空间直线与直线的位置关系(教学案)

全国初中数学优秀课一等奖教师教案：两条直线的位置关系–教案一. 教材分析本节课的内容是两条直线的位置关系，这是初中数学的基础知识，对于学生理解数学的深层概念有重要的意义。

通过学习两条直线的位置关系，学生可以更好地理解几何图形，提高空间想象力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，对图形的认知也有一定的基础。

但学生在理解两条直线的位置关系时，可能会存在一定的困难，因此，教师在教学过程中要注重引导学生，让学生通过观察、思考、操作、交流等途径，理解和掌握知识。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握两条直线的位置关系，能够准确地判断两条直线是否平行或相交。

2.过程与方法：培养学生观察、思考、操作、交流的能力，提高学生的空间想象力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 教学重难点1.教学重点：使学生掌握两条直线的位置关系，能够准确地判断两条直线是否平行或相交。

2.教学难点：让学生理解和掌握两条直线位置关系的推理过程，提高学生的空间想象力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的情境，让学生观察和操作，引导学生理解两条直线的位置关系。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教具准备：准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

2.学具准备：准备练习题、图形模型等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示实际生活中的直线现象，如铁路、公路等，引导学生观察和思考，引出本节课的主题——两条直线的位置关系。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示PPT，向学生介绍两条直线的位置关系，让学生了解平行和相交的概念。

3.操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过观察、操作、交流，判断给定的两条直线是否平行或相交，并说明理由。

4.巩固（10分钟）教师设计一些练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。

第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；准确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解能够作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理.教学过程：一、复习准备：2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？二、讲授新课：1. 教学平面的概念及表示：① 平面的概念： A.描绘性说明； B.平面是无限伸展的；理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两局部。

② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？B.画法：通常画平行四边形来表示平面。

（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。

非水平平面：只要画成平行四边形。

直立的平面：一组对边为铅垂线。

相交的平面：一定要画出交线；遮住局部的线段画虚线或不画。

C.练习： 画一个平面、相交平面③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也能够用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.2. 教学公理1：①揭示公理1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线l 的平面α内，记作l ⊂α。

④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

②理解：不在同一条直线上；一点、两点、三点、四点的情况；有且只有一个，等价于确定 ③实例：一扇门。

2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2)60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D''∥A B''，AB∥A B''，那么直线AB与C D''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾． ∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c b a ,,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确,故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2)45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、． 能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】 60或30．探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C. 【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算． 【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ， 因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，11112OC A C ==，11322OE BD ===，1C E ===，所以2221111cos 2OC OE C E C OE OC OE +-∠===⋅，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角． 【答案】55。

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. （四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 （五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。

2.1 两条直线的位置关系教学目标：知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。

过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观点、推理水平和有条理表达的水平。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，理解到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的相关问题，这些问题能够抽象成数学问题，用数学方法予以解决。

教学重点：（1）让学生了解同一平面，两条直线的位置关系（2）理解掌握对顶角的定义及其性质（3）理解掌握余角、补角的定义及其性质教学难点：补角、余角性质的应用教法与学法指导以学生活动为主线，通过精心设计的问题导语启发、点拨，引导学生观察、探究、讨论、对比、归纳、发现、创造等参与活动的综合形式教学.指导学生在课堂实践活动中，自主探索,合作交流,获得知识, 提升技能,培养创造意识.一、感受生活，引入课题请同学们欣赏幻灯片，同学们看到有一些相互平行的直线，也有纵横相交的直线。

--------由此引出课题。

二、自主学习，探究新知两条直线的位置关系：相交与平行1.一般地，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种： 和 .2. _______________________________为相交线。

3. ________________________________叫做平行线.强调关键词“在同一平面内”的意义。

（结合反例）设计意图：独立思考、学会思考是创新的核心。

数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备。

通过亲自经历提炼相关数学信息的过程，能够让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。

充分利用现代化教学手段增强直观教学，引起学生学习的兴趣：通过师生互动，生生互动，增加学生之间的凝聚力，在相互探讨中激发学生学习积极性，提升学课堂效率。

空间中直线与直线之间的位置关系之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日[学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的界说,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系(1)界说：分歧在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的界说标明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交,也不服行.②不能误认为分别在分歧平面内的两条直线为异面直线.如图中,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个分歧的平面内,可是因为a∩b＝O,所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时,为了充沛显示出它们既不服行也不相交,即不共面的特点,经常需要画一个或两个辅助平面作为烘托,以加强直观性、立体感.如图所示,a与b为异面直线.(3)判断方法方法内容界说法依据界说判断两直线不成能在同一平面内(1)按两条直线是否共面分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 相交直线：同一平面内有且只有一个公共点平行直线：同一平面内没有公共点异面直线：分歧在任何一个平面内没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类⎩⎪⎨⎪⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎪⎨⎪⎧ 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？(2)两条垂直的直线必相交吗？答 (1)纷歧定.可能相交、平行或异面.(2)纷歧定.可能相交垂直,也可能异面垂直.知识点二 公理4(平行公理)文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行,这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b 图形语言知识点三 空间等角定理文字语言 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 符号语言 OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′B ′⇒∠AOB ＝∠A ′O ′B ′或∠AOB ＋∠A ′O ′B ′＝180° 图形语言作用判断或证明两个角相等或互补如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考 如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗？答 纷歧定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四 异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.(1)在空间任取一点O,过点O分别作a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角,然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O,过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a),则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角),然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1 若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面谜底D解析可借助长方体来判断.如图,在长方体ABCD－A′B′C′D′中,A′D′所在直线为a,AB 所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′,CC′,DD′.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.谜底(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面解析序号结论理由(1)平行因为A1D1綊BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C(2)异面A1B与B1C分歧在任何一个平面内(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)异面AB与B1C分歧在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2 E,F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点,求证：四边形B1EDF是平行四边形.证明设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.因为E是AA1的中点,所以.又因为在矩形A1B1C1D1中,,所以..又因为Q,F分别是矩形DD1C1C两边D1D,C1C的中点,所以.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以.又因为,所以.所以四边形B1EDF为平行四边形.跟踪训练2 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证：E,F,G,H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形,求证：AC⊥BD.证明(1)在△ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH∥BD.同理FG∥BD,则EH∥FG.故E,F,G,H 四点共面.(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.又∵四边形EFGH 是矩形,∴EH⊥GH.故AC⊥BD.题型三 异面直线所成的角例 3 如图所示,在空间四边形ABCD 中,AB ＝CD,AB⊥CD,E,F 分别为BC,AD 的中点,求EF 和AB所成的角.解 如图,取BD 的中点G,连接EG,FG.因为E,F 分别为BC,AD 的中点,AB ＝CD,所以EG∥CD,GF∥AB,且EG ＝12CD,GF ＝12AB. 所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角,EG ＝GF.因为AB⊥CD,所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE＝45°,即EF 与AB 所成的角为45°.跟踪训练3 空间四边形ABCD中,AB＝CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的年夜小.解取AC的中点G,连接EG,FG,则EG 12AB,GF12CD.故直线GE,EF所成的锐角即为AB与EF所成的角,直线GE,GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF＝30°或150°.由AB＝CD,知EG＝FG,∴△EFG为等腰三角形.当∠EGF＝30°时,∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时,∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD中,AD＝BC＝2a,E,F分别是AB,CD的中点,EF＝3a,求异面直线AD,BC所成的角.分析要求异面直线AD,BC所成的角,可在空间中找一些特殊点,将AD,BC平移至一个三角形中.此题已知E,F分别为AB,CD的中点,故可寻找一边中点,如BD的中点M,则∠EMF(或其补角)为所求角.解如图,取BD的中点M.由题意,知EM为△BAD的中位线,所以EM∥AD 且EM ＝12AD.同理,MF∥BC 且MF ＝12BC.所以EM ＝a,MF ＝a,且∠EMF(或其补角)为所求角.在等腰△MEF 中,取EF 的中点N,连接MN,则MN⊥EF.又因为EF ＝3a,所以EN ＝32a.故有sin∠EMN＝EN EM ＝32.所以∠EMN＝60°,所以∠EMF＝2∠EMN＝120°.因为∠EMF＝120°＞90°,所以AD,BC 所成的角为∠EMF 的补角,即AD 和BC 所成的角为60°.反证法的合理应用例6 如图,三棱锥P －ABC 中,E 是PC 上异于点P 的点.求证：AE与PB 是异面直线.分析利用界说直接证明,即从分歧在任何一个平面内中的“任何”开始入手,一个平面一个平面地寻找是不成能实现的,因此必需找到一个间接证法来证明,反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线,设AE与PB都在平面α内,因为P∈α,E∈α,所以PE⊂α.又因为C∈PE,所以C∈α.所以点P,A,B,C都在平面α内.这与P,A,B,C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立,所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )3.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( )4.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点,则暗示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填序号)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )2.已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α＝60°,则β即是( )A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线BA1与CC1所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四种说法：①若直线a、b异面,b、c异面,则a、c异面；②若直线a、b相交,b、c相交,则a、c相交；③若a∥b,则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中正确的个数是( )5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( )6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为( )7.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )D.AE与B1C1所成的角为60°二、填空题8.在四棱锥P－ABCD中,各棱所在的直线互相异面的有________对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.10.如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角为______.三、解答题11.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,BC＝＝1,DA若2,DA⊥AC,DA⊥AB,且为BE与求异面直线,DA的中点ECD所成角的余弦值.12.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB＝AH∶HD＝m,CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E,F,G,H四点共面；(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明：EG＝FH.当堂检测谜底1.谜底D 解析若直线a和b共面,则由题意可知a∥b；若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.2.谜底B 解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC＝B,DD1与BC是异面直线,故选B.3.谜底A解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.解析①中,∵G,M 是中点,∴AG 綊BM,∴GM 綊AB 綊HN,∴GH∥MN,即G,H,M,N 四点共面；②中,∵H,G,N 三点共面,且都在平面HGN 内,而点M 显然不在平面HGN 内,∴H,G,M,N 四点不共面,即GH 与MN 异面；③中,∵G,M 是中点,∴GM 綊12CD,∴GM 綊12HN,即GMNH 是梯形,则HG,MN 必相交,∴H,G,M,N 四点共面；④中,同②,G,H,M,N 四点不共面,即GH 与MN 异面.5.谜底 13解析 设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE 与A1B1所成的角.在△AED1中,cos∠AED1＝D1E AE ＝1232＝13. 课时精练谜底一、选择题1.谜底 D解析 可能相交也可能异面,但一定不服行(否则与条件矛盾).解析 由等角定理,知β与α相等或互补,故β＝60°或120°.3.谜底 B解析 如图,在正方体ABCD －A1B1C1D1中,BB1∥CC1,故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角,故为45°.4.谜底 D解析 若a 、b 异面,b 、c 异面,则a 、c 相交、平行、异面均有可能,故①分歧毛病.若a 、b 相交,b 、c 相交,则a 、c 相交、平行、异面均有可能,故②分歧毛病.若a⊥b,b⊥c,则a 、c 平行、相交、异面均有可能,故④分歧毛病.③正确.5.谜底 D解析 如图,因为BD⊥AC,且BD ＝AC,又因为E,F,G,H 分别为对应边的中点,所以FG EH 12BD,HG EF 12AC.所以FG⊥HG,且FG ＝HG.所以四边形EFGH 为正方形.6.谜底 B解析 设截面四边形为EFGH,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中＝6)＋2×(4周长为6,∴＝BD 12＝HE ＝4,FG ＝AC 12＝GH ＝,∴EF 点20.7.谜底 C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A毛病；由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC 相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B毛病；同理AE与B1C1是异面直线,C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D毛病.综上所述,故选C.二、填空题8.谜底8解析以底边所在直线为准进行考察,因为四边形ABCD是平面图形,4条边在同一平面内,不成能组成异面直线,而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.谜底①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.10.谜底60°解析连接BC1,A1C1,∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中,A1B＝BC1＝A1C1,∴∠A1BC1＝60°,故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.三、解答题11.解 取AC 的中点F,连接EF,BF,在△ACD 中,E,F 分别是AD,AC 的中点,∴EF∥CD,∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角).1,＝AC ＝AC,∴AB ＝,AB 2＝,BC 中Rt△ABC 在 .52＝,∴BE 12＝AD 12＝1,AE ＝,AB 中Rt△EAB 在 .22＝,∴EF 12＝,AE 12＝AC 12＝,AF 中Rt△AEF 在 .52＝,∴BF 12＝1,AF ＝,AB 中Rt△ABF 在 ,1010＝2452＝12EF BE ＝,cos∠FEB 中EBF 在等腰三角形 .1010所成角的余弦值为CD 与BE 异面直线∴12.(1)证明 因为AE∶EB＝AH∶HD,所以EH∥BD.又因为CF∶FB＝CG∶GD,所以FG∥DB.所以EH∥FG.所以E,F,G,H 四点共面.(2)解 当且仅当EH∥FG,EH＝FG 时,四边形EFGH 为平行四边形.BD.m m ＋1＝EH 所以,m m ＋1＝AE AE ＋EB ＝EH BD 因为 n.＝m 得FG,＝EH 由BD,n n ＋1＝FG 同理故当m ＝n 时,四边形EFGH 为平行四边形. (3)证明 当m ＝n 时,AE∶EB＝CF∶FB,所以EF∥AC.又因为AC⊥BD,而∠FEH 是AC 与BD 所成的角, 所以∠FEH＝90°,从而平行四边形EFGH 为矩形,所以EG ＝FH.。

空间直线与直线的位置关系教学目标：1. 理解空间直线的概念及其表示方法。

2. 掌握空间直线与直线之间的平行、相交、异面等位置关系。

3. 能够运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题。

教学重点：空间直线与直线的位置关系的判定与运用。

教学难点：理解并掌握空间直线与直线之间的位置关系的概念。

教学准备：教材、黑板、多媒体设备。

教学过程：第一章：空间直线的基本概念1.1 空间直线的定义与表示方法1. 直线是无限延伸的、无宽度的几何图形。

2. 空间直线可以用一个小写字母表示，如直线l。

1.2 空间直线的性质1. 直线上的点可以表示为直线上任一点加上一个向量。

2. 直线上的向量可以表示为直线上两个点的坐标差。

第二章：空间直线与直线的平行关系2.1 空间直线与直线的平行定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在任意一点处的方向向量都相同（或相反），则称l1与l2平行。

2. 记作l1 // l2 或l1 ⊄l2。

2.2 空间直线与直线的平行判定1. 如果两条直线方向向量相同，则它们平行。

2. 如果两条直线方向向量互为相反向量，则它们平行。

第三章：空间直线与直线的相交关系3.1 空间直线与直线的相交定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在某一平面上有且只有一个交点，则称l1与l2相交。

2. 记作l1 ∩l2 = A，其中A为交点。

3.2 空间直线与直线的相交判定1. 如果两条直线不平行，则它们相交。

2. 如果两条直线平行，则它们不相交。

第四章：空间直线与直线的异面关系4.1 空间直线与直线的异面定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们不在任何平面上有交点，则称l1与l2异面。

2. 记作l1 ⊄l2。

4.2 空间直线与直线的异面判定1. 如果两条直线不在任何平面上有交点，则它们异面。

2. 如果两条直线在某个平面上有交点，则它们不异面。

第五章：空间直线与直线的位置关系的运用5.1 运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题1. 判断空间两条直线的位置关系。

点到直线的距离点到直线的距离 二典例分析 1.（1）如图AB CD ⊥于点B BE，是ABD Ð的平分线，则CBE Ð的度数为的度数为两条直线的位置关系一基础知识1.平面内两条直线的位置关系；2.空间内两条直线的位置关系；3.相交线与相交线与平行线平行线的概念；4.对顶角、邻对顶角、邻补角补角、角平分线的概念及性质；的概念及性质；5.5.互余角、互余角、互补互补角的概念及性质；6.6.两条直线垂直的概念及垂线段的性质；两条直线垂直的概念及垂线段的性质；7.（2）如图把）如图把矩形矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150Ð=°，则AEF Ð=（ ） A ．110° B ．115° C ．120° D ．130° （3）如图，将三角尺的直角）如图，将三角尺的直角顶点顶点放在直尺的一边上130250Ð=Ð=°，°，则3Ð的度数等于（的度数等于（ ） A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°2如图,已知直线AB 和CD 相交于O 点,射线OE ⊥AB 于O, 射线OF ⊥CD 于O, 且∠BOF =25°．求：∠AOC 与∠EOD 的度数．的度数．3.O 为直线AB 上一点上一点,,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠是∠AOD AOD 的平分线的平分线. . (1)(1)求∠求∠COD COD 的度数的度数;(2);(2)判断判断OD 与AB 的位置关系的位置关系,,说明理由说明理由. .4.如图所示，O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，内，13BOE EOC Ð=Ð，∠DOE=60°．（Ⅰ）求∠EOC 的度数；的度数； （Ⅱ）在上图中，哪些角互为余角？5.如图，点O 是直线AB 上一点，OC 是任一条射线，OD 、OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线，的平分线， 则∠BOD 的补角是_______，∠BOE 的余角是的余角是 _______ 6.如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC ，OE ⊥OD ．（1）求∠BOD 的度数；的度数；（2）请通过计算说明OE 是否平分∠BOC ．7.（中招展示）(1) （11台北）图台北）图((二)中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角。

空间直线与直线的位置关系一、教学目标1. 让学生理解空间直线与直线之间的位置关系，包括平行、相交和异面。

2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 通过对空间直线与直线位置关系的探讨，提高学生的空间想象能力和思维能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：空间直线与直线的位置关系及其判定。

2. 教学难点：异面直线的概念及其判断。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间直线与直线的位置关系及其判定方法。

2. 运用案例分析法，分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系。

3. 利用多媒体辅助教学，展示空间直线与直线的图形，增强学生的空间想象力。

四、教学准备1. 多媒体教学设备。

2. 教案、PPT课件。

3. 相关案例资料。

五、教学过程1. 导入新课通过一个实际问题，引导学生思考空间直线与直线之间的位置关系。

2. 讲解知识点讲解空间直线与直线的位置关系，包括平行、相交和异面。

3. 案例分析分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系，巩固所学知识。

4. 课堂练习布置一些有关空间直线与直线位置关系的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结与拓展总结本节课的主要内容，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业布置一些有关空间直线与直线位置关系的作业，巩固所学知识。

六、教学内容与活动1. 教学内容：空间直线与直线的位置关系的判定方法。

运用位置关系解决实际问题。

2. 教学活动：通过实例演示和图形展示，让学生理解并掌握空间直线与直线的位置关系的判定方法。

引导学生运用所学知识解决实际问题，如空间中的线段长度计算、角度计算等。

七、教学评估与反馈1. 教学评估：通过课堂练习和课后作业，评估学生对空间直线与直线位置关系的理解和应用能力。

观察学生在课堂讨论和问题解答中的表现，评估其思维能力和解决问题的能力。

2. 教学反馈：根据学生的练习和作业情况，及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的指导。

在课堂讨论中，鼓励学生提出问题和建议，及时解答学生的疑问。

空间直线与直线的位置关系说课稿今天我要给大家讲人教社A版高中数学必修2第二章第一节第二课时的内容：《空间中直线与直线之间的位置关系》。

我将按照教学背景分析、教学目标分析、教学重点和难点分析、教学过程、学生活动说明、教学设计说明六个部分向大家介绍。

一、教学背景分析一）教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系。

它是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基础上提出来的。

同时，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空间平行关系时经常要使用的方法。

因此本节课的内容对知识起到了承上启下的作用。

二）学情分析学生在初中已经研究过相交直线和平行直线的概念，对它们已经很熟悉。

但是，从具体实例抽象出异面直线的概念是非常困难的。

三）教学准备学生需要准备两支铅笔、白纸板，教师需要准备长方体模型、多媒体课件、三角板。

二、教学目标的确定1.通过观察实物，并借助长方体模型，理解异面直线的概念，了解异面直线所成的角。

2.经历异面直线的概念的形成过程，进一步发展空间想象能力，体会将空间问题平面化的思想方法。

3.学生在探究过程中体会数学是有用的，体验数学探究的乐趣。

三、教学重点和难点分析教学重点：异面直线的概念。

教学难点：异面直线的概念及异面直线所成角。

四、教学过程一）概念形成问题1：同一平面内直线与直线的位置关系有几种？请问：空间中直线与直线的位置关系有几种？板书：空间中直线与直线的位置关系1）实例引入：教师展示图片，引导学生观察：运河大桥和运河所在直线的位置关系，齿轮的两轴所在直线的位置关系。

让学生发现，直线与直线存在既不平行又不相交的位置关系。

学生可以举出实例或动手操作来直观感知。

2）观察思考：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段CC1所在直线的位置关系如何？（是相交吗？还是平行？）老师：异面直线是指不在同一平面内或在两个平面内但不在同一平面内的两条直线。

如图所示，在长方体教室中，观察并思考：直线a、b、c、d有怎样的位置关系？观察发现，直线b、c、d在同一平面内,其中直线b、内的平行直线，那么直线a与直线c是否平行呢？思考交流概念新知探索我们知道,在同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行.可以证明，在空间中这个结论仍然成立.如前面图所示，当a∥b，b∥c时，有a∥c.事实上，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的传递性.讲解说明理解领会平面平行实现空间转变典型例题例1如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD的中点，点C、H分别是MB、MA的中点，M∉平面BD. 求证：GH // EF.证明因为点E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD的中点，所以AF// BE，且AF=BE.故四边形ABEF是平行四边形，EF // BA.又因为点G、H分别是ΔABM的边MB、MA的中点，所以GH// BA.根据平行线的传递性可知，GH// EF.提问引导讲解强调指导思考分析解决交流主动求解运用平行线在空间的传递性证明空间直线平行的问题情境导入2.相交直线图中所示长方体教室中，直线d与直线b相交于一点，且互相垂直.空间中其他相交直线有怎样的位置关系呢？提出问题引发思考观察思考讨论交流延续使用同样例子创设情境保持学习一致性新知探索我们知道，同一平面内有且只有一个公共点的两条直线成为相交直线，当l与m相交于点A时，可简记作l∩m=A.两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角，如图所示.显然，θ∈02π⎛⎤⎥⎝⎦，，并且角θ及其对顶角均为这两条相交直线所成的角.规定：两条平行直线缩成的角为0.因此，两条共面直线所成角的范围是讲解说明理解领会用集合语言描述相交直线，注意正确的写法和理解02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.典型例题例2 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，如图.(1)分别求AB 与D 1C 1、BD 所成的角的大小；(2)直线AB 与BD 所成的角和直线A 1B 1与D 1B 1所成的角是否相等？解 (1)因为AB // D 1C 1，所以AB 与D 1C 1所成的角为0. 又正方体的各面都是正方形, BD 为正方形ABCD 的对角线, 所以4ABD π∠=，即AB 与DB 所成的角的大小是4π.(2)显然，直线AB 与BD 所成的角为∠ABD ，直线A 1B 1与D 1B 1所成的角∠A 1B 1D 1.因为4ABD π∠=,1114A B D π∠=,所以∠ABD =∠A 1B 1D 1,即直线AB 与DB 所成的角和直线A 1B 1与D 1B 1所成的角相等.提问 引导 讲解 强调 指导思考 分析 解决 交流 主动 求解巩固直线所成角的定义，引出“等角定理”新知探索一般地，如果两条相交直线l 1与l 2分别平行于另外两条相交直线l 1'与 l 2'，那么l 1与l 2 所成的角和l 1'与 l 2'所成的角相等.这个 结论称为等角定理,常用来判定空间中的两个角相等.提示引导 总结 发现补充说明重要结论 巩固练习练习4.2.11. 观察自己的教室，找出其中的平行直线、相交直线、共面直线.2.如图所示，己知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，判断下列说法是否正确.(1)直线A 1B 1与DD 1相交； (2)直线AD 与CC 1平行； (3)直线AB 与D 1B 1相交； (4)直线B D 与B 1D 1平行.提问 巡视 指导思考 动手 求解 交流及时掌握学生掌握情况查漏补缺3.顶点不共面的四边形称为空间四边形.如图所示，点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.4. 设E是长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内一点.如图所示，试过点E作直线l、m，使得l∥BC，m∥AC.5.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，3AB ，BC=1，CC'=2.求：(1)直线A'D'与直线B'D'所成的角的大小；(2)直线BC与直线B'C'之间的距离.情境导入4.2.2 异面直线图中所示长方体教室中，可以直观地看出直线a与直线d不同在任何一平面内，是异面直线，能否有更准确的方法判断两条直线是异面直线呢？提出问题引发思考思考分析回答创设情境，借助熟悉的例子体会异面直线的特征观察异面直线a与d,直线a在黑板所在平面α内，直线d经过平面α外一点D和平面α内一点B，但直线a 不经过点B.于是得到：异面直线判断定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.已知：如图，M∈n且M∉α，P∈n且P∈α，m⊆α，P∉m.求证：m和n是异面直线.证明假设n和m共面，记它们所在的平面为β，则由M∈n可知M∈β.但是M∉α，因此α和β是两个不同的平面.由P∈n可知P∈β，又P∉m，因此，β是经过直线m及其外一点P的平面，而这就是平面α，与α和β是两个不同的平面相矛盾. 所以，m和n是异面直线.在画异面直线时，除图(1)画法外，我们还常把表示两条异面直线的线段分别画在不同的平面内，并且使它们既不相交也不平行，如图(2)和(3)中的异面直线m与n.例3 写出三棱锥D-ABC中与直线AB异面的直线.解因为AB⊆平面ABC，C∈平面ABC，C∉AB，D∉平面ABC，所以DC与AB是异面直线.对于平面内的两条相交直线，可用夹角大小定量描述它们之间的位置关系；对于平面的两条平行直线，可用距离定量描述它们之问的位置关系，如图所示.对于两条异面直线，如何定量描述它们之间的位置关系呢？己知两条异面直线a 与b ，如图(1)所示.在空间上任取一点P ，过点P 作a '∥a ， b '∥b ，得到两条相交直线a '和b '，如图 (2)所示.我们把相交直线a '与b '所成的角θ称为异面直线a 与b 所成的角.在作异面直线a 与b 所成的角时，常在其中的一条直线上取一点O ，过点O 作另一条直线的平行线，如图所示.由平面内两条直线所成角的范围可知,两条异面直线所成的角的取值范围是02π⎛⎤⎥⎝⎦，.特别地，当两条异面直线a 与b 所成的角为2π时，称这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b .例4 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求下列异面直线所成角的大小. (1)AB 与DD 1 ； (2)A 1C 1与BC .解 (1)因为正方体的各个面都是正方形，所以AA 1∥DD 1 . 又AA 1与AB 相交于点A ，故∠A 1AB 就是异面直线AB 与DD 1所成的角.因为∠A 1AB 是直角，所以异面直线AB 与DD 1所成角的大小为2π.(2)因为B 1C 1∥BC ,且A 1C 1与B 1C 1相交于点C 1, 所以∠A 1C 1B 1就是异面直线A 1C 1与BC 所成的角.观察正方体可以发现，正方体中与异面直线AB、DD1都垂直的棱有AD、A1D1、B1C1、BC，其中只有AD与异面直线AB和DD1同时垂直且相交.像这样，与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线有且只有一条.两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异面直线的距离.温馨提示因为两条直线垂直可以是相交垂直，也可以是异面垂直，所以经过一点P与己知直线l 垂直的直线有无数条. 例5 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，C1C=1，求异面直线A1B1与BC之间的距离.解因为长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是矩形，所以B1B⊥A1B1，B1B⊥BC.又B1B∩A1B1=B1，B1B∩ BC=B，练习4.2.21.关于两条直线的位置关系,以下描述正确的是( )A. 没有交点的两条直线平行B. 不平行的两条直线相交C.不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线D.两平行直线a、b分别在平面α、β内,则a、b是异面直线2.两条异面直线的公垂线指的是( )A.与两条异面直线都垂直的直线B. 与两条异面直线都垂直的相交直线C. 与两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.与两条异面直线都相交的所有直线3.在图中，分别给出异面直线m与n所成的角的一种画法.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1 各棱所在的直线中,分别指出与直线AA1平行、相交、异面的直线.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC与CD1所成的角的大小是；直线A1D1与BD所成的角的大小是；直线AD1与BC所成的角的大小是.6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求：(1)直线AB与CD之间的距离；(2)直线A1D1与CD之间的距离.。