函数的表示法

函数的表示法1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

记作“f ：A →B ”给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象.说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。

注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意：解析法：便于算出函数值。

列表法：便于查出函数值。

图象法：便于量出函数值5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

表示函数的字母
在数学中，函数是一种非常重要的概念，它通常用字母来表示。

下面是一些常用的字母及其表示的函数。

1. f(x)
f(x)是最常见的函数表示法，其中f是函数的名称，x是自变量。

该函数将x映射到f(x)上。

2. g(x)
g(x)是另一种常见的函数表示法，其中g是函数的名称，x是自变量。

该函数将x映射到g(x)上。

3. h(x)
h(x)也是常见的函数表示法，其中h是函数的名称，x是自变量。

该函数将x映射到h(x)上。

4. y = f(x)
y = f(x)是另一种常见的函数表示法，其中y是因变量，x是自变量，f是函数的名称。

该函数将x映射到y上。

5. f'(x)
f'(x)表示函数f(x)的导数，其中f是函数的名称，x是自变量。

导数衡量了函数在x处的变化率。

6. f''(x)
f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，其中f是函数的名称，x是自变量。

二阶导数衡量了函数在x处的曲率。

以上是表示函数的一些常用字母，它们在数学中非常常见且重要。

不同的字母表示不同的函数，在解决数学问题时，需要根据具体情况选择合适的表示方法。

函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。

函数的表示法1．函数的表示方法：解析法、列表法、图象法．①解析法就是把两个变量的函数关系，用一个数学表达式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．②列表法就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系．③图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系．2．分段函数在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．对分段函数的概念必须注意：(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)分段函数的图象是由几个不同的部分组成，作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．3.映射(1)A到B的映射与B到A的映射往往不同；(2)集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（允许B中元素没有被A中元素对应）；(3)A中元素与B中元素，可以是“一对一”，“多对一”不能是“一对多”．(4)函数是集合A，B为非空数集的一种特殊映射，映射是函数概念的推广题型一映射概念的理解例1：(1)在下列对应关系中，哪些能构成A到B的映射？,(2)设集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是()A.f:,y＝xB.f:xy＝xC.f:xy＝xD.f:x→y＝点评：在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情形．只能是“多对一”或“一对一”形式．变式迁移1:判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射.（1）A=（2）A=R,B=对应关系f:(3)A=Z,B=Q，对应关系f:(4)A=,对应关系f:。

变式迁移2:下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？（1）A=R,B=R,f:x；（2）A=,B=;(3)A=[0,+],B=R,f:x(4)A＝{x|x是平面内的矩形}，B＝{x|x是平面内的圆}，f：作矩形的外接圆．题型二分段函数的图象及应用例2：求下列函数的图象及值域：y＝；点评：本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移:作出下列各函数的图象：(1)y＝1－x，x∈Z；（2）y＝|x－1| (x∈R)．例3：分段函数的求值问题;已知函数f(x)＝(1)求f[f()]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．变式迁移：设f(x)＝若f(a)>a，求实数a的取值范围。

函数的表示方法1．函数的表示方法：列表法，图象法，解析法；2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则3．函数图象的一类基本变换①：将函数的图象关于y轴对称得到的新的图像就是的图像；②：将函数的图象关于x轴对称得到的新的图像就是的图像；③：将函数的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方，连同函数的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是的图像；④：将函数的图象在y轴左侧的部分去掉，函数的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧，连同函数的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是的图像．4．函数值域的求法观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；配方法：若函数是二次函数形式，可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上的二次函数最值的求法；分离常数法：形如的函数值域为；反函数法：如求函数的值域，解出，，解得；判别式法：求f（x）=（a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式1．关于分段函数的叙述,正确的有( )分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；若分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，那么A．1个 B．2个 C．3个 D．0个2．已知，则（ ） A． B． C． D．3．函数的图象是（ ） A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．不是对称图形4．已知，则 5．函数y=的定义域为______________，值域为___________________6．函数的图像是（　）7．已知，则8．函数的值域是1．B　2．A　3．B　4． 5．［－1，2］，［0，］ 6．A7． 8．函数的单调性1．增函数和减函数 对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数；⑵若当<时，都有 >,则说在这个区间上是减函数．2．单调性和单调区间 若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间，此时也说函数是这一区间上的单调函数．3．证明函数单调性的一般步骤⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性．4．复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为： “同增异减”．1．下列命题正确的是（）A．定义在上的函数，若存在，使得时有，那么在上为增函数B．定义在上的函数，若有无穷多对，使得时有，那么在上为增函数C．若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数D．若在区间上为增函数且，那么。

什么是函数函数有几种表示方法
函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出
之间的映射关系。

在数学中，函数被用来描述不同数值之间的关系，也被广泛应用在计算机科学、物理学、经济学等各个领域。

一个函数通常表示为f(x)，其中x是输入，f(x)是输出。

函数有多种表示方法，包括解析式、图像、表格和公式等。

下面将逐一介绍这些表示方法：
解析式表示
解析式是最常见的函数表示方法。

通过解析式，我们可以
直接得到函数的表达式，从而方便计算。

例如，一个线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。

图像表示
函数的图像表示了函数的输入和输出之间的关系。

图像通
常用坐标系表示，其中横轴表示输入，纵轴表示输出。

通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质，如增减性、奇偶性等。

表格表示
函数的表格表示了函数输入和输出的对应关系。

通过表格，我们可以直观地看出不同输入对应的输出是什么，从而更好地理解函数的性质。

公式表示
函数还可以通过数学公式表示。

数学公式是用数学符号和
运算符描述函数的关系，是一种抽象和形式化的表示方法。

通过以上几种表示方法，我们可以更加全面地了解函数的
概念和性质。

函数是数学中一个非常重要的概念，也是解决各
种问题的基本工具之一。

不同的表示方法可以帮助我们更好地理解和运用函数。

2023函数的表示法contents •函数的基本概念•函数的图像表示法•函数的表格表示法•函数的解析表示法•三种表示法的比较目录01函数的基本概念1函数的定义23函数是一种特殊的关系，它把输入值（或自变量）映射到输出值（或因变量）。

函数是一种关系函数定义了输入值和对应的输出值，即函数确定了输入值所对应的输出值。

函数定义了输入和输出函数通常由数学表达式表示，可以用于解决各种数学问题。

函数是数学表达式的组成部分符号表示法使用函数符号来表示函数，例如 $f(x) = x^2$ 表示一个函数，其中 $f$ 是函数符号，$x$ 是自变量，$x^2$ 是因变量。

表格表示法使用表格来表示函数，表格中列出输入值和对应的输出值。

图表示法使用图形来表示函数，图形的纵坐标表示输出值，横坐标表示自变量。

函数的表示方法函数的基本性质对于任意一个自变量，函数都有唯一确定的输出值与之对应。

确定性函数的输出值必须在一定范围内，即函数的值域是有界的。

有界性函数在一定区间内单调递增或单调递减，即因变量随自变量的增大（或减小）而增大（或减小）。

单调性对于任意两个自变量，如果它们的和也是自变量，那么函数的和等于两个自变量的和分别带入函数求得的结果的和。

可加性02函数的图像表示法首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。

函数图像的绘制确定函数定义域根据函数解析式，在坐标系中描点、连线，画出函数的图像。

画出函数图像检查所画图像是否符合函数解析式，确保准确性。

检查图像准确性图像的平移与伸缩图像的平移根据平移规则，将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定距离。

图像的伸缩根据伸缩规则，将函数图像沿x轴或y轴方向放大或缩小一定倍数。

平移与伸缩的结合根据需要，可以将图像先平移再伸缩，或先伸缩再平移。

函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性根据奇偶性定义，判断函数图像关于原点对称还是关于y轴对称。

函数的周期性根据周期性定义，判断函数图像是否具有重复出现的规律。

函数性质的应用了解函数具有的性质对解题和应用的帮助。

函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是 非空实数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的 每一个实数，在集合B 中都有 唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 定义域 ，与x 的值相对应的y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 叫做函数的 值域，显然，值域是集合B 的子集。

注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素： 值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 在本质上也是相同的,则称两个函数相等。

4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。

举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。

5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做 分段函数 。

拓展一 判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？ （ ）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二 函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是 （ ）拓展三 求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.【知识点二】函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【知识点三】映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.举一反三：【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；；(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射．总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；(2)A中的某个元素在B中可以没有象；(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：∴A中元素的象为故.举一反三：【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为；又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；又因为由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A．1 B． 2 C． 3 D．45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( )A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(2)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(3)已知；一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( )A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围_______________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D. 3．函数的图象是( )。