高中数学必修二 3.2.1 直线的点斜式方程教案 新人教A版必修2

3、2、1 直线的点斜式方程一、【学习目标】1、引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程；2、在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.【教学重点】直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用；【教学难点】直线的点斜式、斜截式方程的意义及运用；根据条件熟练地求出直线的方程二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第92—93页内容，然后回答问题（点斜式方程）<1>如果已知直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),y x P （ 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，你能求出直线的方程吗？你怎么说明我们根据斜率所得到的方程就是我们所求的直线方程？<2>我们由<1>所得的方程是斜率存在的情况，若斜率不存在也就是倾斜角是直角的情况，方程怎么求？倾斜角为零度呢？ 结论：<1>由斜率公式得：=k （0y y -）/（0x x -），即)(00x x k y y -=-就是我们所求的方程.证明过程：由上述推导过程我们可知：01过点),(000y x P ，斜率为k 的直线l 的坐标都满足上述方程；反过来我们还可以验证.02坐标满足上述方程的点，都在过点),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上. <2>两种特殊情况的方程分别为：00y y x x ==、【例1】已知直线l 过点A(2，1)且与直线y －1＝4x －3垂直，求直线l 的方程．【解析】方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4(x －34)，由点斜式方程知其斜率k ＝4，又∵l 与直线y －1＝4x －3垂直， ∴直线l 的斜率为－14，又由l 过点A(2，1)． ∴直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)， 即x ＋4y －6＝0．练习一：教材95页练习1、2.2、阅读教材第94页思考上面的内容，回答问题（斜截式）<3>如果直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b ，代入直线的点斜式方程，我们能得到什么结论？结论：<3>我们可以得到)0(-=-x k b y 即b kx y +=，我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.我们把这个方程叫做直线的斜截式方程.练习二：①请同学们记住这个结论，并且思考，截距是距离吗？②观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？k 和b 分别表示什么含义？③请同学们完成教材第95页练习3.3、阅读教材94页例2，回答问题（复习直线垂直、平行的条件）<4>已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，那么21//l l ，21l l ⊥ 的条件分别是什么？若反过来，成立吗？结论：<4>212121,//b b k k l l ≠=⇔,12121-=⋅⇔⊥k k l l .（要注意特殊情况，譬如斜率不存在或斜率为零的情况）练习三：①完成教材第95页练习4；②习题3.2A 组1<1><2><3>.三、【作业】习题3.2A 组2、3、5、10；四、【小结】本节课主要学习了三大块内容，直线的点斜式、斜截式方程，以及两直线平行和垂直的条件.要重点理解点斜式、斜截式方程的推导过程和结构特征以及适用范围.五、【反思】教学，重要的是学生的学，而不是教师的教.老师要做到的是怎样推动学生积极的学习.个人认为推动学生学习，最重要的是给学生一个台阶，上得去的台阶.譬如上一章学习的立体几何，由于是新知识，学生学习起来比较吃力，课堂效果和作业效果都一般，但是直线这一章相比之下简单一些，学生的学习效果很不错，并且乐意学.所以调动学生的积极性，重要的是循序渐进，不要过分拔高，也就是说给学生一个台阶.。

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尊敬的各位评委、各位老师：大家好！我说课的题目是《直线的点斜式方程》，选自人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书数学必修2（A版），是第三章直线与方程中的第2节的第一课时3.2.1直线的点斜式方程的内容。

下面我将从教学背景、教学方法、教学过程及教学特点等四个方面具体说明。

一、教学背景的分析1、教材分析直线的方程是学生在初中学习了一次函数的概念和图象及高中学习了直线的斜率后进行研究的。

直线的方程属于解析几何学的基础知识，是研究解析几何学的开始，对后续研究两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容，无论在知识上还是方法上都是地位显要，作用非同寻常，是本章的重点内容之一。

“直线的点斜式方程”可以说是直线的方程的形式中最重要、最基本的形式，在此花多大的时间和精力都不为过。

直线作为常见的最简单的曲线，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。

同时在这一节中利用坐标法来研究曲线的数形结合、几何直观等数学思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

2、学情分析我校的生源较差，学生的基础和学习习惯都有待加强。

又由于刚开始学习解析几何，第一次用坐标法来求曲线的方程，在学习过程中，会出现“数”与“形”相互转化的困难。

另外我校学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面更有待加强。

根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3、教学目标（1）了解直线的方程的概念和直线的点斜式方程的推导过程及方法；（2）明确点斜式、斜截式方程的.形式特点和适用范围；初步学会准确地使用直线的点斜式、斜截式方程；（3）从实例入手，通过类比、推广、特殊化等，使学生体会从特殊到一般再到特殊的认知规律；（4）提倡学生用旧知识解决新问题，通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系等活动，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，并初步了解数形结合在解析几何中的应用。

3．2.1 直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图，直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？答案 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0， 则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0.知识点二 思考1 已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，得到的直线l 的方程是什么？ 答案 将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得：y ＝kx ＋b .思考2 方程y ＝kx ＋b ，表示的直线在y 轴上的截距b 是距离吗？b 可不可以为负数和零？ 答案 y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零． 思考3 对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2. ①l 1∥l 2⇔________________， ②l 1⊥l 2⇔________________.答案 ①k 1＝k 2且b 1≠b 2 ②k 1k 2＝－1类型一 直线的点斜式方程例1 (1)经过点(－3,1)且平行于y 轴的直线方程是________．(2)直线y ＝2x ＋1绕着其上一点P (1,3)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程是________．(3)一直线l 1过点A (－1，－2)，其倾斜角等于直线l 2：y ＝33x 的倾斜角的2倍，则l 1的点斜式方程为________． 答案 (1)x ＝－3 (2)y －3＝－12(x －1)(3)y ＋2＝3(x ＋1)解析 (1)∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝－3.(2)由题意知，直线l 与直线y ＝2x ＋1垂直，则直线l 的斜率为－12.由点斜式方程可得l 的方程为y －3＝－12(x －1)．(3)∵直线l 2的方程为y ＝33x ， 设其倾斜角为α，则tan α＝33得α＝30°， 那么直线l 1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l 1的点斜式方程为y ＋2＝tan 60°(x ＋1)，即y ＋2＝3(x ＋1)．跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行． 解 (1)y －5＝4(x －2)；(2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.类型二 直线的斜截式方程例 2 (1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________．答案 y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2 (1)已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程；(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．解 (1)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.(2)∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12，∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.类型三 平行与垂直的应用例3 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ 解 (1)由题意可知，12212l l k k a ＝－，＝－，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，12214l l k a k ＝－，＝， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．反思与感悟 设直线l 1和l 2的斜率k 1，k 2都存在，其方程分别为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，那么：(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；(2)k 1＝k 2，且b 1＝b 2⇔两条直线重合；(3)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 跟踪训练3 已知在△ABC 中，A (0,0)，B (3,1)，C (1,3)． (1)求AB 边上的高所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线的方程； (3)求过A 与BC 平行的直线方程． 解 (1)直线AB 的斜率k 1＝1－03－0＝13，AB 边上的高所在直线斜率为－3且过点C ，所以AB 边上的高所在直线的方程为y －3＝－3(x －1)．(2)直线BC 的斜率k 2＝3－11－3＝－1，BC 边上的高所在直线的斜率为1且过点A ，所以BC 边上的高所在直线的方程为y ＝x .(3)由(2)知，过点A 与BC 平行的直线的斜率为－1，其方程为y ＝－x .1．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 2．倾斜角是30°，且过(2,1)点的直线方程是____________． 答案 y －1＝33(x －2) 解析 ∵斜率为tan 30°＝33， ∴直线的方程为y －1＝33(x －2)． 3．(1)已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________；(2)若直线l 1∶y ＝－2a x －1a与直线l 2∶y ＝3x －1互相平行，则a ＝________.答案 (1)－1 (2)－23解析 (1)由题意可知a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2a＝3，－1a ≠－1，解得a ＝－23.4．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解 (1)∵与直线y ＝2x ＋7平行， ∴该直线斜率为2， 由点斜式方程可得y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1∴所求直线的方程为y ＝2x －1. (2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直，∴该直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断． 3．判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程的点斜式为( )A ．y －2＝－33(x ＋4) B ．y －(－2)＝－33(x －4) C ．y －(－2)＝33(x －4) D ．y －2＝33(x ＋4) 答案 B解析 由题意知k ＝tan 150°＝－33，所以直线的点斜式方程为y －(－2)＝－33(x －4)． 2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析 ∵方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.3．已知直线l 1：y ＝x ＋12a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．±2答案 C解析 因为l 1∥l 2，所以a 2－3＝1，a 2＝4，所以a ＝±2， 又由于l 1∥l 2，两直线l 1与l 2不能重合，则12a ≠1，即a ≠2，故a ＝－2.4．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )答案 C解析 ①当a >0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a >0，A ，B ，C ，D 都不成立；②当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，A ，B ，C ，D 都不成立；③当a <0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角，直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角且在y 轴上的截距a <0，只有C 成立．5．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0 D ．k <0，b <0答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.6．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)答案 C解析 直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． 二、填空题7．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为______________． 答案 y ＝－13x ＋13解析 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y ＝－13x ，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.8．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________． 答案 (3,2)解析 ∵y ＝a (x －3)＋2，即y －2＝a (x －3)， ∴直线过定点(3,2)．9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． 答案 k ≥32解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.10．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________________．答案 y ＝34x －3解析 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34，设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b 1，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a 1＝－43b 1.∵a 1＋b 1＝－43b 1＋b 1＝－13b 1＝1，∴b 1＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.11．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．答案 y ＝34x ±3解析 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3，由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12，|b |＋43|b |＋53|b |＝12，4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.三、解答题12．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．解 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－－＝－38，过点A (－5,0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x ＋5)，即所求的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴直线AB ，BC ，AC 的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2.13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的方程为y ＝32x －35.。

3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程导入新课思路1.方程y=kx ＋b 与直线l 之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l 上任意一点P(x 1,y 1)的坐标是方程y=kx ＋b 的解.(2)(x 1,y 1)是方程y=kx+b 的解⇒点P(x 1,y 1)在直线l 上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题). 推进新课新知探究提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？ ⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0；b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tan α=-3，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tan α1=tan α2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tan α1=tan α2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x. 答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6),当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k . 变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地.∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x )］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30), 当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2). 例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：x －2y ＋1=0.设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0.∴m=－3.∴C 点为(－3，－1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a +,2). 又E 在AB 中线上,则21a +-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512. 知能训练课本本节练习1、２、３、４.拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tan α1＜k ＜k 2=tan α2.又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21， 则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21.。

必修2第3章3.2.1直线的点斜式方程一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》〔人教版〕第三章直线方程第二节的第一课时。

直线的点斜式方程是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 与直线的斜率,一次函数密不可分；另一方面,学习直线的点斜式方程也为进一步学习直线其他方程等内容做好准备。

二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：1.直线的点斜式方程的适用X 围;2.截距的几何意义.三、教学目标知识与技能1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用X 围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.过程与方法在直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距〞与“距离〞的区别。

情感与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

四、教学重点，难点重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

难点：直线的点斜式方程和斜截式方程．五、教学过程(一)．复习旧知问题1:直线的斜率的计算公式是什么?问题2:两条不重合的直线斜率都存在,.如何用直线的斜率判定两直线平行与垂直?(二).问题情境问题3:确定一条直线的方法有几种?问题4:假设直线的斜率与直线上的某一点,能否求直线上的任意一点所满足的方程?(三).探索研究直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率k ，设(,)p x y 为直线上的任意一点，那么有：00y y k x x -=-00()y y k x x ⇒-=- ⑴ 问题5: 满足方程⑴的所有点是否都在直线 l 上?(四).归纳总结1.点斜式方程 ：方程 ⑴:00()y y k x x -=-称为直线的点斜式方程.简称点斜式. 问题6: 直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?结论:不能表示垂直于x 轴的直线.问题7:x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？问题8:经过点),(000y x P 且平行于x 轴〔即垂直于y 轴〕的直线方程是什么？问题9;经过点),(000y x P 且平行于y 轴〔即垂直于x 轴〕的直线方程是什么？2.斜截式方程:由点斜式方程可知,假设直线过点(0,)B b 且斜率为k ,那么直线的方程为: y kx b =+ 方程y kx b =+称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中b 为直线在y 轴上的截距.问题10:：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论?结论:截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标,截距不等于距离.(五).应用举例例⒈直线l 经过点P 0(－2, 3)，且倾斜角α＝45º，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .例2.①直线的点斜式方程是y －2=x －1，那么直线的斜率是_____，倾斜角是_____， 此直线必过定点______；②直线的点斜式方程是y ＋2=(x ＋1)，那么此直线经过定点_______，直线的斜率 是______，倾斜角是_______.例3.直线l 1: y ＝k 1x ＋b 1， l 2: y ＝k 2x ＋b 2，试讨论：(1) l 1∥l 2的条件是什么? (2) l 1⊥l 2的条件是什么?例4.习案151面第5题.(六).课堂练习教材P95 练习1. 2. 3.4(七).归纳总结1.点斜式方程 ：方程 ⑴:00()y y k x x -=-；2.斜截式方程:: y kx b =+.3.截距b 的几何意义.(八).课外作业： 《习案》与《学案》。

【学习目标】 1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情感态度与价值观：通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

【重点难点】（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

【学法指导】1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、牢记直线的点斜式方程形式，注意适用条件。

3、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。

【知识链接】1．直线倾斜角的概念 2. 直线的斜率两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 【学习过程】A 问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？yxOP P 0B 问题2、直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。

设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。

A 问题3、（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）（2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？B 问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？B 问题5、（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？yP 0（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？（3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？.l l l α︒A 例１直线经过点P(-3,2)，且倾斜角为=45，求直线的点斜式方程，并画出直线A 问题7、已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。

数学：3.2《直线的点斜式、斜截式⽅程》教案（新⼈教A 版必修2）课题：直线的点斜式、斜截式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）理解直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围；（2）能正确利⽤直线的点斜式、斜截式公式求直线⽅程。

（3）体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系.2、过程与⽅法在已知直⾓坐标系内确定⼀条直线的⼏何要素——直线上的⼀点和直线的倾斜⾓的基础上，通过师⽣探讨，得出直线的点斜式⽅程；学⽣通过对⽐理解“截距”与“距离”的区别。

3、情态与价值观通过让学⽣体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系，进⼀步培养学⽣数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学⽣能⽤联系的观点看问题。

教学重点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程。

教学难点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程的应⽤例3．如果直线l 沿x 轴负⽅向平移3个单位，再沿y 轴正⽅向平移1个单位后，⼜回到原来的位置，求直线l 的斜率.( －31)归纳⼩结：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围是什么？（3）求⼀条直线的⽅程，要知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题课后记:课题：直线的两点式和截距式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）掌握直线⽅程的两点式的形式特点及适⽤范围；（2）了解直线⽅程截距式的形式特点及适⽤范围。

2、过程与⽅法让学⽣在应⽤旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的⽐较、分析、应⽤获得新知识的特点。

3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学⽣⽤联系的观点看问题。

教学重点：直线⽅程两点式。

教学难点：两点式推导过程的理解1）到⽬前为⽌，我们所学过的直线⽅程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？2）要求⼀条直线的⽅程，必须知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题课后记:课题：直线的⼀般式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）明确直线⽅程⼀般式的形式特征；（2）会把直线⽅程的⼀般式化为斜截式，进⽽求斜率和截距；（3）会把直线⽅程的点斜式、两点式化为⼀般式。