2016年高中数学多元函数求最值问题专题

关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。

在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。

首先，让我们来了解一下多元函数的概念。

在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。

多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。

因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。

下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。

首先是多元函数的极大值和极小值的求解。

要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。

第一步是计算多元函数的偏导数。

在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。

例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。

我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。

通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。

第三步是找到临界点。

临界点是指函数定义域的边界点。

我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。

为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。

通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。

接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。

要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。

首先，确定给定区域的边界条件。

给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。

第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。

这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。

拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。

第五节多元函数的极值及其求法的图形观察二元函数22y x e xyz +-=播放播放设函数),(y x f z =在点),(00y x 的及其附近有定义，对于点),(00y x 附近的任一点),(y x 都有),(),(00y x f y x f <，则称函数在),(00y x 有极大值；若有),(),(00y x f y x f >，则称函数在),(00y x 有极小值.一、多元函数的极值及最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yx z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22yx z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xyz =设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .多元函数取得极值的条件（称驻点）例如, 点)0,0(是函数xy z =的驻点，但不是极值点.驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，设 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ，定理2（充分条件）则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00， （1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．设3322(,)339f x y x y x y x =-++-,求极值. 求得驻点：)2,1(),2,3(),0,1(),0,3(--,二阶偏导数为：66,0,66+-=''=''+=''y f f x f yy xy xx ,C B A 2B AC - （-3,0）-12 0 6 - 不是极值 （1,0）12 0 6 + 极小值-5 （-3,2）-12 0 -6 + 极大值31 （1,2） 12 0 6- 不是极值 例4解，令⎪⎩⎪⎨⎧=+-='=-+='063096322y y f x x f y x多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解x y o 6=+y x D 例5先求函数在D 内的驻点，⎩⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,再求),(y x f 在D 边界上的最值，解方程组 在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,在边界6=+y x 上，即x y -=6，得 4,021==x x ，,2|64=-=⇒=x x y ,64)2,4(-=f 比较后可知4)1,2(=f 为最大值, 64)2,4(-=f 为最小值.,)6(223x x -=)2)(6(2--=x x z )60(≤≤x ,0)4(6=-='x x z 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,要做一个容积为323cm 的无盖长方体箱子，问长、宽、高各为多少时，才能使所用材料最省？ 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.例6解6464(0.0)S xy x y x y =++>>设长方体的长为x ，高为y ，则宽为32.xy 则箱子所用材料的面积为令由实际问题意义知,S 必有最小值,且内部唯一驻点,故当4x y ==时,S 有最小值.即当长、宽均为4cm 时，所用材料最省.22640640x y S y x S x y ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩解得唯一驻点 4.x y ==用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？二、条件极值拉格朗日乘数法设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,,则目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =, 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例7解即表面积最小.，xyV z =⇒ 代入目标函数,化为无条件极值问题：x yz令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='0)(20)(222y V x S x V y S y x ,求得唯一驻点3V y x ==,从而3V z =, 内部唯一驻点,且由实际问题S 有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时解出隐函数困难甚至不可能.目标函数化为：)(2yV x V xy S ++=, 0,0>>y x要找函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，解出λ,,y x ，其中y x ,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法令,0),(0),(),(0),(),(⎪⎩⎪⎨⎧=='+'='+'y x y x y x f y x y x f y y x x ϕϕλϕλ其中λ为参数，引入拉格朗日函数),(),();,(y x y x f y x F λϕλ+=如果目标函数是三元函数),,(z y x f ,且约束条件有两个,0),,(=z y x g ,0),,(=z y x h ,则构造拉格朗日函数为.),,(),,(),,(),;,,(z y x h z y x g z y x f z y x L μλμλ++=令,0),,(0),,(),,(),,(),,(0),,(),,(),,(0),,(),,(),,(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=='+'+'='+'+'='+'+'z y x h z y x g z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z z z y y y x x x μλμλμλ解出z y x ,,，就是可能的极值点的坐标.用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？例7目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =,解构作拉格朗日函数 )()(2V xyz zx yz xy L -+++=λ,令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++='Vxyz xy y x L xz z x L yz z y L z y x 0)(20)(20)(2λλλ, 解得唯一驻点,3V z y x ===,由实际问题,即为最小值点.。

多元函数的极值判别式多元函数的极值判别式一般用于多元函数的极值问题的求解。

在数学中，极值是指函数在给定函数定义域内的最大值或最小值。

求解多元函数的极值问题可以应用于各种实际问题，例如在经济学中，我们可以利用极值来确定最优的产量、价格等策略。

本文将介绍多元函数的极值判别式与其求解方法。

一、多元函数定义在多元函数中，变量不仅有一个，而是可以有多个，因此，多变量函数通常被表示为$f(x_1, x_2,...,x_n)$，其中$x_1,x_2,...,x_n$是自变量。

因此，多变量函数的极值点也是$n$维的向量$(x_1,x_2,...,x_n)$。

二、多元函数的极值定义多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在点$(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})$处取得最大值或最小值，可以通过判定定义域内所有局部的最大值和最小值，即极值点，然后比较这些点的函数值来确定。

三、多元函数的极值判别对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，考虑在点$(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})$处是否取得极值，其必要条件为$f$在此处的所有偏导数均为零或不存在。

此外，还需要检查$f$在此处的二次型，即$f$的Hessian矩阵的行列式$\Delta$和特征值，来确定极值点的分类，即判断该点是否为极大值点或极小值点。

1、$\Delta>0$且所有特征值均为正，此时函数取得极小值。

2、$\Delta>0$且所有特征值均为负，此时函数取得极大值。

3、$\Delta<0$，此时函数在该点没有极值。

4、$\Delta=0$，需要进一步讨论。

若存在至少一个特征值为$0$，则函数在该点没有极值。

若存在特征值不为$0$，则需要进一步判定此点是否为鞍点。

四、多元函数的极值求解方法1、首先，我们需要求出$f$的所有偏导数。

2、将所有的偏导数设置为零，得到方程组。

3、解方程组，找到所有的极值点。

多元函数极值及其应用内容摘要从极值的相关定义、性质及定理出发，结合线性规划所定义的多元函数条件极值的相关理论，研究并讨论了多元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题。

其次，从二元函数极值的定义、性质定理出发，对多元函数极值运用线性函数的理论加以讨论，并且用实际例子验证了上述推论及定理在判别多元函数极值问题中的实用性与灵活性。

文章最后又给出了多元函数极值在实际问题中的应用，以此说明研究极值问题的重要性与必要性。

关键词：多元函数极值正定矩阵稳定点极值判定应用序言多元函数的极值问题在近年来研究已经慢慢地完善起来，相关理论的完善也慢慢地越来越多，多元函数机制问题的应用也逐渐广泛。

然而，在常用书刊之中，与一元函数比较起来，多元函数极值问题的理论相对比较少。

但是，多元函数的应用却是比较广泛的。

在实际的生活之中，我们往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题。

然而，多元函数的最大值、最小值与多元函数的极大值、极小值有着密切的联系。

求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决。

同时，与一元函数相似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值，最小值。

但是由于自变量个数的增加，计算也相对复杂。

函数极值不仅是函数性态的一个重要特征，而且在实际问题中占有重要的地位。

尤其是在当今日益发展的社会生活中，工农业生产、自然科学和工程技术等发展带来了大量的问题，其实质都是函数极值问题。

多元函数极值则通过现在经济学中的热点问题——利润最大化和消费者效用最大化来体现。

一、 多元函数极值的定义定义1：设二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 的领域C 有定义，在P 处给出自变量的增量(,)P h k ∆=，相应有函数增量(,)(,)f a h b k f a b ∆=++-。

若f ∆0≤（0f ∆≥），则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）。

极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大点（极小点）。

多元函数的极值与最大值最小值多元函数的极值与最大值最小值是数学分析领域中重要的概念。

在实际问题中，我们经常需要确定一个函数在给定条件下的最大值或最小值，这对于优化问题求解、经济学建模、物理学模型等都具有重要的应用价值。

本文将介绍多元函数的极值和最大最小值的概念、求解方法以及一些实际应用。

一、多元函数的极值多元函数是指含有两个或多个自变量的函数，通常表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn为自变量。

对于多元函数来说，极值的概念与一元函数类似，都是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

1.1 局部极值多元函数的局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。

对于局部极值点(x1,x2,...,xn)，满足以下条件：1) 在(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内，函数值在该点处达到极值；2) 对于(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内的任一点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)，函数值均小于(或大于)在(x1,x2,...,xn)点处的函数值。

寻找多元函数的局部极值需要使用偏导数的概念。

偏导数是指将多元函数对某一个变量求导时，将其他变量视为常数进行求导。

具体计算方法为在函数中对每个自变量分别求偏导数，然后令偏导数等于零，解方程组找到所有偏导数为零的点，即为可能的极值点。

再通过二阶偏导数的符号确定每个极值点的极值类型。

1.2 全局极值多元函数的全局极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

与一元函数的全局极值类似，全局极值点是指函数在整个定义域中取得最大值或最小值的点。

寻找多元函数的全局极值需要通过计算函数的驻点和边界上的函数值，并比较它们的大小。

驻点是指函数的偏导数为零的点，边界上的函数值可以通过限制条件将多元函数转化为一元函数，然后使用求一元函数的最大值或最小值的方法进行求解。

根据驻点和边界上的函数值，比较它们的大小即可确定全局极值。

二、多元函数的最大值与最小值在实际问题中，我们经常需要求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值，这可以通过求解最优化问题来实现。

考点10 利用导数研究函数的单调性、极值、最值一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f(x)=x-13sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( )A.[-1,1]B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f(x)=x-13sin2x-sinx, f'(x)=1-23cos2x-cosx,但f'(0)=1-23-1=-23<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D. 方法二:f'(x)=1-23cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23(2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2x+53≥0恒成立,令t=cosx,所以-43t 2+at+53≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f(t)=-43 t 2+at+53, 开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3⎧-=-≥⎪⎪⎨⎪=+≥⎪⎩ 解得-13≤a ≤13.2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=lnx,0x 1,lnx,x 1,⎧-<<⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为:P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0<x 1<1<x 2,则由于l 1,l 2分别是点P 1,P 2处的切线,而f'(x)=1,0x 1,x1,x 1,x⎧-<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩得l 1的斜率k 1为-11 x ,l 2的斜率k 2为21x ;又l 1与l 2垂直,且0<x 1<x 2,可得:k 1·k 2=-11 x ·21x =-1⇒x 1·x 2=1,我们写出l 1与l 2的方程分别为:l 1:y=-11x (x-x 1)-lnx 1…①,l 2:y=21x(x-x 2)+lnx 2…②,此时点A 的坐标为(0,1-lnx 1),点B 的坐标为(0,-1+lnx 2),由此可得:|AB|=2-lnx 1-lnx 2=2-ln(x 1·x 2)=2,①,②两式联立可解得交点P 的横坐标为x=1212122lnx x 2=x x x x -++,△PAB 的面积为:S △PAB =12|AB|·|P x |=12×2×122x x +=1121x x +≤1,当且仅当x 1=11 x 即x 1=1时等号成立,而0<x 1<1,所以S △PAB <1.3.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a= ( ) A.-4B.-2C.4D.2【解题指南】求出f'(x),解出方程f'(x)=0的根,再根据不等式f'(x)>0,f'(x)<0的解集得出函数的极值点.【解析】选D. f'(x)=3x 2-12=3()()x 2x 2-+,令f'(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在()2,2-上单调递减,在()2,∞+上单调递增,故f(x)的极小值为f ()2,所以a=2.二、解答题4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2有两个零点. (1)求a 的取值范围.(2)设x 1,x 2是f(x)的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 【解析】(1)f'(x)=(x-1)e x +2a(x-1)=(x-1)(e x +2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)e x,f(x)只有一个零点;②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a23b b2⎛⎫-⎪⎝⎭>0,故f(x)存在两个零点;③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e2,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点,综上,a的取值范围为(0,+∞).(2)不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0,由于f(2-x2)=-x222xe-+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)2x e+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x222xe--(x2-2)2x e,设g(x)=-x2-xe-(x-2)e x,则g'(x)=(x-1)( 2xe--e x).所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0, 故当x>1时,g(x)<0.从而g(x 2)=f(2-x 2)<0,故x 1+x 2<2.5.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T21)(本小题满分12分)设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A. (1)求f'(x). (2)求A.(3)证明|f'(x)|≤2A.【解析】(1)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx.(2)当a ≥1时,()()()()() cos 21cosx 11232,||0f a x a a a a f x =+-+≤+-⨯=-= 当0<a<1时,()()()()2cos 21cosx 12cos a 1cos 1,f x a x a a x x =+-+=+--令cosx=t ∈1,1⎡⎤-⎣⎦,则f(x)=g(t)=2at 2+()a 1-t-1,其对称轴为t=1a4a -,当t=1a 4a -∈()1,1-时,解得a<-()1舍去3或a>15, 所以当15<a<1时,因为g(1)=a,g(1)=3a-2, 则g(-1)-g(1)=2-2a>0, 又()()()1a 17a 1a g g 104a 8a-+⎛⎫---=> ⎪⎝⎭,所以A=g 21a a 6a 14a 8a ⎛⎫-++=⎪⎝⎭. 当0<a ≤15时,()g 1- =a,()g 1 =2-3a 所以此时()g 1-<()g 1=2-3a.综上可得:A=2123a,0a ,5a 6a 11,a 1,8a 53a 2,a 1.⎧-<≤⎪⎪⎪++<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩(3)由(1)得.当0<a ≤15时,()f'x ≤1+a ≤2-4a<2()23a -=2A,当15<a<1时,A=2a 6a 1a 1318a 88a 4++=++≥. 所以()f'x <2A.当a ≥1时,()f'x ≤3a-1≤6a-4=2(3a-2)=2A. 综上所述:()f'x ≤2A.6.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T21)(本小题满分12分) 设函数f(x)=lnx-x+1. (1)讨论f(x)的单调性. (2)证明当x ∈(1,+∞)时,1<x 1lnx-<x. (3)设c>1,证明当x ∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .【解析】(1)由题设,f(x)的定义域为()0,∞+,f'(x)=1x-1,令f'(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减. (2)由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0. 所以当x 1时,lnx x 1.≠<- 故()11当x 1,∞时,lnx x 1,ln1,即x x∈+<-<- x 11x.lnx-<< (3)由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-c x ,则g'(x)=c-1-c x lnc,令g'(x)=0.解得x 0=c 1ln lnc lnc-. 当x<x 0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x 0时,g'(x)<0,g(x)单调递减. 由(2)知1<c 1lnc-<c,故0<x 0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0. 所以当x ∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .7.(2016·浙江高考文科·T20)设函数f(x)=x 3+11x+,x ∈[0,1].证明: (1)f(x)≥1-x+x 2.(2)34 <f(x)≤32.【解题指南】(1)利用放缩法,得到41x 11x 1x-≤++,从而得到结论.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x,进行放缩,得到f(x)≤32,再结合第一问的结论,得到f(x)> 34,从而得到结论. 【证明】(1)因为1-x+x 2-x 3=()441(x)1x 1x 1x ---=+--, 由于0≤x ≤1,有41x 11x 1x -≤++,即1-x+x 2-x 3≤11x+, 所以f(x)≥1-x+x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x,故 f(x)=x 3+11x +≤x+11x +=x+11x +-32+32=()()()x 12x 133222x 1-++≤+, 所以f(x)≤32,由(1)得f(x)≥1-x+x 2=2133x 244⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭+,又因为f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=1924>34,所以f(x)> 34,综上,34 <f(x)≤32.8.(2016·山东高考理科·T20) 已知f(x)=a ()22x 1x lnx x --+,a ∈R . (1)讨论f(x)的单调性.(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x ∈1,2⎡⎤⎣⎦成立. 【解题指南】(1)求导后,对a 分情况讨论.(2)令g(x)=f'(x)+32 =235x 2x 22x +--,对其求导,求其最大值,判断f(x)min 与g(x)max 的关系,进而可给出证明.【解析】(1)由题意,函数f(x)的定义域为()0,∞+,f'(x)=()()23ax 2x 1x --.① a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 在x ∈()1,∞+时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.② a>0时,f'(x)=()3a x 1x x x ⎛⎛--+ ⎝⎝,当0<a<2时,>1,当x ∈()0,1或∞⎫+⎪⎪⎭时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x ∈⎛ ⎝时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.③ a=2时, =1,x ∈()0,∞+时,f'(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.④ a>2时当x ∈⎛ ⎝或x ∈()1,∞+时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x ∈⎫⎪⎪⎭时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上:当a ≤0时,函数f(x)在(0,1)内单调递增,在()1,∞+内函数f(x)单调递减.当0<a<2时,函数f(x)在()0,1和∞⎫+⎪⎪⎭内单调递增,在⎛ ⎝内函数f(x)单调递减. 当a=2时,函数f(x)在()0,∞+内单调递增,当a>2时,函数f(x)在⎛⎝和()1,∞+内单调递增,在⎫⎪⎪⎭内函数f(x)单调递减.(2)方法一:由(1)知函数f(x)在[1,内递减,在(内递增.故f(x)min =f(-ln , f'(x)+2335x 2x 222x +-=-.若令g(x)=235x 2x 22x +--,则有g'(x)=24x 4x 6x +-.故存在x 0∈[1,2]使得函数g(x)在[1,x 0)递减,在(x 0,2]递增,则g(x)max =max ()(){}g 1,g 2,而g(1)=32,g(2)=74, 所以g(x)max =74.因为f(x)min -g(x)max =-ln -74=294-12ln2>2.82-2.25-12ln2>12(1-ln2)>0, 所以,f(x)>f'(x)+32对于任意的x ∈1,2⎡⎤⎣⎦成立. 方法二:因为lnx ≤x-1(当且仅当x=1时等号成立),G(x)=()()22223333x 2x 22x 15x 2x 233x x 21022x x x 2x -+-⎛⎫-+--+-+--=+=≥ ⎪⎝⎭. 又f(x)≥22x 11x -+(当且仅当x=1时等号成立), 即可得f(x)>f'(x)+32.9.(2016·山东高考文科·T20)设f(x)=xlnx-ax 2+(2a-1)x,a ∈R . (1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a 的取值范围. 【解题指南】(1)通过二次求导,研究g(x)的单调性.(2)通过端点分析,找到分界点12,再分情况讨论.【解析】(1)g(x)=f'(x)=lnx-2ax+2a, 所以g'(x)=1x-2a=12axx-. 当a ≤0,x ∈()0,∞+时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增. 当a>0,x ∈10,2a⎛⎫⎪⎝⎭时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x ∈1,∞2a ⎛⎫+⎪⎝⎭时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减. 综上:当a ≤0,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞). 当a>0,函数g(x)单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭,函数g(x)单调递减区间为1,∞2a ⎛⎫+⎪⎝⎭. (2)由(1)知f'(1)=0.①当a ≤0,f'(x)单调递增,所以x ∈()0,1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x ∈()1,∞+时, f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. ②当0<a<12,12a >1时,由(1)知f'(x)在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增, 所以x ∈()0,1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x ∈11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. ③当a=12,12a=1时,f'(x)在()0,1内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x ∈()0,∞+时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意. ④当a>12,0<12a <1时,x ∈1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x ∈()1,∞+时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. 综上可知a>12.10.(2016·四川高考理科·T21)设函数f(x)=ax 2-a-lnx,其中a ∈R . (1)讨论f(x)的单调性.(2)确定a 的所有可能取值,使得f(x)>11xx e --在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).【解题指南】(1)对f(x)求导,对a 进行讨论,判断函数的单调性.(2)利用导数判断函数的单调性,判断最值,证明结论.【解析】(1)由题意, f'(x)=2ax-212ax 1x x-=,x>0.① a ≤0时,2ax 2-1<0, f'(x)<0, f(x)在(0,+∞)上单调递减.② a>0时,f'(x)=2a x x x⎛⎛+- ⎝⎭⎝⎭,当x∈⎛ ⎝时,f'(x)<0;当x∈∞⎫+⎪⎪⎭时,f'(x)>0.故f(x)在⎛ ⎝上单调递减,在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增. (2)原不等式等价于f(x)-1x+e 1-x >0在x ∈(1,+∞)上恒成立. 一方面,令g(x)=f(x)-1 x +e 1-x =ax 2-lnx-1 x+e 1-x -a, 只需g(x)在x ∈(1,+∞)上恒大于0即可. 又因为g(1)=0,故g'(x)在x=1处必大于等于0. 令F(x)=g'(x)=2ax-1x+21x -e1-x ,g'(1)≥0,可得a ≥12. 另一方面,当a ≥12时,F'(x)=2a+21x -32x +e 1-x ≥1+21x -32x+e 1-x =33x x 2 x +-+e 1-x , 因为x ∈(1,+∞),故x 3+x-2>0,又e 1-x >0,故F'(x)在a ≥12时恒大于0.所以当a ≥12时,F(x)在x ∈(1,+∞)上单调递增.所以F(x)>F(1)=2a-1≥0,a ≥12,故g(x)也在x ∈(1,+∞)上单调递增.所以g(x)>g(1)=0,即g(x)在x ∈(1,+∞)上恒大于0. 综上,a ≥12.11.(2016·北京高考理科·T18)设函数f(x)=xe a-x +bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b 的值. (2)求f(x)的单调区间. 【解题指南】(1)利用()()f 22e 2,f'2e 1⎧=+⎪⎨=-⎪⎩列方程组求解.(2)求导数后,再构造新的函数,二次求导.【解析】(1)f'(x)=e a-x -xe a-x +b,由切线方程可得()()a 2a 2f 22e 2b 2e 2,f'2e b e 1.--⎧=+=+⎪⎨=-+=-⎪⎩解得a=2,b=e. (2)f(x)=xe 2-x +ex,f'(x)=(1-x)e 2-x +e.令g(x)=(1-x)e 2-x ,则g'(x)=-e 2-x -(1-x)e 2-x =e 2-x (x-2). 令g'(x)=0得x=2.当x<2时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>2时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=2时,g(x)取得极小值-1,也是最小值.所以f'(x)=g(x)+e≥e-1>0.所以f(x)的增区间为(-∞,+∞),无减区间.关闭Word文档返回原板块。