8.2.2 直线的方程-点斜式 教案

教学环节教学内容教师活动学生活动时间导入新课如图8－3所示，直线1l、2l、3l虽然都经过点P，但是它们相对于x轴的倾斜程度是不同的．图8－3为了确定直线对x轴的倾斜程度，我们引入直线的倾角的概念．设直线l与x轴相交于点P，A是x轴上位于点P右方的一点，B是位于上半平面的l上的一点(如图8－4)，则APB∠叫做直线l对x轴的倾斜角，简称为l的倾角．若直线l平行于x轴，规定倾角为零，这样，对任意的直线，均有0o≤180<oα．图8－4下面研究如何根据直线上的任意两个点的坐标来确定倾角的大小．设111(,)P x y、222(,)P x y为直线l上的任意两点，可以得到（如图8－5）：介绍观察质疑引导分析总结归纳仔细分析讲解关键词语总结归纳了解思考自我分析思考理解记忆思考1025O ABP xyP ABO xy例题图8−5当90≠oα时，12x x≠，2121tany yx xα-=-（如图8−5（1）、（2））；当90=oα时，12x x=，tanα的值不存在，此时直线l与x轴垂直（如图8−5（3））．倾角()90≠oαα的正切值叫做直线l的斜率，用小写字母k表示，即tankα=．设点111(,)P x y、222(,)P x y为直线l上的任意两点，则直线l的斜率为211221()y yk x xx x-=≠-．（8．3）【想一想】当1P、2P的纵坐标相同时，斜率是否存在？倾斜角是多少？例1 根据下面各直线满足的条件，分别求出直线的斜率：（1）倾角为30o；（2）直线过点(2,2)A-与点(3,1)B-．解（1）由于倾斜角30=oα，故直线的斜率为3tan tan303===okα．（2）由点(2,2)A-、(3,1)B-，由公式8.3得直线的斜率为21211233(2)5y ykx x---===----．仔细分析讲解关键词语说明强调引领讲解说明理解记忆观察思考主动求解15。

第一章直线教案直线方程的点斜式、斜截式教案教学目标1．通过教学，学生能掌握直线方程的两种表现形式，即点斜式、斜截式．2．通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题；尊重从特殊→一般→特殊的认识规律．3．培养学生的探索、概括能力，同时也培养学生思维的科学性与创造性．教学重点与难点引导学生根据直线这一结论探讨确定一直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程．教学过程师：在初中，我们学习过一次函数y=kx+b及其图象l(一条直线)，下面请同学们思考以下几个问题：1．对函数y=kx+b来说，当不区分自变量x和y时，我们可以将y=kx+b叫做什么？(二元一次方程) 2．对于直线l来说，k和b在l中表示什么？(“k”表示直线l的方向，其值满足k=tanθ，因此，把k 叫做直线l的斜率；“b”表示直线l与y轴交点的纵坐标，又叫做直线l在y轴上的纵截距．)3．方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系？(以这个方程的解为坐标的点都是这条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．)师：你怎么知道以方程y=kx+b的解为坐标的点都是直线l上的点呢？你都验证了吗？生：……师：事实上，可以证明证明：设P(x1，y1)在l上，则由相似三角形性质，所以y1=kx1+b，即(x1，y1)是方程y=kx+b的解．反之：设(x1，y1)是y=kx+b的解，则师：通过上述问题，我们弄清了方程y=kx+b的解和直线l上的点之间的关系，它们是一种什么关系呢？生：一一对应关系．师：很好！有了这种一一对应关系，那么我们在研究直线时，就可以通过方程来考虑，这也正是解析几何研究问题的基本思想．现在我们不妨考虑一下，如果把直线当做结论，那么，确定一条直线需要几个条件？生：两个条件．师：哪两个条件？生甲：需要知道k和b的值就可以了．生乙：因为两点确定一条直线，所以只要知道两个点就可以确定一条直线．师：两位同学说得都很好，还有其它条件吗？生：……师：好！大家提出了许多种，今天先讨论其中的两种．若已知k、b，求直线方程．生：设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式得：师：推导过程很正确！我们能不能把题目再引申一下，使其更具有一般性？生：把条件改为：已知直线l的斜率为k，且经过点P1(x1，y1)，求直线l的方程．师：条件改得很好！能解决这个问题吗？生：设P(x，y)为l上任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得：师：在解决上面的两个问题中，大家都用到了k值，若k不存在的情况下其直线方程怎么表示？生：若k不存在，则直线方程为x=0或x=x1．师：很好！把上面的问题归纳一下，应分为几种情况加以考虑？生：两种．1)当k存在时，经过点P1(x1，y1)的直钱方程为y-y1=k(x-x1)；2)当k不存在时，经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．师：总结得不错！通过总结，大家注意到，在运用方程y=kx+b和y-y1=k(x-x1)解决问题时的前提条件是k 存在．另外要知道这两个方程之间的联系，即方程y=kx+b是方程y-y1=k(x-x1)的特殊形式，但两个方程表示的图形都是直线．为了以后应用起来方便，我们不妨给这两个方程分别取个名字．下面请大家集思广益，给这两个方程取个贴切、易记的名字．生：直线方程y-y1=k(x-x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，因此，可以叫做直线方程的点斜式；直线方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，所以，可以叫做直线方程的斜截式．师：这两个名字都指出了方程存在的前提条件，因此，便于同学们理解和记忆，以后大家可以继续使用．下面请大家根据今天课上所讨论的内容解决有关问题．例1 已知直线l的倾斜角为0°，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：利用点斜式得直线l的方程是y=y1．例2 已知直线l的倾斜角为90°时，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：因为直线l的斜率不存在，所以经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．例3 一条直线经过点P1(-2，3)，倾斜角α=45°，求直线的方程，并画出图形．(打投影仪)师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．(同时请一位同学板演)师：通过前面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立条件？生：两个．师：如果已知直线l过一点，能否确定直线在坐标系中的位置？生：不能确定，可以得到无数条经过这一点的直线．(教师可以用电脑演示)师：若只知道直线l的斜率呢？生：可以得到无数条斜率相同的直线．(教师用电脑演示)师：像这样的问题在我们今后学完有关直线的问题以后再做进一步探讨．本节课需要大家理解；确定一条直线必须具备两个独立条件，并且会根据所给条件求出直线的方程．下面，请大家回忆一下本节课所讨论的内容．生：知道了直线方程的两种表现形式：点斜式、斜截式．师：应用这两个方程时应注意什么？生：注意方程存在的条件是k存在．师：在今天这节课上，有的同学还提到了另外几种确定一条直线的条件，请同学们课下思考．作业：第20页，练习1，2，3．第26页，习题二：1，2(1)、(2)、(3)．设计说明本节课的教学过程主要有以下几个部分：1．复习引入，通过问题逐步引导学生发现方程y=kx+b与直线l的一一对应关系，从而为研究直线即可通过研究方程而得到．2．提出问题：1)确定一条直线需要具备几个独立条件？2)根据条件求出直线的方程．3．需猜想：1)确定一条直线需要知道k、b即可；2)确定一条直线需要知道直线l经过两个已知点；3)……4．根据猜想：已知k、b，求直线l的方程；已知k，点P1(x1，y1)，求经过点P1和斜率为k的直线方程．5．得到直线方程的点斜式、斜截式及方程存在的条件．6．已知一个条件，不能确定唯一的一条直线，进一步体会确定一条直线需要具备两个独立条件．7．例题、小结、作业．第一个环节的设计主要考虑了初、高中数学教材中相关知识点的衔接．因为搞好初、高中数学教学的衔接，从教学管理的角度看，适应学生的心理特征及认知规律．为此，从初中代数中的一次函数y=kx+b引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题，即求直线的方程的问题上去．在引入过程中，注意先帮助学生弄清直线与方程为一一对应关系，理解了要研究直线可从研究方程入手，以及要研究方程的特征，也可以从研究直线考虑，突出了解析几何研究问题的思想方法．第二、三、四环节的设计体现了解析法的基本思想在于把几何问题代数化，图形性质坐标化，其框图如下：考虑到传统的教学模式都是根据已知条件求结论，按照“MM教育方式”，应培养学生的探索性，因此在注重学生思维的科学性上，设计了根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件是什么？然后再根据猜想得到的条件求直线的方程．从教学内容上没有脱离教材，但从教法上比较注重创设问题情境，揭示知识的形成发展过程，不仅要让学生知其然，更应让学生知其所以然，帮助学生把研究的对象从复杂的背景中分离出来，突出知识的本质特点，讲清知识的来龙去脉，揭示新知识(根据已知条件，求出直线的方程)的提出过程，使学生对所学知识理解得更加深刻．关于直线的许多问题中，都要涉及到斜率和截距的问题，用斜率和截距来解决有关问题也是高中学生学习的需要．另外，在学生得出直线方程的点斜式和斜截式之后，教师要有意识地引导学生注意这两个方程的存在条件是k存在，若k不存在时应作为特殊情况加以考虑，在此涉及到了分类讨论的思想．在高中数学中，用斜率和截距来解决直线及其方程的问题，其中以下两种题型必不可少．1．已知直线方程研究其几何性质的问题例1 如果AC＜0且BC＜0，那么Ax+By+C=0不通过[ ]．分析由AC＜0且BC＜0可得AB＞0，直线Ax+By+C=0的限，故选(C)．显然，直线的斜率和截距是刻画直线几何性质的，是研究这类问题的关键．2．求直线方程例2 在平面直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)且与直线OP夹角例3 过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是____．分析两坐标轴截距相等包含了两种情况：截距不为零，截距为直线过原点和点(5，2)，可求得直线方程为2x-5y=0，所以所求直线方程为x+y-7=0或2x-5y=0．例4 求过点P(0，1)的直线l的方程，使l夹在两直线l1∶x-3y+10=0与l2∶2x+y-8=0之间的线段恰被P 点平分．解设过点P(O，1)的直线方程为y=kx+1(斜率k不存在时，显然不满足条件)，与直线l1、l2分别交于A、B两点(如图1-19)上述几例是用待定系数法求直线方程，解这类题的要点是：通过对已知条件的分析，寻求满足直线方程的两个独立条件，列出直线方程求待定系数．在使用直线方程时要注意，方程成立的条件，如点斜式、斜截式要求斜率存在，截距式要求截距不为零等．为了使学生理解求一条直线的方程需要具备两个独立条件，在本节课的最后部分我们强调直线若满足一个条件，那么这条直线是不能唯一确定的，所以在直线这一章学完以后，还要准备适当地补充直线系的概念及直线系的基本类型题．一般地，我们把满足一个共同条件的直线的集合(直线的系列)称为一个直线系，把满足直线系的方程叫做直线系方程．直线系的基本类型有：平行直线系(直线系中的所有直线的斜率k是同一个常数)；共点直线系(直线系中的直线都过同一个点)．引理若两相交曲线为C1∶f(x，y)= 0，C2∶g(x，y)=0，则曲线系C∶f(x，y) +λg(x，y)=0(参数λ∈R)，必通过C1与C2的所有的交点．定理已知两条相交直线l1∶a1x+b1y+c1=0和l2∶a2x+b2y+c2=0，则a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0是过l1和l2交点的直线系(不包括l2)，式中的λ是一个任意实数．例1 填写满足下列条件的直线系方程(1)斜率为-2的直线系方程是(y=-2x+b)．(3)经过点(-2，-3)的直线系方程是(y+3=k(x+2)或x=-2)．例2 应用上述定理，求经过l1∶2x-3y+2=0与l2∶3x-4y-2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程．(1)过原点；(2)平行于直线2x-y-6=0；(3)垂直于直线4x+3y-4=0．解过l1、l2交点的直线系是：l∶2x-3y+2+λ( 3x- 4y- 2)= 0，①即：(2+3λ)x+(-3-4λ)y+(2-2λ)=0，②(1)因为l过原点，所以2-2λ=0，λ=1代入②得：5x-7y=0．(2)因为l平行于直线2x-y-6=0，2x-y-18=0．(3)因为l垂直于4x+3y-4=0，所以4(2+3λ)-3(3+4λ)=0，即-1=0，此方程无解．这说明①中不存在与直线4x+3y-4=0相垂直的直线，事实上，①不含l2，而l2恰恰是过l1，l2交点且与4x+3y-4=0垂直的直线，所以所求直线就是l2∶3x-4y-2=0．例3 不论m取什么值，直线(2m-1) x+(m+3) y-m+11=0必过一定点，试证明之，并求此定点．x=2，y=-3．将x=2，y=-3代入直线系方程左边，则(2m-1)·2+(m+ 3)·(-3)- m+ 11= 0，即证明直线系过定点( 2，- 3)．解法二将原方程变形为：(-x+3y+11)+m(2x+y-1)=0，这是经过以下两直线交点的直线系解方程组，得这两条直线交点坐标为(2，-3)，不论m取何值时，已知直线必过点(2，-3)．以上是教案设计过程中的几点说明，此外，在教学过程中还应重视数学思想方法和数学语言的教学．因为数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为解决问题能力的桥梁．数学语言是进行数学思维和数学交流的工具，注重数学语言训练，有助于理解数学知识和方法，有助于数学交流，有助于学生的数学应用意识的培养．为此，本教案中涉及到了由特殊→一般→特殊的认知规律，运用了归纳、猜想等合情推理方法，在每个环节的设计中，要求学生对每一个问题都要独立思考，在学生遭遇挫折后，要引导他们进行正确归因，帮助他们找出症结，加强个别指导，激发不同层次的学生的学习兴趣．。

直线的点斜式方程教案岗位代码：0729学科学段：高二年级数学3.2.1 直线的点斜式方程一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2、过程在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的两点的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；3、情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

4、教学方法：探究式教学二、教学重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、教学方法：探究式、讨论式四、学生学习方法：小组讨论式、练习式五、教学过程：知识点回顾：1、直线的斜率：已知经过不同两点111(,)P x y 和000(,)P x y 的直线l ，则它的斜率1010tan y y k x x θ-==-（其中θ为直线l 与直角坐标系中x 轴的夹角） 2、经过平面上不相同的两点能唯一确定一条直线。

3、与x 轴平行的直线的斜率为0，与y 轴平行的直线没有斜率。

讲授新课：教师问：我们通常说经过平面上不同两点能唯一确定一条直线，那么除了经过平面上不相同的两点能唯一确定一条直线外，还有没有其它途径来唯一的确定一条直线？（学生分组讨论并回答）过程分析:如果是我们已知一条经过不同两点111(,)P x y 和000(,)P x y 的直线l ，那么我们可以知道它与直角坐标系中x 轴的夹角θ亦即斜率1010y y k tg x x θ-==-。

但根据直线斜率的定义我们知道一条直线的斜率是唯一确定的与斜率公式中两点的位置无关，所以对于直线上任意不同于点111(,)P x y 的一点(,)P x y 由斜率公式我们有11y y k x x -=- （1） 可以变形为()11y y k x x -=-(考虑这个变形的等价性问题)。

直线的点斜式与斜截式方程教学设计引言直线是数学中的基础概念之一，对于初学者来说，理解和掌握直线的方程是十分重要的。

本教学设计将重点介绍直线的点斜式和斜截式方程的概念、推导和应用，并通过具体的例子和实践活动，帮助学生深入理解和掌握这两种方程的求解方法。

学习目标学生将通过本课程的学习达到以下目标： 1. 理解直线的定义和特性； 2. 掌握直线的点斜式和斜截式方程的推导过程； 3. 应用点斜式和斜截式方程解决实际问题。

教学内容及流程1.引入（10分钟）–引导学生回顾直线的定义和性质，复习基础知识。

2.点斜式方程的引入和推导（20分钟）–通过引入直线上的一点P和斜率k的概念，推导点斜式方程的一般形式。

–详细讲解推导过程，引导学生思考每一步的原因和逻辑。

3.点斜式方程的例题演示（20分钟）–给出具体的实例，通过代入点和斜率的值，求解点斜式方程。

–鼓励学生积极参与解题过程，引导学生思考解题思路和步骤。

4.斜截式方程的引入和推导（20分钟）–通过引入直线在y轴上的截距b的概念，推导斜截式方程的一般形式。

–详细讲解推导过程，引导学生思考每一步的原因和逻辑。

5.斜截式方程的例题演示（20分钟）–给出具体的实例，通过代入截距b的值，求解斜截式方程。

–鼓励学生积极参与解题过程，引导学生思考解题思路和步骤。

6.综合练习与应用（20分钟）–给予学生一些综合练习题，包括点斜式和斜截式方程的求解。

–引导学生应用所学知识解决实际问题，如求两直线的交点、确定直线与坐标轴的交点等。

7.总结与扩展（10分钟）–总结本节课所学内容，让学生梳理知识点和解题技巧。

–提供一些扩展问题，让学生进一步应用和拓展所学知识。

教学资源与评估•授课所需资源：–黑板/白板及相应的书写工具；–针对每个步骤的示意图和推导过程；–演示问题的例题；–综合练习题；–扩展问题。

•学生评估：–课堂参与度：观察学生的积极参与程度，包括回答问题、解题环节中的互动等。

–解题能力：根据学生在练习和应用环节的成绩和表现进行评估。

直线的点斜式方程》教学设计(优质课)直线的点斜式方程是一种表示直线方程的形式，它可以通过已知直线上的一点和直线的斜率来确定直线方程。

在研究过程中，我们需要理解点斜式和斜截式的形式特点和适用范围，并能正确利用公式求直线方程。

同时，我们也要体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，从而培养数形结合的思想和联系的观点看问题的能力。

在确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，我们可以通过师生探讨，得出直线的点斜式方程。

学生需要通过对比理解“截距”与“距离”的区别，从而更好地掌握点斜式方程和斜截式方程的应用。

教学重点是直线的点斜式方程和斜截式方程，而教学难点则是它们的应用。

为了帮助学生更好地掌握这些知识，我们可以通过教师引导和学生自主探索的方法，让每个学生都能够推导出直线方程，并理解方程为直线方程必须满足两个条件的概念。

最后，我们还需要深化对直线的点斜式方程的理解，明确它能否表示坐标平面上的所有直线。

同时，我们也要掌握x轴和y轴所在直线的方程，以便更好地应用点斜式方程。

由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的，所以这两类方程不能用于垂直于x轴的直线。

例如，如果要求过点(1,2)且倾斜角为90度的直线方程，可以直接写为x-1=0.截距和距离是两个不同的概念。

y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标，x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标。

如果要求直线的截距，可以在方程中分别令x=0或y=0求对应的截距。

例如，对于过点P(-2,3)且与x轴、y轴分别交于A、B两点，且P为线段AB的中点的直线l，可以先求出A、B两点的坐标，再根据线段中点的性质求出直线l的斜率k，最后代入点斜式求出直线l的方程3x-2y+12=0.直线l过点(-2,3)，所以直线l的方程为y-3=k(x+2)。

令x=0，得到y=2k+3；令y=0，得到x=-2.由于P为线段AB的中点，所以A、B两点的坐标分别为A(-2,0)和B(0,2k+3)。