近世代数(复习duo)

近世代数复习(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。

第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。

b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。

群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满足左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k。

8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。

9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。

交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。

元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。

若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。

有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。

一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。

定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和 ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。

近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。

答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。

例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。

2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。

判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。

3. 什么是正规子群？请给出一个例子。

答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。

例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。

4. 什么是群的同态？请给出一个例子。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。

5. 什么是群的同构？请给出一个例子。

答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。

这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。

例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。

6. 什么是环？请给出一个例子。

答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。

例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。

7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。

判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。

8. 什么是环的同态？请给出一个例子。

答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

V近世代数复习题>一、定义描述（8'1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a, b, c都有（a b）c = a （be）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算做成一个群。

12、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa =N，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）e = a（be）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+e）= ab + ae，（b+e）a = ba + ea .其中a，b，e为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N M R如果除R和N夕卜，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1 ）有一个从K的非零元集K -{ 0}到非负整数集的映射“存在；（2）这个2对K中任意元素a及b M 0,在K中有元素q, r使a=bq + r, r=0 或“ （r）< 2 （b）,则称R关于”作成一个欧氏环。

-------------------------------7、素理想：设R是一个交换环，P ? R •如果ab€ P => a€ P或b€ P,其中a, b € R,则称P是R的一个素理想。

显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。

【VIP专享】近世代数复习（⼀）群在集合上的作⽤群在集合上的作⽤主要掌握如何求轨道、稳定⼦、不动元．下⾯分别对这三个概念简要介绍．设群G 作⽤在集合X 上，x X ∈．(1) 称{|}x O gx g G =∈为x 在G 下的轨道．该定义的含义是：对于固定的x X ∈，x 所在的轨道是⽤x 去乘G 中的每个元素，将结果记⼊x O 内．(2) 称{|()}x S g G g x x =∈=为x 在G 中的稳定⼦．该定义的含义是：对于固定的x X ∈，将群G 中的元素ig 依次作⽤于这个x 上，若作⽤结果仍为x ，将该i g 记⼊x S 内．(3) 称{|()}g F x X g x x =∈=为x 在G 中的稳定⼦(集)．该定义的含义是：对于固定的g G ∈，将g 依次作⽤于i x X ∈上，若作⽤结果仍为i x ，将该i x 记⼊g F 内．⽤⼀个例⼦来说明这三者的求法．已知{1,2,3,4,5,6}X =，{(1),(12),(356),(365),(12)(356),(12)(365)}G =．(1) 轨道．固定1x X =∈，11{1,2}i O g =?=，i g G ∈．固定3x X =∈，33{3,5,6}i O g =?=，i g G ∈．固定4x X =∈，44{4}i O g =?=，i g G ∈．由此可以看到，在某轨道出现过的值不需要再次进⾏计算，,x y X ?∈，,x y O O 或者完全相同，或者完全不同，且x x X O =，这种算法类似于陪集的算法．(2) 稳定⼦．固定1x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤1，结果仍为1的只有1{(1),(356),(365)}S =．固定3x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤3，结果仍为3 的只有3{(1),(12)}S =．固定4x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤4，结果仍为4 的有4S G =．由此可以看到，同⼀轨道元素在G 中的稳定⼦相同，所以x 的取法和计算轨道时x 选取相同．(3) 不动元素．固定(1)G ∈，⽤(1)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(1)F X =．固定(356)G ∈，⽤(356)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(356){1,2,4}F =．固定(12)G ∈，⽤(12)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(12){3,4,5,6}F =．固定(12)(356)G ∈，⽤(1 2)(3 5 6)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(12)(356){4}F =．（⼆） Burnside 引理的应⽤(以P103的例12为例)例：今有红(r)、黄(y)、蓝(b)三种颜⾊的⼩珠⼦各2颗．问：⽤他们可以串成多少种不同的⼿链？【解答】(1) ⾸先要认识到，对于这样的问题，共有2264C C 种排列⽅法(在6个位置中先选取2个位置放⼀种颜⾊，再从剩下的4个位置中选取2个放另外⼀种颜⾊)．所以集合X 的元素个数为90．(2) 我们需要知道群G 中有哪些变换．第⼀类：i τ为绕中⼼按逆时针⽅向旋转3i π．第⼆类：i η为沿着对边中线的反射，如右图．第三类：i σ为沿着对⾓线的反射，如右图．综上，{(1),(1,2,3,4,5),(1,2,3),(1,2,3)}i i i G i i i τησ====．(3) 下⾯来求不动元素数．因为当对⾓颜⾊相同时，旋转180?情况不变，其余旋转均会改变颜⾊的分布情况．另外，当对称两个⽅向的颜⾊相同时，翻折并不会使颜⾊分布发⽣变化．可得数P103表2.5.1．(4) 从⽽由Burnside 引理11||(90020266363)11||12g g G n F G ∈==+?+?++?+?=∑ 可以算得有11种不同的⼿链．（三）西罗定理(Sylow Theorem)的应⽤例1：证明：56阶群G 不是单群．【证明】(不失⼀般性)由西罗第三定理，35627=?．设P 为G 的Sylow 7⼦群，则||7P =．设7r 为G 的Sylow 7⼦群的个数，则7|[:]8r G P =，71(mod7)r ≡．则有71r =或8．(1) 若71r =，则P 为G 的正规⼦群，与G 是单群⽭盾．(2) 78r =，则G 有8个Sylow 7⼦群18,,P P ，它们互相共轭，由于j P 是素数阶的循环群，{}i j P P e =，因此G 中有8648?=个7阶元，1个单位元．设Q 为G 的Sylow 2⼦群，则Q 中有8个元素(其中⼀个是单位)．但G 不能⾃由⼀个Sylow 2⼦群，不然Q 为G 的正规⼦群，与G 是单群⽭盾．所以G 不是单群．例2：证明：85阶的群G 是循环群．【证明】(不失⼀般性)对85进⾏素因数分解，85517=?．由西罗第⼀定理，G 有Sylow 5⼦群和Sylow 17⼦群．由西罗第三定理，Sylow 5⼦群的个数5|17n 且51(mod5)n ≡，则有551|17k n +=． Sylow 17⼦群的个数17|5n 且171(mod17)n ≡，则有17171|5t n +=．从上式可以解到：51n =，171n =，说明只有1个Sylow 5⼦群和1个Sylow 17⼦群．由性质：若群||G pq =，其中p q 、为素数，若G 中只有唯⼀p 阶⼦群和q 阶⼦群，则G 为循环群．由此，证毕．例3：试求：4A 的Sylow 2⼦群．【解答】(不失⼀般性)先求：44||4!||1222S A ===，2123432=?=?，所以由西罗第三定理，4A 有唯⼀的Sylow 2⼦群．4A 的Sylow 2⼦群即为4A 的4阶⼦群(同理，4S 的Sylow 2⼦群即为4S 的8阶⼦群)．则4A 的Sylow 2⼦群为{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}K =，K 也是4A 的正规⼦群．例4：设G 是⼀个21阶的⾮循环群，求G 中Sylow 3⼦群的个数．【解答】(不失⼀般性)21的标准素因数分解为2137=?，则331n k =+|7，则有31n =或7，由条件G 是⾮循环群，则37n =，即G 中有7个Sylow 3⼦群．例5：设G 是⼀个36阶的群，求G 中Sylow 3⼦群的个数．【解答】(不失⼀般性)36的标准素因数分解为223623=?，则2331|2n k =+，则有31n =或4(1) 若G 是循环群，则31n =，即G 中有1个Sylow 3⼦群，G 为正规⼦群．(2) 若G 是不循环群，则34n =，即G 中有4个Sylow 3⼦群．（四）关于求⾼斯整环的理想的显然形式及其商环的⼀般解法：1．⾼斯整环的显然形式分两种情况：(a) 理想形如i I a =<+>⾸先，(i)(i)(i)N a a a I +=+-∈，所以对任意的z ∈Z ，(i)N a z I +?∈．对于i 前系数为1的情况，i x y +以y 优先凑y 的表达式i ()(i)x y x ay a y +=-++．因为(i)a I +∈，所以只要x ay I -∈，则i x y I +∈．则可以得到其显然表达式为i {i |mod((i))}a x y x ay N a <+>=+≡+．若mod((i))x ay N a ≡+/，则i x y I +?，若不然，1I ∈，则有[i]I =Z ，⽭盾．(b) 理想形如1i I b =<+>同样，(1i)(1i)(1i)N b b b I +=+-∈，所以对任意的z ∈Z ，(1i)N b z I +?∈．对于i 前系数为b 的情况，i x y +以x 优先凑x 的表达式i (1i)()i x y b x y bx +=++-．因为(1i)b I +∈，所以只要y bx I -∈，则i x y I +∈．则可以得到其显然表达式为1i {i |mod((1i))}b x y y bx N b <+>=+≡+．若mod((1i))y bx N b ≡+/，则i x y I +?，若不然，1I ∈，则有[i]I =Z ，⽭盾．2．⾼斯整环的商环当理想的⽣成元的范围为素数时，即若(i)N a b +为素数，(i)[i]/i N a b a b +<+>?Z Z ．(a) 理想形如i I a =<+>的显然表达式为i {i |mod((i))}a x y x ay N a <+>=+≡+．当mod((i))x ay N a ≡+时，i x y a +∈+，i 0x y +=；当mod((i))x ay N a ≡+时，i i x y m a +∈+<+>，其中(i)N a m +∈Z ，则i 1,2,,(i)1x y N a +=+-．由此得[i]/i {0,1,2,,(i)1}a N a <+>=+-Z ，并且当(i)N a +为素数时，这是⼀个极⼤理想，当然也是⼀个素理想．(b) 理想形如1i I b =<+>的显然表达式为1i {i |mod((1i))}b x y y bx N b <+>=+≡+．当mod((1i))y bx N b ≡+时，i 1i x y b +∈<+>，i 0x y +=；当mod((1i))y bx N b ≡+时，i 1i x y m b +∈+<+>，其中(1i)N b m+∈Z ，则i 1,2,,(1i)1x y N b +=+-．由此得[i]/1i {0,1,2,,(1i)1}b N b <+>=+-Z ，并且当(1i)N b +为素数时，这是⼀个极⼤理想，当然也是⼀个素理想．（五）素理想、极⼤理想之间的关系在素理想、极⼤理想这⼀块我们主要研究四类环：Z 、[i]Z 、p Z 、2()M R ．⾸先来观察前三类，它们是性质⾮常好的两类环，体现在：Z 是欧⼏⾥得整环、主理想整环、也是唯⼀分解整环(4.4)．[i]Z 是欧⼏⾥得整环、主理想整环、也是唯⼀分解整环(4.4)．1. 书本在3.5节给出两个等价命题：n 为Z 的素理想?n 为素数； m 为Z 的极⼤理想?m 为素数；这个命题同样可以类⽐到p Z 中，证明⽅式相同，即：n 为p Z 的素理想?n 为素数且|n p ；m 为p Z 的极⼤理想?m 为素数且|m p ．⼀般地，在p Z 中，p a ?∈Z ，1212S l l l s a q q q =为标准素因数分解，则12s q q q 、、、均为素理想，且它们是全部的极⼤理想．2. 证明⼀个理想I 是素理想的⼀般⽅法：法⼀：先证明I 是⼀个极⼤理想，则在有单位元的交换环中，I 是素理想．法⼆：从定义出发，证明任取,a b I ∈，由ab I ∈可以推得a I ∈或b I ∈．法三：在满⾜条件的情况下，证明/R I 是⼀个整环．3. 证明⼀个理想I 是极⼤理想的⼀般⽅法：法⼀：从定义出发，选取⼀个理想J ，使得I J R ??，选取元素a J ∈，a I ?，推出1J ∈由1J ∈⽴得J R =，证毕．注：(1) 这个“1”是凑出来的，且在矩阵中，1应该对应变为为1001?? ???，在不同的环中，1代表不同的含义，应该把1理解为单位元．(2) 要得到1，不仅可以⽤加减法得到，也可以由乘法得到(在矩阵中)．法⼆：在满⾜条件的情况下，证明/R I 是⼀个域．结合书P153例10、书P154习题10、习题11，可以直接写出这个商环的元素再证明它是⼀个域(其中元素可逆)．4. 关于p q ⊕Z Z 的极⼤理想：特别注意：p Z 的极⼤理想和q Z 的极⼤理想的直和不是p q ⊕Z Z 的极⼤理想．（六）关于判断p 在[i]Z 、Z (整环)中是否为素元和不可约元的⼀般解法：1. 先判断p 是否为素元(1) 若p ∈Z 且3(mod 4)p ≡，则p 为素元，这在[i]Z 、Z 中均成⽴．(2) *若p ∈Z 且1(mod 4)p ≡，则存在a b ∈Z 、，使得22p a b =+，且i a b ±都是[i]Z 的素元．(3) 若p 不是整数且()N p 为素数，则p 必为素元：(法⼀)：⽤书本P174的⽅法验证．注：在[i]Z 中，若题⽬中的i 前系数不为1，则要设⼀个i a b +，使得其乘积中i 前系数为1，这个由待定系数法很容易做到，则此时|p αβ应变为(i)|(i)(i)p a b a b a b αβ?++?+．(法⼆)：以[i]Z 为例，Z 同理．设i,i [i]a b x y αβ+=+∈Z =，且有|p αβ．取范数得()|()()N p N N αβ，因为()N p 为素数，则由数论知识，()|()N p N α或()|()N p N β，则有|p α或|p β，则p 为素元．(4) 若p 不是整数且()N p 为合数 (以[i]Z 为例，Z 同理) ：取i [i]a b α+∈Z =，求⽅程：22()()N a b N p α=+=的整数解．若⽅程⽆整数解，则p 只能写成1p ?的形式，显然p 是素元．若⽅程有整数解，则令i a b α=+，i a b β=-，此时|()p N p αβ=，但|p α/，|p β/，则p 不是素元．2. 再判断p 是否为不可约元(1) 若()N p 为素数(或p 为素元)，则p 为不可约元；(2) 若()N p 为合数，则令p αβ=，其中[i](αβ∈Z Z 、，取范数()()()N p N N αβ=．下以[i]Z 为例，Z 同理：取i,i [i]a b x y αβ+=+∈Z =，设()N p 可以分解为12q q ?(12q q 、均不为单位)，那么分别验证是否存在a b x y ∈Z 、、、，使得12(),()N p N p αβ==．若存在，则说明存在不为单位的αβ、分解p ，则p 不是不可约元；若不存在，则说明()()N N αβ、中必有⼀个值为1，即αβ、必有⼀个为单位，则p 是不可约元．。

近世代数基础知识点总结近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。

本文将对近世代数的基础知识点进行总结，包括群、环、域和向量空间等的定义和性质。

一、群群是近世代数的基础概念，它是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。

群的定义包括四个要素：集合、封闭性、结合律和单位元，还需要满足可逆性。

群的性质有唯一性、消去律、幂等性和逆元的唯一性等。

二、环环是在群的基础上引入了乘法运算的代数结构。

环的定义包括三个要素：集合、封闭性和满足环公理。

环的性质有零元的唯一性、加法逆元的唯一性、分配律和幂等性等。

三、域域是在环的基础上引入了除法运算的代数结构。

域的定义包括四个要素：集合、封闭性、满足域公理和乘法逆元的存在性。

域的性质有乘法单位元的唯一性、乘法逆元的唯一性和消去律等。

四、向量空间向量空间是线性代数的基础概念，它是一个集合和一个数域上的向量运算构成的代数结构。

向量空间的定义包括十个要素：集合、封闭性、加法单位元、加法逆元、加法交换律、加法结合律、标量乘法结合律、标量乘法分配律、标量乘法单位元和标量乘法结合律。

向量空间的性质有零向量的唯一性、加法逆元的唯一性和标量乘法的分配律等。

五、同态映射同态映射是近世代数中的一个重要概念，它是保持代数结构之间运算关系的映射。

同态映射的定义要求保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元。

同态映射的性质有保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元等。

六、理想理想是环和域中的一个重要概念，它是一个子集，并且满足加法逆元、封闭性和分配律。

理想的性质有加法单位元的存在性、加法逆元的存在性和分配律等。

七、同余关系同余关系是环中的一个重要概念，它是一种等价关系，表示两个元素具有相同的余数。

同余关系的性质有自反性、对称性和传递性等。

八、域的扩张域的扩张是域论中的一个重要概念，它是在一个域上构造出一个更大的域。

域的扩张可以通过添加一个或多个元素来实现，使得新的域仍然满足域公理。

近世代数复习要点
1.掌握群的定义及众多例子
2.掌握置换群乘法、对称群与交错群，理解轮换含义，会写S3，
A4与S4
3.掌握子群及正规子群概念及判别条件。

4.掌握陪集概念及Lagrange定理。

5.给定具体群G，会求G的所有子群及正规子群，会写G对子
群的陪集分解式。

6.掌握群的同态、同态核、同态象、同构、自同构等概念，掌
握群同态基本定理。

给定同态映射，会求同态核。

7.掌握群中元素与子群的共轭概念及性质。

8.掌握环的定义及常见例子。

9.掌握子环、理想的概念及判别条件。

10. 掌握零因子、整环及主理想整环概念。

11. 掌握理想的各种运算，会写给定环的理想。

12. 掌握极大理想、素理想等概念及性质。

13. 掌握环同态、环同构、商环及环同态基本定理。

给定环同态
映射，会求同态核。

14. 掌握Euclid环、唯一分解整环概念及性质。

15. 掌握整环中不可约元概念，会求给定整环的不可约元和单位
群。

16. 掌握体与域的概念、常见例子、子域、扩张、域的同构、域
的特征及四元数的四则运算、域的特征。

近世代数复习⼀、选择题(每题2分,共16分)1、若G (a), ord ( a) n,则下列说法正确得就是2、假定就是A与A(AI A )间得⼀⼀映射，a A,则1［ (a)］与［1(a)］分别为83、若G 就是群,a G,ord(a) 18,4、指出下列那些运算就是⼆兀运算5、设A,A2丄，A n与D都就是⾮空集合，⽽f就是A A L A n到D得⼀个映射，那么6、设o就是正整数集合N上得⼆元运算，其中aob maxa,b),那么o在Z中7、在群G中,a, b G ,则⽅程ax b与ya b分别有唯⼀解为&设H就是群G得⼦群，且G有左陪集分类｛H,aH,bHcb｝、如果［G : H ］6,那么G9、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B得积集合A X B中含有()个元素。

10、设A = B = R(实数集)，如果A到B得映射：x—x+ 2, x € R,贝U就是从A到B得11、设Z15就是以15为模得剩余类加群，那么，Z15得⼦群共有( )个。

12、G就是12阶得有限群，H就是G得⼦群，则H得阶可能就是13、下⾯得集合与运算构成群得就是14、关于整环得叙述，下列正确得就是15、关于理想得叙述，下列不正确得就是16、整数环Z中，可逆元得个数就是a b17、设M2(R)= a,b,c,d€ R，R为实数域按矩阵得加法与乘法构成R上得⼆阶⽅阵c d环，那么这个⽅阵环就是-，当a为偶数时18、设Z就是整数集，c(a)= 2 4 ，a Z，则c就是R得「，当a为奇数时219、设A=｛所有实数x｝，A得代数运算就是普通乘法，则以下映射作成A到A得⼀个⼦集得同态满射得就是()、20、设就是正整数集Z上得⼆元运算，其中aob max a,b (即取a与b中得最⼤者)，那么在Z中()21、设S3=｛(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2) ｝，则S3 中与元(1 2 3)不能交换得元得个数就是()22、设G,o为群，其中G就是实数集，⽽乘法o:aob a b k，这⾥k为G中固定得常数。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、设集合{}1,0,1A =-；{}1,2B =，则有B A ⨯= 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的 。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个 。

4、偶数环是 的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个 。

6、每一个有限群都有与一个置换群 。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 ，元a 的逆元是 。

8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么 。

9、一个除环的中心是一个 。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：1234567864173528σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234567823187654τ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数复习题答案1. 群的定义是什么？答：群是一个集合G，配备有一个二元运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元、逆元。

即对于任意的a, b属于G，有a*b属于G；对于任意的a, b, c属于G，有(a*b)*c = a*(b*c)；存在一个元素e属于G，使得对于任意的a属于G，有e*a = a*e = a；对于每一个a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。

2. 什么是子群？答：如果群G的一个非空子集H满足对于任意的a, b属于H，有a*b^(-1)属于H，则称H为G的一个子群。

3. 什么是正规子群？答：如果群G的一个子群N满足对于任意的g属于G和任意的n属于N，有g*n*g^(-1)属于N，则称N为G的一个正规子群。

4. 群同态的定义是什么？答：设G和H是两个群，如果存在一个映射φ: G → H，满足对于任意的a, b属于G，有φ(a*b) = φ(a)*φ(b)，则称φ为从G到H的一个群同态。

5. 什么是群的同构？答：如果群G和H之间存在一个双射的群同态φ，则称G和H是同构的，记作G ≅ H。

6. 什么是环？答：环是一个集合R，配备有两个二元运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群；(R, *)满足结合律；乘法对加法满足分配律。

即对于任意的a, b, c属于R，有(a+b)+c = a+(b+c)；存在一个元素0属于R，使得对于任意的a属于R，有a+0 = 0+a = a；对于每一个a属于R，存在一个元素-a属于R，使得a+(-a) = (-a)+a = 0；对于任意的a, b属于R，有(a*b)*c = a*(b*c)；对于任意的a, b属于R，有a*(b+c) = a*b + a*c，(b+c)*a = b*a + c*a。

7. 什么是理想？答：如果环R的一个非空子集I满足对于任意的a属于I和任意的r 属于R，有a*r和r*a属于I，则称I为R的一个理想。

近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集,记作2A、1.2映射●证明映射:●单射:元不同,像不同;或者像相同,元相同。

●满射:像集合中每个元素都有原像。

Remark: 映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{(a,b)∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般A*B不等于B*A、●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系:1 自反性:∀a∈A,a a;2 对称性:∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性:∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R、Remark:对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。

第二章群2、1 半群1.半群=代数运算+结合律,记作(S,)Remark: i、证明代数运算:任意选取集合中的两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后的结果就是否还在定义的集合中。

ii、若半群中的元素可交换,即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中,规定a0=e、3.逆元i.在有单位元e的半群中,存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性,记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S就是半群,≠T S,若T对S的运算做成半群,则T为S的一个子半群ii.T就是S的子半群a,b T,有ab T2、2 群1.群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark:i、若代数运算满足交换律,则称为交换群或Abel群、ii、加群=代数运算为加法+交换群iii、单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆(满秩)矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p)、2、群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3、群的性质i、群满足左右消去律ii、设G就是群,则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii、e就是G单位元⇔ e2=eiv、若G就是有限半群,满足左右消去律,则G就是一个群4、群的阶群G的阶,即群G中的元素个数,用表示。

近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

●满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元 e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。

近世代数知识点3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。

3．1．2 映射映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1 设A ，B 为两个非空集合，若存在一个A 到B 的对应关系f ，使得对A 中的每一个元素x ，都有B 中唯一确定的一个元素y 与之对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作y=f(x)。

y 称为x 的像，x 称为y 的原像，A 称为f 的定义域，B 称为f 的定值域。

定义2 设f 是A 到B 的一个映射(1) 若A x x ∈∀21,和21x x ≠均有)()(21x f x f ≠，则称f 是一个单射。

(2) 若B y ∈∀均有A x ∈使y x f =)(，则称f 是满射。

(3) 若f 既是单射又是满射，则称f 是双射。

3．1．3 二元运算3．1．3．1 集合的笛卡儿积由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3 设A ，B 是两个非空集合，由A 的一个元素a 和B 的一个元素b 可构成一个有序的元素对（a,b ），所有这样的元素对构成的集合，称为A 与B 的笛卡儿积，记作B A ⨯，即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,),(。

用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。

定义4 设S 是一个非空集合，若有一个对应规则f ，对S 中每一对元素a 和b 都规定了一个唯一的元素S c ∈与之对应，即f 是S S S →⨯的一个映射，则此对应规则就称为S 中的一个二元运算，并表示为c b a =•，其中“•”表示运算符，若运算“•”是通常的加法或乘法，b a •就分别记作b a +或ab 。

近世代数考试复习文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a =e .则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。

-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。

近世代数知识点近世代数，是数学中的一门重要分支，涉及了许多重要的知识点和概念。

在这篇文章中，我们将探讨一些近世代数中的关键概念和应用。

一、群论群论是近世代数中的基础概念，它描述了一种抽象的代数结构。

一个群由一个集合和一个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。

群论的研究具有广泛的应用，如密码学、物理学中的对称性研究等。

二、环论环论是研究带有两个二元运算的代数结构，具有更多的性质和运算规则。

一个环由一个集合和两个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、分配律等性质。

环论的应用包括数论、代数几何等领域。

三、域论域论是研究带有四个基本运算（加法、减法、乘法、除法）的代数结构。

域是一种满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。

域论在代数几何、密码学等领域有广泛应用。

四、线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的代数学分支。

向量空间是一个满足特定性质的集合，其中定义了向量的加法和数量乘法运算。

线性代数的应用广泛，如机器学习、图像处理等。

五、域扩张域扩张是域论的重要内容之一，研究一个域如何通过添加元素扩张成一个更大的域。

域扩张的研究对于解决方程、证明数论中的一些性质等具有重要意义。

六、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉地带，研究了如何通过代数的方法来分析拓扑空间。

代数拓扑的研究在拓扑数据分析、几何学、非线性动力系统等领域有重要应用。

七、泛函分析泛函分析是研究函数空间和函数的特性以及泛函的理论和应用的数学分支。

泛函分析的应用广泛，如量子力学、信号处理等。

近世代数作为一门重要的数学学科，对于数学的发展和应用起到了重要的推动作用。

它通过抽象的方式研究代数结构，提供了一种新的思维方式和工具，为数学家们解决实际问题提供了新的途径。

同时，近世代数的理论和方法在信息科学、工程学、物理学等领域也得到了广泛的应用。

总之，近世代数是一门充满魅力的学科，通过对群论、环论、域论、线性代数、域扩张、代数拓扑和泛函分析等知识点的学习与探索，我们能够更好地理解数学的本质和思想，从而为更广泛的数学研究和应用打下坚实的基础。

12级近世代数考试复习要点A卷一、判断题1、某个特殊群2、双射3、群的定义4、交换群5、无零因子环6、整环与整数环之间的关系7、素理想与极大理想8、商域9、整环中不可约元与素元之间关系10、唯一分解环的最大公因子二、填空题1、等价关系与等价类2、群阶的性质与拉格朗日定理的应用3、陪集4、循环群的构造5、有限域的特征6、模m剩余类环的零因子7、模m剩余类环的逆元8、模m剩余类环上多项式的乘法运算9、整环的唯一分解性三、计算题1、置换的乘积与置换的阶2、模m剩余类环的所有理想求解四、证明题1、群的阶证明与应用2、利用群同态基本定理证明群同构；3、证明给定的映射是环同态并求环同态的核4、证明给定某个复数环是欧式环B卷一、判断题1、子群的性质2、验证代数运算是否满足某种运算律3、商群的定义4、某个特殊平凡子环5、陪集6、消去律与无零因子之间的关系7、剩余类环的性质8、剩余类环的极大理想9、整数环与主理想环之间的关系10、唯一分解环与最大公因子二、填空题1、集合的分类定义2、群的阶与拉格朗日定理的应用3、群阶的性质4、陪集的性质5、模m剩余类环的零因子6、模m剩余类环的逆元7、模m剩余类环上多项式的乘法运算8、不可约的定义9、给定某环上的元所生成主理想环元的表达形式三、计算题1、置换的乘积与置换的阶2、模m剩余类环的所有理想求解四、证明题1、群的阶证明与应用2、群同构的证明；3、证明给定环的子集是子环并找出此环到其子环的一个同态满射并求同态满射的核；4、证明给定的某个复数环是欧式环。

近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ⋂=（ C ）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，6，7}C 、{2，3}D 、{1，2，3，5，6，7} 2、循环群与交换群关系正确的是（ A ）A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对 3、下列命题正确的是（ A ） A 、n 次对换群n S 的阶为!n B 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。

A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{}3,,a a e5、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ B ）A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；C 、n A A A ⨯⨯⨯21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

6、有限群中的每一个元素的阶都（ A ）A 、有限B 、无限C 、为零D 、为1 7、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ A ）A 、11--a bc； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。

8、若S 是半群,则( A )A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)cB 、任意,,S b a ∈都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元 9、在整环Z 中，6的真因子是（ B ）A 、1,6±±B 、2,3±±C 、1,2±±D 、3,6±± 10、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ）A 、f的同态核是1G 的不变子群； B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；C 、1G 的子群的象是2G 的子群；D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。