人教新课标版数学高二-2-2导学案 1.5 定积分概念第一课时

1.5 定积分的概念一览众山小学心目标1.结合实例了解积分运算的意义;理解定积分的概念及符号表示;理解求积分与求导是一对互逆的运算.2.掌握微积分基本定理,并会求简单的积分;通过求曲边梯形的面积,进一步感受极限的思想,通过微积分定理的学习,体会事物间相互转化、对立统一的辩证关系,培养辩证唯物主义观点,提高理性思维能力.学法指导如果平面图形的各边都是直线,那么它的面积可以直接求出来,比如S 矩形=底×高.在实际问题中,有些图形除了有直边之外,还有曲边,这种有曲边的图形叫做曲边图形.求这种图形面积的关键是“以直代曲”.比如建筑工人用条石彻成半圆形的桥洞,从总体上看桥洞是曲的,但从一块条石看却是直的.“直与曲”在一定条件下是可以相互转化的,从总体上看是曲的东西,在极短的小段上可以看作是直的,曲边图形的面积正是用这种思想求出来的.复习和公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1). 回顾导数的定义,注意当Δx→0时,xx f x x f ∆-∆+)()(00,也可以记作f′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000,注意对极限思想的理解. 诱学导入材料:一位富翁偶然听到一个数学教授给学生谈论“无穷”,他心里琢磨,这“有限多个”好理解,可这“无穷”是什么呢?难道就是跟自然数一样多,或者“更多”?富翁想知道自已理解的对不对,于是就问教授:“请问…无穷‟是什么?”教授回答说:“无穷就是没有穷人,都像您一样富有.”教授看到富翁不理解的样子,就进一步解释说:“想一想,如果地球上的人有无穷多个,比如说,可以和自然数对应起来,而且每个人只有一元钱,不要多,那么第一个人问第二个人借一元,第二个问第三个借一元,依次往后借,如此下去,第一个人就有2元钱,其他人也没有少钱.”富翁点头承认,并说:“那还是没有我的钱多”.教授接着说:“如果第一个人重复一百万次,那不就是百万富豪了?!”富翁这才恍然大悟,明白了“无穷”是什么.问题:这里的“无穷”在我们的数学上指的是什么呢?导入:在现实生活中,有许多问题都蕴含着“由曲到直”“由近似到精确”“由有限到无限”的极限的数学思想方法.本节我们将在极限理论的基础上进一步探索与图形面积以及物体运动的路程等有关的问题.。

),n ，区间，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．1i i n x x x b -<<<<<=CO x y ab A BD )(2x f y =)(1x f y =将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（_________x ∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点，作和式：1()_________________nn ii S f x ξ==∆=∑【问题】如果n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于一个常数，那么称该常数为______，记为： _，即：_______________。

注意：①()f x 称为______________，x 叫做_____________，[,]a b 为_____________，a 与b 分别叫做________________与________________。

②定积分()baf x dx ⎰是一个常数，只与积分上、下限的大小有关， 与积分变量的字母无关，()()()b b baaaf x dx f t dt f y dy ==⎰⎰⎰。

探究一：在求积分时要把[,]a b 等分成n 个小区间，是否一定等分？ 探究二：在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，i ξ是否一定选左端点？探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么？探究四：分组讨论根据定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面积⑵ 定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 ⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()( （定积分的线性性质）性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）。

高中数学第一章《1.5定积分的概念》教案1．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．2．新课讲授说明：（1）定积分()baf x dx⎰是一个常数，即n S无限趋近的常数S（n→+∞时）称为()baf x dx⎰，而不是n S．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],a b；②近似代替：取点[]1,i i ix xξ-∈；③求和：1()niib afnξ=-∑；④取极限：()1()limnbia nib af x dx fnξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx=⎰；变速运动路程21()ttS v t dt=⎰；变力做功()baW F r dr=⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b上函数连续且恒有()0f x≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分()b a f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<L于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L()ba f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积） 2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx ba -=⎰1 推论1：)()(x g x f ≥，⎰⎰≥b a b a dx x g dx x f )()( ()b a < 推论2：⎰⎰≥ba ba dx x g dx x f )()( ()b a < 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。

1．5.3 定积分的概念教材分析《定积分的概念》从曲边梯形的面积及变速直线运动的共同特征概括出定积分的概念，它是学生学习定积分的基础，为学习定积分的应用作好铺垫．因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一．本节课的重点是：理解并掌握定积分的概念、定积分的几何意义．理解定积分的概念是难点．主要是这种“以曲代直”“逼近”的思想方法在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应，在几节课内达到深刻理解这种思想方法是难点所在．课时分配 1课时．教学目标 知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；借助于几何直观的基本思想，理解定积分的概念．过程与方法目标培养学生的逻辑思维能力和创新意识． 情感、态度与价值观激发学生主动探索学习的精神．重点难点重点：定积分的概念、定积分的几何意义． 难点：定积分概念的理解．教学过程引入新课提出问题：回忆前面曲边梯形的面积、变速运动的路程等问题的解决方法与步骤． 活动成果：分割→近似代替→求和→取极限活动设计：将以下问题及其解决步骤通过多媒体投影到屏幕上．物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，求它在a ≤t ≤b 内的位移s.步骤如下： (1)分割：用分点a ＝t 0<t 1<t 2<…<t n ＝b 将时间区间[a ，b]等分成n 个小区间[t i －1，t i ](i ＝1,2，…，n)，其中第i 个时间区间的长度为Δt ＝t i －t i －1，物体在此时间段内经过的路程为Δs i .(2)近似代替：当Δt 很小时，在[t i －1，t i ]上任取一点ξi ，以v(ξi )来代替[t i －1，t i ]上各时刻的速度，则Δs i ≈v(ξi )·Δt i .(3)求和：s ＝1nii S=∆∑≈∑i ＝1nv(ξi )Δt. (4)取极限：Δt →0时，上式右端的和式作为s 近似值的误差会趋于0，因此s ＝0lim t ∆→∑i ＝1nv(ξi )Δt.探究新知提出问题1：请同学们对求曲边梯形的面积和变速运动的路程两个实例的四个步骤对比分析，找出共同点．活动设计：先让学生独立思考，再分小组讨论、交流．活动成果：1.二者都通过四个步骤——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题； 2．解决这两个问题的思想方法是相同的，都采用了“逼近”的思想． 总结：类似的问题都可以通过这种方法来解决，而且最终结果都可以归结为这种类型的和式的极限．提出问题2：你能不能类似地将在区间[a ，b]上连续的问题函数f(x)的最终结果归结为这种类型的和式的极限．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在教师的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点 a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n)，作和式：∑i ＝1n f(ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f(ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么称该常数为函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分．记为⎠⎛a bf(x)dx ，即⎠⎛abf(x)dx ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf(ξi )， 其中f(x)称为被积函数，x 叫做积分变量，[a ，b]叫做积分区间，b 叫做积分上限，a 叫做积分下限，f(x)dx 叫做被积式．教师补充以下几点：(1)定积分⎠⎛a b f(x)dx 是一个常数；(2)定积分⎠⎛ab f(x)dx 是一种特定形式的和式∑i ＝1nb －a n f(ξi )的极限，即⎠⎛a bf(x)dx 表示当n →∞时，和式∑i ＝1n b －a n f(ξi )所趋向的定值；(3)对区间[a ，b]的分割是任意的，只要保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了；(4)考虑到定义的一般性，ξi 是第i 个小区间上任意取定的点，但在解决实际问题或计算定积分时，可以把ξi 都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)，以便得出结果．设计意图通过上述操作、思考问题使学生建立起对定积分的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．提出问题3：你能说说定积分的几何意义吗？活动设计：学生独立解决，必要时，教师指导、提示．学情预测：如果学生回答此问题有困难，可提示学生回顾求曲边梯形面积的例子．活动成果：结合课本本节图1.57总结定积分⎠⎛ab f(x)dx(f(x)≥0)的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．提出问题4：思考课本本节的探究问题． 活动设计：学生独立思考，并给出答案．活动成果：通过对定积分几何意义的理解，学生不难考虑到如何用定积分表示位于x 轴上方的两条曲线y ＝f 1(x)，y ＝f 2(x)与直线x ＝a ，x ＝b 围成的平面图形面积．由于图中用虚线给出了辅助线，学生易得到阴影部分的面积为S ＝⎠⎛a b f 1(x)dx －⎠⎛ab f 2(x)dx.教师引导学生根据定积分的定义，可以得出定积分的如下性质： 性质1：⎠⎛a b kf(x)dx ＝k ⎠⎛ab f(x)dx(k 为常数)；性质2：⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝⎠⎛a b f 1(x)dx±⎠⎛abf 2(x)dx ；性质3：⎠⎛ab f(x)dx ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx(其中a<c<b)．提出问题5：性质1等式两边的两个定积分上、下限和被积函数分别是什么？ 活动设计：以提问的形式让学生直接作答．提出问题6：你能从定积分的几何意义解释性质3吗？ 活动设计：学生思考、交流、探索解决问题． 学情预测：若学生解决问题有困难，教师可辅助学生用图象的方法帮助学生从几何直观上感知性质3的成立．活动成果：教师指出性质3为定积分对积分区间的可加性，它对把区间[a ，b]分成有限个(两个以上)小区间的情形也成立．给出以上3个性质，便于我们计算定积分．理解新知1．用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a ，b]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑i ＝1nb －an f(ξi )；④取极限：⎠⎛ab f(x)dx ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f(ξi )．2．一般情况下，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图形以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．即∫b a f(x)dx ＝x 轴上方面积－x 轴下方的面积．运用新知例1利用定积分的定义，计算定积分∫10x 3dx 的值． 解：令f(x)＝x 3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n (i n )3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·n 2(n ＋1)24＝14(1＋1n)2.(3)取极限∫10x 3dx ＝lim n →∞S n＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 例2根据定积分的几何意义推出下列定积分的值．(1)∫10xdx ；(2)∫R 0R 2－x 2dx.思路分析：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫b a f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(1)中的定积分的值即为由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形的面积；(2)中的定积分的值为由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形的面积．解：(1)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形为一个直角三角形，两条直角边边长均为1，则面积为12×1×1＝12，所以∫10xdx ＝12. (2)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形面积即为圆x 2＋y 2＝R 2面积的14，则面积为14πR 2，所以∫R 0R 2－x 2dx ＝14πR 2. 变练演编例 计算定积分∫20x 3dx 的值，并从几何上解释这个值表示什么？解：计算定积分∫20x 3dx 的值： (1)分割在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,2]等分成n 个小区间[2(i －1)n ，2in ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n)，则∫20x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n(2i n )3·2n ＝16n 4∑i ＝1n i 3＝16n 4·n 2(n ＋1)24＝4(1＋1n)2. (3)取极限∫20x 3dx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞4(1＋1n )2＝4. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝0，x ＝0，x ＝2和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．活动设计：学生在理解例1和例2的基础上，独立完成此例练习． 设计意图设置本题意在让学生进一步理解定积分的定义和其几何意义，训练学生思维的灵活性． 达标检测1. lim n →∞ 1n[cos πn ＋cos 2πn ＋…＋cos (n －1)πn ＋cos nπn ]写成定积分的形式，可记为( )A ．∫π0cosxdx B.1π∫π0cosxdxC ．∫10cosxdx D ．∫π0cosx xdx2．用定积分表示由曲线y ＝x 3和直线y ＝x 所围成的图形面积． 3．当f(x)≥0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________； 当f(x)≤0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________．4．根据定积分的几何意义，求∫2－24－x 2dx 的值． 答案：1.B 2.∫10(x －x 3)dx.3．由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数4．2π. 课堂小结1．知识收获：(1)定积分的概念；(2)定义法求简单的定积分；(3)定积分的几何意义． 2．方法收获：联想、归纳、总结的思想方法． 3．思维收获：从特殊到一般． 布置作业习题1.5A 组3、4题． 补充练习 基础练习1．将和式的极限lim n →∞ 1α＋2α＋…＋n αn α＋1(α>0)表示成定积分为( ) A ．∫101xdx B ．∫10x αdx C ．∫101x αdx D ．∫10(x n)αdx 2．将和式lim n →∞(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分__________．3．曲线y ＝x 2，y ＝1所围成的图形的面积可用定积分表示为__________．拓展练习4．用定积分定义求∫10|x 2－4|dx 的值． 答案：1.B 2.∫101x ＋1dx 3.∫1－1(1－x 2)dx 4.233. 设计说明通过两个实例让学生自己总结出定积分的概念，这符合思维认识发展的一般规律，也符合数学发展的一般规律，同时激发学生进一步学习的浓厚兴趣，学生也从中学到了联想、猜测的归纳、总结的思想方法．例题的设置，主要是为了强化本节课的重点，通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解“分割、近似代替、求和、取极限”的微积分思想方法．本节的设计既符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求．备课资料备选例题：利用定义计算定积分∫10(2x －x 2)dx ，并从几何上解释这个值表示什么？思路分析：利用定积分性质1、2，可将∫10(2x －x 2)dx 转化为2∫10xdx －∫10x 2dx ，利用定积分的定义分别求出∫10xdx ，∫10x 2dx ，就能得到定积分∫10(2x －x 2)dx 的值．解：∫10(2x －x 2)dx ＝∫102xdx －∫10x 2dx ＝2∫10xdx －∫10x 2dx ，用定义求∫10xdx 的值．(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间 [i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10xdx ≈S n ＝∑i ＝1n i n ·1n ＝1n 2·n (n ＋1)2＝n ＋12n.(3)取极限∫10xdx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞n ＋12n ＝12. 同理可求得∫10x 2dx ＝13，所以∫10(2x －x 2)dx ＝2×12－13＝23. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝2x ，x ＝1和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积．(设计者：孙娜)。

教学方案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想； （2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点 定积分的概念 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x(x <0)，则⎠⎛－11f (x )dx 等于（ ）A ．⎠⎛－11x 2dxB ．⎠⎛－112x dC ．⎠⎛－10x 2dx ＋⎠⎛012x dxD ．⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2dx 答案：D2.定积分⎰13(－3)dx 等（ ）A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A3.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（ ）A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）2．问题探究问题探究一 什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()ba f x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰.这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.问题探究二 定积分的几何意义． 学生活动：定积分的定义和我们上节课所讲的曲边梯形的面积的求法有没有相同之处？你能说明定积分的几何意义吗？定积分的定义与曲边梯形面积的求法本质是相同的.如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.问题探究三 学生活动：根据定积分的几何意义，论证定积分的性质 定积分的性质：（1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数)（2）1212[()()]()()bbba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.例1．计算定积分21(1)x dx+⎰详解：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=⎰点拨：从定积分的几何意义出发解题3．课堂总结 【知识梳理】1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1,2,,)i n =，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式2.定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积3.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为 常 数 )（2）1212[()()]()()b b ba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.【重难点突破】（1）计算定积分过程中的两个常用结论 ①211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；②231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； ③11101110lim k k k k kk k n k k k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.（2）定积分的概念①定积分()ba f x dx ⎰就是和式1()ni i b af n ξ=-∑的极限，即()b a f x dx ⎰表示当n →∞时，和式1()ni i b af n ξ=-∑所趋向的定值. ②在计算定积分的过程中，为了计算的方便，我们常常将定义中的i ξ取为第i （1,2,,i n =）个小区间的左端点或右端点.③定积分()ba f x dx ⎰的值只取决于被积函数()f x 与积分上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b b ba a a f x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰.（3）定积分的几何意义①当()f x 对应的曲线位于x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边图形的面积；当()f x 对应的曲线位于x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边图形面积的相反数；当()f x 对应的曲线x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去x 轴下方曲边图形的面积.②定积分有很多实际意义，如：变速运动路程21()t t s v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰.（4）根据定积分的几何意义，易得以下性质： ①在区间[,]a b 上，若()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰；②在区间[,]a b 上，若()()f x g x ≤，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰；③()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰.（5）定积分的性质的推广 ①11221122[()()()]()()()bb bbn n n n a aaak f x k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx +++=+++⎰⎰⎰⎰；②121()()()()nbc c ba a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰（其中12n a c c c b <<<<<）.4．随堂检测1．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( )A ．与y ＝f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与y ＝f (x )有关，与积分区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与y ＝f (x )和ξi 的取法有关，与积分区间[a ，b ]无关D ．与y ＝f (x )、积分区间[a ，b ]、ξi 的取法均无关 答案：A解析：【知识点：定积分】定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关． 2．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②⎠⎛01x 3dx ＝(i －1)3n 3·1n ； ③⎠⎛01x 3dx ＝i 3n 3·1nA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：定积分】积分是一个极限的形式，根据积分的定义可知②③正确． 3．定积分⎠⎛13(－3)dx 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A解析：【知识点：定积分】⎠⎛133dx 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)dx ＝－⎠⎛133dx ＝－6. 4．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 答案：B解析：【知识点：定积分】(sin 5x ＋1)dx ＝sin 5xdx ＋1dx ，∵y ＝sin 5x 在[－π2，π2]上是奇函数，∴sin 5xdx ＝0.而1dx ＝＝π，故f (x )dx ＝π，故选B.5．设a ＝⎠⎛01x 13dx ，b ＝⎠⎛01x 2dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B.解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3dx ＜⎠⎛01x 2dx ＜⎠⎛01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.（三）课后作业 基础型 自主突破1．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝________.答案：24π+解析：【知识点：定积分】原式＝⎠⎛012dx ＋⎠⎛011－x 2dx .∵⎠⎛012dx ＝2，⎠⎛011－x 2dx ＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝π4＋2.2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可用定积分表示为________． 答案：S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .解析：【知识点：定积分】因y ＝x 3＋sin x 为奇函数，故⎠⎛0－1(x 3＋sin x )dx ＝－⎠⎛01(x 3＋sin x )dx ＜0，所以S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .3.若y ＝f (x )的图象如图所示，定义F (x )＝⎠⎛0x f (t )dt ，x ∈[0,1]，则下列对F (x )的性质描述正确的有________．(1)F (x )是[0,1]上的增函数； (2)F ′(1)＝0；(3)F (x )是[0,1]上的减函数； (4)∃x 0∈[0,1]使得F (1)＝f (x 0)． 答案：(1)，(2)，(4) 解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义可知，F (x )表示图中阴影部分的面积，且F (1)＝⎠⎛01f (t )dt 为一个常数，当x 逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F (x )为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必然∃x 0∈[0,1]，使S 1＝S 2，此时矩形ABCO 的面积与函数f (x )的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F (1)＝⎠⎛01f (t )dt ＝f (x 0)，故(4)正确．所以对F (x )的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)． 4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)sin xdx .(2) ⎠⎛-42⎠⎛2－412x 2dx .(3)－⎠⎛49－x 12dx ＝⎠⎛49x 12dx .5．已知⎠⎛01x 3dx ＝14，⎠⎛12x 3dx ＝154，⎠⎛12x 2dx ＝73，⎠⎛24x 2dx ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3dx ；(2)⎠⎛146x 2dx ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx . 答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)⎠⎛023x 3dx ＝3⎠⎛02x 3dx ＝3(⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 3dx )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2dx ＝6(⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛24x 2dx )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx ＝3⎠⎛12x 2dx －2⎠⎛12x 3dx ＝3×73－2×154＝－12.能力型 师生共研6．将和式的极限 1p ＋2p ＋3p ＋…＋n p n p ＋1(p ＞0)表示成定积分为( )A.⎠⎛011x dxB.⎠⎛01x p dxC.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1x pd D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p dx 答案：B解析：【知识点：定积分】 令ξi ＝in ，f (x )＝x p ，则1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝∑i ＝1n1n f (ξi )＝⎠⎛01x p dx .7．将(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分为________． 答案：⎠⎛0111＋x dx解析：【知识点：定积分】 由定积分的定义(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )＝∑i ＝1n(1in ＋1)·1n ＝∑i ＝1n(n n ＋i )·1n＝⎠⎛0111＋x dx . 8．设f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01(x ＋1)dx ＋⎠⎛12(－2x ＋4)dx .又由定积分的几何意义得 ⎠⎛01(x ＋1)dx ＝12(1＋2)×1＝32， ⎠⎛12(－2x ＋4)dx ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )dx ＝32＋1＝52. 9．抛物线y ＝12x 2将圆面x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为⎠⎛-22(8－x 2－12x 2)dx .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43.由定积分的几何意义得⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx ＝12⎠⎛-22 (8－x 2－12x 2)dx ＝π＋23.探究型 多维突破10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3 x ∈[－2，2]，2x x ∈[2，π]，cos x x ∈[π，2π].则22()f x dx π-=⎰________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3dx ＝0，⎠⎛2π2xdx ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，由于cos x 关于32x π=对称，故2cos 0xdx ππ=⎰，由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )dx ＝⎠⎛－22x 3dx ＋⎠⎛2π2xdx ＋2cos xdx ππ⎰＝π2－4.11．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )dx .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )dx 的近似值为________________． 答案：见解析解析：【知识点：定积分】因为0≤f (x )≤1且由积分的定义知：⎠⎛01f (x )dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )dx ＝N 1N .自助餐1．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛a b 6f (x )dx 等于（ ）A ．6B ．6(b －a )C ．36D ．不确定 答案：C解析：【知识点：定积分】 2．11x dx --⎰等于（ ）A ．11()x dx --⎰B ．11xdx -⎰C ．0110()x dx xdx --+⎰⎰D ．0110()xdx x dx -+-⎰⎰ 答案：C解析：【知识点：定积分】3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a b f (x )dx 的符号（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的D ．以上都不对 答案：A解析：【知识点：定积分】4．若⎠⎛a b f (x )dx ＝1，⎠⎛a b g (x )dx ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]dx ＝（ ）A ．2B ．－3C ．－1D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分】5．设a ＝10⎰x 13dx ，b ＝10⎰x 2dx ，c ＝1⎰x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c .6．由曲线y =x 2-1，直线x =0，x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示为（ ）A.220(1)x dx -⎰B.2201x dx -⎰C.220(1)x dx -⎰D.122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 答案：B解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知，阴影部分的面积为2121222211(1)(1)(1)(1)x dx x dx x dx x dx ---=-++⎰⎰⎰⎰2201x dx =-⎰7．⎠⎛06(2x －4)dx ＝____________. 答案：12解析：【知识点：定积分】A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x－4)dx ＝16－4＝128．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )dx ＝1，则f (x )的解析式为_________________． 答案：f (x )＝65x ＋25解析：【知识点：定积分】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax ＋b )dx ＝a ⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01bdx ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.9．定积分⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx 的值为________．答案：92π 解析：【知识点：定积分】 如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2dx ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3dx ＝0.由定积分的性质，得 ⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx ＝⎠⎛－339－x 2dx －⎠⎛－33x 3dx ＝9π2. 10．已知f (x )=错误！未找到引用源。

1．5.3 定积分的概念预习课本P45～47，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？(2)定积分的计算有哪些性质？[新知初探]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξ i )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξ i )， 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m n →∞∑i ＝1n b －a n f (ξ i )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算⎠⎛a bf (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值：当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝S ；当f (x )<0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .2．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a bf 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x . (3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛02x 2d x ＝1.( )(2)⎠⎛a bf (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛a b(x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a bx 2d x ＋⎠⎛a b2x d x . ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2.⎠⎛02x d x 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D ．－2答案：C3．已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则( ) A.⎠⎛01f (x )d x ＝4 B.⎠⎛02f (x )d x ＝4C.⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝8 D ．以上答案都不对 答案：C4．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛－t 0x d x ＝________. 答案：－2利用定义求定积分[典例] 利用定义求定积分⎠⎛03x 2d x .[解] 令f (x )＝x 2，(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i＝3i n (i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3n (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替、求和：令ξi ＝x i ＝3i n (i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫3i n 2·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＝92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n . (3)取极限：根据定积分的定义，有⎠⎛03x 2d x ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx＝⎣⎡⎦⎤92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝9.用定义求定积分的一般步骤(1)分割：n 等分区间[a ，b ]；(2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，可取ξi ＝x i －1或ξi ＝x i ； (3)求和：∑i ＝1n f (ξi )·b －an ；(4)取极限：⎠⎛a bf (x )＝li m n →∞∑i ＝1n f (ξi )·b －an . [活学活用]利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值． 解：令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫1＋in ·Δx＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1＋i n 2＋2⎝⎛⎭⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎡⎦⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝S n ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23. 用定积分的性质求定积分[典例] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d x B.⎠⎛022x 2d xC.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛012x d x ＋⎠⎛12(x ＋1)d x(2)已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e33，求下列定积分的值：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ； ②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x .[解析] (1)由定积分的几何性质得：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .答案：C(2)解：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ＝2⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0ex 2d x ＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝⎠⎛0e2x 2d x －⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0e1d x ，因为已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．[活学活用]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1.且⎠⎛0－1 (2x －1)d x ＝－2，⎠⎛01 e －x d x ＝1－e －1，求⎠⎛1－1f (x )d x .解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1).用定积分的几何意义求定积分[典例] 求定积分：⎠⎛02(4－(x －2)2－x )d x .[解] ⎠⎛024－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即⎠⎛024－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.⎠⎛02x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积，即⎠⎛02x d x ＝12×22＝2.∴原式＝⎠⎛024－(x －2)2d x －⎠⎛02x d x ＝π－2.当被积函数的几何意义明显时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要注意定积分的符号．[活学活用]计算⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解：如图所示，由定积分的几何意义得⎠⎛3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ⎠⎛3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得 ⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x ＝⎠⎛3－39－x 2d x －⎠⎛3－3x 3d x ＝9π2.层级一 学业水平达标1．定积分⎠⎛2－2f (x )d x (f (x )>0)的积分区间是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．不确定解析：选A 由定积分的概念得定积分⎠⎛2－2f (x )d x 的积分区间是[－2,2]． 2．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A 由定积分的几何意义知，⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故⎠⎛13(－3)d x ＝－6.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a bf (x )d x ＞0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a bf (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正解析：选D A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )＞0的曲线围成的面积比f (x )＜0的曲线围成的面积大．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1 x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛1－1x 2d x ＋⎠⎛1－12x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：选D 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 求出的是( )解析：选D 定积分S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，D 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方．故选D.6．若⎠⎛a bf (x )d x ＝3，⎠⎛a bg (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝__________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5. 答案：57．若⎠⎛a bf (x )d x ＝1，⎠⎛a bg (x )d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝_______. 解析：⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝2×1－3＝－1. 答案：－18．计算：⎠⎛0416－x 2d x ＝____________.解析：⎠⎛0416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14π·42＝4π.答案：4π9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．(1)⎠⎛－3－2 x 2d x ＋⎠⎛1－2x 2d x ； (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x .解：(1)原式＝⎠⎛1－3x 2d x ，如图(1)所示． (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5，x ∈[－1，1]，x ，x ∈[1，π)，sin x ，x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分． 解：由定积分的几何意义知：∵f (x )＝x 5是奇函数，故⎠⎛1－1x 5d x ＝0； ⎠⎛π3πsin x d x ＝0(如图(1)所示)；⎠⎛1πx d x ＝12(1＋π)(π－1)＝12(π2－1)(如图(2)所示)．∴⎠⎛－13πf (x )d x ＝⎠⎛－11x 5d x ＋⎠⎛1πx d x ＋⎠⎛－π3πsin x d x＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．层级二 应试能力达标1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎠⎛a bf (x )d x －⎠⎛a bf (t )d t 的值( ) A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零D ．不能确定解析：选B ⎠⎛a bf (x )d x 和⎠⎛a bf (t )d t 都表示曲线y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.2．(陕西高考)如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛01(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x解析：选C 由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.3．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：选B 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x ＜⎠⎛01x 2d x ＜⎠⎛01x 13d x ，即a ＞b ＞c ，故选B.4．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：选D 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.5．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________. 解析：原式＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011－x 2d x .因为⎠⎛012d x ＝2，⎠⎛011－x 2d x ＝π4， 所以⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4.答案：2＋π46．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为______． 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝a ⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.答案：f (x )＝65x ＋257．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程． 解：依题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s ＝∫600v (t )d t ＝∫20032t d t ＋⎠⎛2040(50－t )d t ＋⎠⎛406010d t＝300＋400＋200＝900(米)．8．求证：12＜⎠⎛01x d x ＜1.第11页 共11页 证明：如图，⎠⎛01x d x 表示阴影部分面积，△OAB 的面积是12，正方形OABC 的面积是1，显然，△OAB 的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC 的面积，即12＜⎠⎛01x d x ＜1.。

1.5.3定积分的概念【学习目标】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 【学习重难点】重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P45-47内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1.定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx=⎰，即1()lim ()nbi ax i b af x dx f nζ→∞=-=∑⎰. 2.定积分的相关名称3.定积分的几何意义（1）前提条件：函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()0f x ≥.（2）定积分()baf x dx ⎰的几何意义：由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积. 4.定积分的基本性质（1）()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数）(2)1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（3）()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a cb <<）【合作探究】 （利用定义求定积分） 问题1：（1）将111lim()122n n n n→∞+++++表示为定积分为111dx x +⎰.（2）利用积分定义求2badx ⎰的值.答案：2()b a -（利用定积分的几何意义求定积分） 问题2：（1）131(3)x x dx -+⎰=0 （2）31(31)x dx -+⎰= 16 （3）1-⎰=2π（定积分性质的应用） 问题3：（1）计算232)x dx -⎰的值；答案：2π（2）已知[)[)[],0,2()4,2,35,3,522x x f x x x xx ⎧⎪∈⎪=-∈⎨⎪⎪-∈⎩，求()f x 的区间[]0,5上的定积分.答案：92【深化提高】利用定积分的几何意义求2222()sin f x dx xdx ππ--+⎰⎰的值，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩. 答案：-6●当堂检测A 组（你一定行）： 1.定积分()baf x dx ⎰的大小 （ A ）A ．与()y f x =和积分区间[,]a b 有关，与i ζ的取法无关B. 与()y f x =有关，与积分区间[,]a b 和iζ的取法无关C. 与()y f x =和i ζ的取法有关，与积分区间[,]a b 无关D. 与()y f x =、积分区间[,]a b 、i ζ的取法均无关 2. 定积分31(3)dx -⎰等于 （ A ）A.-6B.6C.-3D.3 B 组（你坚信你能行）： 3.已知12013x d x=⎰，22173x dx =⎰，则22(1)x d x+=⎰143. 4. 求由曲线xy e =，直线2,1x y ==围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为 []0,2 .C 组（我对你很有吸引力哟）： 5.计算322(25sin )x dx ππ-⎰的值.答案：2π【小结与反思】。

1．5.3 定积分的概念【学习目标】理解定积分的概念，掌握三种求定积分的方法 【重点难点】求定积分的方法 一、自主学习要点1 定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξ1(i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξ1)Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξ1)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的 ，记作⎠⎛a bf(x)d x ，即⎠⎛abf(x)d x ＝lim n→∞∑i ＝1nb －anf(ξi )．这里，a 与b 分别叫做积分 与积分 ，区间[a ，b ]叫做积分 ，函数f(x)叫做 ，x 叫做 ，f(x)d x 叫做 要点2 定积分的几何意义如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有 ，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由所围成的曲边梯形的面积． 要点3 定积分的性质(1)⎠⎛a b kf(x)d x ＝ (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝ ； (3)⎠⎛ab f(x)d x ＝ (a<c<b)． 二、合作，探究，展示，点评 题型一 定义法求定积分例1 用定义计算⎠⎛12(1＋x)d x.题型二 定积分的几何意义 例2 求定积分⎠⎛011－x 2d x.思考题1 不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)⎠⎛01x d x________⎠⎛01x 2d x(如右图)；(2)⎠⎛01x d x________⎠⎛12x d x(如下图)；(3)⎠⎛024－x 2d x________⎠⎛022d x(如下图)．题型三 利用性质求定积分例3 (1)计算⎠⎛-33 (9－x 2－x 3)d x 的值；(2)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x∈[0，，4－x x∈[2，，52－x 2 x∈[3，5]，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．思考题2 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x∈[－2，，2x ，x∈[2，π，cos x ，x∈[π，2π]，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分；(2)计算⎠⎜⎜⎛π232 π(2－5sin x)d x 的值．题型四 利用定积分表示平面图形的面积例4 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2.思考题3 用定积分表示抛物线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的平面图形的面积．三、知识小结1. 若f(x)在[－a ，a]上连续，则：(1)当f(x)是偶函数时，⎠⎛－a a f(x)d x ＝2⎠⎛0a f(x)d x.(2)当f(x)是奇函数时，⎠⎛－aa f(x)d x ＝0.2．定积分的性质拓展：拓展一：若在区间[a ，b]上，f(x)≥0，则⎠⎛ab f(x)d x≥0.拓展二：若在区间[a ，b]上，f(x)≤g(x)，则⎠⎛a b f(x)d x≤⎠⎛ab g(x)d x.拓展三：⎪⎪⎪⎪⎠⎛abd x ≤⎠⎛ab |f(x)|d x.拓展四(估值定理)：设函数f(x)在区间[a ，b]上的最小值与最大值分别为m 与M ，则m(b －a)≤⎠⎛ab f(x)d x≤M(b －a)．利用这个性质，由被积函数的在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．。

定积分的概念与微积分基本定理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积. 一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限， 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f nab x f ξξ∑∑==-=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f nab ξ∑=∞→-1lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

1.5.3 定积分的概念教材新知：知识点一：定积分的概念提出问题问题1：求曲边梯形面积的步骤是什么？ 问题2：你能将区间[a ，b ]等分吗？ 导入新知定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx＝∑i ＝1nb －a n f (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －an f (ξi )．其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．化解疑难对定积分概念的理解由定义可得定积分⎠⎛ab f (x )dx 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛ab f (u )d u .知识点二：定积分的几何意义提出问题问题1：根据定积分的定义，求⎠⎛12(x ＋1)d x 的值是多少．问题2：⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？ 导入新知定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x的几何意义．化解疑难评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是以曲线f (x )为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.知识点三：定积分的性质提出问题问题1：利用定积分的定义，试求⎠⎛12x 2d x ，⎠⎛122x d x ，⎠⎛12(x 2＋2x )d x . 问题2：由问题1计算得出什么结论？ 问题3：还有相类似的性质吗？ 导入新知定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．化解疑难对定积分的性质的说明定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：①⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )±…±f m (x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f m (x )d x (m ∈N *)．②⎠⎛ab f (x )d x ＝()1c af x ⎰d x ＋⎠⎛c 1c 2f (x )d x ＋…＋()k bc f x ⎰d x (a <c 1<c 2<…<c k <b ，且k ∈N *)．例题讲解：题型一：利用定义求定积分例1：利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．类题通法利用定义求定积分的步骤活学活用：利用定积分的定义，计算⎠⎛12(x ＋1)d x 的值．题型二：利用定积分的几何意义求定积分例2：说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3) ⎠⎛－111－x 2d x .类题通法利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．活学活用：用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．题型三：利用定积分的性质求定积分例3：已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .类题通法定积分与函数的奇偶性若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则： (1)若函数f (x )为奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝0；(2)若函数f (x )为偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .活学活用：已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝12，⎠⎛a b g (x )d x ＝6，求⎠⎛a b 3f (x )d x .随堂检测：1．下列等式不成立的是( )A. ⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛ab g (x )d xB. ⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －aC. ⎠⎛ab f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d xD.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0πsin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x2．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A.12x d x⎠⎛B.1(2x－1)d x⎠⎛C.1(2x＋1)d x⎠⎛D.1(1－2x)d x⎠⎛3．用定积分的几何意义求14－x2d x.⎠⎛－1——★参考答案★——教材新知：知识点一：定积分的概念提出问题问题1：答：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：答：可以． 知识点二：定积分的几何意义提出问题问题1：答：⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.问题2：答：相等． 知识点三：定积分的性质提出问题问题1：答：计算得⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛122x d x ＝3，⎠⎛12(x 2＋2x )d x ＝163. 问题2：答：⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x )d x . 问题3：答：有． 例题讲解：题型一：利用定义求定积分例1：解：令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋in ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则则S n ＝∑i ＝1nf (n ＋i －1n )·Δx＝∑i ＝1n[3(n ＋i －1)n ＋2]·1n＝∑i ＝1n[3(i －1)n 2＋5n ] ＝5＋3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞(132－32n )＝132.活学活用：解：f (x )＝x ＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度为Δx ＝1n. 在⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in 上取ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，∴f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，∴∑i ＝1nf (ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n ，∴⎠⎛12(1＋x )d x ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎫52－12n ＝52. 题型二：利用定积分的几何意义求定积分例2：解：(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32.(3) ⎠⎛－111－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.活学活用：解：图①中，被积函数f (x )＝－1－x 在区间[－1,2]上连续不间断，且f (x )≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为 S ＝－⎠⎛－12 (－1－x )d x ＝12×3×3＝92，所以阴影部分的面积为92.图②中，被积函数f (x )＝－1－x 2在区间[－1,1]上连续不断，且f (x )≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为 S ＝－⎠⎛－11－1－x 2d x ＝12π×12＝π2，所以阴影部分的面积为π2.题型三：利用定积分的性质求定积分例3：解：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.活学活用：解：∵⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ， ∴⎠⎛ab f (x )d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛a b 3f (x )d x ＝3⎠⎛a b f (x )d x ＝3×6＝18. 随堂检测：1．[解析]利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . [答案]C2．[解析]根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .[答案]B3．解：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB·BC ＝2 3.。

高二选修2-2 编号：005§ 1.5 《定积分的概念》导学案姓名: 班级： 组别： 组名：【学习目标】1．理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义。

2．知道定积分的性质。

3．会用定义法求简单的定积分。

【重点难点】1．定积分的概念，定积分的几何意义。

2．定积分的概念。

【学习过程】阅读课本38-44页定积分的实际背景（曲边梯形的面积、汽车行驶的路程）探究一：曲边梯形的面积如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线)(x f y =的一段，我们把由直线a x =,b x =(a ≠b ),0=y 和曲线)(x f y =所围成的图形称为曲边梯形．问题：如何求由抛物线2x y =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S ？思路：以直代曲，无限逼近操作过程：⑴分割⑵近似代替⑶求和⑷取极限思考：在“近似代替”中，在每一个区间[ni 1-，n i ]中，可以取任意的i ξ的函数值)(i f ξ作为近似值吗？反思：求曲边梯形面积的四个步骤是什么？例1：求22x x y -=,0=y ,0≤x ≤2围成图形面积。

变式练习：求直线x =2，x =0，y =0与曲线2x y =所围成的曲边梯形的面积。

例2、已知圆半径为r ，周长为r π2，求圆的面积。

例3、求由曲线xy e =，y e =，0x =围成的图形面积探究二：汽车行驶的路程利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？思路：以不变带变的方法操作过程：⑴分割⑵近似代替⑶求和⑷取极限思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结论：一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．三、例题分析：例1、弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力kx x F =)(（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．例2、一辆汽车作变速直线运动，在时刻t (单位：h )的速度为26)(t t v =(单位：km/h)，求汽车在1≤t ≤2时段内行驶的路程.探究三：定积分的概念 阅读课本45-47页从求曲边梯形面积S 的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.如果当n →∞时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分，记作 即定积分的相关名称：⎰ ———叫做积分号， f (x ) ——叫做被积函数， f (x )dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限，[a , b ] ——叫做积分区间。

1.5―1.7定积分的复习学习目标：进一步理解定积分的概念，熟练运用微积分基本定理计算函数的定积分，会运用定积分解决简单的几何问题和物理问题。

一、知识梳理：1.直线0),(,=≠==y b a b x a x 和直线y=f(x)所围成的图形称为 梯形。

2.求曲边梯形的面积以及求变速直线运动的物体在某段时间内运动的路程的步骤为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。

3.概念：设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…，n ）作和式∑=∆=ni i n x f I 1)(ξ(其中△x 为小区间长度)，把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的 ，记作： ，即 。

这里，a 与b 分别叫做 与 ，区间[a ，b ]叫做 ，函数f (x )叫做 ，x 叫做 ，f (x )dx 叫做 。

4.定积分的性质：（1） ；（2） ；（3） 。

5.一般地，如果f (x )是区间[a,b ]上的连续函数，并且)('x F = f (x )那么=⎰b a dx x f )( 。

这个结论叫做微积分基本定理。

又叫 公式。

6.为了方便，我们常常把F (b )-F (a )记成 ，=⎰b a dx x f )( = 。

7.如果变速直线运动的速度v =v (t)(v ≥0),那么从时刻t =a 到t =b 所经过的路程为 。

8.当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取 ；当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取 ；当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为 。

9.定积分求曲边梯形面积：由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积S= 。

1．7.1 定积分在几何中的应用（结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f (x )d x .2．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f (x )d x .3．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .(如图)【合作探究】 类型一 求不分割型图形的面积例1 试求曲线y ＝x 2－2x ＋3与y ＝x ＋3所围成的图形的面积．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．类型二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0所围成，则其面积为________．(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．类型三定积分的综合应用例3在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．跟踪训练3如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.2.……………【小结作业】小结：作业：对应限时练。

1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替； 结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________． 说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰．2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰badx x f )(表示直线x a =,()x b a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰bakdx _______（k 为常数）；（２）=⎰badx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）；（３）[]=±⎰badx x fx f )()(21_______________；（４）=⎰b adx x f )(__________________（其中b c a <<）． 对点练习：1.下列等于1的积分是（ ） A.dx x ⎰1B.dx x ⎰+1)1(C.dx ⎰101 D.dx ⎰10213．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（ ）A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x⎰⎰+-1122.dx dx x C x ⎰⎰+-12012.dx x dx D x3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰badx x f )(表示___________________________.【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰23dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（ ）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰badx x fD.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰badx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰211xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-224dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=22]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.18 2.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（ ）．A.0B.8C.⎰2)(dx x f D.2⎰2)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分是（ ） A.dx x⎰101 B.dx x p⎰10 C.dx x p ⎰10)1( D.dx nx p ⎰10)( 4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-32)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。

1.5.3定积分的概念【学习目标1 •了解定积分的概念和性质2 •了解定积分的几何意义3 •能对简单的定积分迸算【新知自学】知识顾求曲边梯形的面积：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割 T近似代替T求和T取极限；关键近似代替; 结果：分割越细，面积越橢. 新知梳理：1 •定积分的概念:一般地，设函数f (x)在区间［a,b］上连续，用分点a = x <x<x<…v X L K X<• • ・0 1 2= A =b将区间［a,b］等分成n个小区间，每个小区间鹿均在每个小区间I 匕(=…)x x上取一点i i 1,2, , n ,作和式：i * A 匕△1, = =ns f( ) X n ii 1式s无限趋近于常数s, nb a f(ni 1那么称该常数•如果x无限接近于0 (亦即n ))时，上述和其中f(x)称___________ J x叫做__________ , ［a,b］_____ , b叫做积分 ______ ，讨凹做/积分说明：(1)定积分bf《x0dx區一卅常数，即S无限趋近白舞徵S ( n时)称为b# Qx)dx ,而不是曲边图形面积: b t2f xdx；变速运动蹌v(t)dt；变力做功at >1bFtr)dr.=a2.定积分的儿何意义如下图所示，如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且Igf (x) 0 ,那么定积分 f (x)dx 表S _____________________示直戏a,x b(a b),y 0和曲线f(x)围成的曲边梯形的而积bIf (x)dx =a对占练习・ 1 •下列等于1的积分是（A. / xdxo f 1 c. J1dx3.定积分的性质：b Jkdx = ____ a b Jkf (x)dx =a（k 为常数）；（其屮k 是不为 0的常数）；o23・设fX (x' 0),2 (xX0).1f （r ）dx•一的值是 I 1，A ・•一2dxX 1 =1f 1XB 「2 dx1C. x r 1 2dx dxXD ・ 2 dx 1 <2x dx 0 3.曲线 y o, 所围成的图形的面积可用定积分表示为 4•当函数f （x ）在区间［a,b ］上连续且恒有f （x ）_0 （即函数图象在 X 轴下方）时，定积分 （其中JB. J (x 「)dx°」 D.『_dxbf (x)dx 表示____________________________a【合作探究】典例精析：3例1.根据定积分的儿何意义计算定积分：| X 2|dx的值.根据定积分的几何意义计算定积分2£ (x+1)dx的值.例2.利用定积分的定义，计算(1 3dx•o x 的值.变式练习:计算I 3dx° x 的值，并从儿何上解释这个值表示什么含义.【课堂小结】【当堂达标】1求由y eX X 2 y 1围成的曲边梯形的面积时，若选择X为积分变量，则积分区间为( )2代〔°，e ] B. [0, 2]C. [1, 2]D. [0, 1] 2•下列命题不正确的是()・A.若f(x)是连续的奇函数，则a a B. 若 f(x)dx2 f(x)dxabC. 若f(x)在[a,b]±连续且恒正，则 f(x)dx 0abD. 若f(x)在［a,b ］ ±连续且 f(x)dx 0 ,则f(x)在［a,b ］上恒正af (x)dx 0 J a=>连的函，f(x是续偶数则1 23•化简求值i xdx + Jxdx ='0 '14 •试用定积分的几何意义说明2v4 "x dx的大小.【课时作业】2 21 •已知if(x)dx=3,则f[f(x) +6]dx=( o =A.9B.122 •若函数A.0=3f(x)_xC.15D.18.2则=f（x）dx等于（)•B.8C. J f (x)dxoD.2& (x)dx3 •将和式的极限吟~~3 p+n n 1■1A. dx0）表不成定积分是（）PdxC. ()dxX P1D. ( ) dxo n4 •利用定积分的性质和几何意义求定积分J 7 -3 2o (2 x) dx.5 •用定积分表示右图中阴影部分的面积X。