高等数学等价无穷小替换_极限的计算

⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。

【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。

难点就是未定式的极限的求法。

【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。

最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。

【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。

下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。

定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。

显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。

函数极限的几种求解方法腾飞上海电机学院文理学院，上海 201306摘要：函数极限是高等数学中一个重要内容，而对于函数极限的求法也有很多种。

本文主要归纳了几种常用求函数极限的方法：利用定义，四则运算法则，左右极限，等价无穷小替换，洛必达法则。

关键词：函数极限；等价无穷小替换；洛必达法则 Severalmethods of solving the functionlimit Teng Fei (School ofArts and Sciences, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)极限是研究函数的基本工具，也是贯穿高等数学始终的重要内容。

掌握求函数极限的方法是学好高等数学的关键。

然而求函数极限的方法很多，又非常的灵活，这都给初学者带来了很大的困惑，同时也影响后续课程的学习。

因此，本文将总结一些函数极限的求解方法。

1.利用定义求函数极限例1 证明证明，要证，当时，有。

只要证。

，取，使得当时，有。

2.利用四则运算法则求函数极限例2解当时，分子，分母的极限均为零，而且它们不可以分解因式，但可以分子有理化。

=注: 这种方法主要应用于一些简单函数的和，乘积，商的极限，通常情况下，要使用这些法则，往往要根据具体情况先对函数的某些恒等变形或化简。

1.利用左右极限求函数极限例3 设，求。

解，由。

1.利用等价无穷小替换求函数极限例4 计算解，当时，，，。

注在利用等价无穷小做替换时，只能在乘积形式中代换，和差形式要转化成乘积形式。

1.利用洛必达法则求函数极限例5 求解注利用洛必达法则求函数极限，每次分别求导后都要判断此式是否满足洛必达法则的条件，满足才能继续，不满足则不能应用洛必达法则。

以上几种方法是求函数极限的几种常用方法。

此外，还有很多其它求函数极限的方法，如，夹逼准则，单调有界原理，泰勒展式等方法。

很多复杂问题需要几种方法联合使用。

总之，求函数极限的方法很多，也很灵活。

可编辑修改精选全文完整版高数A （1）复习资料一、极限计算：常用方法包括等价无穷小替换，洛必达法则，两个重要极限。

解题思路：首先判断是否为未定式，否则化成未定式类型（特别注意幂指函数情形利用对数函数性质转化；加减法类型一般通分；如果无穷多项相加则要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夹逼准则放缩后后再求和；），对于未定式类型先考虑利用等价无穷小替换后再利用洛必达法则。

注意：函数中如果出现幂指函数类型也可以考虑直接利用第二个重要极限处理，注意处理技巧。

如果出现变上限函数类型，注意变上限函数的导数如何计算，特别是上限为x 的函数，也就是积分上限函数为复合函数时求导要利用链式法则；如果积分上限函数被积函数不是积分变量的一元函数，则将其他变量提出到积分号外面，或者利用换元法化到积分限上。

常用等价无穷小：2~cos 1~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2x x x x x x x x x x -，，x x x e x x x αα~1)1(,~1,~)1ln(-+-+（0→x ）练习题：1． 设822lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则___________=a ； 2． ____________________arctan lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x x x ；3．=+→xx x sin 2)31(lim .4. 0tan sin lim sin x x x x x→-- 5. 0ln sin 5lim ln sin 2x x x →+ 6. 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 7. 2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰二、无穷小比较：高阶，同阶，等价的定义处理思路：转化为求极限问题，特别是同阶无穷小；注意如果分式极限存在，分母为无穷小量，则分子也一定为无穷小量。

千里之行，始于足下。

高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。

为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。

以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。

2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。

3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。

4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。

5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。

6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。

7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。

8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。

9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。

10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。

12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。

13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。

14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。

15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。

16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。

除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。

这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

高等数学等价交换分式
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。

等价无穷小也是同阶无穷小。

从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

常用等价无穷小公式是什么
常用等价无穷小公式=1-cosx。

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。

无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

当x趋近于0时：
e^x-1~x；
ln(x+1)~x；
1-cosx~(x^2)/2；
(1+bx)^a-1~abx。

高数求极限的方法小结高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且lim lim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-~,(1)1~x x xαα+-．例1 求01cos lim arctan x xx x→-． 解210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-时，故，原式220112lim 2x xx →==例2 求123(1)1lim cos 1x x x →+--． 解 12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--时,因此:原式202123lim 132x xx→==-．例3 求x →．解 0,x →时11~,tan ~3x x x ，故:原式=0113lim 3x xx →=．例4 求()21lim 2ln(1)xx ex x →-+．解 0,1~,ln(1)~xx e x x x→-+时,故:原式2201lim 22x x x →==．例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解330ln(1)lim 1n x x x ax→-+= 而左边225311003331lim limn n x x x x x x nax nax --→→-+--=，故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 2.2 利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim ()x af x Fx →''存在，那么()()lim lim ()()x a x a f x f x F x F x →→'=' .[1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3]例6 求22201cos lim()sin x x x x→-.分析 秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000-+--+-===（此为强行代入以定型）.()00-可能是比()00+高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)(00)0000000+--+= 或43(00)(00)0000000+-+-=. 解2222222240001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-==3300sin cos sin cos sin cos limlim 2lim x x x x x x x x x x x xx x x →→→-+-==，由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2lim lim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=.例7 求201lim x x e x x→--.解22000(1)1lim lim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x→→→'--==-∴=-'--- .例8 求332132lim 1x x x x x x →-+--+.解 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）.例9 求02lim sin x x x e e x x x-→---.解 原式0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→----====-.例10 求22143lim 21x x x x x →-+-+.解 原式1112422lim lim lim02211x x x x x x x x x →→→---===∴---原式=∞.例11 求0tan lim sin arcsin x x xx x x→-. 解 原式222222220000111(1cos)tan 1cos 1cos 2lim lim lim lim33cos 3cos 3x x x x x x x x x xxx x x x x x →→→→-+--=====.例12 求0cot lim ln x xx+→. 解 原式22200sin cos 1lim lim sin 2sin cos x x x x x x x x ++→→---===-∞.例13 求22201cos lim()sin x x x x →-.解 原式22222400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x xx x →→--+==223320000sin cos sin cos sin cos 1cos sin 4lim lim 2lim 2lim 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+--+====“0⨯∞”型：例14 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解 原式2221arctan 112limlim lim 11111x x x x x xx xπ→+∞→+∞→+∞-+====+.“∞-∞”型：例15 求 ()2lim sec tan x x x π→-.解1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x--=-=，故原式221sin cos lim lim 0cos sin x x x xx xππ→→--===-. “00”型： 例16 求0lim xx x +→.解 原式ln 0lim ln ln 00lim lim 1x xxx e x x xx x eee+→++→→====.“1∞”型：例17 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式lim 1x e eex e e x→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.“0∞”型：例18 求tan 01lim ()xx x+→. 解 原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 00lim lim x xxx e x xxx x ee e-+→++-→→===，而tan ~00lim (tan ln )lim (ln )0x xx x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1.2.3 泰勒公式（含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()f x 在含有n 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +阶的导数，则对任一(,)x a b -∈，有()f x =0()f x +0()f x '(x -0x )+0()2!f x ''(x -0x )2+……+()0()!n f x n (x -0x )n+nR (x )其中()()()(1)10()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，这里ξ是x 与0x 之间的某个值.[1]例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限3sin cos lim sin x x x xx→-. 解 由于公式的分母33sin~(0)x x x →，我们只需将分子中的3333sin 0(),cos 0()3!2!x x x x x x x x x =-+=-+代入计算，于是3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -=-+-++=+，对上式做运算时，把两个3x 高阶的无穷小的代数和还是记作30()x .例20323322314334lim lim 3211211x x x x x x x x x x x x →∞→∞++++==++++++，2222111lim lim 121(1)1x x n n n n n→∞→∞++==--+，()121(2)313limlim (2)332233nn nn n n x x ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.2.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21 求 sin lim x x xx→∞+. 解 原式sin 1lim(1)lim(1sin )1x x x x x x→∞→∞=+=+=. 2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22 求2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.解 111sinsin sin 11nn n i i i i i i n n nn n on iπππ===≤≤+++∑∑∑，1011sin 12lim lim sin n n n n i i i i n n x dx n o n nππππ→∞→∞====⋅=+∑∑⎰，1011sin 112lim lim 1sin 11nn n n i i i i n x dx n n n nππππ→∞→∞==⎫⎛=⋅=⋅⋅= ⎪++⎝⎭∑∑⎰，根据夹逼定理 1sin2lim 1nx i i n n iππ→∞==+∑.2.6 等比等差数列公式（δ的绝对值要小于1） [1]例23 设1||<δ，证等比数列1，δ，2δ1n δ-，…的极限为0.证 任取01δ<<，为使n xa ε-<，而nn xa δ-=，使nδε<，即ln ln ln ,ln n n εδεδ<>，当ln ln N εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，即ln ln 11ln ln n N εεδδ⎡⎤≥+=+>⎢⎥⎣⎦，ln ln nn δεδε<⇒<即nxa ε-<，由定义知()lim 10nδδ<=()()22......lim ...11n n n δδδδδδδδδ→∞++=++=<-.因此,很显然有:()0.99...lim 0.99 (1)n n→∞==.2.7 各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求()111lim 1...2*33*41n nn →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+⎝⎭.解 原式111111lim 1 (23341)n n n →∞⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭11lim 121n n →∞⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭31lim 21n n →∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=32. 2.8 求左右极限的方式例25 求函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，求0x →时，()f x 的极限.解 ()()00lim lim 11x x f x x --→→=-=-，()()00lim lim 11x x f x x ++→→=+=，因为()()00lim lim x x f x f x ++→→≠，所以，当0→x 时，)(x f 的极限不存在.例26 ()0lim 0x x x xαα→>.解 0)(lim )(lim 00=-=---→→ααx x x x x x ，0lim lim 00==++→→ααx xxx x x ，因为0lim )(lim 00==-+-→→xx x x x x x x αα，所以,原式=0.2.9 应用两个重要极限1sin lim 0=→xxx ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭例27 求xe x x 1lim 0-→.解 记()ln 1x t =+ 1xe t-=，则 原式=1001lim lim 111ln 1t t ttt t →→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()1lim 1x x x e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为.例28 求1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.解 原式=()111lim 11n n n +-→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=e .例29 求1lim 1-1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式=()111lim 1-1n n n -+→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e .2.10 根据增长速度)(ln ∞→<<x e x x xn λ例30 求()lim 0nx x x n eλλ→∞>为正整数，.解 原式=1lim n x x nx eλ-→∞=()221!lim lim 0n xn x x x n n x n e e λλλλ-→∞→∞-==.例31 求()ln lim 0nx xn x→∞>. 解01lim lim ln lim 11===∞→-∞→∞→n x n x x n x nxnx x x .同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的x次方快于!x （x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： )(ln ∞→<<x e xx xnλ.故以后上述结论可直接在极限计算中运用.2.11 换元法例321lim (1)x x x→-∞+.解 令x t =-， 则原式=1lim 1tt t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim tt t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e2.12 利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限： (1) 如果()()lim ,lim ,f x A g x B == 那么B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦若又有0≠B ，则BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim （2）如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则)(lim )](lim[x f c x cf =（3）如果)(lim x f 存在，而n 为正整数，则nnx f x f )]([lim )](lim[=（4）如果)()(x x ϕδ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ϕδ，则b a ≥ （5）设有数列{}nx 和{}ny ，如果()lim ;nnn x y A B →∞+=+那么，()lim ;nn n xy A B →∞+=+lim n n n x y A B→∞=⋅当()01,2,...nyn ≠=且0b ≠时，lim n n nxA yB→∞=2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()f x =,在区间[]0,1上求()01lim ni ii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n 个小区间[]1,i i x x -,1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解 由已知得: ()()11lim niii f x f x dxλξ→=∆=∑⎰dx=⎰4π= .（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[],a b 上连续，则在[],a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()b af x dx x b a ϕ=-⎰()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[],a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()lim tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[],a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0)(dxx f ，即⎰⎰+∞→∞+=tat adxx f dx x f )(lim )(；设()f x 在区间[],a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[],a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A表示为定积分：()b =aA f x dx ⎰ 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间[],a b 分成长度为(1,2,...)ix i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为iA ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算iA ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x xx ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→baini idxx f x f A )()(lim 1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限()()()[]20lim .xx x x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰.解 ()()()0lim xx x x t f t dtx f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim ,xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limx x x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(),,,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()()()0lim0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间 ()()()()()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dxx +∞-∞+⎰.解 21dx x +∞-∞+⎰=[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=()22πππ--=.2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]例36 数列{}nx :2……．极限存在吗？解 由已知可得{}nx 单调递增且有界，由单调有界原理，知lim nn x →∞存在．又nx=，lim nn n x→∞=记lim =t,nn x t →∞=则即可证2nx<，得到 2=t .2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(=F 时，)(x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()0y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x处的导数，记作()0f x '，即()()()00000limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'f π.解 ()'fπ ()()()()()()=limlim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---.例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f ，()''0=-2f ，则 ()()2lim x f x x x→-=. A:不存在 B ：0 C ：-1 D ：-2解()20lim x f x x x →-=()()()'''00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-.所以，答案为D.例38 若()(1)(2).....(2010)f x x x x x =++++，求(0)f '.解 0()(0)(0)lim x f x f f x→-'= 0(1)(2).....(2010)lim x x x x x x →++++=lim (1)(2).....(2010)x x x x x →=++++2010!=. 2.16 利用连续性求极限[1]例39 设()f x 在1x =处有连续的一阶导数，且(1)2f '=，求1lim x ddx+→+.解 原式1lim x f +→'=-11lim 2x f +→'=-11lim 2x f +→'=-11(lim 2x f +→'=-1(1)2f '=-1=-.2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是n 趋近，而不是x 趋近.面对数列极限时，先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n 趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的n 当然是趋于正无穷的）.[1]例40 求21lim (1sin )n n n n→∞-.解 令1t n=,则原式232001sin sin 1cos lim(1)lim lim3t t t t t t t t t t t →→→--=-==，所以在0t →时，1cos t -与212t 等价，因此，原式20212lim 13t tt→=16=.。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。

本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。

一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。

当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。

例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。

解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。

因此，f(x)在x=2处的极限为4。

二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。

它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。

例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。

解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。

首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。

因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。

根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。

三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。

该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。

例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。

解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。

首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。

根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。