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08章b 理想流体的有旋和无旋流动

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第八章 理想流体有旋流动和无旋流动

第八章 理想流体有旋流动和无旋流动


y
vz z
z
vM xvx vxxx vyxy vzxz
v M x v x v x xx 1 2 v y xy 1 2 v y xy 1 2 v z xz 1 2 v z xz
1 vy y 1 vy y 1 v z z 1 v z
2 x 2 x 2 x 2 x
vx
vx x
dx 2
dx x 2
和x轴垂直的两个平面上的速度和密
度
vx
vx x
dx 2
vx
vx x
dx 2
dx
x 2
dx
x 2
精选版课件ppt
vx
vx x
dx 2
dx x 2
6
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质 量为：
xd 2xvx vxxd 2xdydzdt
vx y
单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值
精选版课件ppt
28
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
x
1 2
vz y
v y z
y
1 2
vx z
vz
x
z
1 vy
2
x
vx y
2 x
y2
z2
xiyjzk1 2v
精选版课件ppt
y
v y y
z
vz z
xyz
vx vy vz x y z
精选版课件ppt
23
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
xyz
vx vy vz x y z
对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表 明流体微团在运动中体积不变。
流体力学 第八章 绕流运动

流体力学 第八章 绕流运动

第八章绕流运动一、应用背景1、问题的广泛存在性：在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空气中的飞行、河水流过桥墩、大型建筑物周围的空气流动、植物护岸（消浪，船行波），粉尘颗粒在空气中的飞扬和沉降，水处理中固体颗粒污染物在水中的运动。

（一种：流体运动；另外一种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静止的，讨论流体相对于物体的运动。

2、问题的复杂性上一章的内容中可以看出，流体力学的问题可以归结为求解在一定边界条件和初始条件下偏微分方程组的求解。

但描述液体运动的方程式非常复杂的：一方面，是方程的非线性性质，造成方程求解的困难；另一方面，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体力学造成了很多麻烦。

迄今为止，只有很少数的问题得到了解决。

平面泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。

而我们所要解决的绕流问题正是有着非常复杂的边界条件。

3、问题的简化及其合理性流体力学对此的简化则是，简化原方程，建立研究理想液体的势流理论。

实际液体满足势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作用。

正例：远离边界层的流体绕流运动、地下水运动、波浪运动、物体落入静止水体中，水的运动规律研究。

反例：研究阻力规律、能量损失、内能转换等等。

圆柱绕流（经典之一）半无限长平板绕流（经典之二）分成两个区域：一个区域是远离边界的地方，此区域剪切作用不明显，而且流体惯性力的影响远远大于粘性力的影响（理想液体）（引导n-s方程）；另一个是靠近边界的地方（附面层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作用，粘性力的影响超强，据现代流体力学的研究表明，此区域是产生湍流的重要区域，有强烈的剪切涡结构，但此区域只有非常薄的厚度。

此区域对绕流物体的阻力、能量耗损、扩散、传热传质都产生重要影响。

4、本章的主要研究内容（1） 外部：理想液体，（简化方法，求解方式）、（2） 内部：附面层理论，（简化方法，求解方式，求解内容，现象描述） （3） 两者的衔接。

工程流体力学习题及答案

工程流体力学习题及答案

第1章绪论选择题【】按连续介质的概念，流体质点是指：（）流体的分子；（b）流体内的固体颗粒；（c）几何的点；（d）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。

解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。

（）【】与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（）切应力和压强；（b）切应力和剪切变形速度；（c）切应力和剪切变形；（d）切应力和流速。

解：牛顿内摩擦定律是，而且速度梯度是流体微团的剪切变形速度，故。

（）【】流体运动黏度υ的国际单位是：（）m2/s；（b）N/m2；（c）kg/m；（d）N·s/m2。

解：流体的运动黏度υ的国际单位是。

（）【】理想流体的特征是：（）黏度是常数；（b）不可压缩；（c）无黏性；（d）符合。

解：不考虑黏性的流体称为理想流体。

（）【】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（）1/20 000；（b）1/1 000；（c）1/4 000；（d）1/2 000。

解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约。

（）【】从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（）能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（b）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。

解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。

（）【】下列流体哪个属牛顿流体：（）汽油；（b）纸浆；（c）血液；（d）沥青。

解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。

（）【】时空气和水的运动黏度，，这说明：在运动中（）空气比水的黏性力大；（b）空气比水的黏性力小；（c）空气与水的黏性力接近；（d）不能直接比较。

解：空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍，因此水的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有关，因此它们不能直接比较。

有旋流动和无旋流动_1~9

有旋流动和无旋流动_1~9

v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
Y方向速度： vy
Z方向速度：
vx
vx
vx dt
y
v x dx v x dy x 2 y 2
vz
vx
v x dx vx dy v x dz x 2 y 2 z 2
vx vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx vx dx vx dy vx dz x 2 y 2 z 2
E
vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx
v y dx v y dy x 2 y 2
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
Y方向速度：
y
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
vx
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
(
(
y
v y dy dy )(v y )dzdx y 2 y 2
z轴方向流体的净流入量：
( v z dz v z dz )dxdy ( v z )dxdydz z z z
o
z
x
每秒流入微元六面体的净流体质量
x轴方向流体的净流入量：
( v x dx v x dx )dydz ( v x )dxdydz x x x
dz v dz )( v z z )dxdy z 2 z 2
工程流体力学42有旋流动和无旋流动

工程流体力学42有旋流动和无旋流动

x 不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有
旋流动还是无旋流动。
【解】 由于
?
x
?
1 2
??? ?
?w ?y
?
?v ?z
??? ?
?
0
?
y
?
1 ?? ? u 2 ? ?z
?
? w ?? ? ?x ?
0
?
z
?
1 2
????
?v ?x
?
?u ?y
???? ?
?
1 a
2
?
0
所以该流动是有旋运动。
2
2
2
2
第二节 有旋流动和无旋流动
? 沿封闭曲线反时针方向ABCDA 的速度环量
d? ? uA ? uB dx ? vB ? vC dy ? uC ? uD dx ? vD ? vA dy
2
2
2
2
? 将速度各值代入上式 ? 略去高于一阶的无穷小各项 ? 再将旋转角速度公式代入
dΓ
?
????
? ?
v x
v ? ?v dy ?y
u ? ?u dx ? ?u dy ?x ?y
v ? ?v dx ? ?v dy ?x ?y
u ? ?u dx ?x
v ? ?v dx ?x
沿封闭曲线反时针方向ABCDA 的速度环量
d? ? uA ? uB dx ? vB ? vC dy ? uC ? uD dx ? vD ? vA dy
第二节 有旋流动和无旋流动
? ?v ?u ?
dΓ
?
?? ?
?
x
?
?y
??d ?
xdy
长沙理工 流体力学是非题、选择题、思考题

长沙理工 流体力学是非题、选择题、思考题

第一章流体及其物理性质1、在高压下，流体(包括气体和液体)的粘性随着压力的升高而增大。

( )2、流体在静止时无粘性，只有内部发生相对运动时才有粘性。

( )3、。

流体在静止时无粘性，只有在流体微团发生相对运动时才有粘性。

( )4、当两流层之间残生相对运动时，单位面积上的内摩擦力与速度梯度成反比。

( )5、构成气体粘性主要因素是气体分子间的吸引力。

( )6、根据牛顿内摩擦定律，流层间的摩擦切应力与速度梯度成正比，而与压力无关。

( )7、理想流体必须具备两个条件：一是不具有粘性，二是不可压性。

( )8、流体在静止时无粘性，只有在内部发生相对运动时才有粘度。

( )9、在无粘性流体中，不管是否运动，都不会产生切应力。

( )10、流体的粘性随温度的升高而减小。

( )11、静止的不可压缩流体的密度并非处处都为同一常数，只有即为不可压缩流体，同时又是均质时，密度才时时处处都是同一常数。

( )12、静止流体无粘性，即切应力等于零。

( )13、由于粘性是流体的固有属性，因此粘性流体在静止是应该存在切应力。

( )第一章流体及其物理性质1、如果在某一瞬间使流体中每个流体微团的密度均相同，则这种流体一定是( )。

A、可压缩流体；B、不可压缩流体；C、均质流体；D、非均质流体；2、牛顿内摩擦定律告诉我们( )。

A、作用于流层上切向应力与压力成正比；B、作用于流层上切向应力与速度梯度成正比；C、作用于流层上切向应力与速度梯度成反比；D、作用于流层上切向应力与流层面积成反比；3、流体的特点是( )。

A、只能承受微小剪切力作用；B、受任何微小压力都能连续变形；C、当受到剪切力作用时，仅能产生一定程度的变形；D、受任何微小剪切力作用将发生连续变形；4、在地球的重力场中，流体的密度和重度的关系为( )。

A、gργ=；B、gργ=；C、ργg=；D、γρg=；5、流体是那样一种物质，它( )。

A、不断膨胀，直到充满任意容器；B、实际上是不可压缩的；C、不能承受切应力；D、在任意切应力作用下，不能保持静止；6、流体的力学特征为( )。

08章b 理想流体的有旋和无旋流动

08章b 理想流体的有旋和无旋流动


2rb
涡束内部的速度分布为:
vr 0
p
v v r
(r rb ) （8-28）
1 2 ( x 2 y 2 ) C 2 1 2 r 2 C 2 1 2 v C 2
r 在与环流区交界处， rb , p pb , v vb rb ，代入上式，得积分 2 2 C pb vb p vb 常数：
2 0
r
外围区的流动
流速分布
r0 u u0 r
y y x x u x u r0u0 2 , u y u r0u0 2 r r r r
u y
y Γ0
C
u x 外围区是无旋流动 z 0 x y
绕任一 r r0 的圆周（任意 包住 r r0 的封闭曲线也可） 的速度环量都等于Γ0
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
vds
第六节 速度环量 斯托克斯定理
代入，得：
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即 封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围 面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋 系统。
第六节 速度环量 斯托克斯定理
等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，
自由面是旋转抛物面，如图。
（２） 自由涡旋
简称自由涡，其流线也是同心圆。但
速度变化关系式为： 即与半径成反比。 。（C为常数），
虽然流线是圆，但它是无旋运动，流
体微团并未旋转。 根据伯努利定理，沿流线，在自由涡
中，各条流线H均相等。所以流场中的压
力分布关系式为： 因而在自由涡中，当我们向中心移动
2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）： 正压性的理想流体在有势的质量力作 用下，涡管永远保持为由相同流体质点组 成的涡管。
流体的有旋流动与无旋流动

流体的有旋流动与无旋流动


图 4－4
微团线变形运动分析
流体微团的线变形速度是用直线距离上单位时间内单位长度的伸长量(或缩短量)来表示 的。线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用 εx、εy、εz 表示。如图 4－4 所示，在流场中任 取一流体微团，形心点为 O，OA 平行于 x 轴，长度为 dx，OB 平行于 y 轴，长度为 dy，OC 平行于 z 轴(垂直于纸面)，长度为 dz。形心 O 点处流体质点的速度 u 在各坐标轴上的分量为 ux、uy、uz。A 点的 x 向分速度和 B 点的 y 向分速度及 C 点的 z 向分速度可按泰勒级数展开 并略去高阶无穷小量得到，它们分别为 u x +
向的伸长量(或缩短量)为 量为
∂u z d z dτ 。 则在 x 轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长 ∂z
∂u x d x dτ ∂u ∂x εx = = x d x dτ ∂x
在 y 轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为
d y dτ ∂u y ∂y εy = = d y dτ ∂y
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ux 和 uy。A 点在 y 轴方向的分速度和 B 点在 x 轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高 阶无穷小量而得到，它们分别为 u y +
∂ uy ∂x
d x 和 ux +
∂ ux d y ，相对于 O 点而言，A 点在 y ∂y
(a)有旋流动 图 4－3
(b)无旋流动 流体微团的运动轨迹
对于圆柱坐标系来说
r r r r u = u r ir + u θ iθ + u z iz
因此，用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算 公式，即
第八章-理想流体的有旋流动和无旋流动

第八章-理想流体的有旋流动和无旋流动

' '
y x
t
同理，在δt时间内，D较点A纵向多移动
x t 线段 A D 逆时针旋转了 y
' '
x y t x
角变形速度（剪切变形速度）： 单位时间内直角的变化量
直角的变化量：

角变形速度：
x y 2 z / t y x
1 z 1 z z z 2 x 2 x
z
x 1 y x x x x 2 x y 1 y x 2 x y
1 y x z 2 z x
同理
1 y x z z 2 z x 1 1 My y y y z y z y x x y 2 y x 2 z z y 1 1 x z y x x 2 y x 2 z z z 1 x z 1 y z Mz z z y x z 2 z x 2 z y
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
1 y x z z / t 2 x y
有旋流动、无旋流动：流体微团的旋转角速度 是否为零。
x y z 0
z y y z
z x x z
x x x x y z x 2 x 2
z
x z y
z z z z x y z 2 z 2
y
z z z z x y z 2 z 2
《流体力学》第八章绕流运动解析

《流体力学》第八章绕流运动解析

x y
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章

绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x

x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
理想流体运动的有旋和无旋

理想流体运动的有旋和无旋

对于不可压缩流体， const 对于密度仅是压强的函数的流体 ( p)
方程组的定解条件 定解条件 1.初始条件
初始条件 边界条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
定常流动不需要给定初始条件。
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
数学条件：
当


1

V

0
当


2
1

V

0
2
在笛卡儿坐标系中：
无旋流动 有旋流动
V


vz y

v y z
i


vx z

vz x

j


v y x
vx y
k
即当流场速度同时满足：
vz v y y z

vx x
dx 2
[ 1 ( vx 2 y

vy ) dy x 2

1 ( vx 2 z

vz ) dz ] x 2
移动 线变形运动
角变形运动
[ 1 (vx vy ) dy 1 ( vx vz ) dz ] 2 y x 2 2 z x 2
旋转运动
H
dz
A
dx
E
将加速度的表达式代入
fx

1

p x

v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z

fy

1

p y

v y t

第八章理想流体的有旋流动和无旋流动


vx vy vz 0
x
y
z
vx vy vz 0 x y z
vx vy 0
x
y
vx vy 0 x y
第二节 流体微团运动分解
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变
形。 因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样
可以移动和转动，而且还会发生变形运动。 所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移
动、转动和变形运动三部分。
vMx
vx
vx x
x
vx y
y
vx z
z
vMy
vy
vy x
x
vy y
y
vy z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
图8-2 平行六面体微小流体质团
vMx
vx
vx x
x
1 2
v y x
vx y
y
1 vx 2 z
vz x
z
1 vx 2 z
vz x
z
1 2
v y x
vx
vx x
δ
x δ t
vx
δt
vx x
δ
x
δt
v y
vy y
δ
y t
vy
δt
vy x
δ
y
δt
vx x
δ xδt
vx
δ x δt x
vy y
δ
yδt
vy
δ y δ t y
vMx
vx
vx x
x
zy yz
yz zy

8-第8讲 理想流体的有旋与无旋流动


21 2 2 0 x 2 y 2 2 2 2 2 0 x 2 y 2
则 1 2 也满足拉普拉斯方程，即有
2 2 0 x 2 y 2
同理，对于无旋运动的流函数也有这一特性，两个流函数叠加后可构成新的流函数。 这一结论推广的有限个势函数或流函数的叠加仍然成立。 3、 流函数与势函数满足科希-黎曼关系式 由（6-31）和（6-33）可知，势函数与流函数满足关系式
x y x y
此式称为科希-黎曼关系式。 4、 等流函数线与等势线正交 对于等流函数线，有 C ，即有
（6-35）
d
dx dy 0 x y
在等流函数线上一点 ( x, y ) 处曲线切线的斜率为
（6-53）

q q ( A B ) P 2 2
（6-54）
注： 设 常数 ， 得到流线方程为 如图 6-13 所示。
这是一个经过点 A 和点 B 的圆线簇， P 常数 ，
y
等流函数线
☉ A
☉
B
x
图 6-13
点源与点汇的叠加流线
如果点源和点汇无限接近，即令 a 0 ，可得到一个无旋流动，称为偶极流。偶极流 的流函数与势函数的推导如下。 点源与点汇叠加后的势函数为
即流动一定是无旋的。 对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函 数，记作 ，定义如下
v x u y
这样的函数是天然满足连续性方程的，即有
（6-32）
u v 2 2 0 x y xy xy
流函数与势函数有如下基本特性。 1、 对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数 若流场是有势的，即（6-31）式成立，则由连续性方程，有
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第二大部分 理想流体的有旋流动
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量 第六节 速度环量 斯托克斯定理 第七节 汤姆逊定理 亥姆霍兹旋涡定理
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
在有旋流动流场的全部或局部区域中连续 地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于 是形成了一个用角速度 ( x, y, z, t ) 表示的涡 量场（或称角速度场）。 流线 流管 流束 流量 涡线 涡管 涡束 涡通量
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
汤姆孙（W. Thomson）定理：
正压性的理想流体在有势的质量力作用 下沿任何由流体质点所组成的封闭周线 的速度环量不随时间而变化。
dΓ v [d ( ) d dPF ] 0 dt 2
2
（8-25）
对于无粘的不可压缩流体和可压缩正压流体， 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行 产生、也是不能自行消灭的。
y u0 Γ0
C
u r0 r
x
•
兰肯涡
中心区的流动
速度分布
u x y, u y x
u x z 2 x y
Γ 0 2r0 u0
u0 r0
y Γ0
C
涡量处处为常数
u y
绕 r r0 的速度环量 用涡通量计算得到 同样的结果
u0
u r0 x
u0 Γ 0 r 2 2r0 u 0 r0

为无穷远处的压强。将 v 代入上式得:
v 2
Γ 2 （8-27） p p p 2 2 2 8 r 由上式可知，在涡束外部的势流区内，随着环流半径的减小， 流速上升而压强降低；在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而 压强则是该区的最低值，即
vb
2 vb
2 pb p p 2 2 2 8 rb
涡通量 （涡管强度） （旋涡强度）
速度环量 斯托克斯定理 汤姆孙定理
亥姆霍兹三定理
第八节 平面涡流
（１） 强迫涡旋
简称强迫涡，流体绕固定轴匀角速旋
转，形成强迫涡。 显然强迫涡的速度分布与固体旋转一
样，
。这是一种有旋运动，强迫涡又

称飞轮涡旋，在旋转机械内最常见。 求解强迫涡的压力场，可用静力学中 讲过的非惯性系中流体相对平衡理论。其 压力分布关系为： 。
时，速度增加，压力减小。
第八节 平面涡流
•
兰肯涡 平面组合涡：中心区是 强迫涡；外围区是自由涡。 中心区是以涡心为圆心 的圆，其中的速度与离涡 心的距离成正比，涡量为 常数。外围部分的流速则 与离涡心的距离成反比， 流动有势，涡量为零。 y u0 Γ0
C
u r0 r x
兰肯涡是比较接近实际的 平面旋涡模型，其中心部分 的流体象刚体一样旋转，需 有外力不断推动，中心部分 也可用圆柱形刚体的转动来 代替。外围部分流体的运动 在开始时是由中心部分的转 动通过粘性的作用形成的， 在流动稳定以后，则无须再 加入能量，粘性也就不再起 作用。
2rb
涡束内部的速度分布为:
vr 0
p
v v r
(r rb ) （8-28）
1 2 ( x 2 y 2 ) C 2 1 2 r 2 C 2 1 2 v C 2
r 在与环流区交界处， rb , p pb , v vb rb ，代入上式，得积分 2 2 C pb vb p vb 常数：
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
流场中原来有漩涡和速度环量的， 永远有漩涡和保持原有的环量；原来 没有漩涡和速度环量的，就永远没有 漩涡和环量．
涡线.rm 示牌随风摇摆.mov 液体和气体的旋转.mov 启动涡.mpg
开尔文（1824～1907）William Thomson Lord Kelvin 是英国著名的物理学家，他的原名叫威廉· 汤姆孙。 他从小热爱数学，小时候就随其父亲在格拉斯哥大 学旁听数学课，表现出天资聪明。后来他考入了剑 桥大学，于1845年毕业，由于成绩突出获史密斯奖 章。第二年他回到自己的母校格拉斯哥大学，并应 聘为该校的教授，在这里任教五十三年。他是伦敦 皇家学会会员，法国科学院院士，并担任过五年皇 家学会会长。由于他在科学和工程上的成就，被封 为开尔文勋爵。从被封后他就改名叫开尔文。后来 他的很多科学成就和发表的论文，都是以开尔文的 名字提出和命名。
2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）： 正压性的理想流体在有势的质量力作 用下，涡管永远保持为由相同流体质点组 成的涡管。
K
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
3、亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）： 在有势的质量力作用下，正压性的理想流 体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保 持定值。
Ω
如何描述旋涡的强弱
y
y v x vx dy y
dy
vy
v y
D
dy
dг
C
x y vx vx vx dx dy x y
dx
v y
dy
vy
A
vx
vy
v y
dx
B
1)微元封闭区域：o
x v x vx dx x
dx
v y v y v y 1 vx 1 dx) (v y dx dy)]dy d [vx (vx dx)]dx [(v y 2 x x y 2 x v y 1 vx vx vx 1 dx)]dy [(vx dy) (vx dx dy)]dx [v y (v y 2 x 2 x x y v y vx ( )dxdy 2n dA dJ x y
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
旋涡的基本性质： 1、亥姆霍兹第一定理： 在同一瞬间涡管各 截面上的涡通量都相同。
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
亥姆霍兹第一定理说明涡管不可能在 流体中终止。
涡管的存在 自成封闭的管圈 起于边界、终于边界
吸烟者吐出的环形烟圈 水中的漩涡 龙卷风
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
2
得涡核区的压强分布为 ：
p p 1 2 1 v vb 2 p 2 r 2 2 rb 2 2 2
（8-29）
由上式可知涡管中心的压强最低，其大小 2 为 pc p vb ，涡核区边缘至涡核中心的压强差为
pb p c 1 vb 2 p pb 。 2
p p
u
2
r0 r
x
2 u0
r0
2
2 u0
p
压强分布
2
p0
pC
中心区 的压强
1 dp r dr
2
y u0 Γ0
速度分布 u
向心 力
压差 力
C
1 1 2 2 2 p r C u C 2 2 2 u0 2 定 C p u0 由 p0 p 2 1 2 2 p p u u0 2
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡通量
旋转角速度的值ω与垂直于角速度方 向的微元涡管横截面积dA的乘积的两倍 称为微元涡管的涡通量(也称涡管强度)。
dJ 2dA
有限截面涡管的涡通量
J 2 n dA
A
第六节 速度环量 斯托克斯定理
涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。
实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某 一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋 转范围越扩大。 可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速 度分布有密切关系。
单连通区域
区域内任一条封闭周线都能连续地 收缩成一点而不越出流体的边界。这种 区域称为单连通区域。否则，称为多连 通区域。
对多连通域：
ABK内B’A’K外 可使用斯托克斯定 理
外 内 2 n dA
A
通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的 外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环 量总和之差。
2 b
第三大部分 理想流体的平面流动
第九节 有势流动 速度势和流函数
第十、十一节 平面势流 第十二~十五节 圆柱绕流及库－儒公式
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡线
涡线是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线上每 一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向 相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时 转动轴线。
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡管 涡束
在给定瞬时，在涡量场 中任取一不是涡线的封闭曲 线，通过封闭曲线上每一点 作涡线，这些涡线形成一个 管状表面，称为涡管。涡管 中充满着作旋转运动的流体， 称为涡束。
等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，
自由面是旋转抛物面，如图。
（２） 自由涡旋
简称自由涡，其流线也是同心圆。但
速度变化关系式为： 即与半径成反比。 。（C为常数），
虽然流线是圆，但它是无旋运动，流
体微团并未旋转。 根据伯努利定理，沿流线，在自由涡
中，各条流线H均相等。所以流场中的压
力分布关系式为： 因而在自由涡中，当我们向中心移动
r0
r
x
2 u0
r0
2
2 u0
p
1 p p 2 r 2 2 r02 2
压强分布
2
p0
pC
y
中心区 1 p p 2 r 2 2 r02 的压强
速度分布 u0 u
2
Γ0
C
抛物线分布，涡心处最低
r0
x
r
pC p 2 r02
中心区速度越快，压 强越高，速度越慢，压 强越低。与无旋区有本 质的不同。 压强分布
2 0
r
外围区的流动
流速分布
r0 u u0 r
y y x x u x u r0u0 2 , u y u r0u0 2 r r r r