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专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义答案部分 2019年1.解析 因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 由y =2sin+cos ，得2cos sin y x x '=-，所以π2cos πsin π=-2x y ='=-，所以曲线y =2sin+cos 在点(π,1)-处的切线方程为12(π)y x +=--， 即2210x y +-π+=． 故选C ．3.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1xy a x =++， 又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ． 4.解析 由题意，可知1sin 2y x '=--.因为1sin 002y x '=--==所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程112y x -=-，即220x y +-=． 5.解析 设00(,ln )A x x ，由ln y x =，得1'y x=，所以001'|x x y x ==，则该曲线在点A 处的切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，因为切线经过点(e,1)--， 所以00e 1ln 1x x --=--，即00eln x x =，则0e x =．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇年函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0) 处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ． 2．A 【解析】对于选项A ，1()2()2-==xx f x ， 则1()()()22=⋅=x x x x e e f x e ，∵12>e，∴()xe f x )在R 上单调递增，∴()2-=x f x 具有M 性质．对于选项B ，2()=f x x ，2()=x x e f x e x ，2[()](2)'=+x x e f x e x x ，令2(2)0+>x e x x ，得0>x 或2<-x ；令2(2)0+<x e x x ，得20-<<x ，∴函数()xe f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，∴2()=f x x 不具有M 性质．对于选项C ，1()3()3-==x xf x ，则1()()()33=⋅=xxxxe ef x e ，∵13<e ，∴()3=x ey 在R 上单调递减，∴()3-=x f x 不具有M 性质．对于选项D ，()cos =f x x ，()cos =xxe f x e x ，则[cos ](cos sin )0'=-≥xxe x e x x 在R 上不恒成立，故()cos =xxe f x e x 在R 上不是单调递增的，所以()cos =f x x 不具有M 性质．3．A 【解析】设两个切点分别为11(,)x y ，22(,)x y ，选项A 中，cos y x '=，12cos cos 1x x =-，当120,x x π==时满足，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.4．A 【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得 12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭． 分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为211121121(,ln )11x x P x x x -+++．∵11x >， ∴2112211211||||1211PABA B P x x S y y x x x ∆+=-⋅=<=++，∴01PAB S ∆<<，故选A ． 5．B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[1,0]递增，即原函数在[1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B ． 6．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 7．A 【解析】∵236y x x '=-+∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故选A.8．A 【解析】xy e '=，0x =，01e =．9．C 【解析】∵23y x '=，切点为(1,12)P ，所以切线的斜率为3， 故切线方程为390x y -+=，令0x =得9y =．10．B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'==++，所以2112(sincos )444y x πππ'===+。
导数的几何意义定积分与微积分基本定理导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
在几何上，导数可以理解为函数图像上一点处的切线斜率。
考虑函数y=f(x)，如果在其中一点x=a处导数存在，则导数f'(a)表示该点处函数的变化率。
具体而言，对于非常小的增量Δx，函数在x=a处的导数f'(a)表示了函数在x=a处的切线的斜率，即切线与x轴正方向的夹角。
换句话说，导数可以理解为函数在其中一点的瞬时变化率。
例如，对于一条直线函数y=ax+b，其导数恒等于a，表示了该直线斜率的恒定性。
导数的几何意义不仅仅局限于切线的斜率，它还可以用来描述函数的凸凹性质。
当函数在其中一点的导数为正时，说明函数图像在该点处上升；当导数为负时，说明函数图像在该点处下降。
通过导数，我们可以了解到函数的变化趋势以及临界点的存在与性质。
定积分与微积分基本定理：定积分是微积分中的另一个重要概念，它表示了函数在一个区间上的累积变化量。
几何上，定积分可以理解为函数图像下方面积的计算。
考虑函数y=f(x)，如果在区间[a,b]上存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。
根据微积分基本定理，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)简单来说，定积分就是原函数在区间上的差值。
通过定积分，我们可以计算函数在其中一区间上的变化量，并得到一个具体的数值结果。
几何上，定积分表示了函数图像在区间[a,b]上的下方面积。
当函数f(x)表示为正值时，定积分计算的是图像在区间上的面积；当函数f(x)表示为负值时，定积分计算的是图像下方的面积。
通过定积分，我们可以计算复杂函数图像的面积，并应用于曲线的长度、体积以及其他几何问题的求解。
综上所述，导数和定积分是微积分学中两个核心概念。
导数描述了函数在其中一点的变化率，可以理解为函数图像在该点的切线斜率；定积分表示了函数在一个区间上的累积变化量，可以理解为函数图像在该区间上的下方面积。
导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f k k <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <-- D ．1()11kf k k >-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)xex dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____．16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx -⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()exx axf x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+．(Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln x f x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．答案部分 2019年1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e xy x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =．2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )Px x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯-=-， 则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x -=-，22221:ln ()l y x x x x +=--，于是1(0,ln 1)A x -，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0， 显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】 取满足题意得函数()21f x x ，若取32k，则121()()33f f k 213k ，所以排除A ．若取1110k ， 则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ，所以排除D ；取满足题 意的函数()101f x x ，若取2k ，则1111()()412211f f k k ，所以排除B ，故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰．7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =-=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=-+=⎰，选C 10．C 【解析】1(2)xex dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯-=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x xe y e e e --==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ． 15．3-【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．16．1ln2-【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +．则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++，依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-．17．21y x =--【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =-，则1()3f x x'=-，(1)2f '=-，则在点(1,3)-处的切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．18．0【解析】2221(1)()002x dx x x -=-=⎰． 19．(1,1)【解析】因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．20．512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．21．53y x =-+【解析】55xy e -'=-，在点(0,3)处的切线的斜率为5-，切线方程为35(0)y x -=--，即53y x =-+． 22．22e【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e 阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a -=+① 又2()2bf x ax x'=-，过点)5,2(-P 的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 24．①③④【解析】 对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x'=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x '=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:-=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =-->，可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥， 可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】1y x αα-'=，则k α=，故切线方程y x α=过点(1,2)解得2α=．26．3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 27．113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+ 两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +-+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】a a x dx x S aa ====⎰232303232，解得49=a ．30．43y x =-【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=. 31．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．32．1NN【解析】由题意可知11()1f x dx N N ≈⎰得110()N f x dx N ≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1NN．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x x x x x f x e e -+=故33(1),'(1),f f e e==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e -=-化简得30x ey -=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e -+-+=．令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =解得166a x -=，266a x -+=．当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数； 当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知23,x =≤解得9,2a ≥- 故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-． 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤， ∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调， 而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增， 故当x()f x取的最小值，最小值为f14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+， 所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点； 当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=-．设函数2()xh x xe e-=-，则'()(1)x h x e x -=-．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-． 39．【解析】(Ι)因为'1()xf x e x m =-+, x =0是()f x 的极值点，所以'1(0)10f m=-=， 解得1m =，所以函数()f x =xe -ln(x +1)，其定义域为(1,)-+∞，因为'1()1xf x e x =-+=(1)11x e x x +-+，设()(1)1x g x e x =+-，则'()(1)0x xg x e x e =++>，所以()g x 在(1,)-+∞上是增函数，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >；当10x -<<时，()0g x <，'()0f x <，所以()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数．（Ⅱ）当2m ≤，(),x ∈-∞+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+， 故只需证明当2m =时，()0f x >． 当2m =时，函数()12xf x e x '=-+在()2,-+∞单调递增．又()()10,00f f ''-<>，故()0f x '=在()2,-+∞有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-． 当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得()00001,ln 22x e x x x =+=-+， 故()()()2000011022x f x f x x x x +≥=+=>++ 综上，当2m ≤时，()0f x >．40．【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得1b =-，由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭， 得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当>0x 时，)+1+1=+2x x +12x．记()()9=-+6xh x f x x ，则()()()()()()22215454+654'==-<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ， 于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x ． （证法二）由（1）知()()=ln +1f x x ，由均值不等式， 当>0x 时，)+1+1=+2x x +12x令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ，故()<0k x ，即()ln +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ， 则当0<<2x 时，()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x +++-++1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2xx x x x x <++++-++()()=7-18<04+1xx x ．因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6xf x x ． 41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=3(x -，当(,x ∈-∞和+∞）时，()>0f x '；当(x ∈-时，()<0f x '， 因此，()f x的单调递增区间为(,)3-∞-和3+∞（），单调递减区间为(3-)3． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --，即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3ba-平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．。
专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分 2019年1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e xy x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )Px x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯-=-， 则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x -=-，22221:ln ()l y x x x x +=--， 于是1(0,ln 1)A x -，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0， 显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】 取满足题意得函数()21f x x =-，若取32k =，则121()()33f f k == 213k <=，所以排除A ．若取1110k =，则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ===>==----，所以排除D ；取满足题 意的函数()101f x x =-，若取2k =，则1111()()412211f f k k ==>==--，所以排除B ， 故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰． 7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =-=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=-+=⎰，选C 10．C 【解析】1(2)xex dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯-=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x xe y e e e --==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ． 15．3-【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．16．1ln2-【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +． 则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++， 依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-．17．21y x =--【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =-，则1()3f x x'=-，(1)2f '=-，则在点(1,3)-处的切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．18．0【解析】22021(1)()002x dx x x -=-=⎰．19．(1,1)【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x=，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1． 20．512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．21．53y x =-+【解析】55xy e -'=-，在点(0,3)处的切线的斜率为5-，切线方程为35(0)y x -=--，即53y x =-+． 22．22e【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率为22=S S e阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a -=+① 又2()2bf x ax x'=-，过点)5,2(-P 的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 24．①③④【解析】 对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x '=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:-=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =-->，可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥， 可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】1y x αα-'=，则k α=，故切线方程y x α=过点(1,2)解得2α=．26．3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 27．113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+ 两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +-+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】a a x dx x S aa ====⎰232303232，解得49=a ． 30．43y x =-【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=. 31．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．32．1NN【解析】由题意可知11()1f x dx N N ≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+Q ，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x xx x x f x e e -+=故33(1),'(1),f f e e==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e-=-化简得30x ey -=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e -+-+=．令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =解得1x =，2x =当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数；当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知23,x =≤解得9,2a ≥- 故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-． 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤， ∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调， 而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增， 故当x()f x取的最小值，最小值为f14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+， 所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=-．设函数2()xh x xe e-=-，则'()(1)x h x e x -=-．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-． 39．【解析】(Ι)因为'1()xf x e x m =-+, =0是()f x 的极值点，所以'1(0)10f m=-=， 解得1m =，所以函数()f x =xe -ln(+1)，其定义域为(1,)-+∞，因为'1()1xf x e x =-+=(1)11x e x x +-+，设()(1)1x g x e x =+-，则'()(1)0x xg x e x e =++>，所以()g x 在(1,)-+∞上是增函数，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >；当10x -<<时，()0g x <，'()0f x <，所以()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数．（Ⅱ）当2m ≤，(),x ∈-∞+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+， 故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()12xf x e x '=-+在()2,-+∞单调递增． 又()()10,00f f ''-<>，故()0f x '=在()2,-+∞有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-． 当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得()00001,ln 22x e x x x =+=-+， 故()()()20000011022x f x f x x x x +≥=+=>++综上，当2m ≤时，()0f x >．40．【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得1b =-，由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭， 得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2xx +12x．记()()9=-+6xh x f x x ， 则()()()()()()22215454+654'==-<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时， ()9<+6x f x x ．（证法二）由（1）知()()=ln +1f x x ，由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x +12x 令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ，故()<0k x ， 即()ln +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ， 则当0<<2x 时，()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x +++-++ 1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2x x x x x x <++++-++ ()()=7-18<04+1x x x ． 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6x f x x ．41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=3()33x x+-，当(,)3x ∈-∞-和3+∞（）时，()>0f x '；当(x ∈时，()<0f x '，因此，()f x 的单调递增区间为(,-∞和+∞），单调递减区间为(-． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x ⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --， 即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠ 因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3b a-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3b a -平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．。
专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分 2019年1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e xy x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )Px x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯-=-， 则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x -=-，22221:ln ()l y x x x x +=--， 于是1(0,ln 1)A x -，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0， 显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】 取满足题意得函数()21f x x =-，若取32k =，则121()()33f f k == 213k <=，所以排除A ．若取1110k =，则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ===>==----，所以排除D ；取满足题 意的函数()101f x x =-，若取2k =，则1111()()412211f f k k ==>==--，所以排除B ， 故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰． 7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =-=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=-+=⎰，选C 10．C 【解析】1(2)xex dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯-=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x xe y e e e --==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ． 15．3-【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．16．1ln2-【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +． 则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++， 依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-．17．21y x =--【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =-，则1()3f x x'=-，(1)2f '=-，则在点(1,3)-处的切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．18．0【解析】22021(1)()002x dx x x -=-=⎰．19．(1,1)【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x=，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1． 20．512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．21．53y x =-+【解析】55xy e -'=-，在点(0,3)处的切线的斜率为5-，切线方程为35(0)y x -=--，即53y x =-+． 22．22e【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率为22=S S e阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a -=+① 又2()2bf x ax x'=-，过点)5,2(-P 的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 24．①③④【解析】 对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x '=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:-=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =-->，可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥， 可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】1y x αα-'=，则k α=，故切线方程y x α=过点(1,2)解得2α=．26．3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 27．113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+ 两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +-+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】a a x dx x S aa ====⎰232303232，解得49=a ． 30．43y x =-【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=. 31．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．32．1NN【解析】由题意可知11()1f x dx N N ≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+Q ，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+ 令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x xx x x f x e e -+=故33(1),'(1),f f e e==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e-=-化简得30x ey -=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e -+-+=．令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =解得1x =，2x =．当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数；当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知23,x =≤解得9,2a ≥- 故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-． 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤， ∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调， 而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增， 故当x()f x取的最小值，最小值为f14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+， 所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=-．设函数2()xh x xe e-=-，则'()(1)x h x e x -=-．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-． 39．【解析】(Ι)因为'1()xf x e x m =-+, =0是()f x 的极值点，所以'1(0)10f m=-=， 解得1m =，所以函数()f x =xe -ln(+1)，其定义域为(1,)-+∞，因为'1()1xf x e x =-+=(1)11x e x x +-+，设()(1)1x g x e x =+-，则'()(1)0x xg x e x e =++>，所以()g x 在(1,)-+∞上是增函数，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >；当10x -<<时，()0g x <，'()0f x <，所以()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数．（Ⅱ）当2m ≤，(),x ∈-∞+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+， 故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()12x f x e x '=-+在()2,-+∞单调递增． 又()()10,00f f ''-<>，故()0f x '=在()2,-+∞有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-． 当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得()00001,ln 22x e x x x =+=-+， 故()()()20000011022x f x f x x x x +≥=+=>++综上，当2m ≤时，()0f x >．40．【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得1b =-，由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭， 得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2xx +12x．记()()9=-+6xh x f x x ， 则()()()()()()22215454+654'==<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时， ()9<+6x f x x ．（证法二）由（1）知()()=ln +1f x x ，由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x +12x 令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ，故()<0k x ， 即()ln +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ， 则当0<<2x 时，()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x +++-++ 1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2x x x x x x <++++-++ ()()=7-18<04+1x x x ． 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6x f x x ．41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=3()()33x x+-，当(,3x ∈-∞-和3+∞）时，()>0f x '；当(x ∈时，()<0f x '，因此，()f x 的单调递增区间为(,-∞和+∞），单调递减区间为(． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x ⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --， 即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠ 因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3b a-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3b a -平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．。
专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ， 因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )P x x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯-=-， 则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x -=-，22221:ln ()l y x x x x +=--，于是1(0,ln 1)A x -，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0， 显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ． 4．C 【解析】 取满足题意得函数()21f x x =-，若取32k =，则121()()33f f k == 213k <=，所以排除A ．若取1110k =， 则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ===>==----，所以排除D ；取满足题 意的函数()101f x x =-，若取2k =，则1111()()412211f f k k ==>==--，所以排除B ，故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰． 7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ． 8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =-=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=-+=⎰，选C 10．C 【解析】1(2)x e x dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯-=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x xe y e e e--==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ． 15．3-【解析】(1)x y ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．16．1ln 2-【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x +和22(,ln(1))x x +． 则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++， 依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln2b x =+=-．17．21y x =--【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =-，则1()3f x x'=-，(1)2f '=-，则在点(1,3)-处的切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．18．0【解析】2221(1)()002x dx x x -=-=⎰． 19．(1,1)【解析】因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．20．512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．21．53y x =-+【解析】55x y e -'=-，在点(0,3)处的切线的斜率为5-，切线方程为35(0)y x -=--，即53y x =-+． 22．22e【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a -=+① 又2()2bf x ax x'=-，过点)5,2(-P 的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 24．①③④【解析】 对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x'=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:-=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =-->，可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥， 可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误．25．2【解析】1y x αα-'=，则k α=，故切线方程y x α=过点(1,2)解得2α=． 26．3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 27．113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+ 两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +-+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】a a x dx x S aa ====⎰232303232，解得49=a ．30．43y x =-【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=. 31．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．32．1NN 【解析】由题意可知11()1f x dx N N≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N． 33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+==因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x xx x xf x e e-+=故33(1),'(1),f f e e ==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e-=-化简得30x ey -=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e-+-+=． 令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =解得166a x -=，266a x -=当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数； 当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知23,x =≤解得9,2a ≥-故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-． 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤，∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调， 而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=-．设函数2()xh x xe e-=-，则'()(1)x h x e x -=-．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-． 39．【解析】(Ι)因为'1()xf x e x m =-+, x =0是()f x 的极值点，所以'1(0)10f m=-=， 解得1m =，所以函数()f x =xe -ln(x +1)，其定义域为(1,)-+∞，因为'1()1xf x e x =-+=(1)11x e x x +-+，设()(1)1x g x e x =+-，则'()(1)0x x g x e x e =++>，所以()g x 在(1,)-+∞上是增函数，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >；当10x -<<时，()0g x <，'()0f x <，所以()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数．（Ⅱ）当2m ≤，(),x ∈-∞+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+， 故只需证明当2m =时，()0f x >． 当2m =时，函数()12xf x e x '=-+在()2,-+∞单调递增． 又()()10,00f f ''-<>，故()0f x '=在()2,-+∞有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-． 当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得()00001,ln 22x e x x x =+=-+， 故()()()20000011022x f x f x x x x +≥=+=>++ 综上，当2m ≤时，()0f x >．40．【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得1b =-，由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭， 得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2xx +12x．记()()9=-+6xh x f x x ， 则()()()()()()22215454+654'==<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ， 于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x ． （证法二）由（1）知()()=ln +1f x x ，由均值不等式， 当>0x时，+1+1=+2xx +12x令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ，故()<0k x ， 即()ln +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ， 则当0<<2x 时，()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x ++++-++1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2xx x x x x <++++-++()()=7-18<04+1x x x ． 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6x f x x ． 41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=3(x ，当(,x ∈-∞-和+∞）时，()>0f x '；当(x ∈时，()<0f x '， 因此，()f x的单调递增区间为(,3-∞-和3+∞（），单调递减区间为(3-3． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --， 即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠ 因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3b a-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3b a -平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得 41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．。
专题三导数及其应用第七讲导数的计算与导数的几何意
义答案
1.计算函数y=3x^2−4x−5的一阶导数
答案：dy/dx=6x−4
2.垂直于函数y=x^2+1的一条直线的斜率是多少？
答案：-1
3.什么是导数的几何意义？
答案：导数的几何意义指的是函数的在其中一点处的斜率，它可以用
来表示函数在该点处的变化率。
换句话说，它就是函数的其中一点的斜率，表示函数在该点处的变化率。
4.已知函数y=x^3，求函数在(7,343)处的一阶导数
答案：dy/dx=21x^2
5.已知函数y=5x^2，求函数在(-2,20)处的一阶导数
答案：dy/dx=10x
6.已知函数y=2x^4+5，求函数在(-3,53)处的一阶导数
答案：dy/dx=8x^3
7.已知函数y=x^2+x，求函数在(-1,0)处的一阶导数
答案：dy/dx=2x+1
8.已知函数y=4x^3-2x，求函数在(3,94)处的一阶导数
答案：dy/dx=12x^2-2
9.已知函数y=3x^4+2，求函数在(-2,50)处的一阶导数答案：dy/dx=12x^3
10.已知函数y=5x^3-3x，求函数在(1,28)处的一阶导数。
导数的定义与几何意义例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠。
它不仅在微积分中占据着核心地位，更是解决众多实际问题的有力工具。
让我们一同深入探索导数的定义与几何意义，并通过一些具体的例题来加深对其的理解。
一、导数的定义导数，从本质上来说，描述的是函数在某一点处的变化率。
如果给定一个函数＄y ＝ f(x)＄，那么在点＄x_0$ 处的导数可以表示为：＄f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＄这个极限值反映了函数在＄x_0$ 点处的瞬时变化率。
为了更好地理解导数的定义，我们来看一个简单的例子。
例 1：设函数＄f(x) ＝ x^2$，求＄f'（2)＄。
解：＼＼begin{align}f'（2)＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(2 ＋＼Delta x)f(2)｝｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{（2 ＋＼Delta x)＾2 2^2}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{4 ＋ 4\Delta x ＋（＼Delta x)＾2 4}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} （4 ＋＼Delta x)＼＼＆＝ 4＼end{align}＼二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。
对于函数＄y ＝f(x)＄，在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率就是＄f'（x_0)＄。
例如，对于函数＄y ＝ x^2$，在点＄（1, 1)＄处的切线斜率为＄f'（1) ＝ 2$。
例 2：求函数＄f(x) ＝＼sqrt{x}＄在点＄（4, 2)＄处的切线方程。
