； 2、课后习题； 3、【拓展】利用几何画板进一步探索坐标 系中的位似变换：当位似中心为（a,b）， 位似比为k时，位似变换前后坐标的关系。 请同学们分组将结果做成实验报告，下节课 进行交流。

３．相似图形一定位似。 ４．位似图形不一定相似。
作△ABC与的位似图形△DEF
且位似比为１／２
即将△ABC的三边缩小为原来的1/2:
如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中
点D,E,F;
△DEF就是所求
B E●
O
●
F
C
●
D
A
做一做：
任意画一个三角形,用上面的方法 亲自试一试.
课堂小结
这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比. ３．相似图形一定位似。
AF AP AE EP FP 对应线段AB和A/B/是否平行？其它边呢？有哪些相似三角形？
对应边互相平行， 且位似比为１／２
＝ ＝ ＝ ＝ 你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征? AD AC AB BC DC （５）△ABC与△A′B′C′
2.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直 线上,它们到位似中心的距离之比等于相 似比.（位似比）
1. 位似图形的概念
如果两个相似图形的每组对应点所在的直
线都交于一点,对应边互相平行，那么这样
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
２．不是位似图形必定不相似。 ２．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
２．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
（二）位似图形的性质
A A/ C
位似图形有以下性质：
１．位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上
２．位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比.

解：利用相似中对应点的坐
标的变化规律，分别取点A″ （3， - 6），B″（3，0）， O（0，0）.顺次连接点A ″， B ″，O，所得的△A ″B ″O
就是要画的一个图形.
应用提高
例:如图，四边形 ABCD的坐标分别为 A(-6,6),B(-8,2), C(-4,0),D(-2,4),
画出它的一个以原点 O为位似中心，相似 比为 1 的位似图形．
坐标为（4，2），则这两个正方形位似
中心的坐标是（-2，0）．
y
3.已知,如右图, O（0，0），
A（-4，2），B（-2，-2） ,以点O
为位似中心,按比例尺1:2把△OAB
A
缩小,则点A的对应点A′的坐标为
(-2,1)或(2,-1),点B的对应点B ′的
O
x
坐标为(-1,-1)或(1,1).
B
D
EF B 不是 C G
是
显然，位似图 形是相似图形的特 殊情形.相似图形不 一定是位似图形， 可位似图形一定是 相似图形.
练习1 2. 如图，△OAB和△OCD是位似图形，
AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD．理由如下： ∵△OAB与△OCD是位似图形， ∴△OAB∽△OCD，
∴∠OAB＝∠C，
246 8
-4
-6
-8
练习2 2．如图，△ABO三个顶点 的坐标分别为A（4，-5）， B（6，0），O（0，0）.以 原点O为位似中心，把这个 三角形放大为原来的2倍，
得到△A′B′O′．写出△A′B′O′三个 顶点的坐标．
解：A′（8，-10）, B ′（12，0）, O ′（0，0） 或A′（-8，10）, B ′ （-12，0）, O ′ （0，0）

小在底片上．
这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形
是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．
图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
O
O
O
图中每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交
于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心,两个
B'
②分别在OA、OB、OC上取点A′、
A'

B′、C′，使得 = = =
′ ′ ′
B
A
C'
③顺次连结A′ 、B′ 、C′，
△A′B′C′ 就是所要求图形
C
O
课堂小结
说说你的收获！
的顺序连接各点(对应点都在位似中心同侧，或两侧).


例如，要把四边形ABCD缩小到原来的 .
1. 在四边形外任选一点O(如图)，
2. 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'，
使得
A
′ ′ ′ ′
= = = = .

D
B
A'
3. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形
位似图形的相似比也叫位似比.
新知讲解
位似是一种具有位置关系的相似；
位似图形是相似图形的特殊情形；
位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
两个位似图形的位似中心只有一个；
两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似
中心的一侧.
位似图形的性质
➢ 对应点的连线都经过位似中心.
➢位似图形上任意一对应点到位似中心的距离之比