2018-2019年高考数学一轮复习精品试题第03讲 简单的逻辑联结词

第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修1-1P13习题3改编)若命题p ：2是质数；q ：不等式x 2-2x-3<0的解集为(-1，3)，则命题“p 且q ”是 命题.(填“真”或“假”) 【答案】真【解析】因为2是质数，故p 为真命题；q 也是真命题，故p 且q 为真命题.2.(选修1-1P15例1改编)命题“∀x ∈R ，x 2+x+1>0”的否定是 .【答案】∃x ∈R ，x 2+x+1≤03.(选修1-1P16习题4改编)命题“∃x ∈N ，x 2≤0”的否定是 .【答案】∀x ∈N ，x 2>04.(选修1-1P21本章测试6改编)命题“对于函数f (x )=x 2+a x (a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为 命题.(填“真”或“假”) 【答案】真【解析】当a=0时，函数是偶函数，故为真命题.5.(选修1-1P21本章测试10改编)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x+cos x>m 是真命题，那么实数m 的取值范围是 . 【答案】(-∞，【解析】∀x ∈R ，sin x+cosπ4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈[，所以1.全称量词我们把表示全体的量词称为全称量词.对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫作全称命题.如“对任意实数x∈M，都有p(x)成立”简记成“∀x∈M，p(x)”.2.存在量词我们把表示部分的量词称为存在量词.对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有∃”表示.含有存在量词的命题，叫作存在性命题.“存在实数x0∈M，使的”等词，用符号“p(x0)成立”简记成“∃x0∈M，p(x0)”.3.简单逻辑联结词有或(符号为∨)，且(符号为∧)，非(符号为¬).4.命题的否定：“∀x∈M，p(x)”与“∃x∈M，¬p(x)”互为否定.5.复合命题的真假：对“p且q”而言，当p，q均为真时，其为真；当p，q中有一个为假时，其为假.对“p或q”而言，当p，q均为假时，其为假；当p，q中有一个为真时，其为真.当p为真时，¬p为假，当p为假时，¬p为真.6.常见词语的否定如下表所示：【要点导学】要点导学各个击破判断复合命题的真假例1已知命题p：存在x∈R，使tan x=1；命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列复合命题：①p∧q；②p∧¬q；③¬p∨q；④¬p∨¬q.其中真命题是.(填序号)【思维引导】先判断命题p，q的真假，然后对用逻辑联结词构成的复合命题进行真假判断.【答案】①③【解析】命题p：存在x∈R，使tan x=1是真命题，命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题.①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题.故答案为①③.【精要点评】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可.变式写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题，并指出所构成的这些新命题的真假.(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；(3)p：方程x2+x-1=0的两个实数根的符号相同，q：方程x2+x-1=0的两个实数根的绝对值相等.【思维引导】逐个判断每个命题的真假，根据p，q的真假及真值表确定新命题的真假.【解答】(1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2整除或能被3整除，真命题；p且q：连续的三个整数的乘积能被2整除且能被3整除，真命题；非p ：连续的三个整数的乘积不能被2整除，假命题. (2)p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p ：矩形的对角线不相等，假命题.(3)p 或q ：方程x 2+x-1=0的两个实数根的符号相同或绝对值相等，假命题；p 且q ：方程x 2+x-1=0的两个实数根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p ：方程x 2+x-1=0的两个实数根的符号不相同，真命题.【精要点评】常用逻辑用语中的“或”、“且”、“非”与日常生活用语中的意义不尽相同，主要体会“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”这三个新命题的构成方法.含有一个量词的命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p ：∀x ∈R ，x 2-x+14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：有的实数没有平方根；(4)s ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (5)t ：菱形的对角线互相垂直平分.【思维引导】 本题考查命题的否定形式，要分析其是全称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式来判断其真假.【解答】(1)¬p ：∃x ∈R ，x 2-x+14<0，假命题.(2)¬q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题. (3)¬r ：所有的实数都有平方根，假命题.(4)¬s ：存在一个末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题. (5)¬t ：存在一个菱形，它的对角线互相不垂直或互相不平分，假命题.【精要点评】在含有一个量词的命题的否定中，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.判断一个命题是全称命题还是存在性命题时，要抓住其本质含义是全部还是部分.对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.变式已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0，则命题p的否定是；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是.【思维引导】存在性命题的否定是全称命题，要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立→利用“三个二次”之间的联系求解.【答案】∀x∈R，x2+2ax+a>0(0，1)【解析】由存在性命题的否定是全称命题，知¬p：∀x∈R，x2+2ax+a>0.因为命题p为假命题，所以¬p是真命题，即关于x的不等式x2+2ax+a>0恒成立，从而Δ=4a2-4a<0，解得0<a<1.【精要点评】要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题，还是存在性命题，注意命题的否定与否命题的区别.对于真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定.与逻辑有关的参数范围问题例3已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x0∈R，2x+2ax0+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是.【思维引导】由命题p是真命题，则命题是一个恒成立问题，可以得出a≤1，由命题q为真命题，则说明方程有解，从而可得出a≥1或a≤-2.再由真值表分析可得，“p且q”是真命题，即说明命题q和命题p都是真命题，由此可得a的取值范围.【答案】{a|a≤-2或a=1}【解析】由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题.若p为真命题，则a≤x2恒成立，因为x∈[1，2]，所以a≤1.若q为真命题，即x2+2ax+2-a=0有实数根，则Δ=4a2-4(2-a)≥0，即a≥1或a≤-2.综上，实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.【精要点评】复合命题的真假：对p 且q 而言，当q ，p 均为真时，其为真；当p ，q 中有一个为假时，其为假.对p 或q 而言，当p ，q 均为假时，其为假；当p ，q 中有一个为真时，其为真.利用真值表，可以先行对命题进行判断，然后对多个命题进行判断.变式1 已知命题p ：方程2x 2+ax-a 2=0在[-1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式20x +2ax 0+2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围.【解答】因为命题“p ∨q ”是假命题，所以p ，q 均为假命题. 当p 为真命题时，由2x 2+ax-a 2=0，得(2x-a )(x+a )=0，所以x=2a或x=-a ， 所以2a≤1或|-a|≤1，所以|a|≤2.所以当p 为假命题时，a>2或a<-2.当q 为真命题时，问题转化为抛物线y=x 2+2ax+2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ=4a 2-8a=0，所以a=0或a=2.所以当命题q 为假命题时，a ≠0且a ≠2.综上，实数a 的取值范围为(-∞，-2)∪(2，+∞).变式2 (2014·西安模拟)给定两个命题，命题p ：对任意实数x ，都有ax 2>-ax-1恒成立，命题q ：关于x 的方程 x 2-x+a=0有实数根.若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.【思维引导】若p 为真命题，求出参数a 的取值范围；若q 为真命题，求出参数a 的取值范围.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，得p ，q 中有且仅有一个为真命题，从而可列出关于a 的不等式组，即可得a 的取值范围.【解答】若p 为真命题，则a=0或20-40a a a >⎧⎨<⎩，，即0≤a<4；若q 为真命题，则(-1)2-4a ≥0，即a ≤14.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p，q中有且仅有一个为真命题.若p真q假，则14<a<4；若p假q真，则a<0.综上，实数a的取值范围为(-∞，0)∪144⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【精要点评】解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算.1.(2014·湖南卷)已知命题p：若x>y，则-x<-y，命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题为.(填序号)【答案】②③【解析】依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题.由真值表可知p∧q为假，p∨q为真，p∧(¬q)为真，(¬p)∨q为假.2.(2015·全国卷)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为.【答案】∀n∈N，n2≤2n【解析】由存在性命题的否定知，命题p的否定是“∀n∈N，n2≤2n”.3.已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是.【答案】[e，4]【解析】因为命题“p∧q”是真命题，所以p，q同为真.因为对任意x∈[0，1]，a≥e x，所以a≥e.由“∃x∈R，x2+4x+a=0”，可得判别式Δ=16-4a≥0，即a≤4.综上，e≤a≤4.4.(2015·山东卷)若“∀x∈π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为.【答案】1【解析】若“∀x∈π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，tan x≤m”是真命题，则m大于或等于函数y=tan x在π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.因为函数y=tan x在π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，所以函数y=tan x在π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1，所以m≥1，即实数m的最小值为1.【融会贯通】融会贯通能力提升已知命题p：∀x∈(0，+∞)，12x⎛⎫⎪⎝⎭+m-1<0，命题q：∃x∈(0，+∞)，mx2+4x-1=0.若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围.【思维引导】【规范解答】命题p是真命题⇔12x⎛⎫⎪⎝⎭+m-1<0对x>0恒成立⇔m-1<-12x⎛⎫⎪⎝⎭对x>0恒成立.………………………………………………………………………………………………2分当x>0时，0<12x⎛⎫⎪⎝⎭<1，从而-1<-12x⎛⎫⎪⎝⎭<0，所以m-1≤-1，即m≤0 (6)分命题q是真命题⇔关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.因为x>0，由mx 2+4x-1=0，得m=21x -4x=21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-4∈[-4，+∞).因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 都是真命题. 所以m 的取值范围是[-4，0].……………………………………14分【精要点评】与不等式有关的全称命题或存在性命题常与函数的最值有关.如“对任意的x ∈R ，f (x )>a 恒成立”通常的处理方法为：(1)构造函数g (x )=f (x )-a ，∀x ∈R ，f (x )>a ⇔g (x )min >0；(2)分离参数法，∀x ∈R ，f (x )>a ⇔t<h (x )恒成立，只要t<h (x )min 即可.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第5~6页.【检测与评估】第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、 填空题1.(2015·徐州模考)若命题p ：∀x ∈R ，2x 2-1>0，则命题p 的否定是 .2.若条件p ：|x +1|≤4，条件q ：2<x <3，则¬p 是¬q 的 条件.3.(2014·金陵中学)已知命题p ：关于x 的方程x 2-ax +4=0有实根；命题q ：关于x 的函数y =2x 2+ax +4在[3，+∞)上是增函数.若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围是 .4.已知命题p：3-2-1xx≥0，q：2x2-5x+3>0，那么¬p是q的条件.5.(2015·苏州模考)已知命题p：关于x的函数y=x2-3ax+4在[1，+∞)上是增函数，命题q：关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数，若p且q为真命题，则实数a的取值范围是.6.若对任意的x0<a，都满足2x-2x0-3>0，则实数a的最大值为.7.已知命题p：“∃x∈R，2ax2+ax-38>0”，若命题p是假命题，则实数a的取值范围为.8.已知下列结论：①若命题p：∃x∈R，tan x=3，命题q：∀x∈R，x2-x+1>0，则命题“p∧¬q”是假命题；②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，那么l1⊥l2的充要条件是ab=-3；③命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”.其中正确的结论为.(填序号)二、解答题9.已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；命题q：关于x的不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.10.已知命题p：函数f(x)=x3+ax+5在区间(-2，1)上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求实数a的取值范围.11.已知命题p：(x+1)(x-5)≤0，q：1-m≤x≤1+m(m>0).(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·宜宾一诊)给出下列三个命题：①命题p：∃x∈R，使得x2+x-1<0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x-1≥0；②“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件；③若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题.其中正确命题的个数为.13.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意的a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域，数集F={a+a，b∈Q}也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题是.(填序号)【检测与评估答案】第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.∃x∈R，2x2-1≤02.充分不必要【解析】¬p：|x+1|>4⇒x<-5或x>3，¬q：x≤2或x≥3，所以¬p⇒¬q，但¬q¬p，故¬p是¬q的充分不必要条件.3.(-∞，-12)∪(-4，4) 【解析】若p 真，则Δ=a 2-16≥0，即a ≤-4或a ≥4；若q 真，则-4a≤3，即a ≥-12.由“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，知命题p 和q 一真一假.若p 真q 假，则a<-12；若p 假q 真，则-4<a<4，故实数a 的取值范围是(-∞，-12)∪(-4，4).4. 必要不充分 【解析】¬p ：x ≤1或x>32，q ：x<1或x>32，所以¬p 是q 的必要不充分条件.5.1223⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】命题p ：关于x 的函数y=x 2-3ax+4在[1，+∞)上是增函数，即32a ≤1，a ≤23.命题q ：关于x 的函数y=(2a-1)x 在R 上为减函数，即 0<2a-1<1，12<a<1.若p 且q 为真命题，则有a ≤23且12<a<1，所以12<a ≤23，即实数a 的取值范围是1223⎛⎤ ⎥⎝⎦，.6. -1 【解析】由20x -2x 0-3>0，得x 0>3或x 0<-1.又对任意的x 0<a ，不等式20x -2x 0-3>0恒成立，故实数a 的最大值为-1.7.[-3，0] 【解析】因为命题p ：“∃x ∈R ，2ax 2+ax-38>0”为假命题，所以对于任意的x ，都有2ax 2+ax-38≤0，所以a=0显然成立.当a<0时，则Δ=a 2+3a ≤0，所以-3≤a<0.综上，实数a 的取值范围是[-3，0].8. ①③ 【解析】①命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以“p ∧¬q ”为假命题，故①正确；②当b=a=0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确.所以正确结论的序号为①③.9.若p 为真命题，则有2-40-0m m ⎧∆=>⎨<⎩，，所以m>2.若q为真命题，则有Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0，所以1<m<3.由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知命题p与q一真一假.当p真q假时，由213mm m>⎧⎨≤≥⎩，或，得m≥3；当p假q真时，由213mm≤⎧⎨<<⎩，，得1<m≤2.综上，m的取值范围是(1，2]∪[3，+∞).10.因为命题p的否定是一个真命题，所以命题p是假命题，即函数f(x)=x3+ax+5在区间(-2，1)上单调. 因为f'(x)=3x2+a，当a≥0时，f'(x)≥0，所以f(x)在(-2，1)上单调递增，满足题意；当a<0时，令f'(x)=3x2+a=0，解得由题意知∉(-2，1)，所以1-2≥⎪≤⎪⎩，，即-3-12aa≤⎧⎨≤⎩，，联立a<0，得a≤-12.综上，a的取值范围为(-∞，-12]∪(0，+∞).11.p：-1≤x≤5.(1) 因为p是q的充分条件，所以[-1，5]是[1-m，1+m]的子集，所以1--115mmm>⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，，，得m≥4，所以实数m的取值范围为[4，+∞).(2) 当m=5时，q：-4≤x≤6.依题意知p与q一真一假.当p真q假时，由-15-46xx x≤≤⎧⎨⎩，或，得x∈∅.当p假q真时，由-15-46x xx⎧⎨≤≤⎩或，，得-4≤x<-1或5<x≤6.所以实数x的取值范围为[-4，-1)∪(5，6].12. 2【解析】若命题p：∃x∈R，使得x2+x-1<0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x-1≥0，故①正确；“x2-4x-5>0”⇔“x>5或x<-1”，故“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件，故②正确；若“p∨q”为真命题，则p，q中至少存在一个真命题，若此时两个命题一真一假，则“p∧q”为假命题，故③错误.故正确命题的个数为2.13.③④【解析】要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如①对除法如12∉Z不满足，所以排除；对②，当有理数集Q中多一个元素i(i是虚数单位)，则会出现1+i不属于该集合，所以它也不是一个数域；③④成立.。

考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1、已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a≥0”为真命题，则实数a 的取值X 围是____．【答案】[－8，＋∞)【解析】原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值X 围是a<－8的补集，即a≥－8，故a 的取值X 围是[－8，＋∞)．2、若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值X 围是________．【答案】[－22，22]【解析】因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.3、已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m 的取值X 围为_______.【答案】[1，2)【解析】命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞m ，解得：m ＜1；命题q ：指数函数f （x ）=（3-m ）x 是增函数，则3-m ＞1，解得：m ＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p ，q 一真一假，p 真q 假时：无解， p 假q 真时： ，解得：1≤m＜2， 故答案为：[1，2）．4、现有下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”；②若集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则A ∩(∁R B )＝A ；③函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝k π＋π2(k ∈Z)； ④若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则b 与a －b 的夹角为60°.其中为真命题的是________．【答案】②③【解析】命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B ＝(－1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝A ；命题③真，若φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则f (x )＝sin(ωx ＋k π＋π2)＝±cos ωx 为偶数；命题④假，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以由三角形法则可得|a |， |b |的夹角为60°，b 与(a －b )的夹角为120°.所以填写答案为②③.5、已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值X 围是________． 【答案】[－1,2]【解析】依题意，cos 2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上恒成立，即cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值X 围是[－1,2]．6、已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题： ①(綈p 1)∧(綈p 2)；②p 1∨(綈p 2)；③(綈p 1)∧p 2；④p 1∧p 2.其中为真命题的是________(填序号)．【答案】③【解析】∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题． 7、设命题p ：函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，某某数a 的取值X 围． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 【解析】因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52； 若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52， 所以52≤a ≤4. 综上所述，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 8、已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p ：若α∥β，n ⊂α，m ⊂β，则m ∥n ；命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨綈q ；④綈p ∧q .【答案】①④【解析】∵命题p 是假命题，命题q 是真命题．∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨綈q 是假命题，綈p ∧q 是真命题．9、写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x 0∈R ，x 20－4＝0；(2)∀T ＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，∃A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .【解析】它们的否定及其真假分别为：(1)∀x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，∀A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．10、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，某某数a 的取值X 围．【答案】1≤a <2，或a ≤－2.【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． (1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所某某数a 的取值X 围为1≤a <2，或a ≤－2.11、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值X 围．【答案】0<a ≤12或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值X 围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a .不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值X 围是0<a ≤12或a ≥1. 12、已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，某某数m 的取值X 围．【答案】{m |m <12或m ＝32} 【解析】若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3，所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32， 所以当p 为真时，12≤m ≤32； 若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立，所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x成立． 设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ， 易知g (x )在区间[1，2]上是增函数，所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32， 所以当q 为真时，m <32. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12. 综上所述，m 的取值X 围是{m |m <12或m ＝32}. 13、已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值X 围是___________． 【答案】【解析】命题p ：函数f （x ）=2ax 2﹣x ﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f （0）f （1）=﹣（2a ﹣2）＜0，解得a ＞1；命题q ：函数y=x 2﹣a 在（0，+∞）上是减函数，2﹣a ＜0，解得a ＞2．∴￢q ：a ∈（﹣∞，2]．∵p 且￢q 为真命题，∴p 与￢q 都为真命题，∴ 解得1＜a≤2．则实数a 的取值X 围是（1，2]．故答案为：（1，2]．14、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，某某数a 的取值X 围．【答案】(0，1]∪[4，＋∞).【解析】因为函数y ＝a x在R 上单调递增，所以命题p ：a >1.因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4，所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1. 综上所述，a 的取值X 围为(0，1]∪[4，＋∞).15、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，某某数a 的取值X 围．【答案】1≤a <2，或a ≤－2【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所某某数a 的取值X 围为1≤a <2，或a ≤－2.16、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值X 围．【答案】0<a ≤12或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值X 围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a .不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值X 围是0<a ≤12或a ≥1. 17、已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，某某数a 的取值X 围．【答案】(－∞，0)∪[1，4)【解析】命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4， 所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4. 综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，0)∪[1，4)．18、设：实数x 满足，：实数x 满足. （1）若，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围； （2）若且是的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）；（2）【解析】 (1)由得， 当时,，即为真时，. 由,得,得，即q 为真时，. 若为真,则真且真,所以实数的取值X 围是.(2)由得,，. 由,得,得. 设,,若p 是q 的充分不必要条件，则是的真子集，故，所以实数的取值X 围为.19、已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线. (1) 若命题p 为真命题，求k 的取值X 围；(2) 若命题“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求k 的取值X 围．【答案】(1) (1，＋∞) (2) (－∞，1]∪[3，＋∞)【解析】(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k－1，解得k>1，即k 的取值X 围是(1，＋∞)．(2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3.因为“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，k≥3， 解得k≥3； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k≤1，k<3，解得k≤1. 综上所述，k 的取值X 围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求 1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，A级要求；2.全称量词与存在量词的意义，A级要求；3.对含有一个量词的命题否定，A级要求．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)简单逻辑联结词有或(符号为∨)、且(符号为∧)、非(符号为⌝)．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q P或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)存在性命题：含有存在量词的命题．存在性命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，⌝p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，⌝p(x)诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题．()(2)命题⌝(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是存在性命题．( ) (4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，⌝p (x )的真假性相反．( )2．已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题⌝p ，⌝q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________．3．(2015·全国Ⅰ卷改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则⌝p 为________． 4．命题“对于函数f (x )＝x 2＋a x (a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________命题(填“真”或“假”)．5．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例1】 设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题： ①p ∨q ；②p ∧q ；③(⌝p )∧(⌝q )；④p ∧(⌝q )． 其中真命题是________(填序号)．规律方法 (1)“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p ，q 的真假；③确定“p ∨q ”“p ∧q ”“⌝p ”形式命题的真假． (2)p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．【训练1】 (2017·南通调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)．在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④⌝q 中，真命题有________(填序号)．考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】 (1)(2016·扬州中学质检)已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则⌝p 是________________．(2)(2014·全国Ⅰ卷改编)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≤－1. 其中真命题是________．规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论． (2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】 (2017·安徽皖江名校联考改编)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(⌝p )∨(⌝q )，p ∧q ，(⌝p )∧q ，p ∨(⌝q )中，正确命题的个数为________．考点三 由命题的真假求参数的取值范围 【例3】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．规律方法 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： ①根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；②求出每个命题是真命题时参数的取值范围；③根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．(2)全称命题可转化为恒成立问题．【训练3】(2017·衡水中学月考)设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若⌝q是⌝p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与⌝p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“⌝p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真． 2．几点注意：(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．基础巩固题组(建议用时：20分钟)1．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则⌝p 为________．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列结论：①p 为真；②⌝p 为假；③p ∧q 为假；④p ∧q 为真． 其中结论正确的有________(填序号)．3．命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．4．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．5．2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为________．6．(2017·泰州调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题：①p ∧(⌝q )；②(⌝p )∧q ；③(⌝p )∧(⌝q )；④p ∧q . 其中真命题有________(填序号)． 7．下列命题： ①∃x 0∈R ，e x 0≤0； ②∀x ∈R,2x >x 2；③a＋b＝0的充要条件是ab＝－1；④“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件．其中真命题有________(填序号)．8．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若⌝p是真命题，则实数a的取值范围是________．9．(2017·衡阳模拟改编)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1>0.则下面结论：①p∧q是真命题；②p∧q是假命题；③⌝p是真命题；④⌝q是真命题．其中正确的结论是________(填序号)．10．(2017·苏北四市联考)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x ∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．11．(2017·南通、扬州、泰州调研)给出下列四个命题：①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；③命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则⌝p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0；④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．其中为真命题的是________(填序号)．12．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．能力提升题组(建议用时：10分钟)13．(2016·浙江卷改编)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是____________________．14．(2017·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20＞x30，则下列命题：①(⌝p)∧q；②p∧(⌝q)；③(⌝p)∧(⌝q)；④p∧q，其中真命题是________(填序号)．15．(2016·苏、锡、常、镇四市调研)给出下列三个结论：①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题；②命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1>0”；③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题．其中正确的结论为________(填序号)．16．已知命题p：∃x∈R，e x－mx＝0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(⌝q)为假命题，则实数m的取值范围是________．。

第三讲简单的逻辑联接词全称量词与存在量词
考试说明1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;
2.理解全称量词与存在量词的意义;
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
考情分析
考点
考查方向考例
逻辑联结词含逻辑联结词的命题的真假判断
全称命题
和特称命题
全称命题、特称命题的真假判断2014
全国卷Ⅰ9 命题的否定
含一个量词的命题的否定2015
全国卷Ⅰ3
【重温教材】选修2-1 第14页至第26页
【相关知识点回顾】完成练习册【知识聚焦】
【探究点一】含逻辑联结词的命题及真假：【练习册】006页
【探究点二】全称命题与特称命题：【练习册】007页
【探究点三】根据命题的真假求参数的取值范围：【练习册】007页
1．已知命题，；命题：若，则.下列命题为真命题( )
A． B． C． D．
2.命题“,,使得”的否定形式是 ( )
A. ,,使得
B. ,,使得
C. ,,使得
D. ,,使得。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”简记为∀x ∈M ，p (x )．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p (x 0)．3．含有一个量词的命题的否定1．(选修2－1 P 22例1改编)下列命题是真命题的是( ) A ．所有素数都是奇数 B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数 D ．∀x ∈Z ，1x∉Z[答案] B[解析] 对于A,2是素数，但2不是奇数，A 假；对于B ，∀x ∈R ，总有x 2≥0，则x 2＋1≥0恒成立，B 真；对于C ，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C 假；对于D,1∈Z ，但11＝1∈Z ，D 假，故选B.2．(选修2－1 P 16例3(1)改编)有下列两命题： ①2≥2；②2≥1，则下列正确的为( ) A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假[答案] A[解析] ∵命题“2≥2”由命题p ：2＝2，q ：2＞2用“或”联结后构成的新命题，且p 真q 假，∴p ∨q 为真，即①真，同理②也真，故选A.3．(选修2－1 P 27 A 组T 3(3)改编)命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1＞0 B ．∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0 D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋1≤0 [答案] B[解析] ∵命题∃x 0∈M ，p (x 0)的否定是∀x ∈M ，﹁p (x )，故选B. 4．(选修2－1 P 27 A 组T 3(1)改编)命题p ：∀x ∈N ，x 2＞x 3的否定是( ) A ．∃x 0∈N ，x 20＞x 30 B ．∀x ∈N ，x 2≤x 3C ．∃x 0∈N ，x 20≤x 30 D ．∀x ∈N ，x 2＜x 3[答案] C[解析] ∵命题∀x ∈M ，p (x )的否定是∃x 0∈M ，﹁p (x 0)，故选C.5．(选修2－1 P 18 B 组T (3)(4)改编)命题p ：2＞3，q ：8＋7≠15，则“p ∧q ”的否定是( ) A ．2≤3且8＋7＝15 B ．2≤3或8＋7＝15 C ．2＞3或8＋7≠15 D ．2≤3且8＋7≠15[答案] B[解析] 因为“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”，故选B.6．(选修2－1 P 17例4改编)设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R)的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(﹁q )C ．(﹁p )∨qD ．p ∧(﹁q )[答案] C[解析] 命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题， ∴(﹁p )∨q 为假命题，故选C.7．(选修2－1 P 25例4(1)改编)命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( ) A ．﹁p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0 B ．﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 C ．﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 D ．﹁p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0 [答案] C[解析] 根据特称命题的否定形式﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.8．(选修2－1 P 27A 组T 3(3)改编)已知∀x ∈R ，不等式ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．(0,4]D ．(－4,0)[答案] A[解析] 因为不等式ax 2＋ax ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立，当a ＝0时，不等式1＞0，显然满足对一切x ∈R 恒成立；当a ＞0时，应有Δ＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4.综上，0≤a ＜4.即实数a 的取值范围是[0,4)．9．(选修2－1 P 23练习T 2(1)改编)命题∀x ∈R ，|x |<0的否定是________． [答案] ∃x 0∈R ，|x 0|≥0[解析] 命题∀x ∈R ，|x |<0的否定为∃x 0∈R ，|x 0|≥0. 10．(选修2－1 P 23练习T 2改编)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(﹁q )”是假命题；③命题“(﹁p )∨q ”是真命题；④命题“(﹁p )∨(﹁q )”是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．[答案] ②③[解析] 因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x 0＝52＞1， 所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＜0， 所以q 为真．因而②③正确．11．(选修2－1 P 27 B 组T (2)改编)已知：a ＞0且a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．[解析] p 真⇔0＜a ＜1，p 假⇔a ＞1；q 真⇔a ＞52或0＜a ＜12，q 假⇔12≤a ＜1或1＜a ≤52；∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 中一个真一个假，即p ，q 有且仅有一个是真的． 若p 真q 假，则12≤a ＜1，若p 假q 真，则a ＞52，综上，a 的取值范围是15122a a a ⎧⎫≤<>⎨⎬⎩⎭或.。

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课时分层作业三简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词一、选择题 ( 每题 5 分, 共 35 分)1.已知命题 p: 对随意 x∈R,总有 |x| ≥0;q:x=1 是方程 x+2=0 的根 . 则以下命题为真命题的是 ()A.p ∧qB. p∧qC. p∧qD.p∧q【分析】选 A. 由题意知命题 p 是真命题 , 命题 q 是假命题 , 故 p 是假命题 , q 是真命题 , 由含有逻辑联络词的命题的真值表可知 p∧ q 是真命题 .2.(2018 ·湖州模拟 ) 命题“ x∈R,x 2-2x+4 ≤0”的否认为()A. ? x∈R,x 2-2x+4 ≥0B. ? x ∈R, -2x+4>000C.? x?R,x2-2x+4≤0D.? x0?R,-2x 0+4>0【分析】选 B. 由于命题“ x∈R,x 2-2x+4≤0”, 因此命题的否认是“? x0∈R,-2x 0+4>0”.00-2>lg x 02>0,则 ()3. 已知命题 p: ? x∈R,x, 命题 q: ? x∈R,xA. 命题 p∨q 是假命题B. 命题p∧q 是真命题C.命题p∧( q) 是真命题D.命题p∨( q) 是假命题【分析】选 C.当 x=12时,x-2>lgx 明显建立, 因此p 真;当 x=0 时,x2=0,因此 q 假, q 真. 由此可知 C正确 .【变式备选】已知命题 p:“x>3”是“x2>9”的充要条件 , 命题 q:“a2>b2”是“ a>b”的充要条件 , 则()A.p ∨q为真B.p ∧q 为真C.p真q 假D.p ∨q 为假【分析】选 D.由 x>3 能够得出 x2>9, 反之不建立 , 故命题 p 是假命题 ; 由 a2>b2可得 |a|>|b|, 但 a 不必定大于 b, 反之也不必定建立 , 故命题 q 是假命题 . 因此 p∨q 为假 .4.(2018 ·临川模拟 ) 命题“存在 x0∈R,使+ax0-4a<0 为假命题”是命题“ -16 ≤a≤0”的()A.充要条件B.必需不充足条件C.充足不用要条件D.既不充足也不用要条件【分析】选 A. 依题意 , 知 x2+ax-4a ≥0 恒建立 , 则=a2 +16a≤0, 解得-16 ≤a≤0.5. 若命题“? x ∈R,+(a-1)x0+1<0”是真命题 , 则实数 a 的取值范围0是 ()B.(-1,3)C.(- ∞,-1] ∪[3,+ ∞)D.(- ∞,-1) ∪( 3,+ ∞)【分析】选 D. 因为命题“ ? x0∈R,+(a-1)x0+1<0”等价于+(a-1)x a2-2a-3>0,0+1=0有两个不等的实根解得 a<-1 或 a>3.,所以=(a -1)2-4>0,即6. 以下命题中, 真命题是()A. ? x0∈R,sin 2+cos2=B. ? x∈(0, π),sin x>cos xC.? x∈(0,+ ∞),x 2+1>xD.? x0∈R,+x0=-1【分析】选 C.对于 A 选项 : ? x∈R,sin 2 +cos2 =1, 故 A 为假命题 ; 对于 B选项 : 当 x=时,sin x= ,cos x= ,sin x<cos x, 故 B 为假命题 ;对于 C 选项 :x 2+1-x=+ >0 恒建立 ,C 为真命题 ; 对于 D 选项:x 2+x+1=为假命题 .+ >0恒建立 , 不存在x0∈R,使+x0=-1建立 ,故 D7.(2018 ·枣庄模拟 ) 命题 p:x ∈R,ax 2+ax+1≥0, 若 p 是真命题 , 则实数a 的取值范围是()B.[0,4]C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞)【分析】选D.命题p 的否认是p: ? x0∈R,a+ax0+1<0 建立 ,其为真命题 .当 a=0 时,1<0,不等式不建立;当 a>0 时,要使不等式建立, 须a2-4a>0,解得a>4, 或a<0, 即a>4;当 a<0 时,不等式必定建立, 即a<0.综上 ,a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞ ).二、填空题( 每题 5 分,共15 分)8.命题 p 的否认是“对全部正数 x,>x+1” , 则命题 p 可写为__________________________.【分析】由于p 是p 的否认 ,因此只要将全称命题变成特称命题, 再对结论否认即可.答案: ?∈(0,+ ∞),x≤x +19.(2018·长沙模拟 ) 若命题“ ?x0∈R, +mx0+2m-3<0”为假命题 , 则实数 m的取值范围是 ________.【分析】由题意可知 , 命题“ ?x∈R,x2+mx+2m-3≥ 0”为真命题 , 故22=m-4(2m-3)=m -8m+12≤0, 解得 2≤m≤6.答案 : [2,6]10. 若命题p: 对于x 的不等式ax+b>0 的解集是, 命题q: 对于x 的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a<x<b},则在命题“ p∧q”“p∨q”“p”“q”中 , 是真命题的有________.【分析】依题意可知命题p 和 q 都是假命题 , 因此“ p∧q”为假、“p ∨q”为假、“ p”为真、“ q”为真 .答案 : p, q1.(5分)(2017·山东高考) 已知命题p: ? x>0,ln(x+1)>0;命题q: 若a>b, 则a2>b2, 以下命题为真命题的是()A.p ∧qB.p∧qC. p∧qD. p∧q【分析】选 B. 由于 x>0, 因此 x+1>1, 因此 ln(x+1)>0,则命题p为真命题; 由于 1>-2, 但 12<(-2) 2, 因此命题 q 是假命题 , 则 q 是真命题 , 因此p∧ q 是真命题 .【变式备选】已知命题 p: 函数 y=2-a x+1(a>0 且 a≠1) 恒过 (1,2) 点; 命题 q: 若函数 f(x-1) 为偶函数 , 则 f(x) 的图象对于直线 x=1 对称 , 则以下命题为真命题的是 ()A.p ∧qB.( p) ∧( q)C.( p) ∧qD.p∧( q)【分析】选B. 当x=1时,y=2-a2≠2,因此命题p 为假 ,故p 为真 ;由函数f(x-1)是偶函数知, 函数 y=f(x-1)的图象对于y 轴对称 ,由函数图象的平移法例知 ,y=f(x)的图象对于直线x=-1对称,因此命题q为假,故 q 为真 . 因此 ( p) ∧( q) 为真 .2.(5分)(2018 ·重庆模拟 ) 已知命题 p1: 函数 y=2x-2 -x在 R 上为增函数 ;p 2: 函数 y=2x+2-x在 R 上为减函数 . 则在命题 q1:p 1∨ p2,q 2:p 1∧p ,q3:(p ) ∨p和 q :p∧(p ) 中, 真命题是 ()212412 A.q 1,q 3 B.q2,q 3C.q ,q4D.q,q412x-xx1【分析】选 C.函数 y=2 -2=2 +是两个增函数的和 , 因此 p 是真命题 ; 由于函数 y=2x+2-x是偶函数 , 因此它不行能是 R 上的减函数 ,因此 p2是假命题 . 由此可知 q1真,q 2假,q 3假,q 4真.【一题多解】此题还能够采纳以下方法【分析】选 C.函数 y=2x-2 -x是一个增函数与一个减函数的差, 故函数y=2x-2 -x在 R 上为增函数 ,p 1是真命题 ; 而对 p2:y ′=2x ln 2-ln 2=ln2×, 当 x∈[0,+ ∞)时,2 x≥, 又 ln 2>0, 因此 y′≥0, 函数单一递加 ; 同理适当 x∈(- ∞,0) 时, 函数单一递减 , 故 p2是假命题 .由此可知 ,q 1真,q 2假,q 3假,q 4真.3.(5命题 ,分 )(2018 ·枣庄模拟则实数 m的最大值为) 若“ ? x∈________.,m≤tan x+1”为真【分析】“? x∈,m≤tan x+1 ”为真命题 , 可得 -1 ≤ tan x ≤1, 因此 0≤tan x+1 ≤2, 因此实数 m的最大值为 0.答案: 04.(12 分) 设 p: 实数 x 知足 x2-5ax+4a 2<0( 此中 a>0),q: 实数 x 知足 2<x ≤5.(1)若 a=1, 且 p∧q 为真 , 务实数 x 的取值范围 .(2)若 q 是 p 的必需不充足条件 , 务实数 a 的取值范围 .【分析】 (1) 当 a=1 时,x 2-5x+4<0, 解得 1<x<4,即 p 为真时 , 实数 x 的取值范围是1<x<4.若 p∧q 为真 , 则 p 真且 q 真,因此实数 x 的取值范围是 (2,4).(2)q 是 p 的必需不充足条件 , 即 p 是 q 的必需不充足条件 , 设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B A,由 x2-5ax+4a 2<0 得(x-4a)(x-a)<0,由于 a>0, 因此 A=(a,4a),又 B=(2,5], 则 a≤2 且 4a>5,解得 <a≤2.因此实数 a 的取值范围为.5.(13 分) 已知 c>0, 且 c≠1, 设 p: 函数 y=log c x 在 R上单一递减 ;q: 函数 f(x)=x 2-2cx+1 在上为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真 , 务实数 c 的取值范围 .【分析】由于函数 y=log c x 在 R上单一递减 , 因此 0<c<1,即 p:0<c<1. 由于 c>0 且 c≠1, 因此 p:c>1.又由于 f(x)=x 2-2cx+1 在上为增函数,因此c≤. 即 q:0<c≤, 由于 c>0 且 c≠1, 因此 q:c> 且 c≠1. 又由于“ p∨q”为真 , “p ∧q”为假 , 因此 p 与 q 一真一假 . ①当 p 真,q 假时 ,{c|0<c<1}∩=.②当 p 假,q 真时 ,{c|c>1}∩=?.综上所述 , 实数 c 的取值范围是.封闭 Word 文档返回原板块。

课时作业（三）第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词时间/ 30分钟分值/ 80分■基础热身1. [2017 •武汉二调]命题“V f(-x) =-f{x)”的否定是 ( )A.3 Ab G /( TXo) --/(-Yo)B.B.V /(--¥)"/(-¥)C. 3 及丘厕f(no)H・fGb)2•命题*W[O, -8). (log⑵《1,则( )A.p是假命题，xoE [0,产8), (iogs2)xo>lB.p 是假命题，p：V [0, *°°), (log s2)*^lC.p 是頁•命题，一,Y O G [0, (logs2)r°>lD.p是真命题，一1xW [0,+8), (iogs2)"213.下列命题中的假命题是()A.3 -%ER, lg xdB. 3 Ab ER, tan ^o-=OC.V xGR, 2x>0D.V4.已知命题p：:3 XoGR,^垃*1<O,^：V JvG[l,2],y-l$0,贝lj ( pj Ap：是 _______ 命题(填“真”或“假”).5._________________________________________________________________ 已知命题pT .YoGR,sin加刀,若是真命题,则实数a的取值范围为 __________________________ .■能力提升6.[2018 •江西红色七校一联]下列命题是真命题的是()_ . 3A.3 -VbER, sin 為尢os 艮岂而求萦-百度文LB.“若a>l,则的否命题是“若aWl,则C.已知a,b为实数，则a+b=Q的充要条件是営=TD.命题X W Y'WXT的否定是T ;%GR,菇审#1<0”f?x x < 07.[2017 •九江一模]已知函数f3弔二汽命题P：存在曲(-8,0),方程f3R有实数解，命题G当也三时,/t/(-1)1-0,则下列命题为真命题的是()4扎p/\ q B. ( —1 q) V qC. p/\ ( ~1 <7)D. ( p) A ( q)8.命题a GR. sin( n -«) =cos "，命题<?：V zsX),双曲线二-*=1的离心率为“，则下而m z nr结论正确的是()A.p是假命题B.「q是真命题C. p!\q是假命题D. pVq是真命题9.[2017 •福建龙岩质检]下列说法正确的是()扎函数y=x-^的最小值为2B.命题"V 的否定是"H xGR,C.“Q2”是“虽”的充要条件D.V xG(0,|), (|)X<lo8U 2X<3X10.[2017枪州一中月考]已知命题R方程X T Q-IR有两个实数根;命题q：函数的最小值为4.给出下列命题：①p/\ q；®rN q- ®pN ( 一1 q)；④(-> p) V (「q).其中真命题的个数是()扎 1 B. 2 C. 3 D. 411.已知xW[l,2],J-a20, q：m /ER,坯弦M。

第03节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．1．【2018湖南张家界三模】命题：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由题意可知，命题为全称命题，其否定须由全称命题来完成，并否定其结果，所以命题的否定是，．故选C．2．【2018安徽安庆一中模拟】“为假”是“为假”的( )条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【名师点睛】利用定义判断充分、必要条件时，可直接判断命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假即可．在判断时，首先要确定条件是什么、结论是什么．3．【2018广东珠海模拟】命题“，使得”的否定是（）A．，都有 B．，都有C．，都有 D．，都有【答案】D【解析】由特称命题的否定得命题“，使得”的否定是，都有．故选D．4．【2018湖南岳阳一中一模】已知命题：若，则，命题；下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题意，得到命题为假命题，命题为真命题，再利用真值表即可得到复合命题的真假．详解：由题意，命题“若，则”为假命题，则为真命题；又当，则，所以，所以命题为真命题，则为假命题，所以根据复合命题的真值表，可得为真命题，故选C．【名师点睛】本题考查了命题的真假判定，其中解答中正确判定命题为假命题，命题为真命题，再利用复合命题的真值表进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．5．【2018辽宁大连二模】下面四个命题：：命题“”的否定是“”；：向量，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题．其中为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解．详解：对于：命题“”的否定是“”，所以是假命题；对于等价于m-n=0即m=n，所以向量，则是的充分且必要条件，所以是真命题；对于：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，所以是真命题；对于：若“”是假命题，则p或q是假命题，所以命题是假命题．故选B【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力．6．【2018河南省六二模】下列命题中错误的是A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题B．命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题C．命题“若x2-x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2-x=0，则x≠0且x≠1”D．命题p：x>0，sinx>2x-1，则p为x>0，sinx≤2x-1【答案】C【名师点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，在解题的过程中，需要对各项逐个分析，需要对复合命题的真值表清楚，还有就是对原命题和你否命题等价这个结论的熟练应用，再者就是对含有一个量词的命题的否定要明确其形式．7．【2018云南曲靖一中模拟】已知：函数为增函数，，，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：先通过指数函数的单调性、不等式恒成立问题化简两个命题对应的数集，再利用数集间的包含关系进行判定．详解：若函数为增函数，则，即，；若，，则，即，；显然，是的充分不必要条件．故选A．【名师点睛】本题考查指数函数的单调性、全称命题、简单的逻辑连接词、充分条件和必要条件等知识，意在考查学生的逻辑推理能力和基本运算能力．8．【2018山东烟台一模】已知函数和，命题：在定义域内部是增函数；函数的零点所在的区间为（0，2），则在命题：中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】分析：首先判断简单命题的真假，再由复合命题的真值表可判断复合命题的真假．详解：是增函数，但是减函数，因此命题是假命题，是增函数，，，∴在上有唯一零点，命题是真命题，因此和是真命题，故选C．【名师点睛】复合命题的真值表：真真真真假9．【2018福建漳州5月模拟】已知命题 R，使得是幂函数，且在上单调递增．命题：“ R，”的否定是“ R，”，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：令，解得，可得是真命题，根据特称命题的定义可判断是假命题，逐一判断各选项中的命题的真假，即可得结果．详解：命题令，解得，则为幂函数，且在上单调递增，因此是真命题，命题“”的否定是“”，因此是假命题四个选项中的命题为真命题的是，其余的为假命题，故选C．【名师点睛】本题主要考查了幂函数的定义与单调性，非、且、或命题的真假，考查了推理能力，属于简单题．10．【2018湖南株洲二模】下列各组命题中，满足“‘’为真、‘’为假、‘’为真”的是( ) A．在定义域内是减函数：偶函数；B．，均有是成立的充分不必要条件；C．的最小值是6；：直线被圆截得的弦长为3；D．抛物线的焦点坐标是过椭圆的左焦点的最短的弦长是【答案】B【解析】分析：分别判断命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．详解：A．在和上分别是减函数，则命题是假命题，是真命题，则是假命题，不满足条件．B．判别式，则，均有成立，即是真命题，是成立的必要不充分条件，即是假命题，则“‘’为真、‘’为假、‘’为真”，故B正确，C．当时，的最小值不是6，则是假命题，圆心道直线的距离d则弦长l ，则是假命题，则 q为假命题，不满足条件．D．抛物线的焦点坐标是，则是真命题，椭圆的左焦点为，当时，，则，则最短的弦长为，即是真命题，则￢q是假命题，不满足条件．故选B．【名师点睛】本题主要考查复合命题真假判断，结合条件分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．综合性较强涉及的知识点较多．11．【2018河北衡水金卷一模】已知命题：“”的否定是“”；命题：“”的一个必要不充分条件是“”，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】C【名师点睛】本题主要考查复合命题真假判断，结合条件分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．此类问题综合性较强涉及的知识点较多．12．【2018山东栖霞模拟】已知命题，，，，若为假命题，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：根据复合函数的真假关系，确定命题p是假命题，q是真命题，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．详解：若p∨(¬q)为假命题，则p，¬q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由得，设则，当x>1时，f′(x)>0，此时函数单调递增，当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数单调递递减，当x<0时，f′(x)<0，此时函数单调递递减，∴当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=e，∴函数f(x)的值域为(−∞，0)∪[e，+∞)，∴若p是假命题，则0⩽m<e；若q为真，①m=0显然成立，m≠0时，则m>0，则△=m2−4m<0，解得：0<m<4，故0⩽m<4．综上，0⩽m<e，故选D．【名师点睛】根据方程有解求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．【2018河北石家庄一模】命题：，的否定为__________． 【答案】【解析】根据特称命题的否定是全称命题得： 命题：，的否定为：．14．【2018山西太原二模】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】【解析】即” ”为真命题，所以，x=1时取等号．所以m>2，填．15．【2018广东中山模拟】设命题；命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范为_____________． 【答案】【解析】命题等价于，解得，另：是的必要而不充分条件等价于是的必要而不充分条件，即可得，解得，故答案为．16．【2018河南平顶山模拟】函数 （ ）， ，对 ， ，使 成立，则 的取值范围是__________． 【答案】【名师点睛】本题考查函数的值域，同时涉及到了“任意”、“存在”等量词的理解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中正确理解“任意”、“存在”等量词，转化为函数的值域与最值之间的关系，列出不等式组是解答的关键．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【2019四川乐山四校模拟】已知设[]22:1,1,24820p x x x m m ∀∈---+-≥成立； 指数函数为增函数，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围．【答案】或．【解析】试题分析：由题意可得：若为真，则；若为真，则，原问题等价于与一真一假，结合计算结果分类讨论可得实数的取值范围是或．试题解析：若为真：对，恒成立，设，配方得，所以在上的最小值为，所以，解得，所以为真时：；若为真：，因为”为真，“”为假，所以与一真一假，当真假时，所以，当假真时，所以，综上所述，实数的取值范围是或．18．【2018江西一模】已知对函数总有意义，函数在上是增函数；若命题“”为真，“”为假，求的取值范围．【答案】或．【解析】试题分析：由题意得当为真时，，解得，当为真时，在上恒成立，即对恒成立，所以，若命题“”为真，“”为假，则分真假，假真两种情况即可得解．试题解析：当为真时，，解得，当为真时，在上恒成立，即对恒成立，所以，当真假：当假真：，综上，或．19．【2018福建四校模拟】设命题实数满足，其中，命题实数满足．（I）若，且为真，求实数的取值范围；（II）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）【解析】分析：（I）当时，．据此可得的取值范围是．（II）由题意可知q是p的充分不必要条件，其中，，且，故．详解：（I）当时，由，得．由，得，所以．由p∧q为真，即p，q均为真命题，因此的取值范围是．（II）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得，，所以，因此且，解得．【名师点睛】本题主要考查命题的相关结论，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．20．【2018安徽六安模拟】已知函数，（I）求函数的最小值；（II）已知关于的不等式对任意恒成立；函数是增函数．若“p或q”为真，“且”为假，求实数的取值范围．【答案】（I）1；（II）．【解析】分析：（I）作出函数f（x）的图象，借助于单调性以及图象即可求最小值；（II）运用（I）中求出的f（x）的最小值代入不等式f（x）≥m2+2m﹣2，求出对任意x∈R恒成立的m的范围，根据复合命题“p或q”为真，“p且q”为假时，建立不等式关系即可的实数m的取值范围．详解：(1，作出图像可知，（II），或“或”为真，“且”为假，当真，假时，则，解得当假，真时，则，解得或，故实数的取值范围是．21．【2018河南豫南九校模拟】设命题实数满足，命题实数满足．（I）若，为真命题，求的取值范围；（II）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）．【解析】分析：（I）将问题转化为当时求不等式组的解集的问题．（II）将是的充分不必要条件转化为两不等式解集间的包含关系处理，通过解不等式组解决．详解：（I）当时，由得，由得，∵为真命题，∴命题均为真命题，∴解得，∴实数的取值范围是．（II）由条件得不等式的解集为，∵是的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件，∴，∴解得，∴实数的取值范围是．【名师点睛】根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．22．【2018广东江门模拟】设命题；命题关于的不等式对一切均成立．（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围（用集合表示）；（Ⅱ）若命题为真命题，且命题为假命题，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）当命题为真命题时，不等式对一切均成立，∴∴实数的取值范围是；（Ⅱ）由命题为真，且为假，得命题一真一假当真假时，则，；当假真时，则，得，∴实数的取值范围是．。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析全称命题的否定是特称命题，选B项．2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析特称命题的否定规律是“改变量词，否定结论”，特称命题的否定是全称命题，选B项．3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案 D解析依题意，命题p是真命题．由x>2⇒x>1，x>1⇒/x>2，知“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧(綈q)是真命题．故选D.4．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案 C解析命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.5．在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A6．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈R ，e x>0 B ．∀x ∈N ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1 D ．∃x 0∈N *，sin πx 02＝1答案 B解析 e x >0对∀x ∈R 恒成立，A 为真；当x ＝0时，x 2>0不成立，B 为假；存在0<x 0<e ，使ln x 0<1，C 为真；当x 0＝1时，有sin π2＝1成立，D 为真．选B 项．7． 命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.8．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”． 9．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方不是奇数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 答案 C解析 全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”． 10．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q答案 B解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P .故选B. 11．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题．12．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 C13．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 全称命题的否定是特称命题．选D 项． 14．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题 答案 B解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以A 错误；ab ≠0等价于a ≠0且b ≠0，所以“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件，B 正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，C 错误；若“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，D 错误．综上所述，故选B.15．下列命题中，是真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，e x≤0 B ．∀x ∈R,2x>x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件 答案 D16．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题答案 C解析 p ：∵x >0，∴x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴p 为真命题． q ：当x >0时，2x >1，∴q 为假命题．∴p ∧(綈q )是真命题．故选C.17．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.18．已知p ：1x 2－x －2>0，则綈p 对应的x 的集合为________．答案 {x |－1≤x ≤2} 解析 ∵p ：1x 2－x －2>0⇔x >2或x <－1，∴綈p ：－1≤x ≤2.19．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋ax 0＋a ＋3<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 －2≤a ≤6解析 由命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋ax 0＋a ＋3<0”为假命题，得命题“∀x ∈R ，都有x 2＋ax ＋a ＋3≥0”为真命题，则Δ＝a 2－4(a ＋3)≤0，解得－2≤a ≤6.20．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名． 答案 一解析 由题可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．21.已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ， 知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 22．给定两个命题：p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，q ：函数y ＝3x－a 在x ∈[0,2]上有零点，如果(綈p )∧q 为假命题，綈q 为假命题，求a 的取值范围．解 若p 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，即0≤a <4，故当p 为真命题时，0≤a <4.若q 为真命题时，方程3x－a ＝0在x ∈[0,2]上有根． ∵当x ∈[0,2]时，有1≤3x≤9，∴1≤a ≤9， 即当q 为真命题时，1≤a ≤9.∵(綈p )∧q 为假命题，∴綈p ，q 中至少有一个为假命题． 又∵綈q 为假命题，∴q 为真命题． ∴綈p 为假命题，p 为真命题．∴当p ，q 都为真时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，1≤a ≤9，即1≤a <4.故所求a的取值范围是[1,4)．23．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．解 (1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.理解全称量词与存在量词的意义；2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定；3.了解命题的概念，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．1．命题能判断真假的语句叫做命题．2．全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．3．存在量词与存在性命题(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。

(2)存在性命题：含有全称量词的命题．(3)存在性命题的符号表示形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)。

4．基本逻辑联结词常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真6．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)高频考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断例1、[2017·山东高考]已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B【方法技巧】“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．【变式探究】设a，b，c是非零向量．已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q)解析取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题．综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题． ∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题． 答案 A【感悟提升】(1)“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p ，q 的真假；③确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假．(2)p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．【变式探究】命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)．下列命题是真命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．p ∧(綈q )D ．綈q高频考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定例2、(1)已知命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0，则綈p 是( ) A ．∀x ∈R ，e x－x －1<0 B ．∃x ∈R ，e x－x －1≤0 C ．∃x ∈R ，e x－x －1<0 D ．∀x ∈R ，e x－x －1≤0(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A.p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3解析 (1)因为全称命题的否定是存在性命题，命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0的否定为綈p ：∃x ∈R ，e x－x －1≤0. (2)画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y ，经过可行域的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0. 因此p 1，p 2是真命题． 答案 (1)B (2)B【感悟提升】(1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ，使p (x )成立．【变式探究】命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又存在性命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题． 答案 B高频考点三 由命题的真假求参数的取值范围例3、已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ， 知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 【变式探究】(1)已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3，1)(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析 (1)原命题的否定为∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 (1)B (2)A【感悟提升】 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： ①根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； ②求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ③根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． (2)全称命题可转化为恒成立问题．【变式探究】设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2<0(其中a >0)，q ：实数x 满足2<x ≤5. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围．(2)若綈q 是綈p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，x 2－5ax ＋4a 2<0即为x 2－5x ＋4<0，解得1<x <4，当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2，4)．1、[2017·山东高考]已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.2.[2017·全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩1.【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 1.【2015高考新课标1，理3】设命题p ：2,2nn N n ∃∈>，则p ⌝为( ) （A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2nn N n ∃∈≤ （C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2nn N n ∃∈ 【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.2.【2015高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.1.【2014·陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 【答案】B【解析】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i ，且a ，b ∈R ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z 1＝2＋i ，z 2＝－2＋i 时，满足|z 1|＝|z 2|，此时z 1，z 2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．2.【2014·重庆卷】已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧綈qC．綈p∧q D．p∧綈q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，¬p的真值表2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．含逻辑联结词命题的真假判断 (1)p ∧q 中一假则假，全真才真． (2)p ∨q 中一真则真，全假才假． (3)p 与¬p 真假性相反． 5．必会结论(1)“p ∨q ”的否定是“(¬p )∧(¬q )”；“p ∧q ”的否定是“(¬p )∨(¬q )”．(2)“且”“或”“非”三个逻辑联结词对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)命题“5>6或5>2”是假命题．( × )(2)p ∧q 为真的充分必要条件是p 为真或q 为真．( × ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．( × ) 解析 (1)错误．命题p ∨q 中有一真，则p ∨q 为真． (2)错误．p ∧q 为真，则p ，q 同时为真．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“菱形的对角线相等”是全称命题，其否定为“有的菱形的对角线不相等”． 2．下列命题中的假命题是( C ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0解析 当x ＝1时，lg x ＝0；当x ＝π4时，tan x ＝1，所以A 项，B 项均为真命题，显然D项为真命题．当x ＝0时，x 3＝0，所以C 项为假命题，故选C ．3．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .给出下列四个命题：①p 且q ；②p 或q ；③¬p ；④¬q . 其中真命题的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析∵命题p为真命题，q为假命题，∴p或q，¬q为真命题，故选B．4．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为(A)A．∀n∈N,2n≤1 000B．∀n∈N,2n>1 000C．∃n∈N,2n≤1 000D．∃n∈N,2n<1 000解析由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p：∀n∈N,2n≤1 000，故选A．5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A)A．(¬p)∨(¬q)B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q)D．p∨q解析因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则¬p是“甲没有降落在指定范围”，¬q是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q)，故选A．一含逻辑联结词命题的真假判断(1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤：①先判断简单命题p，q的真假．②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系：①p∨q真⇔p，q至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假．②p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真．③p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假．④p∧q假⇔p，q至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真．⑤¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．【例1】(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是(C)A．①③B．①④C．②③D．②④(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的__必要不充分__条件．解析(1)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而¬p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而¬q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p ∨q为真命题；③p∧(¬q)为真命题；④(¬p)∨q为假命题．(2)p或q为真命题⇒/p且q为真命题；p且q为真命题⇒p或q为真命题．二全称命题与特称命题(1)全称命题与特称命题真假的判断方法：①否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．②否定结论：对原命题的结论进行否定．【例2】(1)(2017·山东卷)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(B)A．p∧q B．p∧¬qC．¬p∧q D．¬p∧¬q(2)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(D)A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等解析(1)当x>0时，x＋1>1，因此ln (x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．易知B项为真命题．(2)命题是省略量词的全称命题，故选D．【例3】(1)下列命题中的假命题是(B)A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2(2)已知命题p：∀x>0，x＋4x≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝12，则下列判断正确的是(C)A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(¬q)是真命题D．(¬p)∧q是真命题解析(1)因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A项是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B 项是假命题；存在0<x 0<e ，使得ln x 0<1，所以C 项是真命题；因为正切函数y ＝tan x 的值域是R ，所以D 项是真命题．(2)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，p 是真命题；当x >0时，2x >1，q 是假命题，所以p ∧(¬q )是真命题，(¬p )∧q 是假命题．三 根据命题的真假求参数的取值范围根据命题的真假求参数取值范围的求解策略(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．(2)全称命题可转化为恒成立问题．【例4】 已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围．解析 若命题p 为真，则函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点．因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－2×1＋a <0，22－2×2＋a >0，所以0<a <1．若命题q 为真，则函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，则Δ＝(2a －3)2－4>0，得4a 2－12a ＋5>0，解得a <12或a >52.因为p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，所以p ，q 一真一假． ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，所以12≤a <1； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，所以a ≤0或a >52. 故实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．(2018·四川资阳模拟)下列命题，为真命题的是( D ) A ．∃x ∈R ，x 2≤x －2 B ．∀x ∈R,2x >2－x 2C ．函数f (x )＝1x是定义域上的减函数D ．“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数” 解析 x 2－x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －122＋74>0，即x 2>x －2，故A 项错误；当x ＝0时，20<2－02，故B 项错误；函数f (x )＝1x在其定义域上不是单调函数，故C 项错误，只有D 项正确．2．(2018·河南许昌二模)命题“∀x ≥0且x ∈R,2x >x 2”的否定是( C ) A ．∃x 0≥0且x 0∈R,2x 0>x 20 B ．∀x ≥0且x ∈R,2x ≤x 2 C ．∃x 0≥0且x 0∈R,2x 0≤x 20 D ．∃x 0<0且x 0∈R,2x 0≤x 20解析 因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：∃x 0≥0且x 0∈R,2x 0≤x 20，故选C ．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是__(1，＋∞)__. 解析 由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m >0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m <0，即m >1． 4．(2018·河北邯郸一模)已知三个命题p ，q ，m 中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A ：p 是真命题；B ：p ∨q 是假命题；C ：m 是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题q ，p ，m 中的真命题是__m __.解析 ①若A 是错误的，则p 是假命题，q 是假命题，m 是真命题，满足条件；②若B 是错误的，则p 是真命题，m 是真命题，不满足条件；③若C 是错误的，则p 是真命题，p ∨q 不可能是假命题，不满足条件．故真命题是m .易错点1 混淆否命题与命题的否定错因分析：否命题既要否定条件，又要否定结论，而命题的否定只否定结论． 【例1】 写出命题“若a 2＋b 2＝0，则实数a ，b 全为零”的否定及否命题． 解析 命题的否定：若a 2＋b 2＝0，则实数a ，b 不全为零． 命题的否命题：若a 2＋b 2≠0，则实数a ，b 不全为零．【跟踪训练1】 命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为！！！ ∃解析 因为p 是¬p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 易错点2 不会判断全称命题、特称命题的真假错因分析：判断全称命题为真时需给出严格的证明，为假时只需举出一个反例；判断特称命题为真时，只需找出满足的一个对象，为假时可用反证法．【例2】 下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数解析 当m ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，故A 项正确D 项错误．当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x 是非奇非偶函数，故C 项错误．又y ＝x 2是偶函数，则f (x )＝x 2＋mx 不可能是奇函数，故B 项错误．答案 A【跟踪训练2】 给出以下命题：①∀x ∈R ，|x |>x ；②∃α∈R ，sin 3α＝3sin α；③∀x ∈R ，x >sin x ；④∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x，其中正确命题的序号有__②__.解析 当x ≥0时，|x |＝x ，①错；当α＝0时，sin 3α＝3sin α，②正确；当x ＝－π2时，x <sin x ，③错；根据指数函数的图象可以判断，当x ∈(0，＋∞)时，⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x，④错．故正确命题的序号只有②.课时达标 第3讲[解密考纲]本考点考查命题及其相互关系，全称命题和特称命题的互化，尤其是后者，频繁出现在高考题中，常以选择题、填空题的形式呈现．一、选择题1．已知命题p ：∀x >0，总有e x ≥1，则¬p 为( B ) A ．∃x 0≤0，使得e x 0<1 B ．∃x 0>0，使得e x 0<1 C ．∀x >0，总有e x <1D ．∀x ≤0，总有e x <1解析 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：∀x >0，总有e x ≥1的否定为¬p ：∃x 0>0，使得e x 0<1．故选B ．2．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( D ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧¬q ”是假命题 C ．命题“(¬p )∨q ”是真命题D ．命题“(¬p )∧(¬q )”是假命题解析 取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知D 项是正确的．3．(2018·河南模拟)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a 2－2(a ≠0)，g (x )＝－e x －1ex ，则下列命题为真命题的是( B )A ．∀x ∈R ，都有f (x )＜g (x )B ．∀x ∈R ，都有f (x )＞g (x )C ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)＜g (x 0)D ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)解析 函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a 2－2＝(x －a )2＋a 2－2≥a 2－2>－2，g (x )＝－e x －1ex ＝－⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ≤－2，显然∀x ∈R ，都有f (x )>g (x )，故选B ．4．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax －4a ＜0为假命题”是命题“－16≤a ≤0”的( A ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 依题意，知x 2＋ax －4a ≥0恒成立，则Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0，故选A ．5．(2018·山东枣庄模拟)命题p ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若¬p 是真命题，则实数a 的取值范围是( D )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析 命题p 的否定是¬p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0成立，即关于x 的不等式ax 2＋ax ＋1<0有解．当a ＝0时，1<0，不等式不成立；当a >0时，要使不等式有解，须a 2－4a >0，解得a >4或a <0，即a >4；当a <0时，不等式一定有解，即a <0.综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)，故选D ．6．(2018·河南开封一模)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( C )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析 因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以命题p 2是假命题，¬p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(¬p 2)是真命题，故选C ．二、填空题7．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为__－1，－2，－3(答案不唯一)__.解析 因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题，则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a >b >c ，则a ＋b ≤c ”是真命题．由于a >b >c ，所以a ＋b >2c ，又a ＋b ≤c ，所以c <0.因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c .8．(2018·四川成都模拟)已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝__0__.解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0.9．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a解析 由题意知“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题， 所以Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2. 三、解答题10．(2018·河北衡水调研)已知a ∈R ，命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，得a ≤1，即a 的取值范围是(－∞，1]．(2)由(1)可知，命题p 为真时，a ≤1，命题q 为真时，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≤－2或a ≥1．因为命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2＜a ＜1⇒－2＜a ＜1，当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤－2或a ≥1⇒a ＞1．综上，实数a 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．11．设命题p ：函数f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ；命题q ：对任意m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立；如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解析 命题p ：f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ⇒ Δ＝16－4a 2<0⇒a >2或a ＜－2. 命题q ：∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[2 2 ,3]．∵对任意m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立， ∴只须满足a 2－5a －3≥3，解得a ≥6或a ≤－1．∵命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，则p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2或a ＜－2，－1＜a ＜6⇒2＜a ＜6；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，a ≤－1或a ≥6⇒－2≤a ≤－1，综上，a 的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)．12．(2018·湖北孝感调研)命题p ：f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，在[0,1]上的最大值不超过2，命题q ：正数x ，y 满足x ＋2y ＝8，且a ≤2x ＋1y 恒成立，若p ∨(¬q )为假命题，求实数a 的取值范围．解析 ∵f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，∴f (x )在(－∞，a )上递增，在(a ，＋∞)上递减． 当a ≤0时，f (x )在[0,1]上递减，f (x )max ＝f (0)＝1－a ≤2， 解得－1≤a ≤0；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1≤2，解得0<a <1； 当a ≥1时，f (x )在[0,1]上递增，f (x )max ＝f (1)＝a ≤2， 解得1≤a ≤2.所以命题p 为真时，a 的取值范围是[－1,2]． 由x ＋2y ＝8，得x 8＋y4＝1，又x ，y 都是正数，所以2x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 8＋y 4＝12＋⎝⎛⎭⎫x 8y ＋y 2x ≥12＋2x 8y ·y 2x＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 8y ＝y 2x ，x ＋2y ＝8即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时等号成立， 故⎝⎛⎭⎫2x ＋1y min ＝1．因为a ≤2x ＋1y 恒成立，所以a ≤1，所以命题q 为真时，a 的取值范围是(－∞，1]．因为p ∨(¬q )为假命题，所以p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，a ≤1，则a <－1，故a 的取值范围是(－∞，－1)．。

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课时分层作业三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是 ( )A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q【解析】选A.由题意知命题p是真命题,命题q是假命题,故p是假命题,q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧q是真命题.2.(2018·湖州模拟)命题“x∈R,x2-2x+4≤0”的否定为( )A.∀x∈R,x2-2x+4≥0B.∃x0∈R,-2x0+4>0C.∀x∉R,x2-2x+4≤0D.∃x0∉R,-2x0+4>0【解析】选B.因为命题“x∈R,x2-2x+4≤0”,所以命题的否定是“∃x0∈R,-2x0+4>0”.3.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lg x0,命题q:∀x∈R,x2>0,则 ( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(q)是真命题D.命题p∨(q)是假命题【解析】选C.当x=12时,x-2>lg x显然成立,所以p真;当x=0时,x2=0,所以q假,q真.由此可知C正确.【变式备选】已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“a2>b2”是“a>b”的充要条件,则( )A.p∨q为真B.p∧q为真C.p真q假D.p∨q为假【解析】选D.由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由a2>b2可得|a|>|b|,但a不一定大于b,反之也不一定成立,故命题q 是假命题.所以p∨q为假.4.(2018·临川模拟)命题“存在x0∈R,使+ax0-4a<0为假命题”是命题“-16≤a≤0”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.依题意,知x2+ax-4a≥0恒成立,则Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.5.若命题“∃x0∈R,+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)【解析】选 D.因为命题“∃x0∈R,+(a-1)x0+1<0”等价于+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.6.下列命题中,真命题是( )A.∃x0∈R,sin2+cos2=B.∀x∈(0,π),sin x>cos xC.∀x∈(0,+∞),x2+1>xD.∃x0∈R,+x0=-1【解析】选C.对于A选项:∀x∈R,sin2+cos2=1,故A为假命题;对于B选项:当x=时,sin x=,cos x=,sin x<cos x,故B为假命题;对于C选项:x2+1-x=+>0恒成立,C为真命题;对于D选项:x2+x+1=+>0恒成立,不存在x0∈R,使+x0=-1成立,故D 为假命题.7.(2018·枣庄模拟)命题p:x∈R,ax2+ax+1≥0,若p是真命题,则实数a的取值范围是( )B.[0,4]C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞)【解析】选D.命题p的否定是p:∃x 0∈R,a+ax0+1<0成立,其为真命题.当a=0时,1<0,不等式不成立;当a>0时,要使不等式成立,须a2-4a>0,解得a>4,或a<0,即a>4;当a<0时,不等式一定成立,即a<0.综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p可写为__________________________.【解析】因为p是p的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可.答案:∃x0∈(0,+∞),≤x0+19.(2018·长沙模拟)若命题“∃x0∈R,+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是________.【解析】由题意可知,命题“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,故Δ=m2-4(2m-3)=m2-8m+12≤0,解得2≤m≤6.答案:[2,6]10.若命题p:关于x的不等式ax+b>0的解集是,命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a<x<b},则在命题“p∧q”“p∨q”“p”“q”中,是真命题的有________.【解析】依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p∧q”为假、“p ∨q”为假、“p”为真、“q”为真.答案:p,q1.(5分)(2017·山东高考)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q【解析】选B.因为x>0,所以x+1>1,所以ln(x+1)>0,则命题p为真命题;因为1>-2,但12<(-2)2,所以命题q是假命题,则q是真命题,所以p∧q是真命题.【变式备选】已知命题p:函数y=2-a x+1(a>0且a≠1)恒过(1,2)点;命题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是 ( )A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)【解析】选B.当x=1时,y=2-a2≠2,所以命题p为假,故p为真;由函数f(x-1)是偶函数知,函数y=f(x-1)的图象关于y轴对称,由函数图象的平移法则知,y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,所以命题q为假,故q为真.所以(p)∧(q)为真.2.(5分)(2018·重庆模拟)已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p 2,q3:(p1)∨p2和q4:p1∧(p2)中,真命题是( )A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4【解析】选 C.函数y=2x-2-x=2x+是两个增函数的和,所以p1是真命题;因为函数y=2x+2-x是偶函数,所以它不可能是R上的减函数,所以p2是假命题.由此可知q1真,q2假,q3假,q4真.【一题多解】本题还可以采用以下方法【解析】选C.函数y=2x-2-x是一个增函数与一个减函数的差,故函数y=2x-2-x在R上为增函数,p1是真命题;而对p2:y′=2x ln 2-ln 2=ln2×,当x∈[0,+∞)时,2x≥,又ln 2>0,所以y′≥0,函数单调递增;同理得当x∈(-∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.3.(5分)(2018·枣庄模拟)若“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,则实数m的最大值为________.【解析】“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,可得-1≤tan x ≤1,所以0≤tan x+1≤2,所以实数m的最大值为0.答案:04.(12分)设p:实数x满足x2-5ax+4a2<0(其中a>0),q:实数x满足2<x ≤5.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若q是p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,x2-5x+4<0,解得1<x<4,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<4.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2,4).(2)q是p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B A,由x2-5ax+4a2<0得(x-4a)(x-a)<0,因为a>0,所以A=(a,4a),又B=(2,5],则a≤2且4a>5,解得<a≤2.所以实数a的取值范围为.5.(13分)已知c>0,且c≠1,设p:函数y=log c x在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2cx+1在上为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数c的取值范围.【解析】因为函数y=log c x在R上单调递减,所以0<c<1,即p:0<c<1.因为c>0且c≠1,所以p:c>1.又因为f(x)=x2-2cx+1在上为增函数,所以c≤.即q:0<c≤,因为c>0且c≠1,所以q:c>且c≠1.又因为“p∨q”为真,“p ∧q”为假,所以p与q一真一假.①当p真,q假时,{c|0<c<1}∩= .②当p假,q真时,{c|c>1}∩=∅.综上所述,实数c的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1。

已知命题p：存在n∈N，2n〉1 000，则非p为（)A．任意n∈N，2n≤1 000 B．任意n∈N,2n〉1 000 C．存在n∈N，2n≤1 000 D．存在n∈N，2n〈1 000解析特称命题的否定是全称命题,即p：存在x∈M，p(x），则非p：任意x∈M,非p（x）．答案A2．ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( ）．A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0解析(筛选法）当a＝0时,原方程有一个负的实根,可以排除A、D;当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C。

答案C3．下列命题中的真命题是（）．A．∃x∈R,使得sin x＋cos x＝错误!B．∀x∈(0，＋∞），ex〉x＋1C．∃x∈（－∞，0）,2x〈3xD．∀x∈（0，π）,sin x〉cos x解析因为sin x＋cos x＝错误!sin错误!≤错误!〈错误!，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈错误!时有sin x<cos x，故D错误．所以选B。

答案B4．已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋错误!＝1为双曲线；命题q:x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q"是真命题，命题“p∧綈q”是假命题,命题“綈p∨q”是真命题,命题“綈p∨綈q"是假命题．答案D5．已知命题p：∃x0∈R，mx错误!＋1≤0，命题q:∀x∈R，x2＋mx ＋1＞0.若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( )A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2解析若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，即綈p：∀x∈R,mx2＋1＞0与綈q：∃x0∈R,x错误!＋mx0＋1≤0均为真命题．根据綈p：∀x∈R，mx2＋1＞0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x0∈R，x2，0＋mx0＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0,解得m≥2或m≤－2。

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x≤1 答案 B解析 全称命题的否定是特称命题，选B 项． 2．命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是( ) A ．∃x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) D ．∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) 答案 D解析 命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )，故选D. 3．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q答案 B解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题．5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 C解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题． 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题．故选C. 6．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 全称命题的否定是特称命题．选D 项． 7．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题 答案 B8．下列命题中，是真命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件 答案 D解析 对于A ，对任意x ∈R ，e x>0，所以A 为假命题；对于B ，当x ＝2时，有2x＝x 2，所以B 为假命题；对于C ，ab＝－1的充要条件为a ＋b ＝0且b ≠0，所以C 为假命题；对于D ，当a >1，b >1时，显然有ab >1，充分性成立，当a ＝4，b ＝12时，满足ab >1，但此时a >1，b <1，必要性不成立，所以“a >1，b >1”是“ab >1”的充分不必要条件，所以D 为真命题．故选D.9．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题答案 C解析 p ：∵x >0，∴x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴p 为真命题． q ：当x >0时，2x >1，∴q 为假命题．∴p ∧(綈q )是真命题．故选C.10．已知p ：函数f(x)＝(x －a)2在(－∞，－1)上是减函数，q ：∀x>0，a ≤x 2＋1x恒成立，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A11．下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x ∈R ，log 2x ＝0 B ．∃x ∈R ，cosx ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，2x>0答案 C解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以A 、B 项均为真命题，02＝0，C 项为假命题，2x>0，选项D 为真命题． 12．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∉R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 B ．∃x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 C ．∀x 1，x 2∉R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2) <0 D ．∀x 1，x 2∈R ， [f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 答案 B解析 根据全称命题否定的规则“改量词，否结论”，可知选B.13．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 C解析 若x>y ，则－x<－y 成立，即命题p 正确；若x>y ，则x 2>y 2不一定成立，即命题q 不正确；则綈p 是假命题，綈q 为真命题，故p∨q 与p∧(綈q)是真命题，故选C.14．命题“∃x 0∈R ，2x 0<12或x 02>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，2x 0≥12或x 02≤x 0B ．∀x ∈R ，2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R ，2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R ，2x 0≥12且x 02≤x 0答案 C解析 特称命题的否定是全称命题，注意“或”的否定为“且”，故选C.15．已知集合A ＝{y|y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x|y ＝lg x －3}，则下列命题中真命题的个数是( ) ①∃m ∈A ，m ∉B ；②∃m ∈B ，m ∉A ；③∀m ∈A ，m ∈B ；④∀m ∈B ，m ∈A. A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析 因为A ＝{y|y ＝x 2＋2}，所以A ＝{y|y≥2}，因为B ＝{x|y ＝lg x －3}，所以B ＝{x|x>3}，所以B 是A 的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.16．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D解析 否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.17．已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 02＋1≤0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．{m|m ≥2}B ．{m|m ≤－2}C ．{m|m ≤－2或m≥2}D ．{m|－2≤m≤2}答案 A解析 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，可得m<0；由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，可得Δ＝m 2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q 为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有m≥0；若q 是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m 的取值范围为{m|m≥2}．故选A.18．命题“∀x>0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0B ．∃x 0>0，0≤x 0≤1C ．∀x>0，xx －1≤0 D ．∀x<0，0≤x ≤1答案 B解析 命题“∀x>0，x x －1>0”的否定为“∃x 0>0，x 0x 0－1≤0或x 0＝1”，即“∃x 0>0，0≤x 0≤1”，故选B.19．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x＋2－x在R 上为减函数． 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题．∴q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.20．已知函数f(x)＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (12，1)∪(1，＋∞)解析 已知函数f(x)＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“存在实数x 0∈(0，1)，使f(x 0)＝0”是真命题，∴f(1)f(0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a>12，且a≠1，∴实数a 的取值范围是(12，1)∪(1，＋∞)．21．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tanx 0＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}，现有以下结论： ①命题“p 且q”是真命题； ②命题“p 且綈q”是假命题； ③命题“綈p 或q”是真命题； ④命题“綈p 或綈q”是假命题．其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号) 答案 ①②③④22．已知命题p ：∀x>0，2ax －lnx ≥0.若命题p 的否定是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，12e)解析 命题p 的否定是：∃x 0>0，2ax 0－lnx 0<0，即不等式2ax －lnx<0有解．而不等式2ax －lnx<0可化为2a<lnxx ，令g(x)＝lnx x ，则g ′(x)＝1－lnx x 2，可得g(x)在x ＝e 处取得最大值1e ，因此要使不等式2a<lnx x 有解，只需2a<1e ，即a<12e. 23．若命题“∃x 0∈R ，x 02＋(a －1)x 0＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－1，3)解析 由“∃x 0∈R ，x 02＋(a －1)x 0＋1≤0”为假命题，得“∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a 的取值范围为(－1，3)．24．若f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝ax ＋2(a>0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，12]解析 由于函数g(x)在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g(x 1)＝f(x 0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1，3]，函数g(x)的值域是[2－a ，2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12.又a>0，故a 的取值范围是(0，12]．25．已知命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a>0)，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案 (1)(2，3) (2)(1，2]解析 由x 2－4ax ＋3a 2<0(a>0)，得a<x<3a ， 即p 为真命题时，a<x<3a.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤3，x>2或x<－4， 即q 为真命题时，2<x ≤3.26．给定两个命题：p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，q ：函数y ＝3x－a 在x ∈[0,2]上有零点，如果(綈p )∧q 为假命题，綈q 为假命题，求a 的取值范围．解 若p 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，即0≤a <4，故当p 为真命题时，0≤a <4.若q 为真命题时，方程3x－a ＝0在x ∈[0,2]上有根． ∵当x ∈[0,2]时，有1≤3x≤9，∴1≤a ≤9， 即当q 为真命题时，1≤a ≤9.∵(綈p )∧q 为假命题，∴綈p ，q 中至少有一个为假命题． 又∵綈q 为假命题，∴q 为真命题． ∴綈p 为假命题，p 为真命题．∴当p ，q 都为真时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，1≤a ≤9，即1≤a <4.故所求a 的取值范围是[1,4)．27．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2.解得1≤m ≤2. 因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，即m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。

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课时分层训练（三）简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A组基础达标（建议用时:30分钟）一、选择题1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．綈p为假C．p∧q为假D．p∧q为真C [p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．]2．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳"可表示为( ）【导学号：31222014】A．p∨q B．p∨(綈q）C．（綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)D [“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p∧q,而p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．］3．命题“∀x∈［0，＋∞），x3＋x≥0”的否定是（）A．∀x∈(－∞，0），x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0），x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞），x错误!＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0C [全称命题：∀x∈[0，＋∞），x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x3，0＋x<0。