铁一中数学理14模试题(1)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 设全集，则（ ）A．B．C．D．2. 对于数列{a n }，若存在正整数k (k ≥2)，使得，，则称是数列{a n }的“谷值”，k 是数列{a n }的“谷值点”.在数列{a n }中，若a n ＝，则数列{a n }的“谷值点”为（ ）A ．2B ．7C ．2，7D ．2，3，73.已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（ ）A ．1B．C ．3D．4. 在 的展开式中，的系数是（ ）A ．1B ．10C ．-10D ．05. 若三个数1，2，m 成等比数列，则实数（ ）A ．8B ．4C ．3D ．26. 将三颗骰子各掷一次，设事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个3点”，则条件概率P （A |B ），P （B |A ）分别是（ ）A ．，B．，C ．，D ．，7. 已知抛物线C：与圆O ：交于A ，B 两点，且，直线过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则下列说法中正确的是（ ）A ．若直线的斜率为，则B．的最小值为C ．若以MF 为直径的圆与y 轴的公共点为，则点M的横坐标为D ．若点，则周长的最小值为8. 已知抛物线的焦点为F ，过抛物线上任意一点P 作圆的切线，A为切点，且直线交抛物线于另一点Q ，则下列结论正确的有（）A．的最小值为B ．的取值范围为C．三角形面积的最小值为D ．连接，并延长，分别交抛物线于N ，M两点，设直线和直线的斜率分别为，，则9. 不等式的解集为______．陕西省西安市铁一中学2024届高三上学期月考4数学（理）试题(高频考点版)陕西省西安市铁一中学2024届高三上学期月考4数学（理）试题(高频考点版)四、解答题10.已知的最小正周期为，则常数的值等于__________．11. 一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离为，则该球的体积是______，表面积是______．12.已知公共点为的圆和圆均与轴相切，且与直线均相切于第一象限，两圆的半径之和为4，则直线的方程为__________.13.已知曲线直线.（1）当曲线表示圆时，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得曲线与直线相交于，两点.且满足其中为坐标原点若存在，求的值：若不存在，请说明理由.14.已知圆，点.(1)若过点M 的直线l 与圆交于A ，B两点，若，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，记切点为T ，若满足PT ＝PM ，求使PT 取得最小值时点P 的坐标．15. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x （），需另投入成本（万元），且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量x （）的函数关系式；(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．百辆百辆16. 随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班一天.（1）这3人的值班顺序共有多少种？写出样本空间.（2）写出事件A ：“甲在乙之前值班”的集合表示.。

理科数学试题（满分：150分 ，考试时间 ：120分钟）第一部分（选择题 共60分）一、选择题(共12个小题,每小题5分,计60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R ，{}ln(1x)M x y ==- ，{}(x 2)21x N x -=<，则()N U C M =A ．{x|x ≥l}B ．{x|1≤x <2}C ．{x|0≤x <l}D ．{x| O <x ≤l}2.复数1cos sin z x i x =-，2sin cos z x i x =-，则21z z • A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2141，内，则输入的实数x 的取值范围是A.[]23--，B.[]12--，C.[]01，-D.[]10， 4.某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的投影长度为6，在侧视图中的投影长度为5，则该长方体的全面积为A.253+B.456+C.6D.105.已知*3()211n a n N n =∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为A.13B.12C.11D.106.过抛物线x y 42=焦点的条直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 横坐标之和等于5，则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在7.函数sin xy x=，(0)(0,)x ππ∈-，的图像可能是下列图形中的8. 6名同学安排到3个社区A 、B 、C 参加服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为A ．12B ．9C ．6D ．59.已知双曲线221(00)mx ny m n -=>>、的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为A.33B.332 C.36D.31正视图 侧视图俯视图10.已知函数f(x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg 12)＝A ．－ 1B ．0C ．1D ．211．设圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝A ．－8B ．－6C ．－5D ．－312.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()f x f x tanx '<成立，则A ．3()2()43f f ππ> B ．(1)2()sin16f f π>⋅C ．2()()64f f ππ>D ．3()()63f f ππ>第二部分（非选择题 共90分）二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13.在平面直角坐标系中，不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为 .14.已知向量),10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===且A,B,C 三点共线，则k= . 15.在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ABD ∠等于 . 16.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面 半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_______cm.三、解答题（共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和构成数列{}n b ，数列{}n b 的前n 项和构成数列{}n c ．若()2134n n b n =-+，求（Ⅰ）数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n c 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图,已知四边形ABCD 是矩形,AB =2BC =2,三角形PAB 是正三角形,且平面ABCD ⊥平面PCD . (Ⅰ)若O 是CD 的中点,证明：BO ⊥P A ； (Ⅱ)求平面P AB 与平面P AD 夹角的余弦值． 19．（本小题满分12分） 已知函数2()ln (0,R)f x ax bx x a b =+->∈ ． （Ⅰ）设1,1a b ==-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意0,()(1)x f x f >≥恒成立．试比较ln a 与2b -的大小． 20．（本小题满分12分）食品安全是关乎到人民群众生命的大事。

陕西省西安市铁一中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A ．32f B ．322f C ．1252fD ．1272f2．若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3D ．{}32x x -≤<3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．1124．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．45．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．86．设()f x x =，点()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16008．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．859．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ） A ．37B ．13C ．13D ．3710．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.3611．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1 12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年碑林区铁一中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．计算：（﹣3）×（﹣2）＝（）A．1B．﹣1C．6D．﹣6【分析】利用有理数乘法法则计算即可．【解答】解：（﹣3）×（﹣2）＝6．故选：C．【点评】本题考查有理数乘法，解题关键是熟悉有理数乘法法则．2．下列几何图形中，是中心对称图形的是（）A．角B．等边三角形C．扇形D．平行四边形【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．角不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．等边三角形不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．扇形不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．平行四边形是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形是解此题的关键．3．计算：（﹣3a2b）﹣2＝（）A．B．﹣C．a4b2D．6a4b2【分析】利用负整数指数幂，积的乘方的法则对式子进行运算即可．【解答】解：（﹣3a2b）﹣2＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查积的乘方，负整数指数幂，解答的关键是明确．4．如图，四边形ABCD，BA＝BC，AD∥BC，则下列等式不成立的是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠2＝∠3D．∠1＝∠3【分析】根据平行线的性质及等腰三角形的性质求解判断即可得解．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠3，∵BA＝BC，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，故A、C、D成立，不符合题意，根据题意不能判定∠3＝∠4，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，把双曲线y＝向右平移1个单位得到的图象对应的函数表达式是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝﹣1【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把双曲线y＝向右平移1个单位得到的图象对应的函数表达式是y＝．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．6．若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k≥﹣1【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：当该方程是一元二次方程时，由题意可知：Δ＝4+4k≥0，∴k≥﹣1，∵k≠0，∴k≥﹣1且k≠0，当该方程是一元一次方程时，k＝0，满足题意，故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．7．如图，在⊙O中，AB⊥OC，垂足为点D，AB＝8，CD＝2，若点P是优弧上的任意一点，则sin∠APB ＝（）A．B．C．D．【分析】如图，连接OA，OB．设OA＝OB＝x．利用勾股定理构建方程求出x，再证明∠APB＝∠AOD即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OB．设OA＝OB＝x．∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝4，在Rt△AOD中，则有x2＝42+（x﹣2）2，∴x＝5，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠APB＝∠AOB＝∠AOD，∴sin∠APB＝sin∠AOD＝＝，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn+3＝0（m＜n）有两个不相等的实数根a，b（a＜b），则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜n＜b D．a＜m＜b＜n【分析】可设抛物线解析式为y＝x2﹣（m+n）x+mn，于是得到抛物线与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0），再判断当自变量为a、b时二次函数值为﹣3，即y＝x2﹣（m+n）x+mn＝﹣3，然后画出图象，利用图象可得判断a、b、m、n的大小关系．【解答】解：设抛物线解析式为y＝x2﹣（m+n）x+mn，则此抛物线与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0），∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn+3＝0（m＜n）有两个不相等的实数根a和b，∴当自变量为a、b时y＝x2﹣（m+n）x+mn＝﹣3，即a、b为直线y＝﹣3与抛物线y＝x2﹣（m+n）x+mn两交点的横坐标，如图：∴m＜a＜b＜n．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：利用根与系数的关系得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．解决本题的关键是要画出大致图象．二、填空题9．分解因式2x3﹣12x2+18x＝2x（x﹣3）2．【分析】首先提公因式2x，然后利用完全平方公式即可分解．【解答】解：原式＝2x（x2﹣6x+9）＝2x（x﹣3）2．故答案是：2x（x﹣3）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．10．正十二边形的一个外角的度数为30°．【分析】根据正十二边形的每个外角都相等，且外角和为360°解答即可．【解答】正十二边形的一个外角为＝30°．故答案为：30°．【点评】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键．11．不等式组的解集是1＜x＜3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3，解不等式3﹣2x＜x，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜3，故答案为：1＜x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12．若一个反比例函数的图象与直线y＝2x﹣6的一个交点为A（m，m﹣2），则这个反比例函数的表达式是y＝．【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出反比例函数解析式．【解答】解：∵比例函数的图象与直线y＝2x﹣6的一个交点为A（m，m﹣2），∴m﹣2＝2m﹣6，解得：m＝4，故A（4，2），设反比例函数的解析式为y＝．则2＝，解得：k＝8，故反比例函数解析式为：y＝，故答案为y＝．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出A点坐标是解题关键．13．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝．【分析】过点B作BD∥AC，使BD＝BC＝2，连接AD，交BC于点M′．则△CBN≌△BDM，所以BN＝MD，AM+BN＝AM+MD，因此当A、M、D在同一直线上时，AM+BN最小为AD，由相似三角形求得BM′的值便可．【解答】解：过点B作BD∥AC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点M′，连接DM，如图．在△CBN与△BDM中，，∴△CBN≌△BDM（SAS），∴BN＝DM，∴AM+BN＝AM+DM，∴当A、M、D在同一直线上时，即M在M′点位置时，AM+BN最小为AD，此时CN＝BM′，∵BD∥AC，∴△BDM′∽△CAM′，∴，∵∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，∴AC＝，设CN＝BM′＝x，则CM′＝2﹣x，∴，解得x＝．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确构造全等三角形是解题的关键．三、解答题14．计算：（）﹣2+|﹣2|﹣2cos30°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝4+2﹣﹣2×+2＝4+2﹣﹣+2＝6．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝，b＝﹣1．【分析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝2a+b，当a＝，b＝﹣1时，原式＝2+﹣1＝3﹣1．【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．16．解方程：2x2+4x﹣6＝0．【分析】移项，方程两边除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：2x2+4x﹣6＝0，2x2+4x＝6，x2+2x＝3，配方，得x2+2x+1＝3+1，（x+1）2＝4，开方，得x+1＝±2，解得：x1＝1，x2＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．17．（尺规作图）如图△ABC，请在边AB，BC，CA上分别确定点M，N，P，使得四边形AMNP为菱形，请作出菱形AMNP．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作∠CAB的角平分线交BC于点N，作线段AN的垂直平分线交AB于点M，交AC于点P，连接NP，NM，四边形AMNP即为所求．【解答】解：如图，四边形AMNP即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质与判定，角平分线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，已知正方形ABCD，点P为边CD上任一点，分别过点A、C、D向射线BP作垂线，垂足分别为E、F、G．（1）猜想线段AE、CF、DG的数量关系是AE＝CF+DG．（2）证明第一问的结论．【分析】（1）根据线段的和差正确写出结论；（2）如图1，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，证明△ABE≌△CDH（AAS），得出AE＝CH，则结论得证．【解答】（1）解：AE＝CF+DG；故答案为：AE＝CF+DG；（2）证明：如图1，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，则∠CHD＝∠AEB＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CPF，∵AE⊥BP，CF⊥BP，DG⊥BP，∴∠AEB＝∠CFP＝∠DGF＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝∠CPF+∠DCH＝90°，∴∠BAE＝∠DCH．在△ABE和△CDH中，，∴△ABE≌△CDH（AAS），∴AE＝CH，∵∠CHD＝∠HFG＝∠DGF＝90°，∴四边形HFGD为矩形，∴HF＝DG，∴AE＝CH＝CF+HF＝CF+DG．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．19．一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长方形就变成正方形，求正方形的边长．【分析】设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，由长方形的周长和正方形的边长相等列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．【解答】解：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，由题意得：，解得：，则x﹣4＝12﹣4＝8，答：正方形的边长为8厘米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20．某校为了解学生的手算能力，随机抽取八年级的部分学生就数学中的计算题做了测试．测试的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息解答以下问题：（1）该手算检测结果的众数为合格等级；（2）补全上面的条形统计图；（3）若该校八年级有1600名学生，估计该校八年级手算能力为“不合格”的学生约有多少人？【分析】（1）根据众数的定义解答即可；（2）利用百分比的和为1，求出合格人数的百分比，再求出总人数求出不合格的人数即可解决问题；（3）利用样本估计整体，用1600乘以样本中不合格”等级学生的百分比即可．【解答】解：（1）该手算检测结果的众数为合格等级；故答案为：合格等级；（2）合格占1﹣32%﹣16%﹣12%＝40%．总人数＝8÷16%＝50．不合格的人数＝50×32%＝16（人），扇形统计图，条形统计图如图所示：（3）1600×＝512（人），答：估计该校八年级体质为“不合格”的学生约有512人．【点评】本题考查统计统计图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．有A、B、C、D四个训练场地，抽签决定各班训练位置，规则如下：将正面分别写有字母A、B、C、D 的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，即为他抽取的训练地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取．已知小明和小亮都是“体育委员”．（1）小明抽到的训练地点是“A场地”的概率为；（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一训练场地的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能的情况数，再找出小明与小亮抽到同一训练场地的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）小明抽到的训练地点是“A场地”的概率为；故答案为：；（2）列表如下：A B C DA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）由表中可以看出，抽取的两张卡片可能出现的结果共有16种且它们出现的可能性相等，其中小明与小亮抽到同一训练场地的有4种结果，所以小明与小亮抽到同一训练场地的概率为＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．小华想利用太阳光测量楼AB的高，他带着尺子来到楼下，发现地面和对面斜坡（坡角为45°）上都有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：先测得在此时刻1.2m高的物体垂直于地面放置时，影长是1m；楼AB落在地面上的影长AD＝20m，落在斜坡上的影长CD＝10m，请你帮小华求出楼AB的高．【分析】根据题意作出合适的辅助线，即可求得AB的长，本题得以解决．【解答】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，作CM⊥AB于点M，则∠CFD＝90°，∵∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，CD＝10m，∴DF＝CF＝5m，∵测得在此时刻1.2m高的物体垂直于地面放置时，影长是1m，AD＝20m，∴CM＝AF＝AD+DF＝（20+5）m，∴＝＝，解得：BM＝（24+6）m，∴AB＝BM+AM＝24+6+5＝（24+11）m，答：楼AB的高是（24+11）m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．23．如图，△ABC的边AC上有一点D，⊙O过点A，B，D，且BC切⊙O于点B．（1）求证：∠CBD＝∠A；（2）若AC＝6，AD＝4，求BC的长．【分析】（1）作直径BE，连接DE，由切线的性质和圆周角定理可知∠OBD+∠DBC＝90°，∠BED+∠EBD ＝90°，得∠CBD＝∠BED，再利用圆周角定理可得结论；（2）利用△CBD∽△CAB，得，代入可得答案．【解答】（1）证明：作直径BE，连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠OBD+∠DBC＝90°，∵BE是直径，∴∠EDB＝90°，∴∠BED+∠EBD＝90°，∴∠CBD＝∠BED，∵∠BAD＝∠BED，∴∠CBD＝∠BAD；（2）解：∵∠CBD＝∠BAD，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴，∵AC＝6，AD＝4，∴CD＝2，∴CB2＝2×6＝12，∵CB＞0，∴CB＝2．【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，证明△CBD∽△CAB是解题的关键．24．如图，直线AC交横轴、纵轴分别于A、C两点，且直线AC的表达式为：y＝x+，点B为横轴上原点右侧的一点，且满足AC2＝AO•AB，抛物线经过点A、B、C．（1）点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，）；（2）求抛物线表达式；（3）如图，点D为直线AC上方抛物线上一点，过点D作矩形DHEF，点F在抛物线上，点H、E在x轴上，且DF∥x轴，求当矩形DHEF为正方形时点D的坐标．【分析】（1）先求得点A和点C的坐标，得到OA和OC的长，得到AC2，然后求得AB的长，得到点B的坐标；（2）由点A（﹣1，0）、B（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后代入点C的坐标得到a的值，从而得到抛物线的表达式；（3）设点D的坐标，然后得到点F的坐标，即可得到DH和DF的长，然后利用正方形的性质列出方程求解，即可得到点D的坐标．【解答】解：（1）对y＝x+，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，），∴OA＝3，OC＝，∴AC2＝OA2+OC2＝9+3＝12，∵AC2＝AO•AB，∴12＝3AB，∴AB＝4，∴点B的坐标为（1，0），故答案为：（﹣3，0），（1，0），（0，）．（2）由点A（﹣1，0）、B（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将点C（0，）代入y＝a（x+3）（x﹣1）得，﹣3a＝，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+．（3）设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则点F的坐标为（﹣2﹣x，﹣x2﹣x+），∴DH＝﹣x2﹣x+，DF＝﹣2﹣x﹣x＝﹣2﹣2x，∵四边形DFEH为正方形，∴DH＝DF，即﹣x2﹣x+＝﹣2﹣2x，解得：x＝（舍）或x＝，∴点D的坐标为（，2﹣2）．【点评】本题考查了勾股定理，二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．25．（1）如图1，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点M，N分别为边AD，DC上的动点，且DM+DN ＝4，则四边形BMDN的面积为；（2）如图2，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，点M，N分别为边AD、DC上的动点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请求出最值；（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，CD＝1，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，点M、N分别为边AD、DC上的动点，且DM+DN＝2，是否存在M、N，使得四边形BMDN面积最大且△DMN的周长最小？若存在，求出△DMN的周长最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点B作BE⊥DA延长线于点E，过点B作BF⊥DC延长线于点F，设DM＝x，则DN＝4﹣x，表示S四边形BMDN，即可得结果；（2）过点B作BP⊥DA延长线于点P，过点B作BQ⊥DC延长线于点Q，设DM＝x，则DN＝4﹣x，AM ＝5﹣x，CN＝x﹣1，利用勾股定理表示BP、BQ，表示S四边形BMDN，利用函数性质即可得四边形BMDN的面积的最值情况；（3）先连接BD，根据题干可判断出相关角度，设DM＝x，则DN＝2﹣x，进一步表示出MH、NJ的长；再表示四边形BMDN面积，根据函数的性质可判断出四边形BMDN的面积最大值的情况；最后过点M作CD的垂线交于延长线于点K，利用勾股定理表示出MN2，函数性质得MN2的最小值，从而得MN的最小值，△DMN的周长最小值．【解答】解：（1）过点B作BE⊥DA延长线于点E，过点B作BF⊥DC延长线于点F，则∠BEA＝∠BFC ＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠BCF＝60°，∴BE＝BF＝，连接BD，设DM＝x，则DN＝4﹣x，S四边形BMDN＝S△BMD+S△BND＝＝＝，故四边形BMDN的面积为，故答案为：；（2）过点B作BP⊥DA延长线于点P，过点B作BQ⊥DC延长线于点Q，则∠BP A＝∠BQC＝90°，设DM＝x，则DN＝4﹣x，AM＝AD﹣DM＝BC﹣DM＝5﹣x，CN＝CD﹣DN＝AB﹣DN＝3﹣（4﹣x）＝x ﹣1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAP＝∠ABC＝60°，∠BCQ＝∠ABC＝60°，在Rt△ABP中，BP＝AB•sin60°＝，在Rt△BCQ中，BQ＝BC•sin60°＝，S四边形BMDN＝S▱ABCD﹣S△ABM﹣S△BCN＝5×＝，∵DN≤DC＝3，∴4﹣x≤3，∴x≥1，∵k＝＜0，∴S随着x的增大而减小，∴x＝1时，四边形BMDN的面积最大为＝；（3）连接BD，∵AB＝AD，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠DBC＝15°，又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝75°，∠ADC＝120°，设DM＝x，则DN＝2﹣x，∴2﹣x≤1，∴x≥1，过点M作MH⊥BD，过点N作NJ⊥BD，S四边形BMDN＝S△BMD+S△BDN＝＝＝，∵sin45°﹣sin75°＜0，∴当x＝1时，S四边形BMDN存在最大值，过点M作CD的垂线交于延长线于点K，∴∠MDK＝60°，∴DK＝，MK＝，NK＝2﹣x+＝2﹣，在Rt△MKN中，MN2＝＝（x﹣1）2+3，当x＝1时，MN2存在最小值，最小值为3，∴MN最小值为，∴存在M、N，使得四边形BMDN面积最大且△DMN的周长最小，△DMN的周长最小为．【点评】本题是四边形综合题，涉及到勾股定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，函数的性质等，解题关键是利用函数判断最大最小值。

铁一中入学数学真卷(一)参考答案虎年某铁一中新初一入学题，竞赛数学味浓。

固定考点就知识而言大致有图形变换、乘法原理、抽屉原理、数字、周期、最值、速算巧算、数列、推理行程等问题；就方法策略而论，倒推法、列表法、代数法、变形法、裂项法、极端法、分类计数、退回去找规律等。

选拔性强，注重分析能力，计算能力和数学思想方法的考查，题型有选择题5道（共15分），填空题10道（共30分）．计算题4道（共20分），解答题6道（共35分）。

其中第一大题中的2小题是五年级课本知识，其余都是奥数题，1和5小题是全国奥赛题，3和4小题是计数问题，第二大题中的6、12小题是课本知识，其余全是奥数题．9、14小题难度很大，失分率很高。

第三大题中的16、17、18小题是课本知识，19小题是全国奥赛题，20题图形中的分类计数，易遗漏。

21题变速工程问题是往年考过的旧题,22题难度不大的图形问题．23题变速行程问题，难度大，失分率高。

24题定义新运算，观察数字变化规律，按规定的规律解题．25题不定方程,难度不大,但因题多无时间考虑了，下面逐题点评详解。

1.B点拨：观察数字舰律2倍加3，1到5,5到13,13到29,29到611×2+3＝5 5×2+3＝13 13×2+3＝29 29×2+3＝612.D点拨：整体考虑，将两个半圆看作一个圆，圆内按等腰直角三角形面积最大，巧解为37.68÷3.14＝12(cm) 12×12÷2 =72(cm²)。

3．B点拨：钟表问题，西工大附中考过两次，直觉思考每小时36分，夹角60°,18分半小时，夹角为60°÷2=30°.解法2：分针每分走)°, 60°×3﹣360°÷36＝10°,时针每分走360°÷60÷36°=(53)×18＝180°﹣180°＋30°= 30°( 10 ﹣534．A点拨：乘法原理有点难度。

高三模拟四考试 数学试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设a ,b 是单位向量，则“a ·b =1”是“a =b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知集合{}2,0x A y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞3. 双曲线22221y abx -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为A.53B.43C.54D.4. 函数()y f x =的图象在点(5,(5))P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=A. 12B.-1C.1D.25. 运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2l o g 3和3log 2,则输出M 的值是A.0B.1C. 2D. －16. 设{}1212331,,,3,a ∈-，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为A.1，3B.1，3，13-C.1，3，23D.1，23，3，13-7. 某几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为A.12B.C.D.8.已知等差数列{}n a 的公差0d <, 若462824,10a a a a ⋅=+=,则该数列的前n 项和n s 的最大值为 A ．60B ．55C ．50 D.459. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为14，则a 的值是A.712πB.23πC.34πD.56π10. 已知)(x f 是定义在R 上的可导函数，且)()('x f x f < 对于任意R x ∈恒成立，则A. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ⋅>⋅>B. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ⋅>⋅<C. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ⋅<⋅>D. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ⋅<⋅<第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．11.已知向量(1,2),(2,)a b λ=-=，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .12. 设实数,x y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若11y z x +=+的最小值为14，则a 的值为 .13.若将()()x a x b --逐项展开得2x a x b x a b --+，则2x 出现的概率为14，x 出现的概率为12，如果将()()()()()x a x b x c x d x e -----逐项展开，那么3x 出现的概率为 .14. 已知函数()()22l o g 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 .15．已知l g l g 0a b +=，则满足不等式2211a b a b λ+++≤的实数λ的范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）16．（本小题12分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到的，求()y g x =的单调递增区间．17.（本小题12分）数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足222=-n n n a S a ．（Ⅰ）求证：数列}{2n S 为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设1424-=n n S b ， 求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值．18.（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，侧面P C D ⊥底面A B C D ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面A B C D 是直角梯形.0//,90,AB CD ADC ∠=1,AB AD PD ===2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面APD ；（Ⅱ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得平面PBD 与平面QBD 的夹角为45.19.（本小题12分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2的椭圆过点（，2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．20. （本小题13分）第30届奥运会已于2012年7月27日在伦敦举行，当时某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者，这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm ）：若身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”，身高在180cm 以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望.21.（本小题14分）已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=. （Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正的数列}{na 满足：*111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈，求证：21n n a ≤-高三模拟数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题5分，满分50分）11．()(),44,1-∞-⋃-； 12．1； 13．516； 14．(0,1); 15． [)1,+∞. 三、解答题：16. 解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin212cos2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++，依题意得2223ππω=，故ω的最小正周期为32. …………6分（Ⅱ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦，由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤， 解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤， 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈. …………12分 17．解：（Ⅰ）∵122=-n n n a S a ，∴当n≥2时，1)()(2211=-----n n n n n S S S S S ，整理得，1212=--n n S S （n≥2），又121=S ， ∴数列}{2n S 为首项和公差都是1的等差数列．∴n S n =2，又0>n S ，∴n S n =.∴n≥2时，11--=-=-n n S S a n n n ，又111==S a 适合此式，∴数列}{n a 的通项公式为1--=n n a n . …………6分（Ⅱ）∵121121)12)(12(21424+--=+-=-=n n n n S b n n ， ∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n 1211215131311+--++-+-=n n =1221211+=+-n n n ，2112n n T n∴==+时，的最小值为23. …………12分 18．解：（I ）取PD 的中点F ，连结,E F A F ，因为E 为PC 中点，∴//EF CD ，且112E F C D ==， 在梯形A B C D 中，//,1A B C D A B =，∴//,,EF AB EF AB =四边形ABEF 为平行四边形，∴//,BE AFBE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴//BE 平面PAD .…………6分（II ）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C P ， 平面PBD 的法向量为(1,1,0),BC =- (0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈，(0,2,1)Q λλ∴-，设平面QBD 的法向量为(,,)n a b c =，(1,1,0),DB =(0,2,1)DQ λλ=-，由02(1)0n DB a b n DQ b c λλ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩，∴2(1,1,)1n λλ=--，∴0cos 452n BC n BC⋅===⋅⋅，注意到(0,1)1λλ∈∴=. …………12分19．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为22221xy ab+= （a ＞b ＞0）， 则22211,2c a a b +=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故2,1a b ==⎧⎨⎩，所以，椭圆方程为2214x y +=．…………4分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m （m≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由22,440,y kx m x y =++-=⎧⎨⎩消去y 得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4（m 2－1）＝0， 则△＝64 k 2b 2－16（1＋4k 2b 2）（b 2－1）＝16（4k 2－m 2＋1）＞0，且122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k-=+．…………6分 故 y 1 y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2．因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以，1212y y x x ⋅＝22121212()k x x km x x m x x +++＝k 2，即222814k m k-+＋m 2＝0，又m≠0， 所以 k 2＝14，即 k ＝12±．…………10分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△＞0，得0＜m 2＜2 且 m 2≠1．设d 为点O 到直线l 的距离，则 S △O PQ ＝12d | PQ |＝12| x 1－x 2 | | m |＝所以 S △O P Q 的取值范围为 （0，1）．…………12分 20．解：（I ）根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽出5人，则每个人被抽到的概率为51204=，所以应从“高个子”中抽1824⨯=人，从“非高个子”中抽11234⨯=人.用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名‘高个子’被选中”，则232537()1()111010C P A P A C ===-=-=,因此至少有1人是“高个子”的概率是710；…………6分（II ）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X 的所有可能为0,1,2,3.()34381014C P X C ===, ()124438317C C P X C ===,()214438327C C P X C ===， ()34381314C P X C ===，因此，X 的分布列如下：所以X 的数学期望01231477142EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………13分 21．解：（Ⅰ）2)(ln 1)(),,0()(xa x x f x f +-='+∞的定义域为， 令a e x x f -=='10)(得，当)(,0)(,),0(1x f x f e x a >'∈-时是增函数； 当)(,0)(,),(1x f x f e x a <'+∞∈-时是减函数；∴111)()(,)(---===a a ae ef x f e x x f 极大值处取得极大值在，无极小值. …………4分 （Ⅱ）①当21e e a <-时，即时1->a ，由（Ⅰ）知),0()(1a e x f -在上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，()11max ()a a f x f e e --∴== ，又当,(.0)(],0(2e e x x f e x a a --∈<∈当时当,0)(,2x f e x a a --==时],(.0)(],0(,02e e x x f e x a a --∈<∈=当时当时，).0()(1-∈a e x f ，∴1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2e 上有公共点，⇔11≥-a e .解得1,1,1≥->≥a a a 所以又.②当121-≤≥-a e e a 即时，],0()(2e x f 在上是增函数，∴2222)(],0()(e ae f e x f +=上的最大值为在， 所以原问题等价于.2,1222-≥≥+e a ea解得又1-≤a ，∴无解，综上，实数a 的取值范围是[)1,+∞. …………10分 （Ⅲ）令a =1，由（Ⅰ）知，l n 11(0),l n 1x x x x x+≤>∴≤-， 11a =，假设*1()k a k N ≥∈， 则1ln 21k k k a a a +=++>，故*1()n a n N ≥∈从而1l n 221n n n n a a a a +=++≤+1112(1)2(1)n n n a a a +∴+≤+≤≤+，即1221nnn n a a +≤∴≤-. …………14分。

广东省广州市铁一中学2024届毕业升学考试模拟卷数学卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC=2，则EF 的长度为（ ）A ．B ．1C ．D ．2．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④3．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG ≌FDG △；②2GB AG ；③∠GDE =45°；④DG =DE 在以上4个结论中，正确的共有( )个A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个4．如图在△ABC 中，AC ＝BC ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，若BD ＝6，AE ＝5，则sin ∠EDC 的值为（ ）A ．35B ．725C ．45D ．24255．已知一元二次方程1–（x –3）（x+2）=0，有两个实数根x 1和x 2（x 1<x 2），则下列判断正确的是( )A ．–2<x 1<x 2<3B ．x 1<–2<3<x 2C ．–2<x 1<3<x 2D ．x 1<–2<x 2<36．如图所示，数轴上两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则下列四个数中最大的一个数是（ ）A ．aB ．bC ．1aD ．1b7．下列运算正确的是（ ）A ．2a+3a=5a 2B ．（a 3）3=a 9C ．a 2•a 4=a 8D ．a 6÷a 3=a 2 8．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞ 9．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a ★b ＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2★x 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．10m-n ）A m n +B m n -C m nD m n11．据《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见》显示，全国6000万名师生已通过“网络学习空间”探索网络条件下的新型教学、学习与教研模式，教育公共服务平台基本覆盖全国学生、教职工等信息基础数据库，实施全国中小学教师信息技术应用能力提升工程．则数字6000万用科学记数法表示为（ ）A ．6×105B ．6×106C ．6×107D ．6×10812．若关于x 、y 的方程组4xy k x y =⎧⎨+=⎩有实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞4 B ．k ＜4 C ．k≤4 D ．k≥4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，如果四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝6，点E 、F 、G 分别是AB 、BD 、AC 的中点，那么△EGF 面积的最大值为_____．14．如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 、BD 相交于点E ，若AB 1CD 4=，则AE AC=______．15．已知二次函数的图象开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式：_____．（只需写出一个）16．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b____c （用“＞”或“＜”号填空）17．如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．18．如图，CD 是⊙O 直径，AB 是弦，若CD ⊥AB ，∠BCD=25°，则∠AOD=_____°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．20．（6分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．21．（6分）如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3）22．（8分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；求证：△APE∽△FPA；猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．23．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上一点，BE∶CE＝3∶2，连接AE，点P从点A出发，沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF∥BC交直线AE于点F.(1)线段AE＝______；(2)设点P的运动时间为t(s)，EF的长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)当t为何值时，以F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时⊙F的半径．24．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23BC．如果AC=6，求AE的长；设AB a=，AC b=，求向量DE（用向量a、b表示）．25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．26．（12分）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由．在图①中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的边长．27．（12分）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=1．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出.【题目详解】∠ACB=90°，∠A=30°，BC=AB.BC=2,AB=2BC=22=4,D是AB的中点,CD=AB=4=2.E,F分别为AC,AD的中点,EF是△ACD的中位线.EF=CD=2=1.故答案选B.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.2、C【解题分析】试题分析：1．21=2．32；1．31=3．19；1．5=3．44；1．91=4．5．∵ 3．44＜4＜4．5，∴1．5＜4＜1．91，∴1．48＜1．9，8应在③段上．故选C考点：实数与数轴的关系3、C【解题分析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，根据全等三角形性质可求得∠GDE=12ADC=45〫，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断④是错误的．【题目详解】由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；∵△ADG≌△FDG，△DCE≌△DFE，∴∠ADG=∠FDG,∠FDE=∠CDE∴∠GDE=12ADC∠=45〫.③正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，④错误；∴正确说法是①②③故选：C【题目点拨】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定的难度．4、A【解题分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE∥BC知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．【题目详解】∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝63105 BDBC==，故选：A．【题目点拨】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质5、B【解题分析】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.【题目详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1＜﹣2＜3＜x2，故选B.【题目点拨】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.6、D【解题分析】∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．∴1a＜a＜b＜1b，故选D．7、B【解题分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【题目详解】A、2a+3a=5a，故此选项错误；B、（a3）3=a9，故此选项正确；C、a2•a4=a6，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误．故选：B．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．8、C【解题分析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2b a-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞．故选C ．点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象性质．9、C【解题分析】先根据规定得出函数y ＝2★x 的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【题目详解】由题意，可得当2＜x ，即x ＞2时，y ＝2+x ，y 是x 的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A 、D 错误； 当2≥x ，即x ≤2时，y ＝﹣2x，y 是x 的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x ≤2，故B 错误．故选：C ．【题目点拨】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y ＝2★x 的解析式是解题的关键．10、B【解题分析】找出原式的一个有理化因式即可．【题目详解】故选B ．【题目点拨】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．11、C【解题分析】将一个数写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是正数，这种记数的方法叫做科学记数法，根据定义解答即可.【题目详解】解：6000万＝6×1． 故选：C ．【题目点拨】此题考查科学记数法，当所表示的数的绝对值大于1时，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1，当要表示的数的绝对值小于1时，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数，正确掌握科学记数法中n 的值的确定是解题的关键.12、C【解题分析】利用根与系数的关系可以构造一个两根分别是x ，y 的一元二次方程，方程有实数根，用根的判别式≥0来确定k 的取值范围．【题目详解】解：∵xy ＝k ，x +y ＝4，∴根据根与系数的关系可以构造一个关于m 的新方程，设x ，y 为方程240m m k -+=的实数根．241640b ac k =-=-≥，解不等式1640k -≥得4k ≤．故选：C ．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用和根与系数的关系．解题的关键是了解方程组有实数根的意义．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、4.1．【解题分析】取CD 的值中点M ，连接GM ，FM ．首先证明四边形EFMG 是菱形，推出当EF ⊥EG 时，四边形EFMG 是矩形，此时四边形EFMG 的面积最大，最大面积为9，由此可得结论．【题目详解】解：取CD的值中点M，连接GM，FM．∵AG＝CG，AE＝EB，∴GE是△ABC的中位线∴EG＝12 BC，同理可证：FM＝12BC，EF＝GM＝12AD，∵AD＝BC＝6，∴EG＝EF＝FM＝MG＝3，∴四边形EFMG是菱形，∴当EF⊥EG时，四边形EFMG是矩形，此时四边形EFMG的面积最大，最大面积为9，∴△EGF的面积的最大值为12S四边形EFMG＝4.1，故答案为4.1．【题目点拨】本题主要考查菱形的判定和性质，利用了三角形中位线定理，掌握菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．14、1 5【解题分析】利用相似三角形的性质即可求解；【题目详解】解：∵ AB∥CD，∴△AEB∽△CED，∴AE AB1==EC CD4，∴AE1=AC5，故答案为15．【题目点拨】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．15、y=x2等【解题分析】分析：根据二次函数的图象开口向上知道a＞1，又二次函数的图象过原点，可以得到c=1，所以解析式满足a＞1，c=1即可．详解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞1．∵二次函数的图象过原点，∴c=1．故解析式满足a＞1，c=1即可，如y=x2．故答案为y=x2（答案不唯一）．点睛：本题是开放性试题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易出错．本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．16、＜【解题分析】试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+1<a+2,所以b<c.17、1.1【解题分析】求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【题目详解】∵DE=1，DC=3，∴EC=3-1=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴DF DE BC CE=，∴1 32 DF=，∴DF=1.1，故答案为1.1．【题目点拨】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.18、50【解题分析】由CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，根据垂径定理的即可求得AD=BD，又由圆周角定理，可得∠AOD=50°．【题目详解】∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴AD=BD，∵∠BCD=25°=，∴∠AOD=2∠BCD=50°，故答案为50【题目点拨】本题考查角度的求解，解题的关键是利用垂径定理.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）y1=0.85x，y2=0.75x+50 （x＞200），y2=x （0≤x≤200）；（2）x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．【解题分析】（1）根据单价乘以数量，可得函数解析式；（2）分类讨论，根据消费的多少，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【题目详解】（1）甲商场写出y关于x的函数解析式y1=0.85x，乙商场写出y关于x的函数解析式y2=200+（x﹣200）×0.75=0.75x+50（x＞200），即y2=x（0≤x≤200）；（2）由y1＞y2，得0.85x＞0.75x+50，解得x＞500，即当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；由y1=y2得0.85x=0.75x+50，即x=500时，到两家商场去购物花费一样；由y1＜y2，得0.85x＜0.75x+500，解得x＜500，即当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；综上所述：x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．【题目点拨】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．20、（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析【解题分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样调查共抽取了50名学生.（2）50-10-20-4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名.图形统计图补充完整如下图所示：（3）700×450=56（名）答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名. （4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率=21 126=．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21、潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解题分析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD=tan AD ACD∠=tan30x= 3x在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴325+x=3x•tan68°解得：x≈100米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频22、(1)△CPD．理由参见解析；（2）证明参见解析；（3）PC2=PE•PF．理由参见解析.【解题分析】（1）根据菱形的性质，利用SAS来判定两三角形全等；（2）根据第一问的全等三角形结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．【题目详解】解：（1）△APD ≌△CPD ．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∠ADP=∠CDP ．又∵PD=PD ，∴△APD ≌△CPD （SAS ）．（2）∵△APD ≌△CPD ，∴∠DAP=∠DCP ，∵CD ∥AB ，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB ，又∵∠FPA=∠FPA ，∴△APE ∽△FPA （两组角相等则两三角形相似）．（3）猜想：PC 2=PE•PF ．理由：∵△APE ∽△FPA ， ∴AP PE FP PA=即PA 2=PE•PF ． ∵△APD ≌△CPD ，∴PA=PC ．∴PC 2=PE•PF ．【题目点拨】本题考查1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定；3.菱形的性质，综合性较强．23、（1）5；（2）()()550445544t t y t t ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩；（3）167t =时，半径PF ＝127；t ＝16，半径PF ＝12. 【解题分析】（1）由矩形性质知BC =AD =5，根据BE ：CE =3：2知BE =3，利用勾股定理可得AE =5；（2）由PF ∥BE 知AP AF AB AE=，据此求得AF =54t ，再分0≤t ≤4和t ＞4两种情况分别求出EF 即可得； （3）由以点F 为圆心的⊙F 恰好与直线AB 、BC 相切时PF =PG ，再分t =0或t =4、0＜t ＜4、t ＞4这三种情况分别求解可得【题目详解】(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝5，∵BE ∶CE ＝3∶2，则BE ＝3，CE ＝2，∴AE ＝＝＝5.(2)如图1，当点P 在线段AB 上运动时，即0≤t≤4，∵PF ∥BE ， ∴＝，即＝，∴AF ＝t ，则EF ＝AE －AF ＝5－t ，即y ＝5－t(0≤t≤4)；如图2，当点P 在射线AB 上运动时，即t ＞4，此时，EF ＝AF －AE ＝t －5，即y ＝t －5(t ＞4)； 综上，()()550445544t t y t t ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩； (3)以点F 为圆心的⊙F 恰好与直线AB 、BC 相切时，PF ＝FG ，分以下三种情况：①当t ＝0或t ＝4时，显然符合条件的⊙F 不存在；②当0＜t ＜4时，如解图1，作FG ⊥BC 于点G ，则FG＝BP＝4－t，∵PF∥BC，∴△APF∽△ABE，∴＝，即＝，∴PF＝t，由4－t＝t可得t＝，则此时⊙F的半径PF＝；③当t＞4时，如解图2，同理可得FG＝t－4，PF＝t，由t－4＝t可得t＝16，则此时⊙F的半径PF＝12.【题目点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数为题，切线的性质，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学思想.解题的关键是熟练掌握切线的性质、矩形的性质及相似三角形的判定与性质．24、（1）1；（2）2()3DE b a=-.【解题分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【题目详解】（1）如图，∵DE∥BC，且DE=23 BC，∴23 AE DEAC BC==．又AC=6，∴AE=1．（2）∵AB a=，AC b=，∴BC AC AB b a=-=-．又DE∥BC，DE=23 BC，∴22()33DE BC b a ==-【题目点拨】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．25、（1）见解析；（2）见解析；【解题分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF．（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF．根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．【题目详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．∴四边形BFDE是平行四边形．26、(1) 45°．(1) MN1=ND1+DH1．理由见解析；（3）11.【解题分析】（1）先根据AG⊥EF得出△ABE和△AGE是直角三角形，再根据HL定理得出△ABE≌△AGE，故可得出∠BAE=∠GAE，同理可得出∠GAF=∠DAF，由此可得出结论；（1）由旋转的性质得出∠BAM=∠DAH，再根据SAS定理得出△AMN≌△AHN，故可得出MN=HN．再由∠BAD=90°，AB=AD可知∠ABD=∠ADB=45°，根据勾股定理即可得出结论；（3）设正方形ABCD的边长为x，则CE=x-4，CF=x-2，再根据勾股定理即可得出x的值．【题目详解】解：（1）在正方形ABCD中，∠B=∠D=90°，∵AG⊥EF，∴△ABE和△AGE是直角三角形．在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB AG AE AE =⎧⎨=⎩， ∴△ABE ≌△AGE （HL ），∴∠BAE=∠GAE ．同理，∠GAF=∠DAF ．∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=12∠BAD=45°． （1）MN 1=ND 1+DH 1．由旋转可知：∠BAM=∠DAH ，∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN ．在△AMN 与△AHN 中， AM AH HAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMN ≌△AHN （SAS ），∴MN=HN ．∵∠BAD=90°，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH 1=ND 1+DH 1．∴MN 1=ND 1+DH 1．（3）由（1）知，BE=EG=4，DF=FG=2．设正方形ABCD 的边长为x ，则CE=x-4，CF=x-2．∵CE 1+CF 1=EF 1，∴（x-4）1+（x-2）1=101．解这个方程，得x 1=11，x 1=-1（不合题意，舍去）．∴正方形ABCD 的边长为11．【题目点拨】本题考查的是几何变换综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，难度适中．27、（2）证明见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）2秒或2秒．【解题分析】（2）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=2-4=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD⋅BC=AP⋅BP，就可求出t的值．【题目详解】解：（2）如图2，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴AD AP BP BC=，∴AD⋅BC=AP⋅BP；（2）结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴AD AP BP BC=，∴AD⋅BC=AP⋅BP；（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=2，AB=6，∴AE=BE=3∴22，53∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=2-4=2，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（2）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=2×2，∴t=2或t=2，∴t的值为2秒或2秒．【题目点拨】本题考查圆的综合题．。

高三第一次模拟考试数学（理）试题一．选择题：（5’×10）1. 函数 y=log 2(x 2＋2x －3)的单调递减区间为 （ ） A ．（－∞，－3） B ．（－∞，－1） C ．(1，+∞) D ．(－3，－1)2. 已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M =⋂N ( ) A.{}1->x xB.{}1<x xC.{}11<<-x x D.φ3. 设集合A={}1),(=+y x y x ，B={}3),(=-y x y x ，则满足B A M ⋂⊆的集合M 的个数是( ) 高考资源网首发A.0B.1C.2D.34.已知命题:p “[]0,1,x x a e ∀∈≥”，命题:q “2,40x R x x a ∃∈++=”，若命题“p q ∧” 是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[,4]eB ．[1,4]C ．(4,)+∞D ．(,1]-∞ 5．函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,10 6. 函数1()4x f x a -=+（a>0，且a ≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ）A ．（5，1）B ．（1，5）C ．（1，4）D ．（4，1）7 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--8. 定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0,给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b )③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )其中成立的是( )A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④9. 函数x x x xe e y e e --+=-的图像大致为( ).10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，都有(1)(3)f x f x -=+,当[4,6]x ∈时，()21x f x =+，设函数()f x 在区间[2,0]-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -的值为（ ）A ．2log 3-B ．22log 3-C ．212log 3-D ．232log 3-二．填空题：（5’×5）11．已知函数ax x f -=3)(在区间(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是 .12．设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是13．设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =14．设函数()x f y =的定义域为R ，若对于给定的正数k, 定义函数()k f x =k,()k,(),()k,f x f x f x ≤⎧⎨>⎩则当函数()1,k 1f x x ==时，定积分()21k 4f x dx ⎰的值为15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）不等式x 323x +--≥的解集为 B. (几何证明选做题)如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC,BC 的长分别为3cm,4cm ，以AC 为直径的圆 与AB 交于点D ，则BDDA= C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C 的参数方程 为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线a 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线a 与圆C 的交点的直角坐标系为_______三．解答题：（12’×4+13’+14’）16.已知集合{}{}(2)(1)0,(1)()0,.A x x x B x ax x a A B a =++≤=-+>⊆,且求的范围 17.（12分）.已知函数11()()212x f x x =+- (1)求函数的定义域; (2)判断函数)(x f 的奇偶性; (3)求证:)(x f ﹥0.18. 若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，求a 的值 19．（本小题满分10分）设二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠满足条件：①()(2)f x f x =--；②函数()f x 的图像与直线y x =相切．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若不等式2()1txf x ππ-⎛⎫> ⎪⎝⎭在2t ≤时恒成立，求实数x 的取值范围． 高考资源网首发20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足1()n n S a n N +=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .21．已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，g (x )＝x ＋ln x ，其中a ＞0.(1) 若x ＝1是函数h (x )＝f (x )＋g (x )的极值点，求实数a 的值；(2) 若对任意的x 1，x 2∈[1，e](e 为自然对数的底数)都有f (x 1)≥g (x 2)成立， 求实数a 的取值范围．.理科数学参考答案一、选择题(每小题5分，满分50分)1-5 ACCAC 6-10 BCCAD二、填空题(每小题5，满分25分)11 (0,3]. 12[]0+∞， 13．1006 14.12ln 2+ 15.（1）{}1x x ≥（2） 169(3) (-1,1).(1,1)三、解答题16.已知集合{}{}(2)(1)0,(1)()0,.A x x x B x ax x a A B a =++≤=-+>⊆,且求的范围.解析:{}12-≤≤-=x x A①0=a时，{}0<=x x B 满足B A ⊆;②0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=a x a x x B 或1 ， ∵B A ⊆ ， ∴⎩⎨⎧>->-01a a 10<<⇒a③0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<=a x a xB 1， ∵B A ⊆ ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->--<0121a a a 021<<-⇒a 综合①②③可知:a 的取值范围是:⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121a a解： (1){}R x x x x∈≠∴≠-,0,012定义域为(2)设0≠∈x R x 且11(2+1)()()=212221x x xx f x x =+--（）(21)(12)(21)()()2(21)2(12)2(21)x x x x x xx x x f x f x ---+-++-====--- ()f x ∴为偶函数(3)当x ＜0时，0 ＜x2＜1，∴-1＜12-x＜021121+-∴x ＜21-又x ＜0,则11()()212x f x x =+-＞0由)(x f 为偶函数知，当x ＞0时，)(x f ＞0综上可知当)(0x f x R x 时，且≠∈＞018.解：设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-19．解：（Ⅰ）由①可知，二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠图像对称轴方程是1x =-，2b a ∴=；又因为函数()f x 的图像与直线y x =相切，所以方程组2y ax bxy x⎧=+⎨=⎩有且只有一解，即方程2(1)0ax b x +-=有两个相等的实根，11,2b a ∴== 所以，函数()f x 的解析式是21()2f x x x =+． （Ⅱ）1π>，2()1txf x ππ-⎛⎫∴> ⎪⎝⎭等价于()2f x tx >-，即不等式2122x x tx +>-在2t ≤时恒成立，…………6分 问题等价于一次函数21()(2)02g t xt x x =-++<在2t ≤时恒成立，(2)0,(2)0.g g <⎧∴⎨-<⎩即22240,640.x x x x ⎧-+>⎪⎨++>⎪⎩解得：3x <-3x >-+故所求实数x 的取值范围是(,3(35,)-∞---++∞．20：(2)由题意得：211112222n n T n =⨯+⨯++⨯……………①2311111112(1)22222n n n T n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯…………② ①-②得：211111122222n n n T n +=+++-⋅1111(1)111221122212n n n n n n ++⨯-=-⋅=--⋅- 1222222n n n nn n T ++--∴=-=. 解 (1)∵h (x )＝2x ＋a 2x ＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴h ′(x )＝2－a 2x 2＋1x ，∵x ＝1是函数h (x )的极值点， ∴h ′(1)＝0，即3－a 2＝0. ∵a ＞0，∴a ＝ 3.经检验当a ＝3时，x ＝1是函数h (x )的极值点，∴a ＝ 3.(2)对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f (x 1)≥g (x 2)成立等价于对任意的x 1，x 2∈[1，e]， 都有f (x )min ≥g (x )max .当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1＋1x＞0.∴函数g (x )＝x ＋ln x 在[1，e]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (e)＝e ＋1.∵f ′(x )＝1－a 2x 2＝(x ＋a )(x －a )x 2，且x ∈[1，e]，a ＞0.①当0＜a ＜1且x ∈[1，e]时， f ′(x )＝(x ＋a )(x －a )x 2＞0，∴函数f (x )＝x ＋a 2x 在[1，e]上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋a 2. 由1＋a 2≥e ＋1，得a ≥e ， 又0＜a ＜1，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ≤a ，则f ′(x )＝(x ＋a )(x －a )x 2＜0，若a ＜x ≤e ，则f ′(x )＝(x ＋a )(x －a )x 2＞0.∴函数f (x )＝x ＋a 2x 在[1，a )上是减函数，在(a ，e]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (a )＝2a . 由2a ≥e ＋1，得a ≥e ＋12.又1≤a ≤e ，∴e ＋12≤a ≤e.③当a ＞e 且x ∈[1，e]时f ′(x )＝(x ＋a )(x －a )x 2＜0，函数f (x )＝x ＋a 2x 在[1，e]上是减函数．∴f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e .由e ＋a 2e ≥e ＋1，得a ≥e ，又a ＞e ，∴a ＞e.综上所述，a 的取值范围为[e ＋12，＋∞)．。

2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考一模数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列无理数中，大小在0和1之间的是（ ）A B ．π3 C D ．122．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，AB 和CD 直尺的两边，且AB CD ∥，把三角尺的直角顶点放在CD 上．若152∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．52︒B ．38︒C ．28︒D ．45︒ 4．已知0a b +<，0ab >，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b -D ．(),a b -- 5．如图，在Rt ABC △中，6AB =，点F 是斜边BC 的中点，以AF 为边作正方形ADEF ．若25ADEF S =正方形，则tan C =（ ）A ．65B ．43C ．34D ．536．如图，M e 和N e 都经过A ，B 两点，且点N 在M e 上．点C 是优弧¼ANE 上的一点（点C 不与A ，B 重合），AC 的延长线交N e 于点P ，连接,,AB BC BP ．若30APB ∠=︒，3AB =，则MN 长为（ ）AB ．3CD 7．对任意实数x ，二次函数20y ax bx c a =++≠（）满足2225246x x y x x ++≤≤++，则a b c -+的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题8．分解因式：32244m m n mn -+=．9．如图，六边形ACDEFB 是由正ABC V 和正五边形BCDEF 组成的，则ABE ∠的度数是 ．10．三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：Rt ABC △，以AB 为边的正方形ABDE 为朱方，以BC 为边的正方形BCGF 为青方，引AC 为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若425JDC ABC S S =V V ，则KF HG＝．11．如图，在ABC V 中，5,9AB AC ==，AD 是BAC ∠的角平分线，点E 是BC 的中点，EF AD ∥，则AF 的长是 ．12．如图，在平面直角坐标系中，OAB V 在第一象限，90B ∠=︒，BO BA =，点M 是OB 的中点，点A 和点M 都在反比例函数()0k y k x=≠上．若点M 的坐标为(),2m ，则k 的值是 ．13．如图所示，已知ABC V ，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 和点E 分别是AB 和AC 边上的动点，满足AD CE =，连接DE ，点F 是DE 的中点，则CD AF的最大值为 ．三、解答题14．()2202411tan 6013-⎛⎫-++ ⎪︒⎝⎭． 15．先化简，再求值．()2111m m m -+÷+，其中m = 16．解关于x 的不等式组：21113x x x ≤⎧⎪-⎨≥+⎪⎩． 17．已知4530ABC B C ∠=︒∠=︒V ，，．请你在BC 边上确定点D ，使得ABD ACD S S =V V （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）18．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的一条角平分线，AN 是ABC V 的外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ，AC 与DE 交于点F ，请你猜想DF 与AB 的数量关系和位置关系，并证明你的结论．19．如图1，是一张直角三角形纸片，它的两条直角边长分别为a 和()b a b >，将这张纸片分别以两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥（如图2、图3）．试猜想哪个圆锥的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．（213π圆锥V r h =）20．小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．21．如图，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动．开始时，棋子位于点A处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C 处…）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．(1)从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是_______．(2)在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？22．为了了解秦兵马俑的身高情况，某研究学习小组通过查阅网络相关资料，获取了秦始皇兵马俑博物馆中18个陶俑的“通高”和“足至顶高”的数据，并把数据绘制成如下统计图：根据上述信息，解答下列问题：(1)这18个陶俑的“通高”中位数落在_______组．（填A或B或C或D）(2)求这18个陶俑的“足至顶高”的平均身高．（结果保留4位有效数字）(3)目前秦始皇兵马俑已发现的陶俑大约有8000个，请估计陶俑“足至顶高”高度在180cm 以上的陶俑大约有多少个？（结果保留整数）23．如图，一座塔坐落于某小山的山腰上，小山的高度CD 是150米．从地面上的点B 处测望山峰，人的眼睛点B 、塔顶点E 和山顶点C 三点共线．从点B 处望塔底和塔顶，仰角满足1tan 3ABF ∠=，1tan 2ABE ∠=，观测点B 距离山脚A 处100米．请你求出塔高EF 的长．24．一支水银温度计刻度均匀，但是不太准确．经过测量发现，在一个标准大气压下，将温度计的玻璃泡放置于冰水混合物中，读数为3摄氏度；在沸腾的热水中读数为87摄氏度．若该温度计的读数y 和实际温度x 符合一次函数关系，请你计算：(1)一个标准大气压下，该温度计的读数y 和实际温度x 满足的函数关系式；(2)一个标准大气压下，实际温度为多少时，温度计的示数与实际温度相同． 25．如图，AB 是O e 的直径，点C 和点E 在O e 上，AC 平分EAB ∠，过点C 作AE 所在直线的垂线，垂足为点D ，CD 交AB 的延长线于点P ．(1)求证：O e 与PD 相切．(2)若AC =O e 半径是3，求DE 的长．26．已知：平面坐标系内点(),P x y 和点()0,1A ，点P 到点A 的距离始终等于点P 到x 轴的距离．(1)请你求出点P 满足的函数关系式；(2)如果（1）中求出的函数图象记为L ，L '是L 沿着水平方向平移得到的，若点M 在L 上，点N 是L 平移后点M 的对应点，点Q 是x 轴上的点．是否存在这样的点M ，使得以M 、N 、O 、Q 为顶点的四边形是有一个内角为60︒且的菱形？若存在，请你求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．。