2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第4章平面向量 4-3a Word版含解析

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．(2017·长沙模拟)已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0， 且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A.4．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4， 这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A.5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T 4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |cos x ，给出下列五个结论：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A解析 ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案 3π4解析 由题意得f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ，f ′(x )＝cos(x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4是奇函数，因此φ＋π4＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π4.又0<φ<π，所以φ＝3π4.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________. 答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， ∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1， 则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sinπx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解16．(2017·洛阳校级月考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋a cosx ＋a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值；(2)如果对于区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的任意一个x ，都有f (x )≤1成立，求a的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94， ∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时， f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1， 则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2x cos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤(t －1)2t ＝t 2－2t ＋1t＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号， ∴a ≤0.。

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第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2018·无锡质检)已知向量a＝(2，1),b＝（5，－3)，则a·b的值为________．［解析] 因为a·b＝（2,1）·（5，－3)＝10－3＝7.[答案] 72．等边三角形ABC的边长为1，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，那么a·b＋b·c＋c·a ＝________．[解析］由题意知｜a｜＝|b|＝|c｜＝1,且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°,c 与a的夹角也为120°。

故a·b＋b·c＋c·a＝－错误!.［答案］－错误!3．已知|a｜＝3，|b｜＝4,且a与b不共线，若向量a＋k b与a－k b垂直，则k＝________．[解析] 因为（a＋k b)⊥(a－k b)，所以（a＋k b)·（a－k b）＝0，即|a｜2－k2｜b|2＝0。

又因为｜a｜＝3，｜b|＝4,所以k2＝916，即k＝±错误!.[答案] ±错误!4．如图，菱形ABCD的边长为2,∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则错误!·错误!的最大值为________．［解析］由平面向量的数量积的几何意义知，错误!·错误!等于错误!与错误!在错误!方向上的投影之积，所以(错误!·错误!)max＝错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!错误!2＋错误!2＋错误!错误!·错误!＝9.［答案] 95．已知平面向量a＝（1，2)，b＝（4,2）,c＝m a＋b(m∈R），且c与a的夹角等于c与b 的夹角,则m＝________.[解析] 由题意得：错误!＝错误!⇒错误!＝错误!⇒错误!＝错误!⇒m＝2.[答案］ 26．(2018·南通市高三第一次调研测试)在△ABC中，若错误!·错误!＋2错误!·错误!＝错误!·错误!,则错误!的值为________．解析:由错误!·错误!＋2错误!·错误!＝错误!·错误!,得2bc×错误!＋ac×错误!＝ab×错误!，化简可得a＝错误!c。

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积1,2,8,9,11平面向量的夹角与垂直4,5,6,7,13平面向量的模3,10,14平面向量的综合应用12,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　B　)(A)4(B)3(C)2(D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.2.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是(　A　)(A)-4(B)4(C)-2(D)2解析:因为a·b=|a||b|cos<a,b>=18cos<a,b>=-12,所以cos<a,b>=-.所以a在b方向上的投影是|a|cos<a,b>=-4.3.(2018·云南玉溪模拟)a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于(　C　)(A)(B)(C)5(D)25解析:因为a=(2,1),所以a=,因为a·b=10,|a+b|=5,所以|a+b|2=(5)2,即|a|2+|b|2+2a·b=50,所以|b|2=25,所以|b|=5,故选C.4.已知向量=(1,1),=(2,3),则下列向量与垂直的是(　D　)(A)a=(3,6)(B)b=(8,-6)(C)c=(6,8)(D)d=(-6,3)解析:因为=(1,1),=(2,3),所以=(1,2).由于·d=(1,2)·(-6,3)=0,故⊥d.故选D.5.(2018·江西九校联考)已知向量a=(x2,x+2),b=(-,-1),c=(1,),若a∥b,则a与c的夹角为(　A　)(A)(B)(C)(D)解析:因为a∥b,所以=,所以x2=(x+2),cos<a,c>=====,又<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=,故选A.6.设向量a=(1,m),b=(m-1,2),且a≠b.若(a-b)⊥a,则实数m的值为(　C　)(A)(B)1或2(C)1(D)2解析:因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,即a2-b·a=0,1+m2-(m-1+2m)=0,m2-3m+2=0.解得m=2或m=1.当m=1时,a=(1,1),b=(0,2),满足a≠b;当m=2时,a=(1,2),b=(1,2),不满足a≠b,故舍去.综上,m=1.故选C.7.(2018·大连双基测试)若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b 的夹角为(　A　)(A)(B)(C)(D)解析:因为向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,所以a·b=2×1×cos =1,|a+2b|===2,所以cos<a,a+2b>====,因为<a,a+2b>∈[0,π],所以<a,a+2b>=.8.(2018·云南昆明一中月考)已知a=(-1,),b=(0,2),则向量a在向量b方向上的投影为 .解析:因为a·b=-1×0+×2=2,|b|=2,所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos<a,b>===.答案:9.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为 . 解析:由题意知F3=-(F1+F2),所以|F3|=|F1+F2|,所以|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以|F3|=2.答案:2能力提升(时间:15分钟)10.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|等于(　A　)(A)2(B)2(C)4(D)12解析:由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b===,由向量a在向量b方向上的投影为-2,则==-2,即|a|2=4,所以|a|=2.故选A.11. (2018·河南鹤壁高级中学段考)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·等于(　B　)(A)-(B)-(C)-(D)-解析:因为=2,圆O的半径为1,所以||=,所以·=(+)·(+)=||2+·(OE+)+·=()2+0-1=-.故选B.12.(2018·江西赣州红色七校联考)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则·的取值范围是(　C　)(A)[-1,0](B)[-1,2](C)[-1,3](D)[-1,4]解析: 设M(x,y),如图,建立平面直角坐标系,由题意,点M所在的轨迹为(x-1) 2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2),设M(x,y),又A(0,0),B(2,0),所以·=(-x,-y)·(2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,因为∈[0,2],所以(x-1)2+y2∈[0,4],所以(x-1)2+y2-1∈[-1,3],即·∈[-1,3].故选C.13.已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β= .解析:a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.因为|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,所以|a|=3.因为|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,所以|b|=2,所以cos β===.答案:14.在△ABC中,(-3)⊥,则角A的最大值为 .解析:设△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c由已知得(-3)·=(-3)·(-)=+3-4·=0,所以cos A==≥=,则角A的最大值为.答案:15.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB= .解析:在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,所以==-,又因为=+,所以·=(+)·(-)=-·+·-=||2+||||cos 60°-||2=1+×||-||2=1.所以(-||)||=0,又||≠0,所以||=,即AB=.答案:。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ，∴(k a ＋b )∥(a －b )，∴存在λ使k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1. ∴c ＝－a ＋b ，∴c 与d 反向．故选D.2．(2018·襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12 C ．k ＝1 D ．k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB→与AC →共线．因为AB→＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故选C.3．(2018·怀化一模)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)答案 D解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.4．(2017·河南高三质检)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝4，D 是AB 上一点，且AB →·CD→＝5，则|BD →|等于( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C解析 设AD →＝λAB →，∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝λAB →2－AB →·AC →＝5，可得25λ＝15，∴λ＝35，∴|BD →|＝25|AB →|＝2.故选C.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC→＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)．选A.6．(2017·茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，又x ，y >0，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.7．(2017·济南二模)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，N 为OB 中点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点C 在直线MN 上，且OC→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.425B.25C.49D.23 答案 A解析 因为点C ，M ，N 共线，则OC →＝λOM →＋μON →＝23λOA →＋12μOB →，λ＋μ＝1，由OC→＝xOA →＋yOB →， x ＝23λ，y ＝12μ＝12(1－λ)，x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ2＋14(1－λ)2＝2536λ2－λ2＋14，设g (λ)＝2536λ2－λ2＋14，由二次函数的性质可知：当λ＝925时，g (λ)取最小值，最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫925＝425，所以x 2＋y 2的最小值为425.故选A.8．(2017·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.故选A.9．(2018·安徽十校联考)已知A ，B ，C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABD S △ACD＝( )A.23B.32 C ．6 D.16 答案 C解析 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC→. 由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ， 而S △AMD ＝S △AND ，∴S △ABDS △ACD＝6.故选C.10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bB ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bC ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22bD.2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22b答案 B解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1＋22，∴AB →＝(－1,0)，AC→＝(－1,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22.令AD→＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎨⎧λ＝－2，μ＝1＋22，∴AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b .故选B.二、填空题11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4－x,2－y )，AB →＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．答案 60°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理， 得b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12. 又0°<C <180°，∴C ＝60°.13．(2017·太原三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________．答案 2133解析 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)， C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC→，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，①直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP→|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133.14．(2018·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103解析 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP→＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC → ＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.三、解答题15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的上运动．若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， 则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 16．(2018·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n的最小值及对应的x 值．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，2019版高考数学（文）2019版高考数学（文） 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2最小，最小值为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC→＝(cos x ＋1，sin x )， 则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ，∴(k a ＋b )∥(a －b )，∴存在λ使k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1. ∴c ＝－a ＋b ，∴c 与d 反向．故选D.2．(·襄樊一模)已知OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12 C ．k ＝1 D ．k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB→与AC →共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故选C.3．(·怀化一模)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)答案 D解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.4．(·河南高三质检)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝4，D 是AB 上一点，且AB→·CD →＝5，则|BD →|等于( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C解析 设AD→＝λAB →，∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝λAB →2－AB →·AC →＝5，可得25λ＝15，∴λ＝35，∴|BD →|＝25|AB →|＝2.故选C.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA→＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC→＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)．选A.6．(·茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，又x ，y >0，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13 (2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.7．(·济南二模)如图所示，两个非共线向量OA→、OB →的夹角为θ，N 为OB 中点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点C 在直线MN 上，且OC→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.425B.25C.49D.23 答案 A解析 因为点C ，M ，N 共线，则OC →＝λOM →＋μON →＝23λOA →＋12μOB →，λ＋μ＝1，由OC→＝xOA →＋yOB →， x ＝23λ，y ＝12μ＝12(1－λ)，x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ2＋14(1－λ)2＝2536λ2－λ2＋14，设g (λ)＝2536λ2－λ2＋14，由二次函数的性质可知：当λ＝925时，g (λ)取最小值，最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫925＝425，所以x 2＋y 2的最小值为425.故选A.8．(·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14 (DA →＋AB → )＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.故选A.9．(·安徽十校联考)已知A ，B ，C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABD S △ACD＝( )A.23B.32 C ．6 D.16 答案 C解析 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC→. 由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ， 而S △AMD ＝S △AND ，∴S △ABDS △ACD＝6.故选C.10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bB ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bC ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22bD.2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22b答案 B解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1＋22，∴AB→＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22 .令AD→＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎨⎧λ＝－2，μ＝1＋22，∴AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b .故选B.二、填空题11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4－x,2－y )，AB →＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．答案 60°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理， 得b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12. 又0°<C <180°，∴C ＝60°.13．(·太原三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP → |的最大值为________．答案 2133解析 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)， C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3，∵AP →＝23AB →＋λAC→， ∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，①直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP→|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133.14．(·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103解析 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP→＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →， 所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2 ＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23，因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.三、解答题15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的上运动．若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sinα＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 16．(·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC→，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD → |2＝12－2t t ＋t 2＋12＝t 2－2t t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －22 2＋12(0≤t ≤1)，第11页 共11页 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC→＝(cos x ＋1，sin x )， 则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。

基础知识反馈卡·4.1时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．(多选)如图J4­1­1，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )图J4­1­1A.AB →＝CD →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝02．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC →D ．03．如图J4­1­2所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图J4­1­2A.FO →B.OG →C.OH →D.EO →4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，若BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝05．(2017年某某八市质检)如图J4­1­3，已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )图J4­1­3A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 6．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图J4­1­4，在△ABC 中，AD →＝13DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16AC →，则实数m 的值为________．图J4­1­4 图J4­1­58．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．9．如图J4­1­5，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →.则λ＝________.三、解答题(共15分)10．如图J4­1­6，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.图J4­1­6基础知识反馈卡·4.11．AC 2.D 3.A 4.B5．C 解析：∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6．A 解析：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．故选A.7.13 解析：∵AD →＝13DC →，则AC →＝4AD →，∴AP →＝mAB →＋23AD →. ∵B ，P ，D 三点共线，则m ＋23＝1，∴m ＝13.8．－29．2 解析：由平行四边形法则，可得AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. 10．解：AB →＝AC →＋CB →＝－3a ＋2b ， ∵D ，E 为AB →的两个三等分点，∴AD →＝13AB →＝－a ＋23b ＝DE →.∴CD →＝CA →＋AD →＝3a －a ＋23b ＝2a ＋23b .∴CE →＝CD →＋DE →＝2a ＋23b －a ＋23b ＝a ＋43b.。

—2) , AD= (2,1) A . 5 答案2019-2020年高考数学一轮复习第 4章平面向量第3讲平面向量的数量积1. [xx •许昌模拟]设 x , y € R,向量 a = (x, 1) , b = (1 , y ) , c = (2 , — 4)，且 a 丄 c , b // c ,贝UI a + b | =( A. 5 B. 10 答案 ) C . 2 5 D . 10 解析 1 y由a 丄c ,得a • c = 2x — 4= 0，解得x = 2.由b // c ,得4，解得y = — 2.所以 a = (2,1), b = (1 , — 2) , a + b = (3 , — 1) , | a + b | = 10.故选 B. 2. [xx -广东高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形 ABCD1平行四边形，AB= （1 ,AC= AB+ AD= (1 , — 2) + (2,1) 解析 + 1X ( — 1) = 5.故选 A. =(3 , —1)，所以 AD- AC= (2,1) • (3 , — 1) = 2X33. [xx •全国卷川 ]已知向量 A . 30° B . 45° 答案 A C . 60° T BA=- 2D . 120° BC =,2，则/ ABC ( )解析 cos / AB(=TBA' BC，所以/ABC= 30° .故选 A.| BA 4.已知 | a | = 2| b | 工0, 取值范围是（ ） •丨BQ且关于x 的方程x 2+ | a | x + a • b = 0有实根，则a 与b 的夹角的 |0,B. F, J1 2 n 1；n ] — D.〔3」]6，」B A. C. 答案 解析 4a -b >0, 2 2由于| a | = 2| b |丰0,且关于 x 的方程 x + | a | x + a -b = 0有实根，则| a | — 121 2a -b 4|a|1 即a -b <71 a | .设向量a 与b 的夹角为0，则cos 0 = w=~,4 1 a|1 b| 122a |71故选B.，则 AD- AC=()C . 3D . 25.在△ ABC中，/ C= 90°,且CA= CB= 3，点M满足BM= 2AM 则CM CA=( )A. 18 B . 3 C . 15 D . 12答案Af f f f f f f解析由题意可得△ ABC是等腰直角三角形，AB= 3 2 ,AMh BA故CM- CA= ( C阳AM - CA fff fff fff=CA+AM- CA= 9+ (CA- CB - CA= 9 + cA—CB- CA= 9 + 9- 0= 18.故选 A.6. ［xx •济宁模拟］平面四边形ABC［中, AB+ CD= 0, （AB- AD）- AC= 0，则四边形ABCD是（）A.矩形B.正万形C.菱形D.梯形答案Cf f f f f f解析因为AB+ CD= 0,所以AB=—CD= DC所以四边形ABCD是平行四边形.又（AB-f fffAD - AC= DB- AC= 0,所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD!菱形•故选C.7. ［xx •重庆模拟］已知非零向量a, b满足|b| = 4|a|，且a丄（2a+ b），贝U a与b的夹角为（）答案C解析■/ a 丄(2a+ b)，二a - (2a+ b) = 0,22| a| + a - b= 0,2即2| a| + | a|| b|cos 〈a, b>= 0.2 2T | b| = 4| a| , • 2| a| + 4| a| cos 〈a, b>= 0,& [xx •南宁模拟]已知平面向量 a , B ,且| a | = 1,| 3 | = 2, a丄(a —2 3 )，则|2 a+ 31 = ________ .答案.102 1解析由a 丄(a — 2 3 )得a •( a — 2 3 ) = a — 2 a • 3 = 0,所以a • 3= ?,所以3 = 4X1 2+ 22+ 4X *= 10,所以|2 a + 3 | = . 10.9. [xx •北京东城检测]已知平面向量a= (2,4) , b= (1 , —2)，若c = a—(a - b) b，则|c| = .答案8 2解析由题意可得a - b= 2X 1 + 4X( —2) =—6,n 2 nB.~2C.~3D.5 n"6"• cos〈a, b>2，a, b> 2n丁. 故选C.2 2 2(2 a + 3 ) = 4 a + 3 + 4 a••• c = a — (a- b )b = a + 6b = (2,4) + 6(1 , — 2) = (8 , — 8) , A | cAD- BC= _______A5答案一5解析 利用向量的加减法法则可知AD ・ BC= *AB+ AC ) • ( - AB+ AC ) = 2( - A^+ AC )=[B 级知能提升]f f1. [xx •石家庄模拟]在厶 ABC 中, AB= 4, AC= 3, AC ・ BC= 1 A. 3 B. 2 C . 2 D . 3 答案 D 解析设/ A = 0 ,f f f因为 BC = AC- AB AB= 4, AC = 3,f f f f ff f所以 AC- BC= AC — AC- AB= 9 — AC- AB= 1.,则 BC =( )10.如图，在△ ABC 中 , AB= 3 , AC= 2 , D 是边BC 的中点，则I AQ I AB所以 BC = 16+ 9— 2X 4X 3X 2= 3.故选 D.f2. _________________ 在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA= (3 , — 1) , OB= (0,2) 则实数入的值为 __________________ .答案 2f解析由已知得AB= ( — 3,3)，设C (x , y ),f f则OC ・ AB= — 3x + 3y = 0,所以 x = y .f fAC' AB= 8.cos 0 =f fAC ・ AB = _8_ f f =3X423,若OC ・ AB= 0 , AC =入OBAC= (x — 3, y + 1).又AC=入 OB 即(x — 3, y + 1)=入(0,2),x — 3= 0,所以由x = y 得，y = 3，所以入=2.|y +1= 2入，3. [xx •东营模拟]若两个非零向量 a , b 满足| a + b | = |a — b | = 2| a |，则向量a + b 与a 的夹角为. 答案解析由|a + b | = | a — b |，得a 2 + 2a •b + b 2= a 2— 2a • b + b 2,即卩 a • b = 0,22所以(a + b ) • a = a + a • b = | a | .故向量a + b 与a 的夹角0的余弦值为n又 0w 0 w n ，所以 0 =nr . 34.已知a = （1,2） , b = （1,1），且a 与a +入b 的夹角为锐角，求实数 入的取值范围. 解•/ a 与a +入b 均为非零向量，且夹角为锐角，a •（ a + 入b ） ＞ 0,即（1,2） • （1 + 入，2+ 入）＞0. • （1 + 入）+ 2（2 + 入）＞ 0. 5 •入 >—亍当a 与a +入b 共线时，存在实数 m 使a +入b = ma, 即 （1 + 入，2 + 入）=刑1,2）, 了 1 + 入=m •解得入=0.2 + 入=2m ,即当入=0时，a 与a +入b 共线， 综上可知，入＞—3■且入丰0.5. [xx •全国卷H 改编]已知△ ABC 是边长为2的等边三角形,T T TPA ・(PB+ PC 的最小值.cos 0 =a +b | a |a + b || a ||a | 2| a || a |1 2.P 为平面 ABC 内一点，求解解法一：设BC的中点为D, AD的中点为E,则有PB+ PC= 2PD 则PA-(PB+ PC = 2PA- PDf ff f f f=2( PE + EA •( PE — EA = 2( PE — EA ).fPU 有最小值0,故此时PA-（ PB+ PC 取最小值,f最小值为一2EA解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图, 则 A — 1,0），耳1,0） ，C （0， 3），设 Rx ，y ），取 BC 的中点 D,贝Uff fx -1 + +• y -子=八+42而A W=34,因此，当x =— 4，y =,PA ・（PB+ PC ）取得最小值，为 2X当P 与E 重合时, D2,.PA •( PB + PC ) = 2 PA • PD = 2( — 1 — x ，— y ) • g — x ，^ — y =。

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时分层作业二十七4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时分层作业二十七4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层作业二十七平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题(每小题5分，共35分）1.已知a=（3,—2）,b=(-2,1)，c=(7，—4),则（）A。

c=a+2b B.c=a-2bC.c=2b—a D。

c=2a-b【解析】选B.设c=x a+y b，所以（7，—4)=(3x-2y,—2x+y),所以得所以c=a—2b。

2.在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB.若=a,=b，=1，=2，则=（）A。

a+b B.a+bC。

a+b D.a+b【解析】选B.因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得==,所以D为AB的三等分点，且==（—),所以=+=+=a+b.3。

（2018·青岛模拟)已知向量a=（—1,2）,b=(3，m）,m∈R，则“m=—6"是“a∥(a+b)"的( )A。

充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得a+b=(2，2+m），由a∥(a+b）,得—1×(2+m)=2×2,所以m=—6.当m=-6时，a∥（a+b）,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充分必要条件。

2019年高考数学第一轮复习提分专练习题：平面向量【难点突破】难点1 向量与轨迹、直线等知识点结合1.已知过点D(-2，0)的地线l与椭圆交于不同两点A、B点M是弦AB的中点且，求点P的轨迹方程2.一条斜率为1的直线与离心率为万的双曲线1(a&gt;0b&gt;&gt;0)，交于P.Q两点，直线l与y轴交于点K，且，求直线与双曲线的方程难点2平面向量为背景的综台题1.设过点M(a,b)能作抛物线y=x2的两条切线MA、MB，切点为A、B(1)求;(2)若=0，求M的轨迹方程;(3)若LAMB为锐角，求点M所在的区域.2.已知=(1，1)，=(1，5)，=(5，1)若=x·，y=(x，y∈R)(1)求y=f(x)的解析式;(2)把f(x)的图像按向量a=(-3，4)平移得到曲线C1，然后再作曲线C，关于直线y=x，的对称曲线C2，设点列P1，P2，…Pn在曲线C2的x轴上方的部分上，点列Ql，Q2…Qn 是x轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2,…△Qn-1QnPn都是等边三角形，设它们的边长分别为a1，a2，…an，求Sn=a1+a2+…+an的表达式.【易错点点睛】易错点1 向量及其运算1.已知，|a|=，|b|=3，a与b的夹角为45°，当向量a+λb 与λa+b的夹角为锐角时，求实数A的范围.2.已知O为△ABC所在平面内一点且满足，则△AOB与△AOC 的面积之比为 ( )A.1B. D.2【举一反三】1 △ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且(1)求答案：由已知得2，所以(2)求△ABC的面积.∴S△ABC=S△AOB+ S△AOC+S△BOC=.2 已知向量a=(1，1)，b：(1，0)，c满足a·c=0，且|a|=|c|，b·c&gt;0.(1)求向量c;3.已知A、B、C三点共线，O是该直线外一点，设=a，且存在实数m，使ma-3b+c成立.求点A分所成的比和m的值. 易错点2 平面向量与三角、数列1.设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,)求x;(2)若函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|&lt;)平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数m、n之值.2.已知i,j分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，(1)求3.在直角坐标平面中，已知点P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整数，对平面上任一点Ao，记A1为Ao关于点P1的对称点，A2为A1，关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点Ao在曲线C上移动时.点A2的轨迹是函数y=f(x)的图像，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0，3)时f(x)=lgx.求以曲线C为图像的函数在(1，4)上的解析式;(3)对任意偶数n，用n表示向量的坐标.【特别提醒】向量与三角函数、数列综合的题目，实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大，向量与数列结合的题目，综合性强、能力要求较高.【举一反三】1 已知平面向量a=(，-1)，b=，c=a+(sin2a-2cosa)b，d=()a+(cosa)b，a∈(o，)，若c⊥d，求cosa.2设向量a=(cos23°，cos67°).b=(cos68°，cos22°)，c =a+tb(t∈R)，求|c|的最小值.∴|c|的最小值为，此时t=-3 已知向量a=(2，2)，向量b与a的夹角为，且a·b=-2.(1)求向量b;(2)若t=(1，0)且b⊥t，c=(cosA，2cos2)，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围.易错点3平面向量与平面解析几何1.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点F(-m，0)(m 是大于0的常数.)(1)求椭圆的方程;(2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、 Q的直线l与y 轴交于点M，若，求直线l的斜率.2.如图6—4，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB 的中点，|AB|=AC⊥BD，M为CD的中点.(1)求点M的轨迹方程;(2)过M作AB的垂线，垂足为N，若存在常数λo，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹C的方程.3.如图6—5，ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。

板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·许昌模拟]设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10 答案 B解析 由a ⊥c ，得a ·c ＝2x －4＝0，解得x ＝2.由b ∥c ，得12＝y－4，解得y ＝－2.所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.故选B.2．[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析 AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.故选A.3．[2016·全国卷Ⅲ]已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 A解析 cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°.故选A.4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 答案 B解析 由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则|a |2－4a·b ≥0，即a·b ≤14|a |2.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B. 5．在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( )A ．18B ．3C ．15D ．12 答案 A解析 由题意可得△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝32，AM →＝BA →，故CM →·CA →＝(CA →＋AM →)·CA →＝CA →2＋AM →·CA →＝9＋(CA →－CB →)·CA →＝9＋CA →2－CB →·CA →＝9＋9－0＝18.故选A.6．[2018·济宁模拟]平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形答案 C解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．故选C.7．[2018·重庆模拟]已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π6 答案 C解析 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.故选C.8．[2018·南宁模拟]已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|＝________.答案10解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝12，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，所以|2α＋β|＝10.9．[2018·北京东城检测]已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.答案 8 2解析 由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.10．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边BC 的中点，则AD →·BC →＝________.答案 －52解析 利用向量的加减法法则可知AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(－AB →＋AC →)＝12(－AB →2＋AC →2)＝－52.[B 级 知能提升]1．[2018·石家庄模拟]在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AC →·BC →＝1，则BC ＝( )A. 3B. 2 C ．2 D ．3 答案 D解析 设∠A ＝θ，因为BC →＝AC →－AB →，AB ＝4，AC ＝3， 所以AC →·BC →＝AC →2－AC →·AB →＝9－AC →·AB →＝1. AC →·AB →＝8.cos θ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝83×4＝23，所以BC ＝16＋9－2×4×3×23＝3.故选D.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．答案 2解析 由已知得AB →＝(－3,3)，设C (x ，y )， 则OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0，所以x ＝y . AC →＝(x －3，y ＋1)．又AC →＝λOB →，即(x －3，y ＋1)＝λ(0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ，由x ＝y 得，y ＝3，所以λ＝2.3．[2018·东营模拟]若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为________．答案 π3解析 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0， 所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2.故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.又0≤θ≤π，所以θ＝π3.4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0， 即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0. ∴λ＞－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0. 即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线， 综上可知，λ＞－53且λ≠0.5．[2017·全国卷Ⅱ改编]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，求P A →·(PB →＋PC →)的最小值．解 解法一：设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时P A →·(PB →＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝⎛⎭⎪⎫y －32＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34.因此，当x ＝－14，y ＝34时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO → 答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →.故选D.2．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.故选D.3．(2017·衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN→＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB→＋25AC →，∴⎩⎨⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1.故选B.4．(2018·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0) 答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1.故选B.5．(2018·广东模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB→2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 答案 B解析 OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →，即OP →－OA →＝AP →＝12BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.6．(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1.故选C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③ 答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．②成立．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立． ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0. ∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，∴该命题不成立．故选D.8．(2018·泉州模拟)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 答案 D解析 由BC →＝a ，CA →＝b ，则AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b .BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b .所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，所以命题②③④正确．故选D.9．(2018·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 如图，连接AM ，BM ，延长AC 到D 使AD ＝3AC ，延长AM 到E 使AE ＝5AM ，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以AB →＝5AM →－3AC →＝AE →－AD →＝DE →.连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB 和向量DE 平行且模相等)．由于AD →＝3AC →， 所以S △ABC ＝13S △ABD .因为AM →＝15AE →，所以S △AMB ＝15S △ABE ，在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE ＝12S ▱ABED ， 故S △ABM S △ABC ＝15S△ABE 13S △ABD＝35.故选C. 10．若O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝( )A ．3∶2∶1B ．2∶1∶3C ．1∶3∶2D ．1∶2∶3 答案 D解析 如图所示，延长OB 到D ，使得BD ＝OB ，延长OC 到E ，使得CE ＝2OC .连接AD ，DE ，AE .∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0， ∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝16S △ODE ＝16×13S △ADE ＝118S △ADE ； S △AOC ＝13S △OAE ＝13×13S △ADE ＝19S △ADE ； S △ABO ＝12S △OAD ＝12×13S △ADE ＝16S △ADE .∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. 故选D. 二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 511解析 注意到N ，P ，B 三点共线，因此有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.12．(2017·泉州四校联考)设e 1，e 2是不共线的向量，若AB →＝e 1－λe 2，CB →＝2e 1＋e 2，CD →＝3e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．答案 2解析 ∵CB →＝2e 1＋e 2，CD →＝3e 1－e 2，∴BD →＝CD →－CB →＝(3e 1－e 2)－(2e 1＋e 2)＝e 1－2e 2，又A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线，存在μ∈R 使得AB →＝μBD →，即e 1－λe 2＝μ(e 1－2e 2)，由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，－λ＝－2μ，解得λ＝2.13．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量 OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23，所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点， 过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝ mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连接AO ，∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2. 三、解答题15．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线．又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.16．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎨⎧ m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线，∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎨⎧ m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1，得4m ＋n ＝1.②由 ①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 答案 C解析 由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)．由cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝1665.故选C.2．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a ·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2 D.54 答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)，a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，∴|2a －b |a ·(a ＋b )＝55＝1.故选B.3．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( )A ．6B ．－6C ．2 3D ．－2 3 答案 B解析 由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →. ∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°. ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos 〈EF →，FD →〉＝43cos150°＝－6，故选B.4．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形答案 D 解析因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( )A ．3B ．－3C ．－92 D.92 答案 D解析 由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92，故选D.6．(2017·龙岩一模)已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，则实数mn 的值为( )A.16B.14 C ．6 D ．4 答案 A解析 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，∵OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0， ∴m n ＝16.故选A.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( )A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12 答案 C解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝4m 2－8(m 2－1)>0，得－2<m <2，又x A x B ＝m 2－12，x A ＋x B ＝－m ，所以y A y B ＝(x A ＋m )(x B ＋m )＝m 2－12，由AO →·AB →＝AO →·(OB →－OA →)＝－OA →·OB →＋OA →2＝－x A x B －y A y B ＋1＝－m 2＋2＝32，解得m ＝±22.故选C.8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ·b 和b ·a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ·b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12 答案 D解析 根据新定义，得a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ·a ＝b ·aa ·a＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a ·b 和b ·a 都在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，设a ·b ＝n 12，b ·a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ·b )·(b ·a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1，故a ·b ＝n 12＝12.故选D.9．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 B解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则由c ·a ＝c ·b ＝1，得c＝(1,1)，c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋t (1,0)＋1t (0,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1，1＋1t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ＝(t ＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t ＋2≥22，当且仅当t ＝1时等号成立．故选B.10．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 以a 和b 分别为x 轴和y 轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c |＝x 2＋y 2.所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ，即|c |∈[2－1，2＋1]．故选A.二、填空题11．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|a －2b |＝27，则|b |＝________.答案 3解析 因为|a |＝2，|a －2b |＝27，所以(a －2b )2＝28，即4－4a ·b ＋4|b |2＝28，又向量a ，b 的夹角为60°，所以4－4×2×|b |cos60°＋4|b |2＝28，解得|b |＝3.12．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案223解析 a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8.∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9，∴|a |＝3.∵|b |2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8， ∴|b |＝22，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.13．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN→的取值范围是________．答案 [2,5]解析 如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ，则λ∈[0,1]，AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝AB →·AD →＋(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD →＋λ(λ－1)BC →·CD →＝1×2×12＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴AM →·AN →∈[2,5]．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案 311解析 由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 三、解答题15．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)， ∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。

第十四单元圆锥曲线的概念与几何性质考点一椭圆的标准方程和几何性质1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是().A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,∪[4,+∞)【解析】当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan 60°=,即≥,解得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan 60°=,即≥解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A.【答案】A2.(2014年大纲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为().A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解析】因为△AF1B的周长为4所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4所以a=.又因为椭圆的离心率e==,所以c=1,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆C的方程为+=1,故选A.【答案】A3.(2013年全国Ⅱ卷)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为().A. B. C. D.【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====.(法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).【答案】D4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为().A.B. C. D.【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a.∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切,∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,∴=,∴e==-===.故选A.【答案】A考点二双曲线的标准方程和几何性质=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程--().A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2.又4=4m2,所以m2=1,所以-1<n<3.【答案】A6.(2017年全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以=.又因为椭圆与双曲线的焦点为(±3,0),即c=3,且c2=a2+b2,所以a2=4,b2=5,故双曲线C的方程为-=1.【答案】B7.(2017年全国Ⅱ卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为().A.2B.C.D.【解析】根据双曲线的对称性,可取渐近线为y=x,即bx-ay=0.由题意,知圆心(2,0)到渐近线的距离d=-=,即==,所以-=3,解得c2=4a2.所以e2=4,e=2.【答案】A8.(2015年全国Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是().A.-B.-C.-D.-【解析】由题意不妨取F1(-,0),F2(0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=+-3<0.又点M在曲线C上,所以有-=1,即=2+2,代入上式得<,所以-<y0<,故选A.【答案】A9.(2017年全国Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MAN=60°,则C的离心率为.【解析】如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0,∴点A到l的距离d=.又∠MAN=60°,MA=NA=b,∴△MAN为等边三角形,∴d=MA=b,即=b,∴a2=3b2,∴e===.【答案】考点三抛物线的标准方程和几何性质10.(2013年全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为().A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】由已知得抛物线的焦点为F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则=-,=-.由已知得·=0,即-8y0+16=0,解得y0=4,所以M.由|MF|=5得-=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.【答案】C11.(2014年全国Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=().A. B. C.3 D.2【解析】过点Q作QQ'⊥l交l于点Q',因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4.又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ'|=3.故选C.【答案】C12.(2014年全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为().A. B. C. D.【解析】易知抛物线中p=,焦点F,直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=-,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,又原点O到直线AB的距离d=·sin 30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=.【答案】D13.(2017年全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.【解析】如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.∵M为FN的中点,PM∥OF,∴|MP|=|FO|=1.又|BP|=|AO|=2,∴|MB|=|MP|+|BP|=3.由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.【答案】6高频考点:圆锥曲线的定义与标准方程;圆锥曲线的几何性质(包括范围、对称性、顶点、离心率、渐近线、准线等).命题特点:从考查题型看,一般是一道选择题或解答题,从考查分值看,在5分~12分之间;从涉及的知识点上讲,常与平面几何、直线方程、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系.§14.1椭圆一椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.二椭圆的标准方程及其简单几何性质|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆.()(2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(3)若P为椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,则|OP|的最小值为b.()(4)若P为椭圆上任意一点,F为其焦点,则|PF|∈[a-c,a+c].()(5)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相等.()(2017年浙江卷)椭圆+=1的离心率是().A. B.C. D.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是().A.2B.6C.4D.12三点P(x0,y0)和椭圆的关系1.点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.2.点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.3.点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.四离心率e与a、b的关系e2==-=1-⇒=.五求椭圆标准方程的两种方法1.定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆方程.2.待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是().A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,求点P的坐标.知识清单一、和焦点焦距二、+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)2a2b(±c,0)(0,±c)(0,1)基础训练1.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2.【解析】e==,故选B.【答案】B3.【解析】由椭圆的定义知,|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a(F是椭圆的另一个焦点),∴△ABC的周长为4a=4.故选C.【答案】C4.【解析】将x2+ky2=2化为+=1,又方程表示焦点在y轴上的椭圆,则>2,解得0<k<1,故选D.【答案】D5.【解析】设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,把y=±1代入+=1,得x=±.又x>0,所以x=,所以点P的坐标为或-.题型一椭圆的定义及应用【例1】(2015年重庆卷改编)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q 两点,若|PF1|=2+,|PF2|=2-,且PQ⊥PF1,求椭圆的标准方程.【解析】由椭圆的定义,得2a=|PF1|+|PF2|=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|==2,即c=,从而b=1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.【变式训练1】已知椭圆+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义,知m+n=2a=8,|F1F2|=2c=2=2.在△F1PF2中,cos∠F1PF2=-=--=,解得mn=12,=mn sin 60°=3.【答案】3题型二求椭圆的标准方程【例2】根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P,Q两点;(2)过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点;(3)中心在原点,焦点在坐标轴上,椭圆过点(3,0),离心率e=.【解析】(1)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得所以所求椭圆的标准方程为5x2+4y2=1,即+=1.(2)(法一)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=-+--,解得a=2.由c2=a2-b2可得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为+=1.(法二)设所求椭圆的标准方程为+=1(k<9),将点(,-)的坐标代入可得-+=1,解得k=5(k=21舍去),所以椭圆的标准方程为+=1.(3)当椭圆焦点在x轴上时,a=3,e==,所以c=,b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为+=1;当椭圆的焦点在y轴上时,同理可得椭圆的标准方程为+=1.综上所述,椭圆的标准方程为+=1或+=1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根【变式训练2】(1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1(2)椭圆+=1(a>b>0)上的一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP,|F1A|=+,则椭圆的方程为.【解析】(1)由题意知e==,所以e2==-=,即a2=b2.以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2,由题意可知b==,所以a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1,故选C.(2)设F1(-c,0),由已知,得PF1的方程为x=-c,代入椭圆方程,得P-.又AB∥OP,所以k OP=k AB,即-=-,所以b=c,a=c,|F1A|=a+c=(+1)c=+,得c=,所以b=,a=,故椭圆的方程为+=1.【答案】(1)C(2)+=1题型三求椭圆离心率的值或取值范围【例3】(1)(2016年江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.(2)(2015年福建卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是().A. B.C. D.【解析】(1)由得B-,C.由F(c,0),得=--,=-.又因为∠BFC=90°,所以·=0,化简可得2a2=3c2,即e2==,故e=.(2)设左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形BF1AF是平行四边形,故|AF1|=|BF1|,所以|AF|+|AF1|=4=2a,所以a=2.设M(0,b),则≥,故b≥1.所以a2-c2≥1,所以0<c2≤3,解得0<c≤,所以椭圆E的离心率的取值范围为.【答案】(1)(2)A【变式训练3】(1)(2017遂宁一诊)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF 是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是().A.-1B.2-C.-1D.2-(2)(2017东北百校大联考)如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2,B1,B2为椭圆的顶点,F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是.【解析】(1)不妨设F1,F2为椭圆的左,右焦点,点A在第一象限内,则由题意,|OA|=|F1F2|,所以△F1AF2是直角三角形,|AF2|=c,所以|AF1|=c,2a=c+c,所以==-1,故选A.(2)设B1(0,-b),B2(0,b),F2(c,0),A2(a,0),则=(a,-b),=(-c,-b).因为∠B1PB2为钝角,所以与的夹角为锐角,所以·=-ac+b2>0,即a2-c2-ac>0.两边同时除以a2并化简得e2+e-1<0,解得--<e<-,又0<e<1,所以0<e<-.【答案】(1)A(2)-方法与椭圆有关的范围问题求解策略解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面:(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.【突破训练】(1)(2017贵阳摸底)已知椭圆C:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1的斜率的取值范围是().A. B. C. D.(2)设F1,F2分别是椭圆+=1的左,右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.【解析】(1)(法一)设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,易知A1(-2,0),A2(2,0),则有k1k2=·-=-=-=-.因为-2≤k2≤-1,所以k1>0且-2≤-≤-1,即1≤≤2,解得≤k1≤.故选B.(法二)设直线PA2的斜率为k2,令k2=-1,则直线PA2的方程为y=-(x-2),代入椭圆方程并整理得7x2-16x+4=0,解得x1=2,x2=,从而可得点P的坐标为,于是直线PA1的斜率k1=-=.同理,令k2=-2,可得k1=.结合选项知,B正确.(2)|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于点P(图略),此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+-=15.【答案】(1)B(2)151.(2017四川遂宁模拟)椭圆+=1的焦距为2,则m的值是().A.6或2B.5C.1或9D.3或5【解析】由题意得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3.所以m的值是3或5,故选D.【答案】D2.(2017长春外国语学校期末)椭圆+与椭圆+=1(0<k<9)的关系为().A.有相等的长轴、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.x,y有相同的取值范围【解析】∵0<k<9,∴0<9-k<9,16<25-k<25,∴25-k-(9-k)=16,∴两个椭圆有相等的焦距.故选B.【答案】B3.(2017南昌模拟)已知圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,若动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】设圆M的半径为r,由题意可知,|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>|C1C2|=8,∴圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,∴b2=64-16=48,∴动圆圆心M的轨迹方程为+=1.【答案】D4.(2017宁德联考)已知A,B为椭圆E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则椭圆E 的离心率为().A. B. C. D.【解析】由题意可知,M为椭圆短轴上的顶点,且∠AMB=120°,所以∠AMO=60°,=tan 60°=,a=b,所以c2=a2-b2=a2,所以e==.【答案】D5.(2017辽宁五校联考)椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任意一点,且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=-,则椭圆M的离心率e的取值范围是().A. B.C. D.【解析】∵|PF1|·|PF2|≤==a2,∴2c2≤a2≤3c2,∴2≤≤3,∴≤e2≤,解得≤e≤.【答案】A6.(2017东北三校联考)已知椭圆的对称轴为坐标轴,两个焦点坐标分别是(0,-2),(0,2),且过点-,则椭圆的标准方程为.【解析】由题设知,椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为+=1(a>b>0).由椭圆的定义知,2a=-+--=+=2,所以a=.又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.故所求椭圆的标准方程为+=1.【答案】+=17.(2017宜昌调研)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.【解析】由题意知,椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.解得交点坐标A(0,-2),B,联立-所以S△OAB=·|OF|·|y A-y B|=×1×--=.【答案】8.(2017日照市二模)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上,下焦点分别为F1,F2,上焦点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B(B不在y轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与x轴交于点H,若·=0,且||=||,求直线l的方程.【解析】(1)设椭圆的焦点F1(0,c),由点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,得=3,所以c=1.又椭圆C的离心率e=,所以=,a=2,所以b2=3,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=kx,设B(x B,y B),A(x A,y A),由得(3k2+4)x2+12kx=0,则有x A=0,x B=-,所以y B=-,所以=--,=(x H,-1),由已知·=0,得-·x H+1--=0,解得x H=-,由||=||,得+=+(y M-2)2,解得y M=1,直线MH的方程为y=---,解得y M=,联立--由y M==1,解得k2=,所以直线l的方程为y=±x+2.9.(2017河北联考)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2,若<k<,则椭圆C的离心率的取值范围是().A. B.C. D.∪【解析】由题意可知|AF2|=a+c,|BF2|=,所以直线AB的斜率为k==-=∈,即解得<e<,故选C.【答案】C10.(2017唐山一中月考)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,若向量+与向量a=(3,-1)共线,则该椭圆的离心率为().A. B. C. D.【解析】设F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2),直线AB的方程为y=x+c,代入椭圆方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.由韦达定理得,x1+x2=-,所以y1+y2=x1+x2+2c=.由+与a=(3,-1)共线,得x1+x2+3(y1+y2)=0,即-+3×=0,解得=,得e==.故选B.【答案】B11.(2014年江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,从而-+-=0.依题意x1+x2=2,y1+y2=2,且-=-,-所以-=-,即a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),得e2==,所以e=.【答案】12.(2017浙江模拟)若椭圆C:+y2=1(a>0)上存在关于直线l:y=2x+1对称的点,则椭圆C的离心率的取值范围为.【解析】设A,B是椭圆C上关于直线l:y=2x+1对称的两点,直线AB的方程为y=-x+m.联立得(a2+4)x2-4ma2x+4a2(m2-1)=0.点A,B存在⇒Δ>0⇒a2-4m2+4>0.①由弦AB的中点E(x0,y0)在直线l:y=2x+1上,得a2=->0,解得m<-或m>1.②将a2=-代入①得-<0,结合②解得-<m<-.故e2=-=1-=∈,故e∈.【答案】13.(2017四川一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为6,且椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=的公共弦长为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断在x轴上是否存在点D,使得△ADB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点D的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可得2a=6,所以a=3.由椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=的公共弦长为,恰为圆M的直径,可得椭圆C经过点,所以+=1,解得b2=8.所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0).假设存在点D(m,0),使得△ADB是以AB 为底边的等腰三角形,则DE⊥AB.由得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-,所以x0=-,y0=kx0+2=.因为DE⊥AB,所以k DE=-,即---=-,所以m=-=-.当k>0时,9k+≥2=12,所以-≤m<0;当k<0时,9k+≤-12,所以0<m≤.综上所述,在x轴上存在满足题意的点D,且点D的横坐标的取值范围为-∪.14.(2015年天津卷)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.①求λ的值;②若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.【解析】(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c,又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=-==2.(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).①由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线BF的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得x P=-.因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c.将直线BQ的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得x Q=.又因为λ=及x M=0,可得λ=-==.-②因为=,所以==,即|PQ|=|PM|.又因为|PM|sin∠BQP=,所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.又因为y P=2x P+2c=-c,所以|BP|==c,因此c=,得c=1.所以椭圆的方程为+=1.§14.2双曲线一双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的,两焦点间的距离叫作双曲线的.二双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R三等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率为.四常用结论1.双曲线的焦点到渐近线的距离是b;双曲线的顶点到渐近线的距离是.2.点与双曲线的关系(1)点P(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的内部⇔->1.(2)点P(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的外部⇔-<1.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()(4)双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)有共同的渐近线.()(5)P是-=1上的点,F1为左焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=17或1.()方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是().A.-1<k<1B.k>0C.k≥0D.k>1或k<-1(2015年安徽卷)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是().A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1(2017石家庄一模)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P是双曲线上位于第一象限内一点,且△PF1F2的面积为6,则点P的坐标为.知识清单一、差的绝对值焦点焦距二、坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)y=±x y=±x a2+b2三、y=±x e=基础训练1.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.【解析】由题可知,方程表示双曲线应满足(1+k)(1-k)>0,则k的取值范围是-1<k<1.故选A.【答案】A3.【解析】由双曲线性质知A、B选项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D选项双曲线焦点均在y轴上,但D选项渐近线为y=±x,只有C选项符合,故选C.【答案】C4.【解析】已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1,故选A.【答案】A5.【解析】因为双曲线方程为-=1,所以c=3.又因为△PF1F2的面积为6,所以×2c×y P=6,所以y P=2.代入双曲线方程,得-=1,=,即x P=舍去.【答案】题型一双曲线的定义【例1】(1)设动点P到点A(-5,0)的距离与它到点B(5,0)的距离的差等于6,则点P的轨迹方程是().A.-=1B.-=1C.-=1(x≤-3)D.-=1(x≥3)(2)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=().A. B. C. D.【解析】(1)由题意,点P的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,∴点P的轨迹方程为-=1(x≥3).故选D.(2)由e==2,得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,|F2A|=2a,∴cos∠AF2F1=-=.【答案】(1)D(2)A【变式训练1】(1)(2017陕西师大附中模拟)设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ的周长为().A.19B.26C.43D.50(2)设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,则此双曲线的方程为.【解析】(1)如图,由双曲线的定义可得①+②得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,∴△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.(2)由椭圆方程+=1,得椭圆的两个焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3).设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).∵点A在第一象限,且纵坐标为4,∴A(,4),∴2a=||AF1|-|AF2||=|-|=4,∴a=2,b2=32-22=5,故所求双曲线的方程为-=1.【答案】(1)B(2)-=1题型二待定系数法求双曲线方程【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)双曲线的焦点在x轴上,且经过(-,-),两点;(2)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点M(3,-2);(3)与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=.【解析】(1)设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(m>0,n>0),由已知得--解得所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.(2)设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0),因为点M(3,-2)在双曲线上,所以-=λ,即λ=,故所求双曲线的标准方程为-=1.(3)设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由已知得双曲线的焦点为F1(5,0),F2(-5,0),则c=5,由e==,知a=2,b2=c2-a2=25-(22=5.故双曲线的标准方程为-=1.求双曲线的标准方程,应该“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注意分类讨论.【变式训练2】(1)(2017临川实验学校一模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1(2)(2017九江市三模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,从C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为().A.-=1B.-y2=1C.-=1D.x2-=1【解析】(1)渐近线方程化简为x±y=0,设顶点坐标为(a,0),顶点到渐近线的距离为=,解得a=2,由渐近线方程的斜率=,可得b=2,所以双曲线的方程为-=1.故选B.(2)因为双曲线的离心率为,所以该双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立得A.又-因为△AFO的面积为1,所以×c2=1,解得c2=5,则a2=1,b2=4,即双曲线C的方程为x2-=1.故选D.【答案】(1)B(2)D题型三双曲线的离心率与渐近线【例3】(1)(2017惠州二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为().A. B. C.3 D.(2)(2017武邑中学周考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围为().A.[2,+∞)B.[,+∞)C.(1,2]D.(1,]【解析】(1)任取一焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为b,则b=c⇒3b=c⇒9b2=2c2⇒9(c2-a2)=2c2⇒7c2=9a2⇒=⇒e=,故选D.(2)由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF2|=a,而双曲线右支上的点到F2的最小距离为c-a,因此|PF2|=a≥c-a,得e≤2,又双曲线离心率e>1,所以1<e≤2.故选C.【答案】(1)D(2)C【变式训练3】(1)(2017重庆一中月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的离心率为().A. B. C. D.(2)(2017吉林省实验中学八模)已知双曲线-=1(a>0,b>0),过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是().A. B.(1,2)C. D.(2,+∞)【解析】(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±x,直线x+2y+1=0的斜率为-,∴-×=-1,∴=2.∴双曲线的离心率e===.故选C.(2)|AB|是双曲线通径,|AB|=,由题意a+c<,即a2+ac<b2=c2-a2,c2-ac-2a2>0,即e2-e-2>0,解得e>2(e<-1舍去),故选D.【答案】(1)C(2)D方法双曲线中的焦点三角形问题双曲线-=1(a>0,b>0)中的“焦点三角形”即由双曲线上的一个动点P和两个焦点F1,F2作为顶点的三角形.(1)若∠F1PF2=α,则△F1PF2的面积=.(2)焦点三角形PF1F2的内切圆与x轴相切的切点恰好为双曲线的一个顶点.(3)焦点三角形PF1F2中,利用||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c,借助余弦定理、正弦定理进行转化,可求得离心率及其取值范围.【突破训练】(1)(2017西铁一中五模)设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),且|PF1|=|PF2|,则双曲线的离心率为().A.B.+1 C. D.+1(2)(2016年浙江卷)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【解析】(1)因为(+)·=0,即(+)·(-)=0,所以-=0,|OP|=|OF2|=|OF1|,所以PF1⊥PF2.在Rt△PF1F2中,因为|PF1|=|PF2|,所以∠PF1F2=30°,由|F1F2|=2c得|PF2|=c,|PF1|=c,所以2a=c-c.所以==+1,故选D.-(2)如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设点P在右支上,|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2.由△PF1F2为锐角三角形,结合实际意义应满足解得-1+<m<3,所以2<2m+2<8.又|PF1|+|PF2|=2m+2,所以|PF1|+|PF2|的取值范围是(2,8).【答案】(1)D(2)(2,8)1.(2014年全国Ⅰ卷)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=().A.2B.C.D.1【解析】因为c2=a2+3,所以e===2,得a2=1,所以a=1.【答案】D2.(2017唐山市二模)已知双曲线过点(2,3),且渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程是().A.-=1B.-=1C.x2-=1D.-=1【解析】设双曲线的方程为x2-=λ,∵双曲线过点(2,3),∴4-=λ,即λ=1,故双曲线的方程是x2-=1,故选C.【答案】C3.(2014年广东卷)若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的().A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解析】∵0<k<5,∴5-k>0,16-k>0.又∵双曲线-=1的焦距是2=2;双曲线-=1的焦距是2=2.故选D.【答案】D4.(2017年天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】由题意得a=b,=1,所以c=4.又因为c2=a2+b2=16,所以a2=8,b2=8,则双曲线的方程为-=1.故选B.【答案】B5.(2017湖南八校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线C的实轴垂直,则双曲线C的离心率为().A. B. C. D.2【解析】设F(c,0),一条渐近线的方程为y=x,点F到该渐近线的距离为=b,即圆F的半径为b.令x=c,与双曲线方程联立解得y=±,依题意=b,所以a=b,所以双曲线C的离心率e===.【答案】C6.(2017山东枣庄一模)若原点O和点F(2,0)分别为双曲线x2-=1(a>0)的中心和右焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围是().A.[-1,+∞)B.[1,+∞)C.[2,+∞)D.[-2,+∞)【解析】由a2+1=4得a=,所以双曲线的方程为x2-=1.设点P(x0,y0),则-=1,即=3-3.所以·=x0(x0-2)+=4-2x0-3.因为x0≥1,所以当x0=1时,·取得最小值-1,所以·∈[-1,+∞).【答案】A7.(2017西安质检)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=.【解析】双曲线的右焦点为F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为y=±x,将x=2代入y=±x,得y=±2,∴|AB|=4.【答案】48.(2017成都一诊)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,双曲线上一点P满足PF2⊥x轴.若|F1F2|=12,|PF2|=5,则该双曲线的离心率为.【解析】2c=12⇒c=6,根据勾股定理可得|PF1|==13,所以2a=13-5=8⇒a=4,所以双曲线的离心率e===.【答案】9.(2015年全国Ⅱ卷)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为().。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ,P ,Q ,E ,F ,G ,H ,则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO → 答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →,如图所示,则容易看出OP →＋OQ →＝FO →.故选D.2．已知A ,B ,C 三点不共线,且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0,则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0,∴O 为△ABC 的重心,∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.故选D.3．(2017·衡水中学三调)在△ABC 中,AN →＝14NC →,P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R ),则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN→＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →,又AP →＝mAB→＋25AC →,∴⎩⎨⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1.故选B.4．(2018·石家庄一模)A ,B ,C 是圆O 上不同的三点,线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合),若OC →＝λOA →＋μOB →(λ,μ∈R ),则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,＋∞)C ．(1,2]D ．(－1,0) 答案 B解析 设OC →＝mOD →,则m >1,因为OC →＝λOA →＋μOB →,所以mOD →＝λOA →＋μOB →,即OD →＝λm OA →＋μm OB →,又知A ,B ,D 三点共线,所以λm ＋μm ＝1,即λ＋μ＝m ,所以λ＋μ>1.故选B.5．(2018·广东模拟)已知点O ,A ,B 不在同一条直线上,点P 为该平面上一点,且OP →＝3OA →－OB→2,则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 答案 B解析 OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →,即OP →－OA →＝AP →＝12BA →,所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.6．(2017·广东七校联考)已知向量i ,j 不共线,且AB →＝i ＋m j ,AD →＝n i ＋j ,m ≠1,若A ,B ,D 三点共线,则实数m ,n 应满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ,B ,D 三点共线,所以AB →∥AD →,存在非零实数λ,使得AB →＝λAD →,即i ＋m j ＝λ(n i ＋j ),所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0,又因为i 与j不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1.故选C.7．下列命题中是真命题的是( ) ①对任意两向量a ,b ,均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ,b ,a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中,AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中,(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③ 答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时,|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0,∴a －b 与b －a 是相反向量．②成立．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0,∴③成立． ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →,CD →＋DA →＝CA →, ∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0. ∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →,∴该命题不成立．故选D.8．(2018·泉州模拟)已知D ,E ,F 分别为△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC →＝a ,CA →＝b ,给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 答案 D解析 由BC →＝a ,CA →＝b ,则AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b .BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ,CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b .所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0,所以命题②③④正确．故选D.9．(2018·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AM →＝AB →＋3AC →,则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 如图,连接AM ,BM ,延长AC 到D 使AD ＝3AC ,延长AM 到E 使AE ＝5AM ,因为5AM →＝AB →＋3AC →,所以AB →＝5AM →－3AC →＝AE →－AD →＝DE →.连接BE ,则四边形ABED 是平行四边形(向量AB 和向量DE 平行且模相等)．由于AD →＝3AC →, 所以S △ABC ＝13S △ABD .因为AM →＝15AE →,所以S △AMB ＝15S △ABE ,在平行四边形ABED 中,S △ABD＝S △ABE ＝12S ▱ABED ,故S △ABM S △ABC ＝15S△ABE 13S △ABD＝35.故选C. 10．若O 为△ABC 所在平面内一点,且OA →＋2OB →＋3OC →＝0,则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝()A ．3∶2∶1B ．2∶1∶3C ．1∶3∶2D ．1∶2∶3 答案 D解析 如图所示,延长OB 到D ,使得BD ＝OB ,延长OC 到E ,使得CE ＝2OC .连接AD ,DE ,AE .∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0, ∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝16S △ODE ＝16×13S △ADE ＝118S △ADE ； S △AOC ＝13S △OAE ＝13×13S △ADE ＝19S △ADE ； S △ABO ＝12S △OAD ＝12×13S △ADE ＝16S △ADE .∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. 故选D. 二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示,在△ABC 中,AN →＝13AC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋211AC →,则实数m 的值为________．答案 511解析 注意到N ,P ,B 三点共线,因此有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →,从而m ＋611＝1⇒m ＝511.12．(2017·泉州四校联考)设e 1,e 2是不共线的向量,若AB →＝e 1－λe 2,CB →＝2e 1＋e 2,CD →＝3e 1－e 2,且A ,B ,D 三点共线,则λ的值为________．答案 2解析 ∵CB →＝2e 1＋e 2,CD →＝3e 1－e 2,∴BD →＝CD →－CB →＝(3e 1－e 2)－(2e 1＋e 2)＝e 1－2e 2,又A ,B ,D 三点共线,则AB →与BD →共线,存在μ∈R 使得AB →＝μBD →,即e 1－λe 2＝μ(e 1－2e 2),由e 1,e 2是不共线的向量,得⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，－λ＝－2μ，解得λ＝2.13．(2018·河北衡水中学三调)如图,已知平面内有三个向量 OA →,OB →,OC →,其中OA →与OB →的夹角为120°,OA →与OC →的夹角为30°,且|OA →|＝|OB →|＝1,|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ,μ∈R ),则λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图,作平行四边形OB 1CA 1,则OC →＝OB 1→＋OA 1→,因为OA →与OB →的夹角为120°,OA →与OC →的夹角为30°,所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中,∠OCB 1＝30°,|OC |＝23,所以|OB 1|＝2,|B 1C |＝4,所以|OA 1|＝|B 1C |＝4,所以OC →＝4OA →＋2OB →,所以λ＝4,μ＝2,所以λ＋μ＝6.14．(2018·沈阳模拟)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点, 过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝ mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连接AO ,∵O 是BC 的中点, ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ,O ,N 三点共线,∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2. 三、解答题15．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ,BC →＝2a ＋8b ,CD →＝3(a －b )．求证：A ,B ,D 三点共线；(2)试确定实数k ,使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ,BC →＝2a ＋8b ,CD →＝3(a －b ),∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →,BD →共线．又它们有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线, ∴存在实数λ,使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ), 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ,b 是不共线的两个非零向量,∴k －λ＝λk －1＝0,∴k 2－1＝0,∴k ＝±1.16．如图所示,在△ABO 中,OC →＝14OA →,OD →＝12OB →,AD 与BC 相交于点M ,设OA →＝a ,OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ,则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线,∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ,使得AM →＝tAD →,即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎨⎧ m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t ,得m －1＝－2n ,即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ,CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ,M ,B 三点共线,∴CM →与CB →共线,∴存在实数t 1,使得CM →＝t 1CB →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b , ∴⎩⎨⎧ m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1,得4m ＋n ＝1.②由 ①②得m ＝17,n ＝37,∴OM →＝17a ＋37b .。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称,那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0,8π3＋φ＝k π＋π2,φ＝k π－136π(k ∈Z ),因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．(2017·长沙模拟)已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数,则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝⎛⎦⎥⎤0，32D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数,为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数,所以ω>0, 且π3ω≤π2,则0<ω≤32.故选C.3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9,所以－π3≤π6x －π3≤7π6, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3,2],所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A.4．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π,且是偶函数,则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增答案 A解析 由条件,知ω＝2.因为f (x )是偶函数,且|φ|<π2,所以φ＝π4, 这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时,2x ∈(0,π), 所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A.5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位,得到函数y ＝f (x )的图象,则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称答案 D解析 由题意知,f (x )＝cos x ,所以它是偶函数,A 错误；它的周期为2π,B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π,k ∈Z ,C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0,k ∈Z ,D 正确．故选D. 6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0,则函数f (x )的单调递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0,则2×3π8＋φ＝k π,k ∈Z ,解得φ＝－3π4＋k π,k ∈Z ,又因为0<φ<π2,所以φ＝π4,则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4,则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π,k ∈Z ,得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π,k ∈Z ,所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π,k ∈Z .故选D. 7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0,t ]上至少取得2次最大值,则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6,则由图象可知5T 4≤t ,即152≤t , ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称,则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象,该图象关于原点对称,即为奇函数,则π3＋φ＝k π(k ∈Z ),且|φ|<π2,所以φ＝－π3,即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3,所以当2x －π3＝－π3,即x ＝0时,f (x )取得最小值,最小值为－32.选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ,b ]上是增函数,且f (a )＝－M ,f (b )＝M ,则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ,b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 T ＝2πω,g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ,∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T2,可知,g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |cos x ,给出下列五个结论：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|,则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称． 其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A解析 ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34,∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2,当x 1＝0,x 2＝π2时也成立,∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时,f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数,∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x ),∴函数f (x )的周期不是π,∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ,∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称,∴⑤正确．故选A.二、填空题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0<φ<π),若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数,则φ＝________.答案 3π4解析 由题意得f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ,f ′(x )＝cos(x ＋φ),f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4是奇函数,因此φ＋π4＝k π(其中k ∈Z ),φ＝k π－π4.又0<φ<π,所以φ＝3π4.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象,仅向右平移4π3,或仅向左平移2π3,所得到的函数图象均关于原点对称,则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半,即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π,T ＝4π,即2πω＝4π,ω＝12. 13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A (a,0),B (b,0)是其图象上两点,若|a －b |的最小值是1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数, ∴φ＝π2,f (x )＝－4sin ωx .A (a,0),B (b,0)是其图象上两点,若|a －b |的最小值是1, 则12·2πω＝1,∴ω＝π,f (x )＝－4sinπx ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π,且其图象关于直线x ＝π12对称,则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π,∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称,得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0,得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0,∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π,得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z ),所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数,若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增,求实数ω的取值范围；解16．(2017·洛阳校级月考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋a cosx ＋a ,a ∈R . (1)当a ＝1时,求函数f (x )的最大值；(2)如果对于区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的任意一个x ,都有f (x )≤1成立,求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时,f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94,∵cos x ∈[－1,1],∴当cos x ＝12,即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时, f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1,即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,0≤cos x ≤1, 则1≤cos x ＋1≤2,∴a ≤ cos 2x cos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．令t ＝cos x ＋1,则1≤t ≤2,∴a ≤(t －1)2t ＝t 2－2t ＋1t＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立,于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0,当且仅当t ＝1,即x ＝π2时取等号, ∴a ≤0.。