北京市海淀科大附中2017-2018高二数学期中考试

【解答】解： （1﹣i） （1+i）=1+1=2， ﹣i（1+i）=1﹣i， i（1+i）=﹣1+i， （1+i） （1+i）=2i， 故与 z=1+i 的乘积为实数的是（1﹣i） ， 故选：A． 2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx ）
第 2 页（共 16 页）
16． （10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且 （Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值； （Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an． 解： （Ⅰ）
ห้องสมุดไป่ตู้
．
（Ⅱ） 某同学用分析法证明此问， 证明过程如下， 请你在横线上填上合适的内容． 证明：要证 n≥2 时，an+1≤an 只需证 只需证 只需证 只需证 只需证 an≥ 根据均值定理， 所以原命题成立． 17． （10 分）已知曲线 f（x）=x3 在点（1，f（1） ）处的切线为 l，其中 x0≠0． （Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）求证：直线 l 和曲线 f（x）一定有两个不同的公共点． 18． （12 分）已知函数 f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数 a≠0． （Ⅰ）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1． （4 分）下列复数中，与 z=1+i 的乘积为实数的是（ A．1﹣i B．﹣i C．i ） D．1+i ）
2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++． 2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ，∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||11sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-， ∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <>== 故二面角111B AD C --的大小为． 5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________．【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ． （1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A 1A 【答案】（1）(0,0,1)．（2）112．【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CB AD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．。

…………外………………内……绝密★启用前北京海淀北2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标为（ ）． A ． 1,02⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 43．已知直线()1:3210l a x y -++=，直线2:30l ax y +-=，则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ）．A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件4．方程20mx ny +=与221(0)mx ny m n +=>>的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）．A ．B ．…………○………………○……C．D．5．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴端点为1A，2A，短轴端点为1B，2B，焦距为2，若112B A B为等边三角形，则椭圆的方程为（）．A．22162x y+=B．222213xy+=C．223314xy+=D．2211612x y+=6．已知圆C与y轴相切于点()0,2，x轴正半轴．．．截圆C所得线段的长度为圆C的圆心坐标为（）．A．()2B．(2,C．()4,2D．()2,47．已知椭圆22:12xC y+=，直线:l y x=+C上的点到直线l的最大距离为（）．A．B．C．D．8．曲线C是平面内与定点()2,0F和定直线2x=-的距离的积等于4的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则MF的最小值为)21，其中，所有正确结论为（）．A．①②B．①④C．①②③D．①②④第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知命题:p x R∀∈，210x x-+>，则:p⌝__________．10．经过点()0,1和点()1,3的直线l与圆()()222:12(0)C x y r r-+-=>相切，则直线l方程为__________；r=__________．11．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，()00,A x y是C上一点，54AF x=，则x=__________．12．已知长方形ABCD，4AB=，3BC=，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．13．(2017·天津卷改编)已知双曲线(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________.14．设F是椭圆2212516x y+=的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点()1,2,3,iP i=，使1FP，2FP，3FP，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为__________．三、解答题15．已知直线l经过点()2,4P，直线1:10l x y--=．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求直线l方程．（Ⅱ）若1l l⊥，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，求AOB（O为坐标原点）的面积．16．已知定点()2,4M及抛物线2:2(0)C y px p=>，抛物线C的焦点为F且准线l恰好经过圆22:20K x x y++=的圆心K．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程．装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………（Ⅱ）过点F 作MK 的平行线交抛物线C 于A 、B 两点，求AB 的长． 17．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点()， )的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程．（Ⅱ）设直线()1y k x =+与C 交于A ， B 两点， k 为何值时OA OB ⊥？此时AB 的值是多少？18．如图，曲线Γ由曲线()22122:10x y C y a b +=≤和曲线22222:1(0)x y C y a b-=>组成，其中0a b >>，点1F ， 2F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点3F ， 4F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点， ()22,0F ， ()36,0F -． （Ⅰ）求曲线Γ的方程．（Ⅱ）若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点A 、B ，求1ABF 面积的最大值．参考答案1．C【解析】根据题意，抛物线开口向右，焦点在x 轴的正半轴上，且21p =，∴124p =．∴抛物线2y x =的焦点坐标是1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭， 本题选择C 选项.点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要确定已经把抛物线方程化为标准方程.2．B【解析】所以2a =，故选B. 3．A【解析】若12l l ⊥，则()312a a --⨯-=-，即2320a a -+=，解得1a =或2a =， 所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件， 本题选择A 选项. 4．A【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线， 方程221(0)mx ny m n +=>>表示椭圆或双曲线， 当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程221(0)mx ny m n +=>>表示焦点在y 轴的椭圆，无符合条件的选项；当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右， 方程221(0)mx ny m n +=>>表示双曲线， 本题选择A 选项. 5．B【解析】∵112B A B 为等边三角形，∴a =，又1c =， 222a b c =+，解得232a =， 212b =， 21c =，则椭圆的方程为2213122x y +=， 即222213x y +=， 本题选择B 选项. 6．A【解析】设圆心为(),a b ，由于圆于y 轴相切于()0,2，故2b =． 又x 轴正半轴截圆C所得线段的长度为由对称性可得a =C的圆心坐标为()2， 本题选择A 选项. 7．B【解析】设椭圆平行于直线y x =+的切线为y x m =+，代入椭圆方程得2234220x mx m ++-=，则()221612220m m ∆=--=，解得m =则切线方程为y x =由于y x =+y x =+y x =C 上的点到直线l 的最大距离，max d ==， 本题选择B 选项.点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．8．D【解析】设动点的坐标为(),x y24x +=．①当0x =时， 0y =，∴曲线C 过坐标原点，故①正确；24x +=中的y 用y -代替，该等式不变，∴曲线C 关于x 轴对称，故②正确；③令0x =，则0y =，故曲线C 与y 轴只有1个交点，故③错误；24x +=，∴20y =≥，解得x -≤，∴若点M 在曲线C 上，则)4212MF x ==≥=+，故④正确．综上所述，所有正确的结论为①②④， 本题选择D 选项.9．0x R ∃∈， 20010x x -+≤【解析】对于含有全称量词命题的否定，需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故0:p x R ⌝∃∈， 20010x x -+≤．10． 210x y -+=5【解析】∵直线l 经过()0,1和()1,3， ∴31210l k -==-， ∴直线l 的方程为()120y x -=-，即210x y -+=，∵直线l 与圆()()222:12(0)C x y r r -+-=>相切，∴圆心()1,2到直线210x y -+=的距离， d r ===．即r =. 11．4【解析】根据抛物线的定义可得， A 到焦点F 的距离等于其到准线1x =-的距离，故00514x x +=． 解得04x =．12【解析】试题分析：因为点C 在椭圆上，根据椭圆的定义，，24c =，所以椭考点：1．椭圆的定义；2．椭圆的离心率．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，属于中档题．解决问题时先分析椭圆的的焦点，求出椭圆的焦距4AB =，因为有点在椭圆上，利用椭圆的定13．【解析】设点 ，因为该双曲线的离心率为 ，所以，①又经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 所以，② 联立①②，解得 ． 又 ，即 ③， 联立①③，解得 ， ， 故双曲线的方程为．点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．14．22,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】椭圆中5a =， 4b =， 3c =，若这个等差数列是增数列，则0d >， 112a PF a c =≥-=， 10108a P F a c =≤+=， ∴10196a a d -=≤，解得23d ≤， ∴203d <≤． 同理，若这个等差数列是减数列，则203d -≤<． 故d 的取值范围是22,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．15．(Ⅰ) 20x y -=．(Ⅱ)18. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合直线的点斜式方程可得直线l 方程是20x y -=．(Ⅱ)由题意可得直线l 的方程为60x y +-=，则()6,0A ， ()0,6B ，故166182AOBS=⨯⨯=． 试题解析：（Ⅰ）直线l 的斜率是2，且经过点()2,4P ，则由点斜式可得： 直线l 的方程为()422y x -=-，即20x y -=． （Ⅱ）若直线1l l ⊥，则111l l k k =-=-， ∴直线l 的方程为()42y x -=--，即60x y +-=，令0x =，则6y =，令0y =，则6x =，故()6,0A ， ()0,6B ，166182AOBS=⨯⨯=． 16．(Ⅰ) 24y x =．(Ⅱ) 254. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得圆心()1,0K -，抛物线的准线l 恰好经过点()1,0k -，则2p =．抛物线C 的标准方程为24y x =． (Ⅱ)由题意可知43MK k =，直线AB 的方程为()413y x =-，将AB 的方程代入抛物线可得241740x x -+=，则12174x x +=，由弦长公式有12254AB x x p =++=． 试题解析：（Ⅰ）由已知圆22:20K x x y ++=的圆心()1,0K -， ∵抛物线22y px =的准线l 恰好经过点()1,0k -， ∴12p-=-， 2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =． （Ⅱ）由已知()404213MK k -==--，∴直线AB 过点()1,0，且斜率为43， ∴直线AB 的方程为()413y x =-，将AB 的方程代入抛物线得 241740x x -+=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则12174x x +=， 故121725244AB x x p =++=+=． 点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．17．(Ⅰ) 2214x y +=．(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的定义可得C 的方程是2214x y +=；(Ⅱ)联立直线与椭圆的方程有()2222418440k x k x k +++-=，结合韦达定理可得2122841k x x k -+=+， 21224441k x x k -=+，则2122341k y y k -=+，结合直线垂直的充要条件有2121224041k x x y y k -+==+，则2k =±．然后由弦长公式可得AB =试题解析：（Ⅰ）设(),P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以()0，)为焦点，以长半轴为2的椭圆，∴c = 2a =，1b ==． 故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）联立()221{ 14y k x x y =++=，消去y ，整理得： ()2222418440k x k x k +++-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则2122841k x x k -+=+， 21224441k x x k -=+， ()()()22121212122311141k y y k x k x k x x x x k -=+⋅+=+++=+， 若OA OB ⊥，则222121222244340414141k k k x x y y k k k ---+=+==+++， 解得2k =±． ∴123217x x +=-， 121217x x =．17AB ===． 故当2k =±时， OA OB ⊥，此时AB =． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．(Ⅰ) ()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>．(Ⅱ) 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得2220{ 16a b ==，则曲线的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>． (Ⅱ)由（Ⅰ）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F ．联立直线方程与二次方程可得()225448640m y my +++=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1224854my y m +=-+， 1226454y y m =+，据此可得面积函数218254S m=⨯⨯+，换元后结合均值不等式的结论可得1ABF 面积的最大． 试题解析：（Ⅰ）()22,0F ， ()36,0F -，∴222236{ 4a b a b +=-=，解得2220{ 16a b ==， 故曲线的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F ． 设直线1l 的方程为6(0)x my m =+>，联立得()225448640m y my +++=， ()()2248464540m m ∆=-⨯⨯+>，化简得21m >．设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1224854m y y m +=-+， 1226454y y m =+，∴12y y -=1ABF的面积218254S m=⨯⨯+，令0t =>，则221m t =+，∴4S t t=≤+，当且仅当32t =，即m = ∴1ABF．。

北大附中2017-2018学年第1学段终结性评价试卷一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）． 已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题： （可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________． 【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据． 已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________． 【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意； 对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底． 表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________． 【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++．【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________． 【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角． 【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ， ∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =， 设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小． 【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <>== 故二面角111B AD C --的大小为．5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________． 【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112． 【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________． 【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C 的方程221y x n+=，O 为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________； （4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________； （5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________． 【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-． 【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b 2c =，故其离心率e 2ca==． （4）由（3）知，双曲线C的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上． （1）若焦点在y 轴上，可取n =__________； （2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________； （4）若2AO F △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x 轴，y 轴，原点对称． （3）4+ （4【解析】（1）若方程221y x n+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =． （2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214y x +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a ==，长半轴长为2，短半轴长为1，焦距为写两个几何特证即可．（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=， 此时2a =，1b =，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a =，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，解得e 0e 1<<，故e =4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C 条件，且5n =，直线l 过曲线C 的上焦点1F ，与椭圆交于点A 、B ． （1）下面的三个问题中，直线l 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究． （三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分） ①直线斜率为1，求线段AB 的长． ②OA OB ⊥，求直线l 的方程．③当AOB △面积最大时，求直线l 的方程． 我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）． （在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=， 由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x+=-，1216x x =-，∴线段||AB ==．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+， 代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+，∴线段||AB =2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =，∴AOB △的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+==∵2216181k k +++≥，∵14S =≤221611k k +=+，即k =时，取等号，∴AOB △，此时直线l的方程为：2y =+． （2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等． （3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ， 求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）． 定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线． 设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程． 【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标． 【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则204y x =， ∵点P 到焦点的距离为5， ∴015x +=，得04x =， ∴04y ==， 故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=， 164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值） ①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．我选择问题__________，研究过程如下：【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，则(,)m n 在反射光线上， 则1121212022n m m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩， 解得94m n =⎧⎨=⎩， ∴反射光线过点(9,4)，又∵点(4,4)P 在反射光线上，∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点，则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，由2004()y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=，又2004y x =代入上式化简得20(2)0ky -=， ∴02k y =， ∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -， 法线方程为000()2y y y x x -=--， 即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ， 则020*********n m y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：42002006828y y m y n y ⎧++=⎪+⎨⎪=⎩， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭， 又∵反射光线过00(,)M x y ， ∴反射光线所在直线方程为0y y =， 故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射， 反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分 只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分 只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二： 把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分 因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分 即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分 当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分 即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分 综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二： 因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分 所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数， 而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞） 所以函数()f x 只有一个零点…………………8分 当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==， 当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<， 所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点， 而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分 当0a >，其中10x =<（舍） 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时， 则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时 则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分 综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

2017-2018学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列复数中，与z=1+i的乘积为实数的是（）A．1﹣i B．﹣i C．i D．1+i2．（4分）已知函数f（x）=sinx+e x，则下面各式中正确的是（）A．f′（x）=cosx+e x B．f′（x）=﹣cosx+e x C．f′（x）=﹣e x co sx D．f′（x）=﹣e x sinx 3．（4分）函数f（x）=x，g（x）=x2在[0，1]的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是（）A．m1=m2B．m1＞m2C．m2＞m1D．m1，m2的大小无法确定4．（4分）用反证法证命题“若果平面α∥平面β，且直线l与平面α相交，那么直线l与平面β相交”时，提出的假设应该是（）A．假设直线l∥平面βB．假设直线l平面与β有公共点C．假设直线l与平面β不相交D．假设直线l在平面β内5．（4分）有A，B，C，D，E这5名同学围成一圈，从A起按逆时针方向依次循环报数，规定：A第一次报的数为2，B第一次报的数为3．此后，后一个人所报的数总是前两个人所报的数的乘积的个位数字，如此继续下去．则A第10次报的数应该为（）A．2 B．4 C．6 D．86．（4分）已知曲线：①y2=x②x2+y2=1③y=x3④x2﹣y2=1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（4分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）函数f（x）=x3+ax2﹣ax，g（x）=f′（x），其中a为常数，则下面结论中错误的是（）A．当函数g（x）只有一个零点时，函数f（x）也只有一个零点B．当函数f（x）有两个不同的极值点时，g（x）一定有两个不同的零点C．∃a∈R，使得函数g（x）的零点也是函数f（x）的零点D．∃a∈R，使得函数f（x）的极值点也是g（x）的极值点二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）复数在复平面上对应的点位于第象限，且|z|=．10．（4分）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x﹣y+1=0平行，则f′（1）=．11．（4分）函数f（x）=kx﹣e x在[0，1]上单调，则k的取值范围是．12．（4分）不等式x＞lnx+1的解集为．13．（4分）计算sin230°+sin290°+sin2150°=，sin260°+sin2120°+sin2180°=，请你根据上面的计算结果，猜想sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=．14．函数f（x）=e x（x2+ax+a）在区间（0，1）上存在极值，则a的取值范围是15．（4分）已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则直线MN的斜率等于．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图，曲边三角形中，线段OP是直线y=2x的一部分，曲线段PQ是抛物线y=﹣x2+4的一部分．矩形ABCD的顶点分别在线段OP，曲线段PQ和y轴上．设点A（x，y），记矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并指明定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值．17．（10分）在各项均为正数的数列{a n}中，a1=a且．（Ⅰ）当a3=2时，求a1的值；≤a n．（Ⅱ）求证：当n≥2时，a n+1解：（Ⅰ）（Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．证明：要证n≥2时，a n≤a n+1﹣a n，只需证a n+1只需证≤0只需证只需证a n≥，根据均值定理，所以原命题成立．18．（12分）已知曲线f（x）=x3在点（1，f（1））处的切线为l，其中x0≠0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求证：直线l和曲线f（x）一定有两个不同的公共点．19．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx，其中常数a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）如果函数f（x）没有零点，求实数a的取值范围．。

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A B 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．。

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知命题，，则是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】为：，.选C.2. 设直线的倾斜角为，且，则a,b满足A. B.C. D.【答案】D【解析】由题设有，因为，所以，所以，故，选D.3. 已知p,q是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：若是真命题，则为真命题，且为真，而为假命题，所以“是真命题”是为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为D．考点：1．充要条件；2．含有逻辑联结词的命题的真假性．4. 直线与圆交于E，F两点，则（O是原点）的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】圆心到直线的距离为，所以，而到直线的距离为，所以.选D.5. 关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面、，下列命题正确的是A. ，且，则B. ，且，则C. ，且，则D. ，且，则m//n【答案】B【解析】在如图所示的正方体中，平面，平面，平面平面，，异面，A错；在正方体中，平面平面，平面，平面，但是，C错；平面平面，平面，平面，但是相交.排除A，C，D.选B.6. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是A. B.C. D.【答案】A【解析】抛物线的焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.7. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨设双曲线的标准方程为，所以，且，所以，双曲线的标准方程为.选A.8. 已知点A（2，1），抛物线的焦点是F，若抛物上存在一点P，使得最小，则P点的坐标为A. （2，1）B. （1，1）C. （，1）D.【答案】C【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，则，其中为到准线的距离，而，此时.选C.点睛：在抛物线中，与焦点有关的最值问题，通常转化为与准线有关的最值问题.9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是A. 乙，丁B. 甲，丙C. 甲，丁D. 乙，丙【答案】B【解析】由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误，若乙丁同时正确，根据乙的说法“班没有获奖，班获奖了”中奖情况有两种：班和班获奖或者班和班获奖，两种情况都说明丙同学的说法正确，这样就有丙乙丁三位同学的说法正确，所以不合题意，故只能乙丁两位同学说法同时错误，从而知甲丙两位同学说法正确，故选B.10. 如图，正方体中，P为底面ABCD上的动点，于E，且PA=PE，则点P的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】如图，过做，垂足为，连接.因为平面，平面，故.又因，故平面，而平面，所以.因为，故平面，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.二、填空题（每小题5分，共30分）11. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是________。

……外…………○……学校:____……内…………○……绝密★启用前北京海淀2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列四个命题中，假命题为（ ）．A ． x R ∀∈， 20x >B ． x R ∀∈， 2310x x ++>C ． x R ∃∈， lg 0x >D ． x R ∃∈， 22x = 2．“k =是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相切”的（ ）．A ． 充分而必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．A ．16 B ． 13 C ． 23D ． 1 4．命题:πp x =是sin y x =的一条对称轴；命题:2πq 是sin y x =的最小正周期．下………○…………订…※※在※※装※※订※※线※※内※※答………○…………订…①p且q；②p或q；③p⌝；④q⌝．其中真命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若mβ⊂，αβ⊥，则mα⊥；②若α// β，mα⊂，则m // β；③若nα⊥，nβ⊥，mα⊥，则mβ⊥；④若αγ⊥，βγ⊥，mα⊥，则mβ⊥．其中正确命题的序号是A．①③ B．①② C．③④ D．②③6．若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（A（B）4（C（D）87．已知圆()()221:231C x y-+-=，圆()()222:349C x y-+-=，M、N分别是圆1C、2C上的动点，P为x轴上的动点，则PM PN+的最小值为（）．A．4B．1C．6-D．8．已知函数()221,1{1,1x ax xf xax x x++≥=++<，则“20a-≤≤”是“()f x在R上的单调递增”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知正方形的边长为将沿对角线折起，使平面平ABCD ABC∆AC ABC⊥…装…………○…订…………○____姓名：___________班级：_考号：__________…装…………○…订…………○面，得到如图所示的三棱锥．若为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且.设，则三棱锥的体积的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．10．如图，四面体OABC 的三条棱OA ， OB ， OC 两两垂直， 2OA OB ==，3OC =， D 为四面体OABC 外一点，给出下列命题．①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形； ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥； ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等；④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上．其中真命题的序号是（ ）．A ． ①②B ． ②③C ． ③D ． ③④ACD B ACD -O AC M N DC BO BN CM =BN x =N AMC-()y f x =………外…………………内…………第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．设()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C，则AB中点M到C的距离CM=_______.12．圆222660x y x y+--+=与圆22610300x y x y+--+=相交于A，B两点，则弦AB=___________．13．设命题:p x R∃∈，220x ax a+-=．命题:q x R∀∈，22421ax x a x++≥-+，如果命题“p q∨”为真命题，“p q∧”为假命题，求实数a的取值范围__________．14．已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：1y x=-被圆C所截得的弦长为l垂直的直线的方程为．15．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为_________，离心率为___________．16．将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①侧面是等边三角形；②；③三棱锥的体积是．其中正确命题的序号是_________．（写出所有正确命题的序号）17．如图，正方体1111ABCD A BC D-的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.S为四边形；②当S为等腰梯形；…………○………………订…………○学校:_____级：___________考号：___________…………○………………订…………○ S 与11C D 的交点R 满足 S 为五边形； ⑤当1CQ =时， S 的面积为三、解答题18．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直， 90ADE ∠=︒，AF DE ， 22DE DA AF ===．（I ）求证： AC ⊥平面BDE ． （II ）求证： AC 平面BEF ． （III ）求四面体BDEF 的体积．19．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度AD 为，行车道总宽度BC 为，侧墙面高EA ，FD 为2m ，弧顶高MN 为5m ．（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．20．某隧道的拱线段计为半个椭圆的形状，最大拱高h 为6m （如图所示），路面设计是双向四车道，车道总宽度为22m ．如果限制通行车辆的高度不超过4.5m ，那么隧道…………○……………○…设计的拱宽d至少应是多少米（精确到0.01）？21．已知圆()222x a y r-+=与直线1y x=-交于A，B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点．（1）如果直线OP的斜率为13，求实数a的值．（2）如果AB=，且OA OB⊥，求圆C的方程．22．已知直线与圆相交于、两点，且满足．（）求圆的方程．（）若，，为轴上两点，点在圆上，过作与垂直的直线与圆交于另一点，连，求四边形的面积的取值范围．参考答案1．B【解析】B 选项： 2310x x ++>的解为： x >x <，B 错，其余选项均为正确． 故选B ． 2．A【解析】若直线与圆相切，则圆心到直线距离1d r ===，∴k =∴k =故选A ． 3．B【解析】三视图对应的原图如下所示：BC CD ⊥， AB ⊥面BCD ，∴1133V BC CD AB =⨯⋅⋅=． 选B ． 4．C【解析】由题可知： sin y x =图如图所示：∴πx =是对称轴，故p 为真，sin y x =的最小正周期为π，故q 为假，∴p 且q 为假； p 或q 为真， p ⌝为假； q ⌝为真． 选C ． 5．D【解析】试题分析：对于① 由m β⊂， αβ⊥不能得到m α⊥，故①不正确；排除A 、B ．对于② 由α// β， m α⊂，能得到m // β，故②正确；排除C故选D ．考点：1．空间线面之间的位置关系；2．命题真假的判断； 6．A 【解析】为3，则底面边长为2故A 正确。

C
A
B
【答案】 p q 【解析】“ m 、 n 均为非零实数”，即“ m 0 ， n 0 ”， 又命题 p : “ m 0 ”，命题 q 为：“ n 0 ”，故用字母符号表述命题：“ m 、 n 均为非零实数” 为： p q ．
3．已知增函数 y f (x) ，命题 t : “ x > y ， f (x) f ( y) > 0 ”， t 是：__________． 【答案】 x > y ， f (x) f ( y) ≤ 0 【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题 r : “ x > y ， f (x) f ( y) > 0 ”，
∴
AE

1
( AB1

AD1 )

1
(a

b)

1
a

1
b
．
2
2
22
-2-
（
2
）
AC1

AE

EC1

AE

1 2
A1C1

AE

1 2
AC

1 2
a

1 2
b

1 2
c
4．求二面角 B1 AD1 C1 的大小． 【答案】见解析．
-3-
【解析】解：设平面 AB1D1 的一个法向量为 m (x, y, z) ，

则

AB1
AD1
m m

0 0
，即
x

y

z z

海淀区2018-2018年高二年级第一学期数学期中试卷数 学2018.11学校___________ 班级___________ 姓名___________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若a ＜b ＜0，则下列不等关系中不能成立的是( ) A ．a ＋b ＜0 B ．a ·b ＜0C ．|a|＞|b|D ．22b a >2．直线01y 3x =++的倾斜角是( )A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π3．下列不等式中解集是实数集R 的是( )A ．04x 4x 2>++B ．0x 2>C ．x 11x1<- D ．cos(sinx)＞0 4．不等式|x|·(2x －1)＜0的解集为( )A ．(－∞，21) B ．(－∞，0)C ．(0，21)D ．(－∞，0)∪(0，21)5．若两直线1l ：ax ＋2y ＋6＝0，2l ：x ＋(a －1)y ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1C ．－1D ．326．已知入射线所在直线方程为2x －y －4＝0，遇x 轴即行反射，那么反射线所在直线方程为( )A ．2x ＋y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2y －x －2＝0D ．2y ＋x ＋2＝07．若x ≠0，则函数22x 3x 64y --=有( )A ．最大值264-B ．最小值 264-C ．最大值264+D ．最小值264+8．直线l 过点A(－2，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则满足此条件的直线l的条数为( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．在△ABC 中，A(2，4)，B(－1，2)，C(1，0)．点P(x ，y)在△ABC 内部和边界运动，则z ＝x －y 的最大值、最小值分别是( )A ．2，1B ．－1，－3C ．1，－3D ．3，－210．不等式|x log ||x ||x log x |33+<+的解集为( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 11．不等式1＜|x －1|＜3的解集为______________．12．直线1l ：mx ＋4y －2＝0，2l ：2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，P)，则m ＋4p 的值为______________，m ＋n －p 的值为______________．13．已知三个不等式：①ab ＞0，②b d ac -<-，③bc ＞ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，那么一定可以组成______________个正确的命题．14．已知x ＞0，由不等式2x 1x ≥+；3x 42x 2x x 4x 22≥++=+； 4x a 3x 3x 3x x a x 33≥+++=+，……启发我们可以推广结论：1n x bx n +≥+(n ∈N *)由上面含a 、b(a ＞0，b ＞0)不等式中取等号时，a 的值为______________，b 的值为______________．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分10分) 解下列不等式(1)5|1x 3x |2<+-(2)21x 2x <++16．(本题满分10分)等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在直线方程为2x ＋3y －6＝0，顶占C(－2，1)，(Ⅰ)画出直线AB ，求直线AB 的方向向量及其截距式方程；(Ⅱ)求直线AC和直线BC的方程和△ABC面积．17．(本题满分8分)要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为6、8、10块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．18．(本题满分8分)如下图，在y轴正半轴上给定两个定点A(0，a)，B(0，b)，(a＞b＞0)，x轴上一动点C(x，0)．(Ⅰ)求∠ACB 的正切值；(Ⅱ)是否在x 轴上存在点C ，使∠ACB 的值最大？若存在，求出所有满足条件的点C 坐标．19．(本题满分8分)已知a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)(I)求证：y x )b a (y b x a 222++≥+，并指出等号成立的条件；(Ⅱ)利用(I)的结论求函数x 219x 2)x (f -+=(x ∈(0，21))的最小值，并指出取最小值时相应的x 的值．附加题：(本题满分10分)已知：函数f(x)定义域为(0，1)，值域为R ，且满足(1)任意取x ∈(0，1)，f(x)＞0(2)任意取x ，y ∈(0，1)，2)x 1(f )y 1(f )y (f )x (f ≤--+求证：f(x)在(0，1)上是常值函数．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 11．{x|－2＜x ＜0，或2＜x ＜4}；(对一个可给2分) 12．2，0；(每空2分) 13．3；14．27，nn ．(每空2分)三、解答题：本大题共6小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题10分)解：(1)5|1x 3x |2<+-原式化为51x 3x 52<+-<-，……………………………………………………………………2分R ∩{x|－1＜x ＜4} ………………………………………………………………………4分即：{x|－1＜x ＜4} ………………………………………………………………………5分(2)21x 2x <++1x 2)1x )(2x (<+++-……………………………………………………………………2分计算得x(x ＋1)(x －1)＜0 …………………………………………………………………………4分 x ∈(－∞，－1)∪(0，1) …………………………………………………………………5分 16．(本题10分)解：(I)直线AB 的方向向量(1，32-)……………………………………………………………………………………1分直线AB 的截距式方程：12y 3x =+ …………………………………………………………………………………2分画图正确 …………………………………………………………………………………3分(II)∵32k AB -=，设与直线AB 夹45°角的直线斜率为k ，则145tan )32(k 1)32(k =︒=-⋅+-- ………………………………………………………………4分∴51k =或－5．……………………………………………………………………………6分∴直线AC 的方程：x －5y ＋7＝0直线BC 的方程：5x ＋y ＋9＝0 …………………………………………………………7分点C(－2，1)到直线AB 的距离137d =． ……………………………………………8分∴△ABC 面积：1349137137221d |AB |21=⋅⋅=⋅………………………………………………………10分17．(本题8分)解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+．，分，，，0y 0x 3 10y 3x 8y 2x 6y x 2作出可行域(如图)目标函数为z ＝x ＋y ，此问题中，钢板张数为正整数．在一组平行直线x ＋y ＝t ……………………………………………………………………………………4分 中，(t 为参数)，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝5， …………………………………………………………………………………6分 经过的整点是A(1，4)，B(2，3)，它们是最优解．答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种．第一种截法是截第一种钢板1张、第二种钢板4张；第二种截法是截第一种钢板2张、第二种钢板3张．两种方法都最少要截两种钢板共5张．………………………………………………8分18．(本题8分)解：设点C(x ，0)，∠ACB ＝θ(I)∵x ak AC -=，x b k BC -=， …………………………………………………………2分 ∴x ab x b a x b x a 1x bx a tan +-=⋅+-=θ……………………………………………………………4分 (II)存在点C ，使∠ACB 最大． …………………………………………………………5分 当点C 在x 轴正半轴时， ∵a ＞b ＞0，x ＞0∴ab 2x abx ≥+∴ab 2ba tan -≤θ (6)分当且仅当ab x =时，ab 2b a tan -=θ∵θ为锐角，∴点C 坐标(ab ，0)时，∠ACB 最大，同理可证，点C 坐标(ab -，0)时，∠ACB 也最大． ………………………………8分19．(本题8分)解：(I)作差比较 ………………………………………………………………………………1分 y x )b a (y b x a 222++-+)y x (xy )b a (xy )y x (x b )y x (y a 222++-+++=)y x (xy )b ab 2a (xy xy b x b y a xy a 22222222+++-+++=)y x (xy abxy 2x b y a 2222+-+=)y x (xy )bx ay (2+-=≥0(x ，y ∈(0，＋∞)) ……………………………………………………………………3分 当且仅当ay ＝bx 时，“＝”成立．………………………………………………………4分(II)由x 219x 2)x (f -+=(x ∈(0，21)) 得x 213x 22)x (f 22-+=(x ∈(0，21)，1－2x ＞0) ………………………………………5分 利用(I)的结论25)x 21(x 2)32()x (f 2=-++≥………………………………………………6分当且仅当2(1－2x)＝3·2x ， 即51x =时，函数的最小值为25．……………………………………………………8分注：(I)未证出，直接用(I)结论证出(II)者，给分步分．附加题：(10分)证明：任意取x ，y ∈(0，1)，则0＜1－x ＜1，0＜1－y ＜1，由(1)知f(x)＞0，f(y)＞0，f(1－x)＞0，f(1－y)＞0由重要不等式知2)x (f )y (f )y (f )x (f ≥+，2)x 1(f )y 1(f )y 1(f )x 1(f ≥--+-- ……………………………………………2分 所以4)x 1(f )y 1(f )y 1(f )x 1(f )x (f )y (f )y (f )x (f ≥--+--++………………………………………………4分 当且仅当f(x)＝f(y)，f(1－x)＝f(1－y)时，“＝”成立．由(2)知2)y 1(f )x 1(f )y (f )x (f ≤--+，2)x 1(f )y 1(f )x (f )y (f ≤--+……………………………………………6分 即：4)x 1(f )y 1(f )y 1(f )x 1(f )x (f )y (f )y (f )x (f ≤--+--++……………………………………………8分 所以2)x (f )y (f )y (f )x (f =+，2)x 1(f )y 1(f )y 1(f )x 1(f =--+--即：f(x)＝f(y)，f(1－x)＝f(1－y) …………………………………………………10分所以，由x ，y 任意性可知，f(x)在(0，1)上是常值函数．。

2017 北京市海淀科大附中高二（上）期中数
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．）
1. 已知直线经过点
和点
，则直线 的斜率为（
）．
A.
B.
C.
D. 不存在
2. 如果直线
和
互相平行，则实数 的值为（
）．
A.
B.
C.
或 D. 或
3. 圆
与圆
的位置关系是（
）．
A. 相交 B. 外切 C. 内含 D. 内切
．
故四棱锥的表面积等于
．
11.
【答案】
或
【解析】当直线斜率不存在时，直线为
当直线斜率存在时，设切线方程为
，与圆相切，符合题意 ；
，即
．由于直线与圆相切 ，故圆心
等于半径 ，即
，解得
，
到直线的距离
∴直线方程为
，即
．
综上，切线的方程为
或
．
点睛： 本题是一道易错题， 当定点在圆外时， 可以作定圆的两条切线， 如果只求出一条直线， 原因在直线的设法上，
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）．
90°.④在平面上利用初中所学知识判断 .
9. 【答案】
【解析】由直线 的方程
可知直线的斜率
，设直线 的倾斜角内 ，则
，
又
，所以
．
10. 【答案】 【解析】∵正四棱锥的各棱长均为
，∴底面面积为
．
5 / 11
各侧面都是边长为 的等边三角形，∴侧面积为
如图，平行四边形
中，
，
，
，
平面
，
，点 为 中点，连结 、 ．

绝密★启用前北京海淀2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知直线l 的方程为1y x =+，则直线l 的倾斜角为( ).A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒2．若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ）A ． -1B ． 1C ． 3D ． -33．一个边长为10cm 的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当6x =时，则这个容器的侧面积为（ ）．A ． 24B ． 48C ． 60D ． 964．直线1:0l ax y -=与直线()2:210l a x y +-+=垂直，则a 的值为（ ）．A ． 1±B ． 1-C ． 1D ． 2-或05．用a 、b 、c 表示三条不同的直线， β表示平面，给出下列命题：①若a b ， b c ，则a c ；②若a b ⊥， b c ⊥，则a c ⊥；③若a β， b β，则a b ；④若a β⊥， b β⊥，则a b ．其中正确命题的序号是（ ）．A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④6．由直线1y x =+上的一点向圆()2231x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）．A ．B ． 3C ．D ． 1 7．过点()5,6P 作圆()()22:1236C x y -+-=的弦，其中最短的弦长为（ ）．A ． 2B ． 4C ．D ． 88．如图，正四棱柱ABCD －1111A B C D ，1AA ＝2，1AB ＝，M ，N 分别在1AD ，BC 上移动，且始终保持MN ∥平面11DCC D ，设B N x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是( )第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．在平面直角坐标系中，点()1,0,2A 到点()3,4,0B -之间的距离为__________．10．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为__________．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为__________．12．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是__________．13．在平面直角坐标系 中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围是________.14．直线1ax by +=与圆221x y +=相交于A ， B 两点（其中a ， b 是实数），且AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点()2,2之间距离的最小值为__________．三、解答题15．在平面直角坐标系xOy 中， ABC 的顶点坐标分别为()2,2A --， ()4,0B ， ()0,2C ． （1）求过点A 且与直线BC 垂直的直线方程．（2）求ABC 的面积．16．如图，在四棱锥S ABCD -中，所有侧棱长与底面边长均相等， E 为SC 的中点．求证：（1）SA 平面BDE ． （2）BD ⊥平面SAC ．17．已知圆M 过两点()1,1C -， ()1,1D -，且圆心M 在20x y +-=上． （1）求圆M 的方程． （2）设P 是直线3480x y ++=上的动点， PA ， PB 是圆M 的两条切线， A ， B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．18．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 为线段 的中点， 为线段 上一点．（ ）求证： ．（ ）求证：平面 平面 ．（ ）当 平面 时，求三棱锥 的体积．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,3A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，且圆心C 在直线l 上． （1）若圆心C 的坐标为()3,2，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程． （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．20．如图， AB 是⊙O 的直径，点C 是AB 的中点， PA ⊥平面ABC ， PA AB =， 6PB =．⊥．（1）求证BC PC（2）若点Q是平面ABC内一动点，且，请在平面ABC内，建立适当的坐标系，求出点Q的轨迹方程，并求出点Q在ABC内的轨迹长度．参考答案1．B【解析】试题分析：直线l 的方程为1y x =+，故直线的斜率1k =，设直线l 的倾斜角为α，则tan 1α=，又0180α︒≤<︒，故45α=︒.考点：直线的倾斜角与斜率.2．B【解析】分析：圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a 的值． 解答：圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，故选 C 。

绝密★启用前 【全国区级联考】北京海淀2017-2018年高二上期中数学真题卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）． A ． B ． C ． D ． 2．直线2x y +=的倾斜角是（ ）． A ． π6 B ． π4 C ． 2π3 D ． 3π4 3．抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是（ ）． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4．已知直线2y ax =-和直线()21y a x =++互相垂直，则实数a 等于（ ）． A ． 2 B ． 1 C ． 0 D ． 1- 5．已知点A ∈直线a ，又A ∈平面α，则（ ）． A ． a α B ． a A α⋂= C ． a α⊂ D ． a A α⋂=或a α⊂ 6．一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则俯视图不可能为（ ）．………○…………订………○…………线…………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※题※※ ………○…………订………○…………线…………○…… A ． B ． C ． D ．7．如图，在正方形 中， 、 分别是棱 ， 的中点， ，直线 、 的位置关系是（ ）．A ． 平行B ． 相交垂直C ． 相交不垂直D ． 异面8．若圆()2221x y r +-=与曲线()11x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是（ ）．A ． 0r <<B ． 0r <<C ． 0r <<D ． 0r <<第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若一个球的半径为2，则它的表面积为__________．10．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由1123OP OA OB OCλ=++确定的点P与A，B，C三点共面，则λ=__________．11．设m为常数，若点()0,5F是双曲线2219y xm-=的一个焦点，则m=__________．12．直线y x=被圆()224x y x+-=截得的弦长为__________．13．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线为20x y+=，一个焦点为)0，则a=__________；b=__________．14．已知数列{}n a中，1(02)a a a=<≤，()()12(2){*32n nnn na aa n Na a+->=∈-+≤，记12n nS a a a=+++，若2017nS=，则a=___________，n=___________．三、解答题15．已知函数()22πcos2sin cos3f x x x x⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）函数()f x的最小正周期及图象的对称轴方程．（2）求函数()f x在π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的值域．16．某学校为调查高二学生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高二年级学生中随机抽取100名按上学所需要时间分组：第1组(]0,10，第2组(]10,20，第3组(]20,30，第4组(]30,40，第5组(]40,50，得到的频率分布直方图如图所示．……外…………○……………线…………○……※※请……内…………○……………线…………○……（1）根据图中数据求a 的值．（2）若从第3， 4， 5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3， 4， 5组各抽取多少名新生？（3）在（2）的条件下，该校决定从这6名学生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一志愿者被抽中的概率．17．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点()2,1A ．（1）求抛物线的焦点坐标和准线l 方程．（2）问在抛物线的准线上是否存在点B ，使线段AB 的中点到准线l 的距离正好等于到焦点F 的距离？如果存在，求出所有满足条件的点B ，如果不存在说明理由．18．如图，在直角梯形11AA B B 中， 190A AB ∠=︒， 11A B AB ，11122AB AA A B ===，直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AAC C ⊥平面11AA B B ． M 为线段BC 的中点， P 为线段1BB 上的动点．（1）求证： 11AC AP ⊥．（2）当点P 满足12BP PB =时，求证：直线1AC 平面AMP ．19．已知点()2,1P 和椭圆22:182x y C +=． （1）设椭圆的两个焦点分别为1F ， 2F ，试求12PF F 的周长及椭圆的离心率． （2）若直线():200l x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同点A ， B ，直线PA ， PB 与x 轴分别交于M ， N 两点，求证： PM PN =． 20．已知数列{}n a 满足：①0a ≥；②20a =；③30a >；④{}()0,1,*m n m n a a a m n N +--∈∀∈． （1）求1a ， 3a ， 6a ． （2）若1107369a =，定义数列3n m b a =，能否求出数列{}()1,2,3,,369n b n =的通项公式？若能，求出通项公式，若不能，说明理由？参考答案1．A【解析】由双曲线的方程可知2a =， 1b =， c ==，所以离心率c e a ==． 故选A ．2．D【解析】由直线方程可知直线的斜率1k =-，设直线的倾斜角是α，则tan 1α=-， 又[)0,πα∈，所以3π4α=． 故选D ．3．B【解析】抛物线24x y =的焦点为()0,1，直线方程为1y =-，所以焦点到准线的距离是2． 故选B ．4．D【解析】若直线2y ax =-和直线()21y a x =++互相垂直，则()21a a +=-，解得1a =-． 故选D ．5．D【解析】若点A ∈直线a ，又A ∈平面α，则直线a 与平面α至少有一个公共点A ，所以a A α⋂=或a α⊂．故选D ．6．C【解析】A 中，该几何体是直三棱柱，∴A 有可能；B 中，该几何体是直四棱柱，∴B 有可能；C 中，其正视图的中间为虚线，∴C 不可能；D 中，该几何体是直四棱柱，∴D 有可能．故选C ．7．C【解析】如图，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角系．设正方体边长为 ，则， ， ， ，∴ ， ， ，． ∵，∴ ，即 、 、 、 四点共面． 又由 ，且不存在 使 ，故 ，相交但不垂直， 即直线 、 相交但不垂直．故选 ．8．C【解析】圆()2221x y r +-=的圆心是()0,1，半径是r ，曲线()11x y -=整理得11y x =-． 设曲线11y x =-上一点为1,1a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则圆心到曲线上点1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离为d ==== ∵圆()2221x y r +-=与曲线()1x y -的图象没有公共点，∴0r <<故选C ．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。

北大附中2017-2018学年第1学段终结性评价试卷一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）． 已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题： （可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________． 【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据． 已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________． 【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意； 对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底． 表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________． 【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++．【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点，∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________． 【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角． 【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ， ∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =， 设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅，∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小． 【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <== 故二面角111B AD C --的大小为5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________． 【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C ∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112． 【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________． 【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C 的方程221y x n+=，O 为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________； （4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________； （5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________．【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-． 【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b 2c =，故其离心率e 2ca==．（4）由（3）知，双曲线C 的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上． （1）若焦点在y 轴上，可取n =__________； （2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________； （4）若2AO F △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x 轴，y 轴，原点对称． （3）4+ （4． 【解析】（1）若方程221y x n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =． （2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214y x +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a==，长半轴长为2，短半轴长为1，焦距为等，任写两个几何特证即可．（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=， 此时2a =，1b =，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a =，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=， 解得e =0e 1<<，故e =4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C 条件，且5n =，直线l 过曲线C 的上焦点1F ，与椭圆交于点A 、B ． （1）下面的三个问题中，直线l 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究． （三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分） ①直线斜率为1，求线段AB 的长． ②OA OB ⊥，求直线l 的方程．③当AOB △面积最大时，求直线l 的方程． 我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）． （在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=，由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x +=-，1216x x =-，∴线段||AB =．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+，∴线段||AB =2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =∴AOB △的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+==∵2216181k k +++≥，∵14S =≤221611k k +=+，即k =时，取等号， ∴AOB △l的方程为：2y =+． （2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等． （3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ， 求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）． 定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线． 设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程． 【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标．【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则2004y x =， ∵点P 到焦点的距离为5，∴015x +=，得04x =，∴04y =，故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=， 164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值） ①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．我选择问题__________，研究过程如下：【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，则(,)m n 在反射光线上， 则1121212022n m m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩， 解得94m n =⎧⎨=⎩， ∴反射光线过点(9,4)，又∵点(4,4)P 在反射光线上，∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射， 反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴． ②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点， 则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-， 由2004()y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=， 又2004y x =代入上式化简得20(2)0ky -=， ∴02k y =， ∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -， 法线方程为000()2y y y x x -=--， 即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ， 则020*********n m y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：42002006828y y m y n y ⎧++=⎪+⎨⎪=⎩， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭， 又∵反射光线过00(,)M x y ，∴反射光线所在直线方程为0y y =， 故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射， 反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。