高考数学专题复习：分类讨论思想

第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。

第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。

有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法。

是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。

分类讨论思想在数学问题具有明显的。

逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。

解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。

也是高考常考查的知识点。

【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．Δ＜0 Δ＞0 【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________. ．【思维提升】涉及到直线的方程问题。

若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。

这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。

【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过()2,0A ,()0,2B ,()2,4C 三点的圆与直线240kx y k -+-=的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．无法确定【变式 1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线1:480l ax y ++=与直线2:3(1)60l x a y ++-=平行，则a 的值为（ ）A. 4-B. 3C. 3或4-D. 3-或6【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆1O ：()22325x y +-=，圆2O ：()()2261125x y -+-=，下列直线中，与圆1O ，2O 都相切的是（ ） A ．34370x y +-=B ．34320x y ++=C ．43160x y --=D ．43340x y -+=【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点()2,4P 引圆()()22111x y -+-=的切线，则切线的方程为（ ） A ．2x =-或4340x y +-= B ．4340x y -+= C ．2x =或4340x y -+=D ．4340x y +-=【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用1、 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．2、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 3、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。

全国高考数学复习：专题（含参函数的单调性讨论）重点讲解与练习【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一 导主一次型【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】1．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是＋有没有＋在不在[例2](2021ꞏ全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．[例3](2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．[例4]设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．[例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．[例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性．10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．考点三 导主指对型 【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．[例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12](2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e xꞏ(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性参考答案【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性． 1．解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当a ＝0时，f (x )为常函数．2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性． 2．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ， 当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 考点二 导主二次型 【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x 1，x 2都在定义域内，则讨论个零点x 1，x 2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021ꞏ全国乙节选)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析 由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )． ①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增．[例3] (2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性． 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2． ①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42． 当x ∈⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0． 所以f (x )在⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． 综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[例4] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性． 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a． 由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增． 【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性． 3．解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3，k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫k 3，＋∞上单调递增． 4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．4．解析 由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0． 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2， x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性． 5．解析 由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a ，x 2＝－1＋1－1a ．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性． 解析 因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x． 由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ， 若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1， 即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax －1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解析 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 当a ≠0时，f ′(x )＝2x e－ax ＋x 2(－a )e －ax ＝e －ax (－ax 2＋2x )． 因为e －ax >0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(1)当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增． (2)当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减． 综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ； 当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0． [例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－(x －1)(ax －1)x 2．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a ． 当a ≤0时，ax －1＜0，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． [例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋2＋a 2x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3． 当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．6．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x． ①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间． 7．解析 f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ＋1 ． ①当a ＝0时，x >0，f ′(x )>0；x <0，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，0，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－2a ，0． ③当a <0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－2a ． 8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．8．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x． (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a 2a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在(1－a 2a ，＋∞)上单调递增． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性． 9．解 因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0)． ①当0<k <2时，4k k >0，且4k >2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数．综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性． 10．解析 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1． ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．考点三 导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．解析 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2．当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． [例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析 易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a 2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a 2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；②若a 2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a 2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，a 2时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2． 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2． 【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．11．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ．易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x 2ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x 2×1x －x ＝2x ln x ，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f (x )的最小值为f (1)＝－12．(2)f ′(x )＝(2x －2a )ln x ＋(x 2－2ax )ꞏ1x －x ＋2a ＝(2x －2a )ln x ，①当a ≤0时，2x －2a ＞0，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜a 或x ＞1，由f ′(x )＜0可得a ＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；③当a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；④当a ＞1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜1或x ＞a ，由f ′(x )＜0可得1＜x ＜a ，此时f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＞1时，f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12] (2017山东理)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ꞏ(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．解析 (1)g′(x)＝(e x)′ꞏ(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(cos x－sin x＋2x－2)′＝e x(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2e x(x－sin x)．记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，所以h′(x)＝2e x(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(e x－a)．由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．当a≤0时，e x－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(e x－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．①若0<a<1，则ln a<0，所以x∈(－∞，ln a)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，e x－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，e x－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，e x －a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a，0)上单调递减；当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性．13．解析 (1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．。

复习的专题是“分类讨论思想在解题中的应用”一. 本周教学内容：本周复习的专题是“分类讨论思想在解题中的应用”，重点是通过例题的分析介绍分类的原则与分类方法。

二. 要点综述：1. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

2. 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

3. 分类原则：分类的对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

4. 分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

5. 含参数问题的分类讨论是常见题型。

6. 注意简化或避免分类讨论。

［典型例题分析与解答］例1. ∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==12513 分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。

但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。

对角A 进行分类。

解： 051322<=<cos B B ABC ，且为的一个内角∆ ∴<<=45901213 B B ，且sin 若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===123032 若为钝角，由，得，此时A A A A B sin ==+>12150180 这与三角形的内角和为180°相矛盾。

可见A ≠150[]∴=-+=-+cos cos ()cos()C A B A B π[]=-⋅-⋅cos cos sin sin A B A B =-⋅-⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-32513121213125326例2. 已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。

第2讲 解题有道——四大数学思想思想概述 高考数学以能力立意,一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法,考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题,是数学意识、数学技能的升华和提高,中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一 函数与方程思想(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.【例1】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y ＝kx(k ＞0)与AB 相交于点D,与椭圆相交于E,F 两点. (1)若ED →＝6DF →,求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1,直线AB,EF 的方程分别为x ＋2y ＝2,y ＝kx(k＞0).如图,设D(x 0,kx 0),E(x 1,kx 1),F(x 2,kx 2),其中x 1＜x 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消y 得(1＋4k 2)x 2＝4, 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0), 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2,得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k 2,化简得24k 2－25k ＋6＝0, 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2）, h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）. 又AB ＝22＋12＝5, 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12·AB·(h 1＋h 2) ＝12×5×4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k2＝21＋41k＋4k ≤22, 当且仅当1k ＝4k(k ＞0),即k ＝12时,上式取等号.所以S 的最大值为22,即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【训练1】 函数f(x)的定义域为R,f(－1)＝2,对任意x∈R ,f′(x)＞2,则f(x)＞2x ＋4的解集为________. 解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0,构造函数F(x)＝f(x)－2x,得F(x)在R 上是增函数. 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4,f(x)＞2x ＋4, 即F(x)＞4＝F(－1),所以x ＞－1. 答案 (－1,＋∞)【例2】 已知数列{a n }是一个等差数列,且a 2＝1,a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值. 解 (1)设{a n }的公差为d,由已知条件,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3,d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4.所以n ＝2时,S n 取到最大值4.探究提高 运用方程思想解决问题,要善于使用已知方程,还要根据题意列方程、解方程. 【训练2】 直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切,则实数m ＝________. 解析 圆的方程为(x －1)2＋y 2＝3,由题意知圆心(1,0)到直线的距离等于半径,即|3＋m|3＋1＝3,∴|3＋m|＝23∴m＝3或m ＝－3 3. 答案 －33或 3 类型二 数形结合思想数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.【例3】 (1)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x －1)；②当x∈[－1,1]时,f(x)＝x 2,则方程f(x)＝lg x 解的个数是________.(2)若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.解析 (1)由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.令y 1＝f(x),y 2＝lg x,画出两函数图象, 则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点,故方程f(x)＝lg x 解的个数是9.(2)作出y ＝|x －2a|和y ＝12x ＋a －1的简图,依题意知应有2a≤2－2a,故a≤12.答案 (1)9 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 探究提高 (1)用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(或需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.(2)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.【训练3】 (1)若函数f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点,则实数b 的取值范围是________. (2)若不等式9－x 2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a,b],且b －a ＝2,则k ＝________. 解析 (1)由f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点, 可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根,从而可得函数y ＝|2x－2|的图象与函数y ＝b 的图象有两个交点,如图所示.结合函数的图象,可得0＜b ＜2,故填(0,2).(2)如图,分别作出直线y ＝k(x ＋2)－2与半圆y ＝9－x 2.由题意,知直线在半圆的上方时,x 的取值范围为[a,b],由b －a ＝2,可知b ＝3,a ＝1,所以直线y ＝k(x ＋2)－2过点(1,22),则k ＝ 2. 答案 (1)(0,2) (2) 2 类型三 分类讨论思考分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅的讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a,一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a≠0的讨论,对称轴位置的讨论,判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q≠1的讨论. (4)三角函数：角所在的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解含参数不等式时的讨论,基本不等式取等号时条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点、线、面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线方程中斜率k 分存在和不存在,直线在坐标轴上的截距相等时分截距b ＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. 【例4】 已知函数f(x)＝ln x ＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a －2时,求a 的取值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝1x－a.若a≤0,则f′(x)＞0,所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增.若a ＞0,则当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时,f′(x)＞0； 当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时,f′(x)＜0,所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f(x)在(0,＋∞)上单调递增；当a ＞0时,f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,＋∞)上无最大值；当a ＞0时,f(x)在x ＝1a 处取得最大值,最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于－ln a ＋a －1＞2a －2,即ln a ＋a －1＜0.令g(a)＝ln a ＋a －1,则g(a)在(0,＋∞)上单调递增, g(1)＝0.于是,当0＜a ＜1时,g(a)＜0；当a ＞1时,g(a)＞0. 因此,a 的取值范围是(0,1).探究提高 由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.【训练4】 已知实数a≠0,函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a),则a 的值为________.解析 当a>0时,1－a<1,1＋a>1, 这时f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a, f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a ＝－1－3a, 解得a ＝－32,不合题意,舍去；当a<0时,1－a>1,1＋a<1,这时f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a, f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝2＋3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a ＝2＋3a,解得a ＝－34.综上可知,a 的值为－34.答案 －34类型四 转化与化归思想转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. (9)参数法：引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决,体现了正难则反的原则.【例5】 (1)已知f(x)＝33x ＋3,则f(－2 019)＋f(－2 018)＋f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋ f(2 019)＋f(2 020)＝________.解析 ∵f(x)＋f(1－x)＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x ＋3＝1, ∴f(0)＋f(1)＝1,f(－2 015)＋f(2 016)＝1,…,f(－2 019)＋f(2 020)＝1,∴f(－2 019)＋f(－2 018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 020)＝[f(－2 019)＋f(2 020)]＋[f(－2 018)＋f(2 019)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2 020. 答案 2 020探究提高 一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.(2)若对于任意t∈[1,2],函数g(x)＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是________.解析 g′(x)＝3x 2＋(m ＋4)x －2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0,即m ＋4≥2x －3x 在x∈(t ,3)上恒成立,∴m＋4≥2t－3t 恒成立,又t∈[1,2],则m ＋4≥－1,即m≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x∈(t ,3)上恒成立,则m ＋4≤23－9,即m≤－373.∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 1.一般地,题目若出现多种成立的情形,且不成立的情形相对很少,则从反面考虑较简单,因此,补集法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中. 2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,将未知的问题转化为已知的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获得解决.【训练5】 对任意的|m|≤2,函数f(x)＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负,则x 的取值范围为________.解析 对任意的|m|≤2,有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立,即|m|≤2时,(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g(m)＝(x 2－1)m －2x ＋1,则原问题转化为g(m)＜0恒成立(m∈[－2,2]).所以⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0. 解得7－12＜x ＜3＋12, 即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋121.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想.2.由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等.3.换元法是一种变量代换,也是一种特殊的转化与化归方法,是用一种变数形式去取代另一种变数形式,是将生疏(或复杂)的式子(或数),用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体,使运算或推理可以顺利进行.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形、以形想数,做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.。

第59讲分类讨论是一种重要的解题策略分类讨论是数学中一种重要的思想方法,也是一种重要的解题策略,特别是对于含参数字母的问题,由于这类问题的结论大多数是随参数的变化而变化的,故问题的解答不唯一,因此,当解题进行到某一步后不能再以同一方式处理或统一的形式叙述,这时就必须根据参数字母不同的取值范围区别对待,即必须在参数字母总的取值范围(全集)内正确划分成若干个分区域(子集),在各个分区域内方能继续进行解题,有些含参数讨论题,由于所含的参数不止一个,故这类问题要通过多级分类逐级讨论,即在每一个类中还可以继续划分更小的类,直到每一类中能使问题得到解决为止.当然,分类讨论不局限于字母参数,也有对具体问题可能出现的不同情况进行分类.数学之美在于简捷,分类要力求简捷.分类讨论的解题步骤如下:（1）确定讨论的对象；（2）确定讨论对象的取值范围（全集）（3）划分子区域(子集)；(4)对于参数字母多于一个的问题则要进行逐级分类,解题时要特别注意讨论的层次,避免重复讨论或讨论不全等现象;（5）对每个子区域讨论的结果整合起来作出结论.其中第(5)步非常重要,分类是把整体化为部分,整合是把各部分加以归纳总结,有“分”必有“合”,因为我们研究的是问题的全体,所以必须做到有“分”有“合”,先“分”后“合”,这不仅是分类与整合的思想解决数学问题的主要过程,也是分类与整合思想的本质属性,数学思维应当注重过程的严谨性与周密性.使用分类讨论思想解题时应当注意以下几点:（1）要有明确的分类标准,所选择的分类标准不同就会有不同的分类方向,尽量合理（2）一旦选定一种分类标准,就必须从同一标准出发,对讨论对象分类层次分明,不重（3）当讨论的对象不止一种时,应分层次进行,分大类时有一个统一的标准,每一大类中再分几小类另有统一的标准.（4）注意把握问题发展的本质趋向,根据解题形势发展的需要,选择分类讨论的时机.（5）在重视分类讨论思想应用的基础上,应防止“逢参就论”的倾向,能整体处理,可避免讨论的则尽量避开,才是解题的上策.本讲就从近年来的高考真题来看分类讨论思想方法在解题中的重要作用.典型例题【例1】已知函数()2()2ln(1)2f x x ax x x =+++-.(1)若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2)若0x =是()f x 的极大值点,求a .【分析】 第(1)问通过求导研究函数的单调性即可证明；第((2)问,根据函数取得极值的条件,建立关于a 的式子求解.在求解过程中,两问都需要实施分类讨论,第(1)问需要对自变量的取值范围进行分类讨论,第(2)问必须对参数a 的取值范围进行分类讨论. 【解析】(1)证明当0a =时,'()(2)ln(1)2,()ln(1)1x f x x x x f x x x=++-=+-+. 设函数'()()ln(1)1x g x f x x x==+-+,则'2()(1)x g x x =+. 当10x -<<时,'()0g x <;当0x >时'()0g x >. 故当1x >-时,()(0)0g x g =,且仅当0x =时,()0g x =,从而'()0f x ,且仅当0x =时,'()0f x =,()f x ∴在(1,)∞-+单调递增.又(0)0f =,故当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >.(2)①若0a ,由(1)知,当0x >时,()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ++->=,这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.②若0a <,设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++.由于当||min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,220x ax ++>,故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==,故0x =是()f x 的极大值点.当且仅当0x =是()h x 的极大值点,()()2'22222(12)1()12x ax x ax h x x x ax++-+=-+++()()22222461(1)2x a x ax a x ax x +++=+++如果610a +>,则当6104a x a -+<<,且||min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,'()0h x >,故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<,则224610a x ax a +++=存在根10x <,故当()1,0x x ∈,且||min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,'()0h x <,故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=,则()3'22(24)()(1)612x x h x x x x -=+--,则当(1,0)x ∈-时,'()0h x >;当(0,1)x ∈时,'()0,0h x x <∴=是()h x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点.综上,16a =-. 【例2】已知{}n a 是首项为2,公比为12的等比数列,n S 为它的前n 项和. （1）用n S 表示1n S +; (2)是否存在正整数c 和k ,使得12k k S cS c+->-成立.【分析】本例第(2)问属于探索性问题,解题时需要灵活运用分类讨论的思想,由于题中含有双参数,k c ,必须轮流分类讨论,应注意思路清晰、讨论到位. 【解析】（1）由1412n nS ⎛⎫=-⎪⎝⎭,得()*111141222n n n S S n ++⎛⎫=-=+∈ ⎪⎝⎭N . （2）要使12k k S c S c +->-，只要3220k kc S c S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<-，()*131414,220.222k kk k k S S S S k ⎛⎫⎛⎫=-∴--=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N故只要()*322k k S c S k -<<∈N ①， ()*1133,221,22k k k S S k S S +>∈∴--=N又4k S <故要使①式成立，c 只能取2或3. 当2c =时，12,S =∴当1k =时，k c S <不成立，从而①式不成立.当2k 时，2352,22S c -=>由()*1k k S S k +<∈N 得13322,22k k S S +-<- 故当2k 时，32,2k S c ->从而①式不成立. 当3c =时，122, 3.S S ==∴当1,2k k ==时，不成立，从而①式不成立.33132,24S c -=>又13322,22k k S S +-<-∴当3k 时，32,2k S c ->从而①式不成立.综上所述，不存在正整数c 和k ，使12k k S cS c+->-成立.【例3】设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(),1a mx y =+,向量(),1b x y =-,a b ⊥,动点(),M x y 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知14m =,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点,A B ,且(OA OB O ⊥为坐标原点),并求出该圆的方程； (3)已知14m =,设直线l 与圆222:(12)C x y R R +=<<相切于1A ,且l 与轨迹E 只有一个公共点1B ,当R 为何值时,11A B 取得最大值?并求出最大值.【分析】 第(1)问,在求得的轨迹方程中显然含有参数m ,必须对m 的取值分类讨论确定其轨迹;第(2)问,由于是任意一条切线,必定要对其斜率存在与否进行分类讨论;第(3)问,引入直线必然含有双参数,且圆C 中尚有参数R ,由于解题得法,反而避免了分类讨论. 【解析】(1)()(),,1,,1a b a mx y b x y ⊥=+=-，2210,a b mx y ∴⋅=+-=即22 1.mx y +=当0m =时，方程表示两直线方程，方程为1y =±； 当1m =时，方程表示的是圆；当0m >且1m ≠时，方程表示的是椭圆； 当0m <时，方程表示的是双曲线.(2)当14m =时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y =,kx t +解方程组22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得224()4x kx t ++=.()222148440.k x ktx t +++-=即要使切线与轨迹E 恒有两个交点,A B ,则()()()222222Δ641614116410,k t k t k t =-+-=-+>即22410,k t -+>亦即2t 241,k <+且12221228,144414kt x x kt x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2121212()()y y kx t kx t k x x =++=+()()22222222122224484.141414k t k t t k kt x x t t k k k --++=-+=+++要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=.即222222224445440,141414t t k t k k k k ----+==+++ 225440,t k ∴--=即22544t k =+且2241,t k <+亦即2244205k k +<+恒成立.又直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,∴圆的半径为()222224145,115k t r r k k +====++所求的圆为224.5x y +=当切线的斜率不存在时，切线为x =与2214x y +=交于点或⎛ ⎝,也满足OA OB ⊥.综上所述,存在圆心在原点的圆2245x y +=,使得该圆的任意一条切线与轨迹E ,,.A B OA OB ⊥恒有两个交点且(3)当14m =时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设直线l 的方程为y kx t =+. 直线l 与圆222:(12)C x y R R +=<<相切于1,A 由()2知R =,即()2221t R k =+①l 与轨迹E 只有一个公共点1B ,由()2知2214y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得224()4,x kx t ++= 即()222148440k x ktx t +++-=有唯一解，则()()()222222Δ641614116410,k t k t k t =-+-=-+=即22410k t -+=②由①②得2222223,41.4R t RR k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩此时，,A B 重合为111(,)B x y .12221228,144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩中22212122441616,.143t R x x x k R --=∴==+ 点()111,B x y 在椭圆上,22211214143R y x R -∴=-=,故222111245.OB x y R =+=-在直角三角形11OA B 中，222221111224455.A B OB OA R R R R ⎛⎫=-=--=-+ ⎪⎝⎭()2211244,21,2,54 1.R R A B R +=∈∴-=当且仅当时取等号 即当()1,2R =时,11A B 取得最大值,最大值为1.第60讲 运用分类讨论法解含参数函数、方程、不等式问题在求解函数、方程、不等式问题中,由于含有参数,而参数取不同值时会导致不同的结果,因而需要对参数进行分类讨论,即选择一个标准,依次分成几个能用不同形式去解决的小问题,从而使问题获得解决,体现了化整为零、各个击破、积零为整――即分类与整合的思想.典型例题【例1】设a 为实数,函数()21,f x x x a x =+-+∈R .（1）讨论()f x 的奇偶性; (2)求()f x 的最小值.【分析】讨论函数的奇偶性必须对0a =和0a ≠进行分类讨论,去掉绝对值符号必须对x a 和x a 进行分类讨论,求函数的最值又必须进一步对a 的取值与二次函数对称轴的关系进行分类讨论,三次讨论层层深入.【解析】()1当0a =时,()()2()1f x x x f x -=-+-+=,此时()f x 为偶函数,当0a ≠时,()21f a a =+,而()221f a a a -=++,()()()(),.f a f a f a f a ∴-≠-≠-∴此时函数()f x 既不是奇函数,也不是偶函数.(2)对x a -去掉绝对值号进行讨论:①当x a 时,()2213124f x x x a x a ⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭,若12a ,则()f x 在(],a ∞-上单调递减,()(]()2, 1.f x a f a a ∞∴-=+在上最小值为若12a >,则()f x 在(],a ∞-上的最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,且()12f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭. ②当x a 时，()22131.24f x x x a x a ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭若12a -,则()f x 在[),a ∞+上的最小值为1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,且12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭().f a若12a >-,则()f x 在[),a ∞+上单调递增,()[)()2, 1.f x a f a a ∞∴+=+在上的最小值为综上所述,当12a -时,()f x 的最小值为3;4a -当1122a -<时,()f x 的最小值为21a +;当12a >时,()f x 的最小值为34a +. 【例2】 (1)若()()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实数根,那么k 的取值范围是__________;（2）函数()2212log 21(0,0)xx x x y aa b b a b =+-+>>,求使y 为负值的x 的取值范围.【分析】 第()1问是含参数的对数方程仅有一个实根,求参数的取值范围,首先转化为方程与不等式的混合组,而所得的是含参数的一元二次方程.由判别式结合混合组中两个不等式进行分类讨论,从而获解.第(2)问,当原问题转化为指数不等式时,必须对底数的取值在()0,1还是()1,∞+进行分类讨论,别忘了特殊情况0a b =>的讨论.【解析】()1由题意知20,10,(1)kx x kx x ⎧>⎪+>⎨⎪=+⎩即()20,10,210kx x x k x ⎧>⎪+>⎨⎪+-+=⎩①②③，对③式由求根公式得((12112,222x k x k =-=-④2Δ4004(0,).k k k k k =-⇒=或不合题意应舍去 ①当0k <时,由(3)式得12121220,,10,x x k x x x x +=-<⎧∴⎨=>⎩同为负根.又由④式知1210,10,x x +>⎧∴⎨+<⎩原方程有一个解1.x②当4k =时,原方程有一个解112kx =-=. ③当4k >时,由(3)式得12121220,,10,x x k x x x x +=->⎧∴⎨=>⎩同为正根且12x x ≠,不合题意,舍去.综上可得,0k <或4k =为所求. (2)()222212log 210(0,0),211x x x x x x x x a a b b a b a ab b +-+<>>∴+-+>,即2220.x x x x a a b b +->两边同除以2xb ,得2210,1x x x a a ab b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+->∴>-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1xa b ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭(舍去).(0,1,log 1;a baa b x b >>>∴>-若则若0a b =>,则1,1xa ab b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,而1 1.x -+<∴∈R ;若0a b <<,则(01,log 1bax b α<<∴<-+. 综上所述,当a b>时,(log 1;a ax a b >-+=时,;x a b ∈<R 时,log a bx <(-1).【例3】(1)已知函数()y f x =的图像与函数(0xy a a =>且1a ≠)的图像关于直线()()()()()1,21,,22y x g x f x f x f y g x ⎡⎤⎡⎤==+-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦对称记若在区间上是增函数,则实数a 的取值范围是( ）. A.[)2,∞+B.()()0,11,2⋃C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)关于x 的方程()222110x x k ---+=,给出下列4个命题:①存在实数k .,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（ ） A.0B.1C.2D.3【分析】第(1)问,由于底数a 末确定,必须对a 的值在()0,1还是()1,∞+进行分类讨论,若采用换元法,则必须在a 的不同范围内结合对数函数单调性确定新元的范围;第(2)问,若考虑去掉绝对值符号,则必须对x 的取值范围分类讨论,在进一步解答过程中又必须对参数k 的取值分类讨论.【解析】(1）已知函数()y f x =的图像与函数(0xy a a =>且1a ≠)的图像关于直线y x=对称,则()log a f x x =.记()()()()()()221log log 21log a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=+-=+-⎣⎦.①当1a >时,()y g x =.在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,log a y x =为增函数,令t =1log ,log ,log 22a a a x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,要求对称轴log 211log 22a a --,矛盾;②当01a <<时,()y g x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,log a y x =为减函数,令t1log ,log 2,log 2a a a x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,要求对称轴log 211log 22a a --,解得1,2a ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦,故选D . (2)解法一 关于x 的方程()222110x x k ---+=可化为()()222110(1xx k x ---+=或1x -）①或2221)(1)+0(11)x x k x -+-=-<<（②①当2k =-时,方程①的解为方程②无解,原方程恰有2个不同的实根;②当14k =时,方程①有两个不同的实根±方程②有两个不同的实根±即原方程恰有4个不同的实根;③当0k ＝时,方程①的解为1,±方程②的解为0x =,原方程恰有5个不同的实根;④当29k =时,方程①的解为方程②的解为,即原方程恰有8个不同的实根,故选A.解法二 根据题意,可令()210x t t -=,则原方程化为20t t k -+=①，作出函数21t x =-的图像,结合函数的图像可知,当0t =或1t >时原方程有两个不同的根;当01t <<时,原方程有4个根;当1t =时,原方程有3个根,于是:①当2k =-时,方程①有一个正根2t =,相应的原方程的解有2个; ②当14k =时,方程①有两个相等的正根12t =,相应的原方程的解有4个; ③当0k =时,方程①有两个不等根0t =或1t =,故此时原方程有5个根; ④当104k <<时,方程①有两个不等正根,且此时方程①有两个正根且均小于1,故相应满足原方程的解有8个,故选A . 【例4】已知函数()()()e2e e 2.72xx a f x x x --=+-≈.(1)当2a =时,证明:函数()f x 在R 上是增函数; (2)若2a >时,当1x 时,()221exx x f x -+恒成立,求实数a 的取值范围. 【分析】本例是含参数的函数的单调性问题与含参数不等式恒成立问题.第（1）问,在证明单调性过程中对x 的取值分类讨论;第(2)问,为了解决含参数不等式恒成立问题,必须研究新构造的函数的单调性和极值,必须对参数a 的取值范围分类讨论,分类要合理,不重不漏,符合最简原则.总之,分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”,思维策略与操作过程是:明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集). 【解析】(1)证明当2a =时,()()()2e2e ,xx f x x x f x --=+-的定义域为R .()()()()222e e e 2e 1e e x x x x x x f x x x x ------'=-++-=--()()()11e 1e 1e 1x x x x ---=--+.()11,10,e 10,0;x x x f x ---'∴当时()11,10,e 10,0.x x x f x -<-<-<'∴当时()(),0,.x f x f x ∴∴'R 对任意实数在上是增函数(2)当1x 时,()221exx x f x -+恒成立,即()222e 310x ax x x ---+-恒成立. ()()()()()()2222e 311,23e 1.x a x a h x x x x x h x x --=--+-=--'设则 ()()212323e 10,,.22x a ax x x ---===令解得①当3122a <<,即23a <<时,有∴要使结论成立,则()232331551e 10,e 0,e 1,e .2242a a a a h h ----⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭即552,3ln ,3ln 322a a a -∴-<解得；②当3,22a =即3a =时(),0h x '恒成立，()h x ∴是增函数，又()11e 10h -=-+>,故结论成立; ③当322a >,即3a >时,有∴要使结论成立,则()221e10,23024aa a h h a -⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭,即22e 1,8120.a a a --+解得2,26,36a a a ∴<. 综上所述,若2a >时,当1x 时,()221e xx x f x -+恒成立,实数a 的取值范围是53ln62a -.。