高中数学人教A版选修2-1导学案：3.1.5--空间向量运算的坐标表示(学生版)

3．1.5 空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直． 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．[学生用书P60]1．空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23 . 3．空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则A ，B 两点间的距离d AB ＝|AB →|＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同．( ) (2)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.( )(3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.( ) (4)若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →|＝AB →·AB→＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a ·b ＝10 D.|a |＝6答案：D与向量m ＝(0，1，－2)共线的向量是( ) A ．(2，0，－4) B ．(3，6，－12) C ．(1，1，－2) D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 答案：D已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 答案：1已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →的夹角是________．答案：π探究点1 空间向量的坐标运算[学生用书P61](1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．【解】 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. (2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．②设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．因为AP→＝12(AB→－AC→)＝(3，32，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x－2＝3y＋1＝32，z－2＝－2解得x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．1.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1 B．1C．0 D.－2解析：选A.因为p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，所以p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.2．已知△ABC中，A(2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC→＝(3，－2，5)，求顶点B、C 的坐标及CA→.解：设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以AB→＝(x－2，y＋5，z－3)，BC→＝(x1－x，y1－y，z1－z)．因为AB→＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4y ＋5＝1z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝－4z ＝5，所以B 的坐标为(6，－4，5)． 因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3y 1＋4＝－2z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9y 1＝－6z 1＝10，所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →＝(－7，1，－7)． 探究点2 坐标形式下的平行与垂直[学生用书P61]已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .【解】 (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →， 所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )， 所以|c |＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )， 所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[变条件]将本例(2)中“若k a＋b与k a－2b互相垂直”改为“若k a＋b与a＋k b互相平行”，其他条件不变，求k的值．解：a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，所以k a＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)．a＋k b＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)，因为k a＋b与a＋k b平行，所以k a＋b＝λ(a＋k b)，即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k－1＝λ（1－k），k＝λ·1，2＝λ·2k，则⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，λ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧k＝1，λ＝1.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．(2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或x1x2＝y1y2＝z1z2(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．1.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝－4C．x＝2，y＝－14 D.x＝1，y＝－1解析：选B.由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，4－y ＝λ（－2y －2），解得⎩⎨⎧λ＝43，x ＝12，y ＝－4.2．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________．解析：设H (x ，y ，z )，则OH →＝(x ，y ，z )，BH →＝(x ，y －1，z －1)，OA →＝(－1，1，0)．因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →＝0，即－x ＋y －1＝0 ①，又点H 在直线OA 上，所以OA →＝λOH →，即 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λx ，1＝λy ，0＝λz②，联立①②解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12，z ＝0.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 探究点3 向量夹角与长度的计算[学生用书P62]如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．【解】 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)． 所以|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)． 所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， 所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为夹角与距离问题．已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)．求：(1)向量AB →，AC →的模； (2)向量AB →，AC →夹角的余弦值．解：(1)因为AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)， AC →＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)， 所以|AB →|＝ 12＋（－3）2＋22＝14，|AC →|＝22＋02＋（－8）2＝217.(2)因为AB →·AC →＝(1，－3，2)·(2，0，－8) ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－1414×217＝－23834.因此，向量AB →，AC →夹角的余弦值为－23834.1．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：选 B.λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3.2．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)． 答案：(－1，3，3)3．已知向量a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；(3)若b ⊥c ，求c 在a 方向上的投影的长． 解：(1)因为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)， 所以b ＝－2a ，所以a ∥b .(2)因为a ∥c ，所以21＝x 2＝－4－2，解得x ＝4.所以c ＝(2，4，－4)，从而|c |＝22＋42＋（－4）2＝6.(3)因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即(－2，－4，4)·(2，x ，－4)＝－4－4x －16＝0，解得x ＝－5，所以c ＝(2，－5，－4)． 所以c 在a 方向上的投影的长为|c |cos 〈a ，c 〉＝|c |×a ·c |a ||c |＝1×2－2×5＋2×412＋22＋（－2）2＝2－10＋83＝0.[学生用书P63]知识结构深化拓展对空间向量坐标运算的两点说明(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对表示，即a＝(x，y)．而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.[学生用书P135(单独成册)][A基础达标]1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝()A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1)C．(9，3，0) D.(9，0，0)解析：选 C.a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2 B．3C．4 D.5解析：选B.设BC边的中点为D，则AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－1，－2，2)，所以|AD→|＝1＋4＋4＝3.3．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为()A．2 B．－2C．0 D.1解析：选A.因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2. 所以x ＝2.4．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( )A.10 B ．－10 C ．2 5D.±10解析：选D.CB →＝(－6，1，2k )，CA →＝(－3，2，－k )， 则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0， 所以k ＝±10.5．(2018·四川南充高二(下)月考)已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D.150°解析：选 C.a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°. 6．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．解析：因为AB →＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥AC →，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.答案：0 07．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 一定是________三角形．解析：因为AB →＝(3，4，－8)，AC →＝(5，1，－7)，BC →＝(2，－3，1)，所以|AB →|＝32＋42＋（－8）2＝89，|AC →|＝52＋12＋（－7）2＝53，|BC →|＝22＋（－3）2＋1＝14，所以|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，所以△ABC 一定为直角三角形． 答案：直角8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c .(1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)．又由b ⊥c 得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0，得z ＝2，此时c ＝(3，－2，2)．(2)由第一问得，a ＋c ＝(5，2，3)，b ＋c ＝(1，－6，1)，因此向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219. 10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，且－24＝3－6＝－36，所以AB →与CD →共线． 又因为AB 与CD 不共线，所以AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，且0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行． 所以四边形ABCD 为梯形．[B 能力提升]11．从点P (1，2，3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1，8)方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( )A ．(－7，0，19)B ．(9，4，－13)C ．(－7，0，19)或(9，4，－13)D ．(－1，－2，3)或(1，－2，－3)解析：选C.设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝λv ，即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1，8)．由|PQ |＝18得（－4λ）2＋（－λ）2＋（8λ）2＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1，8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.12．已知O 为坐标原点，OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，23，34C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：选C.设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB→－OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－43)2－13]． 所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝(43，43，83)，即点Q 的坐标为(43，43，83)． 13．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．(1)求分别以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →均垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解：(1)因为AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，所以|AB →|＝（－2）2＋（－1）2＋32＝14， |AC →|＝12＋（－3）2＋22＝14，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， 所以S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，所以a ＝(1，1，1)或(－1，－1，－1)．14．(选做题)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．解：因为P A ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC，GP，设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则P(0，0，t)，D(0，4－t，0)．因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0)．所以GC→＝(1，3－t－m，0)，GD→＝(0，4－t－m，0)，GP→＝(0，－m，t)．由|GC→|＝|GD→|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①由|GD→|＝|GP→|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D 的距离都相等．。

3. 1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

2．坐标判断两个空间向量平行。

教学过程：（一）复习上一节内容（二）新课讲解：设a ＝，b ＝(1) a ±b ＝ 。

(2) a ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ；a b ．（5）模长公式：若， 则． （6）夹角公式：．（7）两点间的距离公式：若，，则(8) 设 则＝ ， ． AB 的中点M 的坐标为 ． 例题分析：例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使=k（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各组向量共面的是（ ）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知或；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

),,(321a a a ),,(321b b b λ⇔⊥⇔123(,,)a a a a =r 222123||a a a a a a =⋅=++r r r 112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++r rr r r r 111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-uuu r uuu r ),,(),,,(222111z y x B z y x A ==AB =AB a b a a b b a b a b a a b a b c a b c a b c a b c ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x ⎩⎨⎧=-=.1,4y x点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。

安阳县实验中学“四步教学法”导学案Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean课题：3.1.5 空间向量运算的坐标表示 制单人： 审核人：高二数学组班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__一. 自主学习 1学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.2学习指导一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .二. 合作交流1如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥..三.拓展延伸如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.。

第5课时空间向量运算的坐标表示[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P95～P97的内容，回答下列问题．(1)我们知道，向量a在平面上可用有序实数对(x，y)表示，在空间则可用有序实数组(x，y，z)表示．在平面向量中，若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则如何计算a＋b，a－b，λa，a·b，|a|和cos〈a，b〉？a∥b及a⊥b的充要条件是什么？提示：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)，a·b＝a1b1＋a2b2，|a|＝a21＋a22，cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22·b21＋b22.a∥b⇔a1b2＝a2b1，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.(2)在空间向量中，若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，你能类比平面向量计算a＋b，a－b，λa，a·b，|a|及cos〈a，b〉吗？a∥b及a⊥b的充要条件又是什么？提示：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，|a|＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 2．归纳总结，核心必记(1)空间向量的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；③λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(b≠0，λ∈R)；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；⑦|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；⑧cos〈a，b〉＝.(2)空间中向量的坐标及两点间的距离公式若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)则 ①＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)；②d AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2．[问题思考](1)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，能否说“a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3”？为什么？提示：不能．当b 的三个坐标都不为0时，a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3才成立，否则有些分式无意义．(2)平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算法是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点： (1)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a＋b＝ ；a －b ＝ ；λa ＝ ；|a |＝ ； cos 〈a ，b 〉＝ ； (2)a ∥b 和a ⊥b 的充要条件是： ； (3)若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则＝ ； ||＝ ．讲一讲1．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A (2，－4，1)，B (3，2，0)，C (－2，1，4)，D (6，3，2)，求满足下列条件的点P 的坐标．[尝试解答] ∵A (2，－4，1)，B (3，2，0)，C (－2，1，4)，D (6，3，2)， (1) ＝(3，2，0)－(－2，1，4)＝(5，1，－4)，∴＝2(5，1，－4)＝(10，2，－8)．∴点P 的坐标为(10，2，－8)． (2)设P (x ，y ，z )，则＝(x －2，y ＋4，z －1)， 又＝(1，6，－1)，＝(－8，－2，2)，∴3(－)＝3(9，8，－3)．∴(x －2，y ＋4，z －1)＝3(9，8，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝27，y ＋4＝24，z －1＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝29，y ＝20，z ＝－8，∴点P 的坐标为(29，20，－8)．向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．练一练1．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求：a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )．解：a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2，2)； a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.[思考] 若a ·b ＝0，则a 一定与b 垂直吗？反之，若a ⊥b ，一定有a ·b ＝0成立吗？ 名师指津：若a ·b ＝0，则a 与b 不一定垂直．当a 或b 为0时，a ·b ＝0；若a ⊥b ，则一定有a ·b ＝0成立．讲一讲2．已知向量a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；(3)若(a ＋2c )⊥(b ＋c )，求x 的值．[尝试解答] (1)因为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，所以1－2＝2－4＝－24，即b ＝－2a .故a ∥b .(2)因为a ∥c ，所以12＝2x ＝－2－4，所以x ＝4.此时c ＝(2，4，－4)，故|c |＝22＋42＋（－4）2＝6.(3)由已知得a ＋2c ＝(5，2＋2x ，－10)，b ＋c ＝(0，x －4，0)． 因为(a ＋2c )⊥(b ＋c )，所以(a ＋2c )·(b ＋c )＝0， 即(2＋2x )(x －4)＝0，解得x ＝－1或x ＝4.解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a ＝(x ，y ，z )． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a ∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的． 练一练2．已知a ＝(λ＋1，1，2)，b ＝(6，4μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以分别是( ) A ．2，34 B ．－13，－12C ．－3，2D ．2，2 解析：选A 依题意，得λ＋16＝14μ－1＝22λ，解得λ＝2，μ＝34，或λ＝－3，μ＝－12. 3．若m ＝(2，－1，1)，n ＝(λ，5，1)，且m ⊥(m －n )，则λ＝________．解析：由已知得m －n ＝(2－λ，－6，0)．由m ·(m －n )＝0得，2(2－λ)＋6＋0＝0，所以λ＝5.答案：5讲一讲3．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥CF ；(2)求EF 与CG 所成角的余弦值； (3)求CE 的长．[尝试解答] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. ∴＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，＝⎝⎛⎭⎫12，－12，0，＝⎝⎛⎭⎫1，0，12，＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12. (1)证明：∵·＝12×12＋12×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×0＝0， ∴⊥，即EF ⊥CF .(2)∵·＝12×1＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×12＝14. ||＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝32，||＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52，即EF 与CG 所成角的余弦值为1515. (3)|CE |＝||＝ 02＋（－1）2＋⎝⎛⎭⎫122＝52.在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．练一练4．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值；(3)求证：BN ⊥平面C 1MN .解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz .依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)， ∴||＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)，(3)证明：依题意得A 1(1，0，2)，C 1(0，0，2)，B (0，1，0)，N (1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2.即BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ， 又C 1M ∩C 1N ＝C 1， ∴BN ⊥平面C 1MN .———————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是空间向量的坐标运算及两向量平行、垂直的充要条件，难点是利用空间向量解决夹角和距离问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)空间向量的坐标运算，见讲1；(2)空间向量平行、垂直的充要条件及应用，见讲2；(3)利用向量的坐标运算解决夹角和距离问题，见讲3.3．本节课的易错点有两处：(1)利用a⊥b⇔a·b＝0时，易忽视a≠0且b≠0；(2)利用向量解决异面直线所成角的问题时，易忽视角的取值范围．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况．4．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：。

量运算的坐标表示教案 新人教A 版选修2-1一、向量在轴上的投影1．几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，AB 是轴u 上的有向线段，如果数λ满足=λ且当与轴u 同向时λ是正的，当与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。

设e 是与u 轴同方向的单位向量，则e λ=(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有+=(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =OA ，b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面与轴u 的交点'A 叫做点A 在轴u 上的投影。

(5) 向量AB 在轴u 上的投影：设已知向量AB 的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别为点'A 和'B ，那么轴u 上的有向线段的值''B A 叫做向量在轴u 上的投影，记做j u Pr 。

2．投影定理性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角ϕ的余弦：ϕPr AB j u =性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。

即a a j j u Pr )(Pr λλ=二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、),,(2222z y x M 为终点的向量，i 、j 、k 分别表示 图7－5沿x ，y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k或 a = a x i + a y j + a z k上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。

课题： 3.1.5空间向量运算的坐标表示 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题． 批注教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 教学用具： 多媒体，三角形 教学方法：启发式教学法 教学过程： 一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++ 上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可）2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） 二、新课讲授⒈ 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，求这两个向量的模.｜a ｜＝222123a a a ++，｜b ｜＝222123b b b ++．这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2. 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞∴ 112233a b a b a b ++＝222123a a a ++·222123b b b ++·cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝112233222222123123a b a b a b a a ab b b++++++这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向； 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则222211212()()()A B d x x y y z z =-+-+-、，其中A B d 、表示A 与B 两点间的距离．3. 练习：已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求：⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件． （答案：(2,32,3)；29；46870x y z +-+=） 说明：⑴中点坐标公式：1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ＝121212(,,)222x x y y z z +++；⑵中点p 的轨迹是线段AB 的垂直平分平面．在空间中，关于x 、y 、z 的三元一次方程的图形是平面．4. 出示例5：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111114A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本P 96、例65. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．三.巩固练习作业：课本P97练习3题. 教学后记：。

§3．1.5 空间向量运算的坐标表示知识点一 空间向量的坐标运算设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解 (1)k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.【反思感悟】 以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2，且z 1＝λz 2(λ∈R )；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件．解 （1）设M 是线段AB 的中点，则OM ＝12(OA →＝12(OA →＋OB →)＝(2，32，3)，所以线段AB 的中点坐标是(2，32，3)．|AB |＝(1－3)2＋(0－3)2＋(5－1)2＝29. (2)点P (x ，y ，z )到A ，B 两点距离相等，则(x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，化简，得4x ＋6y －8z ＋7＝0.即到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.知识点二证明线面的平行、垂直在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .证明, 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D （0，0，0），A （2，0，0），E （2，2，1），F （0，1，0），D 1（0，0，2），所以AD＝(－2,0,0)，D 1F →＝(0,1，－2)，AD →·D 1F →＝0＋0＋0＝0，所以D 1F ⊥AD .又AE →＝(0,2,1)，所以AE →、D 1F →＝0＋2－2＝0，所以D 1F ⊥AE .又AD ∩AE ＝A ，所以D 1F ⊥平面ADE .【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．已知A (－2,3,1)，B (2，－5,3)，C (8,1,8)，D (4,9,6)，求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明 设O 为坐标原点，依题意 OA =（-2，3，1），OB =（2，-5，3）， ∴AB =OB -OA = (2, -5,3) - (-2,3,1) = (4, -8 , 2). 同理可得DC = (4,-8,2),AD = (6,6,5),BC = (6,6,5).由AB =AB DC ，AD =BC ，可知AB ∥AB ，AD ∥BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形.知识点三 向量坐标的应用棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 1、O 2、O 3分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BB 1C 1C 、平面ABCD 的中心．(1)求证：B 1O 3⊥P A ；(2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值； (3)求PO 2的长．(1)证明 以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则B 1(1,1,1)，O 3(12 ， 12,0)，P(0,0，12)，A(1,0,0)，13B O ＝(－12，－12，－1)，P A →＝(－12，－12，－1)，P A →＝(1,0，－12)，∴13B O ·P A →＝－12＋0＋12＝0，即 13B O ⊥P A →∴B 1O 3⊥P A .(2)解 ∵O 1(12，12，1)，O 2(12，1，12)，则12O O =（0，12，12-）.又∵3PO =（ 12，12，-12），∴cos 〈3PO ，12O O 〉=PO 3→·O 1O 2→|PO 3→||O 1O 2→|＝0＋(12)2＋(－12)2(12)2＋(12)2＋(－12)2·02＋(12)2＋(－12)2＝63， ∴异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值为63. (3)∵P (0,0，12)，O 2(12，1，12)，2PO ＝(12，1,0)．∴|2PO |＝(12－0)2＋(1－0)2＋(12－12)2＝52.【反思感悟】 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2，N 是AA 1的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1，B 1C 所成角的余弦值．解 以C 为原点建立空间直角坐标系，则 (1)B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴BN ＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝ 3.(2)A 1(1,0,2)，C (0,0,0)， B 1(0,1,2)．∴1BA ＝(1，－1,2)，B 1C →＝(1，－1,2)，B 1C →＝(0，－1，－2)，1BA ·B 1C →＝1－4＝－3，|1BA |＝6，|B 1C →|＝5， ∴cos 〈1BA ，B 1C →〉＝1111·||||B CBA BA BC＝－36×5＝－3010.∴BA 1，B 1C 所成角的余弦值为3010.一、选择题1．已知点A (x 1，y 1，z 1)，则点A 关于xOz 平面的对称点A ′的坐标为( ) A ．(－x 1，－y 1，－z 1) B ．(－x 1，y 1，z 1) C ．(x 1，－y 1，z 1) D ．(x 1，y 1，－z 1) 答案 C解析 点A 与A ′关于xOz 平面对称，即AA ′⊥平面xOz .且A 、A ′到面xOz 的距离相等，所以A 与A ′的x ，z 的值相同，y 的值互为相反数．2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6) 答案 B解析 ∵b ＝12x －2a ，∴x ＝4a ＋2b ＝(0,6，－20)．3．已知a ＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b ＝(cos θ，sin θ，1tan θ)，有a ⊥b ，则θ等于( )A ．－π4 B.π4C ．2kπ－π2 (k ∈Z )D ．kπ－π4(k ∈Z )答案 D 解析 a·b ＝2sin θcos θ＋1＝sin2θ＋1＝0，2θ＝2kπ－π2，θ＝kπ－π4.4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，cos 〈a ，b 〉＝89，则λ为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255答案 C解析 由cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝6－λ35＋λ2＝89，化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝255.5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0° 答案 A解析 ∵|a |＝|b |＝2， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0. 二、填空题6．模等于27且方向与向量a ＝(1,2,3)相同的向量为________________． 答案 (2，22，32) 解析 设b ＝λa (λ>0)．则λ2＋4λ2＋9λ2＝28，λ2＝2，故λ＝ 2.7．已知三个力f 1＝(1,2,3)，f 2＝(－1,3，－1)，f 3＝(3，－4,5)，若f 1，f 2，f 3共同作用于一物体上，使物体从点M 1(1，－2，1)移动到点M 2(3,1,2)，则合力所做的功是________．答案 16解析 合力f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,1,7)， 位移s ＝(2,3,1)， ∴功w ＝f·s ＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.8．已知点A (2，－5，－1)，B (－1，－4，－2)，C (λ＋3，－3，μ)在同一直线上，则λ＝________，μ＝________.答案 －7 －3解析 AB ＝(－3,1，－1)，AC →＝(λ＋1,2，μ＋1)，则AB ∥AC →，所以λ＋1－3＝21＝μ＋1－1，故λ＋1＝－6，μ＋1＝－2.即λ＝－7，μ＝－3. 三、解答题9．E ，F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中线段A 1D ，AC 上的点，且DE ＝AF ＝13AC .求证：(1)EF ∥BD 1；(2)EF ⊥A 1D .证明 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则A(1,0,0)， B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)， A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E 11,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 21,,033⎛⎫ ⎪⎝⎭. EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13， 1BD ＝(－1，－1,1)＝－3EF →.∴1BD ∥EF →，又F ∉BD 1， ∴EF ∥BD 1.（2）1AD ＝(－1,0，－1)，EF ·A 1D →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13·(－1,0，－1) ＝－13＋13＝0，∴EF ⊥A 1D →，即EF ⊥A 1D . 10.,,如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC. 证明：A 1C ⊥平面BED.证明 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，射线DC 为y 轴的正半轴，射线DD 1为z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D —xyz.依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)， E(0,2,1)，A 1(2,0,4).DE ＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，1A C ＝(－2,2，－4)， 1DA ＝(2,0,4)．因为1A C ·DB →＝0，1A C ·DE ＝(－2,2，－4)， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE . 又BD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BED .。

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空间向量运算的坐标表示教学目标知识与能力掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．过程与方法1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。

2、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。

情感态度价值观激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。

教学重、难点重点：夹角公式、距离公式．难点:夹角公式、距离公式的应用．教学方法启发式教学,归纳课时安排1课时新课讲解1、向量的模：设a＝123(,,)a a a，b＝123(,,)b b b,求这两个向量的模。

｜a|＝222123a a a++，｜b|＝222123b b b++．这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．2. 夹角公式推导：∵a·b＝｜a|｜b|cos＜a,b＞∴112233a b a b a b++＝222123a a a++·222123b b b++·cos＜a,b＞由此可以得出：cos＜a,b＞＝112233222222123123a b a b a ba a ab b b++++++这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系:当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b 反向；当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．3。