理想流体有旋无旋流动共79页文档

理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动7-1 试证明极坐标中的不可压缩流体平面流动的旋转角速度为)1(21θωθθ∂∂-+∂∂=r z v r r v r v7-2 已知流场的速度分布为（1）yxy v y x x v y x 22,422--=-+=； （2）y x v x z v z x v z y x +=+=+=,,；（3）0,/=-=θv r k v r ；（4）θθθθ2sin 2,cos sin 2r v r v r -== 试确定：（1）流动是否连续；（2）流动是否有旋。

[连续，有旋；连续，无旋；连续，无旋；连续，有旋]7-3 不可压缩流体平面势流的流函数为1032+-+=y x xy ψ，试求其速度势。

[y x y x 232/)(22---=ϕ] 7-4 不可压缩流体平面势流的速度势为 x y x +-=22ϕ，试求其流函数。

[y xy +=2ψ] 7-5 已知有旋流动的速度场为,32,32,32y x v x z v z y v z y x +=+=+= 试求旋转角速度、角变形速度和涡线方程。

[z y x z y x z y x =========;2/5;3,2/12/1γγγωωωω]7-6 已知流场的速度分布为（1）x v x =， y v y -=；（2）x y x v x +-=22， )2(y xy v y +-=；（3）θcos )/11(2r v r -=，θθsin )/11(2r v +-= 试确定：（1）流动是否有势；（2）它们的速度势和流函数。

[有势，2/)(22y x -=ϕ，xy =ψ；有势，223)2/1(2/3/y x x x +-+=ϕ，y x x y )(3/23++-=ψ；有势，θϕcos )/11(2r r +=，θψsin )/11(2r r -=] 7-7 已知流场的流函数为（1）xy =ψ；（2）22y x -=ψ试确定：（1）二流场是否有势，若有势，求出速度势；（2）通过点)3,2(A 和点)7,4(B 的任意曲线的流量和沿该线的切向速度线积分。

v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
Y方向速度： vy
Z方向速度：
vx
vx
vx dt
y
v x dx v x dy x 2 y 2
vz
vx
v x dx vx dy v x dz x 2 y 2 z 2
vx vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx vx dx vx dy vx dz x 2 y 2 z 2
E
vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx
v y dx v y dy x 2 y 2
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
Y方向速度：
y
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
vx
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
(
(
y
v y dy dy )(v y )dzdx y 2 y 2
z轴方向流体的净流入量：
( v z dz v z dz )dxdy ( v z )dxdydz z z z
o
z
x
每秒流入微元六面体的净流体质量
x轴方向流体的净流入量：
( v x dx v x dx )dydz ( v x )dxdydz x x x
dz v dz )( v z z )dxdy z 2 z 2

2rb
涡束内部的速度分布为:
vr 0
p
v v r
(r rb ) （8-28）
1 2 ( x 2 y 2 ) C 2 1 2 r 2 C 2 1 2 v C 2
r 在与环流区交界处， rb , p pb , v vb rb ，代入上式，得积分 2 2 C pb vb p vb 常数：
2 0
r
外围区的流动
流速分布
r0 u u0 r
y y x x u x u r0u0 2 , u y u r0u0 2 r r r r
u y
y Γ0
C
u x 外围区是无旋流动 z 0 x y
绕任一 r r0 的圆周（任意 包住 r r0 的封闭曲线也可） 的速度环量都等于Γ0
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
vds
第六节 速度环量 斯托克斯定理
代入，得：
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即 封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围 面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋 系统。
第六节 速度环量 斯托克斯定理
等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，
自由面是旋转抛物面，如图。
（２） 自由涡旋
简称自由涡，其流线也是同心圆。但
速度变化关系式为： 即与半径成反比。 。（C为常数），
虽然流线是圆，但它是无旋运动，流
体微团并未旋转。 根据伯努利定理，沿流线，在自由涡
中，各条流线H均相等。所以流场中的压
力分布关系式为： 因而在自由涡中，当我们向中心移动
2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）： 正压性的理想流体在有势的质量力作 用下，涡管永远保持为由相同流体质点组 成的涡管。

亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz

第三节 理想流体的旋涡运动
本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环 量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
2 V 也称为旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：
有旋流动和无旋流动。
当


1

V

0
2
无旋流动
当


1

V

0
2
有旋流动
通常以
V
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的
判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V


vz y

v y z
i


vx z
Байду номын сангаас
w x
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（4）旋转运动 dα dβ 且符号相反
则流体微团只发生旋转，不发生角变形 大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还 要发生旋转运动。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
旋转角速度： dα v dt
还是无旋流动。
【解】：由于
x

1 2

vz y

v y z
0
y

1 vx 2 z
x

vz
x

0
z

1 2

v y x

角变形速度的平均值
y
x
z
1
2
v y x
v x y
x
1 2
vz y
v y z
y
1 2
v x z
vz x
过程装备与控制工程教研室
26
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
旋转运动
vx y t y
y
x
vy x t x
流体微团只发生角变形
流体微团只发生旋转，不发生角变形
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
x
v x y
y
vDx
v Ax
v x y
y
vBy
vAy
v y x
x
vCx
vBx
v x y
y
vCy
vDy
v y x
x
α tan α vy x t x vy t
x
x
β tan β vx y t y vx t
y
y
β
v y x
v x y
t
y
vy vx x
vy
v y x
x
vx
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
过程装备与控制工程教研室
1
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且 在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。
要研究此类问题，就要用多维流动的分析方法。
本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似 的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的 基础。
vz x
z
vMy

D DV dl ( P ) dl d ( P ) 0 l l Dt l Dt D 0 ——凯尔文定理，汤姆逊定理 Dt
V dl ndA 0
l A
D 0 由开尔文定理： Dt
得到任意点 0, t
理想流体运动的基本性质
1.理想流体运动的控制方程； 2.理想正压流体有势流动的的性质——Kelvin定理； 3.柯西-拉格朗日积分应用——一维非定常流动；
第四章 理想流体动力学 4.1 理想流体运动的基本方程和初、边值条件
4.1.1 欧拉方程——理想流体运动的控制方程
理想流体: 连续方程 运动方程 能量方程
理想正压流体在势力场中运动时，组成涡线的质点永远组成涡线。 （2）涡管强度保持性定理（也称 Helmholtz 第二定理） 涡面保持性定理：理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡 面的流体质点永远组成此涡面。 涡线保持性定理：理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡 线的流体质点永远组成此涡线。 涡管强度保持性定理（也称 Helmholtz 第二定理）：理想、正压 流体在势力场中运动时，组成涡管的流体质点永远组成此涡 管，并且涡管的强度不随时间变化。 涡管表面是涡面，涡面具有保持性，因此，涡管有保持性。
p ij p ij
( V ) 0 t
V 1 V V f p t
不变!
理想流体简单运动的求解
4.理想不可压无旋流动流场求解思路——速度场（控制 方程及定解条件）、压力场（柯西-拉格朗日）； 5.理想不可压无旋流动特定流场求解——均匀流、点 源、偶极子、圆球绕流；
P V p ij ei e j Vk ek pV i ei pV

' '
y x
t
同理，在δt时间内，D较点A纵向多移动
x t 线段 A D 逆时针旋转了 y
' '
x y t x
角变形速度（剪切变形速度）： 单位时间内直角的变化量
直角的变化量：

角变形速度：
x y 2 z / t y x
1 z 1 z z z 2 x 2 x
z
x 1 y x x x x 2 x y 1 y x 2 x y
1 y x z 2 z x
同理
1 y x z z 2 z x 1 1 My y y y z y z y x x y 2 y x 2 z z y 1 1 x z y x x 2 y x 2 z z z 1 x z 1 y z Mz z z y x z 2 z x 2 z y
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
1 y x z z / t 2 x y
有旋流动、无旋流动：流体微团的旋转角速度 是否为零。
x y z 0
z y y z
z x x z
x x x x y z x 2 x 2
z
x z y
z z z z x y z 2 z 2
y
z z z z x y z 2 z 2

vx vy vz 0
x
y
z
vx vy vz 0 x y z
vx vy 0
x
y
vx vy 0 x y
第二节 流体微团运动分解
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变
形。 因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样
可以移动和转动，而且还会发生变形运动。 所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移
动、转动和变形运动三部分。
vMx
vx
vx x
x
vx y
y
vx z
z
vMy
vy
vy x
x
vy y
y
vy z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
图8-2 平行六面体微小流体质团
vMx
vx
vx x
x
1 2
v y x
vx y
y
1 vx 2 z
vz x
z
1 vx 2 z
vz x
z
1 2
v y x
vx
vx x
δ
x δ t
vx
δt
vx x
δ
x
δt
v y
vy y
δ
y t
vy
δt
vy x
δ
y
δt
vx x
δ xδt
vx
δ x δt x
vy y
δ
yδt
vy
δ y δ t y
vMx
vx
vx x
x
zy yz
yz zy

21 2 2 0 x 2 y 2 2 2 2 2 0 x 2 y 2
则 1 2 也满足拉普拉斯方程，即有
2 2 0 x 2 y 2
同理，对于无旋运动的流函数也有这一特性，两个流函数叠加后可构成新的流函数。 这一结论推广的有限个势函数或流函数的叠加仍然成立。 3、 流函数与势函数满足科希-黎曼关系式 由（6-31）和（6-33）可知，势函数与流函数满足关系式
x y x y
此式称为科希-黎曼关系式。 4、 等流函数线与等势线正交 对于等流函数线，有 C ，即有
（6-35）
d
dx dy 0 x y
在等流函数线上一点 ( x, y ) 处曲线切线的斜率为
（6-53）

q q ( A B ) P 2 2
（6-54）
注： 设 常数 ， 得到流线方程为 如图 6-13 所示。
这是一个经过点 A 和点 B 的圆线簇， P 常数 ，
y
等流函数线
☉ A
☉
B
x
图 6-13
点源与点汇的叠加流线
如果点源和点汇无限接近，即令 a 0 ，可得到一个无旋流动，称为偶极流。偶极流 的流函数与势函数的推导如下。 点源与点汇叠加后的势函数为
即流动一定是无旋的。 对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函 数，记作 ，定义如下
v x u y
这样的函数是天然满足连续性方程的，即有
（6-32）
u v 2 2 0 x y xy xy
流函数与势函数有如下基本特性。 1、 对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数 若流场是有势的，即（6-31）式成立，则由连续性方程，有

对于不可压缩流体， const 对于密度仅是压强的函数的流体 ( p)
方程组的定解条件 定解条件 1.初始条件
初始条件 边界条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
定常流动不需要给定初始条件。
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
数学条件：
当


1

V

0
当


2
1

V

0
2
在笛卡儿坐标系中：
无旋流动 有旋流动
V


vz y

v y z
i


vx z

vz x

j


v y x
vx y
k
即当流场速度同时满足：
vz v y y z

vx x
dx 2
[ 1 ( vx 2 y

vy ) dy x 2

1 ( vx 2 z

vz ) dz ] x 2
移动 线变形运动
角变形运动
[ 1 (vx vy ) dy 1 ( vx vz ) dz ] 2 y x 2 2 z x 2
旋转运动
H
dz
A
dx
E
将加速度的表达式代入
fx

1

p x

v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z

fy

1

p y

v y t

图 4－4
微团线变形运动分析
流体微团的线变形速度是用直线距离上单位时间内单位长度的伸长量(或缩短量)来表示 的。线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用 εx、εy、εz 表示。如图 4－4 所示，在流场中任 取一流体微团，形心点为 O，OA 平行于 x 轴，长度为 dx，OB 平行于 y 轴，长度为 dy，OC 平行于 z 轴(垂直于纸面)，长度为 dz。形心 O 点处流体质点的速度 u 在各坐标轴上的分量为 ux、uy、uz。A 点的 x 向分速度和 B 点的 y 向分速度及 C 点的 z 向分速度可按泰勒级数展开 并略去高阶无穷小量得到，它们分别为 u x +
向的伸长量(或缩短量)为 量为
∂u z d z dτ 。 则在 x 轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长 ∂z
∂u x d x dτ ∂u ∂x εx = = x d x dτ ∂x
在 y 轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为
d y dτ ∂u y ∂y εy = = d y dτ ∂y
PDF pdfFactory Pro

ux 和 uy。A 点在 y 轴方向的分速度和 B 点在 x 轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高 阶无穷小量而得到，它们分别为 u y +
∂ uy ∂x
d x 和 ux +
∂ ux d y ，相对于 O 点而言，A 点在 y ∂y
(a)有旋流动 图 4－3
(b)无旋流动 流体微团的运动轨迹
对于圆柱坐标系来说
r r r r u = u r ir + u θ iθ + u z iz
因此，用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算 公式，即