等腰三角形(讲义)

等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．3. 分类讨论的类型： ①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等． ③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点： ①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．O EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．AED3.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD．AF4.如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．GEBFC A5.（1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8.在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10.若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11.已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30º，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．B30°lA13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P．AB C三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】1.证明略（提示：连接BC，证明AC=BC，AB=BC）2.10cm（提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）3.证明略（提示：延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明△AFC≌△BEF，再证明BE=BC）4.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD⊥EC，再证明ED=CD，利用平行导角）5.（1）-11，13 （2）4 （3）1，-36.120°或20°7. 28.1cm或5cm9.65°或115°10. 8cm 11. 8cm 或163cm 12. 作图略 13. 作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD 交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ． 求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-52．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠F AD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ） FGEDA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF．求证：DE=DF．15.已知：如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：BM=ME．16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE平分∠ADB，AF=FC，连接AD．M DAF DAE求证：BD=CD．AFE17.若4x2-axy+16y2是完全平方式，则a=_________．18.在直线l上任取一点A，截取AB=8cm，点C为AB中点，截取CD=5cm，则线段AD的长为______________．19.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为______________．20.已知一等腰三角形的三边分别是5x 3，3x+3，27，则x=__________．21.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________．22.已知等腰三角形的周长为24cm，两边的差为3cm，则底边长为__________．23.在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l上找出所有符合条件的点C．l【参考答案】1.证明略（提示：延长AD到H，使DH=AD，连接BH，证明△BHD≌△CAD，导出AB=AC，再证明△BED≌△CFD）2.证明略（提示：连接BD，利用“三线合一”证明∠DBE=∠E=30°）3.证明略（提示：证明AD=DC，AD=BD）4.±165. 1cm 或9cm6. 80°或40°7. 6或88. 60°或120°9. 10cm 或6cm 10. 点C 有5个，作图略等腰三角形（讲义）一、知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________．二、精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．ABC DABDC第2题图第3题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，DE 垂60°108°BA C ABC A BCA直平分AC ，交AC 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若 ∠BAE :∠BAC =1:5，则∠C =_____．5. 如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ． （1）若∠ADE =80°，则∠DEB =________．（2）若F 为BE 中点，则DF 与BE 的位置关系是________．C DAB EF6. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM ⊥BC 于M ． 求证：M 是BE 的中点．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E ，使AE =AD ，连接DE ．求证：DE ⊥BC ．E DCAECMAD B8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为_____________．11. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12. 若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．13. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．14.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、知识点睛1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形．2.等腰三角形是轴对称图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．3.等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边．4.三边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是60°．1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.108°4.40°5.（1）40°；（2）DF⊥BE6.提示：连接BD，由三线合一得∠DBC=∠E=30°，从而得到BD=ED，△BDE是等腰三角形，利用三线合一可以知道底边BE上的高DM也是BE边上的中线，所以M是BE的中点．7.提示：延长ED与BC交于点F，根据已知条件可以知道△AED和△ABC是等腰三角形，设∠E=α，可以表示出∠CDF=α，∠BAC=2α，∠C=90 α，得到∠EFC=90°，所以DE⊥BC．8.提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE．9.3cm10.5cm或353cm11.40°或100°12.50°或130°13.这样的点有4个14.这样的点有2个等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．DC2. 等腰三角形的周长为28cm ，其中一边长为10cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．E DCB A【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得到BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD ．等腰三角形（作业）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，点E 在BC 边上，且BD =BE ．若∠A =84°，则∠DEC =______．E DC BA2. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．DCB AN MEA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ．DB A5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．DBAP6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ． 求证：BD =CE ．AB CD E7. 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为________． 8. 等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则这个三角形的顶角的度数为_____________．9. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．1.78°2.36°3. D4.提示：过点A作AE⊥BC于E，可证Rt△ADC≌Rt△AEB（HL），从而得到∠ACD=∠B．5.提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC．6.提示：根据等边对等角可以得到∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而可以得到∠BAD=∠CAE，从而证明△ABD≌△ACE（ASA），根据全等三角形对应边相等，可以得到BD=CE．7.208.80°或40°9.共有4个，图略．。

13.3等腰三角形-13.4最短路径1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；K—重点分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形60︒【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是30︒60︒A．B．150︒30︒150︒C．D．或【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．二、等边三角形的性质和判定判定等边三角形时常用的选择方法：若已知三边关系，一般选用（1）；若已知三角关系，一般选用（2）；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．【例4】下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．三、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于A．4 cm B．2 cmC．3 cm D．1 cm四、最短路径问题通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．801．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是A ．B ．或C ．或D ．80︒80︒20︒80︒50︒20︒2．一个等边三角形的对称轴共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．6条3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°4．如图，在△ABC 中，∠B =30°，ED 垂直平分BC ，ED =3．则CE 长为A ．6B ．9C ．3D ．85．如图，△ABC 是等边三角形，P 为BC 上一点，在AC 上取一点D ，使AD =AP ，且∠APD =70°，则∠PAB 的度数是A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6．如图，在中，为的中点，，则__________．ABC △AB AC D =，BC 35BAD ∠=︒C ∠=7．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm 和12 cm ，则等腰三角形的底边长为______．分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，如果AB =BD =DC ，且∠C =40°，那么∠A =__________°．9．如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，试说明：AO ⊥BC ．10．如图，在△ABC 中，，是边上的中线，于，试说AB AC =AD BC BE AE ⊥E 明．CBE BAD ∠=∠11．已知在△ABC 中，AB =5，BC =2，且AC 的长为奇数．（1）求△ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状．12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，分别以AB ，AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，且AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =90°．。

等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（ ）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（ ）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

等腰三角形考点一、等腰三角形得特征与识别⑴等腰三角形得两个_＿_______＿_＿_相等(简写成“＿＿___＿＿_＿___＿＿__"）⑵等腰三角形得_______＿_＿___＿___、＿___＿＿＿________＿_、＿＿＿___＿_____＿＿___互相重合(简称为“________________”）特别得：（１）等腰三角形就是_＿___＿_＿_＿＿图形、(2)等腰三角形两腰上得中线、角平分线、高线对应____＿__＿＿_、⑶如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对得＿__＿____也相等（简称为“_＿__________＿___＿___”)特别得：（1)有一边上得角平分线、中线、高线互相重合得三角形就是等腰三角形。

(２)有两边上得角平分线对应相等得三角形就是等腰三角形．（３)有两边上得中线对应相等得三角形就是等腰三角形.（4)有两边上得高线对应相等得三角形就是等腰三角形．典例1、如图,△AＢC 中,AB=AC=8,D 在BC 上，过Ｄ作DE ∥AB 交ＡC 于E,ＤＦ∥AC交AB 于F,则四边形AF ＤE 得周长为______ .2、 如图,△ABC 中,ＢD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D且ＥF ∥B Ｃ，若ＡB = 7，BC ＝ 8，AC = ６，则△AE Ｆ周长为（ )Ａ、 15 B 、 １4 C 、 13 D 、 1８ 3、 如图,点B 、Ｄ、F 在AN 上，Ｃ、Ｅ在A Ｍ上，且ＡB=ＢC=CD=ED=EF ，∠A=20ｏ，则∠Ｆ4、已知等腰三角形一腰上得高与另一腰得夹角为40°，则它得一个底角得度数就是＿＿＿__＿_5、△ABC 中， D Ｆ就是AB 得垂直平分线，交ＢC 于D ，E Ｇ就是A Ｃ得垂直平分线,交ＢC于Ｅ,若∠DAE ＝2０°，则∠B ＡC 等于 °6、从一个等腰三角形纸片得底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片得底角等于7、已知,在△ABC 中，∠ACB=90°,点D 、E 在直线AB 上,且A Ｄ=ＡC,BE ＝ＢC,则∠ＤC Ｅ ＝ 度、８、如图：在△ABC 中,ＡB=AC ，A Ｄ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F.试说明DE=DF 。

等腰三角形新课讲义（一） 知识要点 1、 等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

如右图，在△ABC 中，若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，其中AB ，AC 叫做腰，BC 叫做底边，∠A 叫做顶角，∠B 和∠C 叫做底角。

2、 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）。

知识延伸：等腰三角形的两个性质都可以由证明两个三角形全等而得到。

例如：如右图，在△ABC 中，AB=AC 。

求证：∠B=∠C 证明：过点A 作BC 边上的中线AD ，∴BD=DC在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧===DC BD AD AD AC AB ∴△ABD ≌△ACD （SSS ） ∴∠B=∠C （全等三角形对应角相等）3、 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

例如：如右图，在△ABC 中，∠B=∠C 。

求证：AB=AC 证明：作AD ⊥BC ，垂足为D 。

∴∠ADB=∠ADC=900 在Rt △ADB 和Rt △ADC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD CB ADC ADB ∴Rt △ADB ≌Rt △ADC （AAS ） ∴AB=AC （全等三角形对应边相等）4、 等边三角形的定义及性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于600。

5、 等边三角形的识别判断某三角形为等边三角形可以从以下两个着手： （1） 三个角都相等的三角形是等边三角形； （2） 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

6、 有一个角是300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

学子文化教案学生：年级：科目：教师：日期：ABCDPE03.（襄樊）在⊿ABC 中，AB ＝AC ＝12cm ，BC ＝6cm ,D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t ，那么当t ＝_________秒时，过D 、P 两点的直线将⊿ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】 如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，AD ＝BD ＝BC ，求∠A 的度数．【变式题组】01．如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝BC=AD ，DE ＝EB ，求∠A 的度数．02．如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ＝ ED ＝EA ，求∠A 的大小．【例３】 已知坐标原点O 和点A （2，－2），B 是坐标轴上的一点．若⊿AOB 是等腰三角形，则这样的点B 一共有（ ）个A ．4B ．5C ．6D ．8【变式题组】01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，－3），点P 是y 轴上一点，则使⊿AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个02．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，0),点B 的坐标是（0，），点C 在坐标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．CAB D03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．104．（济南）如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【例４】（枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．【变式题组】01．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．02．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．⑴求证：AD⊥CF;⑵连接AF，试判断⊿ACF的形状，并说明理由．03．如图，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．第2题图第3题图第4题图A CBMDE(例4题图)⑴试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．【例５】我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；⑵如图，在ABC△中，点D E，分别在AB AC，上，设CD BE，相交于点O，若60A∠=°，12DCB EBC A∠=∠=∠．请你写出图中一个与A∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在ABC△中，如果A∠是不等于60°的锐角，点D E，分别在AB AC，上，且12DCB EBC A∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【变式题组】01．如图，在ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，若AB＝2，求CD的长．03．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.BOAD EC【变式题组】01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．200B．1200C．200或1200D．360002．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（）A．9 B．15 C．15 D．12或1503.（云南）如图，等腰ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．1604．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（）A．800B．900C．1000D．108005．如图，Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B ＝CE＝EF＝HD＝AF06．如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC, ∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．700B．1100C．1400D．150008．（滨州）已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.09．如图所示，在ABC中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分线，则AD＝___________.10．(威海)如图，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，则∠ABD的度数是_________.12．(乌鲁木齐)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：①AB DC=，②BE CE=，③B C∠=∠，④BAE CDE∠=∠．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED△是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）已知：求证：AED△是等腰三角形．证明：13．（泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E，，在同一条直线上，连结DC．⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；⑵证明：DC BE⊥．图1 图2DC EABBEDAC培优升级01．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC,PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP;②③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正确的判断有（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．只有①②③④02．如图，点A是网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（）个个个个03．如图，在ABC中，AB＝BC,MN＝NA, ∠BAM＝∠NAC,则∠MAC＝_________.04．如图，AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA’＝BB’＝AB.则∠BAC的度数为______________. 05．(全国联赛)在等腰Rt ABC中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于E,交AB于F．则＝_____________06．如图，在ABC中，AB＝AC,EF为过点A的任意一条直线，CF⊥BC, BE⊥BC.求证：AE＝AF.FBACE07．（湖州）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K，交BC于E，F 是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB09.如图，在ABC中，∠ABC＝460，D是边BC上一点，DC＝AB, ∠DAB＝210，求∠CAD的度数．10.（浙江省杭州市中考试题）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F.(1) 证明：CBFCAE∠=∠；(2) 证明：BFAE=；(3) 以线段BFAE,和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为ABCS∆和ABGS∆，如果存在点P，能使得ABGABCSS∆∆=, 求∠C的取值范围.F EHA BCP评价学习习惯：学习内容：。

13．3 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质基础题知识点1等边对等角1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( )A．30°B．75°C．150°D．125°2．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于( )A．30°B．40°C．75°D．120°3．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是________．#4．等腰直角三角形的底角的度数为________．5．一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为________________．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.知识点2三线合一7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是()A．过顶点的直线B．底边的垂线:C．顶角的角平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线8．(苏州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．60°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3 cm.则∠ADB的度数是________，BD的长是________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．：11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．中档题13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()\A．100°B．80°C．70°D．50°14．(新疆中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是________．15．(云南中考)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________．16．(贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A 的度数是________．17．如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想∠A与∠E的大小关系，并说明理由．]18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE＝PF.19．(十堰中考)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.…20．已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．综合题21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.(1)试求∠DAE的度数；{(2)如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗为什么参考答案1．B ° °，20°或50°，50° 6.证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ＝CD.∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠ABC －∠DBC ＝∠ACB －∠DCB ，即∠ABD ＝∠ACD. ° cm ° 12.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC.∵∠BAC ＝50°，∴∠DAE ＝12∠BAC ＝25°.又∵DE ⊥AC ，∴∠AED ＝90°.∴∠ADE ＝90°－∠DAE ＝90°－25°＝65°. ° ° ° 17.∠A ＝∠E.理由如下：∵CB ＝CE ，∴∠E ＝∠CBE.∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠CBE.∴∠A ＝∠E. 18.证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．又∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴PE ＝PF. 19.证明：过点A 作AF ⊥BC 于点F.又∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF.∵BD ＝CE ，∴DF ＝EF.∴AD ＝AE. 20.①当(2x －2)°作为顶角时，即(2x －2)＋2×(3x －5)＝180，解得x ＝24，三角形三个角的度数分别为46°，67°，67°；②当(3x －5)°为顶角时，即(3x －5)＋2×(2x －2)＝180，解得x ＝27，三角形三个角的度数分别为52°，52°，76°；③当以上两个角均为底角时，即2x －2＝3x －5，解得x ＝3，三角形三个内角分别为4°，4°，172°. 21.(1)∵△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∵BD ＝BA ，CE ＝CA ，∴∠BAD ＝(180°－45°)÷2，∠CAE ＝45°÷2.∴∠DAE ＝90°－∠BAD ＋∠CAE ＝45°.(2)不变．∠DAE ＝90°－180°－∠B 2＋12∠ACB ＝12(∠B ＋∠ACB)＝45°，从上式可看出当AB 和AC 不相等时，∠B ＋∠ACB 也是90°.所以∠DAE 的度数不变．）第2课时 等腰三角形的判定基础题】知识点1等腰三角形的判定1．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是( )A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形2．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于()A．3 cm B．4 cm C．cm D．2 cm3．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( )（A．3个B．4个C．5个D．6个4．如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，那么这个三角形一定是( )A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则这个三角形是________三角形．6．在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶3，那么△ABC是________三角形．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________________________．8．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________．&9．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗为什么10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，求证：△ABC为等腰三角形．知识点2用尺规作等腰三角形11．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．&中档题12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有( )A．6个B．7个C．8个D．9个13．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()：A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4)14．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是________．15．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C ＝________．16．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：AB＝AC.17．如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从A向北航行30海里到B，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．!(1)求∠ACB的度数；(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少18．(襄阳中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)'(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．综合题19．已知：D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. (1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．参考答案1．B 5.等腰 6.等腰 ＝CD 或∠BAD ＝∠CAD cm 9.△ADE 是等腰三角形．理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C.∴∠ADE ＝∠AED.∴AD ＝AE.∴△ADE 是等腰三角形． 10.证明：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 11.(1)作线段AB ＝a ；(2)作线段AB 的垂直平分线MN ，与AB 交于点D ；(3)在MN 上取一点C ，使CD ＝b ；(4)连接AC ，BC ，则△ABC 就是所求作的三角形．14．30 °或45° 16.证明：∵AD 平分∠EDC ，∴∠ADE ＝∠ADC.又∵ED ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADC.∴∠E ＝∠C.又∵∠E ＝∠B ，∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC. 17.(1)∵∠NAC ＝38°，∠NBC ＝76°，∠NBC ＝∠ACB ＋∠NAC ，∴∠ACB ＝∠NBC －∠NAC ＝76°－38°＝38°.(2)∵∠ACB ＝∠NAC ＝38°，∴AB ＝BC.∵AB ＝30海里，∴BC ＝30海里．即轮船在B 处时，到灯塔C 的距离是30海里． 18.(1)①②；①③.(2)选①③，证明如下：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.∵∠EBO ＝∠DCO ，且∠ABC ＝∠EBO ＋∠OBC ，∠ACB ＝∠DCO ＋∠OCB ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴△ABC 是等腰三角形． 19.(1)△ABC 是等腰三角形．(2)如图，当点D 在△ABC 内部时，△ABC 是等腰三角形成立．理由：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △EBD 与Rt △FCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，DB ＝DC ，∴Rt △EBD ≌Rt △FCD(HL)．∴∠EBD ＝∠FCD.∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠EBD ＋∠DBC ＝∠FCD ＋∠DCB ，即∠EBC ＝∠FCB.∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．。

等腰三角形知识梳理知识点一：等腰三角形、腰、底边有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．知识点二：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2、这两个性质证明如下：在△ABC中，AB=AC，如图所示．作底边BC的高AD，则有∴Rt△ABD≌Rt△ACD．∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性质1、性质2均得证．3、说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．知识点三：等腰三角形的判定定理1、定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则所以△ABD≌△ACD（AAS）．所以，AB=AC．2、注意：①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．知识点四：等边三角形1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形如图所示．2、注意：①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．知识点五：等边三角形的性质1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°．注意：这条性质只有等边三角形具有．知识点六：等边三角形的判定1、等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2、证明如下：(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．于是判定（1）成立．(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形；若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形。

等腰三角形性质及判定讲义【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，此中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，此中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点评释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都即是45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角中分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明联合个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直干系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角中分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常环境只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的鉴定要是一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点评释：等腰三角形的鉴定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等干系转化为边的相等干系的重要依据.等腰三角形的性质定理和鉴定定理是互逆定理. 【典范例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°变式已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求别的各边．类型二、等腰三角形的操纵题例2 根据给出的下列两种环境，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰恰破裂成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注破裂后的角度）；并根据每种环境分别猜测：∠A与∠B有怎样的数量干系时才华完成以上作图？图1 图2（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜测：（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜测：变式直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：要是折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是几多？写出你的谋略历程，并画出相符条件的折叠后的图形．类型三、等腰三角形性质鉴定综合应用例3 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE 交AC于F.求证：AF＝EF变式如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．例4 如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的中分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE＝12 AD.变式已知，如图，AD为△ABC的内角中分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.求证：AM＝12(AB＋AC) ．。

辅导讲义------等腰三角形知识点：1．等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．3．等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．所以我们把等边三角形也称为正三角形．4．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）练习：1．填空（1） 如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为______和_____.（2） 如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为___________. 问：等腰三角形的底角可以是直角或者钝角吗？为什么？2．如图AB ＝AC ， D 在BC 上，（1）如果AD ⊥BC , 那么∠BAD =_______, BD=________;(2) 如果∠BAD =∠CAD , 那么AD ⊥____, BD=________;(3) 如果BD= CD , 那么∠BAD =___________, AD ⊥____; 3．底角等于顶角一半的等腰三角形是____________三角形.4．△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CD 是底边上的高，那么图中共有哪几个等腰直角三角形？5．等腰三角形的周长为16米，其中一条边的长是6，求另两条边的长.6. 等腰三角形的底角比顶角大15°，求各内角的度数.7. 如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝112°，求△ABC 各内角的度数.（第4题）8. 如图，在等腰△ABC 中，两底角的平分线BE 和CD 相交于 O 点，那么△OBC 是什么三角形？为什么？试用推理格式写出推理过程．9. 已知在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠B ＝80°．求∠C 和∠A 的度数．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠ADC 和∠1的度数．11. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，且AB ＝BD ，AD ＝DC ，求：△ABC 三个内角的大小.（第8题） C。

专题17 等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1. 等腰三角形的两个底角度数相等 2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴 判定1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高 性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等，且每个内角都等于60° 3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式 是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3 ：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1. 分别以点 A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C 、D 两点； 2. 作直线 CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．181.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）A ．70°B ．45°C ．35°D ．50°2．（2023•菏泽）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2++|c ﹣3|＝0，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为度．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或122．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．55．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．226．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．107．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．88．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是度．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若A C＝7，BC＝4，则BD的长为．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝°．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则P E+PF的长度和为．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.55.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为c m．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠C EB＝60°，则DC的最大值为．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE D B（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．12．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．。

一次函数与等腰三角形存在性问题重点内容梳理一、等腰三角形存在核心思想：——分类讨论（顶点未知，讨论顶点即可）1. A为顶点：AP=AB→以A为圆心B为半径画圆（E为共线点）2.B为顶点：BP=BA→以B为圆心A为半径画圆（F为共线点）3.P为顶点：PA=PB→AB的中垂线（o为共线点）求取方法：1.采用两圆一线找到特殊位置点——找交点2.两点之间距离公式表示等长线段，求取点坐标3.最终结论注：该类问题相对较综合，点坐标的求取方法较灵活，需综合运用几何与代数相关定理。

引例：已知，平面内点A（0,2），B（2,0）（1）求，AB所在直线解析式（2）若坐标轴上存在一点，使△ABC①A为顶点，AB=AC，A为圆心，AB为半径画圆，②B为顶点，AB=BC，B为圆心，AB为半径画圆③C为圆心，AB中垂线例题例题1.——x轴上的点1.（2019秋•金水区校级月考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝8，OB＝6.（1）求直线AB的解析式．（2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA＝8，OB＝6，∴A（8，0）、B（0，6），把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，∴b＝6，k＝﹣，∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6；（2）设点Q（s，0），则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36，①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2；②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）；③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝，综上，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）．易错：1. 两圆一线找交点，看清点的位置保证不重不漏2.求取点的坐标，注意舍根（2019秋•昌江区校级期末）如图，长方形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（10，0），点E是BC边上一点，把长方形AOBC沿AE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处．（1）求点E、F的坐标；（2）求AF所在直线的函数关系式；（3）在x轴上求一点P，使△P AF成为以AF为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（2019秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，4），与直线l2：y＝x相交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）求△COB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．例题2.——y轴上的点（2019秋•普宁市期末）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）在y轴上是否存在点P使△P AB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x相交于点B，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝﹣，b＝9；（2）设点P（0，m），而点A、B的坐标分别为：（0，9）、（3，5），则AB2＝25，AP2＝（m﹣9）2，BP2＝9+（m﹣5）2，当AB＝AP时，25＝（m﹣9）2，解得：m＝14或4；当AB＝BP时，同理可得：m＝9（舍去）或﹣1；当AP＝BP时，同理可得：m＝；综上点P的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，）练习2.1如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD 对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．连接BC．（1）求点A和点B的坐标；（2）求S△BOC；（3）在y轴上有一点P，且△P AB是等腰三角形，求出点P的坐标．练习2.2（2017秋•金华期末）如图，已知直线l：y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）求直线l的函数表达式；（2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△P AB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标．例题3——平行于坐标轴的点23．（2018秋•景德镇期末）如图，已知直线y＝2x+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线y＝2交AB于点C，交y轴于点D，P是直线y＝2上一动点，设P（m，2）．（1）求直线AB的解析式和点B，点C的坐标；（2）直接写出m为何值时，△ABP是等腰三角形；【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b得：0＝2×（﹣2）+b，解得：b＝4，故直线AB的表达式为：y＝2x+4，则点B（0，4），当y＝2时，x＝﹣1，即点C（﹣1，2）；（2）点A（﹣2，0）、点B（0，4），点P（m，2），则AB2＝20，AP2＝（m+2）2+4，PB2＝m2+4，①当AB＝AP时，即20＝（m+2）2+4，解得：m＝2或﹣6，②当AB＝BP时，同理可得：m＝4或﹣4，③当AP＝BP时，同理可得：m＝﹣1，综上，m＝﹣4或﹣6或2或4或﹣1；（2019秋•太仓市期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P 从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．（1）求直线AB的表达式；（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；（2015秋•上城区期末）A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，P是x轴上一动点，从原点O 出发，沿正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，求t的值；（2）当t＝3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），请直接写出使△APM为等腰三角形的点M的坐标．例题4——动点相关（2014秋•屏南县校级期末）直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（8、0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3（1）求点B的坐标为；（2）求直线BC的解析式；（3）动点M从C出发沿CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t 秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．【解答】解：（1）y＝﹣x+b分别与x轴交于A（8、0），得﹣8+b＝0．解得b＝8，即函数解析式为y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，B点坐标是（0，8）；（2）由OB：OC＝4：3，BC＝8，得8：BC＝4：3，解得BC＝6，即C（﹣6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，图象经过点B，C，得，解得，直线BC的解析式为y＝x+8；（3）设M点坐标（a，0），由勾股定理，得BC＝＝10，①当MC＝BC＝10时，由路程处以速度等于时间，得10÷1＝10（秒），即M运动10秒，△BCM为等腰三角形；②当MC＝MB时，MC2＝MB2，即（a+6）2＝a2+82，化简，得12a＝28，解得a＝即M（，0）．MC＝﹣（﹣6）＝+6＝，由路程除以速度等于时间，得÷1＝（秒），即M运动秒时，△BCM为等腰三角形；③当BC＝BM时，得OC＝OM＝6，即MC＝6﹣（﹣6）＝6+6＝12，由路程除以速度等于时间，得12÷1＝12（秒），即M运动12秒时，△BCM为等腰三角形，综上所述：t＝10（秒），t＝（秒），t＝12（秒）时，△BCM为等腰三角形．（2017秋•平阴县期末）如图，直线L1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P （m，3）为直线L1上一点，另一直线L2：y2＝x+b经过点P．（1）求点P坐标和b的值：（2）若点C是直线L2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为何值时，△APQ的面积等于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（2018春•新田县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣分别交x，y轴于A，B两点，C为线段AB的中点，D（t，0）是线段OA上一动点（不与A点重合），射线BF∥x轴，延长DC交BF于点E．（1）求证：AD＝BE；（2）连接BD，记△BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在t的值，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（2019秋•顺德区期末）如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO 的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．（1）求出点E的坐标；（2）求证：△ODE是直角三角形；（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？提升1.如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于C点，直线是过A点且垂直x轴的直线，点P是直线l上的一动点．（1）求C点的坐标；（2）当△APC是等腰三角形时，直接写出P点的坐标；（3）当PC⊥OC时，求四边形OAPC的面积．提升2.如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于点B，C，且OC＝2OB，A为直线BC上一动点．（1）求B点的坐标和k的值；（2）当△AOB的面积是4时，求A点在第一象限的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．提升练习提升3.（2012•沙坪坝区校级模拟）如图，已知平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，直线b的解析式为y＝x，直线c的解析式为y＝﹣x+2，且动直线a分别交直线b、c于点D、E （E在D的上方），P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，则点P的坐标是．提升4.（2018秋•吴江区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（﹣2，0），△ABO的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴与点P 同时以相同的速度运动，过P作PM⊥X轴交直线AB于M．（1）求直线AB的解析式．（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S 与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．（3）过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．。

《等腰三角形》讲义一、等腰三角形的定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

例如，在三角形 ABC 中，如果 AB ＝ AC，那么三角形 ABC 就是一个等腰三角形，其中 AB 和 AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B 和∠C 是底角。

二、等腰三角形的性质1、两腰相等这是等腰三角形最基本的性质，也是其名称的由来。

2、两底角相等即∠B ＝∠C。

这一性质可以通过全等三角形的证明方法来得出。

3、三线合一等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

例如，在等腰三角形 ABC 中，AD 是底边 BC 上的高，那么 AD 也是底边 BC 上的中线和顶角∠A 的平分线。

4、轴对称性等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线）所在的直线。

三、等腰三角形的判定1、定义法如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

2、等角对等边如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

例如，在三角形 ABC 中，若∠B ＝∠C，则 AB ＝ AC。

四、等腰三角形中的常见辅助线1、作顶角的平分线利用等腰三角形顶角平分线平分顶角且垂直底边的性质。

2、作底边上的高可以利用“三线合一”的性质解决问题。

3、作底边上的中线同样基于“三线合一”的性质。

五、等腰三角形的周长和面积1、周长等腰三角形的周长等于两腰长度之和加上底边长度。

假设等腰三角形的腰长为 a，底边长为 b，那么周长 C ＝ 2a ＋ b。

2、面积等腰三角形的面积可以用多种方法计算。

常见的方法是先求出底边上的高，假设底边长为 b，底边上的高为h，那么面积 S ＝ 1/2 × b × h。

也可以使用海伦公式，但在等腰三角形中相对较少使用。

六、等腰三角形在实际生活中的应用1、建筑设计许多建筑的结构中会包含等腰三角形的元素，以保证结构的稳定性和美观性。