2017七年级数学下册1整式的乘除课题平方差公式导学案新版北师大版

平方差公式(二)一、教学目标(一)教学目标1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力目标1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感目标1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.二、教学重难点（一）教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.（二）教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.三、教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)第二张：例3，记作(§1.7.2 B)第三张：例4，记作(§1.7.2 C)第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)四、教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. ［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a ,与它相邻的两个自然数为a －1,a +1,则有(a +1)(a －1)=a 2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a 可以代表任意一个数.［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.7.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49Ⅲ.随堂练习1.(课本P 32)计算(1)704×696(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)(3)x (x －1)－(x －31)(x +31) (可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x (x －1)－(x －31)(x +31) =(x 2－x )－［x 2－(31)2］ =x 2－x －x 2+91 =91－x 2.(补充练习)出示投影片(§1.7.2 D)解方程：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)(先由学生试着完成)解：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)(2x )2－1+3(x 2－4)=7x 2－6x －14x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x －1x=2Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业课本P32、习题1.12.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045五、板书设计§1.7.2 平方差公式(二)一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a－1)=a2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习。

5平方差公式第1课时平方差公式的认识教学目标一、基本目标1．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算．2．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．二、重难点目标【教学重点】弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．【教学难点】会用完全平方公式进行运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P20～P21的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．根据条件列代数式：(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.2．(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.(1)观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式.等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差；(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.3．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝80.4．计算(3－x)(3＋x)的结果是9－x2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】运用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．【互动探索】(引发学生思考)(1)直接套用公式计算；(2)把－2a看成一项，把b看成另一项；(3)先计算(x－2)(x＋2)，再计算(x－2)(x＋2)的结果与(x2＋4)的乘积．【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a－b)(－2a＋b)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．活动2巩固练习(学生独学)1．下列运算中，可以用平方差公式计算的是(C)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)2．(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2.3．如果A2－B2＝8，且A＋B＝4，那么A－B的值是2.4．计算：(－2018)2＋2017×(－2019)．解：原式＝20182－(2018－1)×(2018＋1)＝20182－20182＋1＝1.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时平方差公式的应用教学目标一、基本目标1．进一步使学生理解并掌握平方差公式的灵活应用．2．通过小结使学生理解平方差公式的数学表达式与文字表达式在应用上的差异．二、重难点目标平方差公式的应用及推广．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P21～P22的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】(一)探索平方差公式的几何背景如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形．(1)请表示图中阴影部分的面积：a 2－b 2；(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是a ＋b ，a －b ，它的面积是(a ＋b )(a －b )；(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由．解：能．理由：阴影部分的面积是不变的，即(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.(二)利用平方差公式探索规律(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．⎩⎪⎨⎪⎧ 7×9＝！！！ 63 ###8×8＝！！！ 64 ### ⎩⎪⎨⎪⎧11×13＝！！！ 143 ###12×12＝！！！ 144 ### ⎩⎪⎨⎪⎧ 79×81＝！！！ 6399 ###80×80＝！！！ 6400 ### (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？解：两个连续奇数的积，等于这两个奇数中间的那个偶数的平方与1的差．(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？解：(n －1)(n ＋1)＝n 2－1(n 为偶数)．证明：根据平方差公式，得(n －1)(n ＋1)＝n 2－12＝n 2－1.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】(教材P22例3)用平方差公式进行计算：(1)103×97; (2)118×122.【互动探索】(引发学生思考)平方差公式有什么特点？怎样计算？【解答】(1)原式＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝9991.(2)原式＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14 396.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题目的关键是恰当变形，将其变化为两数和与两数差的积的形式，使复杂的计算简单化，以达到事半功倍的效果．【例2】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.【互动探索】(引发学生思考)先对代数式进行化简→代入已知值求化简后代数式的值．【解答】原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2＝5(x＋y)(x－y)．当x＝1，y＝2时，原式＝－15.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先将原代数式化简，再代值计算．尽量不要直接代入求值，这样不仅使计算复杂化，还容易出错．活动2巩固练习(学生独学)1．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)．利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.图1图22．长方形的长为(2a＋3b)，宽为(2a－3b)，则长方形的面积为4a2－9b2.3．若(m＋3x)(m－3x)＝16－nx2，则mn的值为±36.4．运用平方差公式简算：(1)21×19；(2)13.2×12.8.解：(1)原式＝(20＋1)×(20－1)＝400－1＝399.(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】对于任意的正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值一定是10的倍数吗？【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→化简代数式→化简结果是否是10的倍数→作出判断．【解答】原式＝9n 2－1－(9－n 2)＝10n 2－10＝10(n ＋1)(n －1)．因为n 为正整数，所以(n ＋1)(n －1)为整数，即(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值是10的倍数．【互动总结】(学生总结，老师点评)在探究整除性或倍数问题时，要注意平方差公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)平方差公式的应用⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 内容：两数和与这两数差的积，等于它们的 平方差注意⎩⎪⎨⎪⎧ 1.符号表示：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 22.抓住“一同一反”这一特征，只有 两个二项式的积才有可能应用平 方差公式；不能直接应用公式的， 可变形后应用练习设计请完成本课时对应练习！。

北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除《平方差公式》知识点总结平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。

抓住公式的几个变形形式利于理解公式。

但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如(a+b)(a-b)利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)（3）指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)（4）符号变化：如(-a-b)(a-b)（5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)（6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)做题步骤：1）先判断能否使用平方差公式。

判断依据：一对相等项，一对相反项。

2）如果可以使用，则一般情况下我们可以将相等的一项放在多项式的第一位进行计算（第一个数的平方减去第二个数的平方）；3）不管能否使用平方差公式，多项式乘以多项式是基本方法。

表达式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式:1/(3-4倍根号2)化简:1×(3+4倍根号2)/(3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2)/-23注意事项：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；第一关：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (2x+1/2)(2x-1/2)6. (a+2b)(a-2b)7. (2a+5b)(2a-5b)8. (-2a-3b)(-2a+3b)第二关：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、100-1/3×99-2/37、20-1/9×19-8/9第三关：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)第四关：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y)3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五关：每个多项式含三项1.（a+b+c）(a+b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)课后练习导学案图文导学。

5 平方差公式测试时间:20分钟一、选择题1.运用乘法公式计算(a+3)(a-3)的结果是( )A.a 2-6a+9 B.a 2-3a+9 C.a 2-9 D.a 2-6a-9 1.答案 C (a+3)(a-3)=a 2-32=a 2-9,故选C. 2.下列各式中,能用平方差公式计算的有( )①(a -2b)(-a+2b);②(a -2b)(-a-2b);③(a -2b)(a+2b);④(a -2b)(2a+b). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.答案 B ①(a -2b)(-a+2b)不能用平方差公式计算;②(a -2b)(-a-2b)能用平方差公式计算;③(a -2b)(a+2b)能用平方差公式计算;④(a -2b)(2a+b)不能用平方差公式计算.故能用平方差公式计算的有2个.故选B.3.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )A.(x-2y)(2y+x)B.(-2y-x)(x+2y)C.(x-2y)(-x-2y)D.(2y-x)(-x-2y) 3.答案 BA.(x-2y)(2y+x)=(x-2y)(x+2y)=x 2-4y 2,所以A选项不符合题意;B.(-2y-x)(x+2y)=-(x+2y)2,不能用平方差公式计算,所以B 选项符合题意;C.(x-2y)(-x-2y)=-(x-2y)(x+2y)=-x 2+4y 2,所以C 选项不符合题意;D.(2y-x)(-x-2y)=(x-2y)(x+2y)=x 2-4y 2,所以D 选项不符合题意.故选B. 4.若(5a+4b)( )=25a 2-16b 2,则括号内应填( )A.5a+4bB.5a-4bC.-5a+4bD.-5a-4b 4.答案 B ∵(5a+4b)(5a -4b)=25a 2-16b 2,∴括号内应填5a-4b,故选B. 5.下列计算正确的是( )A.(2x+3)(2x-3)=2x 2-9 B.(x+4)(x-4)=x 2-4 C.(5+x)(x-6)=x 2-30 D.(-1+4b)(-1-4b)=1-16b 25.答案 D (2x+3)(2x-3)=4x 2-9,A 错误;(x+4)(x-4)=x 2-16,B 错误;(5+x)(x-6)=x 2-x-30,C 错误;(-1+4b)(-1-4b)=1-16b 2,D 正确.故选D. 6.若(-mx-3y)(mx-3y)=-49x 2+9y 2,则m 的值为( )A.7B.-7C.±7D.以上都不对 6.答案 C ∵(-mx-3y)(mx-3y)=(-3y-mx)(-3y+mx)=(-3y)2-(mx)2=9y 2-m 2x 2, ∴-m 2=-49,∴m 2=49,∴m=±7,故选C.7.一个长方体的长、宽、高分别是(x 2+14)、(x +12)和(x -12),则它的体积是( )A.x 4+116 B.x 4-116 C.x 4-12x 2+116 D.x 4-18x 2+1167.答案 B 根据题意得长方体的体积为(x 2+14)(x +12)(x -12)=(x 2+14)(x 2-14)=x 4-116,故选B. 二、填空题8.计算:(-2a-1)(-2a+1)= . 8.答案 4a 2-1解析 (-2a-1)(-2a+1)=(-2a)2-12=4a 2-1. 9.若a+b=1,a-b=2 017,则a 2-b 2= . 9.答案 2 017解析 ∵a+b=1,a -b=2 017,∴a 2-b 2=(a+b)(a-b)=1×2 017=2 017.10.若(x+3)(x-3)=x 2+px-9,则p 的值是 . 10.答案 0解析 ∵(x+3)(x -3)=x 2-9=x 2+px-9,∴p=0.11.计算(3-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)= . 11.答案 14(332-1)解析 原式=14(3+1)(3-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=14(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=14(34-1)(34+1)(38+1)(316+1) =14(38-1)(38+1)(316+1) =14(316-1)(316+1) =14(332-1).12.一个三角形的一条边长为(2a+4)cm,这条边上的高为(2a-4)cm,则这个三角形的面积为 cm 2.12.答案 (2a 2-8)解析 三角形的面积为12·(2a+4)·(2a -4)=12·(4a 2-16)=(2a 2-8)cm 2. 三、解答题13.利用平方差公式计算: (1)59.8×60.2; (2)103×97; (3)1232-122×124.13.解析 (1)59.8×60.2=(60-0.2)×(60+0.2)=3 600-0.04=3 599.96. (2)103×97=(100+3)×(100-3)=10 000-9=9 991.(3)1232-122×124=1232-(123-1)×(123+1)=1232-(1232-12)=1232-1232+1=1. 14.先化简,再求值:(x+3)(x-3)-x(x-2),其中x=4. 14.解析 原式=x 2-9-x 2+2x=2x-9.当x=4时,原式=2×4-9=-1.15.计算:(1)(3x-13y)(3x+13y)(9x2+19x2);(2)(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y).15.解析(1)原式=(9x2-19x2)(9x2+19x2)=81x4-181y4.(2)原式=4x2-9y2-16y2+9x2=13x2-25y2.。