3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
整体设计
教学分析
直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.
在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.
三维目标
1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.
2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.
重点难点
教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.
教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.方程y=kx＋b与直线l之间存在着什么样的关系？
让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即
（1）直线l 上任意一点P(x 1,y 1)的坐标是方程y=kx ＋b 的解.
(2)(x 1,y 1)是方程y=kx+b 的解⇒点P(x 1,y 1)在直线l 上.
这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).
思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：
一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题). 推进新课
新知探究
提出问题
①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？
②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程?
③方程导出的条件是什么？
④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？ ⑤k=1
1x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？
讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:
a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；
b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.
②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=
1
1x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).
③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.
④a.x=0；b.x=x 1.
⑤启发学生回答:方程k=1
1x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.
⑥y=kx+b.
思路1
例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.
图1
解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,
这就是所求的直线方程,图形如图1所示.
点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练
求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.
解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tan α=-3，
又∵α∈［0°,180°)，
∴α=120°.
∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.
例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:
（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？
（2）l 1⊥l 2的条件是什么？
活动:学生思考：如果α1=α2，则tan α1=tan α2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tan α1=tan α2的依据.
解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.
(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
变式训练
判断下列直线的位置关系:
(1)l 1:y=
21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x. 答案：(1)平行；(2)垂直.
例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.
活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.
解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6),
当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；
当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k . 变形为(S －72)k 2
＋(96－4S)k －32=0(S≠72).
因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.
当且仅当k=－1时，S 有最小值40.
因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.
点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.
变式训练
如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.
图2
解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地. ∵AB 方程为
2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x )］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30), 当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2). 例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.
活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助
