空间向量及其运算导学案

§3.1.1空间向量及其加减运算一、课标要求：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算.二、学习目标：（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

（2）了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算，理解其几何意义。

三、学法指导：结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算。

通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想。

预习案1.空间向量的概念（1）空间向量的定义在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 . （2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模。

如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作 ，其模记为 或 . （3）特殊向量零向量：规定长度为0的向量叫做 ，记为 .其方向 . 单位向量： 的向量叫做单位向量.相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，记为 .相等向量：长度 而方向 的向量称为相等向量， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的加法、减法类似平面向量（三角形法则、平行四边形法则、多边形法则），定义空间向量的加减法运算： OB OA OC =+= ；CA OA OC =-= ；3.空间向量加法的运算律（1）交换律 a b += ；（2）结合律 ()a b c ++= ； 探究案思考1、空间向量与平面向量有何共同之处？思考2、空间任意两个向量是否都可以转化为平面向量？为什么？ B a=++++-n n A A A A A A A A 1433221思考3、把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？思考4、如何从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?思考5、什么是平行六面体？它与平行四边形有何联系？它的特征有哪些？例1、判断以下命题的真假：①向量AB和向量BA的长度相等；②将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；③空间向量就是空间中的一条有向线段；④不相等的两个空间向量的模必不相等．例2、已知平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式 (如图)思考6、一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？变式练习：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( )①()1AB BC CC ++②()11111AA A D D C ++ ③()111AB BB B C ++④()11111AA A B B C ++ A.１个 B.２个 C.３个 D.４个 BCAB +)1(DC BAC 'B 'D 'A 'DCB C A A +''-')3(A A AD AB ++)4(D D DC DA ++)5(B B BC BA ++)6(C C AB '+)2(D C BAD 1C 1B 1A 1反馈练习1、下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；(2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b ；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2、在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数 是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( ) ①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4、在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. 5、化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________.6、如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→ (2)DD 1→－AB →＋BC →7、在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.。

向量空间及其运算导学案一、概述向量空间是线性代数中的重要概念，它是一种具有特定性质的数学结构。

本导学案将介绍向量空间的基本概念和运算规则。

二、向量空间的定义向量空间指的是一组向量的集合，其中包括零向量、可以进行数乘和向量加法运算，并且满足一定的运算规则。

具体来说，向量空间需要满足以下八个条件：1. 加法封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，它们的和仍然属于该向量空间。

2. 加法结合性：向量加法满足结合律，即$(\mathbf{u} +\mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$。

3. 加法交换性：向量加法满足交换律，即$\mathbf{u} +\mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$。

4. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊向量$\mathbf{0}$，满足对于任意向量$\mathbf{v}$，有$\mathbf{v} + \mathbf{0} =\mathbf{v}$。

5. 负向量存在性：对于向量空间中的任意向量$\mathbf{v}$，存在一个相反向量$-\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$。

6. 数乘封闭性：对于向量空间中的任意向量$\mathbf{v}$和标量$k$，它们的数乘$\mathbf{v}k$仍然属于该向量空间。

7. 数乘结合性：数乘满足结合律，即$(k_1k_2)\mathbf{v} =k_1(k_2\mathbf{v})$。

8. 数乘分配性：数乘和向量加法之间满足分配律，即$k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$，$(k_1 + k_2)\mathbf{v} = k_1\mathbf{v} + k_2\mathbf{v}$。

一：教学目的：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义、运算律以及共线、共面向量定理解决立几问题二：自主导学问题1：空间向量的相关概念有哪些？(1)向量的基本要素：(2)向量的表示：(3)向量的长度：(4)特殊的向量：(5)相等的向量：(6)平行向量(共线向量)：问题2平面向量的加减法，数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质如下表，其适用问题3：共线向量共面向量注：“空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。

因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们”这句话正确吗？为什么？问题4:平面共线向量定理？空间共线向量定理空间共面向量定理三：典例分析：CD题型一 空间向量的线性运算例2 已知空间四边形A B C D ，连结,A C B D ，设,M G 分别是,B C C D的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++ ；（3）1()2AG AB AC -+ ．题型二 共线、共面向量定理的应用例3已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， （1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面； （2）求证：BD ∥平面EFGH ；四：当堂达标如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+ ．五：拓展延伸：如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心求证：1()3AG AB AC AD =++BC DMGA BCDEFA。

空间向量及其运算(一)导学案【学习目的】：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题【学习重点】：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律【学习过程】： 一、内容分析：本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题二、先让我们复习一下以前学过的平面向量的知识：向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积。

重要定理、公式：(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+=(2)两个向量平行的充要条件 a ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b ＝O ⇔02121=+y y x x(4)线段的中点坐标公式： OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x三、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB +=+= b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量：(1)．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

《1.3 空间向量及其运算的坐标表示》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算的坐标表示。

通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。

【教学目标与核心素养】【教学重点】：理解空间向量的坐标表示及其运算【教学难点】：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题【教学过程】一、情境导学我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.二、探究新知一、空间直角坐标系与坐标表示1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.创设问题情境，引导学生体会运用坐标法，实现将空间几何问题代数化的基本思想2.点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,i ,j ,k 为坐标向量,对空间任意一点A ,对应一个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且点A 的位置由向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x i +y j +z k .在单位正交基底{i ,j ,k }下与向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的有序实数组(x ,y ,z ),叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标,记作A (x ,y ,z ),其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标,z 叫做点A 的竖坐标.3.向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,给定向量a ,作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a 由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使a =x i +y j +z k .有序实数组(x ,y ,z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标,可简记作a =(x ,y ,z ).小试牛刀1.若a =3i +2j -k ,且{i ,j ,k }为空间的一个单位正交基底,则a 的坐标为 . (3,2,-1)答案:向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标恰好是终点P 的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.思考：在空间直角坐标系中,向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标与终点P 的坐标有何关系? 二、空间向量运算的坐标表示 1.空间向量的坐标运算法则|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= .√a 12+a 22+a 32;a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3√a 12+a 22+a 32√b 12+b 22+b 32;√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.小试牛刀1.已知空间向量m =(1,-3,5),n =(-2,2,-4),则有m +n = ,3m -n = ,(2m )·(-3n )= . (-1,-1,1) ;(5,-11,19) ;168 解析:m +n =(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m -n =3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m )·(-3n )=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a ∥b,则λ= ,若a ⊥b,则 λ= . 4 ;-23解析:若a ∥b ,则有2λ=λ8=-1λ-6,解得λ=4.若a ⊥b ,则a ·b =2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=-23.3.已知a =(-√2,2,√3),b =(3√2,6,0),则|a |= ,a 与b 夹角的余弦值等于 . 答案:3√69解析:|a |=√a ·a =√(-√2)2+22+(√3)2=3,a 与b 夹角的余弦值cos <a ,b >=a ·b|a ||b |=-6+12+03×3√6=√69. 例1在直三棱柱ABO-A 1B 1O 1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA 1=4,D 为A 1B 1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用基底表示,即得坐标. 解:由已知AO ⊥OB ,O 1O ⊥OA ,O 1O ⊥OB ,从而建立以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量i ,j ,k 为正交基底的空间直角坐标系Oxyz ,如图,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4i ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2j ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4k ,DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-[OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=-OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB⃗⃗⃗⃗⃗ =-2i-j-4k ,故DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(-2,-1,-4). A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4i+2j-4k , 故A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(-4,2,-4). 即DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,-4),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2,-4).用坐标表示空间向量的步骤如下:跟踪训练1.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为D 1C 1,B 1C 1的中点,若以{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底,则向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ,向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ,向量AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 .答案:(12,1,1) (1,12,1) (1,1,1)解析:因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(12,1,1). 因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(1,12,1). 因为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以向量AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(1,1,1).例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5). (1)求AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若点M 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点M 的坐标; (3)若p =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,q =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求(p +q )·(p -q ). 思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.解:(1)因为A (1,-2,4),B (-2,3,0),C (2,-2,-5),所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,5,-4),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,9). 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,5,5)，又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,5,5),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-5,4), 所以CB⃗⃗⃗⃗⃗ -2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,15,-3)，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,5,-4),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-9), 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+0+36=33. (2)由(1)知,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-3,5,-4)+34(1,0,-9)=(-34,52,-354),若设M (x ,y ,z ),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y+2,z-4),(2)∵|a |=√5,且a ⊥c ,∴{(λ+1)2+12+(2λ)2=5,(λ+1,1,2λ)·(2,-2λ,-λ)=0,化简,得{5λ2+2λ=3,2-2λ2=0,解得λ=-1.因此,a =(0,1,-2).例4如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA 1=2,M ,N 分别是AA 1,CB 1的中点.(1)求BM ,BN 的长. (2)求△BMN 的面积.思路分析建立空间直角坐标系,写出B ,M ,N 等点的坐标,从而得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在此处键入公式。

空间向量及其运算导学案学科：高二数学课型：新授课课时：3课时编写时间：2013.3.12编写人：万秋红审核人：刘刚班级：姓名：【导案】【学习目标】1．了解空间向量的概念。

2．掌握空间向量的线性运算，数量积的定义和运算。

【学习重点、难点】重点：空间向量的概念及其运算。

【学案】1．空间向量(1)空间向量的定义在空间，把具有____________和_________的量叫做空间向量，向量的________叫做向量的长度或模.(2)空间向量的表示方法空间向量用___________表示，有向线段的___________表示向量的模. 如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为___________或___________.(3)特殊向量①零向量：规定______________的向量叫做向量，记为_______________.②单位向量：___________的向量称为单位向量.③相反向量：与________长度________而方向__________的向量称为__________的相反向量，记为__________.④相等向量：方向__________且模__________的向量称为相等向量. 在空间中，____________的有向线段表示同一向量或相等向量.2．空间向量的加法、减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算（如图）：==a＋b；+CA a－b.OA-=OC=3．空间向量加法的运算律(1)交换律 a ＋b ＝________________；(2)结合律：（a ＋b ）＋c ＝_________________. 4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积___________仍是一个_____________，称为向量的数乘运算.(3)空间向量的数乘运算律①分配律：λ(a ＋b )＝______________； (λ＋μ)a ＝_______________；②结合律：λ(μa )＝_________________. 5．共线向量 (1)(2)共线向量定理对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0), a //b 的充要条件是存在实数λ使_____________. (3)共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 使ta OA OP +=①，其中a 叫直线l 的_____________，如图所示.若在l上取=a，则①式可化为______________.6．共面向量(1)共面向量的概念平行于_____________的向量叫做共面向量.(2)共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与a, b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y）使____________.7．空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，=b，则_________叫做向量a、b的夹角，记为________________.(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是_____________. 特别地，当θ=0时，两向量_______________；当θ＝π时，两向量__________，所以若a//b，则（a, b）＝____________；当_______________时，两向量垂直，记为_____________.8．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，则_______________叫做向量a与b的____________，记为a·b，即a·b＝________________.规定，零向量与任何向量的数量积为0，即________________.9．两个向量数量积的性质若a、b是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝_______________.(2)a⊥b⇔_________________.(3)若a与b同向，则a·b＝_________________；若a与b反向，则a·b＝_______________.a⋅.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝acos＝_____________.(4)若θ为a、b的夹角，则θ(5)|a·b|_______________|a| |b|.10．两个向量数量积的运算律(1)（结合律）(λa)·b＝__________________；(2)（交换律）a·b＝____________________；(3)（分配律）a·(b＋c)＝________________.11．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的_____________，那么它也和这条斜线垂直.12．三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的____________，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.例1 如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使k ODOHOC OG OB OF OA OE ====，求证：H G F E ,,,四点共面.例2 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.已知：如图，PO, PA 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PA 在平面α内的射影，α⊂l ，且OA l ⊥，求证：PA l ⊥.例3 如图，m, n 是平面α内的两条相交直线. 如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l .分析：要证明α⊥l ，就是要证明l 垂直于α内的任何一条直线g （直线和平面垂直的定义）. 如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由m l ⊥，n l ⊥，得到g l ⊥，就能解决此问题.空间向量及其加减运算练案（一）学科：数学 编写人：万秋红 审核人：刘 刚 编写时间：2013.3.12 班级： 姓名： 评分：【A 级】1．给出以下命题：①空间中任意两个单位向量必相等； ②0无方向；③若空间向量m , n , p 满足m ＝n , n ＝p ，则m ＝p ； ④若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；⑤两个空间向量相等，则它们的起点和终点均相同. 其中不正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 42．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算的结果为1AC 的共有（ ） ①1)(CC BC AB ++ ②1)(DD BC AB ++ ③1)(CC ++ ④1)(DD ++ ⑤111)(D A AA ++ ⑥1)(AA AD AB ++A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个 3．两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．设a 表示向东3m ，b 表示向北4m ，c 表示向上5m ，则（ ） A. a －b ＋c 表示向东3m ，向南4m ，向上5m B. a ＋b －c 表示向东3m ，向北4m ，向上5m C. 2a －b ＋c 表示向东3m ，向南4m ，向上5m D. 2(a ＋b ＋c )表示向东6m ，向北8m ，向上5m5．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则+-等于（ ）A.23B. 3C. 3GMD. 2MG6．化简+-所得的结果是（ ） A.B.C. 0D.7．如图所示，已知平行六面体1111—D C B A ABCD ，在下列选项中，与相等的向量是（ ） A. AB B. 11C A C. 11A B D. 18．已知向量a 、b 是两个非零向量，a 0、b 0是与a 、b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是（ ） A. a 0＝b 0 B. a 0＝b 0或a 0＝－b 0 C. a ０＝1 D. |a 0|＝|b 0|【B 级】1．如图所示，空间四边形ABCD 中，CD BC AB ++＝________________.2．在平行六面体''''—D C B A ABCD 中，=a ，=b ，＝c ，则'＝__________，A '＝_________________.3．已知平行六面体''''—D C B A ABCD ，M 是'AA 的中点，点G 在对角线C A '上且1:2':=GA CG ，设=a ，＝b ，＝c ，试用a 、b 、c 表示、'、、.【C 级】1．已知平行六面体''''—D C B A ABCD ，化简下列表达式： (1)D D -+-+''； (2)''-+-.2．如图，M 、N 分别是四面体ABCD 的棱AB 、CD 的中点，求证：)(21+=.3．如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量. (3)试写出与向量相等的所有向量. (4)试写出向量1的相反向量.空间向量及其加减运算练案（二）学科：数学 编写人：万秋红 审核人：刘 刚 编写时间：2013.3.12 班级： 姓名： 评分：【A 级】1．给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数对（x, y ）使得y x +=，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面. 其中正确命题的序号是____________. 2．下列说法正确的是（ ）A. 以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体.B. 设平行六面体的三条棱是AB 、1AA 、AD ，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AD AA AB ++1C. 若)(21+=成立，则P 点一定是线段AB 的中点. D. 在空间中，若向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面. 3．已知''''—D C B A ABCD 是平行六面体. (1)化简AA 32'21++； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面''B BCC 对角线'BC 上的43分点，设'γβα++=，试求γβα,,的值.4．已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32,32==. 求证：四边形EFGH 是梯形.5．已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面？ (1)-=+3； (2)--=4.6．如图所示，P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA, PB, PC, PD ，点E, F, G , H 分别是PDA PCD PBC PAB ∆∆∆∆,,,的重心，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面. (2)平面EFGH//平面ABCD.分析：由共面向量定理可知，要证明E, F, G, H 四点共面，只要证明存在有序实数对x, y , 使得EH y EF x EG ⋅+⋅=；要证明平面EFGH.//平面ABCD ，只要证明平面EG 内两条相交直线平行于平面AC 内的两条相交直线.【B 级】1．如图，空间四边形OABC 中，=OA a ，=OB b ，=OC c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A.21a －32b ＋21c B. 32-a ＋21b ＋21cC. 21a ＋32b －21cD. 32a －21b ＋21c2．下列等式中，使M 、A 、B 、C 四点共面的有多少个（ ）①--=； ②;213151OM ++=③=++； ④0=+++OC OB OA OM . A. 1B. 2C. 3D. 43．若对任意一点O ，有y x +=，则1=+y x 是P ，A, B 三点共线的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．若D 点在∆ABC 的边BC 上，且s r s r ++==3,4的值为（ ） A. 58- B. 54- C. 58 D.545．已知向量a 、b ，且=a ＋2b ，5-=a ＋6b ，7=a －2b ，则一定共线的三点是（ ） A. A 、B 、D B. A 、B 、C C. B 、C 、D D. A 、C 、D6．下列命题中正确的是（ ）A. 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B. 向量a , b , c 共面即它们所在的直线共面C. 零向量没有确定的方向D. 若a//b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb7．如图所示，在平行六面体''''—D C B A ABCD 中，=a ，=b ，=1AA c ，则D 1等于（ ）A. a ＋b －cB. －a －b ＋cC. a －b －cD. －a ＋b ＋c【C 级】1．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果＝e 1＋e 2，2=e 1＋8e 2，＝3e 1－3e 2，求证A, B, C, D 共面.2．如图，A 、B 、C 、D 共面于α，.1111SDSD SC SC SB SB SA SA === (1)求证A 1、B 1、C 1、D 1共面；(2)若A 1、B 1、C 1、D 1所在平面为β，求证：βα//.3．如图，已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x , y 的值： (1)y x ++=; (2)y x ++=.空间向量及其加减运算练案（三）学科：数学 编写人：万秋红 审核人：刘 刚 编写时间：2013.3.12 班级： 姓名： 评分：【A 级】1．下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给予说明. (1)a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； (2)p 2·q 2 ＝(p ·q )2；(3)|p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|； (4)若a 与（a ·b ）·c －（a ·c ）·b 均不为0，则它们垂直.2．如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E, F, G 分别是AB ，AD ，DC 的中点.求下列向量的数量积： (1);⋅ (2)⋅； (3)AC GF ⋅；(4)BC EF ⋅.3．以下命题，正确的命题为（ ）A. |a |－|b |<|a ＋b |是a , b 不共线的充要条件B. (a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·aC. 向量a 在向量b 的方向上的投影向量的模为|a |cos(a , b )D ．在四面体ABCD 中，若=⋅0，0=⋅，则0=⋅4．已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)OB OA ⋅；(2))()(+⋅+；(3))()(++⋅++.5．已知点O 是正三角形ABC 平面外的一点，若OA ＝OB ＝OC ＝AB ＝1，E 、F 分别是AB 、OC 的中点，求OE 与BF 所成角的余弦值.6．如图所示，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，沿对角线AC 把矩形ABCD 折成︒30的二面角，求BD.7．已知在平行六面体D'C'B''A ABCD —中，AB ＝4，AD ＝3，'AA ＝5，.60'',90︒=∠=∠︒=∠DAA BAA BAD 求'AC 的长（如图所示）.【B 级】1．下列式子正确的是（ ） A. |a |·a ＝a 2B. (a ·b )2＝a 2·b 2C. (a ·b )·c ＝a (b ·c )D. |a ·b |≤|a |·|b |2．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则∆BCD 是（ ） A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 不确定3．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |等于（ ） A. 22B. 48C.46D. 324．|a ＋b |＝|a －b |的充要条件是（ ） A. a ＝0或b ＝0B. a //bC. a ·b ＝0D. |a |＝|b |5．已知a , b 均为单位向量，它们的夹角为︒60，那么|a ＋3b |等于（ ） A.7B.10C.13D. 46．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是∆ABC 的（ ）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点7．在∆ABC 中，有命题：①=-；②=++0；③若0)()(=-⋅+，则∆ABC 为等腰三角形；④若0>⋅，则∆ABC 为锐角三角形. 上述命题正确的是（ ） A. ①②B. ①④C. ②③D. ②③④8．已知非零向量a , b ，若a ＋2b 与a －2b ）A.41B. 4C.21 D. 29．已知e 1、e 2是夹角为︒60的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角为______.【C 级】1．已知线段AB 在平面α内，线段α⊥AC ，线段AB BD ⊥，且与α所成的角是︒30. 如果b BD AC AB ===,α，求C 、D 间的距离.2．如图，已知平行六面体1111D C B A —A B C D 的底面ABCD 是菱形，且︒=∠=∠=∠6011BCD CD C CB C ，当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明.。

§3.1.1空间向量及其加减运算班级：高二( )班 姓名： 学号：三维目标：知识与技能：理解空间向量及其相关概念；理解空间向量加减法的含义。

过程与方法：会判断两向量是否相等，是否相反；会对两向量进行加减运算。

情感与价值观：通过学习，体会空间向量与平面向量的异同, 学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物.学习重难点：重点：空间向量加减法难点：空间向量与平面向量的不同点 学习过程： 【课前热身】1．作出平面向量-+及向量。

归纳：向量加法：首尾相连，由始至终；向量减法：起点重合，终点反向。

2．填空：=++ ； =+- ；=++ ； 【探索新知】学点一：空间向量的有关概念与平面向量一样，在空间，把具有 和 的量叫做空间向量。

空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的 ，向量表示起点是 ，终点是 。

||表示向量的 规定，长度为0的向量叫做 ，记为 。

模为1的向量称为 。

称为a 的相反向量，记为 称为相等向量。

注意：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。

即任意两个空间向量共面。

学点二：空间向量的加减法与平面向量加减法类似，即AB OA += ；-= 。

与平面向量加法类似，空间向量的加法也满足交换律及结合律，即：， 【示例点拨】例１. 已知平行六面体''''D C B A ABCD -．写出分别与向量',,AA AD AB 相等的向量．ab ab D 'A 'B 'C 'D试一试１.在上面这个平行六面体中，写出分别与向量',,AA AD AB 相反的向量例２. 已知平行六面体''''D C B A ABCD -，以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于： （1）'C B +； （2）'A -； （3）'++；试一试２.在四面体ABCD 中，DA BC CD AB +++= ，BC DC AB +-= 。

1.1.1空间向量及其线性运算导学案【学习目标】1.理解空间向量的概念2.掌握空间向量的线性运算3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用【自主学习】知识点一 空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.知识点二 几类常见的空间向量知识点三 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法(2)①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点四 共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .知识点五 共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.【合作探究】探究一 空间向量的有关概念 【例1】(1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) 【答案】(1)②②② (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于②，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故②错； 对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于②，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故②正确； 对于②，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]归纳总结：(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.【练习1】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B[根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，②不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，②不正确．综上可知只有②正确，故选B.]探究二 空间向量的线性运算【例2】(1)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P ­ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →； ②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→. (2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． 【答案】(1)D[对于②，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； 对于②，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)[解] ②如图，②OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A →，②y ＝z ＝－12.②②O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ②P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ②P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ②P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，②x ＝2，y ＝－2.归纳总结：1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．【练习2】已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →【答案】B[MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.] 探究三 共线问题【例3】(1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解． 【答案】(1)1[AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.](2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →②MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ②CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →＝2(AN →－AM →)＝2MN →. 所以CE →②MN →，即CE →与MN →共线．归纳总结：对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．【练习3】如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C→，所以A 1E →＝23AD →＝23b ， A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.课后作业A 组 基础题一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( )A ．DB → B ．AC → C ．AB →D ．BA →【答案】D[DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形【答案】A[②AO →＋OB →＝DO →＋OC →，②AB →＝DC →.②AB →②DC →且|AB →|＝|DC →|.②四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →B ．OM →＝2OA →－OB →－OC →C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC → D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →【答案】D[由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， 可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →②OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．]4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对【答案】A[因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ②AB .]5．已知在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD → C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD → 【答案】D[如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝⎛⎭⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.] 二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.【答案】2[由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.【答案】12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM →＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)【答案】平行[设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →②(AD →＋BC →)．]三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ②G 是②BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，②GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →) ＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →，②AG →＋13BE →－12AC → ＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ②A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，②A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→)＝23A 1B →＋23A 1M →，②A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．B 组 能力提升一、选择题1．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →【答案】BD[A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]2．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( )A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0【答案】BCD[根据共线向量的定义，若AB →②CD →，则AB ②CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →②AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ②b ，故C 正确；易知D 也正确．] 二、填空题3．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．【答案】－1 0[由A 、B 、C 三点共线，②2＋μ＝1，②μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC → 由A ，B ，C 三点共线知－m λ－n λ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.] 4．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．【答案】－8[因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k， 所以k ＝－8.]三、解答题5.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断．[证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，②E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，②M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →. 由题意知四边形MNQR 是平行四边形，②MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)． 又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.②EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，②MQ →②EG →， ②EG →②平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，②MN →②EF →. 即EF ②平面ABCD .又②EG ∩EF ＝E ，②平面EFGH 与平面ABCD 平行。

精品导学案：第三章间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算知识点一 空间向量概念的应用给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ; ④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同； 与A 1C 1→与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→；④真命题．向量的相等满足递推规律；⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.答案 C知识点二 空间向量的运算化简：（ -）- ( -)解 方法一 （AB -CD ）-(AC -BD )=AB -CD -AC +BD =AB +DC +CA +BD =（AB +BD ）+（DC +CA ）=AD +DA =0。

方法二 （AB -CD ）-(AC -BD )=AB -CD -AC +BD=（AB -AC ）+（DC -DB ）=CB +BC =0。

在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，BC 、CD ，BM ，DM 和。

解 如图所示=+=d -b, =BA +=c -b,=+AD =d -c,DM =21(+)=21(b -d+c -d)= 21(b+c -2d), AQ =AD +DQ =d+32DM ,=d+31( b+c -2d)=31(b+c+d).知识点三 证明共线问题已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =32CD .求证：四边形EFGH 是梯形. 证明 ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点所以 AE =21AB ,AH =21AD , =AH -=21 -21=21(-)=21=21（CD -CB ）=21{32CG -32CF } =43（）=43,∴四边形EFGH 是梯形. 知识点四 证明共面问题正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点. 证明：向量A 1，B 1，是共面向量.证明 方法一 如图所示.=+1BA +A 1=21B 1 -A 1+2111D A - =21（C B 1 -B A 1）。

《空间向量及其运算》导学案编写：王显华审核：邓晖时间：2014-3-15班级：_________ 组别：________组名：______________姓名：___________ 【学习目标】1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．能说出空间向量的概念，能运用空间向量的线性运算及其性质；3．能掌握空间向量的数量积运算。

【学习重难点】重点：空间向量的概念，空间向量的加减、数乘运算及其性质；难点：空间向量的加减、数乘运算及其性质。

【知识链接】1、口述平面向量的有关概念：2、平面向量加减、数乘运算：类型几何运算符号运算坐标运算加法运算ACBCAB=+),(2121yyxxba++=+减法运算ABOAOB=-),(2121yyxxba--=-数乘运算当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.),(yxaλλλ=数量积运算,a b=||||cos,a b a b⋅⋅<>2121yyxxba+=∙3、以上运算都满足哪些运算律？【自主学习】类比平面向量的相关知识点，认真预习课本P84-90页3.1.1—3节内容。

体会向量及其运算由平面向空间推广的过程，独立完成自主检测。

【自主检测】A1.给出下列命题，写出正确命题序号①若ba=,则ba与的方向相同或相反；②若ba//，则存在唯一的λ，使baλ=；③在四边形ABCD中，必有ACADAB=+; ④在正方体DCBAABCD''''-中CAAC''=.A2.已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）DCBAABCD''''-，M点为CC'的中点,点G是CA'的三等分点,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

；BCAB+)1('21)2(CCADAB++；'DDADAB--⑶；．⑷)'(31AAADAB++A3.如图：三棱锥D-ABC的每条棱长都是1，DABC则=∙AC AB ,=∙BD AB .B4.设a b ⊥ ，,,,36a cbc ππ<>=<>= ，且||1,||2,||3a b c === ，则向量|a b c ++ |= 。