2016年秋季新版沪科版九年级数学上学期23.1、锐角的三角函数同步练习2

23.1.3. 一般锐角的三角函数值一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A ＝513，则sin B 的值是( )A. 512B. 1213C. 23D. 5132．若α是锐角，sin α＝cos50°，则α等于() A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 3．已知cos A ＞12，则锐角A 的取值范围是( )A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜90°C ．0°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90° 4．［2017·威海］为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了40 m 长的斜道，如图33－K －1所示，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )A.2ndF sin 0·25＝B.sin 2ndF 0·25＝C.sin 0·25＝D.2ndF cos 0·25＝图33－K －15．三角函数sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是( ) A ．cos43°＞cos16°＞sin30° B ．cos16°＞sin30°＞cos43° C ．cos16°＞cos43°＞ sin30° D ．cos43°＞sin30°＞cos16° 6．［2016·永州］下列式子错误的是( )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1C ．sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2sin30° 二、填空题7．已知α为锐角，sin(90°－α)＝33，则cos α＝________． 8．已知sin42°54′＝0.6807，若cos α＝0.6807，则α＝________． 9．用“＞”或“＜”连接下面的式子：(1)tan19°______tan21°；(2)cos18°______sin18°.10．如图33－K －2，有一滑梯AB ，其水平宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，则∠A 的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．图33－K －211．观察下列等式： ①sin30°＝12，cos60°＝12；②sin45°＝22，cos45°＝22； ③sin60°＝32，cos30°＝32. 根据上述规律，计算sin 2α＋sin 2(90°－α)＝________．12．在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＋sin B ＝75，则sin A －sin B ＝________．三、解答题13．用计算器求下列各组三角函数值，并从中总结规律(精确到0.0001)： (1)sin40°，cos50°；(2)sin23°37′，cos66°23′.14．计算：cos45°－sin30°cos45°＋sin30°－cos40°sin50°.15．已知三角函数值，用计算器求锐角A (精确到1″)． (1)sin A ＝0.3035； (2)cos A ＝0.1078； (3)tan A ＝7.5031.16．如图33－K－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，延长CA到点D，使AD＝AB，连接BD.(1)求∠D的度数；(2)求tan D；(3)利用(2)的结果计算：tan22.5°×cos45°＋（sin45°－tan22.5°）2.图33－K－317．已知：如图33－K－4，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．图33－K－418规律探索(1)如图33－K－5①所示，已知AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，试比较sin∠B1AC，sin∠B2AC和sin∠B3AC的值的大小；(2)如图②所示，在Rt△ACB3中，点B1和B2是线段B3C上的点(与点B3，C不重合)，试比较cos∠B1AC，cos∠B2AC和cos∠B3AC的值的大小；(3)总结(1)(2)中的规律，根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．图33－K－51．[解析] D ∵∠C＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°，∴sin B ＝cos A ＝513.2．[解析] C 由sin α＝cos (90°－α)，可知α＝90°－50°＝40°，应选C .3．[解析] C ∵cos 60°＝12且锐角的余弦值随角度的增大而减小，∴当cos A ＞12时，0°＜∠A＜60°，故选C .4．[解析] A sin A ＝BC AC ＝1040＝0.25，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为2ndFsin 0·25＝.5．[解析] C 根据互余两角的三角函数之间的关系，可知sin 30°＝ cos 60°.因为余弦值随着锐角的增大而减小，所以cos 16°＞cos 43°＞cos 60°，即cos 16°＞cos 43°＞sin 30°.6．[解析] D cos 40°＝sin (90°－40°)＝sin 50°，选项A 正确；tan 15°·tan 75°＝tan 15°·1tan 15°＝1，选项B 正确；sin 225°＋cos 225°＝1，选项C 正确； sin 60°＝32，sin 30°＝12，则sin 60°≠2sin 30°，选项D 错误． 7．[答案]33[解析] ∵sin (90°－α)＝cos α，sin (90°－α)＝33，∴cos α＝33. 8．[答案] 47°6′[解析] 根据互余两个锐角的正弦、余弦的关系可知α＋42°54′＝90°，∴α＝90°－42°54′＝47°6′.9．[答案] (1)＜ (2)＞[解析] (1)正切值随锐角的增大而增大，19°＜21°，所以tan 19°＜tan 21°，故应填“＜”．(2)由cos 18°＝sin (90°－18°)＝sin 72°，72°＞18°，得sin 72°＞sin 18°，即cos 18°＞sin 18°.10．27.8° 11． [答案] 1[解析] 由题意得sin 230°＋sin 2(90°－30°)＝1；sin 245°＋sin 2(90°－45°)＝1；sin 260°＋sin 2(90°－60°)＝1.可得sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.12． [答案] ±15[解析] 因为∠A ，∠B 互余，所以cos A ＝sin B ， 所以sin A ＋cos A ＝75.又因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以2sin A ·cos A ＝2425，所以(sin A －cos A)2＝sin 2A ＋cos 2A －2sin A ·cos A ＝1－2425＝125，即sin A －cos A ＝±（sin A －cos A ）2＝±125＝±15，即sin A －sin B ＝±15.13．解：(1)sin 40°≈0.6428，cos 50°≈0.6428. (2)sin 23°37′≈0.4006，cos 66°23′≈0.4006. 规律：若锐角A ，B 满足∠A＋∠B＝90°， 则sin A ＝cos B.14．[解析] 计算时要注意根据互余两角三角函数之间的关系，有cos 40°＝ sin 50°. 解：原式＝22－1222＋12－sin 50°sin 50°＝2－2 2.15．解：(1)锐角A≈17°40′5″. (2)锐角A≈83°48′41″. (3)锐角A≈82°24′30″.16．解：(1)由题意知△ABC 是等腰直角三角形， 所以∠CAB＝∠ABC＝45°.又因为AD ＝AB ，且∠CAB＝∠D＋∠ABD＝45°， 所以∠D＝∠ABD＝22.5°. (2)由BC ＝AC ＝a ，根据勾股定理，得AD ＝AB ＝2a ，CD ＝AD ＋AC ＝(2＋1)a.在Rt △BCD 中，tan D ＝BC CD ＝a（2＋1）a ＝2－1，即tan D ＝2－1.(3)由(1)(2)知tan 22.5°＝tan D ＝2－1，原式＝tan 22.5°×cos 45°＋||sin 45°－tan 22.5° ＝(2－1)×22＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－（2－1） ＝1－22＋22－2＋1 ＝2－ 2.[点评] 解答本题的关键是利用直角三角形求一般锐角的三角函数值． 17．解：(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC， ∴AH ＝AC·cos A ＝9cos 48°. ∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°≈3.382，∴∠B ≈73°32′.18解：(1)由图可知B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3.∵sin ∠B 1AC ＝B 1C 1AB 1，sin ∠B 2AC ＝B 2C 2AB 2，sin ∠B 3AC ＝B 3C 3AB 3，AB 1＝AB 2＝AB 3，∴B 1C 1AB 1＞B 2C 2AB 2＞B 3C 3AB 3，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC.(2)∵Rt△ACB3中，∠C＝90°，∴cos∠B1AC＝ACAB1，cos∠B2AC＝ACAB2，cos∠B3AC＝ACAB3，∵AB3＞AB2＞AB1，∴ACAB1＞ACAB2＞ACAB3，即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC.(3)结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．由结论可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°.。

锐角的三角函数1. 在ABC ∆，90C ∠=︒，1sin 2A =，则sinB 等于（）A ．12 B ．22 C ．3 D ．12. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4sin 5A =，则sin B 的值是（）A ．34B ．35C ．43 D ．533. ABC ∆中，90C ∠=︒，且3c b =，则sin A 等于（）A ．23B 223C ．13D ．1034. 等腰直角三角形的边长为6，8，则底角的正弦是（）A ．23B ．38C ．53D ．23和385.如图3，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =32AB =sin ∠BCD 的值为（）.A 2B ．22C ．63 D ．336. 如图4，有两条宽度为1的带子，相交成α角，那么重叠部分（阴影）的面积是（）.A ．sinB ．1sin αC ．21sin αD ．1cos α7.在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2，则BC ＝8. 在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则sin A =9. 在正方形网格中，α∠的位置如图所示，则sin α的值为______. 10.在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求锐角的正弦值．11.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 () A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定12.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，则sinB 等于( )A.52B.53C.54D.4313.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于( )A.25B.35C.552D.3214.如果α是锐角,且sinα=54,那么cos(90°-α)的值为( )A.54B.43C.53D.5115.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )A.210B.510C.515D.515316.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________.17.如图,已知菱形ABCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan 2A等于( ) A.53 B.54C.343D.34518.如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°19.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.20.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt △ABC 的面积是___________.21.如图,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.22.在Rt △ABC 中,∠C=90°,A.B.c 分别是∠A.∠B.∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A.∠B 的三角函数值.23.在Rt △ABC 中,∠C=90°,A.B.c 分别是∠A.∠B.∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.24.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB.AD 的长.25.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC的值；（2）AD的长.26.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.A8.359. 10.34,55或3,4 11.A12.C13.B14.A15.C16.3617.A18.B19.７米20、2421.解：过A 作AD ⊥BC 于D,∵AB=AC,∴BD=2.在Rt △ADB 中，由勾股定理,知AD=24262222=-=-BD AB ， ∴sinB=322=ABAD . 22.解：根据勾股定理得b=4,sinA=53,cosA=54，tanA=43;sinB=54,cosB=53，tanB=34.23.解：由三角函数定义知a=btanA ，所以a=6，根据勾股定理得c=26.24.解：如题图，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°,∴BC ＝DC ＝6.在Rt △ABC 中，sinA=53, ∴AB BC =53.∴AB=10.∴AC=2222610-=-BC AB =8. ∴AD=AC-CD=8-6=2.25.解：（1）∵AB=AC,AD ⊥BC,∴AD ＝BC ＝2DC.∴tanC=2.（2）∵tanC=2，BE ⊥AC,BE=4,∴EC=2. ∵BC2=BE2+EC2,∴BC=52.∴AD=52.26.解：∵AC2=AB2-BC2,∴AC=3500.∴tanA=33,即山坡的坡度为33。

锐角三角函数练习题一、填空题：1．若α为锐角，则0______ sinα_______ 1；0______ cosα_______ 1．2．在Rt△ABC中，∠C为直角，a=1，b=2，则cosA=________ ，tanA=_________．3．在Rt△ABC中，∠C为直角，AB=5，BC=3，则sinA=________ ，cotA=_________．4．在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A=300，b=4，则a=__________，c=__________．5．在Rt△ABC中，∠C为直角，若sinA=，则cosB=_________．6．已知cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________．7．在Rt△ABC中，∠C为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．8．∠A为锐角，已知sinA=，那么cos (900-A)=___________ ．9．已知sinA=(∠A为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．10．若α为锐角，=，则α=__________ ，=_______．11．若00<α<900，sinα=cos600，则tanα=_________．12．若tanα· tan350=1，则锐角α的度数等于__________．13．若cosA>cos600，则锐角A的取值范围是__________．14．用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．15．若cotα=0.3027，cotβ=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________．16．计算：sin450-cos600=____________．17．计算：sin450-tan600=____________．18．计算：(sin300+tan450)·cos600=______________．19．计算：tan450·sin450-4sin300·cos450+cot600=__________．20．计算：tan2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________．二、选择题：1．在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（）A．；B．；C．；D．．2．在Rt△ABC中，∠C为直角，sinA=，则cosB的值是( )A．；B．；C．1；D．3．在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A．1；B．；C．；D．4．当锐角A>450时，sinA的值( )A．小于；B．大于；C．小于；D．大于5．若∠A是锐角，且sinA=，则( )A．00<∠A<300；B．300<∠A<450；C．450<∠A<600；D．600<∠A<900 6．当∠A为锐角，且tanA的值大于时，∠A( )A．小于300； B．大于300；C．小于600；D．大于600 7．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，已知AC=3，AB=5，则tan∠BCD等于( )A．；B．；C．；D．8．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( )A．sinA=； B．cosA=；C．tanA=； D．cotA=9．下列各式成立的是( )A．cos600<sin450<tan450<cot300；B．sin450<cos600<tan450<cot300；C．sin450<cos600<cot300<tan450；D．cos600<tan450<cos600<cot300．10．已知α为锐角，且<cosα<，则α的取值范围是（）A．00<α<300；B．600<α<900；C．450<α<600；D．300<α<450．三、算下列各题：1．计算：2sin450-3tan300+4cos600-6cot9002．计算：2sin300-2cos600+tan450+cot440·cot4603．计算：tan100·tan200·tan400·tan500·tan700·tan8004．在△ABC中，∠C为直角，已知AB=2，BC=3，求∠B和AC．5．在△ABC中，∠C为直角，直角边a=3cm，b=4cm，求sinA+sinB+sinC的值．四、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，已知b=3，c=．求∠A的四个三角函数．五、在△ABC中，∠C为直角，不查表解下列问题：（1）已知a=5，∠B=600．求b；（2）已知a=5，b=5，求∠A．六、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，已知a=，b=，求c、∠A、∠B．在△ABC中，∠C为直角，cosa=，求sinA、tanA、cotA的值．。

23.1一、选择题(每小题4分，共40分)1．如图5－G －1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为( )A ．2 B. 12 C. 55 D. 2 55图5－G －12．如图5－G －2所示，若Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cos E 的值等于( ) A. 12 B. 22 C. 32 D. 33图5－G －23．在正方形网格中，△ABC 的位置如图5－G －3所示，则cos B 的值为( ) A. 12 B. 22 C.32 D. 33图5－G －34．在△ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝12，则cos B 的值为( ) A. 12 B. 32 C. 22D ．1 5．下列式子中成立的是( )A ．sin30°＋sin45°＝sin75°B ．cos36°＝sin54°C ．cos63°>cos36°D ．sin36°>cos36°6．已知∠A 是锐角，sin A ＝35，则5cos A 等于( ) A ．4 B ．3 C.154D ．5 7．若α为锐角，且2sin(90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝m ，∠A ＝α，那么AC 的长为( )A ．m ·sin αB ．m ·cos αC ．m ·tan α D. m tan α9．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°10．如图5－G －4，过点C (－2，5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( ) A. 25 B. 23 C. 52 D. 32图5－G －4二、填空题(每小题4分，共16分)11．已知斜坡AB的坡度i＝13，则斜坡AB的坡角的度数是________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝32；②cos B＝12；③tan A＝33；④tan B＝ 3.其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号)．13．如图5－G－5，将四根木条钉成的长方形木框变形为▱ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的一个最小内角为________°.图5－G－514．如图5－G－6，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等．若直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC＝90°且AB＝3AD，则tanα＝________．图5－G－6三、解答题(共44分)15．(6分)计算：－12018－(π－3)0＋2cos30°－2tan45°·tan60°.16．(6分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝34，求sin A，cos A的值．17．(8分)如图5－G－7，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝32，求sin B＋cos B的值．图5－G－718．(12分)如图5－G－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．图5－G－819．(12分)如图5－G－9，根据图中的数据先完成填空，再按要求答题．图5－G－9(1)sin2A1＋sin2B1＝________；sin2A2＋sin2B2＝________；sin2A3＋sin2B3＝________；(2)观察(1)中的等式，猜想：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则sin2A＋sin2B＝________；(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明(2)中的猜想．教师详解详析1．B2．A [解析] ∵Rt △ABC ∽Rt △DEF ，∴∠E ＝∠B ＝60°，∴cos E ＝cos 60°＝12.故选A . 3．B [解析] 用正方形网格构造直角三角形，cos B ＝55 2＝22. 4．A [解析] 由已知得∠A ＝30°，则∠B ＝60°，所以cos B ＝12. 5．B6．A [解析] 根据三角函数的定义，可作图如下：设a ＝3，c ＝5，则b ＝4，所以5cos A ＝5×45＝4. 7．A [解析] 因为2sin (90°－α)＝3，所以sin (90°－α)＝32，所以α＝30°. 8．B [解析] 由题意，得cos A ＝AC AB，AC ＝AB·cos A ＝m·cos α. 9．B [解析] 由题意，得Δ＝2－4sin α＝0，解得sin α＝12，∴α＝30°.故选B . 10．B [解析] 如图，过点C 作CD ⊥y 轴．∵C(－2，5)，∴CD ＝2，OD ＝5.∵A(0，2)，∴OA ＝2，∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23. 11．30° [解析] 坡角的正切值等于坡度．12．②③④ [解析] 解决此问题的关键是找到直角三角形三边之间的数量关系．首先设AB ＝2，BC ＝1，由勾股定理求出AC 的长，进而根据锐角三角函数的定义判断各结论是否正确．具体过程如下：根据题意，因为∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则该直角三角形是含30°角的直角三角形，则BC ∶AB ∶AC ＝1∶2∶3，令BC ＝1，AB ＝2，AC ＝3，作出图形如下所示： ①sin A ＝BC AB ＝12，②cos B ＝BC AB ＝12，③tan A ＝BC AC ＝33，④tan B ＝AC BC＝3，则正确结论的序号为②③④.13．30 [解析] 如图，作▱ABCD 中BC 边上的高AE ，则由题意可知，AB ＝2AE.在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB ＝12，∴∠B ＝30°. 14. 34[解析] 如图，作AE ⊥l 5，垂足为E. ∵直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4∥l 5，相邻两条平行直线间的距离都相等，直角梯形ABCD 的三个顶点在平行直线上，∠ABC ＝90°，∴∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∠α＋∠EAD ＝90°，∴∠α＝∠BAE ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，∴△ABE ∽△DAF ，∴AF BE ＝DF AE ＝AD AB ＝13. 设AE ＝4y ，∴DF ＝43y ，AF ＝y ， ∴tan α＝AF DF ＝34. 15．解：原式＝－1－1＋3－2 3＝－2－ 3.16．[解析] 画一个直角三角形，建立模型，根据tan A 表示“对比邻”，通过设k 法，利用勾股定理求出第三边长，再利用“对比斜”写出正弦值，“邻比斜”写出余弦值．解：如图，∵tan A ＝BC AC＝34， ∴设BC ＝3k ，则AC ＝4k ，∴AB ＝（3k ）2＋（4k ）2＝5k.∴sin A ＝BC AB ＝3k 5k ＝35，cos A ＝AC AB ＝4k 5k ＝45. 17．解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32， ∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45， ∴sin B ＋cos B ＝75. 18．解：(1)在Rt △CAD 中，AD ＝AC 2＋CD 2＝5，∴sin α＝55，cos α＝2 55，tan α＝12. (2)∵∠B ＝α，tan B ＝AC BC ，tan α＝CD AC ＝12， ∴AC BC ＝12， ∴BC ＝2AC ＝4，∴BD ＝4－1＝3.19．解：(1)1 1 1(2)1(3)证明：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c，a 2＋b 2＝c 2， ∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2c 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2c 2＝1.。

九年级上学期数学课时练习题（23.1 锐角三角函数）一.选择题1.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A.BDBC B.BCABC.ADACD.CDAC第1题图第2题图第9题图第10题图2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）3523253.若锐角α满足cosα2，且tanα3α的范围是（）A.30°＜α＜45°B.45°＜α＜60°C.60°＜α＜90°D.30°＜α＜60°4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A.tan70°＜cos70°＜sin70°B.cos70°＜tan70°＜sin70°C.sin70°＜cos70°＜ta n70°D.cos70°＜sin70°＜ta n70°5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝35，则sin B的值为（）A.45 B.35C.34D.436.已知α是锐角，cos α＝13，则tan α的值是（ ）7.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为（ ）A.1213B.513 C.125 D.5138.在△ABC 中，若角A ，B 满足cos A +(1－tan B )2＝0，则∠B 的大小是（ ）A.45°B.60°C.75°D.105°9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB 等于（ ）35D.31010.如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y ＝2x上，第二象限的点B在反比例函数y ＝k x 上，且OA ⊥OB ，cos A ，则k 的值为（ ）二.填空题11.已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，如果CD ＝3，BD ＝2，那么cos ∠A 的值是__________.13.若α为锐角，且cos α＝132-m ，则m 的取值范围是_________________.14.已知：＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是__________________.15.已知：α是锐角，且tan α＝34，则sin α+cos α＝__________.16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a ＝3b ，那么sin A ＝________.三.解答题 17.计算下列各题 （1）2sin60°－4cos230°+sin45°tan60° .（2）2tan 60-︒－(π－3.14)0+(-12)-2+1212+tan27°tan63° .18.先化简，再求值：2-+a ba b÷222244-++a b a ab b －1，其中a ＝2sin60°－tan45°，b ＝1.19.如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.20.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD .CB 相交于点H .E ，AH ＝2CH . （1）求sin B 的值； （2）如果CD ＝5，求BE 的长.21.已知：sinα，cosα（0°＜α＜90°）是关于x的一元二次方程2x2－(3+1)x+m＝0的两个实数根，试求角α的度数.22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB.CD 段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B.C在同一水平地面上.（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.（5≈2.236，结果精确到0.1m）23.1《锐角三角函数》课时练习参考答案一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D B D A B C D B B1.αD，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A.BDBC B.BCABC.ADACD.CDAC解答：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC ＝BCAB＝DCAC，故选：C.2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）A.33 B.55C.23D.25解答：过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理，得：AB＝10，AD＝22，∴cos A＝ADAB ＝255，故选：D.3.若锐角α满足cosα＜22，且tanα＜3，则α的范围是（）A.30°＜α＜45°B.45°＜α＜60°C.60°＜α＜90°D.30°＜α＜60°解答：∵α为锐角，∴cos α＞0，又∵cos α＜2，∴0＜cos α＜2，∵cos90°＝0，cos45°＝2，根据锐角三角函数的增减性可得：45°＜α＜90°， ∵tanα＞0，tan α0＜tan α又∵tan0°＝0α＜60°，综合上述，45°＜α＜60°， 故选：B.4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ） A.tan70°＜cos70°＜sin70° B.cos 70°＜tan 70°＜sin70° C.sin 70°＜cos70°＜ta n70° D.cos 70°＜sin 70°＜ta n70°解答：根据锐角三角函数的概念，知：sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos 70°＝sin 20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin 70°＞sin 20°，即sin 70°＞cos 70°，∴cos70°＜sin 70°＜ta n70° 故选D ．5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos B ＝35，则sin B 的值为（ ）A.45B.35C.34D.43解答：∵sin 2B +cos 2B ＝1，cos B ＝35，∴sin B 45，故选：A.6.已知α是锐角，cos α＝13，则tan α的值是（ ）解答：由sin 2α+cos 2α＝1，cos α＝13，得：sin α，∴tanα＝sin cos αα＝，故选：B.7.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为（ ）A.1213B.513 C.125 D.513解答：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513， ∴可设BC ＝5k ，AB ＝13k ，∴AC 12k ，∴tan B ＝AC BC＝125k k＝125，故选：C.8.在△ABC 中，若角A ，B 满足cos A +(1－tan B )2＝0，则∠B 的大小是（ ）A.45°B.60°C.75°D.105°解答：由题意得，cos A ＝2，tan B ＝1，则∠A ＝30°，∠B ＝45°，则∠C ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故选：D ．9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB 等于（ ）A.332 B.35C.10D.310解答：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CD⊥AB于C，由勾股定理，得：AB＝AC＝5，BC＝2，由等腰三角形的性质，得：BE＝12BC＝22，∴AE＝22AB BE＝322，由三角形的面积，得：12AB CD＝12BC AE，∴CD＝BC AEAB＝35，∴sin∠CAB＝CDAC ＝35，故选：B.10.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝2x上，第二象限的点B 在反比例函数y＝kx上，且OA⊥OB，cos A＝3，则k的值为（）A.-3B.-6C.-4D.-23解答：作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，设A点坐标为(x，y)，则∠BCO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BCO+∠AOD＝∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠BCO＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO，∴△OAD∽△BOC，∴OAOB ＝ADOC＝ODBC，∵cos∠BAO＝OAOB ＝3，∴ADOC＝ODBC＝3，∵y＝AD＝3OC，x＝OD＝3BC，∵第一象限内的点A在反比例函数y＝2x上，∴xy＝3OC×3BC＝2，∴k＝OC BC＝2×3＝－6，故选：B.二.填空题11. 35. 12. 31313． 13. －13＜m＜13．14. 20°＜∠A＜30° 15. 75 16. 12.11.已知：∠A+∠B＝90°，若sin A＝35，则cos B＝__________.解答：由∠A+∠B＝90°，sin A＝35，得：cos B＝sin A＝35，故答案为：35．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果CD＝3，BD＝2，那么cos∠A的值是__________.解答：如图所示，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∵CD＝3，BD＝2，∴BC＝13，∴cos A＝cos∠BCD＝DCBC ＝13＝31313，故答案为：31313．13.若α为锐角，且cosα＝132-m，则m的取值范围是_________________. 解答：∵0＜cosα＜1，∴0＜132-m ＜1，解得：－13＜m ＜13，故答案为：－13＜m ＜13．14.＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是____________.解答：∵＜cos A ＜sin 70°，sin 70°＝cos 20°，∴cos 30°＜cos A ＜cos 20°，∴20°＜∠A ＜30°． 故答案为：20°＜∠A ＜30°．15.已知：α是锐角，且tan α＝34，则sin α+cos α＝__________.解答：由tan α＝a b＝34知，如果设a ＝3x ，则b ＝4x ，结合a 2+b 2＝c 2得c ＝5x ．所以sin α＝a c＝35x x＝35，cos α＝b c＝45x x＝45，sin α+cos α＝35+45＝75，故答案为：75．16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a，那么sin A ＝________.解答：∵3a，∴ab；令a，则b ＝3k ；c k ．∴sin A ＝12，故答案为：12.三.解答题 17.计算下列各题 （1sin60°－4cos230°+sin45°tan60° .解答：－4×)2+2－3（2）2tan 60-︒－(π－3.14)0+(-12)-2+12tan27°tan63° .解答：原式＝2－+1＝2－+1＝618.先化简，再求值：2-+a ba b÷222244-++a b a ab b －1，其中a ＝2sin60°－tan45°，b ＝1.解答：2-+a ba b ÷222244-++a b a ab b －1＝2-+a ba b÷2()()(2)+-+a b a b a b －1＝2-+a ba b×2(2)()()++-a b a b a b －1＝2++a b a b－1＝+ba b，当a ＝2sin60°－tan45°＝2－11，b ＝1时，.19.如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.解答：过A 作AD ⊥BC 于点D ，∵S △ABC ＝12BC AD ＝84，∴12×14×AD ＝84，∴AD ＝12．又∵AB＝14，∴BD＝22-AB AD＝9．∴CD＝14﹣9＝5．在Rt△ADC中，AC＝22+AD DC＝13，∴tan C＝ADDC ＝125；过B作BE⊥AC于点E，∵S△ABC＝12AC EB＝84，∴BE＝16813，∴sin∠BAC＝BEAB ＝1681315＝5665.20.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD.CB相交于点H.E，AH＝2CH.（1）求sin B的值；（2）如果CD＝5，求BE的长.解答：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理，得：AC＝5CH，∴CH：AC＝1：5，∴sin B＝5；（2）由sin B＝5得：ACAB ＝5，∴AC＝2，∵∠B＝∠CAH，∴sin∠CAH＝sin B＝5，设CE＝x（x＞0），则AE＝5x，则x2+22＝(5x)2，∴CE＝x＝1，AC＝2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2CD＝25，∴BC＝4，∴BE＝BC－CE＝3.21.已知：sinα，cosα（0°＜α＜90°）是关于x的一元二次方程2x2－(3+1)x+m＝0的两个实数根，试求角α的度数.m，解答：由根与系数的关系，得：sinα+cosα＝31+，sinαcosα＝2∵(sinα+cosα)2＝sin2α+cos2α+2 sinαcosα＝1+2 sinαcosα，m，解得：m＝3，∴(31+)2＝1+2×2把m＝3代入原方程得：2x2－(3+1)x+3＝0，，x2＝3，解这个方程得：x1＝12或sinα＝3，∴sinα＝12∴α＝30°或60°.22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB.CD 段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.解答：过点B作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G，在Rt△ABE中，BE＝AB sin30°＝20×1＝10km，2＝在Rt△BCF中，BF＝BC÷com30°＝10÷32203km，3CF＝BF•sin30°＝203×12＝103km，DF＝CD－CF＝(30－103)km，在Rt△DFG中，FG＝DF sin30°＝(30－103)×12＝(15－53)km，EG＝BE+BF+FG＝(25－53)km，答：两条高速公路间的距离为(25－53)km.23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B.C在同一水平地面上.（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.（5≈2.236，结果精确到0.1m）解答：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴i＝ACBC ＝12，∴BC＝2AC＝4×2＝8m，（2）作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H，∵∠DGH＝∠BSH＝90°，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴tan∠GDH＝tan∠SBH＝ACBC ＝GHGD＝12，∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，∴DH＝2212+＝5m，BH＝BF+FH＝3.5+（2.5－1）＝5m，设HS＝x m，则BS＝2x m，由勾股定理，得：x2+(2x)2＝52，解得：x＝5m，∴DS＝DH+HS＝5+5＝25m，答：点D离地面的高为。

一般锐角的三角函数值一、教材题目：P122 练习T4、T51．比较下列各题中两个值的大小：(1)sin46°，sin44°；（2）cos20°，cos50°；（3）tan33°15′，tan33°14′.2．设0°＜∠A ＜∠B ＜90°，比较下列各组两个值的大小（选填“＞”“＜” 或“=”）：（1）sin A ﹍﹍﹍sin B ;（2）cos A ﹍﹍﹍cos B ;（3）tan A ﹍﹍﹍tan B .二.补充: 部分题目来源于《点拨》3．求cos 42°，对下列按键正确的是( )A ．cos ，4，2，＝B ．cos ，2ndf ，4，2，＝C ．cos ，＝4，2D ．cos ，°，＝，4，24．用计算器求tan A ＝0.523 4时的锐角A 的度数(结果精确到1°)按键的顺序正确的是( ) A ．tan ，0，.，5，2，3，4，＝B ．0，.，5，2，3，4，＝2ndf ，tanC ．2ndf ，tan ，.，5，2，3，4，＝D ．tan ，2ndf , .，5，2，3，4，＝5．利用计算器求sin 30°时，依次按键则计算器上显示的结果是( )A ．0.5B ．0.707C ．0.866D ．16．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是( ) A ．0.90 B ．0.72 C ．0.69 D ．0.667．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是( )A ．tan 25°＜cos 26°＜sin 27°B ．tan 25°＜sin 27°＜cos 26°C ．sin 27°＜tan 25°＜cos 26°D ．cos 26°＜tan 25°＜sin 27°8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中正确的是( )A ．sin A ＝sinB B ．tan A ＝tan BC ．sin A ＝cos BD ．cos A ＝cos B9．如果∠A 为锐角，cos A ＝15，那么( )A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°10．已知α为锐角，则m ＝sin α＋cos α的值( )A ．m ＞1B ．m ＝1C ．m ＜1D ．m ≥111．已知sin α＜cos α，那么锐角α的取值范围是( )A ．30°＜α＜45°B ．0°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．0°＜α＜90°12．如果∠A 是锐角，且sin A ＝34，那么( )A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°13．如果α是锐角，且sin α＋cos α＝m ，sin α·cos α＝n ，则m 与n 的 表达式为( )A ．m ＝nB ．m ＝2n ＋1C ．m 2＝2n ＋1D ．m2＝1－2n14．已知sin 33°18′＝0.549 0，则cos 56°42′＝________.15．已知tan A ＝1.386 4，则锐角A ＝________．16．在△ABC 中，∠C 为直角，直角边BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.(1)求sin A 的值．(2)若CD 是斜边AB 边上的高线，与AB 交于点D ，求sin ∠BCD 的值．(3)比较sin A 与sin ∠BCD 的大小，你发现了什么？17．〈四川宜宾〉规定：sin (－x )＝－sin x ，cos (－x )＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ，据此判断下列等式成立的是 ________(写出所有正确的序号)．①cos (－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24;③sin 2x ＝2 sin x ·cos x ；④sin (x －y)＝sin x ·cos y －cos x ·sin y.答案一、 教材1.解：(1)sin 46°＞sin 44°；(2)cos 20°＞cos 50°；(3)tan 33°15′＞tan 33°14′.2．(1)＜ (2)＞ (3)＜二、 点拨3．A 4.C 5.A 6.B 7.C 8．C 9.D 10.A 11.B 12.C13．C 14.0.549 0 15.54°11′51″16．解：(1)∵∠C ＝90°∴由勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB 2＝42＋32，解得AB ＝5.∴sin A ＝BC AB ＝35.(2)由题意易证Rt △BCD ∽Rt △BA C ，∴BD BC ＝BC BA ＝35.在Rt △BCD 中，sin ∠BCD ＝BD BC ， ∴sin ∠BCD ＝35.(3)sin A ＝sin ∠BCD .17．②③④。

锐角的三角函数—正切一、教材题目：P114 练习T2，T31．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，tan A = 43,求BC 的长.2．如图，汽车从引桥下的端点A 行驶200 m 后到达高架桥的点B ，已知高架桥 的铅直高度BC 为12 m,求引桥的坡度（精确到0.01）.二.补充: 部分题目来源于《点拨》2．(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，tan A ＝0.6，求AC 和AB ； (2)在R t △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，c＝2，tan B ＝12，求a ，b 的值及△ABC 的面积和周长．3.有一个等腰直角三角形的三角板，它的一条直角边水平放在地面上，另一条直 角边竖直靠着教室墙壁，则它的斜边的坡度是________．4.如图，已知一山峰呈等腰△ABC 的形状，斜坡AC 与BC 的长度均为780 m ， 若A 到B 的距离为1 440 m ，那么斜坡AC 的坡度是________．5.如图，拦水坝的横断面为四边形ABCD ，其中AD ∥BC .测得坝顶宽BC 为6 m ， 坝高为3.2 m ．为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2 m ，并且保持 坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i ＝1∶2变成i ＝1∶2.5(有关数据和字母在图上已注明)．求加高后的坝底HD 的宽为 多少． P1735．如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan A 的值是( ) A.65 B.56 C.2103 D.310106.如图，已知一商场自动扶梯的长l 为10 m ，该自动扶梯到达的高度h 为6 m ， 自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ 的值等于( )A.34B.43C.35D.4514.已知：如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，M 是BC 的中 点，DE ⊥AM ，求tan ∠ADE 的值．答案一、教材1．解：∵tan A ＝BC AC ＝34，AC ＝12，∴BC ＝AC ·tan A ＝12×34＝9.2．解：根据勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝2002－122≈199.64(m)．则引桥的坡度i ＝BC AC ≈12199.64≈0.06.二、点拨2. 解：(1)∵tan A ＝BC AC ＝0.6，BC ＝3，∴AC ＝30.6＝5.根据勾股定理，得AB ＝34.(2)如图，tan B ＝b a ＝12，设b ＝x ，则a ＝2x ，由勾股定理，得x 2＋(2x )2＝22，解得x 1＝255，x 2＝－255(舍去)，∴2x ＝455.∴S △ABC ＝12×255×455＝45，C △ABC ＝2＋255＋455＝655＋2.答：a ，b 的值分别为455，255，△ABC 的面积为45，周长为655＋2.3． 1∶1 点拨：这样放置的等腰直角三角形的三角板铅直高度与水平宽度相等， 则由坡度的定义可知坡度是1∶1.注意不要误将坡角当成坡度而错答为45°.4．1∶2.4 点拨：作△ABC 的高CD .则AD ＝BD ＝720 m ，由勾股定理得CD ＝7802－7202＝300(m)，则CD AD ＝300720＝512，即AC 的坡度＝1∶2.4.5. 解：∵BG ＝3.2 m ，∴加高后MN ＝EF ＝3.2＋2＝5.2(m)，NF ＝ME ＝BC ＝ 6 m.在Rt △MHN 和Rt △DEF 中，MN HN ＝12.5，EF FD ＝12，∴HN ＝2.5MN ＝13 m ，FD ＝2EF ＝10.4 m ，∴HD ＝HN ＋NF ＋FD ＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．答：加高后的坝底HD 的宽为29.4 m. P173 5.A 6.A14．解：∵∠B ＝∠DEA ＝90°，∠BAE ＋∠DAE ＝∠ADE ＋∠DAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠ADE .∴△ABM ∽△DEA ，∴AE DE ＝BM AB，又AB ＝4 cm ，BM＝3 cm ，∴tan ∠ADE ＝AE DE ＝BM AB ＝34.。

1．如果α是锐角，且cos α＝45，那么sin(90°－α)的值等于 ( ) A. 925 B ．45 C. 35D. 1625 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 3，则cos B 的值为 ( ) A ．1 B ．3 C ．22 D ．123．1－2sin 30°cos 30°的值是 ( )A ．13B ．1－3C ．13D ．13 4．若0°＜∠A ＜90°，且4sin 2A －2＝0，则∠A 等于 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若3a 3，则∠A 等于 ( )A ．30° B.45° C ．60° D ．75°6．如图28－21所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B 3，AC ＝3AB 的长是 ( )A ．33．2＋3．5 D ．927．已知a ，b ，c 分别为△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，若关于x 的方程(b ＋c )x 2－2ax ＋(c －b )＝0有两个相等的实数根，且sin B ·cos A －cos B ·sin A ＝0，则△ABC 的形状为 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．tan 45°·sin 45°－4sin 30°·cos 456tan 60°＝ ．9．sin3011cos30tan30︒++︒︒＝ . 10．如图28－22所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝4，AC ＝5，CD⊥AB 于D ，则sin ∠ACD ＝ ，tan ∠BCD ＝ .11．计算下列各题．(1)2sin 45°＋sin 60°；(2)sin 30°＋cos 60°＋2sin 45°；(3)2cos 30°＋tan 45°＋3tan 30°－2sin 30°；(4)sin 2 45°＋tan 230°；(5) 24cos6012sin 30︒-︒＋tan 30°； 2°＋sin30cos30︒︒－cos 60°．12．先化简，再求值．(1)a＝sin 45°，b＝sin 60°，2222a aba ab b+++－(a2－ab＋b2)÷33a bb+；(2)x＝sin 60°，2242x xx-+·22244x xx x+-+＋42xx-．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°,11sin tanA A+＝5，求cos A的值．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为AB边上的高，求证CD2＝AD·BD．15．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b．(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．参考答案1．B2．B 3．D4．B5．A 6．C7．D85229．210．54141 4511．解：(1)2sin 45°＋sin 60°＝22323223+． (2)sin 30°＋cos 60°＋2sin 45°＝12＋12＋2×2＝12. (3)2cos 30°＋tan 45°＋3tan 30°－2sin 30°＝23＋1＋33－2×123131＝3245°＋tan 230°＝22⎝⎭＋23⎝⎭＝12＋13＝56. (5) 24cos6012sin 30︒-︒＋tan 30°＝214132132112242⨯--+=+=⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3632++=2sin301cos302︒-︒cos 60°＝22123－12×12＝13－14＝343943+ 12．解：(1) 2222a ab a ab b +++－(a 2－ab ＋b 2)÷33a b b +＝a a b+－(a 2－ab ＋b 2)·22()()b a b a ab b +-+＝a b a b a b a b a b--=+++ ∵a ＝sin 45°，b ＝sin 60°,∴a 2,b ＝3，∴原式＝2323222323a b a b --==+++＝－(2－3)2＝26－5． (2)2242x x x -+·2224442x x x x x x ++-+-＝2(2)2x x x -+·2(2)(2)x x x +-－42x x -＝222x x -－42x x -＝2(2)2x x x --＝2x ． ∵x ＝sin 603,∴原式＝2x ＝23313．解：∵11sin tan A A +＝5，∴c b a a +＝5，∴b ＋c ＝5a ，① ∴c 2－b 2＝(c ＋b)(c －b )＝5a ·(c －b )＝a 2，∴15a ＝c －b ，②由①②组成方程组5,1,5b c a c b a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩∴12,513,5b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1213b c =，∴cos A ＝1213b c = 14．证明：如图28－23所示．∵CD ⊥AB ，∴tan A ＝CD AD ，tan B ＝CD DB ．在Rt △ACB 中，tan A ＝BC AC ，tan B ＝AC BC ，∴tan A ·tan B ＝1，即CD AD ·CD BD＝1，∴CD 2＝AD ·BD ． 15．解：(1)将原方程整理得(c －a )x 2＋2bx ＋(c ＋a )＝0．依题意得△＝(2b )2－4(c －a )(c＋a )＝0，即a 2＋b 2＝c 2．∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°． (2)由3c ＝a ＋3b ，得a＝3c －3b ，代入a 2＋b 2＝c 2，得(b －c )(5b －4c )＝0．∵c ＞b ，∴b ＝54c ,∴a ＝3c －3×(45c )＝35c ，∴sin A ＝35a c =,sin B ＝45b c =,∴sin A ＋sin B ＝75.。

23.1.1 銳角的三角函數1．如圖，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，則cos A 等於( )A ．512B ．513C ．125D ．12132．如圖，一個鋼球沿坡角31°的斜坡向上滾動了5 m ，此時鋼球距地面的高度是(單位：m )( )A ．5cos 31°B ．5sin 31°C ．5tan 31D ．5tan 31° 3．AE ，CF 是銳角△ABC 的兩條高，如果AE ∶CF ＝3∶2，則sin A ∶sin C 等於( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶94．把Rt △ABC 的各邊都放大為原來的k 倍，得到對應的Rt △A ′B ′C ′，則銳角A ′的正弦值sin A ′等於( )A ．k sin AB ．1ksin A C ．sin k A D ．sin A 5．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8，現將△ABC 如圖那樣折疊，使點A 與點B 重合，折痕為DE ，則tan ∠CBE 的值是( )A ．247BC ．724D ．136．如圖，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，則AB 的值是( )A ．9B ．8C ．6D ．37．在平面直角坐標系中，有一點P(2,5)，連接OP ，且OP 與x 軸正半軸的夾角為α，則sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.8．某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米，此時他與水準地面的垂直距離為則這個坡面的坡度為__________．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝b＝18，求最小銳角的正弦值和余弦值．10．(創新應用)如圖，直線y＝2x－4的圖象與x軸所夾的角為α.(1)求OA、OB的長；(2)求tan α與cos α的值．參考答案1解析：AB13，所以cos A ＝1213AC AB =. 答案：D2答案：B3解析：如圖，sin A=CF AC ，sin C=AE AC，∴sin A ∶sin C=CF AC ∶AE AC=CF ∶AE=2∶3. 答案：B4答案：D 5解析：AB10，AD ＝DB ＝5，△AED ∽△ABC ． ∴AE AD AB AC =.∴5108AE =. ∴AE ＝254.∴CE ＝74. ∴tan ∠CBE ＝774624CE CB ==. 5答案：C6答案：C7答案：2929 528答案：1∶2 9解：c==，最小角為∠A ，∴sin A ＝12，cos A＝2. 10解：(1)當x ＝0時，y ＝－4；當y ＝0時，x ＝2. ∴OA ＝2，OB ＝4.(2)AB=tan α＝42OB OA =＝2， cosα＝5OA AB ==。

23.1 锐角的三角函数1．锐角的三角函数第1课时 正切知|识|目|标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切、坡度的定义，并能求正切与坡度的值．2．在理解坡度的定义的基础上，会运用坡度解决简单的问题．目标一 会求锐角的正切值和物体的坡度例1 ［教材例1针对训练］根据图形中的数据及正切与坡度的定义回答下列问题： (1)如图23－1－1，在Rt △ABC 中，tan A ＝BC AC ＝________，tan B ＝AC BC＝________．图23－1－1(2)如图23－1－2，在Rt △DEF 中，根据勾股定理，可知DF ＝DE 2－EF 2＝252－72＝________，则tan D ＝EF DF ＝________，tan E ＝DF EF＝________．图23－1－2(3)在图23－1－1和图23－1－2中，若将AB ，DE 看作坡面，则i AB ＝tan________＝________，i DE ＝tan________＝________．【归纳总结】直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，则先利用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．目标二 会运用坡度解决简单的问题 例2 教材补充例题如图23－1－3，一个物体沿着坡度i ＝1∶2的坡面AB 向上前进了10 m 到达点B ，求此时物体距离地面的高度BC .图23－1－3【归纳总结】解与坡度有关问题的方法：首先应作辅助线构造直角三角形(一般是过坡面的上顶点作水平线的垂线)，如果铅直高度和水平长度有一边未知，通常先用勾股定理求出未知边，再利用坡度公式i ＝tan α＝h l求解．知识点一 锐角的正切正切的定义：如图23－1－4，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的______与______的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝BC AC ＝ab.图23－1－4[点拨] (1)tan A 表示锐角A 的正切，一般省略“∠”，当用三个字母表示角时，不能省略“∠”，如tan ∠ABC .(2)∠A 的范围与tan A 的范围：①0°＜∠A ＜90°；②tan A ＞0.(3)tan A 随着∠A 的增大而增大，∠A 越接近90°，tan A 的值就增加得越快，tan A 可以等于任何一个正数．(4)正切值本质是两条线段的比值，只有数值，没有单位，其大小由锐角的度数决定，与其所在的直角三角形的大小无关．知识点二 坡度(坡比)、坡角坡面与________的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，图23－1－5中的角α就是坡面AB 的坡角．图23－1－5坡面的____________和____________的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i .图中坡面AB 中点B 的铅直高度为h ，水平长度为l ，则i ＝h l或i ＝h ∶l .坡度(或坡比)是坡角的正切值，坡度(i ＝tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡． [点拨] (1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大，坡度就越大，坡面就越陡． (2)坡度一般写成1∶m 的形式，比的前项是1，后项可以是小数或带根号的数． (3)坡度不是坡倾斜的度数，而是指斜坡的铅直高度与水平长度的比．判断下列说法是否正确，若不正确，请说明理由．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝4，则tan A ＝12.( )(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3，则tan A ＝43.( )(3)若坡面的铅直高度为5，水平长度为6，则坡度i ＝65.( )(4)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把Rt △ABC 的各边都扩大为原来的3倍，则∠A 的正切值也扩大为原来的3倍．( )教师详解详析【目标突破】例1 (1)512 125 (2)24 724 247(3)A512 D 724例2 解：根据题意可知△ABC 是直角三角形，且BC AC ＝12.设BC ＝x m ，则AC ＝2x m ，根据勾股定理，得x 2＋(2x)2＝102，解得x ＝2 5(负值已舍去)．故此时物体距离地面的高度为2 5 m . 【总结反思】[小结] 知识点一 对边 邻边知识点二 水平面 铅直高度h 水平长度l [反思](1)×. 理由：△ABC 不一定是直角三角形，所以不能按照定义求正切值． (2)×. 理由：由AB ，AC ，BC 的长可知△ABC 是直角三角形，则tan A ＝BC AC ＝34.(3)×. 理由：坡度i ＝铅直高度∶水平长度＝56.(4)×. 理由：设把Rt △ABC 的各边都扩大为原来的3倍，得到Rt △A ′B ′C ′，则Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∴BC AC ＝B′C′A′C′，∴tan A ＝BC AC ＝B′C′A′C′，故∠A 的正切值不变．。

23.1.1 第2课时 正弦与余弦知|识|目|标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的定义，会求锐角的正弦值与余弦值． 2．初步了解三角函数的定义，会根据已知条件求一个锐角的三角函数值．目标一 会求锐角的正弦值与余弦值例1 ［教材例2针对训练］在Rt △ABC 中，如图23－1－6，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝________．图23－1－6(1)根据正弦的定义，sin A ＝BC AB ＝________，sin B ＝ACAB ＝________； (2)根据余弦的定义，cos A ＝AC AB ＝________，cos B ＝BCAB＝________． 【归纳总结】求锐角三角函数值的三种方法：(1)在直角三角形中确定各边长，根据定义直接求出；(2)利用相似、全等关系，寻找与所求角相等的角(该角的三角函数值已知或者易求)； (3)利用互余的两个角间的特殊关系求解．例2 ［教材补充例题］如图23－1－7，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，tan A ＝43.求sin A ，cos A 的值．图23－1－7【归纳总结】已知锐角的一个三角函数值，求另外两个三角函数值的步骤： (1)构造直角三角形；(2)根据已知的三角函数值，设出未知数表示直角三角形两边的长，根据勾股定理求出第三边长； (3)根据三角函数的定义，求其他的三角函数值． 目标二 会求锐角的三角函数例3 高频考题如图23－1－8，已知△ABC 的顶点都在5×5的网格点上，求锐角α的各个三角函数值．图23－1－8【归纳总结】把三角形放到网格中，求三角形的某个内角的三角函数值是中考高频题．可直接借助网格图或通过作辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求出直角三角形的边长，然后来求某个内角的三角函数值．知识点一 正弦如图23－1－9，在Rt △ABC 中，锐角A 的______与______的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.知识点二 余弦如图23－1－9，在Rt △ABC 中，锐角A 的______与______的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.为了方便记忆，常简说成正弦表示“对比斜”，余弦表示“邻比斜”．图23－1－9知识点三 三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做锐角A 的三角函数．sin A ，cos A ，tan A 都是整体符号，对于用三个大写字母表示的角，不能省略角的符号，如sin ∠ADB ；用数字表示的角，也不能省略角的符号，如sin ∠1；用希腊字母表示的角，可以省略角的符号，如sin α.[点拨] (1)在锐角三角函数的概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°＜∠A ＜90°.三个比值(正弦、余弦、正切)是因变量，当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为因变量的函数．(2)锐角三角函数的取值范围：0<sin θ<1，0<cos θ<1，tan θ>0.(θ是锐角)已知在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝13，b ＝12，c ＝5，求sin B .解：由锐角三角函数的定义，得sin B ＝b c ＝125.上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确答案．教师详解详析【目标突破】例1 10 (1)35 45 (2)45 35例2 [解析] 根据∠A 的正切值和AC 的长度求出BC 的长度，再根据勾股定理求出AB ，然后根据正弦与余弦的定义分别求出sin A 和cos A 的值．解：∵tan A ＝BC AC ＝43，AC ＝9，∴BC ＝43AC ＝43×9＝12，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝92＋122＝15， ∴sin A ＝BC AB ＝1215＝45，cos A ＝AC AB ＝915＝35.例3 [解析] 由于锐角α不位于直角三角形中，则需要构造直角三角形．连接网格点B ，D ，由勾股定理可求出得△ABD 是直角三角形，然后根据三角函数的各个定义求解．解：如图，连接网格点B ，D ，易知BD ＝2，AD ＝2 2，AB ＝10.又∵AB 2＝10，BD 2＋AD 2＝2＋8＝10，∴AB 2＝BD 2＋AD 2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴tan α＝BD AD ＝22 2＝12，sin α＝BD AB ＝210＝55， cos α＝AD AB＝2 210＝2 55.【总结反思】[小结] 知识点一 对边 斜边知识点二 邻边 斜边[反思] 不正确，错误的原因是受思维定式的影响，本题需要先确定△ABC 是不是直角三角形，如果是，应先确定直角和∠B 的对边，然后再利用定义求解．正解：因为b 2＋c 2＝122＋52＝169＝132＝a 2， 所以△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，所以sin B ＝b a ＝1213.。

23.1一、选择题(每小题4分，共40分)1．如图5－G －1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为( )A ．2 B. 12 C. 55 D. 2 55图5－G －12．如图5－G －2所示，若Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cos E 的值等于( ) A. 12 B. 22 C. 32 D. 33图5－G －23．在正方形网格中，△ABC 的位置如图5－G －3所示，则cos B 的值为( ) A. 12 B. 22 C.32 D. 33图5－G －34．在△ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝12，则cos B 的值为( ) A. 12 B. 32 C. 22D ．1 5．下列式子中成立的是( )A ．sin30°＋sin45°＝sin75°B ．cos36°＝sin54°C ．cos63°>cos36°D ．sin36°>cos36°6．已知∠A 是锐角，sin A ＝35，则5cos A 等于( ) A ．4 B ．3 C.154D ．5 7．若α为锐角，且2sin(90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝m ，∠A ＝α，那么AC 的长为( )A ．m ·sin αB ．m ·cos αC ．m ·tan α D. m tan α9．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°10．如图5－G －4，过点C (－2，5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( ) A. 25 B. 23 C. 52 D. 32图5－G －4二、填空题(每小题4分，共16分)11．已知斜坡AB的坡度i＝13，则斜坡AB的坡角的度数是________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝32；②cos B＝12；③tan A＝33；④tan B＝ 3.其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号)．13．如图5－G－5，将四根木条钉成的长方形木框变形为▱ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的一个最小内角为________°.图5－G－514．如图5－G－6，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等．若直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC＝90°且AB＝3AD，则tanα＝________．图5－G－6三、解答题(共44分)15．(6分)计算：－12018－(π－3)0＋2cos30°－2tan45°·tan60°.16．(6分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝34，求sin A，cos A的值．17．(8分)如图5－G－7，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝32，求sin B＋cos B的值．图5－G－718．(12分)如图5－G－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．图5－G－819．(12分)如图5－G－9，根据图中的数据先完成填空，再按要求答题．图5－G－9(1)sin2A1＋sin2B1＝________；sin2A2＋sin2B2＝________；sin2A3＋sin2B3＝________；(2)观察(1)中的等式，猜想：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则sin2A＋sin2B＝________；(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明(2)中的猜想．教师详解详析1．B2．A [解析] ∵Rt △ABC ∽Rt △DEF ，∴∠E ＝∠B ＝60°，∴cos E ＝cos 60°＝12.故选A . 3．B [解析] 用正方形网格构造直角三角形，cos B ＝55 2＝22. 4．A [解析] 由已知得∠A ＝30°，则∠B ＝60°，所以cos B ＝12. 5．B6．A [解析] 根据三角函数的定义，可作图如下：设a ＝3，c ＝5，则b ＝4，所以5cos A ＝5×45＝4. 7．A [解析] 因为2sin (90°－α)＝3，所以sin (90°－α)＝32，所以α＝30°. 8．B [解析] 由题意，得cos A ＝AC AB，AC ＝AB·cos A ＝m·cos α. 9．B [解析] 由题意，得Δ＝2－4sin α＝0， 解得sin α＝12，∴α＝30°.故选B . 10．B [解析] 如图，过点C 作CD ⊥y 轴．∵C(－2，5)，∴CD ＝2，OD ＝5.∵A(0，2)，∴OA ＝2，∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23. 11．30° [解析] 坡角的正切值等于坡度．12．②③④ [解析] 解决此问题的关键是找到直角三角形三边之间的数量关系．首先设AB ＝2，BC ＝1，由勾股定理求出AC 的长，进而根据锐角三角函数的定义判断各结论是否正确．具体过程如下：根据题意，因为∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则该直角三角形是含30°角的直角三角形，则BC ∶AB ∶AC ＝1∶2∶3，令BC ＝1，AB ＝2，AC ＝3，作出图形如下所示： ①sin A ＝BC AB ＝12，②cos B ＝BC AB ＝12，③tan A ＝BC AC ＝33，④tan B ＝AC BC＝3，则正确结论的序号为②③④.13．30 [解析] 如图，作▱ABCD 中BC 边上的高AE ，则由题意可知，AB ＝2AE.在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB ＝12，∴∠B ＝30°. 14. 34[解析] 如图，作AE ⊥l 5，垂足为E. ∵直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4∥l 5，相邻两条平行直线间的距离都相等，直角梯形ABCD 的三个顶点在平行直线上，∠ABC ＝90°，∴∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∠α＋∠EAD ＝90°，∴∠α＝∠BAE ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，∴△ABE ∽△DAF ，∴AF BE ＝DF AE ＝AD AB ＝13. 设AE ＝4y ，∴DF ＝43y ，AF ＝y ， ∴tan α＝AF DF ＝34. 15．解：原式＝－1－1＋3－2 3＝－2－ 3.16．[解析] 画一个直角三角形，建立模型，根据tan A 表示“对比邻”，通过设k 法，利用勾股定理求出第三边长，再利用“对比斜”写出正弦值，“邻比斜”写出余弦值．解：如图，∵tan A ＝BC AC＝34， ∴设BC ＝3k ，则AC ＝4k ，∴AB ＝（3k ）2＋（4k ）2＝5k.∴sin A ＝BC AB ＝3k 5k ＝35，cos A ＝AC AB ＝4k 5k ＝45. 17．解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32， ∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45， ∴sin B ＋cos B ＝75. 18．解：(1)在Rt △CAD 中，AD ＝AC 2＋CD 2＝5，∴sin α＝55，cos α＝2 55，tan α＝12. (2)∵∠B ＝α，tan B ＝AC BC ，tan α＝CD AC ＝12， ∴AC BC ＝12， ∴BC ＝2AC ＝4，∴BD ＝4－1＝3.19．解：(1)1 1 1(2)1(3)证明：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c，a 2＋b 2＝c 2， ∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2c 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2c 2＝1.。

23.1 锐角的三角函数[23.1 1. 第1课时 正切]一、选择题1．在正方形网格中，△ABC 的位置如图30－K －1所示，则tan B 的值为( ) A. 43 B. 34 C. 35 D. 45图30－K －12．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为( ) A ．1∶2 B. 3∶2 C ．1∶ 3 D. 3∶13．如图30－K －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tan A ＝34，则AC 的长是( )A ．3B ．4C ．6D ．8图30－K －24．［2017·安庆期末］在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( )A. 13 B ．3 C. 24 D ．2 2 5．［2016·枞阳期末］如图30－K －3，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．3图30－K －36．［2017·江淮十校联考二模］某人沿斜坡坡度i ＝1∶2的斜坡向上前进了6米，则他上升的高度为 ( )A ．3米B 6 55米C ．2 3米 D. 12 55米7．如图30－K －4，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ( )A ．2 B.2 55 C.55 D.12图30－K －48．［2016·合肥市168中四模］如图30－K －5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( )A.33 B. 2 33 C. 5 33D ．5 3图30－K －5二、填空题 9．［2017·马鞍山期末］如图30－K －6，一个小球由地面沿着坡面向上前进了13 m ，此时小球距离地面的高度为5 m ，则坡面的坡度为________．图30－K －610．［2017·合肥市巢湖期末］如图30－K －7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的高，AD ＝2，CD ＝3，则tan ∠ABC 的值是________．图30－K －711．［2017·黄山模拟］如图30－K －8，P (12，a )在反比例函数y ＝60x的图象上，PH ⊥x轴于点H ，则tan ∠OPH 的值为________．图30－K－812.已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为________．13．如图30－K－9，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．如果AB∶AD ＝2∶3，那么tan∠EFC的值是________．图30－K－9三、解答题14．有一山坡的坡面长260 m，坡顶的高度为100 m，求山坡的坡度．15．如图30－K－10，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝135°，求tan B.图30－K－1016．已知：如图30－K－11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E 都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．图30－K－1117．如图30－K－12，两根木棍AB＝10 m，CD＝6 m，将它们分别斜立在墙AE上，它们到墙角的距离BE＝6 m，DE＝2 m，你能判断哪根木棍更陡吗？请说明理由．图30－K－1218．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图30－K－13所示，AB＝6，BC＝8，求tanα的值.图30－K－1319新定义题如图30－K －14，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC ，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot 30°＝________；(2)如图30－K －14，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．图30－K －141．[解析] B设小正方形的边长为1，由图形可知在Rt△ACB中，BC＝4，AC＝3，tan B＝ACBC＝34.2．[解析] C设斜坡的铅直高度h＝k.∵坡角为30°，∴斜坡的坡面长为2k，∴斜坡的水平长度l＝（2k）2－k2＝3k，∴这个斜坡的坡度为hl＝k3k＝1∶ 3.故选C.3．D 4.D5．[解析] C过点A作AB⊥x轴于点B.∵点A(t，3)在第一象限，∴AB＝3，OB＝t.又∵tanα＝ABOB＝32，∴t＝2.6．[解析] B根据题意画出示意图如图，由坡度的定义可知BCAC＝12，设BC＝x.∴tan A＝BCAC＝12，∴AC＝2x，∴x2＋(2x)2＝36，解得x＝6 55(负值已舍去)．7．[解析] D如图，连接AC，由勾股定理，得AC＝2，AB＝22，BC＝10，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，∴tan B＝ACAB＝12.故选D.8．[解析] C∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴EF∥BC，∴CFAC＝BEAB.又∵AEEB＝4，∴ABEB＝5，∴CFAC＝15.设AB＝2x，则BC＝x，AC＝3x，∴在Rt△CFB中，CF＝35x，BC＝x，则tan∠CFB＝BCCF＝5 33.9．5∶12 10．[答案]23[解析] 因为∠ACB＝90°，CD 是AB 上的高，所以∠ADC＝∠ACB.又因为∠A＝∠A，所以△ACD∽△ABC，所以∠ABC＝∠ACD，则tan ∠ABC ＝tan ∠ACD ＝AD CD ＝23.11．[答案] 125[解析] 根据题意，得a ＝6012＝5，则OH ＝12，PH ＝5，所以tan ∠OPH ＝OH PH ＝125.12.11513．[全品导学号：80402209][答案]52[解析] 设AB ＝2k.∵AB∶AD＝2∶3，∴AD ＝AF ＝3k.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF ＝AF 2－AB 2＝9k 2－4k 2＝5k.∵∠D＝∠EFA ＝90°，∠B ＝∠C＝90°，∴∠EFC ＋∠AFB ＝∠BAF ＋∠AFB＝90°，∴∠EFC ＝∠BAF，∴tan ∠EFC ＝tan ∠BAF ＝BF∶AB＝5∶2.14．解：∵山坡的水平长度l ＝2602－1002＝240(m )，∴山坡的坡度＝100240＝5∶12.15．解：如图，过点C 作CE⊥AB 交BA 的延长线于点E ，设AB ＝AC ＝a. ∵∠BAC ＝135°，∴∠CAE ＝45°， ∴△ACE 为等腰直角三角形，∴CE ＝AE ，∴2AE 2＝a 2， ∴AE ＝CE ＝22a ，BE ＝AB ＋AE ＝22a ＋a ， ∴tan B ＝CEBE ＝22a 22a ＋a ＝2－1.16．解：根据题意可得，AC ＝BC ＝5，CD ＝CE ＝10，AD ＝BE ＝5， ∴△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠BEC ＝13.17．[解析] 描述木棍的陡缓，即木棍的倾斜程度，通常用正切比较，正切值越大，木棍越陡．本题借助勾股定理求出AE ，CE 的长，从而求出tan B ，tan D ，然后比较．解：木棍CD 更陡．理由：由题可知AE ＝102－62＝8(m )，CE ＝62－22＝4 2(m )． ∴tan B ＝AE BE ＝86＝43，tan D ＝CE DE ＝4 22＝2 2.∵2 2＞43，∴tan D ＞tan B ，即木棍CD 更陡．18．[解析] 以角α为锐角构造直角三角形，再构造相似三角形，由相似比例关系推理出角α的对边与邻边之间的比例关系．解：如图，过点C 作CE⊥l 4于点E ，延长EC 交l 1于点F ，则CF⊥l 1. ∵∠α＋∠BCE＝90°，∠BCE ＋∠DCF＝180°－90°＝90°，∴∠DCF ＝∠α.又∵∠BEC＝∠CFD＝90°， ∴△BEC ∽△CFD ， ∴BE CF ＝BC CD ，即BE h ＝86， ∴BE ＝43h.在Rt △BCE 中，∵∠BEC ＝90°， ∴tan α＝CE BE ＝2h 43h ＝32.19解：(1)设BC ＝1, 若α＝30°，则AB ＝2， 由勾股定理，得AC ＝3，∴cot 30°＝ACBC ＝ 3.故答案为 3.(2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴可设BC ＝3x ，AC ＝4x ， ∴cot A ＝AC BC ＝43.。

【课时训练】23.1锐角的三角函数学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题1．填表．锐角 sin cos tan二、解答题2．求下列各式的值．(1)o 45cos 230sin 2-︒(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 2223．求适合下列条件的锐角．(1)21cos =α(2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)． (1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______． 5．用计算器求锐角(精确到1″)． (1)若cos ＝0.6536，则＝______； (2)若tan(2＋10°31′7″)＝1.7515，则＝______．综合、运用、诊断 6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ACB 的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：(1)∠D 及∠DBC ；(2)tan D 及tan ∠DBC ；(3)请用类似的方法，求tan22.5°．9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．拓展、探究、思考11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，求证：(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1；(2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；(2)锐角的21世纪教育网值随角度的增大而______．13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)⋅=AAA cos sin tan14．化简：ααcos sin 21⋅-(其中0°＜＜90°)15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°； ③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°；⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°． 猜想：若0°＜≤45°，则sin2______2sin cos ． (2)已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．16．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD 于H 点．在底边BC 保持不变的情况下，当高AD 变长或变短时，△ABC 和△HBC 的面积的积S △ABC ·S △HBC 的值是否随着变化?请说明你的理由．答案与提示 测试21．锐角 sincostan2．(1)0； (2);1233．(1)＝60°；(2)＝30°；(3)22.5°；(4)46°．4．(1)0.391；(2)1.423．5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．6．104cm ．提示：设DE ＝12x cm ，则得AD ＝13x cm ，AE ＝5x cm ．利用BE ＝16cm ． 列方程8x ＝16．解得x ＝2． 7．,721提示：作BD ⊥CA 延长线于D 点． 8．(1)∠D ＝15°，∠DBC ＝75°；(2);32tan ,32tan +=∠-=DBC D (3).125.22tan -=9．(1)15°； (2).32tan ,426cos ,426sin -=∠+=∠-=∠BAD BAD BAD10．⋅23,13132,13133提示：作DE ∥BA ，交AC 于E 点，或延长AD 至F ，使DF ＝ AD ，连结CF ．11．提示：作CE ⊥OA 于E ，作DF ⊥OA 于F ． (3)增大， (4)减小．12．(2)增大．13．提示：利用锐角三角函数定义证． 14．原式ααααcos sin 2cos sin 22-+=2)cos (sin αα-=|cos sin |αα-=⎩⎨⎧<<-<≤-=).450(sin cos ),9045(cos sin αααααα15．(1)①～⑥略．sin2＝2sincos．(2),2sin 212sin 12121αα=⨯⨯=⋅=∆BE AC S ABC ,cos sin 21αα⋅=⨯=⋅=∆AD BD AD BC S ABC ∴sin2＝2sincos．16．不发生改变，设∠BAC ＝2，BC ＝2m ，则.)tan (tan 422m m m S S H BCABC =⋅=⋅∆∆αα。

23.1.2 锐角的三角函数值第1课时 30°、60°、45°角的三角函数值练习1．将(－sin 30°)－2、(2-)0、(3-)3这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的结果是( )．A ．(－sin 30°)－2＜(2-)0＜(3-)3B ．(－sin 30°)－2＜(3-)3＜(2-)0C ．(3-)3＜(2-)0＜(－sin 30°)－2D ．(2-)0＜(3-)3＜(－sin 30°)－22．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，那么∠ABC 的度数为( )．A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．在锐角△ABC 中，∠B ＝α，∠C ＝α－15°，且sin (α－15°)＝32，那么∠A ＝________. 4．计算：(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°；(2)2sin 60(1tan 60)cos30︒--︒︒；(3)cos 60°－sin 245°＋23tan 304︒－tan 245°.5．一个等腰三角形的腰是10，底边是12，求这个三角形顶角的正弦值、余弦值、正切值．6．在△ABC 中，2cos 2A -＋21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0，求∠C ．7．如图，，在A 处观察到灯塔C 在海船的北偏东30°方向上，半小时后航行到点B 处，发现此时灯塔C 与海船的距离最短．(1)在图上标出点B 的位置；(2)求灯塔C 到B 处的距离(准确到0.1海里)． 8．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时50/3⎛⎫⎪⎝⎭即米秒，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如下图的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标．(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？(参考数据：3≈1.7)(3)假设一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？9．(创新应用)如图，某居民小区内A、B两楼之间的距离MN＝30 m，两楼的高都是20 m，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南．B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN＝2 m，窗户高CD＝1.8 m．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光？假设影响，挡住该住户窗户多高？假设不影响，请说明理由．(参考数据：2≈，3≈325 2.236)参考答案1解析：(－sin 30°)－2＝4， (2-)0＝1， (3-)3＝33-，所以(3-)3＜(2-)0＜(－sin 30°)－2. 答案：C2解析：连接AC ，那么AC ＝5，BC ＝5，AB ＝10，∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠ABC ＝45°. 答案：C3解析：在锐角三角形中，sin (α－15°)＝32， ∴α＝75°，即∠B ＝75°，∠C ＝60°. ∴∠A ＝180°－∠B －∠C ＝45°. 答案：45°4解：(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°＝22333213222⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝131242+-＝34. (2)2sin 6033(1tan 60)|13|cos3022︒--︒=÷--︒＝1－1＋3＝3. (3)cos 60°－sin 245°＋23tan 304︒－tan 245°＝22123311131122432244⎛⎫⎛⎫-+⨯-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 5解：如下图，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，作AD ⊥BC 于点D ，作CE ⊥AB 于点E.∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ＝6. 在Rt △ABD 中，AD ＝2222106AB BD -=-∵S △ABC ＝12AB CE ⋅= 12BC AD ⋅，∴10×CE ＝12×8，CE ＝9.6.在Rt △ACE 中，AE ＝2222109.6AC CE -=-＝2.8.∴sin ∠BAC ＝9.610CE AC =＝0.96，cos ∠BAC ＝ 2.810AE AC =＝0.28，tan ∠BAC ＝9.62.8CE AE =＝247. 6解：∵221cos sin 22A B ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝0， 由于2cos 2A -≥0，21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0，∴2cos 2A -＝0，21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0.∴cos A －22＝0，sin B －12＝0，即cos A ＝22，sin B ＝12.∴∠A ＝45°，∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－45°－30°＝105°.7解：(1)如图，作CB ⊥AD ，垂足为B ，那么点B 即为所求．(2)在Rt △×0.5＝14.9(海里)， BC ＝AB ×tan ×33≈8.6(海里)． 答：．8解：(1)在Rt △AOB 中，OA ＝100，∠BAO ＝60°， OB ＝OA·tan ∠BAO ＝1003 在Rt △AOC 中，∵∠CAO ＝45°， ∴OC ＝OA ＝100.∴B(1003-0)，C(100,0)． (2)∵BC ＝BO ＋OC ＝1003100，1003100+≈18.∵18＞503，∴这辆车超速了．(3)设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，那么此时小汽车行驶了2x 米，且两车之间的距离为y 22(100)(1002)x x -+-＝当x＝60时，y=(米)．答：两车相距的最近距离为9解：如图，设光线FE影响到B楼的E处，作BG⊥FM于点G，由题知EG＝MN＝30 m，∠FEG＝30°，那么FG＝30×tan 30°＝30＝(m)(m)．∵DN＝2 m，CD＝1.8 m.∴(m)，m高．。

1 锐角的三角函数 第2课时 正弦和余弦
(1)已知三角形三边长分别是5，12，13.①判断此三角形的形状 ②求最小角的正弦和余弦值
(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a:b=4:5，求sinA 、cosA 的值
(3)计算2)170(cos +︒-22)60sin 60(cos ︒+︒+|sin20°-1|
(4)计算sin45°·cos45°-cos 245°+sin 230°
(5)已知sin75°=426+，求︒
︒
+︒30sin 15cos 75sin 的值.
【素质优化训练】
1.设cosQ+sin 2Q=1,Q 为锐角，下而的结论正确的是( ) A.sinQ+sin 2Q ＞1 B.sinQ+sin 2Q=1 C.sinQ+sin 2
Q ＜1
D.sinQ+sin 2
Q 与1
的大小关系不能确定
2.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，且sinA 和cosB 是方程4x 2+px+1=0的两根，(1)求证：p+4=0;(2)求∠A 和∠B 的度数.
3.已知17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A 、B 都是锐角，求2
A
+B 的值.
【生活实际运用】
一般向正东方向航行，上午十时在灯塔的西南方58.4海里处，到上午十二时船到达灯塔的正南方，求船航行的速度.。

23.1.3 一般锐角的三角函数值知|识|目|标通过观察、操作、思考，熟练用计算器求已知锐角的三角函数值或根据三角函数值求出相应的锐角，并能用计算器进行有关三角函数值的计算．目标会用计算器求一般锐角的三角函数值例1 [教材例6、例7针对训练] 求下列三角函数值(精确到0.0001)：(1)sin75.6°；(2)cos37.1°；(3)tan25°；(4)sin37°19′12″.例2 [教材例8针对训练] 已知cos A＝0.7038，求锐角A的度数．【归纳总结】已知锐角三角函数值用计算器求锐角的注意要点：用计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度、分、秒，因此若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助2ndF和D·M′S键进行转换．例3 [教材补充例题] 比较大小：sin37°，cos52°，sin41°.【归纳总结】比较锐角三角函数值的大小的方法：(1)先直接利用计算器计算锐角三角函数的值，再比较大小；(2)先利用互余两角的三角函数关系转化为同一种三角函数，再根据三角函数的增减性进行比较：①正切值随着锐角的增大而增大；②正弦值随着锐角的增大而增大；③余弦值随着锐角的增大而减小．反之亦成立．知识点用计算器求一般锐角的三角函数值在使用计算器时先阅读计算器的使用说明，按照正确的操作顺序求出锐角的三角函数值，再按照要求取其近似值．若已知锐角的某一种三角函数的值，反过来求角度，要使用第二功能键．[点拨] 用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位．已知cos α(α为锐角)是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，求cos α的值． 解：∵方程2x 2－5x ＋2＝0的根为x 1＝12，x 2＝2，∴cos α＝12或cos α＝2.上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 以度为单位的锐角，按sin cos 或tan 后直接输入数字，再按＝得到锐角的正弦、余弦、正切值．解：(1)依次按键sin 7 5 · 6 ＝，显示0.968583161，即sin 75.6°≈0.9686. (2)依次按键cos 3 7 · 1＝，显示0.797583928，即cos 37.1°≈0.7976. (3)依次按键tan 2 5＝，显示0.466307658，即tan 25°≈0.4663.(4)依次按键sin 3 7 D ·M ′S 1 9 D ·M ′S 1 2 D ·M ′S ＝，显示0.606266036，即sin37°19′12″≈0.6063.例2 解：依次按键 2ndF cos－10·7038＝，显示45.26732078，再按2ndF D ·M ′S ，显示45°16′2.35″，∴∠A ≈45°16′2″.例3 [解析] 根据正弦值随着锐角的增大而增大，余弦值随着锐角的增大而减小，先将正弦、余弦统一为一种形式，再进行比较．解：解法一：∵cos 52°＝sin (90°－52°)＝sin 38°，而37°＜38°＜41°，∴sin 37°＜sin 38°＜sin 41°，即sin 37°＜cos 52°＜sin 41°.解法二：∵sin 37°＝cos (90°－37°)＝cos 53°，sin 41°＝cos (90°－41°)＝cos 49°， 而49°＜52°＜53°，∴cos 49°＞cos 52°＞cos 53°， 即sin 41°＞cos 52°＞sin 37°. 【总结反思】[反思] 不正确．错误的原因是忽略了锐角的余弦的取值范围．因为α为锐角，由锐角三角函数的定义，可知0<cos α<1，所以cos α＝2应舍去．正解：∵方程2x 2－5x ＋2＝0的根为x 1＝12，x 2＝2，且0<cos α<1，∴cos α＝12.。