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南京邮电大学 大学物理 上 §4.3 力矩 转动定律

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大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量

大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量

2 J ddt
1
1
1 dt
1 dt

2 1
Jd

1 2
J22

1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
26
Y
M
vC
C mi
yC yi
O
X
4、刚体的势能
EP mi gyi
i
mgyc
其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于
同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚
体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位
置对物体的运动有影响吗？


F
F


Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动

F


Fi 0 , Mi 0
1、刚体的转动动能
i质点的动能
Eki

1 2
mi vi2

1 2
miri2 2
整个刚体的动能 — 对i求和
Ek
i
Eki
i
1 2
mivi2

i
1 2
mi
ri2
2

1 2
(
i
miri2 ) 2

1 2
J 2
可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度
平方乘积的一半。
t

t0 Mdt L L0
动量守 恒定律
Fi 0,
mi vi

力矩转动定律转动惯量

力矩转动定律转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩 转动定律
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物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩 转动定律
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物理学

4.3 力矩 转动定律

4.3 力矩 转动定律

v −F v
i
v F
v ∑ Mi ≠ 0
i
∑ F = 0,
i
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
讨论
v 不在转动平面内， （1）若力 F 不在转动平面内，把力分 ）
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零， 力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
v 其中 Fz 对转轴的 v
v v v F = Fz + F⊥
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
4.3 力矩 刚体的转动定律 一 力矩
用来描述力对刚体 的转动作用． 的转动作用．
M = Fr sin θ = Fd d : 力臂 v F 对转轴 z 的力矩 v v v M = r ×F
z
v M
v F
O
v r
*
d
P
θ
v −F
i
v F
v ∑ Mi = 0
i
v ∑ Fi = 0,
M = I β , β 与 M 方向相同． 方向相同．
(2) 为瞬时关系． ) 为瞬时关系． (3) 转动中 M = I β 与平动中F = ma ) 地位相同． 地位相同．
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
质量为m 的物体A 例2 质量为 A的物体 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接， 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为m 索跨过一半径为 、质量为 C的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 B 的物体 上，B 竖 ，并系在另一质量为m 的物体B上 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计． ) 轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？ ) 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 其速率是多少？ 离 y 时，其速率是多少？

力矩+刚体定轴转动的转动定律

力矩+刚体定轴转动的转动定律

rF
sin
rF
F
Mz
r F
F
·
Fn
F// F
式中为力F到轴的距离
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
F 的两个分力即可。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用 。
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
M 的方向垂直于r和F所决定的平面，指向用右手法则确定。
第3章 刚体力学基础
第2节
2）力矩的单位: 牛·米 (N·m)
大学物理学(力学和电磁
•2
学)
3)
在直角坐标系中，表示式为
i jk
M x yF z zF y
M x y z
M y zF x xF z
Fx Fy Fz
M z xF y yF x
力对固定点的力矩为零的情况：
有两种情况, M 0
(1)力F等于零， (2)力F的作用线与矢径r共线 （力F的作用线穿过O点, 即， 有心力对定点的力矩恒为零）。
有心力的力矩为零
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
•3
学)
２、力对固定轴z轴的力矩：
M z rF sin
r sin F
的乘积等于作用在刚体上的合外力矩。
— 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与 刚体的转动惯量成反比。
第3章 刚体力学基础
•5
第2节 三 转动定律的应用
大学物理学(力学和电磁
•6
学)
刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与 其到转轴的距离的平方的乘积之和．是刚体转动时惯 性大小的量度．

4-3转动定律

4-3转动定律

[例2]有一均质细直杆在一个粗糙的水平 例 有一均质细直杆在一个粗糙的水平 面上可绕一条通过其一端的竖直轴旋转， 面上可绕一条通过其一端的竖直轴旋转，它 与平面之间的摩擦系数为µ 。设杆子质量为 m,长度为 l ，其初始转速为ω0 。试求当它 长度为 的转速为原来的一半时所用的时间。 的转速为原来的一半时所用的时间。 o l o´
结束
返回
4. J 和转轴有关。同一个物体对不同转 和转轴有关。 轴的转动惯量是不同的。 轴的转动惯量是不同的。 o o´ 1 ml J = 12
2
o o´ 1 ml J= 3
o 1 mr 2 J= 4 o´
o 1 mr 2 J= 2 o´
结束
返回
5*. 回转半径：假想将物体的质量集中在 回转半径： 的细圆环上， 半径为 rc 的细圆环上，而保持转动惯量不 回转半径。 称这圆环半径为物体的回转半径 变，称这圆环半径为物体的回转半径。即任 何物体的转动惯量为： 何物体的转动惯量为： J = mrc o
ห้องสมุดไป่ตู้结束
1 µ 1 ml 2 d ω mg l = dt 2 3 3µ g dt = d ω 2l 3µ g t ∫ 0 dt = 2l
∫ω dω
2 0
ω0
3µ g ω ω t= 2 2l
0
0
∴
ωl t= 3µ g
0 结束
返回
[例3]有一高为 ，宽为 ，质量为 的 例 有一高为 有一高为h，宽为b 质量为m 均质平板可绕一条通过其一端的竖直轴旋转， 均质平板可绕一条通过其一端的竖直轴旋转， 板上面元所受到的阻力和面元的大小与面元 的速度平方乘积成正比，比例系数为k 。板 的速度平方乘积成正比，比例系数为 的初始角速度为ω0 。 试求其角速度变化规律。 试求其角速度变化规律。 o b m

大学物理 第四章 刚体的转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量

大学物理 第四章 刚体的转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量

v Fej
v Fij
2 j j
外力矩
∑M
j
+ ∑ M ij = ∑ ∆ m r α
j
Q Mij = −M ji
∴∑ Mij = 0
j
14
∑M
j
ej
= ( ∑ ∆ m j r )α
2 j
z
O
定义转动惯量
v rj ∆m j
v Fej
J = ∑ ∆m r J = r 2dm ∫
2 j j j
v Fij
转动定律 M = Jα 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
L
9
设水深h，坝长L， 解 设水深 ，坝长 ，在坝面上取面积 元 dA = Ldy ，作用在此面积元上的力
dF = pdA = pLdy
y
y
x
h y O Q O
L
dA
dy
x
10
令大气压为 p0 ，则 p = p0 + ρg (h − y )
dF = PdA = [ p0 + ρg(h − y)]Ldy
r F
OZo ⊗
xc
θ
l
dm
xmg r
ω
α
r dm⋅ g
dω 3g cosθ α= = 2l dt dω dω dθ dω = ⋅ =ω dt dθ dt dθ
}
3g cosθ dθ ⇒ωdω = 2l
4
对刚体定轴转动： 对刚体定轴转动： 力矩M 的方向沿转轴（有正负） 力矩 的方向沿转轴（有正负） 多力作用在刚体上时的合力 的力矩： 的力矩： M = M1+M2+…+Mn 对刚体定轴转动： 对刚体定轴转动： 因力矩M 的方向沿转轴， 因力矩 的方向沿转轴，所以对转动 轴力矩矢量和变成为代数和 M2 M = M1 + M2 + … + Mn

力矩转动定律转动惯量jm汇总课件


力矩的物理意义
总结词
力矩描述了力使物体绕某点转动的趋势或转动效果。
详细描述
力矩决定了物体绕某点转动的趋势或转动效果，其方向与力和力臂的乘积方向 相同。力矩越大，物体转动的趋势或转动效果越明显。
力矩的计算方法
总结词
力矩的大小等于力和力臂的乘积，计中力臂是从转动轴（或转动中心）到力的垂 直距离。计算公式为 M=FL，其中 M 为力矩，F 为力，L 为力臂。同时，力矩的 方向与力和力臂的乘积方向相同。
转动惯量的大小决定了物体旋转运动 的加速度、角速度和角动量等参数的 变化规律，进而影响物体的运动状态 和稳定性。
转动惯量的计算方法
转动惯量的计算方法主要包括平行轴定理和垂直轴定理。
平行轴定理指出，对于一个质量分布均匀的刚体，其相对于某固定轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以质心到该轴的距离 的平方，再加上所有相对于此轴的离散质量的转动惯量之和。垂直轴定理则说明，一个质量分布均匀的刚体相对于任一垂直 于其对称平面的轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以其对称轴到质心的距离的平方。
车辆工程
在车辆工程中，力矩转动定律用于分析车辆动力学和稳定性 问题。例如，通过分析车轮的力矩，可以研究车辆的操控性 能和行驶稳定性。
力矩转动定律在科研中的应用
物理学研究
力矩转动定律是物理学中分析转 动问题的基本原理，广泛应用于 分析天体运动、刚体动力学等问 题。
生物学研究
在生物学研究中，力矩转动定律 用于分析生物体的运动和平衡机 制，如动物的行走、飞行等。
动惯量。
实验步骤
2. 将刚体安装到实验装置上 ，调整力矩计和角位移传感
器的位置和角度。
1. 准备实验器材：刚体、力 矩计、角位移传感器、数据

大学物理上册、转动定律、转动能量


M 或 M I
I
说明：1）定律是瞬时对应关系；
2）M , J , 应是对同
一轴而言的
Z
如何求力对轴的矩呢？ 如图可将力分解为两个
MZ
F r
F F
力，只求那个垂直于轴
的力的力矩就可以了。
3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量
度。因为： M一定时I I

mg
L
sin

2

mg
LБайду номын сангаас
0
2
2
0
2
A

1 2
mgL

(Ep )


Ep2

E p1
二、刚体的重力势能 Ep mgZC
mgL ZC－质心距0势能面的距离
mg(L L cos )
2
三、刚体转动动能定理
力矩的功定义式 dA Md dA Md Id I d d Id
J

1 2
m2 r 2…(3)
a = r…(4)
T=T’ …(5)
T= a=
m1m2g 2m1+m2
r
注意: =m1g
a等于常数且初速为零! h 1 at 2 2
=
2m1g 2m1+m2
=
m1gt2 2m1+m2
r 例2）质量分别为m1，m2的物体通过轻绳挂在质
量为m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1，m2
－力矩的功
θ 是刚体在力矩的作用下转过的角度
重力矩的功
设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴 而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：

力矩转动定律 PPT


解：
物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的平动和 相对质心的滚动两种 运动合成.
y

N
x
Ff
C
mg
aC

22
质心运动方程
mg sin Ff maC
转角动量定、律线量F关f 系R J a aC R
y

N
x
Ff
C
mg
aC

ma

mg
sin


Ja R2
a

mgR2 mR2
结束21
*P98例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角θ= 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
圆柱比圆筒先到达底部24.
补充例题 一个飞轮的质量 m＝60kg，半径为R＝0.25m，
正在以ω0＝1000r/min的转速转动，现在要制动飞轮，要
求在 t ＝5.0s内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮
子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数
为μk＝0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的
P96 表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量 .
平行轴定理
质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 Jc，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2 （证明略）
例：圆盘对P 轴的转动惯量

力矩和转动定律


m σ= 2 πR ds = rdrdθ dm = σ ds = σ rdrdθ
dN = gdm = σ rgdrdθ df = dN = σ rgdrdθ dM f = rdf = σ r gdrdθ
2
M f = ∫ dM f = σ g ∫ dθ ∫ r 2 dr
0 0
2π
R
2 = mgR 3 M f = jβ 1 mR 2 2 4 g β = 3R 3R j=
三 转动惯量
J = ∑ mi ri
2
2
如果刚体连续分布
m:质点惯性的量度 : J:刚体惯性的量度 : 转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 几种常见刚体的转动惯量: 有关推导详见教材 有关推导详见教材P120) 几种常见刚体的转动惯量:(有关推导详见教材 细棒 细棒
标量. 标量 J = ∫ r dm kg . m2,标量. r r 对比 F = m a M = Jβ
F2 =
r2
= j β = j dω dt cω = j dω dt dω = c dt ω j ω dω t c ∫ω0 ω =∫0 j dt
ct ω = ω0e j ct ω = ω0e j
M f = cω
练习18 练习
dθ = ω dt
t = c ln 2 j
= 1 ω0 2
jω0 c ln 2) (t = θ= j 2c θ = jω0 N= 2π 4π c
L m
1 J = mL2 + m1 L2 3
m1
质点 与刚 体组 合的 转动 惯量
R
m
r m1
1 J = mR 2 + m1 r 2 2
五,转动定律的应用 例1,一根轻绳跨过一定滑轮(滑轮 ,一根轻绳跨过一定滑轮( 视为圆盘), ),绳的两端分别 视为圆盘),绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体,m1 <m2 ,滑轮的 质量为 m ,半径为 R,所受的摩擦阻 , 绳与滑轮间无相对滑动. 力矩为 Mf ,绳与滑轮间无相对滑动. 试求:物体的加速度和绳的张力. 试求:物体的加速度和绳的张力. 已知: 已知: m1,m2 ,m, R ,Mf , 求: a , T1 , T2 解: 研究对象 m1 ,m2 ,m 建立坐标, 建立坐标,受力分析 如图 对m1 : 1 m1 g = m1a T 对m2: m 2 g T 2 = m 2 a
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解：建立坐标系如图。 取元dm，则 m dm dx ( ) l 质元受阻力矩为：
dM阻 dmgx (方向?)
1 M阻 dM阻 gxdx gl 2 0 2 1 而 m l ， 所以 M 阻 mgl (解毕) 2
l
o
m dm x dx
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 11
例 已知： m1=m2=m，M，R，光滑桌面，求：m1 下落
的加速度和绳子的张力 T1、T2。
解：设系统的加速度为a，则

m1 g T1 m1a
m2
T2
T2 m2a (T1 T2 )R J 1 MR 2 a R
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 14
例 匀质细杆：m、l，固定于光滑水平轴，可在竖直平
面内转动。最初棒水平静止。求下摆过程中 ω 。
解: 棒的重力矩 = 重力作用于重心所产生的力矩
1 M mgl cos 2
)
l 2
m、l C
d M J 1 ml d d dt 3
轮上( R、 M ) 若干圈，一端挂一 物体(m) ，从静止下 落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 J 。
M ,R
2g a 4 M / m

(2 M / m) T1 mg 4 M / m 2mg T2 (解毕) 4 M / m
m
h
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
2
3g d cos d 2l

mg
3g d 2l cos d 0 0

3g sin l
(解毕)
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 15
1. 作用在刚体上的力矩：
M z ri Fi
i 1 n
( 对轴力矩 )
2. 转动定律： M z J 3g d cos d 2l

3g d 2l cos d 0 0

3g sin l
(解毕)
§4. 3 力矩 转动定律
P. 13
课堂练习 测轮子的转动惯量：用一根轻绳缠绕在定滑
轮上( R、 M ) 若干圈，一端挂一 物体(m) ，从静止下 落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 J 。 提示 对定滑轮有： J TR
M ,R
而 a R
h 1 at 2 2
m
h
答案：
mR 2 ( gt 2 2h ) J 2h
dM阻 dmgx (方向?)
o
m dm x dx
x
∵内力成对出现 ∴ 合内力矩之和：
i,j(i j)
M
ij
0
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 4 /
例 一匀质细杆，长为 l 质量为m ，在摩擦系数为 的
水平桌面上转动，求摩擦力矩M 。
x
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 5 /
二、转动定律
F合 Fi fi mi ai
在切向: F 合 Fi fi mi ai
fi

Fi
rmr ( r F r f ) m a
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 1 /
§4.3 力矩
转动定律
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 2 /
一、作用在刚体上的力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力F作
用在刚体上点 P , 且在转动平面 内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .
0 t 0 0
0
t0
3. M z、J、 皆对同一轴而言。 刚体的转动定律。4. 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 还需考
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 9 /
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。 解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 M z J 可
i
i i
i i
i
i
2 i i i i
o ri
f i
mi

Fi
1 M阻 dM阻 gxdx gl 2 0 2 1 而 m l ， 所以 M 阻 mgl (解毕) 2
l
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
r
F
对转轴 Z 的力矩
大小：
: 力臂
方向：右手螺旋法则
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 3 /
例 一匀质细杆，长为 l 质量为m ，在摩擦系数为 的
水平桌面上转动，求摩擦力矩M 。
解：建立坐标系如图。 取元dm，则 m dm dx ( ) l 质元受阻力矩为：
知，细杆作匀变速转动：
m, l
0 t
0 t 0 0
0
t0
1 2 而 J ml 3

ml 2 M阻 J 3t 0 0
(解毕)
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 10
例 已知： m1=m2=m，M，R，光滑桌面，求：m1 下落
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 8 /
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。 解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 M z J 可
知，细杆作匀变速转动：
m, l
0 t
的加速度和绳子的张力 T1、T2。
解：设系统的加速度为a，则
m1 g T1 m1a
m2
T2
T2 m2a (T1 T2 )R J 1 MR 2
2
T2 M , R T1 T1
m1
a
1 2 而 J ml 3

ml 2 M阻 J 3t 0 0
(解毕)
m1 g
2
T2 M , R T1 T1
m1
a
2g a 4 M / m

(2 M / m) T1 mg 4 M / m 2mg T2 (解毕) 4 M / m
m1 g
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
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课堂练习 测轮子的转动惯量：用一根轻绳缠绕在定滑
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二、转动定律
( 转动定律 )
M z J
F ma
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
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1. M z J 反映了力矩 M z与角加速度 间的瞬时关系。
2. 矢量关系（但在定轴转动中力矩只有两个方向）。
3. M z、J、 皆对同一轴而言。 4. 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 还需考 虑刚体的转动定律。