江苏省淮阴中学高一年级学生数学学法指导4

§1．4三角函数的图像与性质§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象【学习目标、细解考纲】学会“五点法”与“几何法”画正弦函数图象，会用“五点法”画余弦函数图象.【知识梳理、双基再现】1.“五点法”作正弦函数图象的五个点是______、______、______、______、______.2.“五点法”作余弦函数图象的五个点是______、______、______、______、______.【小试身手，轻松过关】1.函数sinx y =的定义域是__________值域是__________.2.函数cosx y =的定义域是__________值域是__________.3.在图中描出点()2255,sin ,,sin ,,sin ,,sin ,,sin 33223333ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.由函数sinx y =如何得到cosx y =的图象？【基础训练、锋芒初显】1. sinx y =的图象大致形状是图中的（ ）.2.函数[]y 1sinx , x 0,2π=-∈的大致图象是图中的( ).3.函数sin xy a = (a ≠0)的定义域为（ ）A ．R B. []1,1- C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.[-3,3]4.在[0,2π]上,满足1sin 2x ≥的x 取值范围是( ). A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【举一反三、能力拓展】1. 用五点法作y sinx+1,x [0,2]π=∈的图象.2. 用五点法作]2,0[x sinx,2y π∈=的图象.3. 结合图象，判断方程x sinx =的实数解的个数.【名师小结、感悟反思】本节重点是掌握正弦、余弦图象的三种作法：几何法、五点法、变换法。

明确图象的形状.。

高一数学学法指导
倪在前
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2017(000)015
【摘要】进入高中以后,往往有不少学生不能适应数学学习,进而影响到学习的积极性,甚至成绩一落千丈.出现这样的情况,原因有很多,大致可以归纳为：初中数学基础较差,学习数学的方法不合适,学习目的不明确,学习热情不高等等,但一个很主要的原因是一部分学生不了解高中数学教学内容特点与自身学习方法有问题.在此结合高中数学教学内容的特点,谈一下高中数学学习方法和应该注意的问题,以供参考.【总页数】1页(P51-51)
【作者】倪在前
【作者单位】南京师范大学附属中学江宁分校,江苏南京211102
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题,每小题5分，共70分）1．三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，其最小内角的弧度数为．2．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b= ．3．函数的定义域为．4．从集合A到集合B的映射f：x→x2+1，若A={﹣2，﹣1，0，1，2}，则B中至少有个元素．5．角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，则cosβ= ．6．已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是．7．设x0是函数f（x）=2x+x的零点，且x0∈（k，k+1），k∈Z，则k= ．8．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为．9．函数的单调减区间是．10．已知关于x的x2﹣2ax+a+2=0的两个实数根是α，β，且有1＜α＜2＜β＜3，则实数a 的取值范围是．11．下列幂函数中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是．（填相应函数的序号）．12．已知函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）=2x+b 的图象上，则f（log23）= ．13．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．14．已知函数f（x）=，若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是．二、解答题（共6小题，共90分）15．已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1=0的一个实根，且α是第三象限角．（1）求的值；（2）求cosα+sinα的值．16．设集合U=R，A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}；（1）求：A∩B，（∁U A）∪B；（2）设集合C={x|2﹣a＜x＜a}，若C⊆（A∪B），求a的取值范围．17．计算题（1）求值：（2）求不等式的解集：①33﹣x＜2；②．18．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？19．已知，m是实常数，（1）当m=1时，写出函数f（x）的值域；（2）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（a）＜0有解，求a的取值范围．20．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题,每小题5分，共70分）1．三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，其最小内角的弧度数为．【考点】余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】设最小的角为α，则其它的两个角为2α、3α，再利用三角形的内角和公式求得α的值．【解答】解：∵三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，设最小的角为α，则其它的两个角为2α、3α．再由三角形的内角和公式可得α+2α+3α=π，可得α=，故其最小内角的弧度数为，故答案为：．【点评】本题主要考查三角形的内角和公式的应用，属于基础题．2．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b= 3 ．【考点】交集及其运算．【专题】转化思想；综合法；集合．【分析】由题意可得则2a=2，b=2，求得a、b=2的值，可得a+b的值．【解答】解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则2a=2，b=2，求得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和运算，属于基础题．3．函数的定义域为{x|﹣2≤x＜4} ．【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由即可求得函数y=+lg（4﹣x）的定义域．【解答】解：依题意得，解得﹣2≤x＜4．故函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4}．故答案为：{x|﹣2≤x＜4}．【点评】本题考查对数函数的定义域，考查解不等式组的能力，属于基础题．4．从集合A到集合B的映射f：x→x2+1，若A={﹣2，﹣1，0，1，2}，则B中至少有 3 个元素．【考点】映射．【专题】分类讨论；函数思想；函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义，分别求出A中元素对应的值，进行判断即可．【解答】解：当x=±1时，x2+1=1+1=2，当x=±2时，x2+1=4+1=5，当x=0时，x2+1=0+1=1，故B中至少有1，2，5三个元素，故答案为：3【点评】本题主要考查映射的定义，比较基础．5．角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，则cosβ= ．【考点】终边相同的角．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】由角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，可得cosβ=cos（﹣1035°+3×360°）=cos45°，则答案可求．【解答】解：∵角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，cosβ=cos（﹣1035°+3×360°）=cos45°=．故答案为：．【点评】本题考查终边相同角的集合，考查了三角函数值的求法，是基础的计算题．6．已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=×2=根据扇形的面积公式可得S==故答案为：【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．7．设x0是函数f（x）=2x+x的零点，且x0∈（k，k+1），k∈Z，则k= ﹣1 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】判断函数f（x）的单调性，利用函数零点判断条件进行判断即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=2x+x，∴函数f（x）为增函数，f（0）=1＞0，f（﹣1）=＜0，满足f（0）f（﹣1）＜0，则在（﹣1，0）内函数f（x）存在一个零点，即x0∈（﹣1，0），∵x0∈（k，k+1），∴k=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数零点和方程之间的关系，利用根的存在性定理进行判断是解决本题的关键．8．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为．【考点】任意角的概念．【专题】计算题．【分析】任意角的三角函数的定义，求出cos（）的值和sin（）的值，即得Q 的坐标．【解答】解：由题意可得Q的横坐标为 cos（）=，Q的纵坐标为 sin（）=﹣sin=，故Q的坐标为，故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，是一道基础题．9．函数的单调减区间是[2，3] ．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】可以看出f（x）是由y=和t=（x﹣1）（3﹣x）复合而成的复合函数，容易得到f（x）的定义域为[1，3]，而y=为增函数，从而只要找到函数t=﹣x2+4x﹣3在[1，3]上的减区间，便可得到f（x）的单调减区间．【解答】解：解（x﹣1）（3﹣x）≥0得，1≤x≤3；令（x﹣1）（3﹣x）=t，设y=f（x），则y=为增函数；∴函数t=﹣x2+4x﹣3在[1，3]上的减区间便是函数f（x）的单调递减区间；∴f（x）的单调递减区间为[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】考查复合函数单调区间的求法，要弄清复合函数是由哪两个函数复合而成的，以及二次函数的单调区间的求法，解一元二次不等式．10．已知关于x的x2﹣2ax+a+2=0的两个实数根是α，β，且有1＜α＜2＜β＜3，则实数a的取值范围是．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】构造函数f（x）=x2﹣2ax+a+2，根据根与系数之间的关系建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：设f（x）=x2﹣2ax+a+2，∵1＜α＜2＜β＜3，∴，即，即，即2＜a＜，故答案为：【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据根与系数之间，转化为函数是解决本题的关键．11．下列幂函数中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是③．（填相应函数的序号）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的性质进行判断即可．【解答】解：：①的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．；②y=x﹣2=定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）==f（x），则函数是偶函数，在（0，+∞）上单调单调递减，不满足条件．③=，函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）=f（x），则函数为偶函数，则（0，+∞）上单调递增，满足条件．；④的定义域为（﹣∞，+∞），函数为奇函数，不满足条件；故答案为：③【点评】本题主要考查幂函数的性质，根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断是解决本题的关键．12．已知函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）=2x+b 的图象上，则f（log23）= ﹣1 ．【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】先利用函数y=log a（x+3）﹣1的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数函数f（x）=2x+b式中求出b，最后即可求出相应的函数值f（log23）．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（2，0），将x=2，y=0代入y=2x+b得：22+b=0，∴b=﹣4，∴f（x）=2x﹣4，则f（log23）=﹣4=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查对数函数、指数函数的图象的图象与性质，考查数形结合的数学思想，属于基础题．13．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】求出f（x）的解析式，带入不等式解出．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x+2，∵y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．∴f（x）=，（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，解得0＜x＜．（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，解得x＜﹣．综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．故答案为．【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性，属于中档题．14．已知函数f（x）=，若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是（27，81）．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），得出ab=1，3＜c＜4即可求出（ab+2）c的取值范围．【解答】解：由题意，∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log3a=log3b=﹣c+4∴ab=1，0＜﹣c+4＜1∴3＜c＜4即（ab+2）c的取值范围是（27，81）．故答案为：（27，81）．【点评】本题考查分段函数的运用，考查学生的计算能力，正确运用分段函数是关键．二、解答题（共6小题，共90分）15．已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1=0的一个实根，且α是第三象限角．（1）求的值；（2）求cosα+sinα的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，计算即可．（2）利用同角三角函数的基本关系式，通过解方程求解即可．【解答】解：∵2x2﹣x﹣1=0，∴，∴或tanα=1，又α是第三象限角，…（1）．…（2）∵且α是第三象限角，∴，∴…【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．设集合U=R，A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}；（1）求：A∩B，（∁U A）∪B；（2）设集合C={x|2﹣a＜x＜a}，若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，（1）求出两集合的交集，找出A补集与B的并集即可；（2）根据C为A与B交集的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，即A=（0，2），由B中不等式解得：﹣2＜x＜1，即B=（﹣2，1），（1）A∩B=（0，1），∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞），则（∁U A）∪B=（﹣∞，1]∪[2，+∞）；（2）∵A∪B=（﹣2，2），C={x|2﹣a＜x＜a}，且C⊆（A∪B），（i）当C=∅时，则有2﹣a≥a，解得：a≤1；（ii）当C≠∅时，则有，解得：1＜a≤2，综上：a的取值范围为a≤2．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．计算题（1）求值：（2）求不等式的解集：①33﹣x＜2；②．【考点】指、对数不等式的解法；有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简得答案；（2）①由指数函数的性质化指数不等式为一元一次不等式求解；②由对数函数的性质化对数不等式为一元一次不等式求解．【解答】解：（1）==9﹣25﹣3×（﹣3）+2=﹣5；（2）①由33﹣x＜2，得，∴3﹣x＜log32，则x＞3﹣log32，∴不等式33﹣x＜2的解集为（3﹣log32，+∞）；②由，得，∴，则，∴不等式的解集为．【点评】本题考查有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，考查了指数不等式和对数不等式的解法，是基础题．18．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．【专题】应用题．【分析】（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．19．已知，m是实常数，（1）当m=1时，写出函数f（x）的值域；（2）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（a）＜0有解，求a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）当m=1时，结合指数函数的单调性即可写出函数f（x）的值域；（2）当m=0时，根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可．【解答】解：（1）当m=1时，，定义域为R，，，即函数的值域为（1，3）．…（2）f（x）为非奇非偶函数．…当m=0时，，因为f（﹣1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数；又因为f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）不是奇函数；即f（x）为非奇非偶函数．…（3）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，即对x∈R 恒成立，化简整理得，即m=﹣1．…（若用特殊值计算m，须验证，否则，酌情扣分．）下用定义法研究的单调性：设任意x1，x2∈R，且x1＜x2=，…所以函数f（x）在R上单调递减．因为f（f（x））+f（a）＜0有解，且函数为奇函数，所以f（f（x））＜﹣f（a）=f（﹣a）有解，又因为函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）＞﹣a有解，即f max（x）＞﹣a有解，又因为函数的值域为（﹣1，1），所以﹣a＜1，即a＞﹣1．…【点评】本题主要考查函数值域，奇偶性以及函数单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，20．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为 2x+﹣2≥k•2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，从而求得k的取值范围．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0⇒|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x ﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为 2x+﹣2≥k•2x，可化为 1+（）2﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为 t∈[，2]，故 h（t）min=h（1）=0，所以k的取值范围是（﹣∞，0]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或∴k＞0．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。

§2.5 平面向量应用举例§2.5.1 平面几何的向量方法体会向量在解决问题中的应用，培养运算及解决问题的能力。

【小试身手、轻松过关】1、ABCD 的三个顶点笔标分别为A（-2，1）,B （-1，3），C （3.4）则顶点D 的坐标为（ ）。

A. (2,1) B. （2，2） C. （1，2） D. （2，3）2.ABCD 中心为0，P 为该平向任一点，且,po a =则++PC+=PA PB PD ______ 3.已知ABC ，,AB a AC b a b =＝且＜0，则ABC 的形状（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【基础训练、锋芒初显】4. ABC 的顶点A （-2，3）， B.（4，-2），重心G （2，-1）则G 点的坐标为__________5.如右图，已知平行四边形ABCD 、E 、E 在对角线BD 上，并且=BE FD .求证：ABCF 是平行四边形。

6.求证：直径所对的圆周角是直角。

7.求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

8.如图，在梯形ABCD 中，CD ∥AB,E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝12（AB ＋CD ）.求证：EF ∥AB ∥CD.C D E A BF DB【举一反三、能力拓展】9.求证：平行四边形两条对角线的平行和等于四条边平方和。

10.已知四边形ABCD ，=,,,AB a BC b CD c DA d ===，,a d b c ==，0是BD的中点，试用,,,,a b c d AB BD 表示，并证明A 、0、C 三点等线，且AC BD ⊥。

11.如图，在ABC 中，点M 是BC 中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP:PM 的值。

【名师小结、感悟反思】用向量解决平面几何问题，往往是利用向量的平行四边形法则和三角形法则及坐标运算，结合平面图形的性质解题，解决的一般问题是平行、垂直的问题。

江苏省淮阴中学2022-2023学年度第一学期期末考试高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1．若5sin 13α=-且a 为第三象限角，则tan α的值等于（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-2．已知集合{}220A x x x =-=，则下列选项中说法不正确的是（）A ．A ∅⊆B ．2A-∈C ．{}0,2A⊆D ．{}3A y y ⊆≤3．任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥恒成立.则实数m 取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤4．在下列区间中，函数()e 43xf x x -=+-的零点所在的区间可能为（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭5．已知1sin cos 6αα⋅=-，ππ44α-<<，则sin cos αα+的值等于（）A B ．C ．D 6．将函数2sin()3y x π=+的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．23π7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（）A ． 1.510B ．1.5C ．lg1.5D ． 1.510-8．若函数()f x 满足()()111f x f x +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-上，方程()()3f x k x =+有两个实数解，则实数k 的取值范围为是（）A ．3k <--B ．3k <-+C ．104k <≤D ．13k -≤<二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则函数()f x 定义域可能为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]2,0-D ．{}1,1-10．已知实数a ，b ，c ，满足1e ln ab c==，则下列关系式中可能成立的是（）A ．b c a =>B ．c a b =>C ．b c a >>D ．c b a>>11．徳国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．()f x 的值城为[]0,1B ．R x ∀∈，()()1f f x =.C ．()f x 为偶函数D ．()f x 为周期函数12．记函数()()()cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()2f T =，在区间[]0,1恰有三个零点，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．()f x 在[]0,1上有且仅有1个最大值点B ．()f x 在[]0,1上有且仅有2个最小值点C ．()f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．ω的取值范围为7π10π,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数()20.4log 34y x x =-++的值域是________.14．若,a b 都是正数，且1ab =，则2+a b 的最小值是______.15．已知函数()24,43,x mf x x x x m ≥⎧=⎨+-<⎩，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．16．设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值.若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是______.四、本小题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，且OA OB ⊥.(1)若点A 的横坐标为35，求2sin cos αβ的值；(2)求()()πsin πcos 23πcos πsin 2αββα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值.18．已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元，设该公司一年内共生产这种手机x 万部并全部销售完，且每万部的销售收入为600万元，生产这种手机每年需另投入成本()R x 万元，且当040x <<.时，()()1010R x x x =+，当40x ≥时，()400006016550R x x x=+-.（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式（年利润=年销售收入-年成本）（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？19．已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>与函数()()cos 2g x x θ=+有相同的对称中心.(1)求ω，θ的值；(2)若函数()g x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求出函数()g x 的单调区间.20．已知函数()()()()12log 2121R x x f x a a +=---∈.(1)当1a =时，求()f x 的定义域；(2)当23log ,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x x =有两解，求实数a 的范围.21．已知函数()122x x a h x a=+，0a >且1a ≠.(1)若2a =，令()()()221h x kg x h x +=+，若对一切实数x ，不等式()2g x <恒成立，求实数k 的取值范围；(2)若()()*44N 2n nh n n -+<∈，试确定a 的取值范围.22．对于定义域为I 的函数()y f x =，区间I D ⊆。

江苏省淮阴中学2021～2022学年度第二学期阶段检测高一数学试题2022.4一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1.求值sin110cos10sin 20sin10︒︒-︒︒=（）A.12B.12-C.2D.2.设1e 与2e是不共线的非零向量，且12ke e + 与12e ke + 共线，则k 的值是（）A.1B.1- C.±1D.任意不为零的实数3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos =c b A ，则ABC 为（）A.等腰非等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.函数2sin()241x x x y π+=-的图象大致为（）A. B.C.D.5.已知单位向量a ，b满足a b b -=+ ，则3a b += （）A.2B.C.D.36.求值1tan15tan15︒+︒（）A.4B.14C.4+D.4-7.已知1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，α，(0,2πβ∈，则αβ-=（）A.3π-B.6π-C.3π D.3π±8.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，D 是边b 上的点（异于点A ，C ），2BD =，30DBC ∠=︒，则ac 的最小值为（）A.83B.C.163D.323二、多项选择题（每题5分，共20分，给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A .若,a b b c ==，则a c= B.若//a b ，//b c ，则//a cC.若0xa yb +=，,x y R ∈，a ，b 不共线，则0x y == D.若2b = ，a 在b 上的投影向量为12b ，则a b ⋅的值为210.下列式子成立的是（）A.1cos30tan15sin 30+︒︒=︒B.tan17tan 43tan17tan 43︒+︒︒︒=C.1tan151tan15-︒=+︒D.221tan 151tan 152-︒=+︒11.在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A.sin 5A =，tan 3B =，则A B < B.tan tan 1A B ⋅<C.sin sin cos cos A B A B+>+ D.sin sin 1A B +>12.双曲函数是与三角函数一样，分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种.已知双曲正弦函数e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数e e cosh 2x xx -+=，下列正确的有（）A.sinh 22sinh cosh x x x= B.2cosh 22cosh 1x x =-C.sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y+=+ D.cosh()cosh cosh sinh sinh x y x y x y+=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一问2分，第二问3分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知tan 2α=，则2cos sin 2αα+=__________．14.若(1,2),(1,1)a b ==- ，且()b a a λ-⊥，则λ的值为__________．15.已知α是第二象限的角，cos 10α=-，则cos()52sin()sin()2παππαα-=+++__________．16.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，已知sin :sin :sin 3:5:7ABD ADB BCD ∠∠∠=，若97AD =，则圆的半径为__________；若2AC BC CD λ=⋅，则实数λ的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知,αβ为锐角，4sin 5α=，cos()5αβ+=-，求cos β和cos()αβ-的值．18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积为222()4b c a +-.（1）求A 的值；（2）若cos 7B =，6c =，求b .19.已知函数()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，且12x x <，①求m 的取值范围；②求12tan()x x +.20.如图ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，3AD AF = ，令AB a = ，AC b =.（1）试a 、b 表示EF；（2）延长EF 交AC 于P ，设AP x AC =，求x 的值.21.今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国.各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用.已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为23π的扇形区域AOB ，C 为弧AB 的中点，设QOC θ∠=.（1）用θ来表示矩形PQRS 的面积()f θ，并指出θ的取值范围；（2）θ为多少时，()f θ取得最大值，并求出此最大值.22.函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.（1）若1a =，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求函数()f x 的值域；（2）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，且()f x 有意义时，①若(){}0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围；②当12a <<时，求()f x 的最小值N .江苏省淮阴中学2021～2022学年度第二学期阶段检测高一数学试题2022.4一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.求值sin110cos10sin 20sin10︒︒-︒︒=（）A.12B.12-C.2D.【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.【详】sin110cos10sin 20sin10cos 20cos10sin 20sin10cos(2010)cos30,2︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=故选：C2.设1e 与2e是不共线的非零向量，且12ke e + 与12e ke + 共线，则k 的值是（）A.1B.1- C.±1D.任意不为零的实数【2题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据向量共线的关系，可写出两个向量共线的充要条件，整理出关于,k λ的关系式，解方程组即可.【详解】解：因为12ke e + 与12e ke +共线，则可设()1212ke e e ke λ+=+ ，由于1e ，2e是非零向量，即()121212ke e e ke e ke λλλ+=+=+ ，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，解得1k =±.故选：C.【点睛】本题考查了向量共线的充要条件.本题的关键是写出两共线向量的关系式.3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos =c b A ，则ABC 为（）A.等腰非等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【3题答案】【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得2B π=，从而判断出三角形形状．【详解】解：cos =c b A ，所以sin cos sin C A B =.在ABC 中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，故sin cos 0A B =，因为sin 0A ≠，所以cos 0B =，因为0πB <<，所以π2B =，故ABC 为直角三角形.故选：C ．4.函数2sin()241x x x y π+=-的图象大致为（）A. B.C.D.【4题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据解析式判断奇偶性，再结合零点个数以及特殊值法进行判断.【详解】解：由题意得：22sin()2cos cos 2()412122x xx x x x x x x y f x π-+====---由cos ()()22x x xf x f x --==--可判断函数为奇函数，可判断A 错误；又由三角函数的性质可知函数有无数个零点，故C 错误；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y >，由此排除B ；故选：D5.已知单位向量a ，b满足a b b-=+ ，则3a b += （）A.2B.C.D.3【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据模的运算先求出a b →→⋅，进而解出3a b→→+.【详解】由题意，||||1a b →→==，由a b b →→→-=+⇒=12a b →→⇒⋅=-，所以3a b →→+===.故选：C.6.求值1tan15tan15︒+︒（）A.4B.14C.4+D.4-【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】用两角差正切公式即可.【详解】()1tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 303︒︒︒︒︒︒︒--=-==-+，1tan1524tan15︒︒+=-；故选：A.7.已知1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，α，(0,2πβ∈，则αβ-=（）A.3π-B.6π-C.3π D.3π±【7题答案】【答案】C 【解析】【分析】对两个等式平方相加，根据同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.【详解】因为1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，所以2222cos cos 1(sin)sin )(()3(3αβαβ--+-=+，2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos 1αβαβαβαβ⇒+-++-=，112sin sin 2cos cos 2cos()1cos()2αβαβαβαβ⇒=+⇒-=⇒-=，因为α，(0,2πβ∈，所以22ππαβ-<-<，因为1sin sin 03αβ-=>，而α，(0,2πβ∈，所以αβ>，因此02παβ<-<，故αβ-=3π，故选：C 8.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，D 是边b 上的点（异于点A ，C ），2BD =，30DBC ∠=︒，则ac 的最小值为（）A.83B.C.163D.323【8题答案】【答案】D 【解析】【分析】运用三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为120ABC ∠=︒，30DBC ∠=︒，所以90DBA ∠=︒，因为ABCABD BCD S S S =+△△△，所以有111sin12022sin 30222ac c a ︒︒=⨯⋅+⨯⋅⋅，即22ac c a =+，因为2c a +≥，当且仅当2a c =时取等号，所以有3223ac ac ≥⇒≥，故选：D二、多项选择题（每题5分，共20分，给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A.若,ab bc ==，则a c= B.若//a b ，//b c，则//a cC.若0xa yb += ，,x y R ∈，a ，b 不共线，则0x y == D.若2b = ，a 在b 上的投影向量为12b，则a b ⋅ 的值为2【9题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】运用平面向量的基本定理和有关的运算规则逐项分析即可.【详解】对于A ，根据平面向量相等的定义，正确；对于B ，若0b=，则不能推出a c= ，错误；对于C ，根据平面向量基本定理，正确；对于D ，由投影向量的定义可知，a 在b上的投影向量1cos ,2b a a b b b==，()cos ,10b a a b -=，cos ,1a ab ∴= ，cos ,2a b a b a b ==，正确；故选：ACD.10.下列式子成立的是（）A.1cos30tan15sin 30+︒︒=︒B.tan17tan 43tan 43︒+︒+︒︒=C.1tan151tan15-︒=+︒D.221tan 151tan 152-︒=+︒【10题答案】【答案】BD 【解析】【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得；【详解】解：对于A ：()1tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 303-︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒而11cos30221sin 302++︒==+︒A 错误；对于B ：()tan17tan 43tan 60tan 17431tan17tan 43︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，所以tan17tan 43tan 43︒+︒+︒︒=B 正确；对于C ：()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan153-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒，故C 错误；对于D ：222222sin 1511tan 15cos 15sin 151tan 151cos 15︒--︒︒=︒+︒+︒222222cos 15sin 15cos 15sin 15cos30cos 15sin 152︒-︒==︒-︒=︒=︒+︒，故D 正确；故选：BD11.在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A.sin 5A =，tan 3B =，则A B < B.tan tan 1A B ⋅<C.sin sin cos cos A B A B+>+ D.sin sin 1A B +>【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角对于A，sin 5A =，得cos 5A =，tan2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以，cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误；对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+))44A B ππ->-，化简得sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44A B ππ->-，得2A B π+>，符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π+>，所以，2A B π>-，所以，sin sin sin()sin 2A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π=+≥1>，所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD12.双曲函数是与三角函数一样，分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种.已知双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数e e cosh 2x xx -+=，下列正确的有（）A.sinh 22sinh cosh x x x= B.2cosh 22cosh 1x x =-C.sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y+=+ D.cosh()cosh cosh sinh sinh x y x y x y+=-【12题答案】【答案】ABC 【解析】【分析】按照函数的定义，将sinh x和cosh x代入即可运算出结果.【详解】对于A ，()()22e e e e e e sinh 22sinh cosh 22x x x x x x x x x ---+--===，正确；对于B ，()2222e e2e ecosh 22cosh 122xx x xx x --+-+===-，正确；对于C ，()()e e e e e e e e e esinh cosh cosh sinh sinh 22222x y x x y y x x y y x y x y x y x y -+----+-++--+=+==+ ，正确；对于D ，e e e e e e e e cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y yx y x y ----++---=- ()()()e e cosh cosh 2x y x y x y x y ---+==-≠+，错误；故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一问2分，第二问3分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知tan2α=，则2cos sin 2αα+=__________．【13题答案】【答案】1【解析】【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值.【详解】tan 2α= ，∴原式22222cos 2sin cos 12tan 1221sin cos tan 121ααααααα+++⨯====+++.故答案为1.【点睛】(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.14.若(1,2),(1,1)a b ==- ，且()b a a λ-⊥，则λ的值为__________．【14题答案】【答案】5-【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算直接计算可得.【详解】因为(1,2),(1,1)a b ==-所以21,5a b a a a ⋅=-=⋅=由()b a aλ-⊥ 所以2()50b a a a b a λλλ-⋅=⋅-=--= ，得5λ=-故答案为：5-15.已知α是第二象限的角，cos10α=-，则cos()52sin()sin()2παππαα-=+++__________．【15题答案】【答案】17-【解析】【分析】由同角三角函数的平方关系先求sinα，然后用诱导公式化简目标式代入可得.【详解】因为α是第二象限的角，cos10α=-，所以sin10α==，所以cos()cos152sin cos72sin()sin()21010πααπααπαα--===--++++故答案为：17-16.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，已知sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BCD∠∠∠=，若97AD=，则圆的半径为__________；若2AC BC CDλ=⋅，则实数λ的最小值为__________．【16题答案】【答案】①.②.6049【解析】【分析】利用圆的内接四边形对角的关系结合已知可求得ABD△的边长，然后由余弦定理求角BAD∠，再由正弦定理可得圆的半径；再在BCD△由余弦定理结合已知表示出λ，使用基本不等式可得最小值.【详解】因为四边形ABCD内接于圆，所以BAD BCDπ∠=-∠，所以sin sin()sinBAD BCD BCDπ∠=-∠=∠因为sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BCD∠∠∠=所以sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BAD∠∠∠=，即::3:5:7AD AB BD=又97AD=，所以15,37AB BD==在ABD△中，由余弦定理可得81225914949cos9152277BAD+-∠==-⨯⨯所以23πBAD∠=，记四边形ABCD的外接圆半径为R，则322sin3Rπ==，所以R=由上可知，3BCDπ∠=，在BCD△中，记,BC m CD n==则由余弦定理得222cos93mn mn π+-=，即229m n mn +-=又由托勒密定理知，AC BD AB CD BC AD⋅=⋅+⋅，即159377AC n m =+，得222225812709494949n m mn AC =++又2AC BC CD mnλλ=⋅=所以22225812709494949n m mn mn λ=++，得2259302253030306024949494949494949n m m n λ=++≥+=+=当且仅当2225949499n m m nm n mn ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，即15191991919m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号所以λ的最小值为6049.故答案为：60349，四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知,αβ为锐角，4sin 5α=，5cos()5αβ+=-，求cos β和cos()αβ-的值．【17题答案】【答案】5cos 5β=，()115cos25αβ-=.【解析】【分析】利用()βαβα=+-和平方关系先求cos β，再由平方关系求sin β，然后再由余弦的两角差公式可得cos()αβ-.【详解】4(0,),sin 25παα∈=23cos 1sin 5αα∴=-=(0,(0,)2πβαβπ∈∴+∈ 225sin()1cos ()5αβαβ∴+=-+cos cos(())cos()cos sin()sin βαβααβααβα∴=+-=+++3455555 =-+=sin5β∴==cos()cos cos sin sinαβαβαβ+∴-=34555525=⨯+⨯=18.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC的面积为222()4b c a+-.（1）求A的值；（2）若cos7B=，6c=，求b.【18题答案】【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式得到1sin cos22bc A A=，即可得到tan A，从而求出A；（2）根据同角三角函数的基本关系求出sin B，再根据两角和的正弦公式、诱导公式求出sin C，最后利用正弦定理计算可得；【小问1详解】解：因为222()cos42ABCS b c a A=+-=，又1sin2ABCS bc A=，所以1sin cos22bc A bc A=，所以tan A=，又(0,)Aπ∈，3Aπ∴=；【小问2详解】解：因为cos7B=，sin7B∴==，sin sin()sin()sin cos cos sinC C A B A B A Bπ∴=-=+=+1272714=⨯+⨯=由正弦定理sin sinb cB C=，可得6sin4sin14c BbC⨯===；20.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x Aπωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，且12x x <，①求m 的取值范围；②求12tan()x x +.【20题答案】【答案】（1）()2sin()3f x x π=+（2）①)3,2②33【解析】【分析】（1）根据图像先求A ，再求T 得到ω，再代入点的坐标求出ϕ即可；（2）先求()2sin(23g x x π=+单调性，确定m 的取值范围，再根据()g x 的对称轴得到12x x +的值，求解计算即可.【小问1详解】根据函数图像得：2A =，373()4632T πππ=--=，所以2T π=，所以21Tπω==，所以()2sin()f x x ϕ=+，因为函数图像过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，所以()2sin()033f ππϕ-=-+=，所以3πϕ=，所以()2sin(3f x x π=+.【小问2详解】根据题意，所以()2sin(23g x x π=+，当[0,)12x π∈时，()f x 单调递增，当[122x ，ππ∈时，()f x 单调递减，因为(0)3g =，(32g π=(212g π=，所以若()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，则)3,2m ∈，因为函数()g x 关于直线12x π=对称，所以12212x x π+=，所以126x x π+=，所以12tan()tan63xx π+==.22.如图ABC中，D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，3AD AF = ，令AB a = ，AC b =.（1）试a 、b表示EF ；（2）延长EF交AC 于P ，设AP x AC =，求x 的值.【22题答案】【答案】（1）1136a b EF =-+（2）14x =【解析】【分析】（1）先用a 、b 表示出AF，再由EF AF AE =- 得出答案.（2）用AE 、AP表示出AF.再利用AF AP AE λμ=+ ，若E F P 、、三点共线，1λμ+=.即可列出等式，计算出答案【小问1详解】111()362AF AD AB AC AE AB==+=又11113636EF AF AE AB AC b ∴=-=-+=-+【小问2详解】1111()3636AF AD AB AC AE APx ==+=+ 又EF tEP= ()AF AE t AP AE ∴-=- (1)AF t AP t AE∴=+- 11136x ∴+=14x ∴=24.今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国.各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用.已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为23π的扇形区域AOB ，C 为弧AB 的中点，设QOC θ∠=.（1）用θ来表示矩形PQRS 的面积()f θ，并指出θ的取值范围；（2）θ为多少时，()f θ取得最大值，并求出此最大值.【24题答案】【答案】（1）()5000325003sin(2)363f πθθ=+-，πθ0,3骣琪Î琪桫（2）6πθ=时，()f θ取得最大值，最大值为250033【解析】【分析】（1）设QR ，PS 分别交OC 于D ，E ，根据题意得到()503100sin (50cos sin )3Sf QR ED θθθθ==⋅=-；（2）由（1）中函数知，当sin(2)=16πθ+时取最值.【小问1详解】设QR ，PS 分别交OC 于D ，E50sin QD PE θ==，100sin QR θ=，50cos OD θ=，503sin tan 3PE OE POE θ==∠()3100sin (50cos )3S f QR ED θθθθ==⋅=-2331cos 22500(sin 2)2500(sin 2)332θθθθ-=-=-⨯33332500(sin 22)2500sin(2)33363πθθθ⎡=+-=+-⎢⎥⎣⎦33sin(2)363πθ=+-，πθ0,3骣琪Î琪桫【小问2详解】由（1）可得，当sin(2)=16πθ+，即25003().63f πθθ=时，有最大值26.函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.（1）若1a =，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求函数()f x 的值域；（2）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，且()f x 有意义时，①若(){}0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围；②当12a <<时，求()f x 的最小值N .【26题答案】【答案】（1）(,2-∞-（2）①2a ≥；②)21N a=【解析】【分析】（1）当1a =时，求得()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-，令[)sin cos 1,1t x x =+∈-，令[)12,0m t =-∈-，()()22h m f x m m==++，利用双勾函数的单调性可得出函数()h m 在[)2,0-上的值域，即可得解；（2）①分析可知210a a --≤≤，可得出2a ≥，分1a=、1a≠化简函数()221at a p t at +-=-的函数解析式或求出函数()f x 的最小值，综合可得出正实数a 的取值范围；②令[]11,1n at a a =-∈---，则1n t a +=，可得出()()21122a a p t n n a n ϕ⎡⎤+-=++=⎢⎥⎣⎦，分析可得出101a a --<<<-<，利用双勾函数的基本性质结合比较法可求得N .【小问1详解】解：当1a=时，()sin cos 1f x x x =+-因为,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则,444x πππ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，令[)sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，则212sin cos 1sin 2t x x x =+=+，可得2sin 21x t =-，设()()211t g t f x t +==-，其中11t -≤<，令1m t =-，则()22111221m t m t m m+++==++-，令()22hm m m=++，其中20m -≤<，下面证明函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，任取1m 、[)22,0m ∈-且12m m <，则()()1212122222h m h m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121212121222m m m m m m m m m m m m ---=--=，当122m m -≤<<，则122m m >，此时()()12h m h m <，当120m m <<<，则1202m m <<，此时()()12h m h m >，所以，函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，则()(max 2hm h ==-，因此，函数()f x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域为(,2-∞-.【小问2详解】解：因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，令[]sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，设()()222211a a t at a a f x p t at at -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭===--，①若(){}0y y f x ∈=，必有210aa--≤≤，因为0a >，则2a ≥，当1a =时，即当1a =时，则()110p t t t a=+==，可得1t =，合乎题意；当1a≠时，即当2a ≥且1a ≠时，则()min 0p t =，合乎题意.综上所述，2a ≥；②令[]11,1nat a a =-∈---，则1n t a+=，则()()22121122n a a a a a a p t n n n a n ϕ⎡⎤+-⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦==++=⎢⎥⎣⎦，令()()20qs x x q x=++>，下面证明函数()s x在(上单调递减，在)+∞上为增函数，任取1x、(2x ∈且12x x <，则120x x -<，120x x q <<，所以，()()()()()()121212121212121212220q x x x x x x q q qsx s x x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=++-++=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()()12sx s x >，故函数()s x在(上单调递减，同理可证函数()s x在)+∞上为增函数，在(,-∞上为增函数，在()上为减函数，因为12a <<，则()()2212121,2a a a +-=--+∈，且()()22121220a a a a a +---=->，所以，10a >->，又()22212120a aa a +----=-<，1a ∴--<，101a a ∴--<<<-<，由双勾函数的单调性可知，函数()n ϕ在1,a ⎡--⎣上为增函数，在()上为减函数，在(]0,1a -上为减函数，当[)1,0x a ∈--时，()((max 120n aϕϕ==-<，()2101a a ϕ-=>- ，()((22111a a a ϕϕ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦-(())())()21142214210111a a a a a a a a a a +------=≥=>---，由双勾函数性质可得()()min 21f x aϕ=-=，综上所述())min 21f x N a==-.【点睛】关键点点睛：在求解本题第二问第2小问中，要通过不断地换元，将问题转化为双勾函数的最值，结合比较法可得出结果.。

2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知A(0, −1)，B(0, 3)，则|AB →|＝（ ） A.2 B.√10 C.4 D.2√102. sin 750∘的值为（ ） A.−√32B.√32C.−12D.123. 已知幂函数f(x)的图象过点(2, 16)，则f(3)＝（ ） A.27 B.81 C.12 D.44. 已知角α的终边经过点p(−2, 4)，则sin α−cos α的值等于（ ） A.3√55 B.−3√35C.15D.−2√335. 下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A.f(x)=|x| B.f(x)=√x −1+√1−x C.f(x)=2x −2−xD.f(x)=tan x6. 将函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则y ＝f(x)是（ ）A.y =sin (2x +π6) B.y =sin (2x +π3) C.y =sin (2x −π6) D.y =sin (2x −π3)7. 函数f(x)＝2x +log 2x −3的零点所在区间（ ） A.(0, 1) B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)8. 函数f(x)＝x ⋅ln |x|的图象可能是( )A. B.C. D.9. 已知函数f(x)=lg(1+|x|)−11+x2，不等式f(x+2)≤f(−1)的解集是（）A.(−∞, −3]B.(−∞, −3]∪[−1, +∞)C.[−3, −1]D.[−3, +∞)10. 若2x+5y≤2−y+5−x，则有（）A.x+y≥0B.x+y≤0C.x−y≤0D.x−y≥0二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中正确的说法是（）A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3B.m>−14C.当m>0时，2<x1<x2<3D.当m>0时，x1<2<3<x2已知函数f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，若g(x)＝f(x)sinπx，ℎ(x)＝f(x)cosπx，则下列说法正确的是（）A.函数y＝g(x)是偶函数B.10是函数f(x)的一个周期C.对任意的x∈R，都有g(x+5)＝g(x−5)D.函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）已知向量a→=(12,√32),b→=(12,−√32)，则a→⋅b→=________；a→b→的夹角为________．已知cos(α+π4)=35，且α∈(0,π4)，则sinα＝________．已知函数f(x)=cos(x2+π3)，则f(x)的最小正周期是________；f(x)的对称中心是________．函数f(x)={12x,x ≤02sin (2x +5π6),0<x <π，若方程f(x)＝a 恰有三个不同的解，记为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是________(5π3−1,5π3) ．四．解答题：本大题共6题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知集合A ＝{x|x 2−7x +6<0}，B ＝{x|4−t <x <t}，R 为实数集． (Ⅰ)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ； (Ⅱ)若A ∪B ＝A ，求实数t 的取值范围．已知向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，|a →+2b →|＝|a →−b →| （1）求a →⋅b →的值（2）求向量a →与a →−2b →夹角的余弦值已知α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，cos 2β=−79，sin (α+β)=79． （1）求cos β的值；（2）求sin α的值．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB 的半径为200米，圆心角∠AOB =60∘，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，点P 在弧AB 上，设∠POB =θ．(1)若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向OA ，OB 修建两条观赏通道PS 和PT （宽度不计），使PS ⊥OA ，PT ⊥OB ，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS +PT 最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由．已知向量a →=(2sin (ωx +π4)，−√3)，b →=（sin (ωx +π4)，cos (2ωx)）(ω>0)，函数(x)=a →⋅b →−1，f(x)的最小正周期为π． （1）求f(x)的单调增区间；（2）方程f(x)−2n +1＝0；在[0, 7π12]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1]，都存在x 2∈R ，使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知f(e x )＝ax 2−x ，a ∈R ． （1）求f(x)的解析式；（2）求x ∈(0, 1]时，f(x)的值域；（3）设a >0，若ℎ(x)＝[f(x)+1−a]•log x e 对任意的x 1，x 2∈[e −3, e −1]，总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）【答案】A,B,D【答案】B,C,D三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）【答案】−12,2π3【答案】 √210【答案】4π,(2kπ+π3, 0)，k ∈Z 【答案】 (5π3−1, 5π3)．四．解答题：本大题共6题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】A ∪B ＝{x|0<x <6}，A ∩∁R B ＝{x|4≤x <6}， （2）由A ∪B ＝A ，得：B ⊆A ，①当4−t ≥t 即t ≤2时，B ＝⌀，满足题意， ②B ≠⌀时，由B ⊆A 得：{4−t <t4−t ≥1t ≤6 ，解得：2<t ≤3， 综合①②得：实数t 的取值范围为：t ≤3， 故答案为：t ≤3 【答案】∵ 向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，|a →+2b →|＝|a →−b →| ∴ |a →+2b →|2＝|a →−b →|2，即(a →+2b →)2＝(a →−b →)2，即|a →|2+4a →⋅b →+4|b →|2＝|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2， 故6a →⋅b →+3＝0， 解得：a →⋅b →=−12；|a →−2b →|2=|a →|2−4a →⋅b →+4|b →|2＝7， ∴ |a →−2b →|=√7a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=2 设向量a →与a →−2b →夹角为θ，则cos θ=a →⋅(a →−2b →)|a →|⋅|a →−2b →|=2√77． 【答案】∵ cos 2β=1+cos 2β2=1+(−79)2=19⋯又∵ β∈(π2,π)，∴ cos β=−13⋯由（1）知：sin β=√1−cos 2β=√1−(−13)2=2√23⋯由α∈(0,π2)、β∈(π2,π)得(α+β)∈(π2,3π2)cos (α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−√1−(79)2=−4√29⋯sin α＝sin (α+β−β)＝sin (α+β)cos β−cos (α+β)sin β =79×(−13)−(−4√29)×2√23=13⋯ 【答案】解：(1)在Rt △PON 中，PN =200sin θ，ON =200cos θ， 在Rt △OQM 中，QM =PN =200sin θ， OM =QMtan 60=√3=200√3sin θ3， 所以MN =ON −OM =200cos θ−200√3sin θ3，因为矩形MNPQ 是正方形，∴ MN =PN ， 所以200cos θ−200√3sin θ3=200sin θ，所以(200+200√33)sin θ=200cos θ， 所以tan θ=1+√33=3+√3=3−√32．(2)因为∠POM =θ，所以∠POQ =60∘−θ，∴ PS +PT =200sin θ+200sin (60∘−θ) =200(sin θ+√32cos θ−12sin θ)=200(12sin θ+√32cos θ)=200sin (θ+60∘)，0∘<θ<60∘． 所以θ+60∘=90∘，即θ=30∘时，PS +PT 最大，此时P 是AB ̂的中点． 【答案】函数f(x)=a →⋅b →−1＝2sin 2(ωx +π4)−√3cos (2ωx)−1 ＝sin (2ωx)−√3cos (2ωx)＝2sin (2ωx −π3)∵ f(x)的最小正周期为π，ω>0，∴ 2π2ω=π，∴ ω＝1． 那么f(x)的解析式f(x)＝2sin (2x −π3)令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12∴ f(x)的单调增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]，k ∈Z ． 方程f(x)−2n +1＝0在[0, 7π12]上有且只有一个解， 转化为函数y ＝f(x)+1与函数y ＝2n 只有一个交点． ∵ x 在[0, 7π12]上，∴ −π3≤(2x −π3)≤5π6那么函数y ＝f(x)+1＝2sin (2x −π3)+1的值域为[1−√3, 3]， 结合图象可知，函数y ＝f(x)+1与函数y ＝2n 只有一个交点． 那么1−√3≤2n <1或2n ＝3， 可得1−√32≤n <12或n =32．由（1）可知f(x)＝2sin (2x −π3)∴ f(x 2)min ＝−2．实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1]，都存在x 2∈R ， 使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立． 即4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>−2成立 令y =4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1设2x 1−2−x 1=t ，那么4x 1+4−x 1=(2x 1−2−x 1)2+2＝t 2+2 ∵ x 1∈[−1, 1]， ∴ t ∈[−32, 32]，可得t 2+mt +5>0在t ∈[−32, 32]上成立．令g(t)＝t 2+mt +5>0， 其对称轴t =−m2 ∵ t ∈[−32, 32]上，∴ ①当−m2≤−32时，即m ≥3时，g(t)min ＝g(−32)=294−3m 2>0，解得3≤m <296；②当−32<−m 2<32，即−3<m <3时，g(t)min ＝g(−m2)=5−m 24>0，解得−3<m <3；③当32≤−m2，即m ≤−3时，g(t)min ＝g(32)=294+3m 2>0>0，解得−296<m ≤−3；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是(−296, 296)．【答案】设e x ＝t ，则x ＝ln t >0，所以f(t)＝a(ln t)2−ln t 所以f(x)＝a(ln x)2−ln x(x >0)；设ln x ＝m(m ≤0)，则f(x)＝g(m)＝am 2−m当a ＝0时，f(x)＝g(m)＝−m ，g(m)的值域为[0, +∞) 当a ≠0时，f(x)=g(m)=am 2−m =a(m −12a)2−14a(m ≤0)若a >0，12a >0，g(m)的值域为[0, +∞)若a <0，12a <0，g(m)在(−∞,12a ]上单调递增，在[12a ,0]上单调递减，g(m)的值域为(−∞,−14a]⋯综上，当a ≥0时f(x)的值域为[0, +∞) 当a <0时f(x)的值域为(−∞,−14a]；因为ℎ(x)=a ln x −1+(1−a)ln x对任意x 1,x 2∈[e −3,e −1]总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13所以ℎ(x)在[e −3, e −1]满足ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤a +13⋯ 设ln x ＝s(s ∈[−3, −1])，则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s−1，s ∈[−3, −1]当1−a <0即a >1时r(s)在区间[−3, −1]单调递增所以r(−1)−r(−3)≤a +13，即−2−(−83a −43)≤a +13，所以a ≤35（舍）当a ＝1时，r(s)＝s −1，不符合题意 当0<a <1时，则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s−1=a(s +1−a as)−1，s ∈[−3, −1]若√1−a a≤1即12≤a <1时，r(s)在区间[−3, −1]单调递增所以r(−1)−r(−3)≤a +13，则12≤a ≤35 若1<√1−a a<3即110<a <12时r(s)在[−3,−√1−a a]递增，在[−√1−a a,−1]递减所以{r(−√1−aa )−r(−3)≤a +13r(−√1−a a )−r(−1)≤a +13 ，得110<a <12若√1−a a≥3即0<a ≤110时r(s)在区间[−3, −1]单调递减所以r(−3)−r(−1)≤a +13，即−83a −43+2≤a +13，得111≤a <110⋯综上所述：111≤a ≤35．。

江苏省淮安中学高一数学《正、余弦函数的图象及性质》学案（1）一、学习目标与自我评估二、学习重点与难点1、正、余弦函数的图象及其画法。

2、正、余弦函数的周期性。

三、学法指导 1、“五点法”作三角函数的图象是基本的作图方法，要切实掌握好。

2、学习和研究三角函数性质应注意应用其图象，注意数性结合。

四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究例1、在同一坐标系中，分别作出下列两个函数的图象，简要说明其变换关 系，并指出第二个函数的性质。

（1）cos 1cos y xy x ==+ （2）sin 1sin 2y xy x== （3）sin sin 2y x y x== （4）cos cos()4y xy x π==+例2、（1）求满足11sin 22x -≤≤的x 的取值范围。

（2）求函数22sin ,[,]63y x x ππ=∈上的y 的取值范围。

例3、用“五点法”作12sin()33y x π=+的图象，并求其对称轴、对称中六、作业：七、自主体验与运用1、余弦函数的图象向右平移几个单位即得到正弦函数的图象 （ ） A 、2π B 、π C 、32π D 、2π 2、正弦函数()sin y x x R =∈的图像关于下列哪条直线对称 （ ）A 、y 轴B 、2x π=C 、直线x π=D 、x 轴3、余弦函数()cos y x x R =∈的图像关于下列哪个点对称 （ ） A 、()0,0 B 、,02π⎛⎫⎪⎝⎭C 、(),0πD 、()2,0π 4、函数5sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的一条对称轴的方程是 （ ） A 、2x π=-B 、4x π=-C 、8x π=D 、54x π=5、下列叙述正确的个数为 （ ） ①作正、余弦函数图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位可以不一致 ②[]sin ,0,2y x x π=∈的图象关于(),0P π成中心对称 ③[]cos ,0,2y x x π=∈的图象关于直线x π=成轴对称 ④正、余弦函数的图象不超出两直线1,1y y ==-所夹范围 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、[]cos 0,0,2x x π<∈的解集是7、若函数52sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图象与直线2y =围成一个封闭图形， 这个封闭图形的面积是 8、函数cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称中心是 ，对称轴方 程是9、将()cos y x x R =∈的图象 可得到()cos y x x R =∈ 的图象10、作出下列函数的图象：（1）[]1cos ,0,2y x x π=+∈ （2）[]1sin ,0,2y x x π=-∈（3）[]2sin ,0,2y x x π=-∈11、用“五点法”作出函数1sin 223y x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图象，并指出函数的对称轴为 ，对称中心坐标 ，单调增区间 ，单调减区间 。