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工程流体力学 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 PPT课件

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流体力学第7章不可压缩流体动力学基础.ppt

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0 , 0 , 0 x y z
式成立，一定存在一个势函数 无旋流又称为势流。


x y z

u u u
x
y
，所以，
z
三、有旋流（有涡流） 从几何意义上描述，有涡线、涡束、涡管等概念。 这些概念与流线雷同。 表征涡流的强弱，有涡通量（漩涡强度）、速度环 量。 （一）涡线 定义，某一瞬时，在涡（流）场中，有一
称为有旋（涡）流动，反之，为无旋（涡）流动。 数学表达， 有旋流
u x u z
y
u y
z


u z u x u y
y
x
z
x
无旋流
0 , 0 , 0 x y z
二、无旋流（无涡流）
0 , 0 , 0 x y z
有分析数学可知 数
u u u
x y z

函数

式成立，流场中一定存在一个函
u x u y y x
x y z

u u u
x
y
z
称为流速势函数。
流速势函数的二阶偏导，即流速的偏导
u y
x y x
u
y
z u z ) x u x ) y
)

0 0 0
式中，①项——平移速度分量； ③、④项——旋转运动所引起的速度分量； ②、⑤、⑥项——角变形、线变形所引起的 速度分量。 亥姆霍兹速度分解定理
第二节
一、定义
有旋流动与无旋流动
物理特征：流体微团（质点）绕自身轴旋转，
流体力学第七章课件

流体力学第七章课件


,

y
u y
(2)在固壁上流体不能渗入亦不能脱离，故有
u n 0 即 0
n
这种边界条件下求解拉普拉斯方程的边值问题称为诺埃
曼(Neumen)问题，又叫第二类边值问题。
对于非定常流动，还需利用初始条件。
6
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
二、速度势与速度环量的关系
对于无旋势流，有
充要条件，我们把函数(x, y, z,t)称为速度势。这
里t为参变数。必有
d uxdx u ydy uz dz
1
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
由此说明了无旋必有势，反之可证有势必无旋。
又
d dx dy dz
x
y
z
故
ux


x
,
uy


2 21 22 2n 0
同理，对于不可压缩平面流动，若有
1 2 n
因为平面无旋势流满足 21 2 2 0
所以 2 21 2 2 2 n 0
18
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
x
y
0
故是无旋流。
(2)

ux x 2ay
积分 于是
2axy f y
uy


y

y

2axy

f
y
2ax

f y
y
15
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
故
2ax f y 2ax
y
f y df y 0
(1)流动是无旋还是有旋？
理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动共120页

理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动共120页


END
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
理想不可压缩流体的平面势流和旋涡 运动
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天高Βιβλιοθήκη 风景澈。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
有旋流动和无旋流动

有旋流动和无旋流动

转换条件的满足
分析流体的速度场、流体性质和边界条件是否满 足有旋流动和无旋流动的转换条件。
转换过程的实现
通过改变流体的某些参数，如速度、压力、温度 等，促使有旋流动和无旋流动之间的转换。
转换的影响因素
能量损失
有旋流动和无旋流动之间的转换 会导致能量损失，包括摩擦损失
和能量转换损失。
流动稳定性
转换过程可能会影响流体的稳定性， 导致流体的状态发生波动或失稳。
产生条件
恒定流
在恒定流场中，流线是平行且均匀的，因此不会产生旋涡。
势流
在势流中，流体受到的力与流速的大小和方向无关，因此不会产生旋涡。
实例分析
河流中的平直河段
在平直河段中，水流是平顺的，没有旋涡产生。
飞机在空中飞行时，机翼下方的气流
由于机翼的形状和气流的速度，机翼下方的气流会形成无旋流动。
04
有旋流动和无旋流动的研究对 于理解流体运动规律、优化流 体机械设计、提高流体输送效 率等方面具有重要意义。
对未来的展望
未来研究可以进一步深入探索有旋流动和无旋流 动的内在机制和演化规律，以及它们在不同条件 下的表现和相互作用。
在实际应用方面，可以结合具体工程背景，研究 有旋流动和无旋流动在流体机械、能源利用、环 境保护等领域中的应用，提出更加高效、环保的 解决方案。
有旋流动与无旋流动的转换
转换条件
速度场条件
有旋流动和无旋流动的转换取决于速 度场的条件，包括速度的大小和方向。
流体性质
边界条件
流体的边界条件，如管道的形状、入 口和出口条件等，也会影响有旋流动 和无旋流动的转换。
流体的粘性、密度、弹性等物理性质 对转换过程也有重要影响。
转换过程
工程流体力学 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 PPT课件

工程流体力学 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 PPT课件


第四节 理想流体运动微分方程式欧拉积分
和伯努里积分
一、运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。
在流场中取一平行六面体，如图7－6所示。其边长分别为
dx，dy，dz，中心点为A(x,y,z) 。中心点的压强为p=p(x,y,z)， 密度为ρ=ρ(x,y,z) 。因为研究的对
含有 v x 、v y项，如果只考虑这两项，则经过时间dt，矩形 ABCD向右移动 v x dt 的距离，向上移动 v y dt 的距离。移动到 新位置后，形状保持不变，如图7-4 (a)所示。
（2）线变形运动：如果只考虑AB边和CD边在x轴方向上的
速度差 2 v x dx ，则经过时间dt，AD边和BC边在x轴方向上伸
（a）
（b）
图7-5 流体微团运动轨迹
【例7-2】 某一流动速度场为 vx ay，vy vz 0，其中
x a是不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是
有旋流动还是无旋流动。
【解】 由于
x
12vyz
vy z
0
x
y
1vx 2z
vz 0 x
z 1 2vxy vyx1 2a0
所以该流动是有旋运动。
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：
tCVd V tCVd xdy d tdzxdydz（d）
将式（c），（d）代入式（7-1），取 dxdydz→0，
则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为:
xvx yvy zvz t0
（7-1）
或
(v) 0
t
（7-1a）
z
1 2
v y x
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程

第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程

亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动

第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动


第三节 理想流体的旋涡运动
本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环 量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
2 V 也称为旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：
有旋流动和无旋流动。
当


1

V

0
2
无旋流动
当


1

V

0
2
有旋流动
通常以
V
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的
判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V


vz y

v y z
i


vx z
Байду номын сангаас
w x
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（4）旋转运动 dα dβ 且符号相反
则流体微团只发生旋转，不发生角变形 大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还 要发生旋转运动。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
旋转角速度： dα v dt
还是无旋流动。
【解】：由于
x

1 2

vz y

v y z
0
y

1 vx 2 z
x

vz
x

0
z

1 2

v y x
有旋流动和无旋流动.ppt

有旋流动和无旋流动.ppt

dΓ 0 dt
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体， 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自 行产生、也是不能自行消灭的。
❖ 正压流体
❖
内部任一点的压力只是密度的函数的流体。
❖ 斜压流体
❖
若流体压力不仅是密度的函数，而且还和其他热力学参量（例
如温度等）有关，则称为斜压流体。
❖
广义地说，正压流体是其力学特性与热学特性无关的流体。
第5章_有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方 向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上 也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的 分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本 规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，
也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就 能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形 成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋 涡肉眼却是观察不到的。
至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度 不同的大小旋涡。
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但 无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因 此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。
v
y
d dt
(dy) vz
d dt
(dz)]
[vxdvx vydvy vzdvz ]
d ( vx2 vy2 vz2 ) d ( v2 )
2
2
由理想流体的欧拉运动微分方程，等号右端第二项积分式可表
示为:
( dvx dx dvy dy dvz dz)
dt
dt
dt
[(
fx
1
p )dx ( x
不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动—工程流体力学

不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动—工程流体力学


29.05.2020
工程流体力学
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但 无旋流动比有旋流动在数学处理上简单 得多，因 此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对 工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的 流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运 动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实 践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述 有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二
29.05.2020
工程流体力学
一、表示流体微团运动特征的速度表达式
在运动流体中，在时刻t 任取一正交六面体流体微团，其边长分别为 dx 、d y 、dz ，
如图 4-1 所示。当选取该流体微团上的 F(x ，y ， z )点为参考点时，则该点的速度分
量分别为u (x ， y ，z )、v(x ， y ，z )、w (x ，y ，z )，其他各点的速度均可利用泰勒级
维平面势流理论。
29.05.2020
工程流体力学
第一节 流体微团运动分析
刚体的一般运动可以分解为移动和转动 两部分。流体与刚体的主要不同在于它具 有流 动性，极易变形。因此，任一流体微 团在运动过程中不但与刚体一样可以移动 和转动，而且还会发生变形运动。所以， 在一般情况下流体微团的运动可以分解为 移动、转动和变形运动三部分。
v c v y v d 1 2 y x v u y d x 1 2 v z w y d z 1 2 x v u y d x 1 2 w y v z d z
w c w w z d z 1 2 w x u z d x 1 2 w y v z d y 1 2 w y v z d z 1 2 u z w x d x
各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的 速度不同，经过时间 ，d t势必发生不同的运动， 微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。
第七章 理想不可压缩流体无旋运动PPT课件

第七章 理想不可压缩流体无旋运动PPT课件

液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
工程流体力学 第七章 不可压缩粘性流体的外部流动ppt课件

工程流体力学 第七章 不可压缩粘性流体的外部流动ppt课件


壁面BD作用在流体上的切 BD F 0dx 向应力的合力为: ∴单位时间内作用在该控制体上沿X方向的总冲量 1 p p p ( p dx ) d ( p dx )( d ) dx 0
2 x x p dx dx 0 x
解得：
2 V 2 V V a , a , a 1 3 4 3 4
) 2 . ( 由牛顿内摩擦定律
3 4 y y y u ( y ) V 2 2
3 4 y y y
(c
367 2 u dy V 2 2 dy V 0 0 630
2
2 y y y
3
42
(d
代入边界层动量积分关系式(a), 得:

K K K K CD AB AC
2 dx udy V udy 0 0 x x
二. X向冲量
AB, CD和AC诸面上的总压力沿X方向的分量为: PAB p
PCD PAC p (p dx)( d ) x 1 p (p dx)d 2 x
2 . 总摩擦阻力 (宽度为 b, 长度为 l )
3 . 摩擦阻力系数
C f
C .074 Re 由实验测量, Cf的系数为0.074, 修正： f 0
该公式的适用范围： 5×105≤ Rel≤ 107
0 .072 Re 1 2 V bl 2
F D
1 5 l
1 5 l
四 . 其它Re下的Cf
B . C . x 0 , 0 ,c 0

第七章__有旋流动和无旋流动_10~15


叶栅的库塔-儒可夫斯基公式
叶栅的库塔-儒可夫斯基公式
Fx vx
Fy vy
F Fx2 Fy2 v tg Fx vx
Fy vy
理想不可压缩流体绕过叶栅作定常无旋流动时，
流体作用于叶栅中每个叶型上合力的大小等于密度、 来流速度、和速度环量三者的乘积，合力的方向为 几何平均速度矢量沿反速度环流的方向旋转90o。
简单不可压缩平面无旋流动的叠加
简单不可压缩平面无旋流动的叠加
无旋流动的特性: 几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。
证明: 已知几个简单无旋流动 1,2,3...
叠加得: 1 2 3 ... 2 21 22 23 ... 2 (1 2 3 ...) 0
叠加后速度势函数满足拉普拉斯方程，
平行流绕圆柱体的无环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
流动描述：
一个速度为V的均匀平行来流，对半径r0的无限长圆 柱体作横向绕流，该流动可认为是由平行流和偶极流叠 加而成。
y
o
x
y
o x
平行流绕圆柱体的无环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
势函数和流函数的确定：
平行流的势函数和流函数 Vx
r02 r2
)r sin
2
ln
r
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
驻点位置
y
O
A
B
x
sin 4r0v
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
流线图
y
O
A
B
x
4r0v
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加

流体力学课件不可压缩流体


称为曲线 s上的速度环量。并规定积分沿s逆时针方向绕 行为 s 的正方向。
12
1.斯托克斯定理
式中，s为流场中任意封闭曲线；A是曲线s所围成的曲面；； 是曲面A的外法线单位向量。 上式称为斯托克斯定理。定理给出了速度环量和涡通量之间 的关系：沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲线为边 界的曲面A的涡通量。即
7
第7章 不可压缩流体动力学 涡量是空间坐标和时间的矢性函数：所以，它也构 成一个向量场，称为涡量场。 涡量连续性方程为：
8
第7章 不可压缩流体动力学
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度 向量方向的曲线，称为涡线。在给定的瞬时，涡线上各点的 角速度向量在该点处与涡线相切。沿涡线取一微小线段ds， 由于涡线与角速度向量的方向一致，所以，ds沿三个坐标轴 方向的分量dx、dy、dz必然和角速度向量的三个分量ωx、 ωy 、ωz 成正比，即
11
第7章 不可压缩流体动力学
对于有旋流动，其流动空间既是速度场，又是涡量场。涡量 场中的涡线，涡管，涡通量等概念分别与流速场中的流线， 流管，流量等概念相对应，而涡线方程和涡管的涡通量方程 则分别与流线方程和元流连续性方程相对应。 通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算的。在流场中 任取一封闭曲线s，则流速沿曲线s的积分
u x dx dt u x x exx dx dt x
2
第7章 不可压缩流体动力学 则流体微团的线变形速度为
3
类似的研究分析，可以得到流体微团旋转角速度分量为：
因而角速度矢量为： 角速度大小为： 角速度矢量的为沿微团的旋转方向按右手定则确定。
4
第7章 不可压缩流体动力学 类似的研究分析，可以得到流体微团角变形速度为：
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为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动，如图7-3。该平
面经过微元平行六面体的中心点且平行于xoy面。由于流体微团
各个点的速度不一样，在dt时间间隔中经过移动、转动和变形
运动（包括角变形运动和线变形运动），流体微团的位置和形
状都发生了变化。具体分析如下：
vy
vy x
dx vy 2 y
dy 2
vy
vy x
工程流体力学
第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
设该微元六面体中心点O（x, y, z）上流体质点的速度为 、v x v、y v，z
密度为，于是和 x轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。
在 x方向上，单位时间通过EFGH面流入的流体质量为：
vx xvxd2xdydz
单位时间通过ABCD面流出的流体质量 ：
dx
2
dt
vy
dt
dx x
2
变形角速度为：
d
vy x
dt
vy
dt dt x
vx dydt
d
tgd
y 2 dy
vx dt y
2
vx dt d y vx dt dt y
❖ 上面只考虑了角变形运动，实际上流体微团在运动中变形 和旋转是同时完成的。设流体微团旋转角度为d ，变形角度 为d ，如图7-4(d)所示
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：
tCVd V tCVd xdy d tdzxdydz（d）
将式（c），（d）代入式（7-1），取 dxdydz→0，
则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为:
xvx yvy zvz t0
（7-1）
或
(v) 0
t
（7-1a）
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控制
体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流
动。
在定常流动中，由于 0
t
xvx yvy zvz0
对于不可压缩流体（ =常数）
（7-2）
vx vy vz 0 x y z
（7-3）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或
v 0
（7-3a）
在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 ：
（a）
vx xvxd2xdydz （b）
则在 x方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即
x
vx
dx
dydz
（c1）
z 同理可得 y和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为:
y
vy
dxdydz
z
vz
dx
dydz
因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为:
（c2） （c3）
C SvndA xvx yvy zvz dxdy（d c）z
x 2
长了 2 vx dx dt的距离；如果只考虑AD边和BC边在y轴方向上
x
的速度差
2 2
v
y
dy
，则经过时间dt，根据连续性条件，AB边和
y 2
CD边在y轴方向上缩短了2
v
y
dy
dt 的距离，这就是流体微团的
y 2
线变形，如图7-4(b)。每秒钟单位长度的伸长或缩短量称为线
应变速度，在x轴方向的线应变速度分量为：
vxEvxx d2xvyx d2yvzx d2z
vyEvxy d2xvyy d2yvzy
dz 2
vzEvxz d2xvyz d2yvzz d2z
图7-2 流体微团运动速度分量
如图7-2所示，在流场中任取一微元平行六面体，其边长分
别为 dx、dy、dz，微元体中心点沿三个坐标轴的速度分量
为v x 、v y 、v z 。顶点E的速度分量可按照泰勒级数展开，略去二阶 以上无穷小项求得，如图。
将已知条件代入上式，有
vz 4x4y z
4x4yvz 0 z
v z 4 (x y )z f(x ,y )
又由已知条件对任何 x，y，当z 0时，vz 0 。故有
f(x,y)0
vz 4(xy)z
第二节 流体微团的运动分析
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此， 流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而 且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解 为移动，转动和变形运动。
t 1 r r(rv r) 1 r (v ) z(v z) 0 (7-4)
对于不可压缩流体
vrr 1 r v vzz
vr r
0
(7-4a)
式中 r为极径； 为极角。
球坐标系中的表示式为:
tr 1 2 ( v r rr2)rs1in (v si)n rs1in
(v
)
0
v r r1 r v rs1in v 2 r vrv c r o t0
dx vy 2 y
dy 2
vx
vx x
dx vx 2 y
dy 2
vy
vy x
dx vy 2 y
dy 2
vx
vx x
dx vx 2 y
dy 2
vx
vx x
dx vx 2 y
dy 2
vy
vy x
dx vy 2 y
dy 2
vx
vx x
dx vx 2 y
dy 2
图7-3 流体微团的平面运动
（1）移动 ：由图7-3看出，A、B、C、D各点速度分量中都
2vxdd x t2dd xtvx
同样可得在y轴方向和xz轴2方向的2分量分x别为
v y y
、 v z
z
。
图7-4 流体微团平面运动的分析
（3）角变形运动和旋转运动：如图7-4（c）、（d）所示，
取图7-3中的 来1分4 析。如果只考虑B′点和A″在y轴方向上
的速度差 ，v y 则dx 经过时间dt，B′点运动到B″点，运动距
离为 ，vy使dxAdt″x B2 ′边产生了角变形运动，变形角度为 ；
x 2
如果d只考虑D′点和A″点在x轴方向上的速度差
，则经vyx 过d2y 时
间dt，D′点运动到D″点，运动距离为 ,使A″D′vx 边dy d产t 生
y 2
了角变形运动，变形角度为 。变形角可按下d列公式求得。
d tgd
vy x
含有 v x 、v y项，如果只考虑这两项，则经过时间dt，矩形 ABCD向右移动 v x dt 的距离，向上移动 v y dt 的距离。移动到 新位置后，形状保持不变，如图7-4 (a)所示。
（2）线变形运动：如果只考虑AB边和CD边在x轴方向上的
速度差 2 v x dx ，则经过时间dt，AD边和BC边在x轴方向上伸
(7-5) （7-5a）
式中 r为径矩； 为纬度；为径度。
【例7-1】 已知不可压缩流体运动速度v 在 x，y两个轴方向的分量
为 vx 2x2 y，vy 2y2 z 。且在 z 0处，有 vz 0。试求 z轴方向 的速度分量v z 。
【解】对不可压缩流体连续性方程为： vx vy vz 0 x y z