空间中直线与直线之间的位置关系(1)导学案

第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系一、学习目标：1.理解异面直线的定义，能会画两条异面直线，能在几何体中找出异面直线。

2.会判断空间两条直线的位置关系。

3.能根据平面几何的知识和公理4证明空间两条直线的平行。

二、学习重点;判断两条直线是否是异面直线；判断空间两条直线的位置关系。

三、学习难点：判断两条直线是否是异面直线；判断空间两条直线的位置关系。

四、导学过程：（一）.请同学们认真阅读教材第44页到第46页的探究问题，回答下列问题： 1.异面直线的定义：(1)课本上用三个例子，教室里________________与________________；天安门广场上，________________与________________； 长方体////ABCD A B C D -中，___________与______________；说明这三对直线不相交，不共面，即它们不同在任何一平面内。

你能画出这三个空间图形吗？还能举出其他例子吗？(2)异面直线：_____________________________________________。

(3)异面直线的记法、读法：_____________________。

(4)异面直线的画法：一个方面可以用一个或两个平面来衬托，另一个方面在几何体中找。

(5)说出长方体////ABCD A B C D -中，所有与1AA 线段所在的直线异面的有:ABCA 1B 1C 1D 1D2.空间两条直线的位置关系有且只有三种：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：_____________________;共面直线平行直线：_____________________;异面直线：不同在________________________.3.空间中两条直线的平行：(1)空间中两条直线平行：两条直线在同一平面内，不相交或没有公共点。

(2)在平面内证明两条直线平行，可用初中知识，特别是中位线；(3)公理4，语言叙述; ____________________________________________。

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
一、课时目标
1.会判断空间两直线的位置关系．(重点)
2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．(重点、难点)
3.能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．(重点)
二、自主学习
1、知识点（一）
（1）异面直线
定义：不同在的两条直线．
异面直线的画法
（2）空间两条直线的位置关系
位置关系特点
相交同一平面内，有且只有公共点
平行同一平面内，公共点
异面直线不同在，公共点
2、知识点（二）
（1）平行公理(公理4)
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相．这一性质叫做空间．
a∥bb∥c⇒．
符号表述：}
（2）等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应，那么这两个角或．
三、课堂练习
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定()
A．异面B．相交C．不相交D．不平行
2．如图2－1－13所示，在三棱锥S－MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是()
A．平行B．相交
C．异面D．平行或异面
图2－1－13
3．若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________．
4．已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠CEB＝∠C1E1B1.。

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、学习目标：（1）通过观察能说出空间两条直线的位置关系；（2）根据异面直线的定义，通过学生作图，初步学会判断两条直线是否异面（3）学会画异面直线（4）能利用平行公理证明简单的平行关系。

二、知识探索问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： ___________________________________________________ 位置关系公共点个数是否共面相交平行异面问题4：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线,A B异面的有哪些？共面直线问题5：画异面直线：1、用一个平面衬托；2、分别在两个相交平面内的两条异面直线:检测：1、两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.2、两条异面直线指：（）A. 空间中不相交的两条直线；B. 不在同一平面内的两条直线；C分别在两个不同平面内的两条直线；D既不相交，又不平行的两条直线.问题6：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连结EF、FG、GH、HE,求证:EFGH是一个平行四边形。

作业：1．两条异面直线指的是：①不能在任何一平面内的两条直线；②分别位于两个不同平面的两条直线；③在空间不相交的两条直线；④有一条在平面内，另一条在平面外的两条直线；⑤既不平行又不相交的两条直线，其中正确的个数是【】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．正方体中，与对角线异面的棱有【】A．3条 B．4条 C．6条D．8条3．判断下列说法是否正确(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线. ( )(2)直线在平面内，直线不在平面内，则是异面直线. ( )(3)直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线. ( )(4)在空间中，经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行. ( )(5)在空间中，平行于同一条直线的两直线平行. ( )(6)两条平行线中有一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线. ( )(7)垂直于同一条直线的两直线平行. ( )4、已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，连结EF、FG、GH、HE,求证:EFGH是一个平行四边形。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。

再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b共面直线=>a∥cc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2、1、2 空间中直线与直线之间的位置关系一、【学习目标】1、正确理解空间中直线与直线的位置关系,两直线的异面关系；2、以公理4和等角定理为基础，理解两异面直线所成角概念以及应用；3、培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是的科学态度和品质.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读第44页—45页探究上面的内容，回答问题（异面直线）材料一：思考：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？教室内的日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线，既不相交，也不共面，即它们不同在任何一个平面内；又如天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交也不共面，即不能处在同一平面内.如下图：材料二：阅读教材“观察”的内容，如下：<1>根据材料和教材内容，请你总结出什么叫异面直线？<2>学习完异面直线以后，请总结一下空间两条直线的位置关系有几种？结论：<1>异面直线是指.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用证明；<2>空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型，可以得出结论.2、阅读教材第45页例2上面内容，回答问题（公理4）材料三：教材45页观察内容<3>结合材料三，和教材内容，请你总结归纳出公理4.结论：<3>公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a ∥b, ⇒ca ∥c .强调：公理4实质上是说平行具有 性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是判断空间两条直线 的依据，不必证明，可直接应用.3、阅读教材46页内容，回答问题（等角定理、异面直线所成角）<4>请你通过学习总结出等角定理.<5>你能给“两异面直线所成角”下一个定义吗？你能否总结出异面直线所成角的画法？两异面直线所成角的范围是多少？什么叫做两直线垂直？ 结论：<4>空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两个角相等或者 ；<5>可以把异面直线所成角转化为 所成角表示，如图所示，已知两异面直线a,b ，经过空间内任一点O 做直线 ，我们把''b a 、所成的 (或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.两条异面直线所成角的范围是 .如果两条异面直线所成的角为 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b ，记作b a ⊥.三、【练习与巩固】 练习一：请同学们自学教材第例2、例3，检查自己是否完成了这节课的学习目标； 练习二：完成教材第48页练习1、2.四、【作业】1、必做题：教材51页习题2.1A 组第4题<1><2><3>；B 组1<2><3>题；2、选做题：教材第52页习题2.1A 组第8题.。

空间中直线与直线之间的位置关系（1）班级：_______姓名：_______ 教学目标1`．知识与技能：掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的概念，理解公理4并能应用它证明简单的几何问题。

２．过程与方法：通过观察事物，引出两直线的三种位置关系，又由观察导出公理4，遵循了由特殊到一般，由简单到复杂的认知规律。

３．情感与价值观：通过运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系，培养学生的空间想象能力，感悟数学的奇异美，简洁美，和谐美，培养学生的美学意识。

教学重、难点重点：异面直线的概念，公理4及其应用。

难点：异面直线的概念及公理4的应用。

学法学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解定理。

教学设想问题提出1.同一平面内的两条直线有哪几种位置关系?2.空间中的两条不同直线除了平行和相交这两种位置关系外，还有什么位置关系呢?知识探究（一）：异面直线的概念思考1：教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线，既不相交，也不平行；天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行.你还能举出这样的例子吗?思考2: 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD叫做异面直线，一般地，从字面上怎样理解异面直线？思考4:为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托,如何作图.？关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C. 分别在不同平面内的两条直线；D. 不在同一个平面内的两条直线；E. 不同在任何一个平面内的两条直线.思考5:空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？思考6，两异面直线垂直如何定义？垂直直线一定相交吗？知识探究（二）：三线平行公理思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b仍保持平行吗?思考2: 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗?思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何?思考4:通过上述实验可以得到什么结论？思考5:公理4叫做三线平行公理，它说明空间平行直线具有传递性，在逻辑推理中公理4有何理论作用？知识探究（三）：等角定理思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？思考2: 四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明A∠BAC 与∠B ′A ′C ′ 相等吗？思考4:综上分析我们可以得到什么定理?思考5:上面的定理称为等角定理，在等角定理中，你能进一步指出两个角相等的条件吗？理论迁移例1（p45探究）如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB ，CD ，EF ，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?例2 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1) 求证：四边形EFGH 是平行四边形. (2) 若AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形?随堂练习：P48,练习1，2小结与反思：本节课你学到什么知识、方法、技巧，还有什么困惑？作业:1，P51习题2.1A组：1 2，P51习题2.1A组：2 3，P51习题2.1A组：3 4，P51习题2.1A组：6自我评价：。

第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系三维目标1.理解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、会画异面直线，提升空间想象能力；3.了解公理4和等角定理，知道异面直线所成角的定义、范围及作用.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.通过身边诸多实物，空间两条直线有多少种位置关系？*问题2.如何用图形语言表示表示空间两条直线的位置关系？问题3. 如右图长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？你能得出什么结论？【试试】公理4：符号表示为：作用： 问题4. 如右图∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 【试试】等角定理： 符号表示为： 作用： 问题5.阅读教材46-47页回答：什么是异面直线所成角？如何画出两条异面直线所成的角？异面直线所成角的范围是多少？ 【学做思2】1.如图2.1-17，空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.图2.1-172. 如图2.1-18,观察长方体ABCD-A'B'C'D' (1)有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？图2.1-183.如图2.1-20，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？图2.1-20 【反思】如何求异面直线所成角？达标检测α,内各取两点，这四点都不在交线上，这四点最多能确定个平面*1.平面βA 1*2.若︒=∠120AOB ,直线a OA a ,//与OB 为异面直线，则OB a 和所成的角的大小为 . 3.填空题： （1）如图1，'AA 是长方体的一条棱，长方体中与'AA 平行的棱共有 ________ 条.（2）如果OA//''A O ,OB//''B O ,'''B O A ________.图1 图2*4.如图2，在正方体1111D C B AABCD -中，F E 、分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所 成的角。

人教版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教案必修Ⅱ2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系（第一课时）教案一、教材分析：1.教材的地位和作用（1）本节课是人教版数学必修2的2.1.2第一课时的内容，主要研究空间中直线与直线之间的三种位置关系及公理4。

（2）教材在编写时注意从平面到空间的扩充，通过观察实物，直观感知，进而抽象概括出定义及定理，培养学生的观察能力和分析问题的能力。

2.教学重点与难点教学重点：异面直线的概念的理解及其判断，公理4的学习。

教学难点：异面直线的理解，空间中直线与直线之间的位置关系的分类。

3.教学目标知识与技能：（1）理解异面直线的概念；（2）了解空间中两条直线的位置关系；（3）理解并掌握公理4及其应用。

过程与方法：（1）教学过程中引导学生从生活中的实例出发，联系旧知识来提出所要探究的问题；（2）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合.情感态度与价值观：通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成善于观察、合作探索、科学研究的好习惯。

、二、教法设计：1、多媒体辅助教学：易于突破难点，增强形象性、直观性。

2、探究式教学：给学生提供从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程获取知识。

3、讲议结合教学：教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。

4、分层教学：面向全体学生，充分调动不同层次学生的积极性。

三、学法设计：1.本节知识与生活的联系密切，可以引导学生从生活中去找模型，将所要学习的知识与周围的事物结合起来，同时还注重让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的学习过程。

2.学生能够在老师的引导下自己去发现问题，共同讨论，自主合作探究。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

四、教学过程：1.创设情境，引出问题思考：(1)同一个平面内的两条直线有几种位置关系？(2)空间中两条直线有哪些位置关系呢？找一找，说一说：同桌两位同学中一人在教室里任意找两条直线，另一同学说出这两条直线的位置关系。

§ 2、1、2空间中直线与直线之间的位置关系【学习目标】1. 了解空间中两条直线的位置关系； 2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握等角定理；4.异面直线所成角的定义、范围及应用；【重点难点】重点：异面直线的概念；难点：用图形表达直线与平面的位置关系；异面直线所成角的计算及等角定理•【学法指导】自主探索与合作交流相结合【学习过程】一.预习自学(阅读p44---p47完成下面填空)1 •空间中直线与直线的位置关系(1) ___________________________________________________________________________ 异面直线：_____________________________________________________________________________________观察上图理解AB与CC之间的关系，并体会异面直线的定义。

(2) 空间两条直线的位置关系：相交直线——在同一平面内，_____________________________平行直线一一在同一平面内，_____________________________异面直线——______________________________ ，没有公共点相交直线和平行直线也称为共面直线.(3 )异面直线的画法(4)在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的.公理4：(平行线的传递性) ____________________________________________________________(5 )等角定理：__________________________________________________________________________(6)异面直线a ,b所成的角(异面直线a ,b的夹角) _______________________________________________(7)如果两条异面直线a ,b _______________________ ，那么我们就说异面直线a ,b互相垂直,B记作 ______________ 所以，在空间里说两条直线互相垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况二、典例分析：1、如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A i B异面的有哪些？2. 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E, F, G H分别是AB, BC, CD,DA的中点，连结EF, FQ GH HE求证：EFGH是一个平行四边形。