江西省新余一中、宜春一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁RB）=（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．175．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±647．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S138．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．201512．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016= ．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）的取值范围．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A 1B 1=x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A、C、D错误，利用反证法说明B正确．【解答】解：a、b为非零实数，且a＜b．当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2＞b2，故A错误；若a＜0，b＞0，则＜；若a＜b＜0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立；若b＞a＞0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立．综上，＜，故B正确；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2b＞ab2，故C错误；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但，故D错误．故选：B．2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁B）=（）RA．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：A={x|x2≥1}={x|x≤﹣1或x≥1}，由，得0＜x≤2，∴={x|0＜x≤2}，∴∁RB={x|x≤0或x＞2}，∴A∩（∁RB）=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：C．3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理可得A，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=，又bc=2，∴△ABC的面积S=sinA==，故选：D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得：an+3=an，再利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=﹣（n∈N*），∴a2=﹣，同理可得：a3=，a4=3，…，∴an+3=an，∴a16=a1=3，能使an=3的n可以等于16．故选：C．5．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意设a=7k、b=4k、c=5k（k＞0），由余弦定理求出cosA的值，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简所求的式子，可得答案．【解答】解：∵，∴设a=7k、b=4k、c=5k，（k＞0）在△ABC中，由余弦定理得cosA==，由正弦定理得===，故选：C．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{an }，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．7．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S13【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a6=1，从而利用等差数列的前n项和公式能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和记为Sn，a2+a6+a10=3，∴3a6=3，解得a6=1，∴．∴各和数S6，S11，S12，S13中可确定值的是S11．故选：B．8．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．【解答】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣bc，即（b﹣c）2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列【考点】87：等比数列．【分析】可根据数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），求出a1，以及n≥2时，an，再观察，t等于多少时，{an}是等比数列即可．【解答】解：∵数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t为常数），∴a1=s1=2+t，n≥2时，an =sn﹣sn﹣1=2n+t﹣（2n﹣1+t）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1当t=﹣1时，a1=1满足an=2n﹣1故选：B10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立，利用判别式小于0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立∴[2（3﹣m）]2﹣4×2×（3﹣m）＜0，故m的取值范围为（1，3）．故选：A．11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．2015【考点】8F：等差数列的性质．【分析】正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，可得a1+a2015=2=a2+a2014，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，∴a1+a2015=2=a2+a2014，则=（a2+a2014）=≥=2，当且仅当a2=a2014=1时取等号．故选：B．12．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数Z=+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则Z=+=3t+，∵3t+≥2=2，当且仅当3t=，即t=时取等号，故a≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为{x|x＜3} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立，x≥2时，x﹣＜，解得：2≤x＜3，综上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案为：{x|x＜3}．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016=18 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．根据{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2013=，a2014=．q=3．即可得出．【解答】解：由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．∵{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴a2013=，a2014=，∴q=3．∴a2015+a2016=q2（a2013+a2014）=18．故答案为：18．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=bcsinA，利用基本不等式可得最大值．【解答】解：向量，，∵，∴b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=0．得：b2﹣bc=﹣c2+a2．即﹣a2+b2+c2=bc由余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA可是：bc=2bccosA．∴cosA=．∵0＜A＜π∴A=又b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．∴b+c，（当且仅当b=c时取等号）可得：bc≤．则△ABC面积S=bcsinA≤=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1} …（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n=2n+1+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到Tn．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此an =a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即an=2n+1．（Ⅱ）依题意，．Tn =b1+b2+…+bn=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差数列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化积、诱导公式等即可得出．（2）由，可得A﹣C=2A﹣，再利用倍角公式即可化为2sin2A﹣1+cos（A﹣C）=，由于，可得＜π，即可得出．【解答】解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），sinB ≠0，∴cosB=，B=．（2）∵，∴A﹣C=2A﹣，∴=，∵，∴＜π，∴＜≤1，∴2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知米∴=（2）当且仅当，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和；8I ：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n 项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a n }的通项公式，根据{b n }的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T n 是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a n =s n+2， 当n=1时，a 1=2，当n ≥2时，有2a n ﹣1=s n ﹣1+2，两式相减，整理得a n =2a n ﹣1即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上得出b n ﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n =2， 即数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此b n =2n ﹣1．（Ⅱ）B n =1+3+5+…+（2n ﹣1）=n 2 ∴=． （Ⅲ）T n =①②①﹣②得∴又∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．。

2017-2018学年江西省新余一中、宜春一中高三（下）联考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．“p或q是假”是“非p为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2 B．cm3C．3cm3D．3cm36．等差数列{a n}的前n项和S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n）+2（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．B．（﹣1，﹣2）C． D．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．8．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种9．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f （﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增10．如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．11．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．112．点F（c，0）为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P在双曲线上，线段PF与圆（x﹣）2+y2=相切于点Q，且=2，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．14．已知a＞0，（﹣x）6展开式的常数项为15，则（x2+x+）dx=．15．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为．16．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos2A+2sin2B+2sin2C﹣2sinBsinC=1．（1）求角A的大小；（2）若b=，c=4，求△ABC的外接圆的面积．18．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求n名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AC=BD，平面PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）在△PAD中，AP=2，AD=2，PD=4，三棱锥E﹣ACD的体积是，求二面角D﹣AE﹣C的大小．20．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．21．设函数f（x）=，g（x）=﹣x+（a+b）（其中e为自然对数的底数，a，b∈R且a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ae（x﹣1）．（1）求b的值；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）与g（x）有且只有两个交点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年江西省新余一中、宜春一中高三（下）联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．﹣iD ．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a +bi （a ，b ∈R ）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i ，它的共轭复数为：﹣i ．故选C2．“p 或q 是假”是“非p 为真”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“p 或q 为假”p 和q 都是假，而非P 是真表示P 是一个假，前者可以推出后者，后者不一定能推出前者．【解答】解：“p 或q 为假”表示p 和q 都是假， 而非P 是真表示P 是一个假，前者可以推出后者，后者不一定能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件， 故选A ．3．给定函数①，②，③y=|x ﹣1|，④y=2x +1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x ﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x +1为增函数． 【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．4．，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【分析】设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，解得cosθ=﹣，可得θ的值．【解答】解：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，即+=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，故选C．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2 B．cm3C．3cm3D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．6．等差数列{a n}的前n项和S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n）+2（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．B．（﹣1，﹣2）C． D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式可得公差d，a n，利用斜率计算公式、直线的方向向量即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2=10，a3+a4=26，∴2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4．∴a n=3+4（n﹣1）=4n﹣1．过点P（n，a n）和Q（n+1，a n）（n∈N*）的直线的斜率k==2d=8，+2由=8，可得直线PQ的一个方向向向量是，故选：D．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．【考点】程序框图．【分析】根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算s和n的值，直到n＞2016运行结束，输出此时的s的值即为答案．【解答】解：由框图知输出的结果为：，因为函数的周期是6，所以=336×0=0．故选：B ．8．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ） A ．35种 B ．24种 C ．18种 D ．9种 【考点】计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种， 故选：C ．9．设函数f （x ）=sin （ωx +φ）+cos （ωx +φ）的最小正周期为π，且f（﹣x ）=f （x ），则（ ）A ．f （x ）在单调递减B ．f （x ）在（，）单调递减C ．f （x ）在（0，）单调递增D ．f （x ）在（，）单调递增【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f （x ）=sin （ωx +ϕ）+cos （ωx +ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f （﹣x ）=f （x ），得φ+=+k π（k ∈Z ），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f （x ）=cos2x ，若x ∈，则2x ∈（0，π），从而f （x ）在单调递减，若x ∈（，），则2x ∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B ，C ，D 都错，A 正确． 故选A ．10．如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．11．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】基本不等式；简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为3，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个三角形，如图3个顶点是A（﹣3，0），B（﹣2，0），C（1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值3，即a+2b=3．∴=（a+2b）•（）=（1+4++）≥×9=3（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．12．点F（c，0）为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P在双曲线上，线段PF与圆（x﹣）2+y2=相切于点Q，且=2，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设椭圆的左焦点为F1，确定PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a+b，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则∵（x﹣）2+y2=，∴圆心坐标为（，0），半径为r=∴|F1F|=3|FC|∵，∴PF1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a+b∵线段PF与圆（x﹣）2+y2=（其中c2=a2+b2）相切于点Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a+b）2=4c2∴b2+（2a+b）2=4（a2+b2）∴b=2a，∴c= a∴e==故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）14．已知a＞0，（﹣x）6展开式的常数项为15，则（x2+x+）dx=．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】首先根据二项式系数的性质．求出a的值，在求定积分的值．【解答】解：根据二项式定理的通项公式，∴二项式（﹣x）6展开的通项公式为∵常数项为15，∴，解得：r=2∵常数项为=15解得：a=1∴（x2+x+）dx=∵，∴（x2+x+）dx=故答案为：15．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型，求出阴影部分的面积，即可得到结论．【解答】解：将图形平均分成四个部分，则每个图形空白处的面积为2（﹣×1×1）=2（）=﹣1，阴影部分的面积为π×12﹣4（﹣1）=4﹣π，∴根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为=，故答案为：．16．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f （x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）==．当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）==，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．令g′（x）＞0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则，解得．∴实数a的取值范围是．故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos2A+2sin2B+2sin2C﹣2sinBsinC=1．（1）求角A的大小；（2）若b=，c=4，求△ABC的外接圆的面积．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）根据二倍角余弦公式的变形化简已知的式子，利用正弦、余弦定理化简后求出cosA的值，根据内角的范围求出角A；（2）由题意和余弦定理求出边a，利用正弦定理可求出△ABC的外接圆的半径，代入圆的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵cos2A+2sin2B+2sin2C﹣2sinBsinC=1，∴1﹣2sin2A+2sin2B+2sin2C﹣2sinBsinC=1，则﹣sin2A+sin2B+sin2C﹣sinBsinC=0，由正弦定理得，，∴，由余弦定理得，cosA==，∵0＜A＜π，∴A=；（2）设△ABC的外接圆的半径R，∵b=，c=4，A=，∴由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=3+16﹣2×=7，则a=，∴2R===2，则R=，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=7π．18．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求n名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）先求出其不意80～90分数段的毕业生的频率，再求出毕业生的总人数，由此利用90～95分数段内的人数频率，从而能求出90～95分数段内的人数．（Ⅱ）90：95分数段内共6名毕业生，设其中男生z名，女生为6﹣x名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，由P（A）=1﹣=，能求出6名毕业生中有男生2人，女生4人．（Ⅲ）ξ表示n名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数，ξ的取值可以为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和随机变量ξ数学期望．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：p1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为：p2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．（Ⅱ）90：95分数段内共6名毕业生，设其中男生z名，女生为6﹣x名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，则P（A）=1﹣=，解得x=2或x=9（舍去），即6名毕业生中有男生2人，女生4人．…（Ⅲ）ξ表示n名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数，所以ξ的取值可以为0，1，2，当ξ=0时，P（ξ=0）==，当ξ=1时，P（ξ=1）==，当ξ=2时，P（ξ=2）==，所以随机变量ξ数学期望为Eξ==1．…19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AC=BD，平面PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）在△PAD中，AP=2，AD=2，PD=4，三棱锥E﹣ACD的体积是，求二面角D﹣AE﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结EO，则EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．（Ⅱ）推导出PA⊥AD．则PA⊥平面ABC，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结EO．∵ABCD是平行四边形，∴O为BD的中点．又E为PD的中点，∴EO∥PB．∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．解：（Ⅱ）∵在△PAD中，，∴AP2+AD2=PD2，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，在平行四边形ABCD中，AC=BD，∴ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系A﹣xyz，∵E为PD的中点，∴三棱锥E﹣ACD的高为，设AB=m（m＞0），三棱锥E﹣ACD的体积，解得m=3=AB．则，，设B（3，0，0）（m＞0），则．设为平面ACE的法向量，则，即，取y=﹣1，得．又为平面DAE的法向量，由题设，即二面角D﹣AE﹣C的大小是60°．20．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，再根据a2=b2+c2可求得a；（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k1+k2=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由已知可求得AB方程，易验证其过定点；【解答】（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，故椭圆方程为：=1．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则．由已知k1+k2=8，可得，所以，即．所以，整理得．故直线AB的方程为，即y=k（）﹣2．所以直线AB过定点（）．（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为，显然过点（）．综上，直线AB过定点（）．21．设函数f（x）=，g（x）=﹣x+（a+b）（其中e为自然对数的底数，a，b∈R且a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ae（x﹣1）．（1）求b的值；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）与g（x）有且只有两个交点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，从而可得f′（1）=ab=ae，从而解得；（2）令，则任意，f（x）与g（x）有且只有两个交点可化为函数h（x）在有且只有两个零点．求导，从而分类讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）由，得，由题意得f′（1）=ab=ae，∵a≠0，∴b=e，（2）令，则任意，f（x）与g（x）有且只有两个交点，等价于函数h（x）在有且只有两个零点．由，得，①当时，由h′（x）＞0得x＞e；由h′（x）＜0得．此时h（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，∵，∴要使得h（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由h′（x）＞0得或x＞e；由h′（x）＜0得a＜x＜e．此时h（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时h（x）在至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由h′（x）＞0得或x＞a，由h′（x）＜0得e＜x＜a，此时h（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴h（x）在至多只有一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．【解答】解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．2016年11月2日。

高一下期中数学试题精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2017-2018学年度第二学期高一年级期中考试数学试题（考试时间：120分钟，满分160分）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．若直线l 过两点()()6,3,2,1B A ，则l 的斜率为 .2．已知等差数列{}n a 中，7,141==a a ，则它的第5项为__________. 3．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c，若60a A ︒==，则=Bbsin ________． 4．不等式01<-xx 的解集为 .5．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝________．6．若点()t P ,2-在直线062:=++y x l 的上方，则t 的取值范围是 .7．已知点()1,1-A 与点B 关于直线03:=+-y x l 对称，则点B 坐标为 .8．若圆M 过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -，则圆M 的面积为__________．9．若方程组23{22ax y x ay +=+=无解，则实数a =_____． 10．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15323S S S +=，则{}n a 的公比等于__________．11．已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，若{}y x y x z 24,3m ax --=，则z 的取值范围是____________．({}b a ,m ax 表示b a ,中的较大数) 12．已知实数x,y 满足322=+y x ，22y x ≠，则()()22222122y x y x y x -+++的最小值为____________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,,51221=-=+=+n n n n a a n a a a ，则100S =___________．14．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，且32cos 422=-+C ab b a ，则ABC ∆的面积的最大值为___________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在ABC ∆中， 36,4AB B π=∠=， D 是BC 边上一点，且3ADB π∠=.（1）求AD 的长；（2）若10CD =，求AC 的长.16．（本小题满分14分）已知函数1)1()(2++-=x a a x x f ，（1）当2a =时,解关于x 的不等式0)(≤x f ； （2）若0>a ,解关于x 的不等式0)(≤x f ．17．（本小题满分14分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足63,7272351==+S a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1111,++=-=n n n a b b a b ，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和为n T ，求使得20kT n <对任意的*N n ∈都成立的最小正整数k 的值.18.（本小题满分16分）如图所示，直角三角形ABC 是一块绿地，90C =，20AC =米，50BC =米，现要扩大成更大的直角三角形DEF 绿地，其斜边EF 过点A ，且与BC 平行，DE 过点C ，DF 过点B .（1）设∠=BCD α，试用α表示出三角形DEF 面积S （平方米）；（2）如果在新增绿地上种植草皮，且种植草皮的费用是每平方米100元，那么在新增绿地上种植草皮的费用最少需要多少元？19.（本小题满分16分）已知圆C 过A （0,2）且与圆M ：04822=+++y x y x 切于原点． （1）求圆C 的方程；（2）已知D 为y 轴上一点，若圆C 上存在两点M ，N ，使得2π=∠MDN ，求D 点纵坐标的取值范围；（3）12,l l 是过点B （1,0）且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点．求三角形EPQ 的面积的最小值．F EDABC20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 满足112++-=n n n n a a a a ，且*1,21N n a ∈=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++-=+k n a a k n n n b nn n 2,12,111122()*∈N k ，求{}n b 的前n 项和n S （用n 表示）； （3）设nn a C 1=，n T 为{}n C 前n 项和，从{}n C 中抽取一个公比为q 的等比数列{}nk C ，其中11=k，且*∈<<<<N k k k k n n ,21 ，若关于()*∈N n n 的不等式12+>n n k T 有解，求q 的值．数学试题参考答案1．2 2．9 3．2 4．{}10<<x x 5．120° 6．()+∞-,2 7．()2,2- 8．π25 9．2± 10．2 11．[]8,2- 12．5913．1314 14．5515．解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB=∠，2=∴6AD=（2）∵3ADBπ∠=，∴23ADCπ∠=在ACD∆中，由余弦定理得22222cos3AC AD DC AD DCπ=+-⋅⋅13610026101962⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭∴14AC=16．解：（1）当2a=时得()2111210202222x x x x x⎛⎫⎛⎫-++≤∴--≤∴≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解集为1[,2]2（2）∵不等式))(1()(≤--=axaxxf,>a当10<<a时，有aa>1，∴不等式的解集为}1|{axax≤≤；当1>a时，有aa<1，∴不等式的解集为}1|{axax≤≤；当1=a时，不等式的解集为{1}.17．解：（1）12+=nan（2）321+=-+nbbnn，当2≥n时，()()()112211bbbbbbbbnnnnn+-++-+-=---=()2+n n又31=b也满足上式，所以()2+=nnbn()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=∴21121211nnnnbn⎪⎭⎫⎝⎛+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=∴21112143211412131121nnnnTnkkTn∴≤∴<204343的最小正整数值为15.18．（1）αααααcos 20sin 50tan ,sin 20cos 50+==+=DE DF DE ⎪⎭⎫⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅=∴∆2,0,1000cos sin 4cos sin 2550cos 20sin 50sin 20cos 502121παααααααααDF DE S DEF（2）设新增绿地上种植草皮的费用为()15000050000cos sin 4cos sin 2550001005001000cos sin 4cos sin 2550≥+⎪⎭⎫⎝⎛+=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫⎝⎛+=αααααααααf当且仅当52cos sin =αα即542sin =α时等号成立 答：（1）⎪⎭⎫⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆2,0,1000cos sin 4cos sin 2550παααααDEF S（2）新增绿地上种植草皮的费用最少需要15万元．19．（1）圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= （2）设()t D ,0，则()61611014102+≤≤-∴≤-+∴≤t t CD所以D 点纵坐标范围是[]61,61+-；（3）（i ）当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQS=；（ii ）当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)y k x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)y x k =--，点1(0,)E k．所以，BE =．又圆心Ｃ到2l 的距离为1|1|2+-k k ,所以，222214242)1|1|(52k k k k k PQ +++=+--=．故12EPQSBE PQ =⋅=2<所以，()EPQ min S =20．解：（1）由112++-=n n n n a a a a ，得：21,21111==-+a a a n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是首项为2公差为2的等差数列，所以()na n n a n n 2122121=∴=-+= （2）由（1）可得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=+111411411n n n n a a n n ， ,211111--+=++-n n n n当n 为偶数时，()2422214121212131212114122224202++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n n n n n n n S n 当n 为奇数时，()211141211--+++-+-=+=-n n n n n b S S n n n =()14121+-++n n n ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++++=∴为奇数为偶数n n n n n n nn S n ,14121,242； （3）()1,2+==n n T n C n n ，1122--=∴==n n n n k q k q k C n ， 由*∈<<<<N k k k k n n ,21 ，得*∈>N q q ,112+>n n k T 即()()11212>+∴>+nn qn n q n n 当3,2=q 时均存在n 满足上式，下面证明*∈≥N q q ,4时，不满足题意， 设()nn qn n e 12+=， ()()[]()n n n n n e e q n q q q n q n e e <∴<+-≤+-∴≥+-+=-+++1110221221422112{}n e ∴递减，()112141≤+=∴≤=n n qn n e q e 综上, 3,2=q ．。

某某省某某一中、某某一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C2．（5分）圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（）A．B．C．D．23．（5分）若＜α＜π，则直线+=1必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）设向量和均为单位向量，且（+）2=1，则与夹角为（）A．B．C．D．5．（5分）已知tanα=﹣，＜α＜π，那么cosα﹣sinα的值是（）A．﹣B．C．D．6．（5分）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则⊙=0 B．⊙=⊙C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙）D．（⊙）2+（）2=||2||2 7．（5分）下列函数中，是偶函数且图象关于x=对称的函数是（）A．y=sin2x B．y=cosx C．y=sin（﹣2x）D．y=tanx8．（5分）若cos（2π﹣α）=且α∈（﹣，0），则sin（α﹣π）=（）A．﹣B．C．D．﹣9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）10．（5分）如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A．12.5 12.5 B．12.5 13 C．13 12.5 D．13 1311．（5分）设，是两个非零向量，以下三个说法中正确的有（）个①若∥，则向量在方向上的投影为||；②若•＜0，则向量与的夹角为钝角；③若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．0 B．3 C．2 D．112．（5分）如图，已知ABCD是底角为30°的等腰梯形，AD=2，BC=4，取两腰中点M、N分别交对角线BD、AC于G、H，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分．共20分）13．（5分）某地区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的．（将你认为正确的序号都写上）①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样14．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角α的最小正值为．15．（5分）如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，设向量=，=，则把向量用，表示，其结果为．16．（5分）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，△ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若=，=，试以，为基底表示、、．18．（12分）是否存在α、β，α∈（﹣，），β∈（0，π）使等式sin（3π﹣α）=cos（﹣β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β）同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知向量=（2，﹣1），=（3，2），=（M，2M+1），若点A，B，C能构成三角形，（1）某某数m满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，求m的值．20．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）试求函数y=f（x）（x∈R）图象的对称中心坐标；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．21．（12分）已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=1交于P，Q两点．（Ⅰ）若，求直线l的方程；（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．22．（12分）已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），点P是直线AB上的一点，且=．（1）若O，P，C三点共线，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长；（2）记函数f（α）=•，α∈（﹣，），已知：sinx+cosx=sin（x+）．试求函数f（α）的值域．某某省某某一中、某某一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C考点：任意角的概念；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先明确第一象限角的定义，锐角的定义，小于的角的定义，结合所给的选项，通过举反例、排除等手段，选出应选的选项．解答：解：∵A={第一象限角}={θ|2kπ＜θ＜2kπ+，k∈Z}，C={小于的角}={θ|θ＜}，B={锐角}=，∴B∪C=C，故选：B．点评：本题考查任意角的概念，集合间的包含关系的判断及应用，准确理解好定义是解决问题的关键．2．（5分）圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（）A．B．C．D．2考点：弧度制的应用．专题：数形结合．分析：等边三角形ABC是半径为 r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=，求出AB的长度（用r表示），就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数．解答：解：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=，作OM⊥AB，垂足为M，在rt△AOM中，AO=r，∠AOM=，∴AM=r，AB=r，∴l= r，由弧长公式l=|α|r，得，α===．故选 C．点评：本题考查圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用，体现了数形结合的数学思想．3．（5分）若＜α＜π，则直线+=1必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：直线的一般式方程与直线的性质．专题：直线与圆．分析：由＜α＜π，可得sinα＞0，cosα＜0，直线+=1必经过第一、三、四象限，即可得出．解答：解：∵＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴直线+=1必经过第一、三、四象限，因此比不经过第二象限．故选：B．点评：本题考查了直线的截距式、三角函数值在各个象限的符号，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）设向量和均为单位向量，且（+）2=1，则与夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：根据向量数量积的运算和题意，求出两向量夹角的余弦值，进而求出向量夹角的值．解答：解：∵（+）2=1，和是单位向量，∴•=，，则＜，＞=，故选C．点评：本题考查了向量数量积的应用，即根据数量积的运算求出对应向量的夹角余弦值，注意利用向量夹角的X围求出向量夹角的值．5．（5分）已知tanα=﹣，＜α＜π，那么cosα﹣sinα的值是（）A．﹣B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanα的值及α的X围，利用同角三角函数间的基本关系求出si nα与cosα的值，代入原式计算即可求出值．解答：解：∵tanα=﹣，＜α＜π，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则cosα﹣sinα=﹣﹣=﹣．故选：A．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．6．（5分）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则⊙=0 B．⊙=⊙C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙）D．（⊙）2+（）2=||2||2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意对选项逐一分析．若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，⊙=λqm﹣λpn，而⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C正确，对于D，（⊙）2+（）2=（qm﹣pn）2+（mp﹣nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；得到答案．解答：解：对于A，若与共线，则有，故A正确；对于B，因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，⊙=λq m﹣λpn，而⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C正确，对于D，（⊙）2+（）2=（qm﹣pn）2+（mp﹣nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；故选B．点评：本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力．7．（5分）下列函数中，是偶函数且图象关于x=对称的函数是（）A．y=sin2x B．y=cosx C．y=sin（﹣2x）D．y=tanx考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的对称性和奇偶性进行判断即可．解答：解：y=sin2x是奇函数，不满足条件，y=cosx是偶函数，关于x=不对称，y=sin（﹣2x）=cos2x是偶函数，当x=时，y=sin（﹣2×）=sin（﹣）=﹣1，则图象关于x=对称，满足条件．y=tanx是奇函数，不满足条件．故选：C点评：本题主要考查三角函数奇偶性和对称性的判断，比较基础．8．（5分）若cos（2π﹣α）=且α∈（﹣，0），则sin（α﹣π）=（）A．﹣B．C．D．﹣考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用应用诱导公式化简所给的式子，可得结果．解答：解：由于cos（2π﹣α）==cosα，且α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，故sin（α﹣π）=﹣sinα=，故选：B．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的X围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．解答：解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin=sin（2x﹣），故选D．点评：本题考查学生的视图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力．10．（5分）如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A．12.5 12.5 B．12.5 13 C．13 12.5 D．13 13考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标进行解题即可．解答：解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可∴中位数是13故选B．点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．11．（5分）设，是两个非零向量，以下三个说法中正确的有（）个①若∥，则向量在方向上的投影为||；②若•＜0，则向量与的夹角为钝角；③若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．0 B．3 C．2 D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的关系现在，数量积等对三个说法分别分析解答．解答：解：对于①，若∥，则，向量在方向上的投影为=±||；故①错误；对于②，若•＜0，则向量与的夹角为钝角或者共线反向；故②错误；对于③，若|+|=||﹣||，则（|+|）2=（||﹣||）2，整理得向量的夹角为π，所以存在实数λ，使得=λ；故③正确；故选：D．点评：本题考查了向量共线的性质、向量的数量积等，属于基础题．12．（5分）如图，已知ABCD是底角为30°的等腰梯形，AD=2，BC=4，取两腰中点M、N分别交对角线BD、AC于G、H，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：以BC所在直线为x轴，B为原点建立如图直角坐标系，可得A、B、C、D各点的坐标．利用梯形的中位线定理，结合题中数据算出G（，），从而得到向量=（，﹣），再求出向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式，即可算出的值．解答：解：以BC所在直线为x轴，B为原点建立如图直角坐标系可得A（，1），B（0，0），C（4，0）D（3，1）∵MN是梯形ABCD的中位线∴设G（m，）由=（m，），=（3，1）且∥可得m×1=3，解得m=，G（，）由此可得=（，﹣），∵=（3，﹣1），∴=×3+（﹣）•（﹣1）=5故选：C点评：本题给出底角为30度的等腰梯形，求数量积的值．着重考查了向量的坐标运算、向量平行的条件和向量数量积的运算公式等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分．共20分）13．（5分）某地区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的①②③．（将你认为正确的序号都写上）①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样考点：收集数据的方法．专题：阅读型．分析：首先分析在整个抽样过程中需要用到几种抽样方法，总体中有明显的区别，这个抽样过需要分层抽样，在工人家庭抽取时，由于家庭户数比较少，可以采用简单随机抽样，农民家庭有1600户，户数比较多，可以采用系统抽样．解答：解：某地区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本，首先分析总体中有明显的区别，这个抽样过需要分层抽样，取到分层抽样以后在工人家庭抽取时，由于家庭户数比较少，可以采用简单随机抽样，而农民家庭有1600户，户数比较多，可以采用系统抽样，故在整个抽样过程中，用到三种抽样方法，故答案为：①②③点评：在抽样方法中，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角α的最小正值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据角α的终边经过点M，且点M在第四象限，tanα═﹣1，从而求得角α的最小正值．解答：解：角α的终边上一点的坐标为M（sin，cos），即 M（，﹣），故点M在第四象限，且tanα==﹣1，则角α的最小正值为，故答案为：．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15．（5分）如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，设向量=，=，则把向量用，表示，其结果为﹣．考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量加法的平行四边形法则及向量的减法即可用向量表示．解答：解：通过图形及已知条件得：=．点评：考查向量加法的平行四边形法则及减法运算．16．（5分）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为6．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：压轴题．分析：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，然后将向量用向量与向量表示出即可．解答：解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，由=||=1，||=得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6．故答案为6．点评：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．这里要求学生一定要会画图．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，△AB CD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若=，=，试以，为基底表示、、．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的加法运算及图形很容易表示出，对于用两种方式表示：一种是，，和共线，所以存在x使，这样便可表示；另一种是，用同样的办法表示，这样便可求得x，y，从而表示出．解答：解：根据图形得：；，，∵和共线，∴存在实数x使；∴；又，∴同样；∴，解得x=，．∴．点评：考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理．18．（12分）是否存在α、β，α∈（﹣，），β∈（0，π）使等式sin（3π﹣α）=cos（﹣β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β）同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．考点：诱导公式的作用．分析：首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式sin2β+cos2β=1解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的α、β．解答：答：存在满足要求的α、β．解：由条件得①2+②2得sin2α+3cos2α=2，∴cos2α=即cosα=．∵α∈（﹣，），∴α=或α=﹣．将α=代入②得cosβ=．又β∈（0，π），∴β=，代入①可知，符合．将α=﹣代入②得β=，代入①可知，不符合．综上可知α=，β=．点评：本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值．19．（12分）已知向量=（2，﹣1），=（3，2），=（M，2M+1），若点A，B，C能构成三角形，（1）某某数m满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，求m的值．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由已知得到，因为A，B，C能构成三角形，故点A，B，C不共线，即不共线，得到关于m的不等式解之；（2）由已知三角形为直角三角形，得到有三种可能，根据向量垂直的性质得到m的三个方程解之．解答：解：（1）因为=（1，3），=（m﹣2，2m+2），又A，B，C能构成三角形，故点A，B，C不共线，即不共线，所以3（m﹣2）﹣（2m+2）≠0，解得m≠8；（2）由题知△ABC为直角三角形，即有，或者或者，且=（m﹣3，2m﹣1）所以m﹣2+3（2m+2）=0或者m﹣3+3（2m﹣1）=0或者（m﹣2）（m﹣3）+（2m+2）（2m﹣1）=0，解得，m=或者m=或者∅，所以当△ABC为直角三角形，m的值为或者m=．点评：本题考查了向量的共线、垂直的坐标运算；属于基础题．20．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）试求函数y=f（x）（x∈R）图象的对称中心坐标；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数图象的对称性求得函数y=f（x）（x∈R）图象的对称中心坐标．（2）由f（C）=1求得C=，再利用同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，求得sinA 的值．解答：解：（1）由于函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的最小正周期为=3π，∴ω=，f（x）=2sin（x+）﹣1．令x+=kπ，k∈z，求得x=kπ﹣，故函数的图象的对称中心为（kπ﹣，﹣1），k∈z．（2）由f（C）=2sin（C+）﹣1=1，可得sin（C+）=1．由C∈（0，π），可得C+∈（，），∴C+=，求得C=．再由2sin2B=cosB+cos（A﹣C），可得2sin2B=cosB+sinA，即 2cos2A=sinA+sinA，∴cos2A=sinA，∴1﹣sin2A=sinA，求得sinA=．点评：本题主要考查正弦函数的周期性、图象的对称性，同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于中档题．21．（12分）已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=1交于P，Q两点．（Ⅰ）若，求直线l的方程；（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积的定义求出，∠POQ=120°，得到O到直线l的距离等于，根据点到直线的距离公式求出直线l的斜率，从而得到直线l的方程．（Ⅱ）因为△OMP与△OPQ的面积相等，可得，再由P，Q两点在圆上，可解得点P的坐标，由两点式求得直线l的斜率．解答：解：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点M（﹣2，0），可设直线l：y=k（x+2）．因为P、Q两点在圆x2+y2=1上，所以，，因为，所以，，所以，∠POQ=120°，所以，O到直线l的距离等于．所以，，得，所以直线l的方程为x﹣15y+2=0，或x+15y+2=0，即 x﹣y+2=0，或x+y+2=0．（Ⅱ）因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以，，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以，，．所以，，即（*）；因为P，Q两点在圆上，所以，把（*）代入，得，所以，，所以，直线l的斜率，即．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，直线和圆相交的性质，求出点P的坐标是解题的难点，属于基础题．22．（12分）已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），点P是直线AB上的一点，且=．（1）若O，P，C三点共线，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长；（2）记函数f（α）=•，α∈（﹣，），已知：sinx+cosx=sin（x+）．试求函数f（α）的值域．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）由已知求出的坐标，得到P的坐标，利用O，P，C三点共线，得到坐标的关系求出cos2α，然后利用平行四边形法则求||，||；（2）利用数量积得到f（α），化简后判断复合角的X围，得到所求值域．解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则==（cosα﹣sinα，﹣1），=（x﹣cosα，y），∵，∴x=2cosα﹣sinα，y=﹣1∴点P的坐标为（2cosα﹣sinα，﹣1）由O，P，C三点共线知：，所以sinα=2（2cosα﹣sinα），∴，∵sin2α+cos2α=1∴cos2α=，∴||===，||===；所以以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长分别为；（2）∵=（cosα﹣sinα，﹣1），=（2sinα，﹣1），∴f（α）=•=2sinα（cosα﹣sinα）+1=sin2α+cos2α=sin（2），∵α∈（﹣，），∴0＜2＜，所以，∴f（α）的值域为（﹣1，]．点评：本题考查了向量的坐标运算以及三角函数式的化简以及三角函数式的区域求法；属于中档题．。

江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（共八套）江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．过两点A（1，），B（4，2）的直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若β⊥α，l⊥α，则l∥βB．若l∥β，l∥α，则α∥βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β4．若圆锥的轴截面是等边三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．90°B．180°C．45°D．60°5．如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax+By﹣C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．一个多面体的三视图如图所示，其中主视图是正方形，左视图是等腰三角形，则该几何体的侧面积为（）A．64 B．98 C．108 D．1587．若直线ax+by﹣3=0和圆x2+y2+4x﹣1=0切于点P（﹣1，2），则ab的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．38．已知圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4（a＞0）被直线x﹣y﹣l=0截得的弦长为2，则a的值为（）A．B．C．﹣l D．﹣l9．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．10．直线L1：ax+（1﹣a）y=3，L2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a的值是（）A．0或﹣B．1或﹣3 C．﹣3 D．111．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是（）A．①B．②C．③D．④12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC二．填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是．14．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件．15．经过两圆x2+y2+6x﹣4=0和x2+y2+6y﹣28=0的交点，并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．16．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O的表面积为．三．解答题．（本大题共6个大题，共70分）17．已知直线l的方程为2x﹣y+1=0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．18．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PDC⊥平面PAD．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不经过坐标原点的直线l与圆C相切，且直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）设点P在圆C上，求点P到直线x﹣y﹣5=0距离的最大值与最小值．20．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（1）求证：D1C⊥AC1；（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．21．已知以点C为圆心的圆经过点A（0，﹣1）和B（4，3），且圆心在直线3x+y﹣15=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．22．已知直角梯形ABCD的下底与等腰直角三角形ABE的斜边重合，AB⊥BC，且AB=2CD=2BC（如图1），将此图形沿AB折叠成直二面角，连接EC、ED，得到四棱锥E ﹣ABCD（如图2）．（1）求证：在四棱锥E﹣ABCD中，AB⊥DE．（2）设BC=1，求点C到平面EBD的距离．参考答案一．单项选择题1．A．2．C．3．C．4．B 5．A．6．A．7．C 8．A．9．B 10．B．11．B．12．D．二．填空题13．答案为：16．14．答案为：1800．15．答案为：x2+y2﹣x+7y﹣32=0．16．答案为：．三．解答题17．解：（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m=0，解得m=﹣7．∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y﹣7=0；（Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1=0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c=0，∵点P（3，0）到直线l2的距离为．∴=，解得c=﹣1或﹣11．∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1=0或2x﹣y﹣11=0．18．证明：（1）连结BD交AC于O，连结EO，则EO是△PBD的中位线，∴EO∥PB，又PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，∴PB∥平面EAC；（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABC，∴PA⊥CD．∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD．而PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD．19．解：（1）圆C的方程可化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，即圆心的坐标为（﹣1，2），半径为，因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l的方程为x+y+m=0，于是有，得m=1或m=﹣3，因此直线l的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0；（2）因为圆心（﹣1，2）到直线x﹣y﹣5=0的距离为，所以点P到直线x﹣y﹣5=0距离的最大值与最小值依次分别为和．20．解：（1）证明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形．∴DC1⊥D1C．又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1=D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C．∵AD，DC1⊂平面ADC1，且AD⊥DC=D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1．（2）连接AD1，连接AE，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点．∴N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE．即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．21．解：（Ⅰ）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 …依题意得…解得D=﹣12，E=6，F=5 …∴所求圆的方程是x2+y2﹣12x+6y+5=0 …（Ⅱ）|AB|==4，…由已知知直线AB的方程为x﹣y﹣1=0 …所以圆心C（6，﹣3）到AB的距离为d=4…P到AB距离的最大值为d+r=4+2…所以△PAB面积的最大值为=16+8…22．解：（1）作AB的中点F，连结EF，DF，∵AB=2CD，∴BE=CD=BC，∵BE∥CD，∴四边形BCDE为正方形，∴DF⊥AB，∵BE=AE，F为AB的中点，∴EF ⊥AB ，∴AB ⊥平面DEF ， ∵DE ⊂平面DEF ， ∴AB ⊥DE ． （2）∵BC=1，∴AB=2BC=2，BE==，BD=BC=，FE=BF=1，DF=BC=1∴DE=EF=，∴△BDE 为等边三角形，边长为，∴S △BDE =××=．∵EF ⊥AB ，平面EAB ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，即EF 为点E 到平面ABCD 的距离，∴S E ﹣BCD =•EF •S △BCD =×1×=， 设点C 到平面EBD 的距离为d ，则S E ﹣BCD =•d •S △BDE =•d •=，∴d=，即点C 到平面EBD 的距离为．江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（二）（考试时间120分钟 满分150分）一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．﹣30° C ．630° D ．﹣630°2．如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若和都是单位向量，则D ．两个相等向量的模相等4．下列关系式正确的是（ ）A ． +=0B ． •是一个向量C ．﹣=D ．0•=5．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．16．要得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，应该把函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向右平移7．已知，且x 在第三象限，则cosx=（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示的是函数y=2sin （ωx +φ）（|φ|＜）的部分图象，那么（ ）A ．ω=，φ=B ．ω=，φ=﹣C ．ω=2，φ=D ．ω=2，φ=﹣9．余弦函数y=cos （x +）在下列（ ）区间为减函数．A ．[﹣π，] B ．[﹣π，0] C ．[﹣，π] D ．[﹣，]10．已知=（3，1），=（x ，﹣1），且∥，则x 等于（ ）A ．B ．﹣C ．3D ．﹣311．已知||=，||=2，.=﹣3，则与的夹角是（ ） A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°12．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若++=，则点P 与△ABC的位置关系是（ ）A ．P 在AC 边上B ．P 在AB 边上或其延长线上C ．P 在△ABC 外部D ．P 在△ABC 内部二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知sin α=，α是第一象限角，则cos （π﹣α）的值为______．14．已知=（﹣1，3），=（1，t ），若（﹣2）⊥，则||=______．15．如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上一点，G 为AC 与DE 的交点，且，若=，，则用，表示=______．16．已知函数y=3cosx （0≤x≤2π）的图象和直线y=3围成一个封闭的平面图形，则其面积为______．．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为（，），且A与B关于y轴对称．（1）求sin∠COA；（2）求cos∠COB．18．设f（θ）=．（1）化简f（θ）（2）求f（）的值．19．已知函数f（x）=sin（﹣）．（1）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格20．已知向量．（1）若向量与向量平行，求实数m的值；（2）若向量与向量垂直，求实数m的值；（3）若，且存在不等于零的实数k，t使得，试求的最小值．21．已知函数y=3sin（2x+﹣2．（Ⅰ）求f（x）最小正周期，对称轴及对称中心；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π]上的单调性．22．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为上的一个动点．若=x+y，求x+3y 的取值范围．参考答案一、单项选择题1． B ．2． B 3． D ．4． D ．5． A ．6． D ．7． D ．8． A ．9． C ．10． D ． 11． B 12． A ．二、填空题13．答案为：．14．答案为：．15．答案为：． 16．答案为：6π．三、解答题17．解：（1）∵A 点的坐标为（，），∴sin ∠COA=；（2）cos ∠COB=cos （π﹣∠COA ）=﹣cos ∠COA=﹣．18．解：（1）===；（2）．19．解：（1）令，则．填表：……（2）因为x∈[0，2]，所以，…所以当，即x=0时，取得最小值；…当，即时，取得最大值1 …20．解：（1）∵，且∴，解得；（2）∵，且∴，解得；（3）由（2）可知，时，m=，∴=（﹣，1），=（，）又∵，∴，∴+t（t2﹣3）+（t﹣kt2+3k）=0，代入数据可得：﹣4k+t（t2﹣3）=0∴，∴，由二次函数的知识可知，当t=﹣2时，的最小值为．21．解：函数y=3sin（2x+）﹣2；（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期是T==π，令2x+=+kπ，k∈Z，解得x=+，k∈Z，∴函数f（x）的对称轴是x=+，k∈Z；令2x+=kπ，k∈Z，解得x=﹣+，k∈Z，∴函数f（x）的对称中心是（﹣+，﹣2）；（Ⅱ）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z；同理函数f（x）的单调减区间为[+kπ， +kπ]，k∈Z；∴函数f（x）在区间[0，π]上的单调性是：单调增区间为[0，]和[，π]，单调减区间为[，]．22．解：设扇形的半径为r；考虑到C为弧AB上的一个动点，=x+y．显然x，y∈[0，1]；两边平方：=；所以：y2+x•y+x2﹣1=0，显然△=4﹣3x2＞0；∵y＞0，∴解得：，故；不妨令，x∈[0，1]；∴；∴f（x）在x∈[0，1]上单调递减，f（0）=3，f（1）=1，∴f（x）∈[1，3]；即x+3y的取值范围为[1，3]．江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．下列说法中正确的是（）A．单位向量的长度为1B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量的夹角为0°D．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内2．将300°化为弧度为（）A． B． C． D．3．向量（+）+（+）+化简后等于（）A．B．C．D．4．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若直线ax+2y+1=0与直线x﹣y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A．﹣B．2 C．﹣D．﹣26．四边形ABCD中，若向量=，则四边形ABCD（）A．是平行四边形或梯形B．是梯形C．不是平行四边形，也不是梯形D．是平行四边形7．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=48．函数y=3sin（2x+）的单调增区间（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）9．要得到函数y=3cos（2x﹣）的图象，可以将函数y=3sin2x的图象（）A．沿x轴向左平移单位B．沿x轴向右平移单位C．沿x轴向左平移单位D．沿x轴向右平移单位10．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则cos2θ﹣sinθ2+2=（）A．B．C．﹣D．﹣11．已知函数f（x）=（sinx+cosx）﹣|sinx﹣cosx|+1，则f（x）的值域是（）A．[0，2]B．[1﹣，2]C．[0，1﹣]D．[0，1+]12．给出下列说法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α=sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限或x轴负半轴的角．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知=，=，=，=，=，则+++=．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）=．16．关于函数f（x）=6sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为f（x）=6cos（2x﹣）；③y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=对称．以上命题成立的序号是．三、．解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（4a，﹣3a）（a＞0），求2sinα+cosα+tanα的值．18．设，是二个不共线向量，知=2﹣8，=+3，=2﹣．（1）证明：A、B、D三点共线；（2）若=4﹣k，且B、D、F三点线，求k的值．19．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tanα+tan2α的值；（2）求β．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）把y=f（x）纵坐标不变，横坐标向右平移，得到y=g（x），求y=g（x）的解析式；（Ⅱ）求y=g（x）的单调递增区间．21．已知sinα+sinβ=，求y=sinα﹣cos2β+1的最值．22．已知函数f（x）=2sin2（+x）+cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题1． A ．2． C ．3． D ．4． D ．5． B ．6． D ．7． C ．8． C ．9． A ．10． A ． 11． D ．12． C ．二、填空题13．答案为：． 14．答案为：3． 15．答案为116．答案为：②③④．三、．解答题17．解：∵角α的终边经过一点P （4a ，﹣3a ）（a ＞0），∴r==5a ，∴sin α==﹣，cos α==，tan α==﹣，∴则2sin α+cos α+tan α=﹣．…18．（1）证明：==2﹣﹣（+3）=﹣4，∴，B 为公共点， ∴A 、B 、D 三点共线．（2）∵B 、D 、F 三点共线，∴存在实数λ，使，∴4﹣k =λ，∴=（k ﹣4λ），∵，是两个不共线向量， ∴4﹣λ=k ﹣4λ=0， 解得k=16．19．解：（1）由cos α=，0＜α＜，得sin α===，∴tan α===4，于是tan2α===﹣，tan α+tan2α=﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）===，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=，所以．…20．解：（Ⅰ）由图象可知A=2，，∴ω=2；∴f（x）=2sin（2x+φ），又图象的一个最高点为（﹣，2），∴φ=（k∈Z），解得φ=（k∈Z），又|φ|＜π，∴φ=．∴f（x）=2sin（2x+）．∴；（Ⅱ）由，得，k∈Z．∴g（x）的单调增区间为[]（k∈Z）．21．解：∵sinα+sinβ=，∴sinα=﹣sinβ代入y中，得：y=sinβ﹣（1﹣sin2β）+1=sin2β﹣sinβ+=（sinβ﹣）2+，…∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣≤sinα≤，又sinβ=﹣sinα，且﹣1≤sinβ≤1，﹣≤sinβ≤1，…∴y min=，y max=，…22．解：（I）∵由f（x）=2sin2（+x）+cos2x+1=2sin（2x+）+2，…∴由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；…（II）由f（x）﹣m=2，∴f（x）=m+2，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，由图象得f（0）=2+2sin=2+，函数f（x）的最大值为4，…∴要使方程f（x）﹣m=2在x∈[0，]上有两个不同的解，则f（x）=m+2在x∈[0，]上有两个不同的解，即函数f（x）和y=m+2在x∈[0，]上有两个不同的交点，即2≤2+m＜4，∴≤m＜2．…江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（四）（考试时间120分钟 满分150分）一、单项选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．下列说法中正确的是（ ） A ．共线向量的夹角为0°或180° B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D ．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（ ）A ．y=sin |x |B ．y=sin2xC ．y=﹣sinx +2D ．y=sinx +1 3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tan α=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣4．函数y=cos （4x ﹣π）的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．5．在直角坐标系中，直线3x +y ﹣3=0的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数的单调递减区间（ ）A ．（k ∈Z ）B ．（k ∈Z ）C ．（k ∈Z ）D ．（k ∈Z ）7．函数y=3sin （2x +）+2图象的一条对称轴方程是（ ）A ．x=﹣B ．x=0C ．x=πD ．8．下列选项中叙述正确的是（ ）A ．终边不同的角同一三角函数值可以相等B ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C ．第一象限是锐角D ．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．向量+++化简后等于（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数y=Asin （ωx +φ）+B 的一部分图象如图所示，如果A ＞0，ω＞0，|φ|＜，则（ ）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=，=，=，=，=，则+++﹣=．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）=．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．参考答案一、单项选择题1．A．2．B．3．B．4．D．5．D．6．D．7．C．8．A．9．D．10．D．11．C．12．C．二、填空题13．答案为：2x﹣y﹣3=0．14．答案为：3．15．答案为：．16．答案为1三、解答题17．解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）∵K AC==﹣，∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2，==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k ∈Z．22．解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（五）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．计算：cos210°=（）A．B．C．D．2．如图，四边形ABCD中，=，则相等的向量是（）A．与B．与C．与D．与3．已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，则b的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．54．扇形的半径是6cm，圆心角为15°，则扇形面积是（）A．B．3πcm2C．πcm2 D．5．在△ABC中，点P为BC边上一点，且=2，，则λ=（）A．B． C．D．6．若函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．7．如图是函数y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，它的解析式为（）A．B．C．D．8．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣39．把函数f（x）=cos（2x+）的图象沿x轴向左平移m个单位（m＞0），所得函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B． C．D．10．如图，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=，点D是BC的中点，若向量=+m，且点M在△ACD的内部（不含边界），则的取值范围是（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，6）C．（0，4）D．（0，6）11．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧为l，弦AP为d则函数d=f（l）的图象是（）A．B．C．D．12．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A．B．2 C． D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，且，则tanφ=______．14．设向量，是夹角为的单位向量，若=+2，则||=______．15．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=______．16．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，则以下结论中正确的是______．（写出所有正确结论的编号）．①图象C关于直线x=对称；②图象C关于点对称；③函数f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．已知向量．（1）若，求k的值；（2）若，求m的值．18．已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且0＜α＜，求sinα+cosα的值．19．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，β∈（0，π），且⊥（+），求β的值．20．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（1）画出函数f（x）在区间[0，π]的简图（要求列表）；（2）求函数f（x）的单调递减区间．21．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+b，且函数的对称中心到对称轴的最小距离为，当x∈[0，]时，f（x）的最大值为1（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（x）﹣3≤m≤f（x）+3在x∈[0，]上恒成立，求m的取值范围．22．已知平面向量=（﹣，1），=（，），=﹣+m，=cos2x+sinx，f（x）=•，x∈R．（1）当m=2时，求y=f（x）的取值范围；（2）设g（x）=f（x）﹣m2+2m+5，是否存在实数m，使得y=g（x）有最大值2，若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．参考答案一、单项选择题1．B 2．D．3．A 4．D．5．D．6．A．7．D．8．A 9．D．10．B．11．C．12．B．二、填空题13．答案为：﹣．14．答案为．15．答案为：16．答案为：②③．三、解答题17．解：（1）∵，∴3，．∵，∴﹣9（1+2k）=﹣2+3k，∴k=﹣．（2）∵m，由，得1×（m﹣2）﹣2×（﹣2m﹣3）=0，∴m=﹣．18．解：（1）f（α）==﹣=sinαcosα．（2）f（α）=，且0＜α＜，sinα＞0，cosα＞0，sinα+cosα＞0．可得：sinαcosα=，2sinαcosα=．1+2sinαcosα=．∴sinα+cosα=．19．解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），∴丨丨===，∴当cosβ=﹣1，丨丨取最大值，最大值为2，向量的长度的最大值2；（2）α=，⊥（+），∴•+•=0，cosαcosβ﹣sinαsinβ﹣cosα=0，（cosβ+sinβ）=，sinβ+cosβ=1，∵sin2β+cos2β=1，解得：cosβ=0或1，∵β∈（0，π），β=．20．解：（1）对于函数f（x）=sin（2x﹣），∵x∈[0，π]，可得2x﹣∈[﹣，]，列表如下：（2）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．21．解：（1）∵函数的对称中心到对称轴的最小距离为，∴=，即周期T=π，即||=π，解得ω=1或ω=﹣1，若ω=1，则f （x ）=sin （2x ﹣）+b ，当x ∈[0，]时，2x ﹣∈[﹣，]，∴当2x ﹣=，时，函数f （x ）取得最大值为f （x ）=+b=+b=+b=1，即b=﹣，此时；若ω=﹣1，则f （x ）=sin （﹣2x ﹣）+b ，当x ∈[0，]时，﹣2x ﹣∈[﹣π，﹣]，∴当﹣2x ﹣=0时，函数f （x ）取得最大值为f （x ）=0+b=1，即b=1，此时，综上或．（2）若，由（1）知，函数f （x ）的最大值为1，最小值为f （x ）=﹣+1=﹣﹣=﹣﹣=﹣2，即﹣2≤f （x ）≤1，则﹣5≤f （x ）﹣3≤﹣2，1≤f （x ）+3≤4， ∵f （x ）﹣3≤m ≤f （x ）+3在x ∈[0，]上恒成立，∴﹣2≤m ≤1；若．由（1）知，函数f （x ）的最大值为1，最小值为f （x ）=（﹣1）+1=1﹣，即1﹣≤f （x ）≤1，则﹣2﹣≤f （x ）﹣3≤﹣2，4﹣≤f （x ）+3≤4， ∵f （x ）﹣3≤m ≤f （x ）+3在x ∈[0，]上恒成立，∴﹣2≤m ≤4﹣．22．解：（1）当m=2时，=﹣+2=（﹣+1， +），=cos2x+sinx=（sinx﹣cos2x，sinx+cos2x ），函数y=f（x）=•=（﹣+1）•（sinx﹣cos2x ）+（+）•（sinx+cos2x ）=cos2x+2sinx=1﹣sin2x+2sinx=2﹣（sinx﹣1）2，故当sinx=1时，函数y取得最大值为2，当sinx=﹣1时，函数y取得最小值为﹣2，故函数的值域为[﹣2，2]．（2）∵=﹣+m=（﹣+， +），=cos2x+sinx=（sinx﹣cos2x，sinx+cos2x ），函数y=f（x）=•=（﹣+）•（sinx﹣cos2x ）+（+）•（sinx+cos2x ）=cos2x+msinx，∴g（x）=f（x）﹣m2+2m+5=cos2x+msinx﹣m2+2m+5=1﹣sin2x+msinx﹣m2+2m+5=﹣sin2x+msinx﹣m2+2m+6．令sinx=t，则﹣1≤t≤1，g（x）=h（t）=﹣t2+mt﹣m2+2m+6，函数h（t）的对称轴为t=，当＜0时，h（t）的最大值为h（1）=﹣1+m﹣m2+2m+6=2，求得m=．当m≥0时，h（t）的最大值为h（﹣1）=﹣1﹣m﹣m2+2m+6=2，求得m=．综上可得，存在实数m=或m=，使得y=g（x）有最大值2．江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（六）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1762．已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣83．在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（）A．30°B．45°C．150°D．135°4．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A ．﹣a ＞﹣bB ．a +c ＜b +cC ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2D ．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则角B 的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．不等式x +＞2的解集是（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n 和T n ，若，则=（ ）A ．B ．C ．D ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足A=，＞0，a=，则b +c 的取值范围是（ ）A ．（1，）B ．（，]C ．（，）D ．（，）9．已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．710．已知点A ，B ，C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一定点，P 是△ABC内的一动点，若，λ∈[0，+∞），则点P 的轨迹一定过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇=255，所有偶数项和S 偶=﹣126，末项是192，则首项a 1=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知数列{a n }：， +， ++，…， +++…+，…，那么数列b n =的前n 项和S n 为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2015+a 2016＞0，a 2015•a 2016＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是______．14．已知a、b为正实数，且=2，若a+b﹣c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为______．15．在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=______．16．给出下面六个命题，不正确的是：______①若向量、满足||=2||=4，且与的夹角为120°，则在上的投影等于﹣1；②若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且只有两解③常数列既是等差数列，又是等比数列；④若向量与共线，则存在唯一实数λ，使得=λ成立；⑤在正项等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=10；⑥若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x．则x的取值范围是＜x＜．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.）17．已知，与的夹角为120°．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当实数x为何值时，与垂直？18．已知递增等比数列{a n}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列．（1）求{a n}的首项和公比；（2）设S n=a12+a22+…+a n2，求S n．19．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求△ABC的周长和面积；（2）求cos（A+C）的值．20．已知f（x）=x2﹣abx+2a2．（Ⅰ）当b=3时，（ⅰ）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值；（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围．21．已知点A，B分别在射线CM，CN（不含端点C）上运动，∠MCN=，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值：（2）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．22．设数列{a n }的各项均为正数，它的前n 项的和为S n ，点（a n ，S n ）在函数y=x 2+x +的图象上；数列{b n }满足b 1=a 1，b n +1（a n +1﹣a n ）=b n ．其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =，求证：数列{c n }的前n 项的和T n ＞（n ∈N *）．参考答案一、单项选择题1．B．2．C 3．B．4．C．5．B 6．A．7．D．8．D．9．B．10．C 11．C．12．A．二、填空题13．答案为：4030．14．答案为：．15．答案为：．16．答案为：②③④．三、解答题17．解：（Ⅰ），，，∴．（Ⅱ）∵（）⊥（），∴=0，即4x﹣3（3x﹣1）﹣27=0，解得．18．解：（1）根据等比数列的性质，可得a3•a5•a7=a53=512，解之得a5=8．设数列{a n}的公比为q，则a3=，a7=8q2，由题设可得（﹣1）+（8q2﹣9）=2（8﹣3）=10解之得q2=2或．∵{a n}是递增数列，可得q＞1，∴q2=2，得q=．因此a5=a1q4=4a1=8，解得a1=2；（2）由（1）得{a n}的通项公式为a n=a1•q n﹣1=2×=，∴a n2=[]2=2n+1，可得{a n2}是以4为首项，公比等于2的等比数列．因此S n=a12+a22+…+a n2==2n+2﹣4．19．解：（1）在△ABC中，由余弦定理，解得c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．又∵，∴，则=．（2）由正弦定理知∴，∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角，∴，∴cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC=．20．解：（Ⅰ）当b=3时，f（x）=x2﹣abx+2a2=x2﹣3ax+2a2，（ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，∴1，2是方程x2﹣3ax+2a2=0的两根．∴，解得a=1．（ⅱ）∵x2﹣3ax+2a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0，∴若a＞0时，此不等式解集为（a，2a），若a=0时，此不等式解集为空集，若a＜0时，此不等式解集为（2a，a）．（Ⅲ）f（2）=4﹣2ab+2a2＞0在a∈[1，2]上恒成立即b＜a+在a∈[1，2]上恒成立；又∵a+，当且仅当a=，即a=时上式取等号．∴b，实数b的取值范围是（﹣∞，）21．解：（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2∴a=c﹣4，b=c﹣2，在△ABC中，∵，由余弦定理可得cos∠MCN==﹣，代值并整理可得c2﹣9c+14=0，解得c=2或c=7，∵a=c﹣4＞0，∴c＞4，∴c=7；（2）由题意可得周长y=2sinθ+2sin（﹣θ）+=2sin（+θ）+，∴当+θ=即θ=时，周长取最大值2+．22．解：（1）∵点（a n，S n）在函数y=x2+x+的图象上，∴，①当n≥2时，，②①﹣②得：，即，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=4（n≥2），又a1=2，∴a n=4n﹣2；∵b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n，∴，∴；（2）∵，∴，4T n=4+3•42+5•43+…+（2n﹣3）•4n﹣1+（2n﹣1）•4n，两式相减得，∴．江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（七）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）1．已知，则等于（）A．B．7 C． D．﹣72．在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B． C．5 D．103．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A． +与﹣B．3﹣2与4﹣6C． +2与+2D．和+5．若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减6．若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]7．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．在等比数列{a n}中，若，，则=（）A．B．C． D．10．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，9）D．11．设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0，且S m+1＜012．已知数列{a n}满足：a n=log（n+2）定义使a1•a2•…•a k为整数的数k（k∈N*）叫做（n+1）希望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（）A．2026 B．2036 C．2046 D．2048二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是______．14．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=______．15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为______．16．设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．设函数f（α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．（1）若P点的坐标为（，1），求f（α）的值；（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的最小值和最大值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．20．数列{a n}前n项和为S n，a1=4，a n+1=2S n﹣2n+4．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）设，数列{b n}前n项和为T n，求证：8T n＜1．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图，使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求S的最大值．△DEF22．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=•．（1）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a n}（n∈N*），当a=，b=1，ω=2时，求{a n}的通项公式与前n项和S n；（2）令ω=1，a=t2，b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．参考答案一、单项选择题1．A．2．C．3．A．4．B．5．D．6．A．7．A．8．C 9．C10．D．11．A 12．A二、填空题13．答案为：3．14．答案为：15．答案为：8．16．答案为：2015．三、解答题17．解：（1）∵P点的坐标为（，1），可得r=|OP|==2，∴由三角函数的定义，得sinα=，cosα=，故f（α）=sinα+cosα=+×=2．（2）作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，其中A（0，1）、B（0.5，0.5），C（1，1），∵P为区域内一个动点，且P为角α终边上的一点，∴运动点P，可得当P与A点重合时，α=达到最大值；当P与线段BC上一点重合时，α=达到最小值．由此可得α∈[，]．∵f（α）=sinα+cosα=2sin（α+），∴由α∈[，]，可得α+∈[，]，当α+=即α=时，f（α）有最小值2sin=1；当α+=即α=时，f（α）有最大值2sin=．综上所述函数f（α）的最小值为1，最大值为．18．解：（Ⅰ）由，得，∴，A∈（0，π），∴，由，得．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，由（I）得，且，∴，又d≠0，∴d=2，∴a n=2n，∴=，∴．19．解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有．因为，所以．又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，所以∠ADC=120°．…于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．…（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，．于是，，．…在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，即，得x=2．故DC=2．…20．证明：（1）∵a n+1=2S n﹣2n+4，∴n≥2时，a n=2S n﹣2（n﹣1）+4﹣1∴n≥2时，a n+1=3a n﹣2又a2=2S1﹣2+4=10，∴n≥1时a n+1=3a n﹣2∵a1﹣1=3≠0，∴a n﹣1≠0，∴，∴数列{a n﹣1}为等比数列（2）由（1），∴，∴∴=∴，∴8T n＜121．解：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°，∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设=λ（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米=EF•h=λ（1﹣λ）百米2可得S△DEF∵λ（1﹣λ）≤ [λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当λ=时等号成立的最大值为百米2．∴当λ=时，即E为AB中点时，S△DEF22．解：（1）f（x）=•=acosωx+bsinωx=cos2x+sin2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．由2sin（2x+）=0，可得2x+=kπ，即x k=﹣+，k∈Z，当k=1时，x1=＞0，且x k+1﹣x k=（常数），∴{a n}为首项是a1=，公差为的等差数列．∴a n=﹣+，n∈N*．∴S n===n2+n，n∈N*．（2）由题意可得f（θ）﹣=t2cosθ+（1﹣t）2sinθ﹣t（1﹣t）=（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ．∴题意等价于（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ＞0对任意的t∈[0，1]恒成立．令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．由1+2sinθ＜2+2sinθ+2cosθ，∴对称轴t=＜1恒成立．∴对称轴落在区间（0，1）内．∴题意等价于，得，即有可得+2k3π＜θ＜+2k3π，k3∈Z．∴θ的取值范围是[+2kπ， +2kπ]，k∈Z．江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（八）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．经过1小时，时针旋转的角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．已知，，则sin（α+π）等于（）A．B． C．D．3．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．4．已知数列，…则是它的第（）项．A．21 B．22 C．23 D．245．在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B． C．5 D．106．在△ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则sin2A=（）A．﹣B．C．﹣D．7．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（）A．B．C．D．8．函数y=的定义域是（）A．B．C．D．9．记a=sin（cos2016°），b=sin（sin2016°），c=cos（sin2016°），d=cos（cos2016°），则（）A．d＞c＞b＞a B．d＞c＞a＞b C．c＞d＞b＞a D．a＞b＞d＞c10．化简=（）A．1 B．C．D．211．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）。

2017-2018学年江西省宜春市高一（下）期末数学试卷一、选择题（12×5＝60分）1．（5分）若点P（sin2018°，cos2018°），则P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若弧度数为的圆心角所对的弧长为1，则这个圆心角所对应的扇形面积是（）A．B．C．D．3．（5分）某厂共有64名员工，准备选择4人参加技术评估，现将这64名员工编号，准备运用系统抽样的方法抽取，已知8号，24号，56号在样本中，那么样本中还有一个员工的编号是（）A．35B．40C．45D．504．（5分）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x线性回归方程为y ＝0.8x+4.5，则表中t的值为（）A．5B．4.5C．6D．5.55．（5分）在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若3+＝3+，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形6．（5分）把函数y＝sin2（x+）﹣cos2（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位就得到了一个奇函数的图象，则φ的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中乙队的一个得分数字被污损，那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.38．（5分）在边长为3的正三角形ABC中，D是边AC上的一点，且＝，则的值为（）A．9B．C．D．9．（5分）“更相减损术”是我国古代数学专著《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为28、7，则输出的i为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）若sin（+2α）＝﹣，α∈（，π），则tan（α+）的值为（）A．2B．C．﹣2D．﹣11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的偶函数，且f（x）在（3，4）上是增函数，设a＝（sin17°+cos17°），b＝2sin213°﹣1，c＝，则下列正确的是（）A．f（c）＜f（a）＜f（b）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（a）＜f（b）＜f（c）D．f（b）＜f（a）＜f（c）12．（5分）函数f（x）＝2cos（πx﹣）﹣cosπx﹣（x∈[﹣2，4]）所有零点之和为（）A．2B．4C．6D．8二、填空题（4×5＝20分）13．（5分）在区间[﹣π，π]上随机选取一个实数x，则事件“sin x≥”发生的概率为．14．（5分）若如图程序运行输出的结果是1320，那么括号内应该填．15．（5分）设向量，满足||＝2，|+|＝3，|﹣|＝2，则在方向上的投影为．16．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F为BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动，E为圆弧与AB的交点，若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则2λ﹣μ的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）事件E：射中10环或8环的概率．（2）事件F：不够7环的概率．18．（12分）已知三点坐标A（1，0），B（cosα+1，1），C（，sinα）．（1）若⊥，求值；（2）若∥，且α∈（0，），求sin（α+）的值．19．（12分）为了响应市政府迎接全国文明城市创建活动的号召，某学校组织学生举行了文明城市创建知识类竞赛，为了了解本次竞赛中学生的成绩情况，从中抽取50名学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，并作出如下频率分布直方图，已知得分在[80，90）的学生有5人．（1）求频率分布直方图中的x，y的值，并估计学生分数的中位数；（2）如果从[60，70），[70，80），[80，90）三个分数段的学生中，按分层抽样的方法抽取8人参与座谈会，然后再从[70，80），[80，90）两组选取的人中随机抽取2人作进一步的测试，求这2人中恰有一人得分在[80，90）的概率．20．（12分）直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆的交点为P，将OP绕着原点O逆时针旋转到OQ，使∠POQ＝α，其中Q是OQ与单位圆的交点．（1）若α＝，求点Q的坐标；（2）记Q的横坐标与P的纵坐标之和为f（α），求f（α）取最大值时点Q的坐标．21．（12分）已知向量＝（1，1），向量与向量的夹角为，且＝﹣1，（1）求向量的坐标；（2）若向量＝（0，1），且|+|＝|﹣|，向量＝（2cos2，cos A），其中A，B，C为△ABC的内角，且A+C＝2B，求|+|的取值范围．22．（12分）已知向量＝（2cosωx，），＝（sin（ωx﹣），﹣），若f（x）＝+2cos2ωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x0）＝，且x0∈（﹣，），求f（x0+）的值；（3）若对任意的x∈[﹣2，0]，恒有﹣cos（πx+）≤kf（x）﹣k+成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年江西省宜春市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12&#215;5＝60分）1．（5分）若点P（sin2018°，cos2018°），则P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵sin2018°＝sin218°＜0，cos2018°＝cos218°＜0，∴P在第三象限，故选：C．2．（5分）若弧度数为的圆心角所对的弧长为1，则这个圆心角所对应的扇形面积是（）A．B．C．D．【解答】解：设圆半径为r，∵弧度数为的圆心角所对的弧长为1，∴，解得r＝，∴这个圆心角所对应的扇形面积S＝＝．故选：A．3．（5分）某厂共有64名员工，准备选择4人参加技术评估，现将这64名员工编号，准备运用系统抽样的方法抽取，已知8号，24号，56号在样本中，那么样本中还有一个员工的编号是（）A．35B．40C．45D．50【解答】解：∵用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，∴＝16，也就是说：每隔16名同学抽取1名同学，而抽取的第一位同学的编号为8，∴第二位同学的编号为8+16＝24．∴抽取的第三个同学的编号为24+16＝40．故选：B．4．（5分）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x线性回归方程为y ＝0.8x+4.5，则表中t的值为（）A．5B．4.5C．6D．5.5【解答】解：∵根据所给的表格可以求出＝＝2.5，＝，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴＝0.8×2.5+4.5，∴t＝5，故选：A．5．（5分）在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若3+＝3+，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形【解答】解：由3+＝3+，得3（）＝，∴3，可得AD∥BC且AD≠BC．∴四边形ABCD一定是梯形．故选：B．6．（5分）把函数y＝sin2（x+）﹣cos2（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位就得到了一个奇函数的图象，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝sin2（x+）﹣cos2（x+）＝﹣[cos2（x+）﹣sin2（x+）]＝﹣cos （2x+），把其图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得y＝﹣cos（2x﹣2φ+），由此函数为奇函数，可得﹣2φ＝，即φ＝，k∈Z．取k＝﹣1，可得φ的最小值是．故选：D．7．（5分）甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中乙队的一个得分数字被污损，那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.3【解答】解：甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中乙队的一个得分数字被污损，由茎叶图得：甲队的平均分为：＝（38+41+44+46+49+52）＝45，设乙队的一个得分数字被污损的数字为x，当乙队的平均得分大于甲队的平均得分时，（31+47+40+x+42+51+54）﹣6×45＞0，解得x＞5，∴x的可能取值为6，7，8，9，∴估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为p＝＝0.4．故选：B．8．（5分）在边长为3的正三角形ABC中，D是边AC上的一点，且＝，则的值为（）A．9B．C．D．【解答】解：根据题意的D为AC的中点，BD＝，BC＝3，∠DBC＝，∴＝×3×＝．故选：C．9．（5分）“更相减损术”是我国古代数学专著《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为28、7，则输出的i为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由程序框图可知：当a＝28，b＝7时，满足a＞b，则a＝28﹣7＝21，i＝1由a＞b，则a＝21﹣7＝14，i＝2由a＞b，则a＝14﹣7＝7，i＝3由a＝b＝7，输出i＝3．故选：C．10．（5分）若sin（+2α）＝﹣，α∈（，π），则tan（α+）的值为（）A．2B．C．﹣2D．﹣【解答】解：sin（+2α）＝cos2α＝＝＝﹣，∴tanα＝±3．又α∈（，π），∴tanα＝﹣3，则tan（α+）＝＝﹣，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的偶函数，且f（x）在（3，4）上是增函数，设a＝（sin17°+cos17°），b＝2sin213°﹣1，c＝，则下列正确的是（）A．f（c）＜f（a）＜f（b）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（a）＜f（b）＜f（c）D．f（b）＜f（a）＜f（c）【解答】解：a＝（sin17°+cos17°）＝（sin17°cos45°+cos17°sin45°）＝sin62°＝cos28°，b＝2sin213°﹣1＝﹣cos26°，c＝＝，∵||＜|cos28°|＜|﹣cos26°|，∴|c|＜|a|＜|b|，又f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）在（3，4）上是增函数，∴f（x）在（﹣1，0）上是增函数，而f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为减函数，∴f（|c|）＞f（|a|）＞f（|b|），即f（b）＜f（a）＜f（c）．故选：D．12．（5分）函数f（x）＝2cos（πx﹣）﹣cosπx﹣（x∈[﹣2，4]）所有零点之和为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：由函数f（x）＝2cos（πx﹣）﹣cosπx﹣＝2（cosπx+sinπx）﹣cosπx﹣，令f（x）＝0，可得＝sinπx，分别作出函数y＝与y＝sinπx的图象如图则函数y＝与y＝sinπx关于（1，0）点成中心对称，由图象可知两个函数在区间[﹣2，4]上共有4个交点，它们关于（1，0）点成中心对称，不妨设关于点（1，0）对称的两个根为a，b，则＝1，即a+b＝2，则所有零点之和为2（a+b）＝2×2＝4，故选：B．二、填空题（4&#215;5＝20分）13．（5分）在区间[﹣π，π]上随机选取一个实数x，则事件“sin x≥”发生的概率为．【解答】解：解三角不等式sin x≥在区间[﹣π，π]的解集为：[]，设“在区间[﹣π，π]上随机选取一个实数x，则事件“sin x≥””事件为A，则此事件为几何概型中的线段型，则P（A）＝＝，故答案为：．14．（5分）若如图程序运行输出的结果是1320，那么括号内应该填9．【解答】解：因为输出的结果是1320，即s＝1×12×11×10，则程序中LoopWhile后面的“条件”应为i＞9．故答案为：9．15．（5分）设向量，满足||＝2，|+|＝3，|﹣|＝2，则在方向上的投影为．【解答】解：∵|+|＝3，|﹣|＝2，∴+2•+＝18①，﹣2•+＝20②，故①﹣②得：4•＝﹣2，•＝﹣，故在方向上的投影为：||cos＜，＞＝＝﹣，故答案为：﹣．16．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F为BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动，E为圆弧与AB的交点，若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．【解答】解：解：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），E（1，0），D（，），B（2，0），C（，），F（，）；设P（cosα，sinα）（0°≤α≤60°），∵＝λ+μ，∴（cosα，sinα）＝λ（﹣，）+μ（，）．∴，∴2λ﹣μ＝＝2sin（α﹣300），∵0°≤α≤60°，∴﹣1≤2sin（α﹣300）≤1．故答案为：[﹣1，1]．三、解答题17．（10分）已知某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）事件E：射中10环或8环的概率．（2）事件F：不够7环的概率．【解答】解：（1）设射中10环，9环，8环、7环分别为事件A，B，C，D事件E：射中10环或8环的概率：P（E）＝P（A）+P（D）＝0.21+0.25＝0.46．…（5分）（2）事件F：不够7环的概率：P（F）＝1﹣P（A+B+C+D）＝1﹣[P（A）+P（B）+P（C）+P（D）]＝1﹣（0.21+0.23+0.25+0.28）＝1﹣0.97＝0.03．…（10分）18．（12分）已知三点坐标A（1，0），B（cosα+1，1），C（，sinα）．（1）若⊥，求值；（2）若∥，且α∈（0，），求sin（α+）的值．【解答】解：（1）∵三点坐标A（1，0），B（cosα+1，1），C（，sinα），向量＝（cosα，1），＝（，sinα）．∵⊥，∴•＝cosα+sinα＝0，故tanα＝﹣．∴＝＝＝．（3）∵∥，且α∈（0，），∴cosαsinα﹣＝0，∴（cosα+sinα）2＝1+2sinαcosα＝2，∴sinα+cosα＝，即sin（α+）＝sinα+cosα＝．19．（12分）为了响应市政府迎接全国文明城市创建活动的号召，某学校组织学生举行了文明城市创建知识类竞赛，为了了解本次竞赛中学生的成绩情况，从中抽取50名学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，并作出如下频率分布直方图，已知得分在[80，90）的学生有5人．（1）求频率分布直方图中的x，y的值，并估计学生分数的中位数；（2）如果从[60，70），[70，80），[80，90）三个分数段的学生中，按分层抽样的方法抽取8人参与座谈会，然后再从[70，80），[80，90）两组选取的人中随机抽取2人作进一步的测试，求这2人中恰有一人得分在[80，90）的概率．【解答】解：（1）由题意可知，y＝＝0.010，…（2分）x＝0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.030＝0.040．…（2分）因为（0.016+0.030）×10＝0.46＜0.5，所以学生分数的中位数在[70，80）内，设中位数为a，则（0.016+0.030）×10+0.04×（a﹣70）＝0.5，解得a＝71．…（6分）（2）由题意可知，分数在[60，70）内的职员有3人，分数在[70，80）内的职员有4人，记这4人分别为a1，a2，a3，a4，分数在[80，90）内的职员有1人，记为b，抽取2名职员的所有情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b），（a3，a4），（a3，b），（a4，b）．2人中恰有一人在[80，90）内的基本事件有4种，∴所抽取的2人中恰有一人得分在[80，90）内的概率p＝．…（12分）20．（12分）直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆的交点为P，将OP绕着原点O逆时针旋转到OQ，使∠POQ＝α，其中Q是OQ与单位圆的交点．（1）若α＝，求点Q的坐标；（2）记Q的横坐标与P的纵坐标之和为f（α），求f（α）取最大值时点Q的坐标．【解答】解：（1）若α＝，由题点Q是角的终边与单位圆的交点，∴Q（cos，sin），即Q（﹣，）．（2）记Q的横坐标与P的纵坐标之和为f（α），则f（α）＝cos2α+sinα＝1﹣2sin2α+sinα，∵α∈（0，），∴sinα∈（0，1），利用二次函数的性质可得，当sinα＝时，f（α）最大．∴cosα＝＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝，sin2α＝2sinαcosα＝，故Q（，）．21．（12分）已知向量＝（1，1），向量与向量的夹角为，且＝﹣1，（1）求向量的坐标；（2）若向量＝（0，1），且|+|＝|﹣|，向量＝（2cos2，cos A），其中A，B，C为△ABC的内角，且A+C＝2B，求|+|的取值范围．【解答】（12分）解：（1）令＝（x，y），∴＝x+y＝﹣1，cos＝＝，∴x2+y2＝1，联立，解得或，∴＝（﹣1，0）或＝（0，﹣1）．…（6分）（2）∵||＝||，∴⊥，∴＝（﹣1，0），…（8分）而A+C＝2B，解得B＝，…（9分）＝（2cos2﹣1，cos A）＝（cos C，cos A），∴||＝，…（10分）而cos2A+cos2C＝+，∴|＝，∵A∈（0，），∴||∈[）．…（12分）22．（12分）已知向量＝（2cosωx，），＝（sin（ωx﹣），﹣），若f（x）＝+2cos2ωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x0）＝，且x0∈（﹣，），求f（x0+）的值；（3）若对任意的x∈[﹣2，0]，恒有﹣cos（πx+）≤kf（x）﹣k+成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）若f（x）＝+2cos2ωx＝2sin（ωx﹣）cosωx﹣+2cos2ωx ＝2（sinωx﹣cosωx）cosωx﹣+2cos2ωx＝3sinωx cosωx+cos2ωx﹣＝sin2ωx+•﹣＝sin（2ωx+），由于正三角形ABC的高为，则BC＝2，所以，函数f（x）的周期为4＝，可得ω＝，故f（x）＝sin（x+）．令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得4k+≤x≤4k+，得函数的单调减区间为[4k+，4k+]，k∈Z．（2）由f（x）＝sin（x+），f（x0）＝，可得sin（x0+）＝．∵x0∈（﹣，），∴x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）＝＝，∴f（x0+）＝sin（x0++）[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]＝（+）＝．（3）对任意的x∈[﹣2，0]，恒有﹣cos（πx+）≤kf（x）﹣k+成立，即2﹣1≤k sin（x+）﹣k+1，即2﹣2≤k sin（x+）﹣k，即2[﹣1]≤k[sin（x+）﹣1]①，∵x∈[﹣2，0]，∴x+∈[﹣，]，∴sin（x+）∈[﹣1，]，∴sin（x+）﹣1＜0，∴故由①可得2[sin（x+）+1]≥k，故2[sin（x+）+1]的最小值大于或等于k．易得0≥k，即k≤0．。

2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1、经过1小时，时针旋转的角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2、已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 4α=-，则sin()απ+=（ ）A ．35- B ．35 C ．45- D ．45 3、一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）A ．2π B ．3πC4 ）项. A.21 B.22 C.23 D.245、在四边形ABCD 中，)2,1(=，)2,4(-=，则该四边形的面积为（ ） A.5 B.52 C.5 D.106、在ABC ∆中1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B ，则A 2sin =（ ）A ．23-B ．23C ．2D ．217、已知函数200f x sin x ωϕωϕπ=+（）（）（＞，＜＜），且函数 的图象如图所示，则点（ωϕ， ）的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8、函数y = ） A ．[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ B ．[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ++∈ D ．22[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈9、记0sin(cos 2016)a =，0sin(sin 2016)b =，0cos(sin 2016)c =，cos(cos 2016)d =︒，则（ ） A ．d c b a >>> B ．c d b a >>> C ．d c a b >>> D ．a b d c >>> 10、40sin 125cos 40cos -=( )A. 1B.3C.2D.211、已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ）A ．40321 B ．π40321 C ．20161 D ．π2016112、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3,12,8π===A AC AB .若y x +=，则=+y x 96( )A.6B.5C.4D.3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知角)(παπα<≤-的终边过点)32cos ,32(sinππP ，则=α ．14、已知向量,a b 满足2,3a b == ，且2a b -=a 在向量b 方向上的投影为 ．15、已知x ，y 均为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，()222222cos sin 174x y x y θθ+=+，则x y 的值为 ．16、给出下列五个命题：①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图象关于点（2π,0）对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；⑤函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为()1,3.其中正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值．18．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+ ，12BE e e λ=-+ ，122EC e e =-+，且,,A E C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)已知12(2,1),(2,2)e e ==-,点(3,5)D ，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．19、已知]43,4[,2)26sin(2)(πππ∈++-=x b a x a x f ． （1）若Q b Q a ∈∈,,)(x f 的值域为}133|{-≤≤-y y ，求出a 、b 的值 （2）在（1）的条件下，求函数)(x f 的单调区间．20、已知向量)cos 2cos ,sin 2(sin ),sin ,(cos ),sin ,(cos αααα++===x x x x ，其中0πx α<<<． （1）若π4α=，求函数x f ∙=)(的最小值及相应x 的值； （2）若a 与b 的夹角为π3，且a c ⊥ ，求tan2α的值．21、已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f 相邻两对称轴间的距离为2π，若将)(x f 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。

2017-2018学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos330°=（）A．B． C．D．2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgB．回归直线过样本的中心（，）C．y与x具有正的线性相关关系D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg3．向量、的夹角为60°，且，，则等于（）A．1 B．C．D．24．已知函数f（x）=，则f（﹣10）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）A．60 B．70 C．80 D．906．茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B．C． D．8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．0，3 B．0，4 C．2，3 D．2，49．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C． D．010．一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：20～6：40之间将报纸送达，该同学的爸爸需要早上6：00～7：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是（）A．B．C．D．11．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．﹣C．D．﹣12．如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设=，=，=x+y，则（x，y）为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=．14．将函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．15．已知f（x）=+ax+cos2x若f（）=2，则f（﹣）=．16．已知下列：①函数y=sin（﹣2x+）的单调增区间是[﹣kπ﹣，﹣kπ+]（k∈Z）．②要得到函数y=cos（x﹣）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度．③已知函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3，当a≤﹣2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．④已知角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC）在第四象限．其中正确的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共7分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知sinθ、cosθ是方程x2﹣（﹣1）x+m=0的两根．（1）求m的值；（2）求+的值．18．已知=（1，1），=（3，4），（1）若k+与k﹣垂直，求k的值；（2）若|k+2|=10，求k的值．19．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ）预测售出8箱水的收益是多少元？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣，参考数据：7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420．20．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（Ⅲ）为调查某项指标，从成绩在60～80分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段组的概率．21．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），且x∈[0，]，（1）求•及|+|；（2）若f（x）=•﹣2λ|+|的最小值是﹣，求实数λ的值．22．已知A，B分别是直线y=x和y=﹣x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，①当|PQ|=3时，求直线l的方程；②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos330°=（）A．B． C．D．【分析】由cos（α+2kπ）=cosα、cos（﹣α）=cosα解之即可．【解答】解：cos330°=cos=cos（﹣30°）=cos30°=，故选C．2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgB．回归直线过样本的中心（，）C．y与x具有正的线性相关关系D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归直线方程的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．由回归直线方程得若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故A正确，B，任何一个回归方程，回归直线过样本的中心（，），故B正确，C．回归直线的性质为0.85＞0，则y与x具有正的线性相关关系，故C正确，D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重可能为58.79kg，故D错误，故选：D．3．向量、的夹角为60°，且，，则等于（）A．1 B．C．D．2【分析】欲求，只需自身平方再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，最后根据数量积公式解之即可．．【解答】解：∵向量、的夹角为60°，且，，∴•=1×2×cos60°=1∴|2﹣|===2故选D．4．已知函数f（x）=，则f（﹣10）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】由题意，代入分段函数求函数的值．【解答】解：f（﹣10）=f（﹣10+3）=f（﹣7）=f（﹣7+3）=f（﹣4）=f（﹣4+3）=f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1．故选D．5．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）A．60 B．70 C．80 D．90【分析】先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．【解答】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=80．故选C．6．茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=（88+89+90+91+92）=90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩=（83+83+87+99+90+X）=88.4+，当X=9时，＜，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，故选A．7．在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B．C． D．【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知等式变形后代入求出tan （A+B）的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出cosC的值．【解答】解：∵tanAtanB=tanA+tanB+1，即tanA+tanB=tanAtanB﹣1，∴tan（A+B）==﹣1，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣1，∴tanC=1，即C=，则cosC=cos=．故选B8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．0，3 B．0，4 C．2，3 D．2，4【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8﹣6=2，i=2满足a＞b，a=6﹣2=4，i=3满足a＞b，a=4﹣2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．故选：D．9．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C． D．0【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos＜，＞，可得答案．【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选：D10．一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：20～6：40之间将报纸送达，该同学的爸爸需要早上6：00～7：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设送报人到达的时间为x，这位同学的爸爸在离开家；则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A 所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：如图，设送报人到达的时间为x，这位同学的爸爸在离开家为y；则（x，y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|5≤x≤6，6≤y≤7}，一个矩形区域，面积为SΩ=1×=，事件A所构成的区域为A={（x，y）|5≤x≤6，6≤y≤7，x＜y}即图中的阴影部分，其中A（6，6），C（6，6）．B（6，6），△ABC面积为=×=，则阴影部分的面积S A=﹣=．则对应的概率P==．故选：B．11．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．﹣C．D．﹣【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cosθ﹣sinθ）2的值，判断出cosθ＞sinθ求得cosθ﹣sinθ的值，然后求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案．【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，∵小正方形的面积是，∴（cosθ﹣sinθ）2=又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ∴cosθ﹣sinθ=又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ=∴2cosθsinθ=∴1+2sinθcosθ=即（cosθ+sinθ）2=∴cosθ+sinθ=∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣=﹣故选：B．12．如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设=，=，=x+y，则（x，y）为（）A．B．C．D．【分析】根据AD=2DB，AE=3EC，利用B、F、E三点共线和C、F、D三点共线分别表示出向量，根据平面向量基本定理可求出x、y的值．【解答】解：∵AD=2DB，AE=3EC∴，同理向量还可以表示为，根据平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的则对应系数相等可得解得，所以，故选A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=2．【分析】由已知条件，求出λ+，利用共线向量的充要条件列出方程，求出λ的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+=（λ+2，2λ+3），又向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，∴（λ+2）×（﹣7）﹣（2λ+3）×（﹣4）=0，∴λ=2．故答案为：2．14．将函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin（x+m﹣）的图象，若所得图象对应的函数为偶函数，则m﹣=kπ+，k∈Z，即m=kπ+，故m的最小值为，故答案为：．15．已知f（x）=+ax+cos2x若f（）=2，则f（﹣）=﹣2．【分析】由f（x）可令g（x）=+ax，则f（x）=g（x）+cos2x+，判断g（x）为奇函数，由f（﹣）+f（）=0，即可得到所求值．【解答】解：f（x）=+ax+cos2x=﹣+ax+cos2x+=+ax+cos2x+，可令g（x）=+ax，则f（x）=g（x）+cos2x+，g（﹣x）=﹣ax=﹣ax=﹣g（x），即有g（x）为奇函数，可得f（﹣）=g（﹣）+cos（﹣）+又f（）=g（）+cos+，两式相加可得，f（﹣）+f（）=0，由f（）=2，可得f（﹣）=﹣2．故答案为：﹣2．16．已知下列：①函数y=sin（﹣2x+）的单调增区间是[﹣kπ﹣，﹣kπ+]（k∈Z）．②要得到函数y=cos（x﹣）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度．③已知函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3，当a≤﹣2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．④已知角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC）在第四象限．其中正确的序号是②③④．【分析】①先用诱导公式，再由正弦函数的减区间，即可判断；②运用图象平移和诱导公式，即可判断；③配方转化为二次函数的值域问题，注意运用余弦函数的有界性，即可判断；④根据锐角三角形的定义，再由正弦函数和余弦函数的单调性，即可判断．【解答】解：①函数y=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z，解得，k≤x≤k，故函数的单调增区间是[k，k]，k∈Z，故①错；②将函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=sin（x），即y=sin（x+）=cos（x﹣），故②正确；③函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3=2（cosx﹣）2+3﹣，当a≤﹣2时，即，而cosx∈[﹣1，1]，故函数f（x）的最小值为g（a）=2（﹣1）2﹣2a•（﹣1）+3=5+2a，故③正确；④由角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则A+B＞90°，A+C＞90°，即有A＞90°﹣B，A＞90°﹣C，故sinA＞sin（90°﹣B）即sinA＞cosB，cosA＜sinC，故点P在第四象限内，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共7分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知sinθ、cosθ是方程x2﹣（﹣1）x+m=0的两根．（1）求m的值；（2）求+的值．【分析】（1）由条件利用韦达定理可得，化简求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系化简+为cosθ+sinθ，再由（1）求得结果．【解答】解：（1）由条件利用韦达定理可得，化简可得m=﹣．（2）+=+==cosθ+sinθ=﹣1．18．已知=（1，1），=（3，4），（1）若k+与k﹣垂直，求k的值；（2）若|k+2|=10，求k的值．【分析】（1）利用向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出；（2）利用数量积的运算性质即可得出．【解答】解：，；（1）由，得：，解得：．（2）由，得，解得：k=0或k=﹣14．19．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ）预测售出8箱水的收益是多少元？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣，参考数据：7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420．【分析】（Ⅰ）首先求出x，y的平均数，得到样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可写出线性回归方程．（Ⅱ）当自变量取8时，把8代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字．【解答】解：（Ⅰ）由所给数据计算得=（7+6+6+5+6）=6，==146，=72+62+62+52+62=182，===20，=﹣=146﹣20×6=26，所求回归直线方程为=20x+26；（Ⅱ）将x=8代入回归方程可预测售出8箱水的收益为=20×8+26=186（元）．20．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（Ⅲ）为调查某项指标，从成绩在60～80分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段组的概率．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在[70，80）上的频率，从而补全频率分步直方图．（Ⅱ）先根据频率分布直方图，用1减去成绩落在[40，50），[50，60）上的频率，即可得到这次考试的及格率，并求出平均分．（Ⅲ）分别求得成绩落在区间[60，70）、[70，80）上的人数，即可求得他们在同一分数段的概率．【解答】解（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60）分及以上为及格为1﹣0.01×10﹣0.015×10=75%平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，（Ⅲ）成绩是60～70分A组有0.015×10×60=9人，成绩在70～80分B组有0.03×10×60=18人，按分层抽样A组抽2人记为a，b，B组抽4人记为1，2，3，4．从这6人中抽2人有a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，ab共15种选法．两人来自同一组有12，13，14，23，24，34，ab有7种选法．所以两人来自同一组的概率为21．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），且x∈[0，]，（1）求•及|+|；（2）若f（x）=•﹣2λ|+|的最小值是﹣，求实数λ的值．【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积公式求得•，再根据的坐标，求得|+|的值．（2）由（Ⅰ）得f（x）=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，再结合1≥cosx≥0可得，分类讨论，利用二次函数的性质，根据f（x）的最小值是﹣，分别求得实数λ的值，综合可得结论．【解答】解：（1）由题意可得•=cos xcos﹣sin xsin=cos2x，=（cos x+cos，sin x﹣sin），∴|+|===2|cosx|．∵x∈[0，]，∴1≥cosx≥0，∴|+|=2cosx．（2）由（Ⅰ）得f（x）=•﹣2λ|+|=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，再结合1≥cosx≥0可得，当λ＜0时，则cosx=0时，f（x）取得最小值为﹣1，这与已知矛盾．当0≤λ≤1时，则cosx=λ时，f（x）取得最小值为﹣1﹣2λ2．当λ＞1时，则cosx=1时，f（x）取得最小值为1﹣4λ．由已知得1﹣4λ=﹣，λ=，这与λ＞1相矛盾．综上所述，λ=为所求．22．已知A，B分别是直线y=x和y=﹣x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，①当|PQ|=3时，求直线l的方程；②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），然后根据线段AB的长为2，D是AB的中点消去a与b，得到x与y的等量关系，即为动点D的轨迹C的方程；（2）①讨论直线l与x轴是否垂直，然后利用点到直线的距离公式建立等式关系，从而求出直线方程；②讨论直线l的斜率是否存在，不存在时直接求•，存在时，将直线与圆联立方程组，消去y，然后设P（x1，y1），Q（x2，y2），将•表示出来，使其与k无关即可求出m的值．【解答】解：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），∵D是AB的中点，∴x=，y=，∵|AB|=2，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，∴（2y）2+（2x）2=12，∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3．（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1，），Q（1，﹣），此时|PQ|=2，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圆心C到直线l的距离为，由=，解得k=±．故直线l的方程为y=±（x﹣1）．②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，则=（m﹣x1，﹣y1），=（m﹣x2，﹣y2），∴•=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=m2﹣++k2（﹣+1）=要使上式为定值须=1，解得m=1，∴•为定值﹣2，当直线l的斜率不存在时P（1，），Q（1，﹣），由E（1，0）可得=（0，﹣），=（0，），∴•=﹣2，综上所述当E（1，0）时，•为定值﹣2．2016年8月18日。

江西省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（七）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）1．已知，则等于（）A．B．7 C．D．﹣72．在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B． C．5 D．103．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A． +与﹣B．3﹣2与4﹣6C． +2与+2D．和+5．若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减6．若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]7．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．在等比数列{a n}中，若，，则=（）A．B．C．D．10．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，9）D．11．设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0，且S m+1＜012．已知数列{a n}满足：a n=log（n+2）定义使a1•a2•…•a k为整数的数k（k∈N*）叫做（n+1）希望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（）A．2026 B．2036 C．2046 D．2048二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是______．14．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=______．15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为______．16．设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．设函数f（α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．（1）若P点的坐标为（，1），求f（α）的值；（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的最小值和最大值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．20．数列{a n}前n项和为S n，a1=4，a n+1=2S n﹣2n+4．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）设，数列{b n}前n项和为T n，求证：8T n＜1．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图，使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求S的最大值．△DEF22．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=•．（1）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a n}（n∈N*），当a=，b=1，ω=2时，求{a n}的通项公式与前n项和S n；（2）令ω=1，a=t2，b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．参考答案一、单项选择题1．A．2．C．3．A．4．B．5．D．6．A．7．A．8．C 9．C10．D．11．A 12．A二、填空题13．答案为：3．14．答案为：15．答案为：8．16．答案为：2015．三、解答题17．解：（1）∵P点的坐标为（，1），可得r=|OP|==2，∴由三角函数的定义，得sinα=，cosα=，故f（α）=sinα+cosα=+×=2．（2）作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，其中A（0，1）、B（0.5，0.5），C（1，1），∵P为区域内一个动点，且P为角α终边上的一点，∴运动点P，可得当P与A点重合时，α=达到最大值；当P与线段BC上一点重合时，α=达到最小值．由此可得α∈[，]．∵f（α）=sinα+cosα=2sin（α+），∴由α∈[，]，可得α+∈[，]，当α+=即α=时，f（α）有最小值2sin=1；当α+=即α=时，f（α）有最大值2sin=．综上所述函数f（α）的最小值为1，最大值为．18．解：（Ⅰ）由，得，∴，A∈（0，π），∴，由，得．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，由（I）得，且，∴，又d≠0，∴d=2，∴a n=2n，∴=，∴．19．解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有．因为，所以．又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，所以∠ADC=120°．…于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．…（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，．于是，，．…在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，即，得x=2．故DC=2．…20．证明：（1）∵a n+1=2S n﹣2n+4，∴n≥2时，a n=2S n﹣2（n﹣1）+4﹣1∴n≥2时，a n+1=3a n﹣2又a2=2S1﹣2+4=10，∴n≥1时a n+1=3a n﹣2∵a1﹣1=3≠0，∴a n﹣1≠0，∴，∴数列{a n﹣1}为等比数列（2）由（1），∴，∴∴=∴，∴8T n＜121．解：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°，∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设=λ（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米=EF•h=λ（1﹣λ）百米2可得S△DEF∵λ（1﹣λ）≤ [λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当λ=时等号成立的最大值为百米2．∴当λ=时，即E为AB中点时，S△DEF22．解：（1）f（x）=•=acosωx+bsinωx=cos2x+sin2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．由2sin（2x+）=0，可得2x+=kπ，即x k=﹣+，k∈Z，当k=1时，x1=＞0，且x k+1﹣x k=（常数），∴{a n}为首项是a1=，公差为的等差数列．∴a n=﹣+，n∈N*．∴S n===n2+n，n∈N*．（2）由题意可得f（θ）﹣=t2cosθ+（1﹣t）2sinθ﹣t（1﹣t）=（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ．∴题意等价于（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ＞0对任意的t∈[0，1]恒成立．令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．由1+2sinθ＜2+2sinθ+2cosθ，∴对称轴t=＜1恒成立．∴对称轴落在区间（0，1）内．∴题意等价于，得，即有可得+2k3π＜θ＜+2k3π，k3∈Z．∴θ的取值范围是[+2kπ， +2kπ]，k∈Z．。