Mathematica程序 派车划问题(线性规)

Mathematica求解线性规划问题一、一般线性规划模型：min =Tf c xs.t. ,0Ax b x≥≥二、Mathematica中求解线性规划问题的三个函数：ConstrainedMax[f,{inequalities},{x,y,…}]ConstrainedMin[f,{inequalities},{x,y,…}]LinearProgramming[c,A,b]前两个函数分别用于求目标函数的最大值和最小值。

第一个参数是目标函数；第二个参数是约束条件，可以是不等式，也可以是等式，但不必包括非负条件；第三个参数是决策变量。

第三个函数用于求解写成矩阵形式的线性规划问题。

三、实例食谱问题某公司饲养实验用的动物以供出售。

已知这些动物的生长对饲料中的三种营养成分——蛋白质、矿物质、维生素特别敏感。

每个动物每天至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生素10mg。

该公司能买到5种不同饲料，每种饲料1kg所含营养成分如表1所示，每种饲料1kg 的成本如表2所示。

求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方。

表1表2经分析，可得线性规划模型为： min 123450.20.70.40.30.5=++++f x x x x xs.t. 1234512345123450.30 2.00 1.000.60 1.80700.100.050.020.200.0530.050.100.020.200.08100,1,,5++++≥⎧⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪≥=⎩L j x x x x x x x x x x x x x x x x jMathematica 源程序：1.In[1]c={0.2,0.7,0.4,0.3,0.5};A={ {0.30,2.00,1.00,0.60,1.80},{0.10,0.05,0.02,0.20,0.05},{0.05,0.10,0.02,0.20,0.08}};b={70,3,10};result=LinearProgramming[c,A,b]f=c.resultOut[4]{0,0,0,39.7436,25.641}Out[5]24.74362.In[1]ConstrainedMin[0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.5x5,{0.3x1+2.0x2+1.0x3+0.6x4+1.8x5>=70,0.1x1+0.05x2+0.02x3+0.2x4+0.05x5>=3,0.05x1+0.1x2+0.02x3+0.2x4+0.08x5>=10},{x1,x2,x3,x4,x5}]Out[1]{24.7436,{x1->0,x2->0,x3->0,x4->39.7436,x5->25.641}}。

mathematica解方程Mathematica是一种功能强大的数学软件，由美国Wolfram Research公司开发，具有统计、图形、优化、数学、计算、分析以及多种高级数学解决方案的功能。

它是一个完整的数学软件系统，能够实现复杂的数学任务，为学术、教育、科学与技术等领域做出贡献。

二、Mathematica的解方程功能Mathematica的解方程功能可以帮助用户快速、有效地解决方程问题，它既可以求解一元高次方程，也可以求解多元高次方程。

此外，它还可以帮助解决各种非线性方程组，如微分方程、无穷级数和白话数学方程等。

这些功能让Mathematica成为一款强大的数学工具，为科研工作者及学习者提供了极大的便利和支持。

三、Mathematica的解方程方式1.式求解法：用户可以使用Mathematica的Solve和SolveAlways 函数，将输入的数学方程转换为一个函数，然后用公式求解该函数，以获得正确的解析表达式。

2.分法：在求解方程时，用户可以使用Mathematica的Simplify 函数，将复杂的数学方程转换为可以输入到Mathematica计算机程序中的简单形式，以高速求解方程。

3.像法：用户可以使用Mathematica的Plot命令，将数学方程的结果呈现为图形，以便更容易理解以及进一步分析复杂的数学方程。

四、Mathematica的特点1.持数十种编程语言：Mathematica支持包括C、C++、Perl、JavaScript在内的十几种编程语言，可以满足用户对不同编程语言的需求。

2.能强大：Mathematica提供了诸多功能，包括数学运算、图形分析、优化计算、科学计算等，为用户提供强大的分析工具。

3.作简单：Mathematica友好的界面使它变得非常容易操作，用户可以通过键盘的快捷键实现复杂的数学运算，大大降低了操作的难度。

总结Mathematica是一款强大的数学软件，具有丰富的功能，能够帮助用户快速有效地解决各种方程问题，其解决方程的方式也有很多，用户可以根据自己的需要选择适当的方法来求解数学方程。

mathmatic 基本用法Mathematica是一种强大的数学软件，它具有广泛的数学计算和可视化功能。

基本用法包括使用Mathematica进行数学运算、求解方程、绘制图表等。

1.数学运算：Mathematica可以进行基本的数学运算，如加减乘除、幂运算、三角函数、对数函数等。

例如，可以输入"2+3"得到结果"5"，输入"Sin[π/2]"得到结果"1"。

2.方程求解：Mathematica可以求解各种类型的方程。

例如，可以输入"Solve[x^2 - 3x + 2 == 0, x]"来求解这个二次方程，得到结果"x == 1 || x == 2"。

3.符号计算：Mathematica可以进行符号计算，包括展开、化简、因式分解等。

例如，可以输入"Simplify[(x^2 + x - 6)/(x + 3)]"来化简这个表达式，得到结果"x - 2"。

4.绘图功能：Mathematica可以生成各种类型的图表，包括二维曲线图、三维曲面图、柱状图、散点图等。

例如，可以输入"Plot[Sin[x], {x, 0, 2π}]"来绘制正弦函数的曲线图。

除了基本用法外，Mathematica还有许多其他功能，如矩阵计算、微积分、概率统计、符号推导、动态演示等。

它还提供了大量的内置函数和算法，可以用于求解复杂的数学问题。

使用Mathematica还可以进行科学计算、工程计算、数据分析等各种应用领域。

总之，Mathematica是一款功能强大的数学软件，可以帮助用户进行各种数学计算和可视化操作。

Mathematica for Windows 常用用法一、Mathematica 的主要功能Mathematica 是美国Wolfram 公司开发的一个功能强大的计算机数学系统，提供了范围广泛的数学计算功能，主要包括三个方面：符号演算、数值计算、图形。

例如：多项式的四则运算、展开、因式分解，有理式的各种计算，有理方程、超越方程的解，向量和矩阵的各种计算，求极限、导数、极值、不定积分、定积分、幂级数展开式，求解微分方程，作一元、二元函数的图形等等。

二、Mathematica 的基本知识 1．输入表达式：直接输入一个表达式（包括算式和命令，长表达式用“Enter ”换行）后，按“Shift+Enter ”执行，执行后以“Out[命令序号]= ……”形式输出执行结果，输出的结果可在后续的表达式中使用。

若命令后有分号，则不输出执行结果（图形输出与Print 命令除外）。

“%”表示上一个输出，“%%”表示倒数第2个输出，“%ｉ”表示第ｉ个命令的输出。

2．运算符：+、-、*、/、^ ，“*”可用空格代替，“^”表示乘方。

如：In[1]:=2^10，输出为“Out[1]= 1024”，其中“In[1]:=”不需要输入。

In[2]:=3+5，Out[2]= 8；In[3]:=%-2，Out[3]= 6；In[4]:=%2+4，Out[4]= 12；In[5]:=1/3-1/4，Out[5]=121；In[6]:=N[%]，Out[6]= 0.0833333； In[7]:=N[%5+12,10]，Out[7]= 12.08333333（注意字母的大小写） 3．变量赋值：变量=表达式，“x=.”或Clear[x] 表示清除对x 的赋值。

表达式/.t ->c ，将表达式中的t 全替换成c 。

?x ，查x 信息。

4．常用的数学常数：Pi (π)、E(e)、Infinity (∞)、I (1-)5．常用的数学函数：Abs, Sin, Cos, Tan, Cot, ArcSin, Log (自然对数), Sqrt, Exp 如：In[1]:=Sqrt[2]+1；In[2]:=Sin[2]+ArcSin[1]；In[3]:=Exp[2]+% （自变量用［ ］括，区分大小写，首字母大写） 三、常用运算 1．多项式运算：In[1]:= (2+4*x^2)*(1-x)^3 或 In[1]:= t = (2+4*x^2)*(1-x)^3 （将右端表达式赋值给t ）； In[2]:=a=t/.x->4 (计算表达式t 当x=4时的值，并赋值给变量a ) In[3]:=a=. (清除变量a ) In[3]:=Expand[t]（展开）；In[4]:=Factor[%]（把上一个结果因式分解） 2．解方程：In[1]:=Solve[x^2+3*x = = 2]；In[2]:=N[%]； In[3]:=Solve[a*x-b= = 0, x]； In[4]:=NSolve[{x-2*y= =0,x^2-y= =1},{x,y}]（解方程组并得到数值解） 3．自定义函数：In[1]:= f [x_ ]:=x^2+2*x ； In[2]:=f[5]+7； In[3]:=f[a+b] 4．求极限：In[1]:=Limit[Sin[x]/x, x ->0]； In[2]:=Limit[(1+1/n)^n, n->Infinity]，Out[2]=E 5．求（偏）导数：In[1]:=D[a*x^2+3, x]；In[2]:=D[x^2+y^3-Sin[2*y], y]（对y 的偏导数）； In[3]:=D[Log[x], {x,2}] (求对x 的二阶导数)； In[4]:=D[Sin[x+y]*Exp[z*y^2],x,y] （求对x 、y 的二阶混合偏导数）； In[5]:=Simplify[%] (对前一结果化简)； In[6]:=D[Sin[x+y]*Exp[z*y^2],{x,2},{y,3}] 6．求不定积分：In[1]:=Integrate[x^2,x]；In[2]:=Integrate[1/(x^2+a^2),x] 7．定积分：In[1]:=Integrate[x^2, {x,0,1}]；In[2]:=Integrate[x^2,{x,a,b}]； In[3]:=Integrate[x^2+y^2, {x,0,a},{y,0,b}]；（求矩形域上的二重积分） In[4]:=Integrate[1, {x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]；Out[4]=Pi （圆面积） 8．幂级数展开：In[1]:=Series[Exp[x],{x,0,4}]（在x=0处展开到x 的四次幂） 9．矩阵的输入和输出：In[1]:= a ={{1,2},{3,4}}（定义一个2x2的矩阵a ，按行写）；In[2]:=MatrixForm[a]（输出为矩阵形式）；In[3]:=Transpose[a]（a 的转置）； In[4]:=a[[2]]（a 的第2行）；In[5]:=Tanspose[a][[2]]（a 的第2列）； In[6]:=Inverse[a]（求a 的逆矩阵）；In[7]:=Det[a]（矩阵的行列式）； In[8]:=Eigenvalues[a]（求特征值）；In[9]:=Eigenvectors[a]（求特征向量）； In[10]:=RowReduce[a]（把a 化为阶梯形，可用于求矩阵的秩、判断线性相关性）； In[11]:= b ={{5,6,7},{8,9,10}}；In[12]:= a .b （矩阵a 与b 的乘积） 10．解线性方程组：In[1]:= a ={{3,4,5,6},{6,8,10,12},{4,5,6,7},{5,6,7,8}}；（a 的秩为2） In[2]:= b ={1,2,3,5}（列向量）；（增广矩阵的秩也为2） In[3]:=LinearSolve[a,b]（求线性方程组ax=b 的一个特解）； In[4]:=NullSpace[a]（求线性方程组ax=0的一个基础解系）；In[5]:= x =k1%4[[1]]+k2%4[[2]]+%3（ax=b 的全部解，k1、k2为任意常数）11．求和：In[1]:=NSum[Sin[n]/n^3,{n,1,Infinity}]（求级数∑∞=13sin n nn 的和）12．求极小值：In[1]:=FindMinimum[Sin[x]*Cos[x],{x,0.5}]（求函数在0.5附近的极小值）；In[2]:=FindMinimum[Sin[x*y]*Exp[x^2],{x,0.2}, {y,0.3}]（求多元函数极小值） 13．求解线性规划问题：Min cx ，mx ≥b ，x ≥0，求向量x 。

Mathematica 7初步指南注意：以下所有文档均根据Mathematica 7进行编写。

copyright illusionWing 2010目录Mathematica 7初步指南 (1)零、凡例 (3)一、恒成立及存在性问题 (3)1、恒成立问题 (3)2、其他恒成立问题 (3)3、存在性问题 (3)二、极值问题 (4)1、对于确定函数的极值问题 (4)2、线性规划问题（所有点及整点） (5)3、已知带参数的函数的极值，求参数 (5)三、数列问题 (6)1、从递推式求通项 (6)2、对于求不出通项的数列的枚举 (6)3、已知通项，求和 (7)4、已经求和的公式，求通项。

(7)5、对于给定的若干数据寻找一个拟合的通项式 (8)四、代数证明 (8)1、一般代数证明 (8)2、解析几何证明 (8)五、方程不等式的求解 (9)1、一般方程的求解 (9)2、进阶的方程（组）、不等式求解 (9)六、其他 (11)1、找特定的化学物质 (11)零、凡例x^y即x的y次方。

Sqrt(x)即x的平方根。

一、恒成立及存在性问题1、恒成立问题设f(x)=x^2-mx+6，如果对于x属于[1,5)，总有f(x)>x，求m的范围。

输入：输出：功能讲解：ForAll字面即“对于所有”，也就是恒成立。

其用法为ForAll[未知数,未知数约束条件,表达式]。

其中，约束条件这个参数可以省略，默认条件为未知数属于实数集。

对于多个变量的ForAll 可以采取如下方式：ForAll[{x,y},x>=1&&y>=1,x/y+y/x>=m]//ResolveResolve函数用于解ForAll形成的逻辑条件（ForAll函数本身不进行求解）。

直接模仿上述用法即可，不展开讲述。

2、其他恒成立问题[变式]设m为实数，若，则m的取值范围是________。

（暑假作业(3)第5题）根据分析，我们可以直接前一个集合内的所有元素都在后一个即可，即对于前一集合内的任一元素，恒存在于后一集合内，所以可以这样子写。

《Mathematica》使用手册Mathematica使用手册=========================第一章：介绍Mathematica-------------------------------------1.1 Mathematica的概述Mathematica是一种强大的数学计算和数据处理软件，广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。

1.2 安装和启动本节介绍如何安装Mathematica软件并启动它。

1.3 界面和基本操作介绍Mathematica的界面和基本操作，包括工具栏、菜单、笔记本等。

第二章：基本语法和数据类型-------------------------------------2.1 表达式和运算符讲解Mathematica的表达式和运算符，包括数值运算、符号运算、逻辑运算等。

2.2 变量和函数介绍Mathematica中的变量和函数的定义和使用方法。

2.3 数据类型讲解Mathematica中的基本数据类型，包括数值类型、字符串类型、列表类型等。

第三章：图形绘制-------------------------------------3.1 绘制函数图像介绍使用Mathematica绘制函数图像的方法和技巧。

3.2 绘制二维图形讲解Mathematica中绘制二维图形的常用函数和参数设置。

3.3 绘制三维图形介绍Mathematica中绘制三维图形的方法，包括绘制曲面、绘制立体图形等。

第四章：方程求解和数值计算4.1 方程求解讲解Mathematica中方程求解的方法和技巧。

4.2 数值计算介绍Mathematica中数值计算的函数和用法。

4.3 微分方程求解讲解Mathematica中求解微分方程的方法和技巧。

第五章：数据分析和统计-------------------------------------5.1 数据导入和导出介绍Mathematica中的数据导入和导出方法。

Mathematica入门教程第1篇第1章MATHEMATICA概述 (3)1.1 M ATHEMATICA的启动与运行 (3)1.2 表达式的输入 (4)1.3 M ATHEMATICA的联机帮助系统 (6)第2章MATHEMATICA的基本量 (8)2.1 数据类型和常数 (8)2.2 变量 (10)2.3 函数 (11)2.4 表 (14)2.5 表达式 (17)2.6 常用的符号 (19)2.7 练习题 (19)第2篇第3章微积分的基本操作 (20)3.1 极限 (20)3.2 微分 (20)3.3 计算积分 (22)3.4 无穷级数 (24)3.5 练习题 (24)第4章微分方程的求解 (26)4.1 微分方程解 (26)4.2 微分方程的数值解 (26)4.3 练习题 (27)第3篇第5章MATHEMATICA的基本运算 (28)5.1 多项式的表示形式 (28)5.2 方程及其根的表示 (29)5.3 求和与求积 (32)5.4 练习题 (33)第6章函数作图 (35)6.1 基本的二维图形 (35)6.2 二维图形元素 (40)6.3 基本三维图形 (42)6.4 练习题 (46)第4篇第7章MATHEMATICA函数大全 (48)7.1 运算符和一些特殊符号，系统常数 (48)7.2 代数计算 (49)7.3 解方程 (50)7.4 微积分 (50)7.5 多项式函数 (51)7.6 随机函数 (52)7.7 数值函数 (52)7.8 表相关函数 (53)7.9 绘图函数 (54)7.10 流程控制 (57)第8章MATHEMATICA程序设计 (59)8.1 模块和块中的变量 (59)8.2 条件结构 (61)8.3 循环结构 (63)8.4 流程控制 (65)8.5 练习题 (67)--------------习题与答案在68页-------------------第1章Mathematica概述1.1 Mathematica的启动与运行Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。

利用Mathematica 软件实现线性方程组求解摘要：Mathematica 作为一款独特的数学软件,有强大的数值计算和符号计算能力,具有很强的实用性,而线性方程组在线性代数中具有重要的地位.针对线性方程组的解具有零解、唯一解、无穷解的情况,文章借助Mathematica 数学软件分别给出求解的算法以及如何直接调用内部函数求解线性方程组的方法.文章中主要利用高斯-约当（Gauss-Jordan ）消元法、矩阵的LU 分解法求解线性方程组,并用Mathematica 软件对这两种算法予以实现.同时给出了带有可读性好的求解过程、能用于各种逆矩阵和线性方程组求解的通用程序,利用Mathematica 数学软件实现对求逆矩阵和线性方程组的可读性计算.关键字：Mathematica ;线性方程组;可读性计算;算法引言1.Mathematica 软件功能简介Mathematica 作为一款独特的数学软件,有强大的数值计算和符号计算能力.同时,线性方程组是连接矩阵和向量组的纽带,也是矩阵和向量组的直接应用.在我们的实际工作中出现的大量数学模型,他们最后都可以化为解线性方程组,所以对线性方程组的解的研究是非常重要的.在数学的许多分支中都涉及到线性方程组的问题,我们通常分齐次与非齐次两大类以及未知量个数与方程个数相等或不等对其进行求解,在系数矩阵为方阵时,还可以按照行列式是否为零进行分类.对于线性方程组的求解,其算法是非常清楚的,就是利用矩阵的行初等变换将对应的增广矩阵化为行最简矩阵,然后就可写出通解.但是由于整个过程涉及到大量数字运算,往往会因计算过程中不小心出现一些计算错误而导致错误的结论,有时甚至出现对没解的方程求出有解,或相反.然而,如果利用数学软件Mathematica ,可以将大家从繁琐的数字运算中解脱出来,而将注意力集中在基本概念和基本算法的学习上,从而增加学习兴趣,提高学习效率.笔者从事了一年多大学生创新实验《基于数学软件的高等代数解题实践研究》,通过实践发现,如果能够通过计算机编程让计算机自动求解各种线性方程组,这将是非常快速、方便的.因此本文以Mathematica 数学软件为平台,通过举例、演示与实验来理解线性方程组中的一些抽象概念和理论,并简捷直观地用计算机来解决复杂的线性方程组的求解问题,化简过难、过繁的运算技巧.本文根据Mathematica 软件强大的数值计算无误差的特点和符号计算功能,总结Mathematica 的关于线性方程组计算的功能、命令,总结了求解线性方程组的解的算法,并给出带有可读性好的求解过程、能用于各种线性方程组求解的通用程序,实现线性方程组的可读性计算.由于本章用到线性代数的许多基本知识,有必要对相关的概念和性质做一下说明. 定义1 如两个方程组具有完全相同的解,则称两个方程组为等价方程组.定义2 关于方程组的初等运算有三种类型：1） 交换方程组中两个方程：i j R R ↔,称为交换运算.2） 用一个非零的实数乘以某一方程：i i R R λ→,称为倍法运算.3） 某方程加上另一个方程的倍数：i j i R R R λ+→,称为消法运算.定理1 若一个方程由另一个方程经过有限次初等运算得到的,则这两个方程组等价.定义3 矩阵的初等变换,用i A 表示矩阵A 的第i 行,那么有：1） 交换A 的两行：i j A A ↔,称为交换变换.2） 用一个非零的实数λ乘以A 的某一行：i j A A λ→,称为倍法变换.3） 用A 某行加上另一行的λ倍：i j i A A A λ+→,称为消法表换.定义4 对矩阵A 施行初等变换,得到的矩阵称为相应的初等阵.例如23100100010001001010A A ↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记作23E2210010001000001001A A λλ⨯↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记作()2E λ32310010001001000101A A A λλ+⨯↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记作()23E λ定理2 对矩阵施行初等变换相当于将矩阵左乘相应的初等阵.212+-210210221-101-5001001A A A ⨯→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）相当于12(-2)E A100102102-21021-1=01-5001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理3 对任何n 阶矩阵A,以下性质等价：1） A 存在逆矩阵,即A 是可逆矩阵.2） 0A ≠,即A 是非奇异矩阵.3） A 的行向量组(列向量组)线性无关.4） 方程组AX b =有唯一解.定理4 如果矩阵A 经过一系列的初等变换化为单位阵E,则单位阵E 通过相同的初等变换化为1A -.由此得出用初等变换求矩阵逆的方法下例所示. 例1：求矩阵123133247A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆. 解：()(2)(1)(1)(2)(3)(1)13(3)(2)13(1)(3)(3)(1)(1)(2)211231*********33010010-110247001011-201123100100010-110010001-1-110A E +-⨯→+-⨯→+-⨯→+-⨯→+-⨯→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−−−−→−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭（）（）（）（）（）（）()-161-3-110=01-1-11E A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2 Mathematica 软件常用命令及其功能为了便于读者更好地利用Mathematica 软件解决数学问题,首先给出本文程序涉及的Mathematica 数学软件的命令及其功能.Append[expr,elem]——生成一个在表expr 的最后添加元素elem 后的表;Complement[listall, list1,list2,…]——求全集listall 对listi 的差集; Delete[expr,{i}]——删除expr 中第i 个元素后剩下的表;Do[expr,{imax}]——重复执行expr 共imax 次;Table[expr,{imax}]-—生成一个由表达式expr 产生的元素构成的共imax 个元素的表; Do[expr,{i,min,max}]——循环变量i 按步长1从min 取至max,重复执行表达式expr; Do[expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},…]——多重循环;Dot[a,b]——矩阵、向量、张量a 与b 的内积;Transpose[list]——对矩阵list 进行转置; IdentityMatrix[n]——自动生成一个n 阶单位矩阵;Insert[expr,elem,n]——在表expr 的第n 个元素前插入元素elem 产生一个新表; If[condition,t,f]——如果条件condition 为True,执行t 段,否则执行f 段;Length[expr]——表expr 中第一层元素的个数( 通常称为表的长度);LinearSolve[A,b],给出向量x,使得Ax b =成立.——求解线性方程组Ax b =的一个特解; LUBackSubstitution[数据,b]——利用LUDecomposition[矩阵Ａ]输出的结果求解方程组矩阵.x=bLUDecomposition[A]——求出矩阵A 的LU 分解;LUMatrices[lu]——返回一个形式为{l,u}的列表;MatrixForm[expr]——按矩阵形式将表expr 输出;NullSpace[A]——求齐次线性方程组AX=0的基础解系;Print[expr1,expr2,…]——顺次输出表达式expri 的值;RowReduce[A]——将矩阵A 化为简化行梯形形式;Simplify[expr]——对表达式expr 进行化简;Solve[eqns,vars]——从方程组eqns 中解出变量vars;(*information*)--注释语句,其中information 表示对程序作说明;{a,b,c}--Mathematica 中表的结构,表示元素分别为a,b,c 的表;3线性方程组解的算法及在Mathematica 软件中的实现3.1线性方程组的解考虑线性方程组：,,,()n m m n A X b X R b R R A m ⨯=∈∈= （1）其对应的齐次线性方程组为：0AX = （2）讨论线性方程组AX b =的求解问题,式中A 为m n ⨯阶系数矩阵,b 为1m ⨯阶右端列向量,X 为待求的1n ⨯阶列向量.这里首先假定m n ≤,如果m n >留待稍后讨论.当m n =且行列式0A ≠时,称AX b =为恰定方程组;当m n <时,称AX b =为不定方程组;当m n >时,称AX b =为超定方程组;在上述方程组求解的讨论中,常常要用到系数矩阵A 的秩()R A ,与增广矩阵的秩(,)R A b ,有时还要计算对应齐次方程组0AX =的基础解系.线性方程组（1）的解有以下3个结论:线性方程组的解的基本问题：当()(,)R A R A b n ==时,（1）有唯一解;当()(,)R A R A b n =<时,（1）有无穷多组解;当()(,)R A R A b <时,（1）无解.线性方程组的解的结构问题：线性方程组（1）对应的齐次方程组（2）的基础解系由()n R A -个向量组成;（2）的通解为基础解系的任意线性组合;（1）的通解为（1）的特解与（2）的通解之和.Mathematica 软件中的命令Solve 可以直接求出方程组（不限于线性）的解,一般格式为：Solve[eqns,vars],其功能是从方程组eqns 中解出变量vars.（但对于大的方程组而言,这种方法就显得有点儿麻烦,而且效率不高.）也有专门用于求解线性方程组的命令,一般格式为：LinearSolve[A,b],给出向量x,使得AX b =成立.其功能是求解线性方程组AX b =的一个特解,此命令的缺陷是当方程组的解不唯一时,只能求出一个特解而不能求通解.其中A 是方程组的系数矩阵,而b 为线性方程组的“右边项”.如果A 为可逆阵,那么LinearSolve 就给出线性方程组的唯一解.如果A 为奇异阵,那么方程组就可能没有解,也有可能存在无穷组解.如果方程组具有唯一解,Mathematica 就会给出这个解（如例3）.如果方程组没有解,Mathematica 就会返回出错信息（*Linear equation encountered which has no solution.*）,即遇到了没有解的线性方程组.（如例4）例2：求解线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++147338523532321321321x x x x x x x x xA1={{2,1,3},{3,2,5},{3,3,7}};b1={5,8,14};Det[A1]=10≠,故知方程组有唯一解LinearSolve[A1,b1] （*利用Solve 函数求解11A X b =*）={-3,-4,5} （*求得解543321=-=-=x x x *）例3:求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++124313427233z y x z y x z y x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12171;4313422331b a a1={{3,3,2},{2,-4,3},{1,3,4}};b1={{7},{1},{12}};运行LinearSolve[a1,b1]得：231776,,701435⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫-⎨⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭例4：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++1143313462z y x z y x z y x 没有解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11162;4333411122b a a2={{2,1,1},{1,-4,3},{3,-3,4}};b2={{6},{1},{11}};运行LinearSolve[a2,b2]得：LinearSolve::nosol: Linear equation encountered that has no solution.（遇到了没有解的线性方程组）LinearSolve[{{2,1,1},{1,−4,3},{3,−3,4}},{{6},{1},{11}}]如果方程组没有解,Mathematica 就会返回出错信息（*Linear equation encountered which has no solution.*）,即这是一个没有解的线性方程组.如果方程组Ax=b 有无穷组解,问题就有一些复杂了.对于这种情况,Mathematica 就会返回一个解,我们称其为特解.而所有解是由特解加上对应的齐次方程组Ax=0的所有解构成的.所有满足0AX =的向量X 全体称为A 的零空间,可以很容易地用NullSpace 命令确定出零空间的构造.NullSpace[A ]返回A 的零空间的基向量,即齐次线性方程组AX=0的基础解系.A 的零度,即A 的零空间中最大线性无关向量组的向量个数,可以通过运行Length[NullSpace[a]]得到. A的秩可以用n-Length[NullSpace[A]]算出,其中n表示A 的列数.例5：方程组2y74323349x zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有无穷组解.a={{2,1,1},{1,-4,3},{3,-3,4}};b={{7},{2},{9}};nullspacebasis=NullSpace[a]{{−7,5,9}}（*由于零向量非空,因此没有唯一解*）particular = LinearSolve[a, b]{{10/3}, {1/3}, {0}}（*这是一个特解*）方程组的完全解具有形式t*nullspacebasis+particular,其中t是任意参数.然而,为了表示成单个列表,我们必须展平nullspacebasis和particular. generalsolution = t*Flatten[nullspacebasis] + Flatten[particular]{10/3 - 7 t, 1/3 + 5 t, 9 t}作为检验的步骤,我们下面把一般解代回到原来的方程组中.a.x /. x -> {10/3 - 7 t, 1/3 + 5 t, 9 t} // Expand{7,2,9}关于线性方程组求解的算法研究已比较成熟,本文主要利用高斯-约当（Gauss-Jordan）消元法和矩阵LU分解法求解线性方程组.3.2高斯-约当（Gauss-Jordan）消元法求解线性方程组ax=b的高斯-约当方法是基于对增广矩阵[]a b的简化处理,这个过程通过初等变换把矩阵转化为简化行阶梯形的形式.基本初等行变换有下述三种：①交换两行②在一行中乘上一个非零常数③在一行中加上另一行的倍数.容易证明初等行变换对方程组的解没有影响.一个矩阵称为简化行阶梯形形式,是指①每一行中第一个非零元素都是1（称为首1）②在这个1的上面或者下面的元素都是0③对于两个首1的行,下面的行中第一个非零元素比前一个更靠右.在求解线性方程组时,我们首先应该使用初等行变换把增广矩阵转化为简化梯形形式.学过线性代数或者高等代数的读者都知道初等行变换是非常麻烦的,很容易出错.并且只要有一个地方出错,后面的计算就已经无用了.然而,Mathematica数学软件中的RowReduce命令可以自动把任意矩阵转化为简化行梯形形式.RowReduce[A]——把矩阵A 转化为简化行梯形形式.例6： 考虑3⨯4阶矩阵,其元素为ij a i j =-.a=Table[Abs[i-j],{i,1,3},{j,1,4}];a//MatrixForm⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123012101210 RowReduce[a] //MatrixForm⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡23021100010001 下面我们演示行简化过程是怎么用于线性方程组的求解.为了便于比较,我们使用的范例采用前面的例3、例4与例5 中考虑的三个例子.例7：（a ）方程组124313427233=++=+-=++z y x z y x z y x （有唯一解） （b ）方程组1143313462=+-=+-=++z y x z y x z y x （无解） （c ）方程组943323472=+-=+-=++z y x z y x z y x (有无穷组解)这三个方程组的增广矩阵分别为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=9433234171123;11433134161122;12431134272331a a aa1={{3,3,2,7},{2,-4,3,1},{1,3,4,12}};a2={{2,1,1,6},{1,-4,3,1},{3,-3,4,11}};a3={{2,1,1,7},{1,-4,3,2},{3,-3,4,9}}; RowReduce[a1]//MatrixForm⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-357610014170107023001 (*当矩阵被简化后,如果把它看作方程组,容易看出x=-23/70,y=17/14,z=76/35*) RowReduce[a2] //MatrixForm795910001-00001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(*简化后的矩阵第三行指的是0001x y z ++=,这当然是不可能的.这个矛盾（一行中只有最后一个元素是非零,其余都是零）说明方程组没有解.*) RowReduce[a3] //MatrixForm7109351931001-0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(底行全是0没有任何不对的地方,然而这个方程组没有唯一解,如果令z=t,其中t 为独立参数,那么方程组的解具有如下形式：10715,,3939x t y t z t =-=+=) [注释] 虽然这个解与例5给出的解在形式上稍有些不同,但从它们确定相同的解集的意义上看,它们是等价的.求解线性方程组的算法步骤为：1.对增广矩阵（非齐次）或系数矩阵（齐次）进行初等行变换,将其转化为行最简形矩阵（对非齐次线性方程组判断是否有解);2.确定非自由未知量和自由未知量,将行最简形“翻译”为方程组;3.令自由未知量等于任意常数,得到通解.3.3 矩阵的LU 分解法（Doolittle 法）LU 分解法（杜利特尔Doolittle 方法） 是另外一种经常使用的求解线性方程组的方法,尤其是当具有许多方程组,而且每个方程组的系数相同时,这种方法特别有用. LU 分解法的基本思想是这样的.如果A 为方阵,那么它可以分解为A=LU,其中L 为下三角矩阵,主对角线上元素全是1,U 为上三角矩阵.这样方程组Ax=b 就转化为（LU ）x=b,其可重写为L （Ux ）=b.如果令y=Ux,那么可以从Ly=b 中解出y,一旦有了y,就可以从Ux=y 中解出x.(LU)Ly b Ax b x b Ux y =⎧=⇔=⇔⎨=⎩虽然矩阵LU 分解法把一个方程组的求解转化为两个方程组的求解,但由于现在每个方程组的系数矩阵都是三角矩阵,因此计算起来速度是很快的.这样一来,如果使用LU 分解法求解线性方程组,就包含两个步骤：分解与回代.对应的Mathematica 命令就分别为LUDecomposition 与LUBackSubstitution .LUDecomposition[A]——求出矩阵A 的LU 分解;LUBackSubstitution[数据,b]——利用LUDecomposition[矩阵Ａ]输出的结果求解方程组矩阵.x=bLUDecomposition 的输出为数据,由三部分组成：（1）矩阵L 与U 被压缩到一个矩阵中,（2）一个置换向量,以及（3）矩阵的L ∞条件数.把数据送给LUBackSubstitution 就可以求解出线1112111121421222212221212111n n n n n nn n n nn a a a r r r a a a l r r A a a a l l r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭性方程组.置换向量对行进行重新安排,以保证矩阵具有最大的数值稳定性.本文不再对条件数加以讨论.LUDecomposition 与LUBackSubstitution 不能用于求解具有无穷组解的线性方程组.例8： 利用LU 分解法求解线性方程组2y 743232213x z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.为了用LU 分解法求解线性方程组,我们首先对系数矩阵进行矩阵分解.2117143;2;32213a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦运行Clear all;a={{2,1,1},{1,-4,3},{3,2,2}};b={{7},{2},{13}};data=LUDecomposition[a]得{{{1, -4, 3}, {2, 9, -5}, {3, 14/9, 7/9}}, {2, 1, 3}, 1}LUBackSubstitution[data,b]{{1},{2},{3}}在例9和例10中演示了LUDecomposition 返回数据的结构.例9 567131232728m ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;m={{5,6,7},{1,3,12},{3,27,28}};{lu,m,cond}=LUDecomposition[m]{{{1,3,12},{5,-9,-53},{3,-2,-114}},{2,1,3},1}在本例中,没有进行行置换,因为此时的置换向量p 就是｛1,2,3｝.LUDecomposition[m]的第一部分是以压缩形式给出的两个矩阵,因为我们已知LU 的形式为100100100x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; 所以要想指定矩阵L 、U,只需要指定九个元素（用x 表示）.在LUDecomposition[m]的第一部分就是用单个矩阵的形式给出这九个数.lu//MatrixForm234256347⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这些数虽然是组合在一个矩阵中,但每个数所在的位置却是分别与L 、U 中的位置一致的,因此100234LU 210056341007⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例10 211143322m ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; Clear all;m={{2,1,1},{1,-4,3},{3,2,2}};{lu,p,cond}=LUDecomposition[m]{{{1, -4, 3}, {2, 9, -5}, {3, 14/9, 7/9}}, {2, 1, 3}, 1}lu//MatrixForm714991432953⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--如果仍然按前面例子同样的步骤处理,就会得到71499100143210;095;3100l u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 但这时l 与u 乘起来并不等于原来的矩阵.l.u//MatrixForm143211322-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦实际上这时置换向量为p=｛2,1,3｝,表明矩阵中第一行与第二行交换了顺序.如果这时交换l 中相应的行,再乘上U 就会得到原来的矩阵.149210100;31l ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L.U//MatrixForm211143322⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦重构出L 与U 矩阵的更方便的方法是利用LUMatrices 命令,这条命令包含在软件包LinearAlgebra`MatrixManipulation`中.LUMatrices[lu]——返回一个列表,形式为{l,u},由对应于lu 的矩阵在LU 分解中被置换后的上三角与下三角矩阵组成,其中lu 为运行LUDecomposition[A]所得结果中的第一个元素.例11：自动求解例9中的L 、U运行<<LinearAlgebra`MatrixManipulation`调入软件包. 运行m={{2,1,1},{1,-4,3},{3,2,2}}; {lu,p,cond}=LUDecomposition[m]得数据{{{1, -4, 3}, {2, 9, -5}, {3, 14/9, 7/9}}, {2, 1, 3}, 1} 运行LUMatrices[lu] 得转换后的L 、U 矩阵｛｛1,0,0｝,{2,1,0},{3,14/9,1}｝,{{1,-4,3},{0,9,-5},{0,0,7/9}}} 由此可见可以自动提取转换后的L 、U 矩阵： L= LUMatrices[lu][[1]]; U= LUMatrices[lu][[2]];L[[p]]//MatrixForm (*L[[p]]根据向量p 对矩阵L 的行进行置换*)14921010031⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭U//MatrixForm7914309500-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭运行下列命令,从结果可见L 与U 的乘积与原矩阵一致：L[[p]].U//MatrixForm211143322⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭例12：利用LU 分解法求解方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400320102423xLU 分解法的计算步骤：1.首先将方程组的系数矩阵进行LU 分解,得到A LU =.2.求解LY=b.3.求解UX=Y.(*输入数据*)A = {{3, 2, -4}, {2, 0, 1}, {0, 2, 3}}; b = {0, 0, 4};(*对A 进行LU 分解：A=LU*)Print["待求方程组为", MatrixForm[A], "x=", MatrixForm[b]]; n = Length[b];{lu, p, c} = LUDecomposition[A];Print["LU 分解的紧凑格式为", MatrixForm[lu]]; Print["置换向量为", p];l = lu SparseArray[{i_, j_} /; j < i -> 1, {n, n}] + IdentityMatrix[n]; Print["分离的L 矩阵为", MatrixForm[l]];u = lu SparseArray[{i_, j_} /; j >= i -> 1, {n, n}]; Print["分离的U 矩阵为", MatrixForm[u]]; (*求解Ly=b*)y = LinearSolve[l, b[[p]]]; Print["求解Ly=b 得:y=", y]; (*求解ux=y*)x = LinearSolve[u, y] // N; Print["方程组解为：x=", x];运行以上程序得：4线性方程组求解过程的可读性计算假设AX E =,其中A 为n 阶系数矩阵,E 为单位矩阵,即123=,,,,n E e e e e （）,其中(1,2,)i e i n =为单位列向量,X 为n 个列向量构成的矩阵,即2(,,)i n X x x x =,其中,(1,2,)i x i n =为列向量.于是,可以把等式AX E =看作求解n 个线性方程组,(1,2,)i i Ax e i n ==出了所有i x 之后,也即得到了矩阵X .而由AX E =可知,矩阵X 是A 的逆矩阵,即1X A -=.这样就求出了A 的逆矩阵.于是求逆矩阵的过程被化成了解线性方程组的过程.我们利用Mathematica 软件实现对求逆矩阵的可读性计算,对我们探讨线性方程组的解法有非常重要的意义.4.1 求逆矩阵可读性计算我们编写可读性程序如下： (*求矩阵的逆矩阵*)运行InvMatr[A_] := (If[! MatrixQ[A],Print["A is not a Matrix, We don't calculate the inverse of A."], Print["Matrix A =", MatrixForm[A], ", "]; If[Det[A] == 0,Print["Because of Det[A]=0, There isn't inverse Matrix of A."], n = Length[A];ident = IdentityMatrix[n]; AT = Transpose[A]; Temp = AT;Do[Temp = Append[Temp, ident[[i]]], {i, 1, n}]; AE = Transpose[Temp];Print["(A|E)=", MatrixForm[AE]]; Do[k = Infinity; r = j;Do[ If[Abs[AE[[i, j]]] < k && AE[[i, j]] != 0, k = AE[[i, j]]; r = i], {i, j, n}];If[r != j, TempMatrix = AE[[r]]; AE[[r]] = AE[[j]]; AE[[j]] = TempMatrix];Do[AE[[i]] = AE[[i]] - AE[[j]]*AE[[i, j]]/AE[[j, j]], {i, 1, j - 1}];Do[AE[[i]] = AE[[i]] - AE[[j]]*AE[[i, j]]/AE[[j, j]], {i, j + 1, n}]; AE[[j]] = AE[[j]]/AE[[j, j]];Print["-->", MatrixForm[AE]]; , {j, 1, n} ];B = Transpose[AE]; Temp = {B[[n + 1]]};Do[Temp = Append[Temp, B[[i]]], {i, n + 2, 2 n}];Print["The Inverse Matrix A of is ", Transpose[Temp] // MatrixForm, "."] ] ] )为说明本程序可用于任何对矩阵的逆的各种情形的求解处理,举例计算如下.例13：已知a1={2,3,1,4};a2={3,0,2,5};a3={4,3,8};a4={2,7,4,15};A={a1,a2,a3,a4},求A 的逆阵. 运行Clear; a1={2,3,1,4}; a2={3,0,2,5}; a3={4,3,8}; a4={2,7,4,15}; A={a1,a2,a3,a4}; InvMatr[A]得：A is not a Matrix, We don't calculate the inverse of A. 如果我们输入的A 不是矩阵,我们不可求A 的逆阵.例14：求矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛64401800154012202的逆矩阵. 运行Clear;a1={2,0,2,2}; a2={1,0,4,5}; a3={1,0,0,8}; a4={1,0,4,64}; A={a1,a2,a3,a4}; InvMatr[A]得：Matrix A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛64401800154012202 Because of Det[A]=0, There isn't inverse Matrix of A.此时,A 的行列式为0,A 没有可逆阵.例15：求矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--242022233的逆矩阵.Clear;a1={3,3,2};a2={2,-2,0}; a3={-2,4,2}; A={a1,a2,a3}; InvMatr[A]运行结果为：例16：求矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000023000023000023000023的逆矩阵Clear;a1={3,2,0,0,0};a2={0,3,2,0,0};a3={0,0,3,2,0};a4={0,0,0,3,2}; a5={0,0,0,0,3};A={a1,a2,a3,a4,a5}; InvMatr[A]通过上面的讨论我们可以看出该程序对任何一个矩阵型数据均能做出相应的处理,对输入的矩阵为可逆时,程序能计算出逆矩阵.进而我们通过Mathemtica 软件对解方程组也可实现可读性计算.4.2 线性方程组的可读性计算虽然Mathematica 软件中有解方程组的函数,但是,用此函数求解方程组存在不足之处：不能看到求解方程组的过程,也不能看到求解方程组的其他信息;输入方程组信息的形式繁琐且输出的内容不符合代数教材中通常的习惯,不能为其他程序提供更多的信息.而通过Mathematica 软件到底能不能对解线性方程组算法的实现将其过程展现出来呢？我们的答案是肯定的.只是在求解过程中,要运用到更多的输出形式函数．其程序相对较复杂.程序中较多的命令都是由简单命令复合而成,现对复合命名的构造过程进行描述.为了使实例17中的增广矩阵2-21-1121-42-2334-103-57812-11-2-1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭具有分块形式22111|214223|3410357|812112|1⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭---------, 就需要在最后一列前插入符号“|”进行分隔,但Mathematica 中的矩阵是由行表构造而成,因此先用Transpose 命令对矩阵AUB 进行转置,并事先生成一个全由“|”为元素的一维表B0,一次性地把B0 插入到AUB 的转置矩阵的最后一行之前,然后再转置,就实现了我们希望的输出效果．完整的命令如下：B0=Table["|",{i,1,m}];MatrixForm[Transpose[Insert[Transpose[AUB],B0,n+1]]]Mathematica对表进行操作时是对表的每个元素进行同一操作,因此在对AUB 中找出的主元AUB(r,j)进行归一化处理时,可用下列命令实现对r行元素各除以AUB(r,j)：AUB[[r]]=AUB[[r]]/AUB[[r,j]];为了把j 列除主元AUB(r,j)外的各元素全变成零,可对1 至r-1 行及r+1 至m 行分别进行第三类初等行变换．完整命令如下：Do[AUB[[i]]=AUB[[i]]-AUB[[r]]*AUB[[i,j]] ,{i,1,r-1}];Do[AUB[[i]]=AUB[[i]]-AUB[[r]]*AUB[[i,j]] ,{i,r+1,m}];处理解唯一时的输出时要解决的问题：AUB 的第n+1 列就是所求的解,但当m>n 时由于方程个数比未知量个数多,直接输出AUB(n+1)将出现多余的0,因此先把这些0 的位置存入表dele 中,再用Delete 命令把AUB(n+1)中多余的0 删除;为了把行向量以列的方式输出,由于Transpose 对一维表无效,因此把删除多余元素后的表放在{}中以增加其维数,最后形成的完整命令如下：dele=Table[{i},{i,n+1,m}];MatrixForm[Transpose[{Delete[Transpose[Simplify[AUB]][[n+1]], dele]}]]]下面是经过完整的求解线性方程组的可读性计算的完整程序：conslist = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11, C12, C13,C14, C15, C16, C17, C18, C19, C20, C21, C22, C23, C24, C25};varlist = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13,x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25}; MatrixPrint[A_] := (B0 = Table["|", {i, 1, m}];MatrixForm[Transpose[Insert[Transpose[AUB], B0, n + 1]]])PrintSolve[] := (ME = IdentityMatrix[S];basV = Complement[Table[i, {i, 1, n}], fuq];L = Length[basV];(*L 记录基变量的个数*)AUB = Transpose[AUB];eta = Table["", {S}];i = 0; eta[[i]] = AUB[[n + 1]];eta[[i]] = Table[eta[[i]][[j]], {j, 1, L}];Do[eta[[i]] = Insert[eta[[i]], 0, fuq[[k]]], {k, 1, S}];Do[eta[[i]] = -AUB[[fuq[[i]]]];eta[[i]] = Table[eta[[i]][[j]], {j, 1, L}];Do[eta[[i]] = Insert[eta[[i]], ME[[i, k]], fuq[[k]]], {k, 1,S}], {i, 1, S}];Ck = Table[conslist[[i]], {i, 1, n}];solv = MatrixForm[Transpose[{eta[[0]]}]];Do[solv = solv + MatrixForm[Transpose[{eta[[i]]}]]*Ck[[i]], {i, 1,n - r}];Print["X=", solv];)SolutionEquation[A_, B_] := (n = Length[A[[1]]]; m = Length[B];X = Table[varlist[[i]], {i, 1, n}]; AX = Dot[A, X];Print["求解下列线性方程组:"];Do[Print[AX[[i]], "=", B[[i]]], {i, 1, m}];Print["解:先对增广矩阵进行初等行变换:"];AUB = Transpose[Append[Transpose[A], B]];Print[MatrixPrint[Simplify[AUB]]];r = 1; fuq = {};(*fuq 存放自由未知量的下标*)Do[k = Infinity; flag = 0;(*查找列主元素的位置*)Do[If[AUB[[i, j]] != 0, flag = 1], {i, r, m}];If[flag == 0, fuq = Append[fuq, j]; Continue,Do[If[Abs[AUB[[i, j]]] < k && AUB[[i, j]] != 0, k = AUB[[i, j]]; t = i], {i, r, m}];If[t != r, TempMatrix = AUB[[t]];AUB[[t]] = AUB[[r]]; AUB[[r]] = TempMatrix];AUB[[r]] = AUB[[r]]/AUB[[r, j]];Do[AUB[[i]] = AUB[[i]] - AUB[[r]]*AUB[[i, j]], {i, 1, r - 1}];Do[AUB[[i]] = AUB[[i]] - AUB[[r]]*AUB[[i, j]], {i, r + 1, m}];Print["-->", MatrixPrint[Simplify[AUB]]];r = r + 1];, {j, 1, n}];r = r - 1;S = n - r;(*基础解系中解的个数*)Print[" 增广矩阵的秩r=", r, ", 未知量个数 n=", n, ";"];If[r == n, Print["结论：因为增广矩阵的秩等于未知量个数,方程组有唯一解：X=", dele = Table[{i}, {i, n + 1, m}];MatrixForm[Transpose[{Delete[Transpose[Simplify[AUB]][[n + 1]], dele]}]]], If[r == m, Print["结论：因为增广矩阵的秩等于方程个数且小于未知量个数,方程组有无穷多组解："];PrintSolve[],If[AUB[[r + 1, n + 1]] != 0, Print["因为增广矩阵的秩小于未知量个数,但 dr+1!= 0,所给方程组无解"], Print["因为增广矩阵的秩小于未知量个数, 且dr+1=0,方程组有无穷多组解："];PrintSolve[];];];];)说明：本程序可用于变量在25个内的任何线性方程组的求解,如果变量超过25个,只需要增加程序中conslist 与varlist 分量个数即可.例17：求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+-+-=+-+-=+-+-2342310634852232533354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 在Mathematica 输入并运行：A={{3,-3,1,-1,1},{1,-5,2,-3,2},{5,-8,4,-3,6},{1,3,-2,4,-3}};b={3,2,10,2};SolutionEquation[A,b]即得到如下求解结果,其中所有内容全部由程序自动输出得到. 求解下列线性方程组: 3x1-3x2+x3-x4+x5=3 x1-5x2+2x3-3x4+2x5=2 5x1-8x2+4x3-3x4+6x5=10 x1+3x2−2x3+4x4−3x5=2例18：求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++--=+-++=+-++1423412231245354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 在Mathematica 输入并运行：A={{1,3,5,-4,2},{1,3,2,-2,1},{1,-4,1,1,-1},{1,2,1,-4,1}};b={1,-1,3,-1}; SolutionEquation[A,b]即得到如下求解结果,其中所有内容全部由程序自动输出得到.例19：求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=++=--=-+332523233231321321321x x x x x x x x x x x a1={1,2,-1};a2={1,-3,-1};a3={3,1,2};a4={-2,0,3};A={a1,a2,a3,a4};B={3,2,5,-3}; SolutionEquation[A,B]参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2003[2] 王绍恒,王艺静.利用Mathematica软件实现解线性方程组的可读性计算[J].重庆三峡学院学报,2009(3),25（3）:143-146[3] 姜友谊,应宏,王绍恒.化实对称矩阵为对角矩阵的计算机算法[J]．西南民族学院学报,2002,28(4)：428-432[4] 张禾瑞,郝鈵新,高等代数(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2007[5] 刘水强,王绍恒．利用初等行变换解线性矩阵方程[J]．重庆三峡学院学报,2001,17(5)：87-89[6] 徐士良.计算机常用算法[M].北京:清华大学出版社,2000.8．[7] 徐安农,科学计算引论：基于Mathematica的数值分析[M].北京:机械工业出版社,2010.8[8] 冯天祥,数值计算方法理论与实践研究[M].成都：西南交通大学出版社,2005[9] 阳明盛,林建华.Mathematica基础及数学软件[M],大连：大连理工大学出版社,2003[10][美] Rchard J. Gaylord,Samuel N.Kamin ,Paul R. Wellin著,耿勇译.数学软件Mathematica 入门[M].高等教育出版社,2001[11][美]D.尤金.Mathematica使用指南[M].邓建松,彭冉冉,译.北京：科学出版社,2002.。

mathematica 化简方程Mathematica化简方程在数学中，方程是一种数学语句，表达了两个表达式之间的相等关系。

当我们遇到复杂的方程时，往往希望能够对其进行化简，以便更好地理解和分析问题。

Mathematica是一种强大的数学软件，可以帮助我们对方程进行化简操作。

本文将介绍如何使用Mathematica来化简方程。

我们需要安装并启动Mathematica软件。

在软件界面的顶部菜单栏中，可以找到一个输入框，我们可以在其中输入数学表达式和方程。

假设我们有一个简单的方程：2x + 3x = 5x。

我们想要将其化简为最简形式。

我们可以在Mathematica中输入以下内容：2x + 3x - 5x然后按下回车键，Mathematica将会给出化简后的结果。

另一个例子是方程：x^2 + 2x + 1 = 0。

我们想要求解这个方程的根。

我们可以在Mathematica中输入以下内容：Solve[x^2 + 2x + 1 == 0, x]然后按下回车键，Mathematica将会给出方程的解。

除了简单的方程外，Mathematica还可以处理更复杂的方程。

例如，我们可以使用Mathematica来求解微分方程。

假设我们有一个微分方程：y''(x) + y(x) = 0。

我们可以在Mathematica中输入以下内容：DSolve[y''[x] + y[x] == 0, y[x], x]然后按下回车键，Mathematica将会给出微分方程的解。

除了求解方程外，Mathematica还可以进行方程组的求解。

假设我们有一个方程组：x + y = 1x - y = 2我们可以在Mathematica中输入以下内容：Solve[{x + y == 1, x - y == 2}, {x, y}]然后按下回车键，Mathematica将会给出方程组的解。

Mathematica还可以进行方程的变量替换、化简和展开等操作。

Mathematica的内部常数Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率π E (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数e I (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或∞(从基本输入工具栏输入 , 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三角函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为False Random[Integer，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Floor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Round[x]表示最接近x的整数IntegerPart[x]表示实数x的整数部分FractionalPart[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num//N把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字）N[num，n]把精确数num化成具有n个有效数字的浮点数NumberForm[num，n]以n个有效数字表示numRationalize[float]将浮点数float转换成与其相等的分数Rationalize[float，dx]将浮点数float转换成与其近似相等的分数，误差小于dx最大、最小函数Max[a，b，c，．．．]求最大数Min[a，b，c，．．．]求最小数符号函数Sign[x]Mathematica中的数学运算符a+b 加法a-b减法a*b (可用空格键代替*)乘法a/b (输入方法为：“ Ctrl ” + “ / ” ) 除法a^b (输入方法为：“ Ctrl ” + “ ^ ” )乘方-a 负号Mathematica的关系运算符==等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于!=不等于注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。