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直角三角形与斜三角形的应用题解题方法直角三角形和斜三角形是在几何学中常见的两种三角形形态。
它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍直角三角形和斜三角形的应用题解题方法，并给出几个实例来加深理解。
一、直角三角形的应用题解题方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
以下是一些常见的直角三角形应用题解题方法：1. 利用正弦、余弦和正切函数三角函数是解决直角三角形问题的关键工具。
可以利用正弦、余弦和正切函数来计算三角形的各边长和角度。
例如，若已知一个直角三角形的两条边长，可以使用正弦函数来计算夹角的度数。
同样地，可以使用余弦函数或正切函数来计算其他未知数。
2. 使用勾股定理勾股定理是解决直角三角形边长关系的基本原理。
根据勾股定理，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
在解题时，如果已知两个边长，可以通过勾股定理计算第三边的长度；反之，如果已知斜边和一个直角边的长度，可以通过勾股定理求解未知的直角边长。
3. 利用特殊直角三角形的性质特殊直角三角形如45° - 45° - 90°和30° - 60° - 90°三角形有一些独特的性质，可以方便地解决与它们相关的问题。
例如，在一个45° - 45° - 90°三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。
如果已知一个角度为45°的直角三角形的某条边长，可以轻松地求解其他未知边长。
二、斜三角形的应用题解题方法斜三角形是指没有直角的三角形。
由于缺少直角特性，应用题解题方法与直角三角形有所不同。
以下是一些常见的斜三角形应用题解题方法：1. 使用正弦、余弦和正切函数与直角三角形类似，正弦、余弦和正切函数在解决斜三角形问题中也起到关键作用。
可以使用这些函数计算三角形的边长和角度。
需要注意的是，由于斜三角形没有固定的90°角，所以需要根据已知信息选择合适的三角函数。
高一平面向量7（解斜三角形应用举例）
1、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已到达的高度，李明在学校操场的某一直线上选择A 、B 、C 三点，60==BC AB 米，且在A 、B 、C 三点观察塔的最高点，测得仰角分别为45°，54.2°，60°．已知李明身高1.5米，试问建造中的电视塔已到达的高度（结果保留一位小数）．
2．在一个很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小
船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为 2.5km/h ．同时岸
上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度
为 4km/h ，在水中游的速度为 2km/h ．问此人能否追上小船？
若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
3．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50米．求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ．
4、某部队行军中遇到一条河，河的两岸平行．现有米尺和︒60、︒45测角仪．如何才能测量计算出河宽？
5．如图，某城市有一条公路从正西方OA 能过市中心O 后转向东北方OB L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段现要求市中心O 与AB 的距离为10公里，问把B A 、分别设在公路上距中心O 多远处才能使AB 最短，并求其最短距离（不要求作近似计
算） B
O A 45︒15︒A
B
D E C。
解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。
2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。
3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。
4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。
5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。
7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。
8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。
16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
斜三角形是数学当中一个重要的概念，也是数学应用中最重要的基本形式之一，有着重要的实际意义。
斜三角形的求解是数学中的一个重要问题，可以按其力学性质分为内角和外角的求解，也可以根据对斜边的不同求解包括斜边长、角度、面积等。
首先，根据对斜边的求解，我们可以分为两种情况：斜边长的求解和角度的求解。
斜边长的求解可以利用直角三角形的勾股定理（三角形两条直角边的平方和等于最后一边的平方），利用已知两条直角边及夹角角度，可以求得斜边长。
角度的求解可以利用余弦定理（三角形两边夹角的余弦值等于其对边除以斜边），利用已知两条直角边及夹角的余弦值，可以求得夹角角度。
其次，我们还可以针对斜边面积的求解。
斜三角形的面积的求解，利用的是斜
三角形面积公式，利用已知三条边可以计算出其面积大小。
最后，还有内角和外角的求解。
内角的求解可以利用三角形内角和定理（所有
三角形内角的总和等于180度），利用已知三个角的大小可以求得其剩余角的大小。
而外角的求解，利用的是外角伸展公式（被伸展的角度和正角的和等于与正閉路），利用已知的外角只需求出全部正角的和，就可以求出剩余的正角的大小。
总的来说，斜三角形的求解可以分为斜边长、角度、面积、内角和外角的求解，求解方法也有不同，但是利用三角形的勾股定理、余弦定理、内角和定理以及外角伸展公式都可以解决我们的实际问题。
第五章平面向量课题：解斜三角形应用举例（一）教学目标：1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题；2.了解常用的测量相关术语教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。
教学过程：Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。
求A、B两点的51，∠ACB=︒距离(精确到0.1m)启发提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB边。
