锐角三角函数的简单应用

锐角三角函数有哪些实际应用场景锐角三角函数在咱们的日常生活中那可是有着超级多的实际应用场景呢，简直无处不在！先来说说建筑领域吧。

你知道吗，建筑工人在盖房子的时候，可离不开锐角三角函数的知识。

比如说，要建造一个有特定倾斜角度的屋顶，这就需要计算出屋顶的角度以及所需材料的长度和数量。

想象一下，工人们站在高高的脚手架上，拿着测量工具，认真地计算着角度和长度。

他们的眼神专注，手中的工具就像是神奇的魔法棒，通过锐角三角函数，把一堆堆的建筑材料变成了坚固又美观的房子。

再讲讲导航和地图。

当我们使用手机导航去一个陌生的地方时，导航软件会根据我们的位置和目的地，计算出最佳的路线。

这背后可就有锐角三角函数的功劳啦！它帮助确定我们与目的地之间的直线距离和实际行走的路程。

就像有一次我自己出门旅行，在一个完全陌生的城市里，靠着导航找到了一家特别棒的小吃店。

那个时候我就在想，要是没有这些数学知识的支撑，我可能还在街头瞎转悠，找不到美食的方向呢。

还有测量山峰的高度。

测量人员没办法直接爬到山顶去测量，那怎么办呢？这时候就轮到锐角三角函数登场啦！他们在山脚下选好测量点，测量出观测点与山顶的角度，再结合测量点与山底的距离，就能算出山峰的高度。

这就像是解开了一个神秘的谜题，让人充满了成就感。

在航海中，锐角三角函数也发挥着重要作用。

船员们需要根据星星的位置和角度来确定船只的方向和位置。

想象一下，在浩瀚的大海上，满天繁星闪烁，船员们依靠着锐角三角函数的知识，勇敢地驶向目的地，是不是特别酷？在日常生活中，我们装修房子的时候，如果想要在墙上挂一幅画，而且要保证画是水平的，那就得用到锐角三角函数来测量和计算。

又比如，我们要搭建一个秋千，要确定秋千的绳子长度和角度，让秋千荡起来既安全又有趣，这也需要锐角三角函数的帮忙。

甚至在体育比赛中也有它的身影。

比如滑雪运动员在从山坡上滑下来的时候，他们需要根据山坡的角度和自己的速度来调整姿势和控制方向，以确保安全和取得好成绩。

锐角三角函数及应用
锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90度的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。

在三角函数中，正弦函数是最基本的函数之一，它在三角形的计算中有着重要的作用。

例如，在测量高度时，可以利用正弦函数计算出物体的高度。

余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。

余弦函数也是三角函数中的基本函数之一，它在计算角度时有着重要的作用。

例如，在计算机图形学中，可以利用余弦函数计算出两个向量之间的夹角。

正切函数是指一个角的对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。

正切函数在三角形的计算中也有着重要的作用。

例如，在测量斜率时，可以利用正切函数计算出斜率的大小。

除了在三角形的计算中，锐角三角函数还有着广泛的应用。

在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述波的运动，例如声波和光波。

在工程学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述交流电的变化，例如电压和电流的变化。

在计算机科学中，正切函数可以用来计算图像的旋转和缩放。

锐角三角函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。

掌握锐角三角函数的概念和应用，对于学习数学、物理、工程和计算机科学等领域都有着重要的意义。

2023-11-06CATALOGUE 目录•锐角三角函数的定义•锐角三角函数在解直角三角形中的应用•特殊角的锐角三角函数值及其应用•锐角三角函数的实际应用•练习与解答01锐角三角函数的定义定义正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(α)。

性质正弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其最大值为1，最小值为0。

单位正弦函数的单位是弧度(rad)。

定义余弦函数是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作cos(α)。

性质余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而减小，其最大值为1，最小值为-1。

单位余弦函数的单位是弧度(rad)。

010203正切函数定义正切函数是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，记作tan(α)。

性质正切函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其值无限增大。

单位正切函数的单位是弧度(rad)。

02锐角三角函数在解直角三角形中的应用利用正弦函数解直角三角形已知锐角A的对边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。

正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。

求解公式：b=a×sin(A)/sin(B)。

010203利用余弦函数解直角三角形余弦定理：c²=a²+b²-2abcos(C)。

已知锐角A的邻边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。

求解公式：b=(a²+c²-b²)/2ac。

利用正切函数解直角三角形已知锐角A的对边与邻边的比值，可以用来求解未知边b。

正切定理：tan(A)=a/b，tan(B)=b/a。

求解公式：b=a×tan(A)。

01030203特殊角的锐角三角函数值及其应用$\frac{\sqrt{3}}{2}$30度的正弦值$\frac{1}{2}$30度的余弦值$\sqrt{3}$30度的正切值30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值45度的正弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的余弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的正切值：130度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0360度的正切值$\sqrt{3}$30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0160度的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{2}$0260度的余弦值$\frac{1}{2}$在解直角三角形时，特殊角的三角函数值可以作为已知条件，用于求解其他角度或边的长度。

主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。

从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。

如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。

和坝底宽AD。

(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。

问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。

坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。

初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。

这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。

首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。

在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。

其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。

这些函数有许多重要的性质。

首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。

其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。

此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。

也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。

在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。

首先，它们被广泛应用于三角计算。

例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。

这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。

其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。

例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。

它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。

另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。

它们的图像可以通过函数的周期性来得到。

例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。

此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。

三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。

利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。

总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。

它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。

锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上，从原点出发，与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。

其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα，以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。

锐角三角函数在数学中有广泛的应用，尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。

下面我们来看一些经典的例题，以加深对锐角三角函数的理解：例题1：已知在锐角 ABC 中，边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。

解答：由于边长BC=5,AC=13，我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13，余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13，正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2：已知在锐角 ABC 中，角B = 35°，边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。

解答：由于已知角B = 35°，边长 BC = 8，我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。

由于 sinA = BC / AC，我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。

根据余弦定理，可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。

代入已知的B = 55° 和 BC = 8，我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。

我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值，即 cosA = AB / AC，所以 AB = AC * cosA。

初三数学讲义——锐角三角函数的概念及应用（1）一、锐角三角函数的概念：例1．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，将矩形折叠，使点A 与点C 重合，求折痕EF 的长.例2．（1）将矩形纸片ABCD 沿对角线成AC 折叠，使点B 落在点E 处，AD 和CE 相交于点F. 求证：EF ＝DF.（2）已知，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD ＝13，求tanA 的值.例3.如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BCD=90︒，且AB=1，BC=2，ta n ∠ADC=2. ⑴求证：DC=BC ；⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；⑶在⑵的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135︒时，求sin ∠BFE 的值。

锐角三角函数的概念练习题：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝9，BC ＝3，则sinA ＝ ，tanB （2）如果0°＜α＜90°，且sin α＝45，则cos α的值等于 .EBFCDA（3）在△ABC 中，∠C ＝90°，且3AC ＝ 3 BC ，则∠A 的度数等于 ，cosB ＝ ，tanA ＝ 。

（4）菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，设∠ABD ＝α，则下列结论正确的是：（ ） A ．sin α＝45 B. cos α＝35 C. tan α＝43D.cos α＝54（5）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，已知BC AB ＝ 53 ，则sin ∠ACD ＝ ，sin ∠BCD ＝ ，tan ∠ACD ＝ .二、特殊角的三角函数值： 例4.计算：（1）sin 245°−sin 260°+tan30° ∙ cos30°. （2）21cos60°+2∙ cos45°−sin30°∙ tan45°.三、解直角三角形：例5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，解下列直角三角形 （1）a ＝5 3 ，b ＝15 3； （2）a ＝5，c ＝5 2 ；（3）∠A ＝30°，b ＝6；（4）∠B ＝60°，c ＝12.【例6】如图，海上有一灯塔P ，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A 点处测得灯塔P 在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?A B P北 东【例7】如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH BC ∥，坡角74ABC ∠=，坝顶到坝脚的距离6m AB =．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长（精确到0.1m ）．基础训练1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，则sinA 的值为_________。